Cours d électrocinétique :

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1 Universié de Franche-Comé UFR des Sciences e Techniques STARTER Cours d élecrocinéique : Régimes coninu e ransioire

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3 Elecrocinéique en régimes coninu e ransioire 1. INTRODUCTION DÉFINITIONS HISTORIQUE BIBLIOGRAPHIE REMARQUES PRÉLIMINAIRES 5. NOTIONS ÉLÉMENTAIRES SUR LES COMPOSANTS ÉLÉMENTAIRES EN RÉGIME CONTINU 6.1. COURANT ÉLECTRIQUE 6.. CHAMP ÉLECTRIQUE, POTENTIEL ÉLECTRIQUE, DIFFÉRENCE DE POTENTIEL. ACTION D'UN CHAMP ÉLECTRIQUE SUR UNE CHARGE Q CHAMP ÉLECTRIQUE, POTENTIEL ÉLECTRIQUE, DIFFÉRENCE DE POTENTIEL 7... ACTION D'UN CHAMP ÉLECTRIQUE SUR UNE CHARGE Q 7.3. DIPÔLES PASSIFS RÉSISTANCE ET LOI D'OHM AUTRES DIPÔLES PASSIFS DIPÔLES PASSIFS NON LINÉAIRES LES DIPÔLES ACTIFS DÉFINITIONS ERREUR! SIGNET NON DÉFINI..4. GÉNÉRATEUR DE TENSION GÉNÉRATEUR DE COURANT EQUIVALENCE ENTRE LES DEUX MODÈLES DE GÉNÉRATEUR DIPÔLES ACTIFS RÉCEPTEURS THÉORÈMES SUR LES CIUITS LINÉAIRES EN RÉGIME CONTINU DÉFINITIONS LOIS DE KIHHOFF LA LOI DES NOEUDS LOI DES MAILLES LOI DES BRANCHES : LOI D'OHM GÉNÉRALISÉE TRANSFORMATION SÉRIE - PARALLÈLE, PARALLÈLE - SÉRIE D UN CIUIT THÉORÈME DE SUPERPOSITION DÉFINITION EXTINCTION D UNE SOUE LIBRE APPLICATION DU THÉORÈME DE SUPERPOSITION THÉORÈMES DE THÉVENIN ET DE NORTON THÉORÈME DE THÉVENIN THÉORÈME DE NORTON EQUIVALENTE ENTRE LES DEUX THÉORÈMES APPLICATION THÉORÈME DE MILLMAN 4 3

4 4. MÉTHODE DE RÉSOLUTION GRAPHIQUE D'UN SYSTÈME LINÉAIRE. POINT DE FONCTIONNEMENT PRINCIPE EXEMPLE 6 5. PUISSANCE DANS LES DIPÔLES LINÉAIRES EN RÉGIME CONTINU INTRODUCTION 8 5. EXPRESSION GÉNÉRALE DE LA PUISSANCE PUISSANCE DANS UN CONDUCTEUR OHMIQUE PUISSANCE DANS UN DIPÔLE ACTIF GÉNÉRATEUR PUISSANCE DANS UN DIPÔLE ACTIF RÉCEPTEUR 9 6 LE RÉGIME TRANSITOIRE RELATION TENSION - COURANT POUR LES DIPÔLES R, L ET C RELATION TENSION COURANT AUX BORNES D UNE RÉSISTANCE RELATION TENSION COURANT AUX BORNES D UN CONDENSATEUR RELATION TENSION COURANT AUX BORNES D UNE BOBINE RÉPONSE D UN CIUIT ET RL À UN ÉCHELON DE TENSION OU DE COURANT RÉPONSE D UN CIUIT R RÉPONSE D UN CIUIT RL PUISSANCE CONSOMMÉE PAR UN DIPÔLE PUISSANCE CONSOMMÉE DANS UN CIUIT PUISSANCE CONSOMMÉE DANS UN CIUIT RL 37 4

