CHAPITRE I : Cinématique du point matériel

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1 I. 1 CHAPITRE I : Cinémaique du poin maériel I.1 : Inroducion La plupar des objes éudiés par les physiciens son en mouvemen : depuis les paricules élémenaires elles que les élecrons, les proons e les neurons qui consiuen les aomes, jusqu aux galaxies, en passan par les objes usuels e les corps céleses. On ne peu espérer bien comprendre commen foncionne la naure que si l on es capable de définir clairemen le mouvemen e de le mesurer. La branche de la physique qui éudie les mouvemens s appelle la mécanique. L éude de la mécanique se subdivise en cinémaique e dynamique. La cinémaique consise à décrire la manière don un corps se déplace dans l espace en foncion du emps sans s aacher aux causes qui produisen ce mouvemen. La dynamique, par conre, s inéresse à ces causes : les forces. Elle relie les forces au mouvemen. Nous limierons nore éude de la mécanique à l éude du mouvemen des poins maériels. Par définiion un poin maériel es un obje sans dimensions spaiales. Bien enendu, dans la plupar des cas, il s agi d une simplificaion, les objes réels occupan généralemen un cerain espace. Néanmoins, ce concep es uile dans bon nombre de siuaions réelles où on ne s inéresse pas aux roaions de l obje sur lui-même ou lorsque les dimensions de l obje peuven êre négligées. C es noammen le cas des charges élecriques en mouvemen dans un circui élecrique. On appelle rajecoire d un mobile l ensemble des posiions successives qu il occupe au cours du emps (voir figure I.1). Figure I.1.

2 I. 2 I.2 : Cinémaique à 1 dimension C es le cas pariculier de la rajecoire reciligne. I.2.1 : Repérage du mobile Le mobile es repéré par une coordonnée carésienne x () sur un axe x qui coïncide avec la rajecoire (ou qui lui es parallèle). Ceci implique le choix d une origine, d un sens e d une unié de mesure de longueur (voir figure I.2). I.2.2 : La viesse moyenne Figure I.2. La viesse d un mobile caracérise la variaion de sa posiion au cours du emps. Soi deux posiions du mobile P 1 e P 2 à deux insans 1 e 2 ( 1 < 2 ). La viesse moyenne du mobile enre les insans 1 e 2 es donnée par : v m( 1, 2) x2 x1 x 2 1 où x 1 e x 2 son les coordonnées des poins P 1 e P 2. x es le déplacemen du mobile pendan l inervalle de emps [ 1, 2 ]. (*) Remarques : A la fois x e v m on un signe. Ils seron ous deux posiifs si le mobile se déplace dans le sens de l axe x, négaifs dans le cas conraire. Sauf dans le cas d un mouvemen à viesse consane, v m dépend du choix de 1 e de 2. (*) Le symbole signifie es défini par

3 I. 3 I.2.3 : La viesse insananée Ean donnée la remarque 2) ci-dessus, la viesse moyenne ne peu servir à caracériser la viesse d un mobile à un insan donné,. En effe, v m (, 2 ) dépend en général de 2. Cee grandeur caracérise d auan mieux la manière don le mobile se déplace à l insan que l inervalle 2 es pei. Dès lors on défini la viesse insananée à l insan par : x x( + ) x() v() lim lim dx() La viesse insananée d un poin maériel es la dérivée de sa coordonnée spaiale x par rappor au emps, à l insan considéré (*) : dx v (I.1) Par conséquen, pour rerouver la posiion d un mobile à chaque insan, à parir de sa viesse insananée, on calcule l inégrale : x() x( ) + v(') ' (I.2) Ceci implique la connaissance de la posiion du mobile à un insan donné, soi : x( ). I.2.4 : L accéléraion L accéléraion d un mobile caracérise la variaion de sa viesse au cours du emps. Procédan comme pour la viesse, on défini l accéléraion à un insan donné par : v( + ) v() dv() a() lim (*) Pour alléger la noaion, nous omerons d indiquer expliciemen la dépendance en des variables cinémaiques lorsque ce n es pas indispensable à la compréhension : x x(), v v(), ec

4 I. 4 L accéléraion insananée d un mobile es la dérivée de sa viesse par rappor au emps, à l insan considéré : dv a (I.3) Par conséquen, pour rerouver la viesse d un mobile à chaque insan, à parir de son accéléraion, on calcule l inégrale : v() v( ) + a(') ' (I.4) Ceci implique la connaissance de la viesse du mobile à un insan donné, soi : v( ). I.2.5 : Deux cas pariculiers de mouvemen reciligne : le MRU e le MRUA a) Le mouvemen reciligne uniforme (MRU) Le MRU es un mouvemen reciligne à viesse consane : v() v Par conséquen : (I.5) a dv (en dérivan) a (I.6) dx ( en in égran) v x() x( ) + v ' x() x + v ( - ), pour le MRU, (I.7) où x x( ). C'es une équaion, représenée par une droie (voir figure I.3). Figure I.3.

