Sommes de signaux : Décomposition de Fourier Spectre ondes stationnaires et résonance

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1 Sommes de sigaux : Décompositio de Fourier Spectre odes statioaires et résoace Das le cours précédet, o a étudié la propagatio des odes moochromatiques mais celles-ci e peuvet pas porter d iformatio ; Pour cela, il faut réaliser ue modulatio, ce qui s opère e superposat plusieurs odes ; o est doc motivé pour sythétiser et aalyser des superpositios d odes. outil pour ce faire est la formule des séries de Fourier qui établit la décompositio d ue ode périodique e la somme de sa fodametale et des ses harmoiques, les oscilloscopes et autres cartes d acquisitio calculet le spectre d u sigal par le calcul d ue FF après umérisatio. aalyse de la somme de deux sigaux de fréqueces voisies qui doe lieu à u spectre costitué de deux pics proches peut être meée das le domaie temporel grâce à ue trasformatio trigoométrique de somme e produit ; o costate ue modulatio de la fréquece moyee par la fréquece différece sur appelée battemets. O evisage aussi la somme de deux sigaux de même fréquece ; la représetatio de Fresel permet de motrer qu o a u sigal siusoïdal et de calculer so amplitude e foctio des amplitudes et du déphasage des deux odes sommées. - étude des odes dites statioaires et des phéomèes de résoace associés sot à la base du foctioemet des istrumets de musique ous allos les étudier O étudie pour cela la somme d ue OPPH droite et d ue OPPH gauche sur le même axe qui doe le phéomèe d ode statioaire produit d ue foctio d espace par ue foctio du temps.

2 e poit d abscisse x= où l ode se réfléchit pour géérer ue ode statioaire peut être u œud, c est le cas pour ue ode sur ue corde ; si o itroduit ue autre cotraite e attachat par exemple la corde e x= o voit se développer le phéomèe de résoace. - Efi o somme deux OPPH issues de deux récepteurs sychroes pour examier das u pla le phéomèe d iterférece qui permettra e secode aée d expliquer l irisatio des bulles ou de développer des techiques de mesures ou d aalyse dot la sesibilité est celle de la logueur d ode de la lumière. - le phéomèe de diffractio par ue pupille est esuite décrit phéoméologiquemet. I) Décompositio de Fourier ) Formules Soit u sigal s(t) physiquemet réalisable et périodique de période = / est développable, de faço uique, e série de Fourier :. A toute date t où le sigal est cotiu, il A s t A t B t ( ) cos( ) si( ) C est à dire qu il s exprime comme la somme de foctios siusoïdales dot la fréquece est u multiple etier de la fréquece du sigal. a composate siusoïdale de même fréquece que le sigal s appelle fodametale, les autres sot les harmoiques. a suite du doée à titre de documetatio est o exigible reteir seulemet la forme des sigaux triagulaires et créeaux. Je doe les formules pour ceux qui voudraiet avoir ue idée sur les formules utilisées quad o appuie sur le bouto FF mais o a pas à les coaitre a priori. A oter quad même que le résultat du théorème de Parseval est à coaitre. A ue date de discotiuité, la série de Fourier a pour somme ( s( t ) s( t )) les coefficiets de la série de Fourier sot doés par les formules remarque : le est ecessaire pour que la projectio de s(t) = cos(t) doe A t a valeur moyee du sigal est <s(t)>= A t s() t dt t A s( t) cos( ) t t dt t B s( t) si( ) t t dt t état ue date arbitraire e développemet e série de Fourier d'u sigal périodique s(t) peut etre mis sous la forme s(t)=c C cos( t ) Avec C A amplitude de la composate cotiue C A ² B ² amplitude de l'harmoique de rag phase à l'origie des temps telle que ta la série de Fourier d'ue foctio impaire est ue série de sius (les sius sot impairs). a série de Fourier d'ue foctio paire est ue série de cosius B A

3 Exemple du sigal créeau s(t) sigal carré impair st () 4A p si (p ) (p ) t A t séries de Fourier décompositio d'u créeau impair positif à t= Sigal de valeur moyee ulle se décomposat sur la base des foctios impaires sius S Bk E si( k t) dt E si( k St) dt B S S S - 4 E S S E cos( k ) cos( k ) k k S B S 4E + S S cos( k St) E k St dt E S S S 4 4 = si( ) k 4E 4E s t t t s t e e 3 3 j St j3 St ( ) (si S si 3 S...) ( ) Im(...) Sigal carré pair. O pred le sigal précédet et o l avace d u quart de période quadrature avace si ( p ) t si ( p ) t si ( p ) t ( p ) 4A 4 4A 4 4A sp ( t) s( t ) 4 ( p ) ( p ) ( p ) p p p p p cos ( p ) t cos(3 t) cos(5 t) cos(7 t) 4A 4A cos( t)... ( p ) s p (t) A t