5 1. Inroducion 1.1. Définiions Il fau disinguer différens ermes relaifs à l'élecricié. - Le génie élecrique regroupe l'élecricié, l'élecronique e l'élecroechnique. - L'élecricié regroupe l'élecrosaique, l'élecrocinéique e l'élecromagnéisme. - L'élecrocinéique es l'éude des courans élecriques, c'es à dire des déplacemens de charges dans des milieux maériels appelés conduceurs. C'es aussi l'éude des circuis élecriques soumis aux différens régimes des courans élecriques. On disingue 3 ypes de régimes : - le régime saionnaire ou coninu (couran coninu), - le régime ransioire, - e le régime permanen sinusoïdal (couran alernaif). 1.. Hisorique - Les phénomènes d'origine élecrique e magnéique son connus depuis l'aniquié. Thalès De Mile (VI ème siècle avan J.C.) faisai la descripion de quelques phénomènes élecriques e magnéiques : l'élecrisaion par froemen d'un morceau d'ambre qui aire des objes légers ou la pierre de magnésie (oxyde de fer) qui aire des anneaux de fer. Le mo élecricié vien du mo grec signifian ambre (elekron :jaune). - Ces différens phénomènes reseron anecdoiques jusqu'au 17 ième siècle. Sephen Gray ( ) découvre la conducion de l'élecricié. Benjamin Franklin ( ) éablie la héorie des condensaeurs es consrui des paraonnerres. Alexandro Vola ( ) consrui la première pile. - L'élecricié qui éai jusqu'à lors saique devien dynamique e l'éude des courans élecriques perme de mere en évidence le lien enre l'élecricié e le magnéisme. Tous ces ravaux seron menés par André-Marie Ampère ( ), François Arago ( ), Michael Faraday ( ), George Simon Ohm ( ) e Gusav rober Kirchhoff ( ). - En 1864, James Clarke Maxwell ( ) propose une héorie relian les champs magnéique e élecrique e prédi la propagaion des ondes élecromagnéiques. Cee héorie rese en vigueur pour expliquer de nombreux phénomènes physiques Bibliographie - Collecion Travaux Dirigés 1er cycle chez Hachee Supérieur : - Volume 1 : "Techniques mahémaiques pour la physique" de Soum e al. - Volume 3 : "Circuis élecriques e élecroniques" de Soum e al. - Collecion Flash Universiaire chez A. Colin : "Elecronique" de M. Fourier. - Collecion Cursus chez A. Colin : "Elecrocinéique" de L. Quarana. - Collecion J'inègre chez Dunod : "Elecrocinéique. - Collecion H prépa chez Hachee Supérieur : "Elecronique, élecrocinéique I" Remarques préliminaires L'élecrocinéique es le domaine ou les manifesaions des mouvemens de poreurs de charge son éudiées en erme de couran e de ension. Si ces grandeurs son consanes dans le emps 5

6 on parle de régime coninu ou indépendan de emps. Ces grandeurs seron alors noées avec des majuscules. I pour le couran e U pour la ension. Il ne fau pas confondre le régime coninu avec le régime permanen que l'on uilise pour décrire le foncionnemen de circuis soumis à des ensions/courans alernaifs. Enfin, le régime ransioire décri la réponse d'un circui soumis à une brusque variaion de couran/ension.. Noions élémenaires sur les composans élémenaires en régime coninu.1. Couran élecrique Le couran élecrique es dû au déplacemen de charges dans un conduceur. Les effes élecriques connu avan le 19 ième siècle ne permeaien pas de connaîre la naure de ces charges aussi le choix du sens de déplacemen a éé arbirairemen celui des charges posiives. Ce n'es qu'en 1879 avec la découvere de l'effe Hall que l'on a idenifié la naure des poreurs de charges. Il s'agi des élecrons qui possède une charge négaive q = -e = C (Coulomb). Définiion de l'inensié d'un couran élecrique à ravers un cylindre conduceur de secion S : q c'es la quanié de charge élecrique q qui raverse S pendan un emps. I = s exprime en ampère (A ou C.s -1 ) avec q en coulomb e en s (1A 1C.s -1 ~ e-.s -1 ). 6

