CONSERVATOIRE NATIONAL DES ARTS ET METIERS

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1 ONSEVAOIE NAIONAL DES AS E MEIES ELEONIQUE ANALOGIQUE PH / ELE 4 / DU GEII ere année Dder LE UYE / Perre POVEN Janer

2 ABLE DES MAIEES APPELS D ELEOINEIQUE...5. Introducton Matéraux en électrcté ourant électrque, hamp électrque et dfférence de potentel Los fondamentales Lo des malles Lo des nœuds Générateurs déaux Générateur de tenson déal Générateur de courant déal... 8 LES DIPOLES PASSIFS ELEMENAIES...9. Introducton aractérstque d un dpole Les dpôles passfs élémentares..... ésstance..... Bobne d nducton..... ondensateur....4 Los générales des dpôles passfs....5 Assocaton de dpôles de même nature....6 égme snusoïdal....7 Dagrammes de Fresnel et los des dpôles en régme snusoïdal Notaton complexe et mpédance complexe... 7 PUISSANE E ENEGIE.... Défntons.... as partculers Energe consommée dans une résstance Energe dans une bobne Energe dans un condensateur Pussance acte, réacte, apparente et complexe dans un dpole quelconque Force électromotrce et force contre électromotrce Générateur et force électromotrce écepteur et force contre électromotrce... 4 MEHODES D ANALYSE DES ESEAUX Introducton Méthode des courants des malles héorème de Mllman héorème de superposton héorème de héenn et de Norton Grandeurs caractérstques d un dpôle héorème de héenn héorème de Norton elaton entre les deux théorèmes héorème de Kennely FAEU DE QUALIE E IUI ESONNAN...4

3 5. Oscllatons lbres dans un crcut L Facteur de qualté d un crcut Défnton Facteur de qualté d un élément réactf réel Généralsaton du facteur de qualté Le crcut résonnant sére LES QUADIPOLES Défntons Descrpton matrcelle du quadrpôle Matrces mpédances Matrces admttances Matrces hybrdes Matrce de transfert ou matrce chaîne Schémas équalents du quadrpôle eprésentaton matrcelle mpédance eprésentaton matrcelle admttance eprésentaton matrcelle hybrde Assocaton de quadrpôles Assocaton sére Assocaton parallèle Assocaton en cascade Grandeurs caractérstques d un quadrpôle Adaptaton d mpédance FILAGE, DIAGAMMES DE BODE Introducton au fltrage Défntons Echelle logarthmque et dagramme de Bode Fonctons de transfert de base Intégrateur Dérateur Intégrateur réel ou fltre passe bas du premer ordre Dérateur réel Fltre passe-haut du premer ordre fltre passe bas du second ordre fltre passe haut du second ordre Fonctons de transfert quelconques L AMPLIFIAEU OPEAIONNEL IDEAL Généraltés Introducton aractérstques de l amplfcateur opératonnel déal aractérstques de l amplfcateur opératonnel réel AOP utlsé aec contre-réacton ou en boucle fermée Montages amplfcateurs Amplfcateur nerseur Amplfcateur non nerseur Sueur de tenson ou adaptateur d mpédance Montages opératonnels Addtonneur nerseur Soustracteur (ou dfférentateur) Addtonneur non nerseur Intégrateur Dérateur Amplfcateur logarthmque Montages conertsseurs onertsseur ourant-enson Impact de la bande passante de l AOP... 95

4 9 SUUES LASSIQUES POU EALISE DES FILES AIFS Introducton ellule de auch ellule de auch pour fltre passe-bas du second ordre Structure de Sallen et Key ou structure à source de tenson commandée Structure de Sallen et Key pour fltre passe-bas du second ordre ransformaton passe-bas -> passe-haut Structure de auch pour fltre passe-haut du second ordre Structure de Sallen et Key pour fltre passe-haut du second ordre... EALISAION DE FILES.... Le gabart.... Dfférents types de fltres.... Etude du fltre passe-bas de Butterworth Introducton Détermnaton de l ordre N du fltre pour qu l satsfasse à un gabart Détermnaton de la foncton de transfert du fltre Détermnaton des pôles du fltre de Butterworth Etude du fltre passe-bas de chebyche Introducton Présentaton du fltre de chebyche alcul du taux d ondulaton dans la bande passante Détermnaton de l ordre N du fltre pour qu l satsfasse à un gabart Détermnaton de la foncton de transfert du fltre... MONAGES AOP EN EGIME NON LINEAIE...4. ontre-réacton poste sur un AOP : fonctonnement en boucle fermée omparateur de tenson smple Montages de base Lmtaton de la tenson de sorte de l AOP omparateur à hystéréss ou rgger de Schmtt Justfcaton d un tel comparateur omparateur à hystéréss ou trgger de Schmtt Varante de trgger Oscllateur à relaxaton ou multbrateur astable Introducton Analyse théorque Varante d'oscllateur à relaxaton: générateur de sgnaux trangulares... 4

5 APPELS D ELEOINEIQUE. Introducton L électrocnétque étude la crculaton des courants électrques dans les crcuts électrques composés d un ensemble d éléments appelés composants comme les générateurs (ples, ), les composants passfs (résstance, bobne d nducton, condensateur) et les composants actfs (transstor, amplfcateur opératonnel, ). es éléments sont relés entre eux par des fls conducteurs.. Matéraux en électrcté Les électrons se déplacent dans les soldes plus ou mons faclement selon le matérau. La charge d un électron est égale à,6. -9 oulomb. On dstngue types de matéraux : Les conducteurs : matéraux dans lesquels un champ très fable sufft à fournr une énerge permettant le déplacement des électrons lbres (porteurs de charges arrachés à chaque atome). On a un à deux électrons lbres en moyenne par atome. La concentraton en électrons dépend du matérau ; par exemple pour le cure, on a 8 électrons par m. Les solants : pas d électron lbre. La qualté de l solant dépend de la pureté du matérau Les sem-conducteurs : la concentraton en électrons dépend du matérau et de la température. Les électrons sont dsposés dans des bandes permses séparées par des bandes dtes nterdtes. Une certane quantté d énerge permet de fare passer des électrons d une bande permse plene (bande de alence) ers la bande de (bande de conducton) générant ans des trous électrquement équalents à des charges postes dans la bande de alence. Les sem-conducteurs sont utlsés dans la plupart des crcuts actfs.. ourant électrque, hamp électrque et dfférence de potentel Au XVIIIe sècle, le phénomène électrque est étudé, expérmenté, ensegné ; l enthousasme les cours et les salons. Mas l faut attendre 799 et l'nenton de la ple par Volta pour pouor dsposer d'une source de courant. L'Italen Alessandro Volta découre en 799 que le contact de deux métaux dfférents produt un courant électrque. Volta " emple " alternatement des dsques de znc, d'argent et de carton mbbé de soluton salée dans laquelle des ons postfs ou négatfs se déplacent. La ple, qu l présente en 8 à Napoléon à l'académe des Scences, oure une nouelle ère car elle permet d'obtenr un courant contnu et donc permanent. Fgure : prototype de la ple de Volta En 89, André-Mare Ampère ntrodut le premer la noton de courant électrque et la dstngue fermement de celle de la tenson électrque. Il donne une forme mathématque à cette nouelle scence ce qu lu permet d'en calculer les effets. Ampère réalse l'expérence suante : une bobne de conducteur est almentée par une ple. Il 5

6 émet l'hypothèse que, lorsqu'elle est almentée, la bobne est traersée par une grandeur qu'l appelle courant électrque, que cette grandeur possède un sens, qu'l chost arbtrarement du pole de la ple ers le pole - et une ntensté dont l montrera l'expresson mathématque à l'ade d'autres expérences. Fgure : eprésentaton par Ampère de ses courants élémentares. Le débt de charge ou courant électrque est donné par la relaton : dq I I s exprme en ampère. dt Les los du courant électrque ont été étudée par Ampère ( ) au début du 9 ème sècle. Par conenton le sens du courant est le sens contrare du déplacement des électrons. emarque : à l'époque d'ampère, l'électron état nconnu (l sera découert en 897 par J.J. homson), l ne saat pas que le sens de parcours du courant qu'l a chos est nerse à celu de déplacement des électrons qu génèrent ce courant électrque. On gardera néanmons par la sute le sens défn par Ampère. Le sens arbtrare de crculaton du courant électrque a du pole du générateur ers le pole -. Le déplacement d ensemble des électrons n est possble que s ls sont soums à une force électrostatque. ette force est due à l exstence d un champ électrque (F qe) créé par une dfférence entre le nombre d électrons présents sur les bornes et du générateur. Là où l y a plus d électrons, autrement dt le pont où la charge négate est la plus grande, c est la borne -. La dfférence de potentel entre deux ponts A et B d un crcut VAB VA VB peut-être ue comme un moyen smple de quantfer cette dfférence de nombres d électrons, et l ntensté comme une façon commode de quantfer le nombre d électrons se déplaçant dans un conducteur. On a la relaton : V AB V A V B B A Edr Les dfférences de potentel s exprme en olt et le champ électrque E s exprme en olt par mètre..4 Los fondamentales Un réseau ou crcut électrque est un ensemble de conducteurs relant entre eux des éléments appelés composants : résstance, condensateur, bobne de self-nducton, dode, transstor, Dans un réseau électrque, on dstngue : - le nœud : pont de raccordement entre au mons deux conducteurs - la branche : porton du réseau comprs entre deux nœuds - la malle : parte du réseau qu se referme sur elle-même.4. Lo des malles Sot le réseau suant : 6

7 V A -V B V F -V A M A B V A V B V V B -V E V F V E V D F E D noeuds : A-B--D-E-F branches : AB-B-D- DE-BE-EF-FA malles : ABEFA ABDEFA BDEB V E -V F Sot une charge q se déplaçant le long d une malle ; chaque nœud de la malle se troue à un potentel ben défn par rapport à un nœud d orgne ou de référence commune M dont le potentel est appelée masse. q se déplace le long de la malle ABEFA et subt des aratons d énerge potentelle le long du parcours. On a : q( VA VB VB VE VE VF VF VA) q() car la charge q est reenue au pont ntal. B V V D A V On chost un sens arbtrare de parcours sur la malle : par exemple le sens des agulles d une montre. Les dfférences de potentel sont des grandeurs algébrques et ont des orentatons arbtrares. Par conenton, les dfférences de potentel des flèches parcourues dans le même sens que le parcours seront comptées postement. V 6 V 4 V A V B F E On a c : V 5 Défnton : La somme des dfférences de potentel le long d une malle est nulle. ette lo est baptsée lo des malles ou premère lo de Krschhoff. Mathématquement on a :.4. Lo des nœuds Le mouement des charges, créant le courant est soums aux los de la physque : conseraton de l énerge, de la quantté de mouement et de la charge (de la matère). 5 4 N On chost un sens arbtrare pour chaque courant. Par conenton, les courants se drgeant dans le même sens que les flèches seront comptées postement. Sot le nœud N un pont de raccordement de pluseurs conducteurs traersés par des courants. En un nœud, l ne peut y aor accumulaton de charges. On 7 a donc c : 4 5

8 Défnton : La somme des courants entrant est égale à la somme des courants sortant. ette lo est baptsée lo des nœuds ou seconde lo de Krschhoff. Mathématquement on a :.5 Générateurs déaux.5. Générateur de tenson déal Un générateur de tenson déal délre une dfférence de potentel ndépendante du courant qu l délre. On représente ce générateur par les symboles suants : E E ancenne représentaton nouelle représentaton e générateur de tenson n exste pas et en pratque, la dfférence de potentel en sorte d un générateur de tenson décrot en foncton du courant de sorte..5. Générateur de courant déal Un générateur de courant déal délre un courant ndépendamment de la dfférence de potentel entre ses bornes. On représente ce générateur par les symboles suants : I I ancenne représentaton nouelle représentaton 8

9 LES DIPOLES PASSIFS ELEMENAIES. Introducton Les composants utlsés en électronque présentent des bornes électrques ou pôles permettant leur connexon dans un réseau. On dstngue : - les dpôles ( pôles) comme les résstances, les condensateurs, les bobnes, les ples, les dodes, - les quadrpôles (4 pôles) comme par exemple les transformateurs, les fltres.. aractérstque d un dpole Sot un dpole traersé par un courant électrque I et dont la dfférence de potentel entre ses bornes est U. La caractérstque de ce dpole est la courbe If(U). Suant l allure de cette courbe, on peut dstnguer dfférentes famlles de dpole. Dpole lnéare : la caractérstque If(U) est une drote d équaton IaUb. Par exemple, les résstances et les générateurs de tenson et de courant déaux sont des dpoles lnéares. S la caractérstque If(U) n est pas une drote le dpole est non lnéare Dpole passf : un dpôle est passf s son ntensté de court-crcut est nulle et s la dfférence de potentel à ses bornes est nulle en crcut ouert. Dt autrement, pour un dpole passf, on a I s U.Les tros crcuts passfs prncpaux sont la résstance, la bobne d nducton et la capacté. Dans les autres cas, on dt que le dpole est actf. Exemple : I () Le dpole est lnéare et passf (l s agt d une résstance) Le dpole est non lnéare et passf (dode) Le dpole est lnéare et actf (générateur de tenson non parfat) Le dpole 4 est lnéare et actf (générateur de tenson parfat) () () U 9