4 Exemple du sigal triagulaire Sigal triagulaire pair s(t) A t st () 8A cos (p ) (p ) p t décompositio du triagle pair miimum à l'origie Sigal de valeur moyee ulle se décomposat sur la base des foctios paires cosius 4t 4t s(, ) E te E[ ] s(, ) 3E te E[3 ] A k S S S 4 4t s( t)cos( k St) dt s( t)cos( k St) dt = E[ ]cos( k t) dt S S S S - S S S A S k 4t 4 [ ]cos( k t) dt cos( k t) dt t cos( k t) dt 4E S S S S S k t itégratio par partie de la secode itégrale f=t g'= cos( k t) g si( )( ) k S 4 S S S t k t k t [ si( k t)( ] si si( )( ) dt k) k k S le premier et le deuxième terme sot uls et o a / ² Ak k k t k t si( ) dt cos( ) 4² E k Ak k²4 ² 8E [cos( k ) ] si k est pair - si k est impair A A 4² E ² ² U sigal triagulaire ressemble plus à sa fodametale qu u sigal créeau : ses harmoiques sot moidres U sigal créeau possède des discotiuités ses harmoiques sot importates elles décroisset letemet Voir aussi le phéomèe de Gibbs pour la sythèse harmoique e pytho O pred le sigal précédet et o le retarde d u quart de période o obtiet u sigal triagulaire impair cos ( p ) ( t ) cos ( p ) ( t ) si ( p ) ( t) 8A 4 8A 4 8A p si( t) si( t ) 4 ( p ) ( p ) ( p ) p p p s(t) A t

5 héorème de Parseval la valeur efficace du sigal s(t) est défiie par : t t S s²( t) s²( t) dt propriété : S C C car <cos²(t)>= Si <s(t)> o défiit ecore S le facteur de forme F= <s(t)> C C C A Sod et le taux d'odulatio C <s(t)> C A B Cas des sigaux o périodiques ; la otio de série de Fourier est gééralisée par la otio de trasformée de Fourier, le spectre est alors cotiu la somme discrète est remplacée par ue somme cotiue (ue itégrale) ˆ( ) ( )( ) ( ) i t f F f f t e dt ˆ ( ) ( )( ) ˆ i t f t FI f t f ( t) e d ) FF expérimetale Fast Fourier rasform a plupart des oscilloscopes umériques et des logiciels de traitemet des doées expérimetales sot pourvues d u module d aalyse de Fourier permettat d obteir le spectre d u sigal physique. C est l algorithme de Cooley-uckey qui est mis e œuvre. Si le sigal est o périodique il faudra l échatilloer sur ue logue durée avec u pas suffisammet petit pour repérer les composates hautes fréqueces de so spectre Si le sigal est périodique il faudra l échatilloer sur u ombre etier de périodes pour que l algorithme de FF foctioe bie Feêtrage es logiciels proposet des feêtres de umérisatio a feêtre rectagulaire équivaut u sur l itervalle d échatilloage est équivalete à pas de feêtre a feêtre de Haig doe ue boe résolutio sur la positio des pics pas sur leur amplitude a feêtre flattop a les qualités opposées

6 3) Sythèse harmoique Pytho import umpy as p import matplotlib.pyplot as plt =. omega=*p.pi/ datfi,umpoits=.,5 t=p.lispace(,datfi,umpoits) # il y aura umpoits poits de à iclus prit(t) prit(t[])# c'est prit(t[umpoits-])#c'est prit(le(t)) tableau=[] for i i rage(,umpoits): tableau.apped() prit (tableau) prit (le(tableau)) = for i i rage (,): tableau=tableau+(/(*i+))*p.si((*i+)*omega*t) plt.plot(t,tableau) plt.show() 4) Expériece : doe moi le a 44Hz, o le fera e P ogiciel Audacity puis FF avec Régressi

