Introduction : Mesures et espaces de probabilités

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1 Itroductio : Mesures et espaces de probabilités Référeces : Poly cédric Berardi et Jea Michel Morel. J.-F. Le Gall, Itégratio, Probabilités et Processus Aléatoire J.-Y. Ouvrard, Probabilités 2, maîtrise-agrégatio, Cassii, (2) D. Williams, Probability with martigales, Cambridge Uiversity Press, (1991) Durrett R., Probability : Theory ad examples, Duxburry, (1995). Grimmett G., Stirzaker D., Probability ad Radom Processes, Oxford Uiversity Press, Third Editio, (21) Lecos : Loi des grads ombres. Théorème de la limite cetrale. Applicatios. Idépedace d évéemets et de variables aléatoires. Exemples. Suite de va de beroulli idepedates Utilisatio e probas de la trasformatio de Fourier ou de Laplace et du produit de covolutio. Nous sommes habitués à muir u espace Ω d ue topologie pour regarder des covergeces. Nous allos ici le muir d ue tribu pour mesurer des esembles et itégrer. Nous avos surtout e tête de regarder des tribus egedrées par ue topologie pour faire les deux et cosidèrer des mesures de masse 1, c.a.d. des probabilités. 1 Algèbres, tribus, π-systèmes, λ-systèmes et espaces mesurables Soit Ω u esemble quelcoque. O commece par défiir toute ue typologie de collectios d esembles que l o utilisera tout au log du cours. Défiitio 1.1. (π,λ-systèmes, algèbres et tribus) 1. Ue classe P de sous-esembles de Ω est appelée u π-système ssi : A, B P A B P 2. Ue classe F de sous-esembles de Ω est appelée ue algèbre ssi : i) Ω F. ii) F F F c F. iii) F, G F = F G F. 3. Ue classe F de sous-esembles de Ω est ue tribu (ou σ-algèbre) ssi : i) F est ue algèbre. 1

2 ii) Si F F pour tout N alors N F F. Défiitio 1.2. (λ-systèmes) Ue classe L de sous-esembles de Ω est appelée u λ-système ssi : i) Ω L. ii) Si A, B L et A B alors B\A L. iii) Si (A ) N est ue suite croissate d élémets de L alors N A L. Remarque 1.1. (i) U tribu est ue algèbre (qui est u π système) et u λ système. U λ système est pas forcemet u π système (et doc ue tribu), à cause de l itersectio. Predre par exemple {, A, B, Ω A, Ω B, Ω} qui est u λ système mais e cotiet pas A B. Ue algèbre est u π système, mais pas forcémet vrai u λ système. Les parties de N fiies ou de complémetaires fiies formet ue algèbre mais pas u λ système à cause des etiers pairs, tout commes les uios fies d itervalles semi-ouverts. (ii) La différece etre topologie et tribu? Le passage par complemetaire marche pour les tribus (pas pour les topologies) mais pour les tribus l uio doit etre déombrable. La topologie est doée par l uio quelcoque d itersectio fiie d élémets des esembles qui l egedret (ces itersectios sot des bases de voisiage), la tribu c est plus compliqué... (iii) O peut remplacer les stabilités par itersectio par des stabilités par uio pour l algèbre (et doc la tribu, mais pas le λ système) qui possèdet le passage au complémetaire et à l uio, et l uio par ue uio disjoite ou croissate pour la tribu. (iv) Ue itersectio quelcoque (déombrable ou pas) de π-systèmes, λ-systèmes, d algèbres ou de tribus est (respectivemet) u π-système, u λ-système, ue algèbre ou ue tribu. (v) Le π-système, le λ-système, l algèbre ou la tribu egedrée par ue partie χ est l itersectio de tous ceux coteat χ. (vi) Vous savez egedrer ue topologie par ue base de voisage e preat l uio quelcoque d itersectio fiie d élémet de cette base. Le coi du curieux (cf le cours d Amaury Lambert à Jussieu e L3, TD 4). O pourrait peser (au vue aussi de certais cas particuliers) que trouver la tribu egedrée par ue classe C se fait e ajoutat à C les uios déombrables et les complémetaires des parties de C. Maque de chace, cela e marche pas toujours, otammet pour le cas de la tribu boréliee sur R. Et ce même si c est u π système (ou que l o ajoute les itersectios déombrables). Si l o obtiet aisi ue tribu, o a bie trouvé la tribu egedrée par (C). Si l o procède de la sorte e partat des itervalles réels, o e tombe e effet pas sur ue tribu. Il faut e fait itérer ce processus par récurrece trasfiie pour obteir la tribu des borélies. Cela explique pourquoi il est impossible de fourir ue descriptio explicite complète des borélies de R. O peut motrer que la tribu boréliee sur R a la puissace du cotiu, ce qui motre l existece de o-borélies (car P(R) a ue puissace strictemet supérieure à celle du cotiu). Propositio 1.1. Ue collectio de sous-esembles de Ω est ue tribu ssi c est à la fois u λ-système et u π-système. Le théorème suivat est fodametal das tout ce qui suit et otammet das la démostratio du théorème de Carathéodory dot ous parleros plus loi. Théorème 1.1. (Dyki) Si P est u π-système coteu das u λ-système alors ce λ-système cotiet la tribu egedrée par ce π-système. 2

3 Démostratio. Voir TD. Itérêt : Motrer que les esembles vérifiat ue propriété P formet u λ système qui cotiet u π système pour obteir que la tribu egedrée par le π système vérifie P. Défiitio 1.3. Espace mesurable Ue paire (Ω, F), où Ω est u esemble et F est ue tribu sur Ω, est appelée u espace mesurable. U élémet de F est appelé u esemble F-mesurable. Passos maiteat à u exemple fodametal d espace mesurable. Soit S u espace topologique mui de sa famille S d ouverts. O appelle tribu boréliee sur S la tribu egedrée par S. O la ote B(S) et ses élémets sot appelés les borélies de S. Cette tribu est egedrée (par exemple) par l ue des classes suivates (qui sot des π système), voir TD : { d } { d } { d } i=1 [a i ; b i ]; a i, b i R, i=1 ( ; b i ]; b i R, i=1 [a i ; + ); a i R Les élémets de B(R d ) peuvet être très compliqués mais il est possible de costruire des esembles o borélies (voir TD) 2 Mesure Défiitio 2.1. Soit µ ue applicatio de F das [, + ]. 1. µ est dite additivemet déombrable si pour toute suite d élémets disjoits F F tels que F F, µ( F ) = µ(f ). 2. µ est appelée mesure sur u espace (Ω, F) mesurable ssi µ( ) = et µ est additivemet déombrable. Remarque 2.1. L addititive déombrabilité de la mesure etraîe sa mootoie : si A A avec A F, alors µ(a ) A. Bie sur préciser µ( ) = est iutile par 2) si µ est pas idetique à l ifii car µ( ) = µ( ). Tout comme préciser F F est iutile das 2) ici mais utile das Carathéodory. O dira que la mesure µ est fiie (ou de masse fiie) ssi µ(ω) < +. O dira qu elle est σ-fiie ssi il existe ue suite (Ω ) d esembles mesurables tels que µ(ω ) < + et Ω = Ω. O appelera probabilité toute mesure µ de masse µ(ω) égale à 1. (Ω, F, µ) est alors appelé u espace probabilisé ou espace de probabilité. O peut compléter u espace mesuré (Ω, F, µ) e ajoutat les esembles égligeables, i.e. les esembles X tels qu il existe Z F coteat X de mesure ulle. Pour les Borelies, o obtiet la tribu des Lebesguies. O e peut espérer avoir µ( x I F x ) = x I µ(f x) e gééral comme o peut le voir avec l esemble o déombrable I = [, 1], F x = {x} et la mesure de Lebesgue (o obtiet 1 = ). 2.1 Prologemet de mesures Le problème posé est le suivat et est bie illustré par le cas de la mesure de Lebesgue λ. O cherche à défiir ue mesure λ sur (R, B(R)) telle que pour tous réels a < b, λ(]a, b[) = b a. Première questio : existe-t-il ue telle mesure? Si oui, est-elle uique? Théorème 2.1. (Carathéodory) Soit Ω u esemble mui d ue algèbre F et soit F la tribu egedrée par cette algèbre. Si µ est ue applicatio déombrablemet additive µ : F [; + ] alors il existe ue mesure µ sur (Ω, F) telle que Si µ (Ω) < + alors cette extesio est uique. µ = µ sur F 3