7 .. Champ élecrique, poeniel élecrique, différence de poeniel. Acion d'un champ élecrique sur une charge q...1. Champ élecrique, poeniel élecrique, différence de poeniel Soi une charge q dans le plan. Le champ élecrique produi par cee charge en un poin M de l espace es donné par q E =. u. 4 πε0r Le champ s'exprime en V.m -1 ou V/m. r es la disance enre la charge e le poin M. OM u = es le veceur uniaire pris dans la direcion du veceurom. ε0 OM = π 10 F/ m es la permiivié du vide. Le poeniel au poin M créé par la charge es égal q à V =. Il s'exprime en Vol (V). Lorsque la 4 πε0r charge es posiive (q>0), le poeniel décroî lorsque le poin M s éloigne de la charge. Lorsque la charge es négaive (q<0), le poeniel croî lorsque le poin M s éloigne de la charge. On consae alors que le champ élecrique E produi par la charge en un poin M de l espace es oriené vers les poeniels décroissans. Si la charge se déplace d'une quanié dr, cela va induire une variaion du poeniel au poin dv = E. dr. Enre les poins M 1 e M, il exise une différence de poeniel (d.d.p.) qui q 1 1 es égale à V1 V = 4πε ( ) qui s'exprime en Vol (V). r r Acion d'un champ élecrique sur une charge q En élecrocinéique il y a des charges fixes qui créen des champs e d'aures charges mobiles qui se déplacen dans ces champs. Ainsi une charge élecrique q placée dans un champ élecrique E es soumise à une force F = qe. Cee force s exprime en newon (N).Dans le cas ou cee charge mobile es un élecron (q=e), sous l acion de cee force elle se déplacera dans le sens opposé au champ élecrique. De façon évidene les élecrons se déplacen donc vers les poeniels croissans e le couran élecrique e oriené comme le champ élecrique vers les poeniels décroissans. 7

8 .3. Dipôles passifs Un dipôle es un élémen de circui présenan bornes. Un mulipôle présene plus de bornes. Un dipôle passif es un dipôle récepeur qui ransforme oue l énergie qu il reçoi sous forme de chaleur Dipôles passifs linéaires : la résisance. Loi d'ohm Une résisance es un dipôle linéaire passif don le symbole es le suivan : Si on lui applique enre ses bornes A e B une d.d.p. U AB = V A -V B, il sera parcouru par un couran I el que U AB = RI. R es appelée la résisance du dipôle. Cee loi enre le couran e la ension es empirique e es vérifiée par la plupar des dipôles passifs en régime coninu. R s'exprime en Ohm (Ω). A) REMARQUES - R es oujours posiif. U AB e I son donc de même signe. - La loi d'ohm peu égalemen se mere sous la forme I = GU AB ou G = 1/R es la conducance e s'exprime en Siemens (S). B) CONVENTION DE SIGNE La convenion «récepeur» indique que la ension es oujours orienée du poeniel le plus bas vers le poeniel le plus élevé. Si V A > V B, U AB sera oriené de B vers A. Les élecrons se déplaçan dans le sens du poeniel croissans (B vers A), le couran lui es oriené de A vers B. C) CARACTERISTIQUE STATIQUE D'UN DIPOLE On appelle caracérisique saique d'un dipôle, la courbe représenan la variaion du couran I raversan un dipôle ou de la ension U AB à ces bornes en foncion de la ension appliquée à ses bornes ou du couran qui le raverse. Dans le cas d'une résisance, il s'agi d'une droie affine don la pene correspond à R ou G selon la représenaion choisie. D) RESISTIVITE, CONDUCTIVITE Dans le cas d'un conduceur cylindrique de secion S e de longueur l présenan des charges libres assuran la conducion. Si on soume les exrémiés de ce conduceur à une différence de poeniel, les élecrons libres von avoir un mouvemen d ensemble de viesse moyenne v. 8

9 Pendan un emps d la secion S du conduceur sera raversée par un couran dq I = ou dq représene la quanié de d charge raversan la secion S pendan un emps d. Les dn élecrons consiuan la charge dq son conenus dans un volume dv=svd. D aure par on a dq=dne=ndve où n es la densié volumique de poreurs de charges, d où : dq=nesvd e I=nSve. Dans cee expression seule la viesse moyenne des élecrons peu varier. Cee viesse, due au champ élecrique E, qui es uniforme, es proporionnelle à la d.d.p. enre les exrémié du conduceur de longueur l : v µ U AB =. µ es appelée la l mobilié des élecrons. S S S En conséquence I = µ ne UAB = γ UAB. Ou encore I = GUAB avec G = γ. γ es la l l l conducivié (S.m -1 l l ). En inversan la relaion on a : UAB = I = ρ I ou encore UAB = RI µ nes S l l avec R = = ρ. ρ es la résisivié (Ω.m). µ nes S Si R augmene (S e l consans) cela signifie que la résisivié augmene ou que la conducivié diminue. La résisance dépend de la empéraure. Si T augmene R augmene. En effe, l'agiaion hermique gêne la circulaion des élecrons. A T = 0 K (-73 C), la résisivié es nulle donc R = 0. C'es ce que l'on appelle la supraconducivié. On a alors conducion de l'élecricié sans pere d'énergie. E) CONSEQUENCE DE LA RESISTANCE : L'EFFET JOULE La circulaion d'un couran dans une résisance produi un échauffemen :l'effe Joule. En effe le dipôle passif ransforme l'énergie élecrique en énergie calorifique. La puissance dissipée par le dipôle es égale à P = RI². Cee puissance s'exprime en Wa (W). Applicaions : radiaeurs, éclairage à filamen, fusible. F) ASSOCIATION DE RESISTANCES, CALCUL DE RESISTANCE EQUIVALENTE On disingue deux façons d'associer des résisances. Elles son associées soi en série soi en parallèle. Associaion série : 9