7 II) Superpositio de sigaux ) Somme de deux sigaux siusoïdaux de même fréquece Diagramme de Fresel Comme le motre le diagramme il s agit d u sigal siusoïdal de même fréquece O rappelle que das le diagramme de Fresel la pulsatio du sigal apparaît comme ue vitesse agulaire e sigal est la projectio du vecteur tourat sur l axe des x ωt+ A cos(ωt+ ) ωt+ A cos(ωt+ ) A cos(ωt+ ) A cos( t ) A cos( t ) A cos( t)cos( ) A si( t)si( ) A cos( t)cos( ) A si( t)si( ) A cos( ) A cos( ) cos( t) A si( ) A si( ) si( t) A cos( ) A cos( ) A si( ) A si( ) A ² cos ²( ) A ² cos ²( ) A A cos( )cos( ) A ²si ²( ) A ²si ²( ) A A si( )si( ) A ² A ² A A cos( )cos( ) si( )si( ) A ² A ² A A cos( ) A cos( t ) A cos( t ) A ² A ² A A cos( ) A cos( ) A cos( ) A si( ) A si( ) o pose cos = si = A ² A ² A A cos( ) A ² A ² A A cos( ) A cos( t ) A cos( t ) A ² A ² A A cos( ) cos( t ) la orme A= A ² A ² A A cos( ) sera vue e mathématique comme la relatio d'al Khachi Acos( ) A cos( ) A si( ) A si( ) cos( t) si( t) A ² A ² A A cos( ) A ² A ² A A cos( ) a différece des phases apparait de faço évidete comme l agle etre les deux vecteurs tourats du diagramme de Fresel. Retrouver ce résultat e écrivat que la orme de la somme des deux vecteurs est V V V V. V V V. V V. V V. V V V V. V cos( ). a formule du produit scalaire avec l agle a été vue das le cours de première

8 ) Somme de deux sigaux de fréqueces différetes Expériece de cours avec des hauts parleurs : pour des fréqueces proches o eted les battemets et o les visualise au picoscope 3) Somme avec Pytho ( + )/ a) sigaux de fréqueces proches battemets import umpy as p import matplotlib.pyplot as plt =. omega=*p.pi/ datfi,umpoits=5., t=p.lispace(,datfi,umpoits) plt.plot(t,p.cos(omega*t)+p.cos(omega*.*t)) plt.show() ' ' ' ' ' ' s( t) s cos( t) s cos( ' t) s cos t cos ' t U battemet e correspod qu à ue demi-période du cosius de fréquece faible b) sigaux de fréqueces loitaies import umpy as p import matplotlib.pyplot as plt =. omega=*p.pi/ datfi,umpoits=5, t=p.lispace(,datfi,umpoits) plt.plot(t,p.cos(omega*t)+p.cos(omega**t)) plt.show() Remarque : la trasformatio trigoométrique reste valable mais elle a pas d itérêt

9 c) Remarque que l o peut sauter e première lecture o commuiquée e cours : - Si les deux odes ot des fréqueces das u rapport ratioel le sigal est périodique - Si les deux odes ot des fréqueces icommesurables le sigal est quasipériodique Coditio pour que la somme de deux foctios périodiques soit périodique f ( t) cos( t) cos( t) f ( t) cos( t) cos( t) coditio pour que f ( t) f ( t) cos( t) cos( t) soit périodique de pulsatio t t cos( ) cos( ) t t cos( ) cos( ) p q soit le rapport des deux périodes est ratioel p q quad ce 'est pas le cas la foctio somme 'est pas périodique et les deux périodes sot dites icommesurables

10 4) Superpositio de deux odes progressives de fréqueces différetes et de vecteurs d ode différets. Passer e première lecture o commuiquée s( t) s cos( t kx) s cos( ' t k ' x) s cos( t kx) s cos( ' t k ' x) v g ' ' k k ' ' k k ' k k ' k k ' ' scos t x cos t x scos t x cos t x k k' k k' ' k k' ' k k' s cos t x cos t x k k' k k' ' ' d moy v k k ' dk k k' kmoy A u istat doé o obtiet ue figure dite de battemets d = / [(k- k )/] m = / [(k+ k )/] ode moyee à l itérieur de l eveloppe se déplace à la vitesse de phase v, tadis que l eveloppe se déplace à la vitesse de groupe. iformatio se propage à la vitesse de groupe Aimate d ue ode progressive OPPH ravail réaliser l Aimate de la somme de deux OPPH das deux cas avec omega =. * omega das les cas Avec omega=ck et omega =ck das le premier cas ( pas de dispersio) eveloppe se déplace à la même vitesse que l ode puis avec omega=ck et omega =.5ck das le secod cas ( dispersio) eveloppe et l ode e se déplacet pas à la même vitesse racer avec Pytho les aimatios ( o voit ici que l eveloppe et l ode e se déplacet pas à la même vitesse e secode aée ce phéomèe sera relié à la otio de vitesse de groupe (vitesse de l eveloppe et de l éergie) et à la vitesse de phase