10 . Les dpôles passfs élémentares.. ésstance Une résstance est un dpôle consttué par un matérau conducteur et caractérsé par sa résstance exprmée en ohm ( Ω ) La résstance s obtent comme sut : l ρ s Où ρ est la résstté en Ω m, l est la longueur et s est la secton du conducteur. 8 Pratquement ρ are entre et 6 8 Ωm ( cure,5. Ω m ) Il exste également des résstances dont la résstance are en foncton d un paramètre comme la température (thermstance)... Bobne d nducton La bobne d nducton est un dpôle consttué d un conducteur métallque enroulé autour d un support cylndrque. Lorsqu un courant traerse celle-c, elle produt un champ magnétque dans l espace enronnant Le coeffcent d nducton ou nductance qu s exprme en henry (H) est le suant : s L μn l N est le nombre de spres. s est la secton du conducteur métallque en m et l est la longueur du support cylndrque. μ en H/m est la perméablté : μ μμ 7 μ 4π est la perméablté dans le de et μ est la perméablté relate mleu/de. Une bobne pure n exste pas. En pratque, elle est toujours en sére aec une pette résstance... ondensateur Un condensateur est formé de deux conducteurs dont l un entoure complètement l autre (condensateur cylndrque) ou de deux conducteurs plans séparées par un solant (condensateur plan). On démontre qu l exste un coeffcent postf ne dépendant que de la géométre du condensateur tel que la charge électrque totale Q d un condensateur sot donnée par : Q V en oulomb où V est la dfférence de potentel entre les armatures du condensateur. La capacté s exprme en farad (F). Pour un condensateur plan, on a : ertans auteurs utlsent la termnologe résstor pour ben dstnguer le nom du dpôle. Dans ce document, nous utlserons le mot résstance pour désgner le dpôle et sa aleur. On rappelle que la charge élémentare d un électron est égale à,6. 9 oulomb

11 S ε e S est la surface de l armature du condensateur et e est la dstance entre les deux armatures. ε est la permttté en F/m : ε ε ε ε 8,84. est la permttté du de et ε est la permttté relate mleu/de. omme farad représente une très grande capacté, on utlse généralement les sous-multples comme le mcrofarad ( μf 6 F), le nanofarad ( nf 9 F) et le pcofarad( pf F)..4 Los générales des dpôles passfs Il exste deux chox pour l orentaton du courant et de la dfférence de potentel DIPOLE onenton récepteur DIPOLE onenton générateur Nous allons mantenant rappeler les los générales des types de dpôles passfs élémentares : résstance, bobne et condensateur : L d L dt dt d G dt L dt en ohms (Ω) L en henry en farad remarques :

12 Dans une bobne, le courant ne peut pas subr une araton brutale : mplquerat une dfférence de potentel. De la même façon, la dfférence de potentel aux bornes d un condensateur ne peut pas arer brutalement d dt nstantanément : mplquerat un courant. En contnu, la bobne est un court-crcut et le condensateur est un crcut ouert. d dt.5 Assocaton de dpôles de même nature en sére : L L L d d L L L dt dt L L L d dt dt dt dt Généralsaton : Généralsaton : Généralsaton : L L en parallèle : L L L

13 Généralsaton : dt dt L L L L L L dt d d dt dt Généralsaton : d dt Généralsaton : L L.6 égme snusoïdal Après aor rappelé les los générales, nous allons nous ntéresser au régme snusoïdal qu est le régme de fonctonnement le plus souent utlsé en électronque. Sot un courant arant en foncton du temps selon la lo snusoïdale suante : t () I sn( t ϕ) I est l ampltude maxmum du sgnal en ampère. (t) I I snϕ t I t ϕ I Sot Φ () t t ϕ la phase du courant foncton lnéare en foncton du temps en radan. ϕ est la phase à l orgne : ϕ Φ () En dérant Φ par rapport au temps on obtent la pulsaton : dφ en radan/seconde dt La fréquence f est le nombre de pérodes par seconde. f s obtent en dsant la pulsaton par π dφ f en seconde - ou Hertz π dt π

14 On a la relaton suante entre la fréquence f et la pérode : f Pour éter des calculs fastdeux lors de l étude des assocatons de dpoles en sére et en parallèle on utlse deux méthodes pratques: - le dagramme de Fresnel - la notaton complexe.7 Dagrammes de Fresnel et los des dpôles en régme snusoïdal D une manère générale, un dagramme de Fresnel permet de représenter une foncton snusoïdale x ( t) X sn( t ϕ) par un ecteur x OM. M t ϕ orgne des phases Le ecteur x OM tourne autour du pont d orgne à la tesse angulare. Sa longueur est égale à X et l angle entre l axe orgne des phases et x est égal à t ϕ. En pratque, comme tous les ecteurs consdérés tournent autour de aec la même tesse angulare, on smplfe la représentaton en consdérant les ecteurs à l nstant t. On notera le ecteur x [ X ϕ] Les dagrammes de Fresnel permettent de représenter graphquement et par des ecteurs ϕ ] et [ V ϕ ] dans une base orthonormée. I [ t I t eprenons l expresson du courant ( ) sn( θ ). Supposons pour smplfer les notatons que la phase à l orgne θ. On a donc ( t) I sn t Nous allons applquer les los générales aux dpôles résstance, bobne et condensateur. as de la résstance : I sn t V sn t aec V I Les deux ecteurs et sont en phase V I I as de la bobne : 4

15 d L dt d L dt ( I sn t) π LI cos t V sn( t ) aec V LI Pour la bobne, le ecteur est en aance de π sur le ecteur. V LI I L I I (t) (t) t as du condensateur : dt I tdt sn I cos t V sn( t π ) aec V I Pour le condensateur, le ecteur est en retard de π sur le ecteur. I I V I I (t) (t) t 5

16 Pour les untés,, L et sont homogènes à des ohms (Ω). Lorsque, L, la bobne se comporte comme un court-crcut. et, le condensateur se comporte comme un crcut ouert. Lorsque, L, la bobne se comporte comme un crcut ouert et, le condensateur se comporte comme un court crcut. Nous allons mantenant nous nteresser à l assocaton de dpoles de nature dfférentes. as de l assocaton d une résstance et d une capacté en sére : I I sn t sn t I I π dt cos t sn( t ) V sn( t ϕ) ϕ I I I w le ecteur est la somme des ecteurs et ϕ est l angle entre les ecteurs et (c ϕ est négatf) On a : V I I I tanϕ ϕ arctan kπ arctan V sn( t ϕ) I sn tarctan as de l assocaton d une résstance et d une bobne en sére : 6

17 L L I I sn t sn t d π L L L I cos t L I sn( t ) dt V sn( t ) L I L ϕ L I ϕ le ecteur est la somme des ecteurs L I et ϕ est l angle entre les ecteurs et (c ϕ est postf) On a : V I L I I L tan ϕ L L ϕ arctan V sn( t ϕ) L I L sn t arctan.8 Notaton complexe et mpédance complexe Dans le cas du régme snusoïdal, on utlse les nombres complexes pour smplfer les calculs des dpôles de nature dfférente. Une grandeur snusoïdale (courant ou dfférence de potentel) est caractérsé par deux nombres : l ampltude et la phase nstantanée Φ( t) t θ. Il est donc naturel de représenter une grandeur snusodale par un nombre complexe lorsque le crcut est lnéare et que les opératons à effectuer sont auss lnéares. Défnton : un crcut est lnéare s : soums à un courant ( t) I cos t, la dfférence de potentel est ( t) V cos( t ϕ) soums à un courant ( t) I sn t, la dfférence de potentel est ( t) V sn( t ϕ) alors soums à la combnason lnéare λ t) μ ( ), la dfférence de potentel est de la forme λ ( t) μ ( t) ( t 7

18 λ μ λ μ Posons λ et μ j. La dfférence de potentel assocée à la combnason lnéare t) ( t) j ( t) I (cos t j sn t) I exp( j ) est la suante : ( t ( ) t () () t j() t V cos( t ϕ) jsn( t ϕ) Vexp( j t jϕ) Dans le reste de ce document, on se lmtera à l étude des crcuts lnéares aec des opérateurs lnéares (addton, multplcaton par constante, dératon, ntégraton). S le courant est de la forme ( t) I cos t ( ( t)) parte réelle de (t), la dfférence de potentel ( t) V (cos t ϕ) ( ( t)) parte réelle de (t). De même la dfférence de potentel ( t ) assocé au courant ( ) sn ( ( t I t I t)) est t) V (sn t ϕ) I( ( )) ( t On défnt l mpédance complexe d un dpôle comme sut : aec I exp( j ) et V exp( j t j ) t exp( jarg( )) V exp( jt jϕ ) I exp( jt) V exp( jϕ ) I Le module de l mpédance complexe est égal à : V I et l argument de l mpédance complexe est égal à : On a donc : V exp( jϕ) I as de la résstance : Nous aons u que On a : arg( ) ϕ ϕ 8

19 I exp( j ) t L mpédance complexe de la résstance est donc : On retroue les résultats obtenus en utlsant le dagramme de Fresnel. as de la bobne : d L dt d calculons : dt d dt d d I cos( t) j sn( t) dt dt I [ sn( t) j cos( )] t I j cos( t) sn( t) j ji cos( t) j sn( t) [ ] j dérer reent donc à multpler par j On a : d L dt jl jl I exp( j ) t L mpédance complexe de la bobne est donc : jl ette expresson peut auss s écrre π π π π L exp j comme exp j cos j sn j as du condensateur : dt calculons dt : dt I t) dt cos( j I sn( t) dt I I sn( t) j cos( t) I j cos( t) sn( t) j I cos( t) j sn( t) j j [ ] ntégrer reent donc à dser par j 9

20 On a : dt I j j exp( j ) t L mpédance complexe du condensateur est donc : j π ette expresson peut auss s écrre exp j comme π π π exp j cos j sn j j omme dans le paragraphe précédent sur le dagramme de Fresnel, nous allons mantenant étuder l assocaton de dpoles de nature dfférentes en utlsant les mpédances complexes. as de l assocaton d une résstance et d une capacté en sére : snusodal > I exp( j ) > t > j. j On retroue le module et l argument de exp( jϕ) : ϕ arctan et tanϕ A partr de ce calcul l est possble d exprmer u (t) Par exemple, s t) I sn t ( u ( t) I sn( t ϕ) alors nous aurons : as de l assocaton d une résstance et d une bobne en sére : L L

21 snusodal > I exp( j ) > > L L jl t [ jl ] L. On retroue le module et l argument de exp( jϕ) : ϕ L et arctan L L tan ϕ S ( t) I cos( t), on a la relaton ( t) ( ) [ jl] I exp( j ) t exp( jϕ) I exp( jt) I exp( jt jϕ) ( t) ( ) I cos( t ϕ) En résumé : S ( t) I cos( t) () S ( t) I sn( t) I() et ( t) ( ) et ( t) I( ) On retroue aec les mpédances complexes les même los que celles étables pour l assocaton de résstances de même nature : On a ans u que l utlsaton de l mpédance complexe permet de remplacer les équatons dfférentelles par des équatons algébrques ce qu smplfe grandement l étude de l assocaton de crcuts de nature dfférente en régme snusodal. On retroue aec les admttances complexes les même los que celles étables pour l assocaton de condensateurs de même nature :

22 Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Dseur de tenson Dseur de courant

23 PUISSANE E ENEGIE. Défntons S on applque une dfférence de potentel A B entre deux ponts A et B d un dpole, les charges se déplaçant de B ers A subssent une araton d énerge potentelle Pour une charge élémentare dq se déplaçant de B ers A, le traal ou l énerge potentelle dw s exprme comme sut : dw dq pendant le temps dt Le déplacement de la charge élémentare dq sous l effet du champ électrque ndut par la dfférence de potentel dq entre les ponts A et B en un temps dt ndut un courant. dt D ou l énerge potentelle : dw dt Le traal fourn (cas d un générateur) ou reçu (cas d un récepteur) par l élément du crcut entre A et B entre les nstants t et t est : W Défnton : la pussance nstantanée (t) rapport au temps. p t t dw p dt dt W en Joules fourne ou reçue par le dpole entre A et B est la dérée de W par p peut donc auss être défne comme sut : p La pussance nstantanée p est le produt de la dfférence de potentel (t) par le courant (t) S > p, le dpôle est récepteur ; s < p le dpôle est générateur. Défnton : la aleur moyenne d une foncton quelconque (t) t xmoy x( t) dt t t t S x(t) est pérodque de pérode, alors on a : xmoy x( t) dt S x(t) est snusodale, alors x MOY. x sur l nteralle de temps t t est Par conenton, on utlsera des lettres mnuscules pour les arables et des lettres majuscules pour les constantes

24 La pussance moyenne P est calculée sur un nteralle de temps ; ] P t t t dw t t t pdt t t t t t t dt [ t t comme sut : S et sont snusodaux de pérode, le calcul de la pussance moyenne P se fat sur l nteralle de temps P dt P en watts Défnton : la aleur effcace d une foncton pérodque x (t) centrée (de aleur moyenne nulle) de pérode est : xeff x ( t) dt S la foncton (t) x est snusodale, on a : x t) X sn t ( ( cos t) X xeff X sn tdt X dt D où x EFF X. as partculers.. Energe consommée dans une résstance as V et I contnus : V I La pussance moyenne est égale à la pussance nstantanée P : t V P VIdt VI I t t t L énerge dsspée thermquement sur l nteralle de temps t t est : t V W VIdt VI( t t) ( t t) P( t t) t as et snusodaux : I sn t et V sn t I sn t p I sn t I cos t L énerge dsspée W pendant une pérode est : 4

25 W W cos t pdt I dt I I V V I et P En régme snusoïdal, pusque I V I EFF et V EFF, on a la relaton entre P, V EFF, I EFF P V I EFF EFF.. Energe dans une bobne as et snusodaux : d π I sn( t) et L L I cos( t) L I sn t dt L I sn( t)cos( ) p t L I sn( t) car sn α snα cosα W W t t L I L I pdt sn( tdt ) t t t LI [ cos( t) ] ( cos( ) cos( )) t t t 4 alculons l énerge stockée pus resttuée par la bobne pendant une pérode Entre et, l are soutendue par p (t) est poste ; la bobne stocke de l énerge. Elle se comporte en 4 récepteur. alculons l énerge stockée pendant cette phase. On a : LI π LI W stockéee cos() cos

