DESSd ingéniérie mathématique Université d Evry Val d Essone Evaluations des produits nanciers

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1 DESSd ingéniérie mahémaique Universié d Evry Val d Essone Evaluaions des produis nanciers Véronique Berger Cours Janvier-Mars 2003 version du 27 mars 2003 Conens I Présenaion du plan de cours 3 II Insrumens nanciers 3 1 Dé niion 3 2 Typologie e principe d évaluaion Acifs de base Acions Obligaions Absence d Opporunié d Arbirage (AOA) Change Maières premières Marché des produis de crédi Prix forward d un acif Produis dérivés Call e Pu sur acif Valorisaion par réplicaion dans un univers à deux daes e deux éas du monde : hypohèse AOA e exisence d une probabilié risque neure Marché incomple : un exemple depricingpar sur-réplicaion (TD) Processus binomial à plusieurs périodes III Evaluaion en emps coninu 23 1

2 3 Théorème de valorisaion dans le cas monodimenionnel e avec coe ciens de di usion non sochasiques Quelques dé niions Porefeuille auo nançan Sraégie de rading Opporunié d arbirage Grandes lignes de la démonsraion Analogies avec le modèle discre à une période Di érences Formules Black e Sholes Prix du call Prix du pu Prix forward d un acif Prix BS du call e du pu comme foncion du prix forward de l acif Volailié BS implicie e smile Valorisaion d aures opions exoiques (les calculs qui suiven fon en parie l obje de TD) Digiale sur le sous jacen S 1ère méhode Digiale sur le sous jacen S 2ème méhode Digiale sur le sous jacen S 3ème méhode : porefeuille réplican e valorisaion en présence de smile TD calcul du dela BS Opion barrière Consrucion de la sraégie : approche du rading Vene à découver Formule BS pour un sous-jacen versan des dividendes Acions Résoluion de l EDP de valorisaion d un call sur acion Change Théorème de valorisaion dans le cas mulidimensionnel e avec coe ciens de di usion sochasiques Théorème Démonsraion rappel Formule BS avec aux d inérê sochasique Prix forward d un acif IV Modèle de smile 61 2

3 7 Modèle log-décalé Valorisaion d un call Lien avec le modèle de aux Ho and Lee Remarques e exemples numériques Modèle à volailié locale non paramérique : mo dèle di de Dupire Formule de Tanaka Applicaion Equaion de Focker-Plank EDP suivi par le prix des calls e équaion de la vol locale 67 9 Modèle SABR (Sigma Alpha Bea Rho) 68 Par I Présenaion du plan de cours Le cours s organise en 2paries. Une première parie es dédiée à uneinroducion de nore problémaique de valorisaion des produis nanciers e propose une descripion de ces produis e de leur principe de valorisaion. La seconde s aache à appliquer ces principes à la valorisaion des produis dérivés e de présener ainsi les méhodologies uilisées en salle des marchés. Par II Insrumens nanciers 1 Dé niion Un acif ou insrumen nancier es un moyen d e ecuer des ransfers ineremporels de richesse e de risque sur cee richesse. Ils permeen aux inervenans de s échanger des ux nanciers présens e fuurs, connus ou encore incerains au momen de la mise en place de l insrumen nancier. 2 Typologie e principe d évaluaion Laypologie uiliséehabiuellemen disinguedeux grands groupes d acifs : les acifs de base e les acifs dérivés. 1 1 Cee ypologie doi se comprendre dans la perspecive de la valorisaion. Elle n es pas liéeà l organisaion praiquedes marchés nanciers présenée lors du cours depremier semesre par Philippe Riaule e Emmanuel Hue. 3