11 5) Somme de deux sigaux de même fréquece de même amplitude de directio de propagatio opposées, odes statioaires a cos(kx- t)+a cos(kx+ t) =a cos(kx) cos( t) somme a cos(kx- t)- a cos(kx+ t) =-a si(kx) si( t) différece O obtiet ue ode dite statioaire qui est le produit d ue foctio spatiale par ue foctio temporelle O l a costruit comme la somme d ue ode progressive droite et d ue ode progressive gauche (ode réfléchie la réflexio peut se faire avec u coefficiet r = ou bie r=-) Elle motre des miimums de vibratios ici uls les œuds Et des maximums les vetres / Etre les œuds successifs se développet les fuseaux ; ue ode statioaire e trasporte pas d éergie Positios des œuds et des vetres preos : a si(kx) si( t) comme descriptio de l ode statioaire Nœuds e kx =, x =x + -x = /k= / etre deux œuds successifs preos : a cos(kx) si( t) comme descriptio de l ode statioaire la positio des oeuds serait alors décrite par kx = /+, x = /k= / etre deux œuds successifs même résultat heureusemet Positio des vetres : kx = + /=(+/) o dit abusivemet demi etier x = /k= / etre deux vetres successifs même résultat ecore

12 aimate de cette courbe et comparaiso avec le aimate d ue ode progressive Foctioe sous IDE voir from pylab import * from matplotlib import aimatio k = *pi w = *pi dt =. xmi = xmax = 3 bx = x = lispace(xmi, xmax, bx) fig = figure() lie, = plot([],[]) xlim(xmi, xmax) ylim(-,) # foctio à défiir quad blit=rue # crée l'arrière de l'aimatio qui sera préset sur chaque image def iit(): lie.set_data([],[]) retur lie, def aimate(i): t = i * dt y = cos(k*x - w*t) lie.set_data(x, y) retur lie, ai = aimatio.fucaimatio(fig, aimate, iit_fuc=iit, frames=5, blit=rue, iterval=, repeat=false) show() a foctio FucAimatio() dispose d u argumet avec ue étiquette appelée iterval, qui est le temps e millisecodes etre deux appels de la foctio de mise à jour, ici aimate().

13 Aimatio sas le module aimatio Nous présetos ici la méthode qui était utilisée avat le développemet du module aimatio. from pylab import * io() # mode iteractio o x = lispace(, 3, ) k = *pi w = *pi dt =. # courbe iitiale t = y = cos(k*x - w*t) lie, = plot(x, y) # ue referece a la courbe est mise das lie # courbe e mouvemet for i i rage(5): t = t + dt y = cos(k*x - w*t) lie.set_ydata(y) # modifie les valeurs de y draw() # force le dessi de la figure ioff() # mode iteractio off show()

14 Aimatio sas effacemet from pylab import * io() # mode iteractio o x = lispace(, 3, ) k = *pi w = *pi dt =. # courbe iitiale t = y = cos(k*x - w*t) plot(x, y) # courbes supplemetaires for i i rage(5): t = t + dt y = cos(k*x - w*t) plot(x, y) draw() # force le dessi de la figure ioff() # mode iteractio off show()

15 aimate d ue ode statioaire from pylab import * from matplotlib import aimatio k = *pi w = *pi dt =. xmi = xmax = 3 bx = x = lispace(xmi, xmax, bx) fig = figure() lie, = plot([],[]) xlim(xmi, xmax) ylim(-,) # foctio à défiir quad blit=rue # crée l'arrière de l'aimatio qui sera préset sur chaque image def iit(): lie.set_data([],[]) retur lie, def aimate(i): t = i * dt y = cos(k*x) *cos(w*t) lie.set_data(x, y) retur lie, ai = aimatio.fucaimatio(fig, aimate, iit_fuc=iit, frames=5, blit=rue, iterval=, repeat=false) show()

16 6) Résoace ou modes propres corde de Melde, expériece de cours expériece de cours : Bie que l éergie soit apportée par u vibreur e x= l amplitude de vibratio de celui ci état petite devat l amplitude des fuseaux o cosidèrera que à la positio x= o a u œud, o e a u autre au poit d attache x= aussi bie sur. O costate l apparitio de résoaces quatifiées. pour que si(kx)si( t) soit tel que si(k)= cotraite à l extrémité il faut que k= aisi comme =ck c c c que l'o otera c repreos k= que l'o ote k = pour qu'il y ait résoace es modes de vibratio de la corde sot quatifiés ( multiples etiers de pulsatios e devraiet pas doer pas lieu à des odes statioaires c ) ce sot les seuls possibles. les autres E fait o a pas teu compte des frottemets de la corde sur elle même et de la corde das l air si bie que e fait la corde vibre quelque soit la fréquece mais avec le ombre de fuseaux le plus proche possible de ce qui correspodrait à c la relatio avec ue amplitude d autat plus grade que cette coditio est proche d être réalisée, c est ce que l o appelle u phéomèe de résoace. ( O a déjà costaté qu u émetteur US ou bie u HP résoet à ue fréquece bie détermiée chacu, la corde de Melde possède elle plusieurs fréqueces de résoace) Bie que cela e correspode pas au dispositif expérimetal de la corde de Melde, o va evisager ici deux cas complémetaires de résoace : Premier cas ; Cas ou e x= u œud est imposé et e x= u vetre est imposé si(kx)si( t) doit être tel que si(k)= soit k 4 4 c c o a ue quatificatio affie c c 4 4 Secod cas ; Cas ou e x= et x= des vetres sot imposés expressio si(kx)si( t) e coviet pas il faut predre cos(kx) cos( t) o a alors bie u vetre e x= Pour que l o ait aussi u vetre e x= il faut que cos(k)= soit k c c c o a ue quatificatio liéaire idetique à celle qui apparaissait avec deux vetres imposés Stroboscopie