5 I. 5 b) Le mouvemen reciligne uniformémen accéléré (MRUA ou MRUV) Le MRUA es un mouvemen reciligne à accéléraion consane : Par conséquen : dv où v v( ) dx() a a ( en in égran) a v() v( ) + a ' ( en in égran) v + a ( ) v() v + a ( - ), pour le MRUA, (I.8) (I.9) x() x + [ v + a (' ) ] ' 1 x() x 2 + v ( ) + a ( ), pour le MRUA (I.1) 2 La foncion x() es du second degré e la courbe à laquelle elle correspond es une parabole (voir figure I.4). Figure I.4. En éliminan enre les relaions (I.9) e (I.1), on rouve la relaion enre la variaion de viesse e le déplacemen, valable uniquemen pour le MRUA : (I.9) Dans (I.1) : v v a ( v v ) 2 v v 1 x x v + a a 2 a2 ( v2 v2 ) 1 2a

6 I. 6 Donc : v 2 v 2 + 2a (x x ), pour le MRUA (I.11) I.2.6 : Uniés L unié de longueur du sysème inernaional d uniés (S.I.) es le mère (m), celle du emps, la seconde (s). Par conséquen, dans le SI, les viesses se mesuren en mère par seconde (m/s) e les accéléraions en mère par seconde au carré (m/s 2 ). I.3 : Cinémaique à plusieurs dimensions I.3.1 : Repérage du mobile Dans le cas d une rajecoire quelconque dans l espace à 3 dimensions ou dans un plan, la posiion du mobile es enièremen déerminée par son veceur posiion à chaque insan : r( ). Figure I.5. r() OP() Ceci implique le choix d une origine O. Dans un référeniel Oxyz, le veceur posiion peu s exprimer en foncion de ses coordonnées carésiennes : x, y, e z.

7 I. 7 Figure I.6. x OP x y OP y z OP z où P x, P y e P z son respecivemen les projecions du poin P sur les axes Ox, Oy e Oz. Le veceur posiion r s écri en foncion de ses coordonnées : r x 1x + y 1y + z 1z (I.12) où 1, x 1 y e 1 z son des veceurs de longueur unié dirigés suivan les axes Ox, Oy e Oz. I.3.2 : La viesse insananée Tou naurellemen, on généralise la noion de viesse insananée vue dans le cas à une dimension, de la manière suivane : r v() lim dr() où r r( + ) r() es le veceur déplacemen enre les insans e +. dr v (I.13) La viesse insananée es donc un veceur qui es la dérivée du veceur posiion par rappor au emps.

8 I. 8 Le veceur v peu s écrire en foncion de ses coordonnées dans le référeniel Oxyz, soi v x, Figure I.7. v y e v z : D après (I.12) e (I.13), nous avons : v vx 1x + vy 1y + vz 1z (I.14) d v x 1x y 1y z z dx dy dz 1x + 1y + 1 z car les veceurs unié 1, x 1 y e 1z son consans. Dès lors, en idenifian à (I.14), il vien : vx vy vz dx dy dz (I.15)

9 I. 9 A la limie où end vers zéro, le veceur r end vers un veceur angen à la rajecoire (voir figure I.7). Le veceur viesse es donc oujours angen à la rajecoire. On peu donc l écrire : v v 1 (I.16) où 1 es un veceur unié angen à la rajecoire au poin considéré, v es le module du veceur v. Il es donc donné par : v v x + vy + vz I.3.3 : L accéléraion insananée L accéléraion insananée s obien de manière analogue : v a() lim dv, où v v( + ) v() es la variaion de viesse enre les insans e +. dv a (I.17) L accéléraion insananée es donc un veceur qui es la dérivée par rappor au emps du veceur viesse. Le veceur a peu s écrire en foncion de ses coordonnées dans le référeniel Oxyz, soi a x, a y e a z : a ax 1x + ay 1y + az 1z (I.18) D après (I.14) e (I.17), nous avons : a d vx 1x + vy 1y + vz 1z dv dv x y dv 1 z x + 1 y + 1z En comparan à (I.18) e en enan compe de (I.15), on obien :