4 Pour obteir la mesure de Lebesgue sur ((, 1], B((, 1])), o peut predre comme algèbre avec r N et a 1... a r b r 1. F = (a 1, b 1 ]... (a r, b r ] Pour la preuve, o commece par établir que deux mesures qui coïcidet sur u π-système (ou doc ue algèbre) coïcidet aussi sur la tribu qu egedre ce π-système (ou cette algèbre). Propositio 2.1. (d uicité des prologemets de mesures) Soit Ω u esemble mui d u π-système P et soit F = σ(p). Supposos que l o ait deux mesures µ 1 et µ 2 sur F de même masse fiie, µ 1 (Ω) = µ 2 (Ω), qui coïcidet sur P. Alors µ 1 = µ 2 Ce résultat (comme d autres plus loi) se gééralise aux mesure σ fiie par limite croissate. Pour le prouver, o défiit la classe D = {F F; µ 1 (F ) = µ 2 (F )}. Il est facile de voir que c est u λ-système puisque puisque le fait que les deux mesures aiet même masse motre que Ω D et les masses fiies assuret que D est stable par différece propre. Doc par le théorème de Dyki, D cotiet F. Passos maiteat à la preuve du théorème de Carathéodory. Démostratio. (Théorème de Carathéodory). Nous idiqueros que les pricipales étapes, les détails état parfaitemet expliqués das [Williams, Probability with martigales]. Etape 1 : Soit P(Ω) la tribu composée de toutes les parties de Ω. Pour u G P(Ω), o défiit { } λ(g) = if µ (F ) où l ifimum est pris sur toutes les suites (F ) d élémets de F qui recouvret G, i.e. G F. λ est pas ue mesure mais est ce que l o appelle (impropremet) ue mesure exterieure, c est-à-dire qu elle jouit des propriétés suivates : a) λ( ) =. b) λ est croissate : G 1 G 2 λ(g 1 ) λ(g 2 ). c) λ est déombrablemet sous-additive : si (G k ) k est ue suite d élémets de P(Ω) alors λ ( k G k ) k λ(g k ) Seule c) mérite d être expliquée. Soit (G ) ue suite supposée telle que pour chaque, λ(g ) < + (sio c est trivial). O se doe ε > et pour chaque, o se doe ue suite d élémets (F,k ) k de F pour lesquels G k F,k, µ (F,k ) λ(g ) + ε2. Alors G,k F,k et o a : λ(g),k k µ (F,k ) Puisque ε est arbitraire, e le faisat tedre vers, o obtiet c). λ(g ) + ε. Etape 2 : O itroduit alors la otio de λ-esembles. U élémet L de P(Ω) est appelé u λ-esemble ssi il décompose tout élémet de P(Ω) propremet, c est-à-dire : λ(l G) + λ(l c G) = λ(g), G P(Ω) 4

5 Lemme 2.1. Les λ-esembles formet ue tribu L sur laquelle λ est déombrablemet additive si bie que (Ω, L, λ) est u espace mesuré. Démostratio. Motros ce lemme. L est ue algèbre qui jouit de la propriété suivate : Si L 1, L 2,..., L sot des élémets de L disjoits et G P(Ω) ue partie quelcoque de Ω alors λ ( k=1(l k G)) = λ(l k G) k=1 Nous avos doc à démotrer que si (L k ) k est ue suite d élémets disjoits de L alors L = k L k L (cf. la remarque après la défiitio de la otio de tribu) et ( ) λ(l) = k λ(l k ) Par sous-additivité de λ, o a pour tout G P(Ω) : λ(g) λ(l G) + λ(l c G) Passos maiteat à l iégalité iverse. Soit M = k L k. Puisque L est ue algèbre (cf ce qui précède), M L doc Or L c M c si bie que et par ( ), λ(g) = λ(m G) + λ(m c G) λ(g) λ(m G) + λ(l c G) λ(g) λ(l k G) + λ(l c G) k=1 Par passage à la limite quad +, o obtiet λ(g) λ(l k G) + λ(l c G) λ(l G) + λ(l c G) k=1 la deuxième iégalité état ue coséquece de la sous-additivité de λ. O e déduit que L L. D autre part, puisque la derière iégalité est e fait ue égalité, o voit qu il e est de même des autres et que fialemet λ(l G) = k λ(l k G) Il suffit maiteat de predre G = Ω pour coclure. Il ous reste à voir que F L et λ = µ sur F pour achever la preuve du théorème. Etape 3 : Preuve que λ = µ sur F. Soit F F. O a bie etedu λ(f ) µ (F ). Supposos maiteat que F F où F F. O défiit ue suite (E ) d élémets disjoits de F par : E 1 = F 1, E = F ( k< F k ) c 5

6 si bie que E F et F F = E. E utilisat la σ-additivité de µ sur F, o a µ (F ) = µ ( (F E )) = µ (F E ) Doc µ (F ) µ (E ) µ (F ) si bie que λ(f ) µ (F ) ce qui coclut la troisième étape. Etape 4 : Preuve de F L. Il ous faut voir que si E est u élémet de F alors E décompose propremet les élémets de P(Ω). Soit doc G P(Ω) et soit pour ε > quelcoque ue suite (F ) d élémets de F tels que G F avec µ (F ) λ(g) + ε Par défiitio de λ, µ (F ) = µ (E F ) + µ (E c F ) λ(e G) + λ(e c G) car E G (E F ) et E c G (E c F ). Puisque ε est aussi petit que l o veut, Puisque λ est sous-additive, Doc E est u λ-esemble. λ(g) λ(e G) + λ(e c G) λ(g) λ(e G) + λ(e c G) 2.2 Foctios mesurables Défiitio 2.2. Ue foctio f : (Ω, F) (R d, B(R d )) sera dite mesurable si A B(R d ), f 1 (A) F. O dit qu elle est boréliee quad (Ω, F) (R, B(R )). O doe maiteat ue versio foctioelle du Théorème de Dyki, souvet utile et appliquée sous ue forme das la costructio de l itégrale esuite. Exercice 2.1. (Théorème de la classe mootoe, D. Williams, Probability with martigales, p. 25 ) Soit H ue classe de foctios borées de Ω das R vérifiat (i) H est u espace vectoriel sur R (ii) la foctio costate 1 est u élémet de H (iii) si f est ue suite croissate de foctios positives de H, tedat vers ue foctio f borée sur Ω, alors f H. Alors, si H cotiet les foctios idicatrices de tous les esembles d u π-système I, H cotiet aussi toutes les foctios σ(i)-mesurables et borées sur Ω. 6