26 Entre et, l are soutendue par p (t) est négate ; la bobne resttue de l énerge. Elle se comporte en 4 générateur. alculons l énerge resttuée pendant cette phase. On a : W resttuée LI π π LI cos.. cos Pendant la durée, l énerge dépensée par la bobne est nulle. On dt que le dpôle est purement réactf. L énerge stockée (sous forme magnétque) pendant 4 est resttuée ntégralement pendant le quart de pérode suant. I stockée resttuée (t) p (t) I u(t) /4 / t.. Energe dans un condensateur as et snusodaux : I sn( t) et I I π dt cos( t) sn t w w I p sn( t)cos( t) I sn t car sn α snα cosα W W t t I pdt sn( tdt ) I 4 t t t I I [ cos( t) ] ( cos( ) cos( )) ( cos( ) cos( )) t t t t t 4 4 alculons l énerge resttuée pus stockée par le condensateur pendant une pérode 6

27 Entre et, l are soutendue par p (t) est négate ; le condensateur resttue de l énerge. Il se comporte en 4 générateur. alculons l énerge resttuée pendant cette phase. On a : W resttuée I π I cos.. cos() 4 4 Entre et, l are soutendue par p (t) est poste ; le condensateur stocke de l énerge. Il se comporte en 4 récepteur. alculons l énerge stockée pendant cette phase. On a : W stockée I π π I cos.. cos Pendant la durée, l énerge dépensée par le condensateur est nulle. omme la bobne, le condensateur est un dpôle purement réactf. L énerge resttuée pendant 4 est stockée (sous forme électrque) ntégralement pendant le quart de pérode suant. resttuée stockée I (t) p (t) u(t) /4 / t En résumé pour un sgnal (t) snusodal : phase Bobne L condensateur à 4 à 4 La bobne stocke LI La bobne resttue (magnétque) LI Le condensateur resttue Le condensateur stocke I I (électrque) 7

28 Pusque I On a auss l énerge stockée par le condensateur est égale à V O V as de l assocaton d une bobne et d un condensateur : L assocaton d une bobne et d un condensateur parfat est telle que pendant chaque phase, l énerge stockée dans la bobne est égale à l énerge resttuée par le condensateur et ce ersa. et échange mplque la relaton : LI I sot L pulsaton de résonance L échange d énerge se fat donc au rythme de la pulsaton de résonance. Nous reendrons sur les crcuts résonnants dans un prochan chaptre.. Pussance acte, réacte, apparente et complexe dans un dpole quelconque I cos t et V cos( t ) ϕ La pussance acte est la pussance moyenne. On a : P dt V I t t dt cos( )cos( ϕ) VI (cos( t) cos( )) dt ϕ ϕ omme cos( ϕt) dt et cos( ϕ ) dt cosϕdt cosϕ On obtent : V I P cosϕ en Watt (W) cos ϕ est le facteur de pussance du dpole. emarque : on obtent les mêmes résultats en posant On défnt également la pussance réacteq : I sn t V I Q snϕ en VoltAmpère réactf (VA) Il est à noter que la pussance réacte Q est nulle pour une résstance car on a ϕ 8

29 Fnalement, on défnt également la pussance apparente S: S VI eff P Q V I eff en VoltAmpère(VA) VI Q snϕ VI S ϕ VI P cosϕ ableau récaptulatf pour les dpoles élémentares : P eff ésstance Bobne L ondensateur I Q L I eff S I eff L I eff Ieff - V Ieff Veff eff Exprmons la pussance acte P et la pussance réacteq en foncton du courant et de la dfférence de potentel u. Sot I cos t et V cos( t ) ϕ I exp( j ) I exp( j t) t * V exp( j t) exp( j ) V exp( j t)exp( jϕ) ϕ * VI exp( j t)exp( j t)exp( jϕ) VI exp( jϕ) * V I * exp( j t)exp( j t)exp( jϕ) VI exp( jϕ) * * VI j j VI (exp( ϕ) exp( ϕ)) cosϕ Ans, on a donc les relatons suantes : 9

30 P 4 * * ( ) * * VI (exp( jϕ) exp( jϕ)) V I j snϕ En utlsant le même rasonnement, on obtent Q 4 j * * ( ) La pussance réacte proent des éléments réactfs du crcut. Fnalement nous pouons défnr la pussance complexe d un crcut par : V I V I ϕ * ( cosϕ j snϕ) exp( j ) P P jq On peut érfer que le module de P est égal à la pussance apparente S.4 Force électromotrce et force contre électromotrce.4. Générateur et force électromotrce Un générateur conertt une énerge (mécanque, chmque,lumneuse, ) en une énerge électrque. Sot dw p dt dt l énerge fourne par le générateur au crcut dw l énerge dsspée par effet Joule dans le générateur dw dt dw l énerge reçue de l extéreur par le générateur. En applquant la lo de conseraton de l énerge, on a la relaton suante : dw dw dw dw dw dw <> dt dw dt dw dw dt dt dw dw udt Dsons l expresson par dt :

31 dw dt dw Sot e dt la force électromotrce du générateur. On a alors la relaton : générateur e e On défnt le rendement η du générateur comme le rapport de l énerge fourne par le générateur sur l énerge reçue : η energe fourne dw dw dw u energe reçue dw dw e e S les pertes sont fables ( << e), alors le rendement η est proche de..4. écepteur et force contre électromotrce Un récepteur transforme une énerge électrque en une énerge (mécanque, chmque, ) et chaleur (énerge dsspée par effet Joule). Sot dw p dt dt l énerge reçue par le récepteur dw l énerge dsspée par effet Joule dans le récepteur (chaleur). dw dt dw l énerge transformée (mécanque, chmque, ) par le récepteur. En applquant la lo de conseraton de l énerge, on a la relaton suante : dw dw dw <> dt dt dw dw dw dw

32 Dsons l expresson par dt : dw dt dw Sot e dt la force contre électromotrce du générateur. On a alors la relaton : e récepteur e On défnt le rendement η du récepteur comme le rapport de l énerge transformée (mécanque, chmque, ) sur l énerge reçue par le récepteur : energe transformée dw dw e e energe reçue dw dw dw e η Le rendement s exprme également comme sut : dw dw u η dw u u S les pertes sont fables ( << u), alors le rendement η est proche de.

33 V V 4 MEHODES D ANALYSE DES ESEAUX 4. Introducton L analyse des réseaux en régme établ ou permanent repose sur les los ntrodutes dans les chaptres précédents : - la lo des malles : la somme des dfférences de potentel le long d une malle est nulle : exemple : V B A D V 6 V 4 F E V 5 - lo des nœuds : la somme des courants entrant est égale à la somme des courants sortant exemple : N 4 - lo des dpôles passfs - lo d assocaton de dpôle en parallèle et en sére

34 4. Méthode des courants des malles ette méthode est basée sur la lo des malles. on recherche le nombre de malles ndépendantes. On a la relaton suante : M B ( N ) aec M le nombre de malles ndépendantes, B le nombre de branches et N le nombre de nœuds du réseau. on attrbue à chaque malle un courant de malle et un sens de parcours on écrt pour chaque malle l équaton de malle dont les nconnus sont les courants en utlsant la lo des malles 4 on résout le système d équatons 5 on calcule les courants crculant dans chaque branche à partr des courants de malle 6 on en dédut la dfférence de potentel entre deux nœuds en utlsant les los des dpôles exemple : sot le réseau suant : A z z B z e m z z 4 e m m nœuds A, B,. N branches (e,z ), (z ), (z ), (z 4 ), (e,z 5 ) B5 d ou MB-(N-)5-(-) malles ndépendantes : malle m : composée de e,z et z malle m : composée de z,z 4 et z malle m : composée de e,z 4 et z 5 4

35 on attrbue à chaque malle un courant de malle et un sens de parcours m m m 5 Ans, chaque courant peut s exprmer à partr des courants de malle : m m - m -m 4-5 m -m 5 m équatons des malles : e - z - z -z -z 4 4 z -e z z 5 5 On remplace les courants par les courants de malles m. On obtent fnalement les équatons suantes : e ( z z ) m z m z m (z z z 4 )m z 4 m -e z 4 m - (z 4 z 5 )m Il faut noter qu un sgne mons sgnfe que le courant crcule en sens nerse de celu de la fgure. omme nous aons un système à tros équatons et tros nconnus, l est possble de le résoudre en utlsant la méthode de substtuton ou la règle de Kramer (approche matrcelle). ette technque présente l aantage de détermner tous les courants dans l ensemble des branches. Les calculs pour un réseau complqué sont cependant lourds. 4. héorème de Mllman Le théorème s énonce comme sut : le potentel en un nœud quelconque d un réseau est égal au rapport des deux termes suants : - au numérateur, la somme des produts des potentels des nœuds adjacents par les nductances relant ces nœuds au nœud consdéré - au dénomnateur, la somme de toutes les admttances connectées au nœud consdéré. S un générateur de courant est connecté sur le nœud, l dot ben entendu être prs en compte : N Y Y N Y Y somme des courants entrants ou sortants 5

36 6 Exemple : 4.4 héorème de superposton e théorème résulte des proprétés des crcuts lnéares us précédemment. héorème : s un crcut est soums à pluseurs sources d exctaton, la réponse de ce crcut est égale à la somme algébrque des réponses à chacune des sources d exctaton prse séparément. e théorème est une conséquence drecte de la lo des nœuds de Krchhoff : A A N A B B N B N D D N D D B A on a donc la relaton suante : D D N N B B N A A N en posant I I Y, on obtent : D D B B A A D B A N Y Y Y Y Y Y Y Y ) ( D B A D D B B A A N Y Y Y Y Y Y Y Y z A z B D A B A B N z D z D D B A on a la relaton suante : ) ( ) ( Y Y Y et donc ) ( Y Y Y Y Y Le courant du générateur de courant est compté postement s l se drge ers le noeud z z z

37 Exemple : sot le réseau suant A e e B Nous allons décomposer ce réseau en autant de sous-réseau qu l y a de générateurs. Dans cet exemple l y a deux générateurs. Pour chaque sous-réseau, on ne garde qu un seul générateur ; les autres générateurs sont remplacés par des court-crcuts s ce sont des générateurs de tenson ou par des crcuts ouerts s ce sont des générateurs de courant. e A B Dans ce premer sous-réseau nous aons remplacé e par un court-crcut. AB e AB e e A B e Dans le second sous-réseau nous aons remplacé e par un court-crcut. AB e AB e e En applquant le théorème de superposton on obtent : e e Applcaton numérque : e V, e -V, 5 Ω, 4 Ω, 6 Ω.. 8A,. 8A. 7A remarque : dans ce cas smple, l utlsaton du théorème de Mllman aurat fourn drectement ce résultat. 7

38 Les théorèmes de héenn et de Norton sont des conséquences drectes du théorème de superposton 4.5 héorème de héenn et de Norton 4.5. Grandeurs caractérstques d un dpôle Un dpôle est caractérsé par tros grandeurs caractérstques : - dfférence de potentel à de : e lorsque - courant de court crcut : N lorsque - mpédance de sorte ou l admttance de sorte Y 4.5. héorème de héenn L ensemble du crcut se trouant à gauche des deux nœuds A et B peut être remplacé par un générateur de tenson déal de force électromotrce e en sére aec une mpédance nterne. A A e B B La force électromotrce e est égale à la dfférence de potentel mesurée à de et l mpédance nterne AB est l mpédance ue des bornes A et B lorsque l on annule toutes les sources d exctaton du crcut (tous les générateurs de tenson déaux sont remplacés par des courts-crcuts et les générateurs de courant déaux sont remplacés par des crcuts ouerts). Ans, nous aons la relaton suante : e 4.5. héorème de Norton L ensemble du crcut se trouant à gauche des deux nœuds A et B peut être remplacé par un générateur de courant N en parallèle aec une admttance Y. N A A N N Y N B B Le théorème de Norton est le théorème dual du théorème de héenn. 8

39 Le courant N est le courant de sorte lorsque l on court crcute les bornes A et B. L admttance Y est l admttance ue des bornes A et B lorsque l on annule toutes les sources d exctaton du N crcut. Nous aons la relaton suante : Y N N elaton entre les deux théorèmes A partr du modèle de Norton, on a : ( ) Y Y Y N N N N N En dentfant aec le modèle de héenn, on obtent les relatons suantes : e N et Y N Y N 4.6 héorème de Kennely e théorème permet de transformer pour un crcut trpôle un montage en étole en un montage en trangle. Montage étole Montage trangle z z z z z N z ette transformaton auss utle dans l étude des quadrpoles comme les fltres en et en Π héorèmes : 9

40 ransformaton trangle étole ransformaton étole trangle Y YY Y Y Y ette relaton s écrt également : Démonstraton du théorème de Kennely trangle ers étole : Applquons la règle d assocaton des dpôles en sére et en parallèle après aor débranché le pole du crcut extéreur. On obtent la relaton : ( ) () En débranchant le pole du crcut extéreur, on obtent : ( ) () En débranchant le pole du crcut extéreur, on obtent : ( ) () En sommant les équatons (), () et (), on obtent : ( ( ) ) (4) En calculant (4)-() on a : En calculant (4)-() on a : En calculant (4)-() on a : 4

41 5 FAEU DE QUALIE E IUI ESONNAN 5. Oscllatons lbres dans un crcut L Sot le crcut composé d une bobne et d un condensateur parfat : V L onsdérons que l nterrupteur est dans la poston et que le condensateur est complètement chargé W emmaga snée V A l nstant t, on commute l nterrupteur dans la poston On a la relaton suante : L dt d dt d dt L Une soluton à cette équaton est de la forme V cos( t ϕ ) est la pulsaton propre du crcut L L A l nstant t, on a ( t ) V et ( t ) d V sn( t ϕ ) dt ( t ) ( t ) V ϕ V V Ans, on a donc les expressons suantes : V V cos( t) et I sn( t) sn( t) V sn( t) L omme dans le cas du crcut L sére, le crcut L parallèle parfat entretent donc les oscllatons sans amortssement. 4