10 I. 1 ax dv 2 x dx 2 ay dv 2 y d y 2 az dv 2 z d z 2 (I.19) Pour voir quelle es la direcion du veceur accéléraion, il fau dériver l expression (I.16) : d a v 1 dv d1 1 + v (I.2) En effe, le veceur unié 1 n es pas consan. Lorsque le mobile se déplace le long de sa rajecoire, le veceur 1, oujours angen à la rajecoire, change de direcion, sauf si la rajecoire es reciligne, auquel cas ce deuxième erme s annule e l accéléraion es elle aussi angene à la rajecoire. On peu monrer que dans le cas général, le deuxième erme de l expression ci-dessus es normal à la rajecoire : a a 1 + an 1n (I.21) dv où l accéléraion angenielle, a, es due à la variaion du module du veceur viesse e l accéléraion normale a n es due au changemen de direcion de v, auremen di à la courbure de la rajecoire ; le veceur 1 n es un veceur unié perpendiculaire à la rajecoire (voir figure I.8). I.3.4 : Cas pariculier du mouvemen circulaire uniforme (MCU) Supposons un mobile qui décri une rajecoire circulaire dans le plan Oxy ; la circonférence a un rayon R e es cenrée sur l origine des axes O. Dans ce cas il es plus commode de ravailler avec des coordonnées polaires ρ e ϕ, pluô qu avec des coordonnées carésiennes.

11 I. 11 Figure I.8. La coordonnée radiale ρ es la disance du poin P à l origine O e ϕ es l angle azimual. Il se mesure depuis l axe Ox, dans le sens rigonomérique (voir figure I.8). Dans le SI, les angles son mesurés en radian (rad). Cee unié es définie comme le rappor de l arc de circonférence s, inercepé par l angle au cenre ϕ, divisé par le rayon de la circonférence (voir figure I.9) : s ϕ[ rad] (I.22) R d où l on dédui : s Rϕ, à condiion que ϕ soi mesuré en radian. Figure I.9. Le radian éan un rappor de deux longueurs, il n a pas de dimensions. Les relaions enre cordonnées polaires e coordonnées carésiennes peuven êre éablies aisémen à parir des relaions rigonomériques du riangle recangle (voir figure I.8) : x ρ cos ϕ y ρ sin ϕ (I.23)

12 I. 12 Dans le cas d une rajecoire circulaire de cenre O, ρ R es consan e la seule coordonnée qui varie dans le emps es l angle ϕ; c es elle qui déermine la posiion du poin P à ou insan. Pour rouver l expression de la viesse dans un mouvemen circulaire, faisons appel à la définiion de celle-ci (voir secion I.3.2) : r v lim, ou en considéran seulemen le module des veceurs : r v lim. A la limie où, la longueur de la corde r end vers la longueur de l arc de circonférence s, inercepé par l angle ϕ (voir figure I.1). P( + ) Donc : s R ϕ dϕ v lim lim R Figure I.1. Ceci nous amène à définir la viesse angulaire ω comme la dérivée par rappor au emps de l angle azimual : dϕ ω (I.24) Nous pouvons donc écrire, pour ou mouvemen circulaire : v Rω (I.25) Cee relaion exprime que le module du veceur viesse es égal au rayon de la circonférence décrie par le mobile, muliplié par la viesse angulaire de celui-ci. On di que le mouvemen circulaire es uniforme (MCU) lorsque la viesse angulaire ω e donc la viesse v es consane. Le emps mis par le mobile pour effecuer un our comple es consan e es défini comme la période T du MCU.

13 I. 13 On a donc : 2πR T e donc : v 2π T (I.26) ω On appelle fréquence du mouvemen, le nombre de révoluions effecuées par unié de emps. La fréquence es donc l inverse de la période : ou encore, à l aide de (I.26) : 1 f, (I.27) T ω f (I.28) 2 π L unié de fréquence du SI es le herz (Hz) ; elle es égale à l inverse d une seconde. Bien que v soi consan l accéléraion n es pas nulle dans un MCU ; celle-ci es due au changemen d orienaion du veceur v avec le emps e es donc normale (voir I.21). Pour rouver l expression de l accéléraion dans un MCU, parons de sa définiion (voir I.3.3) e considérons uniquemen son module : v a an lim, Pour rouver v, considérons le mobile aux insans e + (voir figure I.11.a) : a) b) R Figure I.11. Nous avons vu que pour ou mouvemen, le veceur viesse es angen à la rajecoire. Les veceurs viesse v() e v( + ) fon donc enre eux un angle ϕ, le mobile ayan ourné de ce