7 1) Soit D la classe des esembles F tels que 1 F H. Motrer que D est u λ-système et e déduire que D cotiet σ(i). 2) Soit f ue foctio σ(i)-mesurable telle qu il existe K N, f(s) K, s Ω. Pour N, o cosidère les foctios e escalier approximat f, où f (s) = i2 1 A(,i) (s), K2 i= A(, i) = {s, i2 f(s) (i + 1)2 }. Motrer que f H, puis que f H. E déduire le théorème. 3 Exercices : Algèbres, tribus et compagie Exercice 3.1. Motrer que la tribu des borélies de R est egedrée par : 1. la classe des itervalles ouverts borés 2. la classe des itervalles borés [a; b) 3. la classse des demi-droites ouvertes ( ; a) 4. la classse des demi-droites fermées ( ; a] Idicatio : Obteir la première e utilisat que tout ouvert est l uio déombrable disjoite d itervalles ouverts (o motre cela e cosidérat la relatio d équivalece xry ssi [x, y] O) et e écrivat u itervalle o boré comme l uio de ses restrictios à [, ] pour N. Exercice 3.2. Exercice (Lemme de Dyki) (Williams, p 193) U π-système est u esemble de parties de Ω stable par itersectio fiie. U λ-système est u esemble L de parties de Ω qui est stable par différece propre et uio déombrable croissate et tel que Ω L. 1) Démotrer qu ue collectio Σ de sous-esembles de Ω est ue tribu si et seulemet si Σ est à la fois u π-système et u λ-système. 2) O va motrer que si I est u π-système, alors la tribu σ(i) egedrée par I et le λ-système egedré par I sot égaux : λ(i) = σ(i). La démostratio est détaillée das les deux questios qui suivet. 2a) Soit D 1 = {B λ(i) : C I, B C λ(i)}. Motrer que D 1 hérite de la structure de λ-système de λ(i). E déduire que D 1 = λ(i). 2b) Posos D 2 = {A λ(i) : B λ(i), B A λ(i)}. Motrer que D 2 cotiet I et hérite de la structure de λ-système de λ(i). E déduire que D 2 = λ(i) est u π-système. 3) Déduire le théorème de Dyki : Soit P u π-système et L u λ-système tel que P L. Alors la tribu egedrée par P est coteue das L. Idicatios 2.a) D 1 est u λ système qui cotiet I et qui est iclus das λ(i) doc D 1 = λ(i). 2.b)Le fait que D 2 cotiet I se déduit de 2a). Puis e substituat λ(i) à I das 2a) et e remarquat que λ(λ(i)) = λ(i), o obtiet D 2 = λ(i) Exercice 3.3. (Il y a pas de tribu déombrable. Cet exercice est extrait de Le Calcul Itegral, H. Buchwalter (e doe pas la correctio).) Soit F ue tribu sur Ω supposée au plus déombrable. 7

8 a) Démotrer que tout ω Ω est coteu das u plus petit élémet de F. b) E déduire que F est exactemet la tribu egedrée par ue partitio au plus déombrable. c) Motrer alors que F est écessairemet fiie de cardial ue puissace de 2 et que doc il existe pas de tribu déombrable au ses strict. d) Trouver toutes les tribus de N. Réposes : a) Predre l itersectio des élémets de F coteat w. b) O ote F (w) l esemble miimal précédet. La famille {F (w) : w Ω} forme ue partitio pour w Ω. E effet supposos F (w 1 ) F (w 2 ). Alors w 1 F (w 2 ) puisque w 1 / F (w 1 ) F (w 2 ) et doc F (w 1 ) F (w 2 ) puis par symétrie F (w 1 ) = F (w 2 ). Cette famille est au plus déombrable car F l est. Elle egedre la tribu car si F F alors F = w F F (w) puisque w F implique F (w) F. c) La tribu egedrée par ue partitio fiie A 1,, A k fii est doée par k i=1 (A i ou A c i )et a u cardial égal à ue puissace de deux. La tribu egedrée par ue partitio ifiie est o déombrable car elle cotiet (au mois) {, 1} N. d) Toutes les tribus egedrées par ue partitio de N. E effet, o peut ecore motrer la propriété a) : soit et preos pour tout ue partie A coteat telle que / A (si u tel A existe : sio predre A = N). O pose F ( ) = A. Esuite o motre comme pour b) que ces esembles formet ue partitio qui egedre la tribu. Exercice 3.4. (Exemple d esemble o borélie) (Williams, p 192) Soit (R, B(R), λ) l espace des réels mui de la tribu boréliee et de la mesure de Lebesgue. 1) O défiit la relatio biaire suivate sur R xry ssi x y Q Motrer que R est ue relatio d équivalece. 2) O désige par C l esemble des classes d équivalece. Motrer que pour toute classe C C il existe x C [, 1). O choisit alors pour chaque classe C u x C vérifiat la propriété précédete et o ote A = {x C /C C}. 3) Motrer que [, 1] q + A [ 1, 2) q [ 1,1] Q et que les q + A sot deux à deux disjoits. 4) E supposat A borélie, aboutir à ue cotradictio. Exercice 3.5. Ouvert dese de mesure petite : Hauchecore, Les cotre-exemples e mathématiques, pp Motrer qu il existe u ouvert de R coteat Q et de mesure iférieure à ε. Remarquer que cela prouve qu il y a des ouverts deses de mesure aussi petite qu o veut. Idicatio : éumérer les ratioels q, N et cosidérer les itervalles ] q, q [. Exercice 3.6. (Esembles de Cator) (Hauchecore, Les cotre-exemples e mathématiques, pp ) O cosidère pour < α < 1 l opératio suivate S α : elever à u itervalle [a, b] so itervalle cetral ] a + b 2 α b a 2, a + b + α b a 2 2 [. Soit E R ue uio fiie d itervalles disjoits. O ote s α (E) le résultat de l applicatio de s α à tous les itervalles de E. Quad α = 1 3, l esemble K 1 = 3 1 s 1 ([, 1]) est appelé esemble triadique de Cator. 3 Plus gééralemet, si α = (α 1,..., α,...) est ue suite de coefficiets < α < 1, o pose ecore K α = s α s α 1...s α1 ([, 1]), K α = 1 K α. 1) Motrer que pour toute suite α, l esemble K α est u compact d itérieur vide, équipotet à l esemble des suites biaires (gauche, droite) N. 8