17 Si o stroboscope lumière pulsée périodique la corde qui vibre à la fréquece f apparaitra immobile pour toutes les fréqueces multiples de f, o peut aisi mesurer sas cotact la fréquece de vibratio c est la fréquece la plus haute qui laisse la corde immobile et simple Corde de logueur pour que ça résoe avec N fuseaux il faut que : c c t N t N t N N N f f 4 f N 4 f où N est u ombre etier seul fuseau N= si c c t f 4 f sas stroboscope à l œil u o voit si o stroboscope à f ou f / ou f /3 ou f /4 o voit vibreur f est doc la plus haute fréquece à laquelle o voit u seul fil immobile si o stroboscope à f o voit : vibreur si o stroboscope à 4f o voit vibreur fuseaux N= sas stroboscope soit pour f =f et t =t soit pour f=f et t = t /4 ( difficile à motrer) o aura t 4 f si o stroboscope à f ou f/ ou f/3 ou f/4 o voit si o stroboscope à f o voit 3 fuseaux N=3 vibreur soit pour f =3f et t =t soit pour f=f et t = t /9 o aura t 3 4 f t Remarque : es vetres e serot importats que lorsqu il y aura résoace toutefois e dehors de ces N 4 f coditios o observe quad même ue vibratio de la corde dot les vetres sot mois marqués par exemple vibreur

18 III) Iterférece à deux odes, cuve à ode et frages de Youg. Superpositio de deux odes progressives circulaires e tout poit du pla M r S r S O ajoute deux sigaux sychroes issus des sources S et S (de même pulsatio) dot les phases sot bie stables (pas de saut de phase itempestifs les sigaux sot bie décrits par : r r s ( t) Acos( t ) s ( t) Acos( t ) o dit que les sources sot cohéretes) Et o s itéresse à la moyee temporelle du carré du sigal résultat c est ce que l o appelle l itesité I s²( t) r r s ( t) Acos( t ) s ( t) Acos( t ) p q p q r r cos( p) cos( q) cos( )cos( ) s ( t) s ( t) Acos( )cos( t ) avec r r sur cette formule déjà o voit que les oscillatios de la pressio acoustique s'aulet e les poits tels que r r s( t) s( t) 4 A² cos ²( )cos ²( t ) cos I s( t) s( t) 4 A² cos ²( ) A² cos ²( ) A² A² cos I A² cos avec es lieux d itesité costate sot les lieux tels que = r -r soit costat ce sot des braches d hyperboles orsque / = (+ ½ ) ( o dit est demi etier) o a des iterféreces destructives orsque / = o a des iterféreces costructives

19 Plutôt que de faire le calcul ci-dessus pour sommer les sigaux s(t) et s(t) o peut utiliser la costructio des vecteurs de Fresel V (t) et V (t) dot s (t) et s (t) sot les projetés horizotaux pour laquelle o a vu que l amplitude est : V V V V. V V V. V V. V V. V V V V. V cos( ). Ici doc V V A² A² A² cos ( r r ). A cos. cos a cos ² a si ² a cos ² a cos ² a V V A cos ². A cos o a bie iterférece costructive quad = cos a et destructive quad = ( + ) Remarque si les deux sources ot pas la même pulsatio, alors les iterféreces e sot pas possible vous étudierez cela l a prochai.