14 I. 14 angle pendan le emps. Ayan même module, le mouvemen éan uniforme, ils formen donc avec v un riangle isocèle (voir figure I.11.b) semblable à celui de la figure I.1. Dès lors : v r v R E : v v r R Ce qui donne : v r v a an lim v R R Nous avons donc monré que dans un MCU, l accéléraion vau : v 2 a Rω 2, pour le MCU (I.29) R

15 I. 15 I.4 : Exercices 1. La figure suivane indique la coordonnée d'une paricule selon l'axe x en foncion du emps. x(m) (s) a) Déerminer la viesse insananée aux emps i),5 s, ii) 1,5 s, iii) 3 s, iv) 4,5 s, v) 6 s e vi) 7,5 s. (R : 2 m/s ; m/s ; -2 m/s ; m/s ; 1 m/s e m/s). b) Représener sur un graphique la viesse de la paricule en foncion du emps e sur un aure, l'accéléraion en foncion du emps. 2. Une boule se déplaçan à viesse consane frappe des quilles placées à l'exrémié d'une allée de 16,5 m de long. Le joueur a enendu le brui de l'impac 2,55 s après avoir lancé la boule. Quelle éai la viesse de la boule sachan que le son se propage à une viesse de 33 m/s (R : 6,6 m/s) 3. Un rain marchandise quie Namur pour Bruxelles à 8 h e roule avec une viesse consane de 6 km/h. Un rain passager quie Bruxelles pour Namur à 8 h 15 e roule avec une viesse consane de 12 km/h. Sachan que la disance enre les deux villes es de 6 km, a) à quelle heure se croiseron-ils? b) à quelle disance de Namur se croiseron ils? (R : 8 h 3 ; 3 km)

16 I Un avion doi aeindre la viesse de 5 m/s pour pouvoir décoller. En supposan son accéléraion consane, que doi valoir au minimum celle-ci, si la pise a 625 m de long? Quel emps l'avion me-il alors pour décoller? (R : 2 m/s² ; 25 s) 5. Un conduceur a garé sa voiure dans une rue inclinée. Il se rouve à une disance d en amon de sa voiure, au momen où les freins cèden. L'inclinaison es elle que la voiure prend une accéléraion consane de 2 m/s 2. Un conduceur essaie de raraper la voiure en couran à une viesse supposée consane de 18 km/h. Quelle es la valeur limie de d à parir de laquelle le conduceur ne pourra raraper son véhicule? (R: 6,25 m). 6. Une excursionnise quie son campemen (en O) e parcour successivemen les porions recilignes OA e AB (voir dessin). a) Déerminez les coordonnées carésiennes de chaque déplacemen OA e AB dans le repère indiqué. (R : OA (,7 km ;,7 km) ; AB (1 km ; - 3 km). b) Déerminez les coordonnées du déplacemen oal OB dans le même repère. (R : (1,7 km ; -1 km)). c) Déerminez la longueur e la direcion du déplacemen oal OB. (R : 2 km; ~-3 ).

17 I Un projecile es lancé depuis une haueur de 2 m avec une viesse iniiale de 15 m/s faisan un angle de 45 avec l'horizonale (voir dessin). a) dans le sysème de coordonnées schémaisé ci-dessus, exprimer les coordonnées iniiales du projecile. (R : x m ; y 2 m) b) quelles son les coordonnées du veceur viesse iniiale? ( R : v x 1,6 m/s ; v y 1,6 m/s) c) on peu monrer que la viesse insananée de ce projecile à ou insan ulérieur es donnée par : v x v ox v y v oy g, où g es une consane qui vau approximaivemen 1 m/s 2. Que vau la viesse de ce projecile après,45 s? Quel angle fai-elle avec l'horizonale à ce momen? (R : v 12,2 m/s ; θ 3 ). d) Que valen les coordonnées x e y du projecile en foncion du emps? (R : x v x ; y y + v y ½ g 2 ). e) A quel insan le projecile va--il enamer sa chue? (R : 1,6 s). f) Quelle es la haueur maximum aeine par le projecile? (R : y max 25,6 m).

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