10 Les résisances R i son oues raversées par le même couran I e on une seule borne en commun avec un aure dipôle. La ension U AD es égale à la somme des ensions aux bornes de chacun des dipôles : UAD = UAB + UBC + UCD = RI 1 + RI + R3I = ( R1+ R + R3 ) I = Réq. I. D où la résisance équivalen à l associaion de ces dipôles : Réq. = R1+ R + R3. Dans le cas ou N dipôles son associés en série, la résisance équivalene s exprime : R. = R. Associaion parallèle : L associaion de dipôles en parallèle se caracérise par le fai que ous les dipôles on leurs bornes en commun deux à deux. En conséquence de quoi la ension aux bornes de chacun des dipôles es idenique. éq N i = 1 i Le couran I qui alimene ces dipôles branchés en parallèle va alors se reparir dans les dipôles el que : UAB UAB U AB UAB I = I1+ I + I3 = + + = UAB R1 R R R1 R R =. D ou la résisance 3 Réq équivalene : = + + ou on préfèrera alors dans le cas d associaion de dipôles Réq. R1 R R3 en parallèle uiliser la conducance : Géq. = G1+ G + G3. Pour l associaion de N dipôles en N 1 1 parallèle on noe respecivemen la résisance e la conducance équivalenes : = e R R G éq. N = G. i = 1 i.3.. Aures dipôles passifs éq. i = 1 i A) LES CONDENSATEURS PARFAITS Ils son consiués de deux armaures conducrices séparées par un isolan. 10

11 En régime coninu le condensaeur es chargé par la d.d.p. appliquée à ses bornes e il se compore comme un inerrupeur ouver (I=0). Par analogie avec les résisances, ils présenen une résisance infinie. C : capacié en farad (F). B) LES SELF-INDUCTANCES PARFAITES Elles son consiuées de bobines qui lorsqu'elles son parcourues par un couran coninu se compore comme un cour-circui. Par analogie avec les résisances, elles présenen une résisance nulle. L : inducance en henry (H). L'inérê de ces deux dipôles résiden dans les propriéés en régime ransioire ou permanen sinusoïdal. Ils son capable alors d'emmagasiner de l'énergie puis de la resiuer ulérieuremen. Cependan la puissance moyenne dissipée es oujours nulle Dipôles passifs non linéaires Ce son des dipôles qui présenen une caracérisique couran/ension qui n'es pas linéaire els que les varisances ou les diodes..4. Les dipôles acifs Caracérisiques de dipôles non linéaires - Pour un dipôle acif oue l énergie élecrique mise en jeu n es pas dissipée sous forme de chaleur. Il y a ransformaion. Il peu ransformer : o de l énergie élecrique en énergie non calorifique (mécanique, chimique, opique, élecrique). Il s agi d un dipôle acif récepeur e à ces bornes on mesure une force conre élecromorice (f.c.é.m.). Il s'agi d'une ension. 11