20 Source pytho représete l amplitude du sigal à la date t import umpy as p import matplotlib.pylab as plt x,y,x,y=.,5.,.,-8.#coordoées des sources f,c,t=.,.,. A,A=.,. #creatio d'ue grille X,Y=p.arage(-,.,.),p.arage(-,.,.) X,Y=p.meshgrid(X,Y) SM,SM=p.sqrt((X-x)**+(Y-y)**),p.sqrt((X-x)**+(Y-y)**) s=a*p.cos(*p.pi*f*(t-sm/c))+a*p.cos(*p.pi*f*(t-sm/c)) plt.pcolormesh(x,y,s,cmap=plt.get_cmap('gray')) plt.show()

21 cas où les iterféreces remplisset l espace 3D Iterféreces o localisées appes d égales itesité produites par deux sources sychroes poctuelles cohéretes S et S, il s agit des poits M de l espace tels que (S M)-(S M) = cst, ce sot des hyperboloïdes. - l observatio sur u écra perpediculaire à la directio S S doe des aeaux - l observatio sur u écra parallèle à S S doe des braches d hyperbole si l écra est loitai les frages se cofodet avec leur tagete au voisiage de la directio d observatio de sorte que l o observe des frages rectiliges das u milieu homogèe = cst les poits d ue surface équiphase sot doc tels que r -r = cst r -r = m pour u maximum d éclairemet soit ue frage lumieuse r -r = ( m + ½ ) pour u miimum d éclairemet soit ue frage sombre das l espace ça doe des hyperboloïdes comme le représete la figure ci dessous les deux sources qui sot sur ue lige verticale sot les foyers Das u pla vertical la sectio doe des hyperboles ( si loitai des frages), das u pla horizotal la sectio doe des cercles cocetriques Figures d iterféreces

22 e calcul suivat est pas exigible e première aée il le sera e spé, o doit le voir comme u bo exercice qui permet de démotrer la formule de l iterfrage formule que l o doit utiliser dès la première aée sources poctuelles et écra loitai D >> b,x ( X ) ( S M ) ( S M ) ( X b)² D² ( X b)² D² X b X b X b X b X b X b D ( )² ( )² D ( ) ( ) D ( ) ( ) D D D D D D D X ² b² bx X ² b² bx bx ( ) ( ) D² D² D bx D D I( M ) E( M ) A cos( ( X )) A cos( ) iterfrage I= D b b M R X S R b O H S D Plus simplemet comme le poit M est très éloigé les trois droites SM Om et SM sot quasi// et l agle qu elles fot avec l horizotale est quasi costat o le ote la différece de marche S M S M bsi b or ta X X bx B B D Sas meer le calcul de l itesité o peut savoir que l iterfrage distace etre deux zoes de pressio acoustique D ulle est de b e effet ous écrivios plus haut que les oscillatios de la pressio acoustique s'aulet e les poits tels que Comme bx D o a bie b ( X X ) iterfrage ( X X ) D D b

23 IV) Diffractio à l ifii iterféreces etre sources distribuées cotiumet sur ue pupille Expériece de cours sur la cuve à ode aser diffractio par u trou circulaire ou lumière aturelle diffractio par u voilage trous carrés e réseau orsqu u faisceau d odes parallèles icidete ue pupille (trou) les rayos sélectioés e se propaget pas uiquemet e lige droite comme le décrirait les lois de l optique géométrique, u faisceau diverget est gééré. O retiedra de la diffractio que la dispersio agulaire est de l ordre de avec si où a est le diamètre de la a pupille diffractate. a diffractio est doc d autat plus importate que la pupille est petite. E fait le phéomèe est difficile à décrire mathématiquemet quad deviet comparable à a a Boomer et weeter, la diffractio est optimisée

24 VI) D Exercices aimatio pytho : réaliser u programme Pytho pour faire u dessi aimé (ue aimatio) d ue ode statioaire aalyse : Quel est le spectre e amplitude e phase e fréquece de ces sigaux : s( t) cos(. t) cos(5. t) s( t) cos(. t) c 5si(. t) Il faut trasformer la première expressio e ue somme c est comme ça que le spectre doit être exprimé selo Fourier Pour la deuxième expressio o se ramèe à cos(a-b) = cos a cos b + si a si b Ode statioaire avec coefficiet de réflexio - Vérifier la formule grâce à u formulaire trigo : a cos(kx- t)- a cos(kx+ t) =-a si(kx) si( t) différece