9 Idicatio : tout élémet de K α est défii de maière uique par le fait qu il appartiet à l itervalle de droite ou de gauche de K 1 α, puis au sous itervalle de cet itervalle de gauche ou de droite das K 2 α, etc. E déduire que K α est équipotet à [, 1]. 2) Motrer que K α est de mesure strictemet positive si et seulemet si α < +. E déduire qu il y a des esembles borélies équipotets à R et de mesure ulle et des fermés de mesure positive et d itérieur vide. Idicatio : La mesure de K α est Π i 1 (1 α i ). Exercice 3.7. (Il existe u esemble égligeable et o borélie) 1) Soit K l esemble triadique de Cator. Motrer que c est u compact o vide (doc borélie) égligeable de R. 2) Motrer par récurrece que l o peut défiir ue suite d applicatios ɛ : [, 1) {, 1}, 1 telle que O défiit alors pour x das [, 1) x [, 1), 1, i=1 f(x) = ɛ i (x) 2 i x < i=1 2ɛ i (x) 3 i Motrer que f est strictemet croissate, ijective et boréliee. 3) Soit A l esemble o borélie de léxercice Motrer que f([, 1)) K 2. Motrer que f(a) est égligeable pour λ. 3. E utilisat l ijectivité de f, établir que f(a) est pas borélie. i=1 ɛ i (x) 2 i Exercice 3.8. Les seules mesures sur R fiies sur les borés et ivariates par traslatio sot des multiples de la mesure de Lebesgue. (Problème 12.1 p. 18 du Billigsley). Solutio : appeler a la mesure d u itervalle de logueur 1, motrer d abord que les itervalles de logueur 1 ot mesure a, puis que les itervalles de logueur ratioelle q ot mesure aq, fialemet que les itervalles de logueur quelcoque b ot mesure ab. Déduire que la mesure cosidérée coïcide sur u π-système qui egedre les borélies avec la mesure de Lebesgue et coclure. Exercice 3.9. La formule du crible. Soit µ ue mesure sur u espace mesurable (Ω, F) et A 1,..., A F. 1) Motrer que par récurrece que P ( i=1a i ) = ( 1) p+1 p=1 1 i 1<...<i p P (A i1... A ip ). 2) Motrer par récurrece sur que pour 1 m, m ( 1) p+1 p=1 1 i 1<...<i p P (A i1...a ip ) est ue majoratio (resp. mioratio) de P ( i=1 A i) lorsque m est impair (resp. pair). Exercice 3.1. (Théorème de Sard) Soit f ue foctio C 1 d u ouvert de R das lui-même. O appelle poit sigulier de f u poit x R tel que Df(x) est o iversible. O ote Df(x) le jacobie de f. 9

10 L esemble des poits siguliers est doc S(f) = ( Df ) 1 (). Le théorème de Sard dit simplemet que l esemble f(s(f)) est de mesure ulle. 1) Se covaicre que l o peut se coteter de motrer le théorème de Sard quad f est défiie sur u compact. Alors S(f) est compact. 2) O ote B(x, r) la boule de cetre x et de rayo r. Soit x S(f). E écrivat la formule de Taylor, f(x) = f(x ) + Df(x )(x x ) + o( x x ), motrer qu il existe u sous-espace propre V de R N et ue costate C tels pour tout ε > il existe r > tel que où B V (, r) désige la boule de rayo r das V. f(b(x, r)) f(x ) + B V (, Cr) + B(, εr), 3) Soit K u compact de R. Motrer qu il existe C > tel que pour tout r >, K soit recouvert par des cubes (C i,r ) i I de diamètre r et i mesure(c i,r) C. 4) E recouvrat S(f) comme idiqué das la questio précédete, motrer le résultat aocé. Solutio : O écrit R N = KerDf(x ) (KerDf(x )) et, sur cette somme orthogoale d espaces, o décompose x x = y+z, de sorte que y r, z r si x x B(, r). O ote V = Df(x )(KerDf(x ) ). Doc si x x < r assez petit, f(x) = f(x ) + Df(x )(z) + o(x x ) f(x ) + B V (, Cr) + B(, εr), avec C = Df(x ) et où B V (, Cr) est la boule de cetre et de rayo Cr das V. O vérifie aisémet que la mesure de f(b(x, r)) est alors plus petite que C 1 r N ε d où d est la dimesio de KerDf(x ) et C 1 ue costate adéquate. O coclut esuite avec le recouvremet fii par des cubes, e sommat les mesures des cubes de diamètres (qui sot iclues das les boules de diamètres) r, ce qui majore la mesure globale par ɛr.#i r ɛc. 4 Itégrale cotre ue mesure O doe ici les grades liges pour la costructio de l itégrale cotre ue mesure fiie et l objectif sera d itégrer cotre ue probabilité P et d itroduire l espérace d ue variable aléatoire X comme f(x)µ(dx), E(X) := X(ω)P(dω) O peut e fait étedre cette costructio à des mesures σ fiie par limite croissate. Ω 4.1 Costructio : la machie stadard Etape 1. Soit f ue foctio simple (ou étagée) positive, c est-à-dire de la forme N f = a k 1 Ak k=1 où les a k sot des réels positifs et A k des élémets de F. O défiit l itégrale de f relativemet à µ par N fµ = a k µ(a k ) k=1 1

11 O vérifie aisémet que cette défiitio est cohérete, c est-à-dire qu elle e déped pas de l écriture de f choisie. D autre part, des propriétés simples comme la liéarité, la positivité se démotret aisémet. O peut costruire des modes d approximatio simples pour ue foctio mesurable positive. Par exemple si f est positive mesurable, f k := k2 k 1 l= l 2 k 1 [ l l+1 2k f< 2 k ] + k 1 [f k] coverge simplemet vers f et uiformémet si f est e plus borée. Ceci motive la défiitio suivate et préfigure les résultats de passage à la limite mootoe (Beppo-Lévy) Etape 2. Soit maiteat f ue foctio positive mesurable. O défiit so itégrale par fµ = sup{ hµ : h foctio simple positive, h f} Cette quatité peut être ifiie et o dira que f est itégrable si elle est fiie. O vérifie que si h est ue foctio simple positive, alors cette ouvelle défiitio reste cohérete avec l aciee. O vérifie sas mal la liéarité de l itégrale. Viet alors le théorème de covergece mootoe pour les foctios mesurables positives : Si (f ) est ue suite de foctios mesurables positives covergeat e croissat µ p.p. vers ue foctio f (mesurable positive) alors f µ f (4.1) Cette démostratio est pas difficile car ce théorème viet essetiellemet du fait que si A A, alors µ(a ) µ(a). Voici la marche de la démostratio. O va la faire das le cas fµ < + ; le cas fµ = + suit exactemet la même démarche. O commece par remarquer qu il existe ue suite croissate de foctios simples g telle que g µ fµ et g f p.s. Pour cela o pred ue suite croissate g de foctios simples telles que g µ fµ. O peut toujours remplacer g par sup i=1,..., g i, qui est bie ue suite croissate. O motre alors que g f p.s., par l absurde E effet, si µ(sup g < f) >, par la propriété de cotiuité de la mesure pour les suites croissates pour quelque η >, l esemble A := {g f η} est de mesure strictemet positive. Alors e remplaçat g par h := g + η 1 A, o arrive à ue cotradictio car h g et gµ h µ g µ + ηµ(a) gµ + ηµ(a). Fixos maiteat g telle que g f et gµ fµ ε. Par l étape précédete des foctios simples g telles que P(g f ε) < 1 2. O remarque que par l étape précédete g g ted vers g p.p. et qu il ous suffit de motrer que gµ ted vers gµ. Comme P(g g ) > ε, o peut predre assez grad pour que cette probabilité soit plus petite que ε. Comme g et g sot simples, e ommat A k la famille fiie des itersectios d esembles où elles sot chacue costates, o peut écrire g = k a k 1 Ak et g = k b k 1 Ak et o a alors P( k bk a k >εa k ) ε. Il suffit d exprimer les espéraces de ces deux foctios simples pour coclure que gµ g µ < ε + ε sup g. Le lemme de Fatou se déduit aisémet du théorème de covergece mootoe. O démotre aussi à ce stade la liéarité et la positivité de l espérace. Etape 3. Soit f ue foctio mesurable de sige quelcoque. O décompose f e sa partie positive f + = sup(f, ) et sa partie égative f = sup( f, ) si bie que f = f + f et f = f + + f. O dira 11