12 o de l énergie non calorifique (mécanique, chimique, opique, élecrique) en énergie élecrique. Il s agi d un dipôle acif généraeur e à ces bornes on mesure une force élecromorice (f.é.m.). Il s'agi aussi d'une ension. - Un dipôle acif peu-êre généraeur : il fourni alors de l énergie élecrique (pile, urbine, baerie, générarice, ) - Un dipôle acif peu-êre récepeur : il ransforme alors l énergie élecrique en une aure forme d énergie (moeur, ransformaeur, ). - Cerain dipôle acifs son réversibles e foncionner soi comme généraeur soi comme récepeur (cas d une baerie de voiure)..4. Généraeur de ension.4..1 Généraeur de ension idéal C es un dipôle aux bornes duquel la ension rese consane quelle que soi l inensié du couran délivré. Cee ension es appelée force élecromorice (f.é.m.). La caracérisique U MN =f(i) es une droie horizonale. Par convenion le signe «+» indique la borne posiive e la ension au borne du généraeur de ension es orienée vers le «+». Dans le cas ou le généraeur de ension se compore comme un généraeur le couran quie la borne «+» e es compé comme posiif. Le couran +I lim indique la valeur maximal que peu délivré ce généraeur avan sa desrucion. Lorsque le couran es négaif, alors le généraeur se compore comme un récepeur (le sens du couran es alors imposé au généraeur par un aure dipôle acif du circui) Généraeur de ension réel C es un dipôle el que, lorsque l inensié du couran qu il délivre croî la ension à ces bornes décroî. La chue de ension U es proporionnelle à I ce qui es caracérisique d une résisance. On écri U=-rI avec r la résisance die «inerne» du généraeur. La ension à ses bornes lorsqu il es branché aux bornes d un récepeur s écri : U MN =E-rI. Le modèle équivalen di de Thevenin es l associaion en série d un généraeur parfai de f.é.m. E e d une résisance r. La caracérisique d un généraeur de ension réel es une droie ne passan pas par l origine de pene négaive. L inersecion de la courbe avec l axe des ordonnées correspond à la ension relevée aux bornes de généraeur lorsque qu il n y a aucune charge branchée aux bornes du généraeur (I=0, ou généraeur en circui ouver) soi U MN =E la f.é.m. du généraeur. La caracérisique coupe l axe des abscisses lorsque U MN =0 c'es-à-dire lorsque la charge présene une résisance nulle c'es-à-dire lorsque les bornes du généraeur son cour-circuiées alors le généraeur débie un couran di de cour-circui I cc =E/r. 1

13 .4.3 Généraeur de couran Généraeur de couran idéal C es un dipôle débian un couran consan I 0 (couran élecromoeur c.é.m.) indépendan de la ension à ses bornes. La caracérisique I = f(u AB ) es une droie horizonale. Lorsque le généraeur foncionne comme généraeur dans un circui la ension es compée posiive e orienée comme le couran Généraeur de couran réel C es un dipôle à la sorie duquel il y a une chue de couran I lorsque la ension à ces bornes croî. Cee chue de couran es proporionnelle à U MN e elle es associée à une résisance de conducance g elle que I=-gU MN, l inensié délivrée sera alors égale à : I=I 0 -gu MN avec g=1/r conducance du généraeur. Le modèle équivalen, di de Noron, es l associaion en parallèle d un généraeur de couran idéal e d une résisance r. La caracérisique I=f(U MN ) es une droie ne passan pas par l origine, de pene négaive. Lorsque la ension U MN =0, c es à dire lorsque les bornes M e N son courcircuiées le couran débié par le généraeur es égal au c.é.m.. D aure par lorsque la charge présene une résisance infinie (auremen di lorsque le généraeur es en circui ouver I=0) alors on relève aux bornes du généraeur une ension ri Equivalence enre les deux modèles de généraeur Nous venons d éablir les modèles équivalens des généraeurs de ension e de couran réels. Nous avons éabli que : E UMN généraeur de ension : U = MN E ri, I = r r, I0 I généraeur de couran : I = I 0 gumn, U = MN g g. E 1 L idenificaion enre ces deux sysèmes d équaions donne : I = 0, g r = r. 13

14 Ces égaliés peuven égalemen s obenir à parir des deux modèles en circui ouver : E Ces généraeur son considérés comme équivalen si I 0 = ou E = ri0. Cee équivalence r enre les deux ypes de généraeurs es imporane pour la simplificaion de circui comporan uniquemen des dipôles linéaires..4.5 Dipôles acifs récepeurs Ce son des dipôles consomman de l énergie élecrique e qui en ransforme une parie sous une aure forme d énergie. Pour ces dipôles acifs récepeurs, l inensié enre oujours par le pôle «+» e ressor par le pôle «-» à l inverse d un dipôle acif genéraeur. Ils son de deux ypes : polarisés si leurs bornes son indépendanes du sens du couran, polarisables si leurs bornes son dépendanes du sens du couran. Dans les deux cas le modèle équivalen sera : La caracérisique d un dipôle acif récepeur es une droie ne passan pas par l origine de pene posiive. L inersecion de la droie avec l axe des ordonnées correspond la ension relevée aux bornes du dipôle lorsque celui-ci es en circui ouver (I=0). Remarque : Le symbole que nous uilisons pour le récepeur es différen de celui du généraeur pour bien monrer qu il s agi d un récepeur. La f.é.m. du dipôle acif récepeur es noée «e» égalemen pour la disinguer de celle d un dipôle acif généraeur. 14