25 Approche documetaire aux d Odes Statioaire ( extrait de wikipedia) o traitée e cours ire le texte suivat et expliquer e quoi le OS et le ROS diffèret. ajouter deux odes progressives droite et gauche d amplitudes différetes OS Rapport d'ode statioaire e rapport d'odes statioaires (ROS) et le taux d'odes statioaires (OS) exprimet la qualité de l'adaptatio d'atee, à ue lige de trasmissio, coaxiale ou bifilaire. Défiitios Das ue lige de trasmissio coexistet ue ode icidete, d'amplitude d'amplitude., et ue ode réfléchie, a superpositio de ces deux odes va produire ue ode résultate dot l'amplitude va varier le log de la lige. O observera des maxima aux edroits où l'ode icidete et l'ode réfléchie produiset des iterféreces costructives. O a doc ; réciproquemet, o observera des miima aux edroits où les deux odes produiset des iterféreces destructives. O a doc. e ROS (e Aglais, SWR ou plus précisémet VSWR) est défii comme état le rapport des extrema : O défiit égalemet le coefficiet de réflexio Γ comme état le rapport des amplitudes (complexes) réfléchie et icidete : Γ est complexe : il tiet compte des différetes phases. Cepedat, o maipule le plus souvet ρ, le module de Γ : O peut réécrire et à l'aide de ρ : D'où ue ouvelle expressio du ROS e foctio de ρ :. ; Cette formule permet de passer du module de Gamma (ρ) au ROS. Das l'utilisatio courate, le OS et le ROS sot erroémet cofodus car ils 'ot pas la même défiitio bie que celles-ci soiet liées mathématiquemet. Cepedat, o peut recotrer e lague fraçaise la défiitio du OS ci-dessous (qui 'a pas d'équivalet e aglais).

26 e taux d'ode statioaire (OS) est quat à lui égal à ρ, ou si l'o veut, l'expressio de ρ comme u pourcetage. Par défiitio, c'est la valeur de l'amplitude de l'ode réfléchie exprimée comme u pourcetage de celle de l'ode icidete. O pourra doc ajouter le suffixe «%». Pour passer directemet du OS au ROS: Puisque ROS = ( + ρ)/( - ρ) et que ρ = OS/, o aura: ROS = ( + OS/)/( - OS/) et après simplificatio, Exemple: Si das u système atee/lige de trasmissio, 35 % de la tesio icidete est réfléchie (doc u OS de 35 %), alors le ROS (ou le SWR ou le VSWR) sera : ROS = ( + 35)/( - 35) =,8 E isolat algébriquemet le terme OS, o obtiedra aussi : Exemple : Si le ROS est de 3,5, alors le OS sera de 55,6 %. O cosidère souvet les puissaces de l'ode icidete et de l'ode réfléchie. O exprime alors le pourcetage de la puissace icidete que l'o retrouve das la puissace réfléchie. Il e faut pas cofodre ce pourcetage de puissace avec le OS, qui est u pourcetage d'amplitude. Comme la puissace est proportioelle au carré de l'amplitude de l'ode, das les deux exemples ci-dessus, o aura : - pour u ROS de,8 o aura u OS de 35 % et ue puissace réfléchie de,5 % de la puissace icidete. - pour u ROS de 3,5 o aura u OS de 55,6 % et ue puissace réfléchie de 3,9 % de la puissace icidete

27 Mesure de la vitesse du so das u tromboe de Koeig e tromboe de Koeig est u dispositif de laboratoire permettat de faire iterférer deux odes soores ayat suivi des chemis différets. e haut parleur, alimeté par u géérateur de basses fréqueces émet u so de fréquece f=5hz. O mesure le sigal à la sortie avec u oscilloscope. E déplaçat la partie mobile o fait varier l amplitude du sigal observé. Elle passe deux fois de suite par ue valeur miimale lorsqu o déplace de d=.5cm mm. Détermier la valeur de la célérité du so das l ai à C, température à laquelle l expériece est faite Corrigé tromboe de Koeig : e micro reçoit deux odes soores e retard de d/c Pour que les iterféreces soiet destructives il faut que le déphasage lié à la différece de marche soit tel que Φ=πδ/λ=π+π soit πd /λ=π+.π.d /λ=+. 4d /λ=+. d = λ/4 +.λ/ Δd = d + - d =λ/ aisi.5. cm =c/ permet d e déduire c