4 2.1 Acifs de base Dans le bu de clari er l exposé, on se propose ou d abord de dresser une lise des acifs de base. On disinguera 4 ypes d acifs de base. Nous donnerons pour chacun une descripion e pour cerains les principes de valorisaion Acions Une acion es un ire de propriéé sur une enreprise qui donne droi enre aure au versemen d une parie des béné ces fuurs ou dividendes. Ces dividendes son aléaoires dans la mesure où le monan n es connu que peu avan le versemen. L acquéreur de l acion a donc échangé un ux A, leprix del acion, au momen de l acquisiion de l acion conre un muliude de ux fuurs incerains. Parmi ces ux fuurs on peu comper le ux généré par le revene évenuelle du ire. Là encore le monan de ce ux de revene es inconnu au momen de la mise en place de l acquisiion de l insrumen nancier. Le prix d une acion aujourd hui es donc la valeur accordée par les inervenans du marché aux ux fuurs auxquels l acion leur donne droi. Ce prix ucue jour après jour suivan l anicipaion que peuven avoir les inervenans sur la haueur de ces ux e l inérê qu ils y accorden. Le prix n es pas le résula d une évaluaion héorique mais la résulane d un équilibre enre l o re e la demande Obligaions Une obligaion es un ire de dee émis par une insiuion ou une enreprise. Il s agi pour l émeeur d empruner de l argen par l inermédiaire de ires négociables. Les ux fuurs reçus par l acquéreur de l obligaion son calculés à parir d un aux xe comme les OAT (Obligaion assimilable du Trésor: obligaion émise par l Ea) ou de aux indexés sur l in aion par exemple. De même que pour les acions les prix des obligaions ucuen en suivan un niveau changean d équilibre enre l o re e la demande. En revanche, une évaluaion héorique peu êre uile pour mere en relief des arbirages possibles. Valorisaion des obligaions à coupon xe Prix d uneobligaion zéro coupon ou «srip» Une obligaion zéro coupon es un acif qui verse un ux xe à une dae fuure T. On peu résumer ce acif par le schéma 1: 100 es appelé nominal ou noionnel. Le prix en de ce acif es formalisé par : 100 B(,T) ou plus généralemen N B(,T) avec N le noionnel de l obligaion zéro-coupon e B(,T) le prix zéro-coupon. Inroduisons la noion corollaire de aux zero-coupon R(,T), qui es le aux de 4

5 Figure 1: obligaion zéro coupon T 100 euros rendemen acuariel du zero-coupon. Il s agi du aux auquel les 100 euros son emprunés (ou prêés) La formule qui le dé ni es la suivane : B(,T) = 1 (1+ R(,T)) (T ) Remark 1 Les aux qui prévalen à chaque insan sur le marché résulen d un équilibre enre l o re e la demande de numéraire. Ils son le re e d un équilibre macroéconomique qui s éabli enre les inervenans prêeurs e les inervenans empruneurs. Pour simpli er, considérons que les inervenans prêeurs son les consommaeurs e les inervenans empruneurs son les indusriels ou les insiuions, elles que l Ea, qui invesissen. Du poin de vue des consommaeurs le niveau des aux re èe leur préférence pour le présen. Des aux élevés dénoen une fore préférence pour le présen : les consommaeurs qui prêen leur argen e donc qui ne pourron consommer que lors du remboursemen cherchen un for dédommagemen à ce délai de consommaion. Du poin de vue des empruneurs, le niveau des aux re èen la renabilié espérée des invesissemens que l emprun qu ils émeen leur perme de réaliser. Prix d une OAT à aux xe Lorsque l Ea éme à une obligaion à aux xe S, il emprune un nominal N e s engage en conreparie à verser, généralemen annuellemen, un coupon que l on noera C el que C = S N quies donc un pourcenage xedu nominal, e àrembourser lecapial àla dae d échéance T n. Le schéma des ux es donné par la gure 2.On peu considérer oue OAT comme une combinaison linéaire d obligaion zéro-coupon. Ainsi à chaque dae τ supérieure ou égale à, il es possible d évaluer l obligaion en considéran chacun des ux fuurs comme celui d une obligaion zéro coupon. On a alors: 5