15 3. Théorèmes sur les circuis linéaires en régime coninu L'objecif es d'analyser des circuis e de calculer les ensions/courans de ces circuis. Nous allons éudier un ensemble de echniques de bases e nous discuerons du choix de la méhode en foncion du ype de circui e de sa complexié Définiions Soi le circui suivan : On défini ainsi les ermes suivans : un circui/réseau es un ensemble de composans ou dipôles reliés par des fils de connexion qui peu êre analysé en erme de noeuds, de branches e de mailles. un noeud es un poin de joncion enre rois fils de connexion minimum. une branche es consiuée par un ensemble de dipôles monés en série enre deux noeuds. dipôles son monés en série lorsqu'ils son raversés par le même couran. une maille es un ensemble de branches forman un conour fermé que l'on peu parcourir en ne passan qu'une fois par chaque noeud inermédiaire. Une maille pourra êre orienée de façon arbiraire. Dans nore exemple on compe noeuds e 3 mailles e 3 branches. Remarques: Dans un circui qui possède n noeuds indépendans il y a n-1 poeniels inconnus e le n ième es appelé la masse. La masse es un noeud de référence de poeniel. La valeur du poeniel des aures noeuds du circui sera donnée par rappor à cee référence. Le symbole es le suivan : Il ne fau pas le confondre avec le symbole de la erre qui correspond au vrai poeniel 0V. Touefois, la masse d'un circui es en général reliée à la erre (mais pas oujours). 15

16 3.. Lois de Kirchhoff Le physicien allemand Gusav Rober Kirchhoff a éabli en 1845 deux lois qui fonden ous les calculs de réseaux élecriques : - la loi des nœuds, - la loi des mailles la loi des noeuds Cee loi exprime la loi de conservaion de la charge élecrique. Pour un noeud donné la somme des courans qui arriven à ce noeud es égale à la somme des courans qui en paren. Pour un noeud donné, on peu symboliser cee relaion par l'expression générale suivane : k ε I = 0, avec ε k = +/-1 selon que le couran I k arrive ou par d'un noeud. A priori k k l orienaion des courans es iniialemen inconnue, aussi on oriene arbirairemen ces courans dans les différenes branches du circui. L applicaion numérique indique selon le signe si le couran a éé oriené correcemen. Dans l exemple présené ci-dessus conenan noeuds : - au nœud A I 1 =I +I 3, - au nœud B I +I 3 = I 1. Ces deux relaions son ideniques e donne : I +I 3 -I 1 =0. On consae avec cee équaion que sur les rois inconnues deux son indépendanes. Ce qui rédui le nombre d inconnues à Loi des mailles Cee loi es une conséquence de l'addiivié des ensions. Les ensions expliciées en ermes de différences de poeniels nous permeen d'écrire pour la maille considérée e orienée de façon arbiraire : (V A -V B ) + (V B -V C ) + (V C -V D ) + (V D -V A ) = 0. Soi encore : U AB + U BC + U CD + U DA = 0. Cee dernière relaion ne préjuge en rien de la naure des dipôles de la maille. D'où la relaion généralisée pour une maille orienée : ε U = 0, avec ε k = +/-1 selon que la ension aux k k k bornes du dipôle es orienée ou non selon l orienaion choisie de la maille. Dans nore exemple pour les 3 mailles idenifiées : - maille n 1 E 1 -ri 1 -R 1 I 3 =0, - maille n R 1 I 3 -R I -R 3 I =0, - maille n 3 E 1 -ri 1 -R I -R 3 I =0. 16