42 En pratque, les bobnes réels contennent une fable résstance en sére et les oscllatons sont amortes à cause des pertes par effet Joules. 5. Facteur de qualté d un crcut 5.. Défnton En pratque, les bobnes réels contennent une fable résstance en sére (résstance du fl bobné) L r Les condensateurs réels possèdent également une résstance parallèle de forte aleur qu caractérse les pertes délectrques (courants de futes) Plus fables seront les pertes melleur sera l élément. On défnt le facteur de qualté d un élément Q comme sut : energe Q π energe maxmale emmagasne dsspée par perode Le facteur de qualté est sans unté. L énerge est emmagasnée dans les éléments réactfs (bobne ou condensateur) et l énerge est dsspée par effet Joule (résstance). 5.. Facteur de qualté d un élément réactf réel as de la bobne réelle : Une bobne réelle est composée d une bobne pure en sére aec une résstance de fable aleur. 4

43 L r sot le courant ( t) I cos( t) crculant dans ce crcut. Nous aons u dans le chaptre «Pussance et Energe» que la quantté maxmale d énerge que peut emmagasner une bobne est : W L LI L énerge dsspée dans la résstance par effet Joules pendant une pérode ( aec π / ) est égale à : W D ri On a donc : Q L WL LI πl π π. W ri r D L r Plus la résstance r est pette, plus le facteur de qualté QL de la bobne réelle est grand. as du condensateur réel : Un condensateur réel est composée d un condensateur parfat en parallèle aec une résstance de forte aleur. sot la dfférence de potentel ( t) V cos( t) aux bornes de ce crcut. Nous aons u dans le chaptre «Pussance et Energe» que la quantté maxmale d énerge que peut emmagasner un condensateur est : W I omme on a W V V I, l énerge W peut auss s écrre : L énerge dsspée dans la résstance par effet Joules pendant une pérode ( aec π / ) est égale à : 4

44 V I W D On a donc : Q W π W V π π. V D Plus la résstance est grande, plus le facteur de qualté Q du condensateur réel est grand. La noton de facteur de qualté peut être étendue à tout type de crcut assocant une résstance et une bobne ou un condensateur 5.. Généralsaton du facteur de qualté Sot un crcut sére dont l mpédance est de la forme s jx s s j Xs Le facteur de qualté de ce crcut est : Q X s s Sot un crcut parallèle dont l admttance est de la forme Y P jx P j Xp p le facteur de qualté de cette mpédance est : Q X P P On peut érfer que les expressons obtenues précédemment se dédusent drectement de ces deux formules générales. Exemple : assocaton d une bobne d nductance L et d une résstance en sére On a : s et X s L, le facteur de qualté est égal à Q X s s L 5. Le crcut résonnant sére Sot l assocaton en sére d une bobne d un condensateur et d une résstance : 44

45 45 L (t) L (t) Le générateur (t) mpose la pulsaton du crcut. L mpédance complexe est la suante : A la pulsaton de résonance, le courant est maxmum et donc le module de l mpédance complexe est le plus fable possble. ette pulsaton s obtent pour L L L On a alors,. et sont donc en phase. On pose : L L Q Q peut être u comme le facteur de qualté du crcut L sére ou sére. herchons à exprmer en foncton de,, et Q : L j L j L L j jq car L Son module est égal à : Q Sa phase est la suante : arctan ) arg( Q L j j jl

46 π, arg( ), arg( ) π, arg( ) Q Q Q > Q Q arg() π arg( ) arctanq π L étude d un tel crcut est ntéressante lorsque la pulsaton est proche de la pulsaton de la résonnance δ (aec δ très pett deant ) alculons alors le terme On a donc ( )( ). δ δ jq lorsque proche de δ 46

47 47 δ est le désaccord relatf (écart de pulsaton par rapport à la pulsaton ) S le facteur de qualté L Q est très éleé ( c est à dre L << ), le crcut est équalent à un nterrupteur ouert (hors résonance) ou fermé (en résonance). alculons la pussance consommée dans le crcut au osnage de la résonance lors d une attaque en tenson ) exp( ) ( t j V t ). ( 4 * * P et t ) ( On a alors : * * *.. 4 P * * * * V V aec 4 δ Q On obtent fnalement : 4 δ Q V P Pour V P P : pussance consommée dans la résstance 4 δ Q P P Détermnons les pulsatons et pour lesquelles P P 4 4 δ δ Q Q Q δ ±

48 Δ δ Q δ Q Δ δ Q P P P δ δ est appelée bande passante ou largeur de bande à db. est l nteralle de pulsaton pour lequel la pussance est supéreure à P /. Phénomène de surtenson : Lorsque, les dfférences de potentel aux bornes de la bobne et du condensateur peuent être très grandes : on a V et donc ( t) exp( j t) Δ L V jl jl exp( j t) jq V exp( j t) jq V exp( j t) jv Q exp( j t) jq j j On a ben : L L et sont de même ampltude VQ et en opposton de phase à la pulsaton de résonnance. S le facteur de qualté est grand, l ampltudevq peut auss être éleée d ou rsque de claquage du condensateur! Applcaton numérque : 5Ω, LmH et nf. V V 6 On a rd / s L f 59kHz π L L Q 48

49 Δ 5rd / s Q Δ Δf 795Hz π V V Q V L V!! c 49

50 6 LES QUADIPOLES 6. Défntons D une manère générale, un quadrpôle est décrt comme sut : A AB A B A B D c D D BD Pour un quadrpole passf, on a : A B D AB A D BD ependant, le terme quadrpôle est plutôt utlsé pour un crcut dont les bornes sont groupées par pare. Alors le courant entrant dans le pôle d une pare ressort par l autre pôle de la même pare. Nous aons le schéma équalent suant : 6. Descrpton matrcelle du quadrpôle Pour reler les 4 paramètres du quadrpôle ( les deux courants et les deux dfférences de potentel), l exstent 4 représentatons matrcelles dfférentes: - matrces mpédances - matrces admttances - matrces hybrdes - matrces de transfert 6.. Matrces mpédances équatons sont suffsantes pour décrre le quadrpôle On a : 5

51 f (, ) g(, ) Les deux équatons sont : L unté des mpédances courant. Sous forme matrcelle nous aons : j sont les ohms (Ω). L ndce est relatf à la tenson et ndce j est relatf au.. est le ecteur colonne des tensons et est le ecteur colonne des courants. est la matrce mpédance de dmenson x Défnton : un quadrpole est dt récproque s les termes de la seconde dagonale sont égaux :. ette proprété est caractérstque des quadrpôles composés d éléments passfs (sans générateur de courant et de tenson). Défnton : S les termes de la premère dagonale sont égaux :, (c'est-à-dre que quadrpole est symétrque. on dt que le Exemple : quadrpôle en Nous aons les deux relatons suantes en applquant la lo des malles : ( ) ( ) ( ) ( ) Ans, on a : 5

52 e quadrpole est récproque. Il est symétrque à la condton que Nous allons mantenant nous nteresser à l nterprétaton physque de chacun des dfférents coeffcents de la matrce mpédance. est l mpédance ue de l entrée en lassant la sorte du quadrpole en crcut ouert ( ) est l mpédance ue de la sorte en lassant l entrée du quadrpôle en crcut ouert ( ) est l mpédance de transfert nerse ou transmpédance nerse obtenue aec l entrée du quadrpôle en crcut ouert ( ) est l mpédance de transfert drecte ou transmpédance obtenue aec la sorte du quadrpôle en crcut ouert ( ) es défntons des coeffcents permettent de calculer et de mesurer smplement ceux-c. Exemple : (sute) quadrpôle en cas 5

53 cas Nous retrouons les résultats calculés précédemment. Exemple : quadrpôle en p - omme dans l exemple précédent, nous allons consdérer successement les cas et. cas - // ( ( ) ) 5

54 54 Pour détermner ce coeffcent, nous deons calculer la relaton entre et. Pont dseur de courant : D ou cas ) ( // ) ( Pour détermner ce coeffcent, nous deons calculer la relaton entre et. Pont dseur de courant : D ou En résumé, nous aons :

55 ( ) ( ) Le quadrpole est donc récproque. Il est symétrque s ) ( ) ( 6.. Matrces admttances On utlse les deux équatons suantes pour décrre le quadrpôle : Y Y Y Y L unté des admttances Y j sont les ohms - ( Ω ). L ndce est relatf au courant et ndce j est relatf à la tenson. Sous forme matrcelle nous aons : Y Y Y Y. Y. est le ecteur colonne des courants et est le ecteur colonne des tensons. Y est la matrce admttance de dmenson x On a la relaton suante entre Y, la matrce admttance et, la matrce mpédance d un quadrpôle...y..y I où I est la matrce dentté. Ans, nous aons : Y La matrce Y est l nerse de la matrce. Le passage de l une à l autre mplque d nerser la matrce. On a les relatons entre les éléments de la matrce admttance Y et la matrce mpédance : 55

56 [ ]. Y Y Y Y Y. Nous allons mantenant nous nteresser à l nterprétaton physque de chacun des dfférents coeffcents de la matrce admttance. Y Y est l admttance ue de l entrée lorsque la sorte du quadrpôle est en court-crcut ( ) Y Y est l admttance ue de la sorte lorsque l entrée du quadrpôle est en court-crcut ( ) Y Y est l admttance de transfert nerse obtenue aec l entrée du quadrpôle en court-crcut ( ) Y Y est l admttance de transfert drecte obtenue aec la sorte du quadrpôle en court-crcut ( ) es défntons des coeffcents permettent de calculer et de mesurer smplement ceux-c. Exemple : (sute) quadrpôle en p Sot Y, Y et Y, - Sot le courant crculant dans l admttance Y. On a Y ) ( Les équatons assocées à la matrce admttance sont les suantes : Y Y Y ) ( Y ( Y Y Y Y ) 56

57 D où les éléments de la matrce admttance suants : Y Y Y Y Y Y et Y Y Y es éléments de la matrce admttance peuent être érfés en utlsant les relatons entre les éléments de la matrce admttance Y et ceux de la matrce mpédance calculés au paragraphe précédent. 6.. Matrces hybrdes On utlsent les deux équatons suantes pour décrre le quadrpôle : h h h h Sous forme matrcelle nous aons : h h h h. H. H est la matrce hybrde de dmenson x Les matrces hybrdes sont utlsées en partculer dans l étude des transstors. Nous aons : h h est l mpédance d entrée lorsque la sorte du quadrpôle est en court-crcut ( ) h h est le gan en tenson nerse lorsque l entrée du quadrpôle est ouerte ( ) h h est le gan en courant obtenu aec la sorte du quadrpôle en court-crcut ( ) 57

58 h h est l admttance de sorte lorsque l entrée du quadrpôle est ouerte ( ) 6..4 Matrce de transfert ou matrce chaîne ette matrce est très pratque pour la mse en cascade des quadrpôles. générateu r charge Les relatons défnssant la matrce de transfert sont les suantes : D A B matrce de transfert Sot sous forme matrcelle : A B. D Attenton : contrarement aux autres représentatons matrcelles, pour la matrce de transfert on utlse le courant (courant sortant du quadrpole) à la place du courant (courant entrant dans le quadrpole) e formalsme permet de smplfer les calculs lorsque nous assocerons pluseurs quadrpoles en cascade. A et D sont sans dmenson B est une mpédance en ohm et une admttance en ohm - 6. Schémas équalents du quadrpôle es schémas se dédusent drectement des relatons matrcelles mpédance, admttance et hybrde. 58

59 6.. eprésentaton matrcelle mpédance 6.. eprésentaton matrcelle admttance Y Y Y Y Y Y Y Y 6.. eprésentaton matrcelle hybrde h h h h h h h h 6.4 Assocaton de quadrpôles Suant l assocaton de quadrpôles, nous chosrons la matrce la plus approprée Assocaton sére 59

60 ' ' ' Quadrpole Q' ' '' '' Quadrpole Q'' '' '' '' '' On a les relatons suantes : ' " et ' " ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' " " " " " " " " " " omme ' " et ' " nous pouons écrre les relatons suantes pour le quadrpole équalent : ( ' ( ' " " ) ) ( ' ( ' " " ) ) Ans sous forme matrcelle, la matrce mpédance du quadrpole équalent est égal à la somme des matrces mpédances : [ ] [ ' ] [ " ] On ajoute terme à terme les éléments de même ndce Assocaton parallèle 6

61 ' ' ' Quadrpole Q' ' '' '' Quadrpole Q'' '' '' '' '' On a les relatons suantes : ' " et ' " ' Y ' ' Y ' ' Y ' ' Y ' ' ' " Y" " Y" " Y" " Y" " " omme ' " et ' " nous pouons écrre les relatons suantes pour le quadrpole équalent : Y Y Y Y ( Y ' ( Y ' Y" Y" ) ) ( Y ' ( Y ' Y" Y" ) ) Ans sous forme matrcelle, la matrce admttance du quadrpole équalent est égal à la somme des matrces admttances : [ Y ] [ Y' ] [ Y" ] On ajoute terme à terme les éléments de même ndce Assocaton en cascade ' ' '' '' Quadrpole Q'' Quadrpole Q' ' '' ' '' ' '' '' Nous allons chercher à détermner la matrce de transfert du quadrpôle résultant de cette assocaton. haque quadrpôle est défn par sa matrce de transfert : A' B' A" B" Quadrpole Q : ' Quadrpole Q : " ' D' " D" 6