12 que f est itégrable ssi f l est (ce qui implique que f + et f le sot). Si f est itégrable, o défiit so espérace par fµ = f + µ f µ L esemble des foctios itégrables forme u espace vectoriel sur lequel l espérace aisi défiie est ue forme liéaire positive. C est à ce stade que le théorème de covergece domiée s établit modulo le lemme de Sheffé (voir TD). O remarquera que la costructio de l itégrale se fait selo trois grades étapes : o commece par défiir l espérace sur les foctios simples, puis sur les foctios mesurables positives grâce à ue propriété de mootoie et efi o passe au cas d ue foctio de sige quelcoque grâce à la décompositio de f e sa partie positive et sa partie égative. Cette structure e trois étapes est costammet utilisée das diverses preuves. O peut aussi souvet s appuyer das ce gere de démarche sur le Théorème de la classe mootoe doé précedemmet. 4.2 Rappel : Itégrale de Lebesgue Nous rappelos ici les résultats pricipaux et doos u certai ombre d exercices plus ou mois stadards. Théorème 4.1. (Beppo Levi, ou covergece mootoe) Si f est ue suite croissate de foctios défiies sur R N et à valeurs das R + {+ }, o a lim f (x)dx = lim f (x)dx +. Corollaire 4.1. Soit u (x) ue suite de foctios défiies sur R N et à valeurs das R + {+ }. O peut alors l itégrer terme à terme, c est-à -dire que Σ =1u (x)dx = Σ =1 u (x)dx +. Théorème 4.2. (Théorème de Lebesgue) Soit f (x) ue suite de foctios qui coverge presque partout vers ue foctio f. O suppose qu il existe ue foctio positive sommable fixe h telle que pour tout, f (x) h(x) pour presque tout x. Alors f (x) f(x) dx, f (x)dx f(x)dx. Théorème 4.3. (Réciproque du théorème de Lebesgue). Si f f das L 1, alors il existe ue sous-suite f k de la suite f qui coverge presque partout vers f et u chapeau itégrable h tel que k, f k (x) h(x) p.p.. Théorème 4.4. (Théorème de dérivatio sous le sige somme) Soiet I u itervalle de R et A u sousesemble de R. O se doe ue foctio f défiie sur A I vérifiat les trois hypothèses suivates. (a) Pour tout λ I, la foctio x f(x, λ) est sommable sur A. (b) La dérivée partielle f λ (x, λ) existe e tout poit de A I. (c) Il existe ue foctio h positive et sommable sur A telle que l o ait f λ (x, λ) h(x) pour tous x et λ. Alors la foctio F défiie par F (λ) = f(x, λ)dx est dérivable das I et o a F (λ) = A A f (x, λ)dx. λ 12

13 Théorème 4.5. (de chagemet de variable, Buchwalter H., Le Calcul irégral) Soiet Ω 1 et Ω 2 deux ouverts de R et ϕ u difféomorphisme etre Ω 1 et Ω 2. O otera J ϕ (x) le détermiat de la matrice jacobiee de ϕ au poit x. Soit f ue foctio défiie sur Ω 2. (a) Si la foctio f est à valeurs das R + {+ }, o a l égalité suivate, où les deux membres ot u ses das R + {+ }, f(y)dy = Ω 2 f(ϕ(x)) J ϕ (x) dx. Ω 1 (b) Si f est à valeurs complexes, elle est sommable das Ω 2 si et seulemet si f(ϕ(x))j ϕ (x) est sommable das Ω 1, et les deux membres de l égalité précédete sot alors égaux. Théorème 4.6. (Fubii) Soit f(x, y) ue foctio défiie das R p R q. (a) Si f est à valeurs das R + {+ }, o a l égalité suivate, où les trois membres défiisset u élémet de R + {+ }, ( f(x, y)dxdx = f(x, y)dy ) ( dx = f(x, y)dx ) dy. R p+q R p R q R q R p Si f est sommable das R p+q, les trois membres de l égalité précédete ot u ses et sot égaux. Plus précisémet, dire que le troisième membre a u ses sigifie : pour presque tout y, la foctio x f(x, y) est sommable das R p, la foctio ϕ(y) = f(x, y)dx qui est aisi défiie presque partout est sommable das R q. 4.3 Exercices Exercice 4.1. Tout graphe est de mesure ulle. 1) Démotrer que le graphe d ue applicatio cotiue f de R das R est u sous-esemble de mesure ulle das R 2. (O motrera que la portio du graphe comprise etre les abcisses k et k peut être recouverte par des rectagles dot la somme des mesures est arbitrairemet petite). 2) Même questio si f L 1 loc (R), puis si f est boréliee. Solutio Comme [ k, k] est u compact, la foctio f cosidérée est uiformémet cotiue sur [ k, k]. Il existe doc N tel que x y 1 ε, x, y [ k, k] f(x) f(y) 4k. O recouvre [ k, k] par itervalles cosécutifs de logueur 2k. O vérifie aisémet que les 2 rectagles [l 1, (l+1) 1 ] [f((l+ 1 2 ) k ) ε 4k, f((l ) k ) + ε 4k )], l =, ( 1),..., 1 recouvret le graphe de f sur [ k, k]. Doc la mesure de ce graphe est plus petite que 2 2k ε 4k = ε. Solutio plus élégate : Soit ϕ : R 2 R défiie par ϕ(x, y) = y f(x). Alors ϕ 1 () = {(x, f(x)), x R} et par le théorème de Fubii-Toelli, λ({(x, f(x)), x R}) = ( 1 y=f(x) (x, y)dy)dx = car les sigletos sot de mesure de Lebesgue ulle. R Exercice 4.2. Soit A u borélie de R N et soit h égale à + das A et à das so complémetaire. Démotrer que l o a h(x)dx = si λ(a) =, h(x)dx = + si λ(a) >. R N R N R 13