17 3..3. Loi des branches : loi d'ohm généralisée Dans une branche d un circui conenan un ou plusieurs dipôles associés en série enre les deux nœuds délimian cee branche, la ension es égale à la somme des ensions aux bornes de chacun des dipôles elle que : U n = ε U avec ε i = +/-1 selon que la ension aux bornes du dipôle D i es orienée ou non AB i D i i = 1 comme la ension U AB. Dans nore exemple où nous avons idenifié 3 branches : - branche n 1 : U AB = E 1 -r 1 I 1, - branche n : U AB = R 1 I 3, - branche n 3 : U AB = R I +R 3 I. Grâce à ces différenes lois nous avons éabli suffisammen d équaions pour résoudre oues les inconnues de ce circui. Dans un circui présenan n noeuds e b branches il exise c=bn+1 courans indépendans dans le circui. Le problème revien donc à résoudre un sysème à c inconnus. Il fau donc écrire c équaions indépendanes. Dans nore exemple c=3-+1=. Parmi oues ces équaions deux suffisen pour résoudre le problème. Par exemple ou peu rechercher la ension U AB ou la ension aux bornes de R Transformaion série - parallèle, parallèle - série d un circui La résoluion du sysème d équaions es simple lorsque le nombre d inconnus es faible ouefois lorsque celui-ci devien imporan il es souhaiable de simplifier au maximum le monage dans la perspecive de la quesion posée. Il es uile parfois d uiliser la résisance équivalene de résisances associées soi en série soi en parallèle e l équivalence enre les généraeurs de couran e de ension vue précédemmen dans ce objecif de simplificaion. Ainsi dans l exemple de circui présené au 3.1 si on cherche la valeur du couran I 1 ou de la ension U AB, il es praique de réaliser la ransformaion suivane du circui : Dans la mesure ou l on s inéresse au couran débié par le généraeur, la naure des aures dipôles consiuan le circui impore peu. Nous pouvons donc simplemen subsiuer aux résisances R 1, R e R 3 la résisance équivalene à l associaion de ces rois résisances. Il s agi de l associaion en série des résisances R e R 3 associée en parallèle avec R 1. Ce qui 17

18 ( + ) ( ) R1 R R3 donne : Réq. = R1//( R + R3) =. Le schéma se simplifie alors en remplaçan R1+ R + R3 ces résisances par la résisance équivalene. Le monage ne conien alors plus qu une seule maille parcourue par le couran I 1 que l on cherche. Pour cee maille on peu écrire E UAB = E ri1 = Réq. I1soi I 1 = Réq. + r. On en dédui Réq. E UAB = Réq. + r. Mainenan si on cherche le couran I 3 circulan dans la résisance R 1, il es commode ici de réaliser une ransformaion parallèle du généraeur de ension, c.a.d. ransformer le généraeur de ension en son généraeur de couran équivalen, soi : Nous avons égalemen remplacé l associaion en série des résisances R e R 3 par la résisance équivalene R +R 3. Les nœuds A e B son respecivemen idenique aux nœuds A 1 e B. La loi des nœuds perme d écrire que : ge = guab + GU 1 AB + G3U AB ou g =, r 1 1 G1 = e G3 = les conducances des résisances dans chaque branche. Alors R 1 R + R3 ge GgE 1 UAB =, soi I3 = GU 1 AB =. g + G + G g + G + G La ension U AB calculée dans ces deux exemples donne le même résula. En conclusion, en foncion de la grandeur recherchée il convien d opérer les simplificaions e ransformaion perinenes Théorème de superposiion Lorsqu un circui compore plusieurs dipôles acifs généraeurs, la résoluion du circui devien rapidemen compliquée. Aussi nous allons voir une méhode permean de résoudre simplemen ce ype de circui. Le héorème de superposiion ne s applique qu aux circuis consiués de dipôles linéaires. De façon général un circui peu-êre représené sous la forme de l associaion en parallèle du dipôle passif éudié avec un dipôle acif conenan oues les sources du circui e les aures dipôles passifs. 18

19 Définiion En régime coninu l inensié I qui parcour le dipôle éudié e la ension U AB à ses bornes son égaux respecivemen à la somme des courans e des ensions relevés lorsque l on éein successivemen l ensemble des sources sauf une Exincion d une source libre Exincion d'une source de ension Une source libre de ension es éeine lorsqu'elle es remplacée par un courcircui. Cela revien à donner une valeur nulle à sa f.é.m Exincion d'une source de couran Une source libre de couran es éeine lorsqu'elle es remplacée par un circui ouver. Cela revien à donner une valeur nulle à son c.é.m.. Remarque : Il es uile de se rappeler que l'exincion d'une source libre revien à enlever le cercle de son schéma Applicaion du héorème de superposiion Soi le circui suivan, consiué d un généraeur de ension e d un généraeur de couran respecivemen de résisance inerne r 1 e r e d une résisance R associés en parallèle. Exincion du généraeur de ension : 19