62 Dans cette assocaton, nous aons les relatons suantes entre les courants et entre les dfférences de potentel : ' " ' " ' ' " " On a donc les relatons suantes pour le premer quadrpôle : ' A' ' B' ' A' " B' " ' ' ' D' ' ' " D' " Pour le second quadrpole, nous aons : ' " A" " B" " A" B" ' " " " D" " " D" D où : A ( A" " B" " ( A" " B" " ' ' ) B'( " " D" " ) ) D'( " " D" " ) Ans on en dédut les relatons entre,, et : ( A' A" B' ") ( A' B" B' D" ) ( ' A" D' ") ( ' B" D' D" ) A' A" B' " ' A" D' " A' B" B' D" ' B" D' D" La matrce du quadrpole Q obtenu par la mse en cascade de deux quadrpoles Q et Q est égale au produt matrcel des matrces et : [ ] [ '][. " ] outes ces assocatons de quadrpoles se généralsent à un nombre n de quadrpoles. 6.5 Grandeurs caractérstques d un quadrpôle L e générateur charge 6

63 En utlsant la matrce mpédance, on a les relatons suantes : equaton () equaton () e L equaton () equaton (4) Les grandeurs ntéressantes sont : facteur d amplfcaton en tenson du quadrpole. e gan est sans dmenson (réel ou complexe) facteur d amplfcaton en courant E mpédance d entrée S mpédance de sorte est toujours nféreur à pour un quadrpole passf. Gan en courant (exprmé en foncton de ) En combnant les équatons () et (4), on obtent : D où : equaton (5) On peut obserer que le gan en courant dépend de la charge Gan en tenson 6

64 Après smplfcaton, nous obtenons en posant Δ ( Δ est le détermnant de la matrce mpédance ): Δ Impédance d entrée E c est l mpédance ue de l entrée du quadrpole ( ) () > E Δ Impédance de sorte S est l mpédance ue de la sorte du quadrpole obtenue en annulant le générateur à l entrée du quadrpole. Pour détermner cette mpédance, l conent d annuler le générateur L S () et () > L L L () > L L S L Δ L 6.6 Adaptaton d mpédance 64

65 L objectf de l adaptaton d mpédance est de permettre que le maxmum de pussance dsponble à la sorte d un crcut sot transms au crcut suant. La fgure suante montre un exemple d une chane de quadrpôles. A Source er crcut ème crcut ème crcut harge B L ensemble en amont de AB peut être remplacé par un générateur de force électromotrce e d mpédance complexe et l ensemble en aal de AB par une mpédance complexe. On est donc ramené au problème suant : sot le schéma suant : e Aec jx et jx Détermnons la relaton entre et pour aor le maxmum de pussance acte transmse. La pussance acte transmse à est égale à : * * P ( ) 4 * * * * * * ( c c.. ) comme c. et c. 4 * * ( c c ) 4 c * * car c c c alculons le courant complexe et son conjugué * e * e et * * c c * * e. e. * *. * d où ( )( ) c c e ( ) ( X ) c X c * 65

66 P c ( ) ( X X ) c e c la pussance P est foncton de, c, X et X c dp P passe par un maxmum pour. alculons cette aleur dx c dp ( ( c e X X c ) dx ( ) ( ) ) c X X c dp lorsque X X c dx c P est alors égale à : P c e ( ) Détermnons mantenant c ette aleur s obtent 4 lorsque d c c pour aor la pussance maxmale transmse dp d c dp e ( ) ( ) c ( ) 4 c c c dp d c c c c ( ) ( ) c c Ans, pour aor un transfert maxmal de pussance, l faut * c oncluson : une charge est adaptée à un générateur d mpédance nterne complexe lorsque son mpédance complexe c est égale à l mpédance nterne conjuguée du générateur. e Pour cette égalté, on a P 8 c u u' u' d 4 En utlsant la relaton 66

67 7 FILAGE, DIAGAMMES DE BODE 7. Introducton au fltrage En régme snusoïdal permanent nous aons u que les mpédances des bobnes et des condensateurs dépendent de la fréquence. Par conséquence, les coeffcents des dfférentes matrces de défnton des quadrpoles (matrce mpédance, admttance Y, hybrde H ou de transfert ), les fonctons de transfert ( V et I ) et les mpédances d entrée E et de sorte S sont auss dépendantes de la fréquence. Nous allons utlser cette dépendance pour construre des fltres. 7.. Défntons Un fltre est un quadrpôle transmettant un sgnal sans atténuaton ou aec une atténuaton de aleur donnée dans une bande de fréquence détermnée. Les fltres sont utlsés dans de nombreuses crconstances. Lorsqu l s agt, par exemple, de lmter la bande passante en entrée ou en sorte d un montage, d annuler certanes fréquences perturbatrces ndésrables (5Hz par exemple ou ses harmonques qu polluent le réseau de dstrbuton électrque) ou au contrare de ne retenr qu une bande de fréquences partculère, etc. Selon la fréquence de traal et le chox d une amplfcaton acte ou non, les technologes employées pour réalser les fltres analogques sont dfférentes : fltres L passfs, fltres ou L actfs, fltres à quartz, fltres à constantes répartes (gudes d ondes, etc.). On dstngue deux famlles de fltres : Les fltres passfs : réalsés à partr de composants passfs (résstance, nductance et capacté). Ils ne permettent pas d amplfer ( la pussance de sorte est nécessarement nféreure à la pussance d entrée) Les fltres actfs : réalsés à partr d un ou pluseurs amplfcateurs opératonnels, transstors et composants passfs. Ils nécesstent une almentaton spécfque. En contreparte, ls permettent d amplfer le sgnal. ourbe de réponse en fréquence du module de la foncton de transfert V d un quadrpôle : V O O f f f et f Les fréquences de coupure f correspondent aux fréquences pour lesquelles le module de la foncton de transfert V 67

68 Il exste dfférentes catégores de fltres selon l allure de leur courbe de réponse en fréquence : V - le fltre passe bas O O Exemple : f f La pente de la courbe de réponse dépend de l ordre du fltre. La bande passante est égale à f Idéalement, le gan est constant dans la bande passante et nul dans la bande atténuée - le fltre passe haut V O Exemple : O f f Idéalement, le gan est constant en hautes fréquences (fréquences supéreures à fc) et nul dans la bande atténuée - le fltre passe-bande V O O f f f f La bande passante est égale à - le fltre coupe-bande f 68

69 V O O f f f 69

70 7. Echelle logarthmque et dagramme de Bode L étude des fltres portent sur la foncton de transfert complexe suante : Le module On a : V V exp( jϕ) V et la phase ϕ de la foncton de transfert V V qu peut se mettre sous la forme sont dépendants de la pulsaton πf et V ( ) ϕ ( ) arg( ) arg( ) Au leu d étuder les courbes de réponse en fréquence du module de la foncton de transfert V, on préfère étuder le gan GV obtenu à partr de V par changement d échelle : GV log V e changement d échelle est résumé sur ce tableau : A -n - -, / n log A -n ,5 n log A -n n e changement d échelle permet d étaler les ampltudes de fables aleurs. V le gan G V sot sans dmenson, on utlse le mot «décbel» pour sgnfer que l on a log ( Ben que comme réalsé le changement d échelle ) Note : on utlse auss le décbel pour exprmer les pussances : la pussance en Décbel Watt (dbw) s exprme comme sut en foncton de la pussance en Watt P : P db log P Nous aons u précédemment que la fréquence de coupure correspond à la fréquence pour laquelle le module de la foncton de transfert V. En utlsant la relaton entre V et G V on a : 7

71 G V log log G db Ans la fréquence de coupure correspond à la fréquence pour laquelle le gan de la foncton de transfert G V G db Défnton : Les deux courbes ( ) f( ) G V et ϕ( ) f( ) consttuent le dagramme de Bode du fltre. En abscsse, les fréquences ou pulsatons sont représentées sur une échelle logarthmque. Nous allons or dans le prochan paragraphe qu l est possble de tracer très rapdement les courbes de réponse du module et la phase des fonctons de transfert sous forme de dagrammes asymptotques. es dagrammes s applquent très rapdement sur des fonctons smples (ntégrateur pur, crcut du premer et du second ordre ) mas auss sur des fonctons quelconques à condton de les décomposer en fonctons smples. Les drotes asymptotques s obtennent faclement en fasant tendre ers et ers l nfn. 7

72 7. Fonctons de transfert de base 7.. Intégrateur ( j). j ( j), ( ) log G et π ϕ( ) Arg ( j), nous aons le gang ( ) Pour Lorsque /, nous aons G log db., nous aons G( ) log ( ) Lorsque Ans, le gan G ( ) décroît en foncton de la pulsaton aec une pente -db/décade db. db G() -db/decade Arg (j) / -π/ 7.. Dérateur ( j) j ( j ), G ( ) log et π ϕ ( ) Arg ( j) Le gan G( ) est égal à lorsque Le gan G( ) est égal à db lorsque Le gan G ( ) crot en foncton de la pulsaton aec une pente db/décade 7

73 G(j) db Arg (j) π/ db/decade 7.. Intégrateur réel ou fltre passe bas du premer ordre ( j) j ( j) ϕ( ) Arg( j) Arctg est la pulsaton de coupure à db, G( ) log log G( ) db ( j ) π, 77 ϕ( ) 4 herchons à détermner les deux asymptotes aux courbes ( ) f( ) Pour >> ( très supéreure à ) ( j) j ( ) log -db/décade. Elle passe par le pont (,). G et ϕ( ) f( ) : G ette drote asymptotque décroît en foncton de la pulsaton aec une pente de Pour << ( très nféreure à ) ( j) G( ) db et ϕ ( ) 7

74 dβ G () dβ -db/decade -π/ dβ Arg (j) -π/4 Donnons deux exemples de fltres passe-bas du premer ordre. Exemple :crcut ( j) j j j Ans en posant on retroue ben la forme d un fltre passe bas de pulsaton de coupure. Exemple :crcut L L ( j) jl L L j Ans en posant on obtent un fltre passe bas de pulsaton de coupure. 74

75 7..4 Dérateur réel ( j) j ( j ) est la pulsaton lorsque G ( ) log ϕ( ) Arg( j) π G( ) db ( j ) ϕ ( ) 4 Arc tan Détermnons les drotes asymptotques : Pour >> ( j) j G ( ) log. ette drote asymptotque croît en foncton de la pulsaton aec une pente de db/décade. Elle passe par le pont (,). π ϕ ( ) Pour << ( j) G( ) db et ϕ ( ) G() dβ db/decade dβ dβ π/ Arg (j) π/4 emarque : comme la foncton de transfert ( j) j est l nerse de la foncton de transfert du fltre passe bas du premer ordre, on a G( ) ( ), ϕ( ) ϕ ( ) G PASSE BAS PASSEBAS 75

76 7..5 Fltre passe-haut du premer ordre j ( j) j ( j) G( ) log π ϕ( ) Arg( j) Arc tan est la pulsaton de coupure lorsque log G( ) db ( j ) π ϕ ( ) 4 Pour tracer les asymptotes : Pour << ( j) j G ( ) log. La drote asymptotque croît en foncton de la pulsaton aec une pente de db/décade. Elle passe par le pont (,). π ϕ ( ) Pour >> ( j) G( ) db et ϕ ( ) 76

77 dβ G() db/decade dβ π/ Arg (j) π/4 emarque : comme la foncton de transfert ( j) j est le produt des fonctons de transfert d un j dérateur parfat et d un fltre passe bas, on a : G( ) G DEIVAEU ( ) G PASSE BAS ( ), ϕ( ) ϕ DEIVAEU ( ) ϕ PASSEBAS ( ) Donnons deux exemples de fltres passe-haut du premer ordre. Exemple :crcut ( j) j j j Ans en posant on retroue ben la forme d un fltre passe haut de pulsaton de coupure. Exemple :crcut L L 77

78 78 L j L j jl jl j ) ( Ans en posant L on retroue ben la forme d un fltre passe haut de pulsaton de coupure fltre passe bas du second ordre La foncton de transfert d un fltre passe bas du second d ordre s écrt sous la forme suante : ) ( ξ j j où ξ est appelé le facteur d amortssement du fltre. Le module et la phase de ) ( jw s écrent : 4 ) ( ξ j tan ) ( ξ ϕ Arc Donc le gan 4 log ) ( ξ G Lorsque, on a : ξ log ) ( G ( ) π ϕ Nous allons mantenant étuder le gan et la phase de cette foncton de transfert en foncton de ξ. Premer cas : > ξ La foncton de transfert peut se décomposer en un produt de deux fonctons du premer ordre : ) ( ). ( ) ( j j j j j En déeloppement le dénomnateur, on obtent les égaltés suantes :

79 j ξ j ξ et sont les solutons de l équaton du second ordre S P P Sot ξ On obtent : ( ξ ξ ) et ( ξ ξ ) aec S et Nous pouons tracer les dagrammes de Bode de la foncton de transfert à partr des dagrammes de Bode des deux fonctons élémentares. On a : G ( ) G ( ) G( ) ϕ ) ϕ ( ) ϕ ( ) ( G(j) dβ -4dB/decade Arg (j) -π/ -π Second cas : ξ Ic, nous aons La foncton de transfert deent : ( j) j G( ) log 6 db 79

80 Etudons les drotes asymptotques du gan G () et de la phase ϕ () Lorsque >> ( j) G ( ) 4log La drote asymptotque décroît en foncton de la pulsaton aec une pente de -4dB/décade. Elle passe par le pont (,). ϕ( ) π Pour << ( j) G( ) db et ϕ ( ) Ans nous pouons tracer les drotes asymptotques du fltre passe-bas du second ordre pour ξ ( ces drotes sont auss alables pourξ < ): G(j) -4dB/decade dβ -4dB Arg (j) -π/ -π/ -π rosème cas : ξ < Dans ce cas, les drotes asymptotques sont les mêmes que celles tracées c-dessus. ependant, la décomposton en produt de fonctons élémentares du premer ordre n est plus possble car elle mplquerat des pulsatons et complexes. Etudons le module de la foncton de transfert : 8