14 Supposos que λ(a) =. O pose h k (x) = mi(h(x), k). Comme A est de mesure ulle, o a par défiitio de λ(a), 1 A dx = λ(a) =. Doc h k (x)dx = k 1 A dx =. Par le théorème de la covergece mootoe, h(x)dx = lim k h k (x)dx =. Si maiteat λ(a) >, o a, ecore par le théorème de la covergece mootoe, h(x)dx = lim h k (x)dx = lim kλ(a) = +. k k O déduit immédiatemet que si f vérifie f <, alors l esemble A = {x, f(x) = + } est de mesure ulle. Exercice 4.3. Soit f et g deux foctios cotiues telles que f(x) = g(x) p.p.. Motrer que f et g sot égales partout. Solutio : Comme les boules sot de mesure strictemet positive, o déduit que f(x) = g(x) sur u esemble dese de R N, et, par cotiuité, partout. Exercice 4.4. Soit f ue foctio itégrable sur R. Démotrer que b a f(x)dx R f(x)dx quad a, b +. Gééralisatio : soit A ue suite croissate d esembles tels que A = R N. Démotrer que R N f(x)dx = lim A f(x)dx. Solutio : Appliquer le théorème de covergece domiée de Lebesgue à la suite (f 1 A ). Exercice 4.5. Soit h ue foctio positive itégrable sur R N et A des borélies de R N tels que λ(a ). Démotrer que A h(x)dx quad. Solutio Notos [h M] l esemble {x, h(x) M}. O écrit h(x) h(x)dx + h(x)dx Mλ(A ) + A A [h(x) M] A [h(x)>m] [h(x)>m] h(x)dx. (4.2) Par le théorème de la covergece domiée, o a [h(x)>m] h(x)dx. E effet, h(x) 1 [h(x)>m] ted vers zéro presque partout car λ([h = + ]) = et h(x) est chapeau itégrable. O peut doc fixer pour tout ε >, M tel que [h(x)>m] h(x)dx < ε. O choisit esuite suffisammet grad pour que Mλ(A ) < ε et o déduit alors de (4.2), A h(x)dx < 2ε. Exercice 4.6. Calculer ( 1) +1 =1 à l aide de l itégrale 1 dx 1+x. Idicatio : o posera f (x) = Σ ( 1) k x k pour x [, 1]. O trouvera u chapeau itégrable pour les f et o appliquera le théorème de Lebesgue. Solutio O sait que f (x) Σ ( 1) k x k = 1 1+x pour tout x < 1. Par ailleurs, la série état alterée, f (x) = 1 est chapeau itégrable pour f (x) sur [,1]. Par le théorème de Lebesgue, o déduit que f (x) 1 1+x das L1 (, 1), ce qui implique que 1 f (x)dx xdx = Log2. E itégrat terme à terme, o obtiet Σ 1 = Log2. ( 1) +1 Exercice 4.7. Soit f L 1 (R). Calculer la limite de 1 f(x)dx quad +. 14

15 Solutio : E posat y = x, o a f(x)dx = 1 f(y)dy = R 1 [,+ [ (y)f(y)dy. La foctio f(y) 1 [, [ (y) ted poctuellemet vers zéro quad et f e est chapeau itégrable. Doc par le théorème de Lebesgue, l itégrale cosidérée ted vers zéro. Exercice 4.8. (Déduire le Lemme de Fatou du théorème de covergece mootoe) O rappelle la défiitio de la limite iférieure d ue suite a de réels : lim if a = lim N if N a Cette limite est ue limite croissate et doc elle existe toujours das R {+ } { }. i) Remarquer que si g est ue suite de foctios sommables positives, alors if g if g. ii) Soit f ue suite de foctios à valeurs das R + {+ }. O pose g N = if N f. Motrer que lim N gn = lim N g N. iii) Déduire des questios précédetes le lemme de Fatou : lim if f lim if f. Solutio : i) Si g est ue suite de foctios sommables positives, o a pour tout if g g. E preat l ifimum des deux cotés, o obtiet if g if g. ii) La suite (g N ) N est ue suitecroissate de foctios positives ou ulles. Par le théorème de la covergece mootoe, o a doc lim N gn = lim N g N. iii) E combiat l égalité du ii) et l iégalité du i), o obtiet directemet le lemme de Fatou : lim if f lim if f. Exercice 4.9. cotrexemples Doer des exemples de suites de foctios f L 1 (, 1) telles que f f das L 1 et f (x) e ted pas presque partout vers f(x). f e ted pas vers f das L 1 et f (x) ted vers f(x) presque partout. Solutio : O cosidère la suite de foctios f défiies sur [, 1] par f 1 = 1 sur [,1] f 2 = 1 sur [, 1 2 ], ailleurs f 3 = 1 sur [ 1 2, 1], ailleurs f 4 = 1 sur [, 1 4 ], ailleurs f 5 = 1 sur [ 1 4, 1 2 ], ailleurs f 6 = 1 sur [ 1 2, 3 4 ], ailleurs... La formule géérale est : Si 2 k 1 < 2 k, alors f = 1 sur [ 2k 1, +1 2k 1 ] = [ 1, +1 1]. 2 k 1 2 k 1 2 k 1 2 k 1 Cette suite de foctios est ue bosse roulate dot la largeur ted vers zéro, mais qui balaye costammet l itervalle [, 1]. Elle est positive et so itégrale ted vers zéro. Doc f das L 1. Par cotre, f (x) e ted jamais vers. E effet, si x est u poit de [,1], o peut poser par divisio euclidiee x = N + r, 2 k 1 avec N < 2 k 1 et r < 1. Posos = N + 2 k 1, ce qui permet d écrire x sous la forme x = 2k 1 + r. 2 k 1 2 k 1 O voit que f (x) = 1, alors que f +2 (x) = par exemple. Doc f (x) e coverge ulle part! O pose f (x) = si x 1 et f (x) = sio. Alors f (x) ted vers pour tout x ], 1]. Par cotre, f = 1 et doc f e ted pas vers das L 1. Exercice 4.1. Coupes d u esemble mesurable Soit E u sous-esemble de mesure borée de R N. Démotrer que pour tout α 1, E cotiet u sous-esemble de mesure α.λ(e). 15