20 Après exincion du généraeur de ension on peu simplifier le schéma en considéran d une par l associaion en parallèle des résisances r 1 e r puis en réalisan la ransformaion parallèle-série du généraeur de couran (remplacemen du généraeur de couran par le généraeur de ension équivalen). Le circui es alors consiué d une seule maille e on obien : réq.0 I Rréq.0 I I1 = e UAB = RI 1 1 =. R + réq. R + réq. Exincion du généraeur de couran : Après exincion du généraeur de couran on peu simplifier le schéma en réalisan la ransformaion série-parallèle du généraeur de ension (remplacemen du généraeur de ension par le généraeur de couran équivalen) puis en considéran d aure par l associaion en parallèle des résisances r 1 e r. La résoluion du circui condui à : réq. E Rréq. E I = e UAB = RI =. r1 ( R + réq. ) r1 ( R + réq. ) Lorsque les deux généraeurs son allumés alors : 0

21 ( + ) réq.0 I réq. E réq. ri 10 E I = I1+ I = + = R + r r ( R + r ) r ( R + r ) éq. 1 éq. 1 éq., e ( + ) Rréq.0 I Rréq. E Rréq. r10 I E UAB = UAB + U 1 AB = + = R + r r( R + r ) r( R + r ) éq. 1 éq. 1 éq Théorèmes de Thévenin e de Noron Toue porion d un circui ne comporan que des dipôles acifs e passifs linéaires peuven êre remplacés par un dipôle acif linéaire équivalen. Le modèle équivalen choisi peu êre celui de Thévenin ou celui de Noron Théorème de Thévenin Lorsque l on s inéresse à la ension aux bornes d un dipôle ou au couran qui le raverse, nous avons vu précédemmen qu il éai possible de considérer le circui comme l associaion de deux dipôles : un dipôle passif D (le dipôle éudié) e d un dipôle acif linéaire D 1 regroupan les aures composan du circui. Si on remplace le dipôle D 1 par son modèle équivalen de Thévenin (généraeur de ension idéal de f.é.m. E h en série avec une résisance R h ) la ension U AB es égale à : UAB = Eh RhI. En déerminan les expressions de E h e R h ) en foncion des caracérisiques de dipôles consiuan le dipôle D 1, la résoluion du circui es alors RD E h Eh simplifiée. En effe il vien UAB =, I =, où R D es la résisance Rh + RD R h + RD équivalene du dipôle D. La déerminaion des caracérisiques du généraeur de Thévenin équivalen s opère de la façon suivane. Lorsque l on coupe la liaison enre les dipôles D 1 e D, on a aux bornes du dipôle une inensié nulle du couran e on relève ce que l on appelle la ension en circui ouver U AB0 elle que : U = E. AB0 h 1

22 D aure par si on éein oues les sources du dipôle D 1 la résisance «vue» enre les bornes AB es égale à la résisance R h. En conséquence Eh représene la ension à vide e R h es la résisance équivalene enre les bornes AB lorsque oues les sources de ce dipôle son éeines Théorème de Noron Il s agi d une variane du héorème de Thévenin ou le dipôle D 1 es remplacé par son modèle équivalen de Noron (généraeur de couran idéal de c.é.m. I N en parallèle avec une résisance RR N D RI N N R N. Alors il es facile d éablir que UAB = IN, I =. Encore une fois il RN + RD R N + RD s agi de déerminer les expressions de I N e R N en foncion des caracérisiques des dipôles consiuan le dipôle D 1. Pour déerminer I N il fau simplemen consaer que lorsque l on cour-circuie les bornes A e B du dipôle D 1, la ension U AB es nulle e le couran de cour-circui I cc es égal à : Icc = IN. D aure par si on éein oues les sources du dipôle D 1 la résisance «vue» enre les bornes AB es égale à la résisance R N. En conséquence I N représene le couran de cour-circui e R N es la résisance équivalene enre les bornes AB lorsque oues les sources de ce dipôle son éeines Equivalene enre les deux héorèmes Comme nous l avons vu précédemmen, il es possible d éablir une équivalence enre les modèles équivalens dethévenin e de Noron. Aussi les généraeurs de Thévenin e de Noron Eh Eh = RNIN IN = équivalens déerminés par les deux héorèmes son ideniques si ou Rh. Rh = RN R = N Rh