81 8 D j 4 ) ( ξ en posant 4 ξ D ( ) j passe par un maxmum lorsque d dd 8 ξ d dd 4 ξ d dd ( ) ξ La pulsaton de résonance à laquelle le module de la foncton de transfert passe par un maxmum exste s et seulement s > ξ c est à dre s < ξ Détermnons la aleur du module de la foncton de transfert à la pulsaton de résonance : ( ) ) ( ξ ξ ξ ξ ξ j L allure des courbes ) ( G et ) ( ϕ en foncton de est la suante :

82 G() ξ ξ <,7-4dB/décade dβ Arg (j) ξ.7 ξ <. 7 -π/ -π 7..7 fltre passe haut du second ordre La foncton de transfert d un fltre passe haut du second d ordre s écrt sous la forme suante : j ( j) jξ j 7..8 Fonctons de transfert quelconques D une manère générale, la foncton de transfert peut s écrre comme sut en posant p j : 8

83 ( p) N D ( p) ( p) k ak p ak l b p b p l p k l l... a p... b p k l ette fracton ratonnelle comprend un polynôme en p au numérateur et au dénomnateur. Sauf excepton, le degré du numérateur est nféreur ou égal à celu du dénomnateur. Il est toujours possble de mettre la foncton de transfert (numérateur et dénomnateur) sous la forme d un produt de termes en p de degré au maxmum s le fltre est d ordre par et sous la forme d un produt de termes de degré et d un terme de degré s le fltre est d ordre mpar. Sot par exemple pour le dénomnateur : ou D ( p) ( α p β p γ )(...)( α p β p γ ) D pour un ordre par ( p) ( α p β p γ )(...)( β p γ ) pour un ordre mpar On appelle pôles les racnes du polynôme dénomnateur D ( p) et zéros les racnes du polynôme numérateur N ( p). La foncton de transfert à étuder peut donc se mettre sous la forme suante: ( p) Produt de fonctons de base du premer et du second ordre Produt de fonctons de base du premer et second ordre Fltre d ordre N Fltre d ordre Fltre d ordre Fltre d ordre (N mpar) éalsaton d un fltre d ordre N par mse en cascade de fltre d ordre au maxmum Ans, l sera toujours possble de réalser les fltres analogques en cascadant des fltres du deuxème ordre et un fltre du premer ordre s le fltre est d ordre mpar. Attenton : l mpédance de sorte de chaque fltre dot être très fable deant l mpédance d entrée du montage qu lu succède. Exemple : j ( j) j jξ ( j) ( j). ( j) 8

84 Les dagrammes de Bode sont : G( ) G ( ) G ( ) G ( ) ϕ( ) ϕ( ) ϕ( ) ϕ( ) S on a dans l ordre < < on peut tracer les dagrammes asymptotques du gan et de la phase : (j) db/decade -4 -db/decade Arg (j) π/ db/decade π/ - π -π/ -π/ - π/ -π 84

85 8 L AMPLIFIAEU OPEAIONNEL IDEAL 8. Généraltés 8.. Introducton L amplfcateur opératonnel (AOP) est un composant ntégré essentel en électronque. Son rôle prncpal est d assurer la foncton d amplfcaton. est un composant actf qu nécesste donc une almentaton en tenson. Amplfcateur opératonnel sgnfe : amplfcateur : c'est la foncton de base de ce composant opératonnel : les caractérstques de cet amplfcateur nous donnent la possblté de créer des fonctons mathématques telles que dérée, ntégrale, Log... es fonctons furent utlsées dans des calculateurs analogques, et permettaent notamment de résoudre des équatons dfférentelles, et ans de smuler des réponses de systèmes physques ders (mécanques, acoustques...). Le symbole AFNO et IEEE à employer pour l amplfcateur opératonnel est le suant: - A d Notatons : Entrée dte «non nerseuse» notée, entrée «nerseuse» notée -. Symbole de l amplfcaton :. Amplfcaton dfférentelle de l AOP : A d. Une sorte. emarque : On ne fat généralement pas fgurer les tensons d almentaton de l AOP (surcharge nutle des schémas de montage). Il ne faut pas cependant oubler de cabler les broches d almentaton de l AOP pour fare fonctonner correctement le montage! Un amplfcateur opératonnel utlse souent une almentaton symétrque (±Vcc) car généralement l sert pour l amplfcaton de sgnaux bpolares. 8.. aractérstques de l amplfcateur opératonnel déal La caractérstque prncpale de l AOP est sa foncton d amplfcaton. Elle est donnée par la relaton : A s d ed Aec ed, tenson dfférentelle d entrée et Ad amplfcaton dfférentelle. - ed - A d s 85

86 La caractérstque s Ad ed est lmtée par les tensons d almentaton de l AOP. La tenson de sorte s ne pas excéder ces tensons d almentaton. On dstngue donc deux zones : zone lnéare où s Ad ed, zone de saturaton s Vcc ou Vcc proche des tensons d almentaton (saturaton de l amplfcateur en sorte). s Pente A d cc ed - cc Par défnton un AOP parfat ou déal possède les caractérstques suantes : Les mpédances des entrées et «-» sont nfnes, ce qu sgnfe que les courants entrants dans ces bornes sont nuls :, L mpédance de sorte est nulle, ce qu sgnfe que la tenson de sorte s est ndépendante du courant délré par l AOP, L amplfcaton dfférentelle est nfne : A. L amplfcaton dfférentelle est ndépendante de la fréquence des sgnaux d entrée d - ed - A d ed s 8.. aractérstques de l amplfcateur opératonnel réel 74 L amplfcateur réel 74 possède les caractérstques technques suantes : Les mpédances des entrées et «-» sont égales à Mohms. L mpédance de sorte est égale à 75 ohms L amplfcaton dfférentelle n est pas nfn : A d. De plus, l amplfcaton dfférentelle dépend de la fréquence des sgnaux d entrée : A Ad ( j) où c est la pulsaton de coupure du gan à db aec A j c 86

87 G(dB) db db f c f f gan d amplfcaton de l AOP 74 en foncton de la fréquence. Le gan est constant de à fc5,4hz. Ensute l décroît de db par décade. 8. AOP utlsé aec contre-réacton ou en boucle fermée A cause de l amplfcaton nfne (cas parfat) ou très grande (cas réel), l est mpossble d utlser un AOP parfat en boucle ouerte : en effet, aec une amplfcaton dfférentelle nfne la mondre dfférence de tenson 6 entre les entrées et «-» prooque la saturaton de la sorte. Par exemple, aec A d et une tenson d almentaton de V, seulement μv sont nécessares pour amener l AOP à saturaton. D autre part, le facteur d amplfcaton dfférentelle are d un composant à l autre. omme généralement on souhate mposer un facteur d amplfcaton constant dans un montage amplfcateur, on procédera à une contre-réacton de la sorte sur une des entrées (l entrée «-»). On peut schématquement représenter un AOP comme sut. est à dre aec un premer étage qu symbolse la dfférence entre les entrées et «-» sut d un étage d amplfcaton A. d A d s - - AOP Or, comme A d est très grand, l AOP ne peut pas fonctonner tel quel (c est à dre en boucle ouerte) en régme lnéare (la tenson de sorte attent la saturaton). éalsons donc le montage suant où l on prélèe une fracton de la tenson de sorte en la rénjectant dans l entrée nerseuse et appelons e le sgnal entrant sur la borne. e A d s - - B contre réacton 87

88 L dée mse en pratque c consste à n amplfer que la dfférence entre le sgnal d entrée et une fracton du sgnal de sorte. e qu conent ben aec un AOP qu, par constructon, est un amplfcateur dfférentel à grand facteur d amplfcaton. Ans, on comprend asément que s la tenson d entrée ne are pas, la tenson dfférentelle ed nommée auss tenson d erreur, se stablse à tenson proche de zéro, nulle pour un AOP parfat : on attent l équlbre. S la tenson d entrée are, la tenson de sorte sut automatquement. Un tel système est appelé asserssement en automatsme. Le facteur d amplfcaton du système bouclé est facle à calculer à partr des deux équatons suantes : s Ad ed et ed e Bs d où A BF s e Ad A d B Or, s A d B >>, c est à dre que le facteur d amplfcaton de boucle est grand, alors le facteur d amplfcaton aut : A BF s e B Le facteur d amplfcaton de boucle est ndépendant de la aleur du facteur d amplfcaton dfférentel de l AOP. e qu confère à ce type de montage une très fable dépendance aux aratons des caractérstques ntrnsèques des AOP 8. Montages amplfcateurs Dans tous les montages amplfcateurs, la sorte de l AOP est rebouclée sur l entrée nerseuse (entrée «-») de l AOP. Dans ce paragraphe, nous consdérerons que les AOP sont déaux ( mpédance nfne des entrées, gan dfférentel nfn et mpédance de sorte nulle). Pusque le facteur d amplfcaton dfférentel est nfn, la tenson dfférentelle est nulle : 8.. Amplfcateur nerseur Le montage est le suant : ed 88

89 e s Amplfcateur nerseur La mse en équaton de ce montage est smple et s appue sur les hypothèses présentées précédemment. Pusque l mpédance d entrée de l AOP est nfne, aucun courant n entre dans l AOP les deux résstances et sont parcourues par le même courant. Donc e et s. On dt que la borne «-» est une masse rtuelle car même s elle n est pas physquement relée à la masse, tout se passe comme s elle y état. On en dédut tout naturellement le facteur d amplfcaton du montage : A e Pour réalser un amplfcateur dont le facteur d amplfcaton est égal à, on pourra par exemple utlser kω et kω. s 8.. Amplfcateur non nerseur s A e Dans ce cas le sgnal d entrée est applqué sur la borne. Le calcul du facteur d amplfcaton de ce montage est très smple en utlsant l expresson du facteur d amplfcaton d un système bouclé. On a c B s A aec dans ce cas un dseur de tenson à résstance. B e 89

90 e s A e s Amplfcateur non nerseur 8.. Sueur de tenson ou adaptateur d mpédance A s e Amplfcateur sueur e montage possède des proprétés ntéressantes : Facteur d amplfcaton untare mpédance d entrée nfne, mpédance de sorte nulle.. e s, Utlsaton : chaque fos que l on a beson d soler deux portons de crcut pour éter toute nteracton paraste. 8.4 Montages opératonnels omme pour les montages amplfcateurs, la sorte de l AOP est rebouclée sur l entrée nerseuse (entrée «-») de l AOP. On parle c de montages opératonnels car l AOP réalse une opératon arthmétque sur un ou pluseurs sgnaux Addtonneur nerseur ( A B )... s n 9

91 V V s V Vs Amplfcateur addtonneur nerseur La relaton entre s,, et s obtent faclement en utlsant le théorème de superposton ou de Mllman. Dans le cas de résstances toutes dentques, on obtent la somme pure des sgnaux d entrée Soustracteur (ou dfférentateur) s A B 4 V V Vs s 4 4 Détermnaton de la relaton entre, et s : Amplfcateur soustracteur On applque le théorème de Mllman sur l entrée «-» de l AOP et le dseur de tenson l entrée de l AOP : s 4 et 4 omme, on a : s Fnalement on obtent : s 9

92 9 On peut également utlser le théorème de superposton pour obtenr cette relaton. S les quatre résstances sont dentques on a alors le résultat escompté : s 8.4. Addtonneur non nerseur ( ) s n B A... - B A V S V V V K s Amplfcateur addtonneur Détermnaton de la relaton entre et, s : On applque le théorème de Mllman sur l entrée de l AOP et le dseur de tenson l entrée «-» de l AOP : et B A s A omme, on a : K A B A s Aec A B A K Intégrateur Le schéma de montage suant permet de réalser l ntégrale d un sgnal.