28 Fréqueces propres d u tuyau soore a coloe d air coteue das u istrumet à vet (flûte, clariette ) ou das u tuyau d orgue vibre selo des modes propres correspodat à des coditios aux limites doées. Das ue modélisatio très simple o evisage deux types de coditios ; Si l extrémité du tuyau est ouverte, la surpressio acoustique est ulle à cette extrémité ( car o a la pressio atmosphérique qui s impose) Si l extrémité du tuyau est fermée, l amplitude de la variatio de la surpressio acoustique est maximale à cette extrémité ) O cosidère u tuyau de logueur das lequel la célérité des odes soores est c a) Détermier les fréqueces des modes propres du tuyau lorsque ses deux extrémités sot ouvertes. Représeter schématiquemet la surpressio das le tuyau pour le troisième mode les modes état classés par fréquece croissate b) Même questio si l ue des extrémités du tuyau est ouvert et l autre fermée ) Première applicatio : les grades orgues peuvet produire des otes très graves. Calculer la logueur d ode d u so de fréquece 34 Hz correspodat au Do, e preat la valeur de la célérité du so à C das l air soit c=33m/s. a) Calculer la logueur miimum du tuyau produisat cette ote. b) o perce u trou à la moitié du tuyau que se passe-t-il? 3) Deuxième applicatio : o peut modéliser très grossièremet ue clariette par u tube fermé au iveau de l embouchure et ouvert à l extrémité de l istrumet a) Expliquer pourquoi le so produit par la clariette e comporte que des harmoiques impairs b) istrumet est mui d ue clef de douzième qui ouvre u trou situé à ue distace /3 de l embouchure. orsque ce trou est ouvert la surpressio est ulle e ce poit. Quelles sot das ce cas les logueurs d odes des modes propres du tuyau? Quel est l effet de l ouverture du trou sur la fréquece émise par l istrumet? c) que se passe t-il quad o fait u trou au /3 a le cours doe pour deux œuds c c N * c c c.b le cours doe pour u œud et u vetre ( ) 4 4 c tuyau d orgue AN a ==c/ =.3m c c c Remarque si o perçait ce tuyau d u trou e so cetre o imposerait que s y trouve u œud l harmoique cidessous représetée e serait pas perturbée, par cotre la fodametale ci dessus e pourrait survivre car alors le vetre serait détruit

29 E fait toutes les harmoiques impaires seraiet détruites et tout se passe comme si o avait u tuyau fermé ouvert de logueur /. ouverture du trou a multiplié par deux la fodametale et les harmoiques ( octave) 3 clariette fodametale et harmoiques impaires c c c c fodametale c c 4 ( ) c N 4 4 c c c c 4 3 première harmoique 3 première harmoique Si o ouvre u trou e /3 o sera à /4 de la paroi o a bie u œud de pressio ici cette première harmoique = subsiste par cotre la fodametale = disparait, tout se passe comme si o avait u tube de logueur /3 Si o ouvre u trou e /3 i la fodametale i la première harmoique appréciet par cotre la première harmoique souffre plus que la fodametale car elle devrait posséder u vetre amplitude e /3 alors que la fodametale est à cos( ) cos( ) / amplitude / 3 3 O supprime doc l harmoique

30 VII) Utilisatio d ue série de Fourier spatiale comme solutio du mouvemet d ue corde picée, pour lecture e secode aée seulemet, très difficile De ombreux problèmes (corde vibrate, cavité électromagétique, ASER) coduiset à la résolutio d u problème à ue dimesio spatiale et ue dimesio temporelle, das lequel l icoue est u sigal u(x, t) vérifiat simultaémet plusieurs coditios: des coditios aux limites du domaie. O cosidère ici ue corde (ue cavité à ue dimesio) délimitée par les plas d abscisses x = et x =. O evisage le cas où les coditios aux limites se traduiset par la ullité à chaque istat du sigal sur ces limites u(,t) = u (,t) = () des coditios iitiales. À l istat pris comme origie des temps, o suppose coues les propriétés du sigal, otammet sa valeur sur l itervalle [, ] et celles de sa dérivée temporelle. Pour fixer les idées, ous u proposeros u(x,) = u (x) et ( x,) t () ce qui sigifie qu à l istat iitial, la corde (l ode das la cavité) possède ue forme arbitraire et est immobile. Nous proposos de détermier la solutio géérale de ce problème, e mettat e œuvre l outil de la décompositio série de Fourier.. Quel type de solutios doit-o plutôt evisager: odes progressives, ou odes statioaires? ( base de foctios). Quelles cotraites imposet les coditios aux limites ()? Ecrire alors la forme de la solutio correspodate u (x, t), où est u etier positif o ul > 3. Représeter l allure de u (x, t) à u istat doé pour =, et Costruire à partir des (u (x, t)) ue solutio plus géérale. Iterpréter ce résultat. 5. Quelles simplificatios apporte la relatio () sur les coditios iitiales? 6. Détermier alors exactemet la foctio u (x, t) qui vérifie les deux coditios iitiales (). O pourra faire iterveir ue foctio u (x) -périodique qui coïcide avec l allure de la corde sur [O, ], et qui soit impaire. 7. Pour ue guitare par exemple, la forme iitiale de la corde a-t-elle ue ifluece sur le so etedu e faisat vibrer la corde? Correctio :. Quel type de solutio à l équatio de d Alembert doit-o plutôt evisager: odes progressives, ou odes statioaires? Ode statioaire : u( x, t) cos( t )si( kx ) avec =ck