16 Solutio : O pose x = (x 1,..., x N ) et m(r) = λ({x E, x 1 r}) = 1 {x, x1 r}dx. R N Ue applicatio immédiate du théorème de Lebesgue motre que m est ue foctio cotiue. Toujours par le même théorème, o motre que m(r) quad r et m(r) λ(e) quad r +. (Das tous les cas, o utilise tout boemet la foctio 1 E comme chapeau itégrable). Par le théorème des valeurs itermédiaires appliqué à la foctio m(r), il existe doc pour tout < a < λ(e) u réel r tel que m(r) = a. Exercice Covergece L 1 quad il y a coservatio de la masse (Lemme de Scheffé) Motrer que si ue suite de foctios (w ) L 1 vérifie w, w (x) w(x) presque partout, w L 1 et w w, alors w w das L 1. Idicatio : écrire w w = (w w ) + (w w ) et w w = (w w ) + + (w w ) et appliquer le théorème de Lebesgue. Solutio Comme w, o a (w w ) + w L 1 et doc par le théorème de Lebesgue (w w ) +. O déduit de la relatio (w w ) + (w w ) = w w que (w w ) ted aussi vers zéro et fialemet que la somme des deux mêmes itégrales w w = (w w ) + + (w w ) ted vers zéro. Exercice Critère d itégrabilité sur u boré B de R N O va motrer das cet exercice que f L 1 (B) si et seulemet si ε η, λ(k) η f ε. K i) Motrer que si le critère d itégratio est vérifié, alors f est itégrable. ii) Pour la réciproque, o raisoe par cotradictio et o suppose qu il existe f L 1 (B) telle que le critère d itégratio e soit pas vérifié. Motrer qu il existe alors ε > et ue suite K de sous-esembles de B tels que K f ε et λ(k ) 1 2. O pose J = +1K k. Motrer que J f et coclure. Autre méthode : appliquer directemet le résultat de l exercice 4.5! iii) (facultatif) Adapter le critère d itégrabilité à R N. Solutio O applique le critère d itégratio avec par exemple ε = 1. Il existe doc η tel que λ(k) η f 1. Comme B est boré, il peut être recouvert par u ombre fii de boules de mesure iférieure K à η, B 1,..., B k. O a doc B f Σk i=1 B i f k, ce qui prouve que f L 1 (B). Réciproquemet, soit f L 1 (B) et supposos par cotradictio qu il existe ε et ue suite K de sousesembles de B tels que K f ε et λ(k ). Quitte à extraire ue sous-suite, o peut supposer que λ(k ) 1 2. O pose J = k=+1 K k. Doc mes(j ) Σ k= k 2. La suite g des foctios caractéristiques des J est ue suite décroissate de foctios positives dot l itégrale ted vers zéro. Elle coverge doc presque partout vers zéro. Reveat à f, o a J f = B g (x) f(x) dx. Comme g (x) f(x) ted presque partout vers zéro et que f est chapeau itégrable, o coclut que J f, ce qui cotredit le fait que J f ε. Exercice Réciproque du Théorème de Lebesgue O va motrer que si f est ue suite covergete das L 1, alors il existe ue sous-suite qui coverge presque partout et qui a u chapeau itégrable. i) Motrer que si la suite f coverge vers f das L 1, o peut e extraire ue sous-suite telle que f i+1 f i 1 < 2. ii) O pose g = f i+1 f i ; motrer e appliquat le théorème de covergece mootoe que la série Σ g (x) appartiet à L 1 et coverge doc pour presque tout x. E déduire que f i coverge presque partout. iii) Déduire aussi que f i a u chapeau itégrable. iv) Adapter le raisoemet précédet à ue suite f qui est de Cauchy das L 1 pour motrer que L 1 est u espace complet. Solutio : i)si f f das L 1, alors i, f i f 1 < 2 1. Doc f i+1 f i 1 < < 2. 16

17 ii) O a Σ g 1 Σ2 = 1. O pose h(x) = Σ g (x). Cette série est positive et coverge partout (évetuellemet vers l ifii). Par le théorème de covergece mootoe, h(x)dx = Σ g (x) dx = Σ g 1 1. Doc h(x) L 1 et o déduit que la série de réels Σ g (x) est covergete pour presque tout x. Il est doc de même pour la série Σ g (x). Cette derière série a h(x) pour chapeau itégrable. Par le théorème de Lebesgue, elle est doc covergete das L 1. Comme f i+1 = f i1 + Σ 1 g, o e déduit que (f i ) coverge das L 1. iii) f i1 + h(x) est u chapeau itégrable pour la suite (f i ). iv) Adaptatio à la démostratio de complétude de L 1 : Si f est ue suite de Cauchy das L 1, o peut défiir g comme précédemmet et appliquer exactemet le même raisoemet pour prouver que la série Σ g (x) coverge pour presque tout x et a doc ue limite poctuelle f(x). O déduit alors du théorème de Lebesgue que (f i ) coverge vers f das L 1. Il est alors immédiat (iégalité triagulaire) que toute la suite (f ) coverge vers f. Exercice Calculer la dérivée à droite e zéro de la foctio t 1 (g(x) + t 2 ) 1 2 dx = ϕ(t), où g vérifie g 1. Idicatio : pour évaluer la limite du rapport ϕ(t) ϕ() t, peser à utiliser le théorème de Lebesgue. Solutio O a ϕ(t) ϕ() t = 1 t t f(x)2 + t 2 + f 2 (x) dx = k t (x)dx. O voit que k t (x) = 1 si f(x) = et k t (x) quad t si f(x). Doc k t (x) 1 {f(x)=}, la foctio caractéristique de l esemble des poits où f(x) s aule. Ceci ous doe la limite poctuelle. Cherchos u chapeau itégrable. O voit immédiatemet que k t (x) 1. Doc, par le théorème de Lebesgue, k t 1 {f(x)=} quad t das L 1 (, 1). D où ϕ ( + ) = 1 {f(x)=} = λ({x, f(x) = }). Exercice Calculer lim + Γ, où Γ = (1 x ) e x 2 dx. Solutio Notos 1 [,] la foctio caractéristique de [, ], qui vaut 1 si x [, ] et ailleurs. Alors Γ = + (1 x ) e x 2 1[,] (x)dx. O calcule la limite poctuelle de l itégrad : Comme (1 x ) = e log(1 x ) e x quad +, o voit que l itégrad ted vers e x 2. Reste à trouver u chapeau itégrable. Si x, log(1 x ) x 2. Doc (1 x ) e x 2 1 [,] (x) e x 2 pour tout x. O coclut par le théorème de Lebesgue que Γ + e x 2 dx = 2. Exercice O pose, pour x >, Γ(x) = e t t x 1 dt. Démotrer que Γ est de classe C sur ], + [. Démotrer que Γ(x) + quad x. Pour la deuxième questio, peser à utiliser le lemme de covergece mootoe! Solutio O pose f(t, x) = e t t x 1 = e t+(x 1)Logt. Fixos < α < M. O a, pour (t, x) ], + ] ]α, M], f x (t, x) = e t (log t) t x 1 h (t), où h (t) = e t (log t) t α 1 si < t 1 et h (t) = e t (log t) t M 1 si t > 1. Les foctios h (t) état sommables sur ], ], o voit (pour = ) que Γ est bie défiie, puis qu o peut appliquer successivemet à tous ordres le théorème de dérivatio sous le sige somme à l itégrale défiissat Γ(x). O obtiet, pour tout α < x < M, Γ (t, x) = x e t (log t) t x 1 dt. 17