93 Ve U DEAL_OPAMP Vs s () t e ()dt t Amplfcateur ntégrateur S le sgnal est snusoïdal on peut exprmer le gan complexe de cet ntégrateur par : A ( j) j j Dérateur Le schéma de montage suant permet de réalser la dérée d un sgnal. Ve U DEAL_OPAMP s () t de () t dt Vs Amplfcateur dérateur S le sgnal est snusoïdal on peut exprmer le gan complexe de cet ntégrateur par : A( j) Amplfcateur logarthmque j A. Log ( ) s e j Le schéma de montage suant permet de réalser le logarthme d un sgnal. 9

94 - V S D U DEAL_OPAMP La tenson drecte aux bornes de la dode s exprmat par : I D V D I S ηv ( e ) aec V k / e / 6 où V est appelée «tenson thermodynamque». A la température ambante ( ou 9 K) S la tenson drecte est supéreure à 5 mv, alors V 5mV. I D S VD V η I e. On a alors la relaton suante entre s et e : s ηv ln( e I S ) 8.5 Montages conertsseurs onertsseur ourant-enson s onertsseur courant-tenson 94

95 Impact de la bande passante de l AOP Nous aons u que le facteur d amplfcaton de l AOP réel dépend de la fréquence. c d j A j A ) ( où c est la pulsaton de coupure du gan à db Lorsque l amplfcateur est réel, on défnt le produt gan bande comme sut (facteur d amplfcaton en basse fréquence multplé par la pulsaton de coupure): c A GB eprenons le montage amplfcateur nerseur mas en consdérant mantenant que le facteur d amplfcaton est égal à ) ( j A d Détermnons la relaton entre e s et : On applque le théorème de Mllman sur l entrée «-» de l AOP : s e omme on a A A d d s ) ( car A s e d s A j e s c e s j A A j ) ( c c e s j j A ' ) ( en néglgeant A deant

96 A aec ' c c De plus, s le facteur d amplfcaton est grand >>, alors' c c A raçons la foncton de transfert ans obtenue : G( ) log log G(dB) ' c log A gan de l'aop réel -db/decade gan du montage amplfcateur log db c c A w La conséquence pour le montage réalsé est que le gan désré ne peut être mantenu au delà d une certane pulsaton. alculons le produt gan bande du montage obtenu : GBmontage c A A c GB On retroue le même produt gan bande que celu de l amplfcateur opératonnel réel. Quelque sot le montage amplfcateur utlsant un AOP, on ne peut pas dépasser le produt gan bande mposé par l amplfcateur opératonnel réel. 96

97 9 SUUES LASSIQUES POU EALISE DES FILES AIFS 9. Introducton Dans ce chaptre, les fltres actfs seront réalsés à l ade de résstances, de capactés et d amplfcateurs opératonnels (pas de selfs). On éte ans les nconénents des selfs (encombrement, résstance paraste, mprécson, ). Nous présenterons deux structures fondamentales qu permettent de réalser des fltres de type passe-bas ou passe-haut du second ordre. 9. ellule de auch ette structure très classque utlse un AOP monté amplfcateur (contre réacton négate) et cnq admttances. Y 4 Y Y A - Y Y 5 V E V S ellule de AUH Détermnons la relaton entre et : s E On applque le théorème de Mllman sur le pont A : EY SY4 A Y Y Y Y 4 SY Par alleurs, on a A Y5 Fnalement, on obtent la relaton suante : 5 S E Y Y 4 5 Y Y Y 5 ( Y Y Y4 Y5 ) 9. ellule de auch pour fltre passe-bas du second ordre 97

98 Pour réalser un fltre passe-bas du second ordre on utlse tros résstances dentques et deux condensateurs : Sot Y Y4 Y5, Y j et Y j On a alors le montage suant : A partr de la foncton de transfert général en Structure de auch pour les fltres passe-bas du second ordre p j, on a : ( p). p p Fnalement on obtent : ( p) p p En dentfant aec la foncton de transfert d un fltre passe-bas du second ordre on a : ξ,, 9.4 Structure de Sallen et Key ou structure à source de tenson commandée ette structure utlse un AOP en amplfcateur non-nerseur ou nerseur et quatre admttances. Y Y N Y K Y 4 V S V E ellule de Sallen et Key 98

99 Détermnons la relaton entre et : s E On applque le théorème de Mllman sur le pont N : S EY Y SY K N Y Y Y Par alleurs, on a S Y4 Y N K Y Y4 Y Y4 Fnalement, on obtent la relaton suante : N S E KYY Y ( Y Y ( K)) Y4 ( Y Y Y ) 9.5 Structure de Sallen et Key pour fltre passe-bas du second ordre Pour réalser un fltre passe-bas du second ordre on utlse deux résstances dentques et deux condensateurs : Sot Y Y, Y j et Y 4 j K b a Structure non-nerseuse de SALLEN et KEY pour les fltres passe-bas du second ordre La foncton de transfert en p j de ce fltre est la suante : ( p) p K ( ( K )) p Aec, ( K ) ξ,, K a b La structure nerseuse de Sallen et Key est la suante : 99

100 a b -K La foncton de transfert en Structure nerseuse de SALLEN et KEY pour les fltres passe-bas du second ordre p j de ce fltre est la suante : ( p) K K * K ( ) p K p Aec, ξ, ( K ) K K,, K K a b 9.6 ransformaton passe-bas -> passe-haut La transformaton de gabart permet de réalser un fltre passe-haut à partr de la foncton de transfert d un fltre passe-bas. théorème de MIA pour la transformaton passe-bas -> passe-haut: Etant donné un réseau composé de résstances et de condensateurs, transformons-le en remplaçant chaque résstance par une capacté ' / et chaque capacté par une résstance ' /. On remplace auss p par / P dans l expresson de la foncton de transfert du fltre Exemple : le fltre passe-bas du premer ordre : deent, ( P) ( p) p ' ' P ' ' P ' ' P On retroue la forme classque d un fltre passe-haut du premer ordre réalsé aec une résstance et un condensateur. 9.7 Structure de auch pour fltre passe-haut du second ordre

101 Applquons-le à la foncton de transfert du fltre passe-bas du second ordre du fltre à structure de auch la transformaton passe-bas passe-haut : ( p) p p deent, en prenant, ' / et ' / et ben sûr p / P ' ( P) ' ' ' P ' ' ' ' ' P ' ' P ' ' P ' P Ans, pour réalser un fltre passe-haut du second ordre on utlse tros condensateurs dentques et deux résstances et : Structure de AUH pour les fltres passe-haut du second ordre P et ξ, P P ( P) Ω, 9.8 Structure de Sallen et Key pour fltre passe-haut du second ordre Sot Y Y j, Y et Y 4

102 K Structure non-nerseuse de SALLEN et KEY pour les fltres passe-haut du second ordre Aec, ( K ) ξ, ( P) P Ω, K K P ( ( K )) P

103 EALISAION DE FILES. Le gabart Les contrantes sur le fltre à réalser sont généralement reportées dans un gabart. e gabart représente la courbe désrée d atténuaton (en décbel) en foncton de la fréquence du fltre. Un fltre est construt pour respecter au meux ce gabart. On rappelle que l atténuaton est l nerse du module de la foncton de transfert. On défnt pour un fltre passe-bas quatre paramètres : L atténuaton maxmale dans la bande passante A max, L atténuaton mnmale dans la bande atténuée A mn, La largeur de la bande de transton défne par : la premère fréquence atténuée f et la dernère fréquence passante f. Le schéma suant présente le gabart souhaté d un fltre passe-bas aec les quatre paramètres précédents. A db A mn A max f Bande passante f Bande de transton Bande atténuée Gabart d atténuaton d un fltre passe-bas. Dfférents types de fltres Il exste dfférents types de fltres selon l applcaton souhatée. Les prncpaux types de fltres et leurs caractérstques sont résumées dans le tableau suant : ype Bande passante Bande atténuée hute ou radeur éponse temporelle Butterworth Plate Monotone Bonne Bonne hebyshe Ondulée Monotone rès bonne Fable Ellptque Ondulée Ondulée La melleure Fable Bessel Plate Monotone Fable La melleure

104 Pour llustrer la chute ou radeur des dfférents fltres nous ndquons dans le tableau suant les atténuatons à la fréquence double de la fréquence de coupure pour des fltres d ordre 6 : ype Atténuaton à fc Atténuaton à fc Butterworth db 6 db hebyshe db 6 db Ellptque db 9 db Bessel db 4 db. Etude du fltre passe-bas de Butterworth.. Introducton Le fltre passe-bas de Butterworth d ordre N est défn par le module carré de sa foncton de transfert de la manère suante : emarques préalables : ( j ) N est toujours de Quel que sot l ordre N de ce fltre, l atténuaton à la pulsaton fréquence db. Les réponses en fréquence des fltres de Butterworth d ordre N quelconque passent donc toutes par ce pont caractérstque. En effet, à, on a : ( j )/ N () sot log( ( j ) / ) db. Sa courbe de réponse en fréquence est la plus plate possble dans la bande passante 4

105 éponse en fréquence d un fltre de Butterworth d ordre N Nous allons mantenant étuder comment ce fltre peut satsfare à un gabart passe-bas mposé. Sa courbe de réponse en fréquence dot s nscrre à l ntéreur de ce gabart (en dehors de la zone grsée)... Détermnaton de l ordre N du fltre pour qu l satsfasse à un gabart On remarque que, d après l expresson précédente, deux paramètres seulement permettent de caractérser entèrement ce fltre : N et (s on exclut le gan statque qu peut faclement être réalsé grâce un smple montage à amplfcateur opératonnel). On pourra donc dans un premer temps consdérer que l amplfcaton en basse fréquence aut. Le gabart mpose qu on satsfasse aux deux condtons suantes : log ( j ) Amax log ( j ) A mn Sot Sot fnalement dans le cas lmte, N log Amax N log A N N mn.amax ( ln ln ) ln( ).Amn ( ln ln ) ) En retranchant membre à membre, on obtent alors l expresson donnant l ordre N du fltre de Butterworth qu satsfat au gabart souhaté. 5

106 .Amn.Amax ( ) ( ) ln ln N ( ln ln) Ou a sgnfe a arrond à la aleur entère supéreure. On se sert souent de cette expresson, mas l est auss très courant d utlser des abaques pour lesquels on traalle en fréquences normalsées. Exemple : A max db, A mn 4dB, f khz, f khz L ordre du fltre de Butterworth satsfasant au gabart est la aleur de N mmédatement supéreure à celle calculée aec la formule précédente. Sot, N 8 (N 7.68, aleur calculée).. Détermnaton de la foncton de transfert du fltre omme nous l aons u, le fltre de Butterworth n est défnt que par ( jπ f ), module carré de sa foncton de transfert. Il nous faut donc détermner la foncton de transfert ( j πf ). Or, on sat que, * ( jπf ) ( jπf )* ( jπf ) ( jπf )* ( jπf ) On a ben, * ( jπf ) ( jπf ) ar tous les coeffcents de la foncton de transfert sont réels. En effet, elle est réalsée à partr de composants passfs de type (L, et ) assocés aec des amplfcateurs opératonnels (fltre actf) ou non (fltre passf ). Par commodté et pour faclter la lsblté, on posera par la sute p j. On aura alors : ( p) * ( p) p p ( ) j N N N..4 Détermnaton des pôles du fltre de Butterworth car N N j ( ) *, on a calculer les racnes ou pôles p. On rappelle que les pôles sont les aleurs qu annulent le dénomnateur d une foncton de transfert. Pour factorser ( p) sous la forme ( p) ( p) On pourra ans l écrre : ( p) p p p p p p ( ) N... On consdérera deux cas selon que N est mpar ou N est par. as N mpar : fltre d ordre mpar. 6

107 p N N p, sot Les racnes du dénomnateur sont les N racnes de l unté. On les troue faclement en exprmant l égalté π e jk cos kπ ) : précédente sous la forme suante (remarquer que ( ) p N e jk π, k enter D où, on tre alors mmédatement la aleur de tous les pôles : On remarque que : p / e jkπ / N aec k et k [, N ] les pôles sont tous dsposés sur un cercle de rayon unté dans le plan complexe et espacés d un angle θ kπ / N, ls sont deux à deux complexes conjugués. Exemple : N, fltre du trosème ordre. jkπ / On a donc, p / e, D où les pôles suants : j / j / p /, p e, p e, p4 p, / π / π I * p 5 p, * p6 p P P θ π / P 4 P P 5 P 6 Dsposton des pôles pour un fltre d ordre N Les tros pôles à gauche de l axe magnare sont p, p4 et p 5. Ils correspondent à ( p) Les tros pôles à drote de l axe magnare sont p, p et p 6. Ils correspondent à ( p) Ans, la foncton de transfert suante est la suante : ( p) p p p p4 p p5 7

108 8 p p p Fnalement, on obtent : ( ) ( ) ( ) / / / ) ( p j p j p p Le lecteur pourra érfer que ces aleurs correspondent à celles reportées dans le tableau donnant les polynômes normalsés ( ) du dénomnateur des fltres de Butterworth : as N par : fltre d ordre par. On a alors, N p, sot N p Les racnes du dénomnateur sont les N racnes de - que l on peut faclement trouer s l on exprme l équaton précédente sous la forme : ( ) π π k j N e p, [ ] N, k D où, on tre alors mmédatement la aleur de tous les pôles : N k N j p e π π / aec k Exemple : N, fltre du deuxème ordre. On a donc, 4 / π π k j e p, D où les pôles suants : ( ) j p /, ( ) j p /, * p p, * 4 p p I 4 / θ π

109 Fnalement, on obtent la foncton de transfert suante: ( p) Dsposton des pôles pour un fltre d ordre N p ( j) p / ( j) / ( p) ( p p / ) / Ordre du fltre ( p p ) ( p )( p p ) 4 ( p.8477 p )( p.765p ) 5 ( p )( p.68p )( p.68p ) 6 ( p.98 p )( p p )( p.576 p ) 7 ( p )( p.89 p )( p.469 p )( p.445p ) ableau des polynômes normalsés ( ) des fltres passe-bas de Butterworth Pour le cas N4, on pourra comparer le fltre ans obtenu par rapport à un fltre composé de deux fltres du second ordre aec ξ, 77 ( fgure BD).4 Etude du fltre passe-bas de chebyche.4. Introducton Les fltres passe-bas de chebyche, comme ceux de Butterworth, sont classés parm les fltres dts «polynomaux» car leur foncton de transfert présente un dénomnateur sous la forme d un polynôme et un numérateur aec une constante. En érté, ce sont des fltres qu possèdent des pôles, mas pas de zéro de transmsson (pas de polynômes au numérateur). Les fltres de chebyche ont été conçus pour tolérer une plus ou mons légère ondulaton du module de leur foncton de transfert dans la bande passante et une atténuaton crossant de manère contnue dans la bande atténuée. ec leur permet, en prncpe d aor une pente plus rade à la fréquence de coupure qu un fltre de Butterworth du même ordre..4. Présentaton du fltre de chebyche Le fltre passe-bas de chebyche d ordre N est défn par le module carré de sa foncton de transfert de la manère suante : 9

110 aec la relaton de récurrence suante, ( jπf ) ε n f f n ette relaton peut auss s écrre : n n n cos narccos pour dans la bande passante n cosh n arg cosh pour > dans la bande atténuée On troue les premères aleurs des polynômes de chebyche en applquant la relaton de récurrence précédente, sot :, 4,,, 4 8 8, etc. 4 On remarque, comme l a été dt dans l ntroducton, que cette foncton de transfert ondule sous la forme d un cos ( nx) dans la bande passante, ce qu permet de répartr unformément l mperfecton d atténuaton dans toute la bande passante..4. alcul du taux d ondulaton dans la bande passante Les fltres de chebyche présentent une ondulaton dans la bande passante qu dépend de la aleur du paramètre ε (réel). En effet, comme ous l aez sûrement remarqué, le dénomnateur du module carré de la foncton de transfert est une foncton oscllante, car formée aec des fonctons en cosnus. ( jπ f ) ε n f f Dans la pratque, seulement tros aleurs d ondulaton dans la bande passante sont couramment utlsées :. db,.5 db, db. e qu sufft généralement. alculons donc les maxma et mnma de la foncton de transfert et remarquons que dans la bande passante on a : n, pour f f Elle aut au maxmum :

111 f ( jπ f ) /, pour n f et au mnmum : f ( jπf ) /, pour n ε f L ondulaton dans la bande passante aut en décbel : log ( ε ) d où : γ db ε. On troue donc les aleurs du paramètre ε qu défnssent une ondulaton donnée. Ondulaton γ db γ db Paramètre ε ableau des aleur du paramètre ε des fltre de chebyscheff éponse en fréquence d un fltre de chebyche d ordre N 5, pour une ondulaton d db dans la bande passante emarques: Les fltres de chebyche présentent N extremum dans la bande passante. La fgure précédente montre la réponse en fréquence d un fltre d ordre 5, présentant 5 extremum dans la bande passante et une ondulaton d db. Les fltres de chebyche d ordre N mpar présentent un maxmum à db à f, pus une alternance de mnma à X db (X aleur de l ondulaton dans la bande :.,.5 ou db) et de maxma à db. Alors que les fltres de chebyche d ordre N par présentent un mnmum à X db à f (X aleur de l ondulaton dans la bande :.,.5 ou db), pus une alternance de maxma à db et de mnma à X db.

112 .4.4 Détermnaton de l ordre N du fltre pour qu l satsfasse à un gabart Pour détermner l ordre du fltre, l faut examner comment l peut satsfare au gabart. Dans le cas de ce fltre, l faudra à l édence assmler la dernère fréquence passante f du gabart à la fréquence de coupure f de ce fltre. En effet, toutes les réponses en fréquence des fltres de chebyche passent par le pont caractérstque d abscsse f, d ordonnée γ db (aleur de l ondulaton dans la bande passante), car on a : f / f n n ( ) n ( ) log ( j f ) / log ( π ) γ db ε Le gabart mpose les deux condtons suantes : log A f f f, ε car () ( ) max log ε n Amn, f f f On tre : de la premère expresson et : de la deuxème expresson. f Amax ε ε f n n f A max Amn coshnarg cosh f f En remplaçant ε par sa aleur, on troue alors l ordre N du fltre par : N A arg cosh A f arg cosh f mn max e cosh cosnus hyperbolque x e x Exemple : A max db, A mn 4dB, f khz, f khz L ordre du fltre de chebyche qu satsfat au gabart oulu est la aleur de N mmédatement supéreure à celle calculée aec la formule précédente. Sot, N 5 (N 4,56 aleur calculée). emarque: L ordre du fltre de chebyche qu satsfat à ce gabart est nféreur à celu de Butterworth qu satsferat au même gabart (ordre N 7). Il nécesste donc mons de composants pour le réalser, mas l présente une ondulaton d db dans la bande passante, alors que le fltre de Butterworth serat plat dans la même bande.

113 .4.5 Détermnaton de la foncton de transfert du fltre Le même type de calcul que pour le fltre de Butterworth peut être mené pour le fltre de chebyche pour trouer les pôles de ( p) et condure à la détermnaton de la foncton de transfert du fltre. En pratque on utlse des tables : Ordre du fltre (.7 p.758p ) (.p )(.598p 576p ) 4 (.758p.97 p )(.65p.475p ) 5 (.855p )(.868p.787 p )(.575p.7 p ) able des polynômes normalsés ( ) des fltres passe-bas de chebyche de, db d ondulaton Ordre du fltre (.6595p.94 p ) (.596 p )(.875p.548p ) 4 (.94 p.97 p )(.857 p.755p ) 5 (.759 p )(.974 p.96 p )(.9654 p.6p ) able des polynômes normalsés ( ) des fltres passe-bas de chebyche de,5 db d ondulaton Ordre du fltre (.97 p.9956 p ) (.p )(.58p.497 p ) 4 (.6p.88p )(.579p.4p ) 5 (.454 p )(.9p.9p )(.8p.6 p ) able des polynômes normalsés ( ) des fltres passe-bas de chebyche de db d ondulaton

114 MONAGES AOP EN EGIME NON LINEAIE. ontre-réacton poste sur un AOP : fonctonnement en boucle fermée Nous aons u qu un AOP déal présente un gan dfférentel nfn ( A d ). est à dre que la mondre dfférence entre les tensons applquées sur les entrées et «-», ed, produt une tenson nfne en sorte. ependant, dans le cas d un AOP réel, cette tenson V sat ou tenson de saturaton est lmtée à une aleur proche de la tenson d almentaton de l AOP. Ved s Pente A d très grande Vs sat ed ed ed > Vs V < Vs V sat sat - sat es deux expressons résument le fonctonnement non-lnéare de l AOP. La tenson sorte ne peut prendre que les aleurs V sat ou -V sat. Supposons mantenant qu on réalse une contre-réacton sur l entrée non-nerseuse et qu on représente schématquement ce montage par la fgure suante. AOP e - ed Ad s K ontre réacton Dans ce cas, l est édent que les éolutons possbles de la tenson de sorte Vs concourent à amener l AOP en saturaton quelque sot le gan K de la contre réacton, sot en résumé (en supposant que la tenson V e n a pas le temps d éoluer) : V s crot V crot V ed crot V s crot fnalement V s V sat V s décrot V décrot V ed décrot V s décrot fnalement V s -V sat 4

115 emarque mportante : Pour un AOP fonctonnant en régme non-lnéare, on pourra consdérer que l on peut aor une tenson dfférentelle mportante contrarement au fonctonnement en régme lnéare. e qu eut dre que l on peut aor : ed. omparateur de tenson smple.. Montages de base Le prncpe est smple. On compare le neau du sgnal d'entrée à une tenson de référence, et selon que celu-c est supéreur ou nféreur à la référence (zéro olt ou toute autre tenson contnue ou non), la tenson de sorte de l AOP audra sot V sat, sot -V sat. Il exste deux confguratons : le comparateur non-nerseur (sgnal sur l'entrée ) et le comparateur nerseur (sgnal sur l'entrée -). V e V e V s V e V s V ref V s omparateurs : non-nerseur, nerseur, aec seul Exemple de sgnaux obtenus (comparateur non-nerseur) : V ref V, V sat V emarque mportante : es montages sont réalsables aec des AOP. Mas ce chox est contestable car les AOP sont destnés à fonctonner préférentellement en régme lnéare (en amplfcaton). Lorsqu on fonctonne unquement en régme non lnéare, meux aut chosr un ra comparateur dfférentel ayant un très fort gan dfférentel et temps de montée très court. 5

116 .. Lmtaton de la tenson de sorte de l AOP Il arre souent qu on cherche à lmter olontarement la tenson de sorte d un comparateur à une aleur nféreure (en aleur absolue) aux tensons de saturaton de l AOP. Pour cela, l sufft d ajouter deux dodes zener montées «tête-bêche» en contre réacton sur l entrée nerseuse de l AOP. Dans ce cas la tenson de sorte aut : Vs ± ( Vz V ). V e V s omparateur aec lmtaton de la tenson de sorte par dodes zener (Output Boundng). omparateur à hystéréss ou rgger de Schmtt.. Justfcaton d un tel comparateur e type de comparateur est très utlsé dans tout système de mesure où l'on dot détecter un seul : l est donc fondamental. est une éoluton du comparateur smple, destnée à amélorer ses performances en présence de sgnaux entachés de brut. En effet, lorsque le sgnal est entaché d un brut, des oscllatons peuent se produre sur le sgnal de sorte lorsque le sgnal d entrée are - même fablement - autour de la tenson de référence (fgure suante). Ve Vref Vs Vsat -Vsat Oscllatons du sgnal de sorte d un comparateur smple en présence d un sgnal bruté 6

117 .. omparateur à hystéréss ou trgger de Schmtt La soluton au problème posé précédemment consste à créer un comparateur à deux seuls : un seul supéreur et un seul nféreur. Lorsque le seul supéreur a été franch, la sorte ne peut à noueau commuter (charger d état) que lorsque le sgnal d entrée est passé en dessous du seul nféreur et récproquement (fgure suante). s e est appelée «cycle d hystéréss». Les flèches représentent le sens de parcours de ce cycle (c, un comparateur non-nerseur). La foncton de transfert f ( ) omparateurs à hystéréss : foncton de transfert du trgger non nerseur (Vref ) e type de comparateur ou «trgger de Schmtt» est réalsable selon deux confguratons : montage nerseur ou non nerseur. V e V s V ref V ref V e V s omparateurs à hystéréss : non-nerseur, nerseur Pusque l on fonctonne en régme non-lnéare, la tenson de sorte ne peut prendre que les aleurs V sat ou -V sat. On démontre que le basculement de la sorte se produt pour les aleurs de la tenson d entrée e reportées dans le tableau suant. 7

118 Non-nerseur Inerseur V V e ref ± V sat V e ± V sat V ref S V ref, alors on a seulement : S V ref, alors on a seulement : V e ± V sat V e ± V sat La tenson de référence permet un décalage horzontal du cycle d hystéréss ( f ( ) ). s e On appelle «hystéréss», la dfférence en aleur absolue entre les deux seuls (supéreur et nféreur). Les formules suantes montrent qu l sufft d agr sur le rapport de deux résstances pour augmenter ou dmnuer sa aleur. Hystéréss pour le montage non-nerseur : V sat, Hystéréss pour le montage nerseur : V sat Exemple d utlsaton de trgger de Schmtt : mse en forme d un sgnal numérque aant d attaquer un crcut logque. Lorsqu un sgnal numérque est transms (sgnal bnare) celu-c peut-être déformé comme le montre la fgure suante. On peut le remettre en forme (allure plus carrée) en le fasant passer au traers d un trgger de Schmtt dont les seuls haut et bas sont V H et V L.. Ve V H V L t Vs t Mse en forme d un sgnal numérque à l ade d un trgger de Schmtt 8

119 .. Varante de trgger Dans le même esprt que pour le comparateur smple, on peut monter deux dodes zener tête-bêche pour lmter la tenson de sorte de l AOP (certans AOP, d alleurs, ne fonctonnent correctement en comparateur qu aec ce montage). On montre que, s V est la tenson de seul nerse de la dode zener et V sa tenson drecte, alors la tenson de V ± V V s. ( ) sorte aut : Ans, la tenson d entrée pour laquelle on aura le basculement de la sorte aut : Le montage est le suant : V ( V V ) e ± z V e V s omparateurs à hystéréss aec lmtaton de la tenson de sorte.4 Oscllateur à relaxaton ou multbrateur astable.4. Introducton Le but de ce montage est de délrer un sgnal carré en sorte : c'est un générateur de sgnal oscllant lbrement. L AOP est monté en contre-réacton sur ses deux entrées. D une part, on a un effet de trgger par la contreréacton sur l entrée non-nerseuse et d autre part un réseau almenté par la sorte de l AOP. haque fos que la tenson sur l entrée nerseuse attendra un des seuls de l hystéréss de l AOP, sa sorte commutera. 9

120 V V Oscllateur à relaxaton : schéma de montage Oscllateur à relaxaton : oscllogramme des sgnaux (sorte et entrée nerseuse).4. Analyse théorque Supposons qu'à l'état ntal V s Vsat et que la capacté n'est pas chargée. Alors, se charge par la sorte au traers de la résstance (aucun courant n'entre par l'entrée "-" de l'aop). t On a ben ed > et une allure exponentelle de la tenson : V sat e. La sorte basculera lorsque > Vsat. La capacté se chargera ensute par Vs V sat. Le prochan basculement se produra lorsque < V sat et ans de sute (fgure suante). V sat V sat Oscllateur à relaxaton : défnton de la pérode de relaxaton

121 Le temps ms par la tenson aux bornes de pour passer de dem-pérode / de s. En prenant mantenant une orgne des temps telle que V Au basculement, sot pour t /, on a de s. sat V sat V V sat à sat e V sat défnt la, l'expresson de est alors : V sat donc on peut faclement en dédure la pérode ln Dans le cas partculer où, la tenson are entre V sat / et V sat /. La pérode du sgnal en dent de sce est alors de : ( ). ln emarque : Ben qu'l sot très smple de monter un tel type d'oscllateur et d'en fare arer la fréquence, ce montage sera néanmons très peu utlsé car l en exste d'autres oscllateurs plus performants et stables..4. Varante d'oscllateur à relaxaton: générateur de sgnaux trangulares t Nous aons u précédemment que la capacté se chargeat à traers la résstance par V s Vsat, une tenson constante. La tenson aux bornes de a une allure exponentelle. Il serat facle d'obtenr une tenson arant lnéarement à condton que la capacté sot chargée par un courant constant. ec est très facle à fare en utlsant un ntégrateur dont l'entrée est relée drectement à la sorte du trgger et dont la sorte est relée à l'entrée du trgger (schéma suant). rgger V Intégrateur V Oscllateur à relaxaton aec génératon de sgnal trangulare

122 Le trgger bascule pour Or, () t ± Vsat dt. ± Vsat et l'ntégrateur fournt () t () t V sat, d'où () t t. Et ( t) est auss la tenson aux bornes de la capacté. Entre deux basculement, cette tenson () t est donc un segment de drote de pente d'ordonnées V sat, V sat. V sat relant les pont V V V sat t V sat / On a donc ben une charge lnéare en foncton du temps de la capacté, donc un courant constant la parcourant Vsat tel que () t. La pérode des sgnaux est alors donnée par : 4