18 Comme α est arbitrairemet petit et M arbitrairemet grad, o coclut que Γ(x) est C sur ], + [. Quad x, le théorème de covergece mootoe ous dit que Γ(x) 1 e t t x 1 dt 1 e t t dt = +. Remarque : o peut aussi motrer que Γ(z) est holomorphe sur le demi-pla Re(z) >, c est plus rapide. Exercice Soit f ue foctio sommable. Démotrer que lim α + αλ({x, f(x) α}) =. O a Solutio α dx f(x) dx = { f(x) α} { f(x) α} χ { f(x) α} (x) f(x) dx. O remarque que 1 { f(x) α} f(x) quad α +, presque partout, et que 1 { f(x) α} f(x) f(x) qui est doc chapeau itégrable. Par le théorème de Lebesgue, o a doc f(x) dx { f(x) α} Exercice Si f L 1 (R), motrer que f(x) = Σ Q f(x+) L 1 ([, 1]) et que [,1] f(x)dx = R f(x)dx. Solutio Par le théorème de la covergece mootoe, o a Σ Z f(x + ) = Σ Z f(x + ) dx = Σ Z f(x) dx = R f(x) dx. La série Σ Z f(x + ) coverge doc pour presque tout x et il e de même pour la série Σ Z f(x + ). Celle-ci a Σ Z f(x + ) comme chapeau itégrable. Par le théorème de Lebesgue, elle est doc covergete das L 1 et obtiet la formule demadée. Exercice U cotre-exemple à méditer au théorème de dérivatio sous le sige somme. Soit φ ue foctio cotiue sur [, 1]. O cosidère, das [, 1] [, 1] la foctio f défiie par f(x, λ) = φ(x) si x λ et f(x, λ) = sio. O pose F (λ) = 1 f(x, λ)dx. Pour chaque λ, la dérivée partielle existe sauf e u poit, et elle est majorée par ue foctio sommable fixe : la foctio. Détermier la dérivée de F. Solutio O a F (λ) = 1 f(x, λ)dx = λ φ(x)dx. Doc F (λ) = φ(λ). O voit que la coclusio du théorème de dérivatio sous le sige somme est fausse. E effet, l hypothèse b) est ivalidée : f λ (x, λ) existe pas e tout poit de A I = [, 1] [, 1], mais seulemet e presque tout poit. Exercice 4.2. (Iégalité de Hardy, Chambert-Loir A., Exercices d aalyse pour l agrégatio) Soit p u réel strictemet supérieur à 1. 1) Soit f L p (R + ). O pose F (x) = 1 x f(t)dt. Le but de la questio est de motrer que F est das x L p (R + ) et que : ( ) p F (x) p dx p f p (x) dx p 1 18

19 a) Etablir le résultat lorsque f est cotiue positive. b) E déduire le résultat lorsque f est cotiue et de sige quelcoque. c) Traiter le cas gééral. 2) Motrer que cette costate est optimale (id. : o pourra utiliser des foctios puissaces). Solutio 1) a) f état cotiue, F est cotiue (y compris e, le vérifier) et dérivable sur (, + ) avec (xf ) = F + xf = f. E écrivat que F p (x) = F p 1 (x)f(x) xf p 1 (x)f (x) et e effectuat ue itégratio par parties, o obtiet T F p (x)dx = T p 1 F p (T ) + ( p ) T p 1 F p 1 (x)f(x)dx (o vérifiera qu il y a pas de problème e e preat l itégrale etre ε et T et e faisat tedre ε vers ). Or T p 1 F p (T ) car f est supposée positive. E appliquat l iégalité de Hölder das la deuxième itégrale, o a ( ) p T p T F p (x)dx f p (x)dx p 1 b) O gééralise l iégalité précédete au cas où f est de sige quelcoque e remarquat qu alors x F (x) G(x) = x 1 f(t) dt et l iégalité précédete est valable avec le couple ( f, G). O e déduit facilemet l iégalité pour (f, F ). c) O viet de motrer que l applicatio T : f C F L p était liéaire cotiue avec ue orme iferieure à p/(p 1). Puisque C est dese das L p, o a que pour tout f L p, il existe ue suite (f ) de foctios cotiues tedat e orme L p vers f. Soit F = T (f ) : (F ) est ue suite de Cauchy das L p doc elle coverge vers ue certaie foctio G. Par la réciproque du théorème de Lebesgue, de la suite f o peut extraire ue sous-suite qui coverge simplemet (et das L p ) vers f. O e déduit facilemet que F (x) = x 1 x f(t)dt = G(x) p.p. Doc F est das Lp et vérifie l iégalité de Hardy. 2) Facile. Exercice (Chambert-Loir A., Exercices d aalyse pour l agrégatio) Soit a >. Calculer ( ) 1/a lim 1 xa dx (id. : o pourra utiliser le théorème de covergece mootoe) Solutio Soit u >. O cosidère la foctio g u (t) = t log(1 u/t) pour t > u. o a g u(t) = log(1 u/t) + u/(t u) et g u(t) = u 2 /[t(t u) 2 ] et doc g u positive car g u(+ ) =. Doc g u (t) est ue foctio croissate de t > u et t (u, + ) (1 u/t) t aussi. Il e reste alors plus qu à appliquer le théorème de covergece mootoe et la limite cherchée est exp( x a )dx = a 1 Γ(a 1 ). 19

20 Exercice (Chambert-Loir A., Exercices d aalyse pour l agrégatio) 1) Soit γ la costate d Euler. Motrer que γ = 1 ( 1 x 1 ) dx E(x) où E(x) désige la partie etière de x. E déduire que γ >. 2) Motrer que γ = e s log(s)ds. Solutio 1) Trivial. 2) O a k (1 s/k) k log(s)ds = 1 (1 s/k) k log(s)ds + k 1 (1 s/k) k log(s)ds Quad k ted vers +, la première itégrale ted grâce au théorème de covergece domiée vers 1 e s log(s)ds et la deuxième, grâce au théorème de covergece mootoe (voir exercice précédet), vers e s log(s)ds. 1 O est doc rameé à l étude de k (1 s/k)k log(s)ds qui après u chagemet de variables doe k 1 (1 u) k log(u)du k k + 1 log k = 1 kv k log(1 v)dv Or log(1 v) = v j j=1 d où par le théorème de covergece mootoe j 1 v k log(1 v)dv = k ( k ) k + 1 O e déduit le résultat. k k + 1 log k Exercice (J. Dieudoé, Calcul ifiitésimal) Pour z >, p, q >, o défiit les foctios Γ(z) = Motrer que B(p, q) = Γ(p)Γ(q) Γ(p + q) t z 1 e t dt, B(p, q) = 1 t p 1 (1 t) q 1 dt Exercice Rappels : u esemble égligeable de R N est u esemble coteu das u borélie de R N de mesure ulle. O ajoute à la tribu des borélies les esembles égligeables. O obtiet aisi la tribu de Lebesgue, otée L. 1) U esemble est Lebesgue mesurable s il diffère d u borélie par u esemble de mesure ulle. 2) O dira qu ue foctio est Lebesgue-mesurable si elle est mesurable de (R N, L) das R, B où B est la tribu de Borel. Ue foctio est Lebesgue-mesurable si et seulemet si elle est presque partout égale à ue foctio boréliee. 2