6 Figure 2: OAT T n P = X T i>τ C B(τ,T i ) + NB(τ,T n ) (1) " # X = N S B(τ,T i ) + B(τ,T n ) T i>τ Le marché des OAT es en France un marché liquide : il es donc possible à ou momen, en inerrogean le marché, de connaîre le prix des obligaions exisanes. Les prix recueillis e le formalisme de l équaion (1) permeen de calculer le prix des zero-coupon. On di aussi «sripper la courbe des aux». Dans la mesure où le marché des srips ou zero-coupon es liquide il peu aussi apporer une informaion complémenaire. Mais le srip es en fai un produi dérivé des obligaions qui son la vériable source de valorisaion des zérocoupons. Exercise 1 TD Absence d Opporunié d Arbirage (AOA). De niion 2 Une opporunié d arbirage es la possibilié donnée à un inervenan du marché de moner une opéraion à invesissemen nul lui rapporan dans le fuur des gains oujours posiifs e sricemen posiifs avec une probabilié non nulle. Exercise 2 TD Change Un aux de change es le prix d une devise exprimé en une aure devise. Leprix en Yen d un dollar éai au 8 Janvier 2002 de Cee valeur, quirésule d un équilibre enre l o re e la demande (dans le cadre de parié libre), ucue jour après jour. Sur le marché des changes peuven êre aussi considérés comme acifs de base les conra à erme de change. Il s agi pour un inervenan d acheer pour une dae fuure déerminée dans le conra un ceraine quanié de devise 6

7 Figure 3: conra d acha à erme de 3 millions de dollars T 3M dollars 3M *X yens à un prix pré xé. Supposons qu un indusriel japonais ai acheé des biens de producion à un indusriel Américain e ce pour un monan de 3 millions de dollars. Ce indusriel japonais doi s acquier à la dae T d une facure en dollar d un monan de 3M. Nous sommes en e nore acheeur japonais, pour ne pas subir de risque d une dépréciaion évenuelle du yen (hausse du prix du dollar en Yen, le dollar Yen passan pour xer les idées de à 140 ) décide de renrer dans un conra d acha à erme de 3 millions de dollar. On peu résumer la ransacion par le schéma 3. Pour une valeur X pariculière appelée aux de change à erme la ransacion es à coû nul, c es à dire qu elle ne génère pas en de paiemen d une conreparie vers l aure en. Nous noerons par la suie cee valeur X(,T). Une fois le conra en place, nore acheeur japonais a l assurance de pouvoir acheer à la dae T les 3 millions de dollars nécessaires au règlemen de safacure pour une somme en Yen qui es xée en, e ce quelle que soi l évoluion de la parié dollar/yen. Principe d absence d opporunié d arbirage appliqué à la valorisaion des conras à erme de change Quelle es la valeur de X(,T)? Pour répondre à cee quesion procédons en deux éape : la mise en place d une sraégie répliquane puis la mise en oeuvre du principe d AOA. Mise en place d une sraégie réplicane à base d acifs de base: change spo e zéro-coupons Pour garanir à l acheeur japonais le versemen de 3M de dollars au aux de change à erme X(,T), la banque qui a proposé l acif me en place le monage suivan. Elle achèe dès aujourd hui sur le marché US un zéro coupon de nominal 3M e d échéance T. En T elle recevra les 3M de dollars. Un el zéro coupon lui coûe en, B US (,T) 3M dollars. Pour nancer un el acha elle s endee en Yen à haueur de B US (,T) 3M X() 7

8 Figure 4: Réplicaion d un acha à erme de 3 millions de dollars Emprun en Yen pour financer l acha des dollars par la vene d un zéro coupon Yen Valeur nulle par consrucion : le monage es auofinançan Récepion des 3M de dollars Remboursemen de la dee en Yen Acha d un zéro coupon dollar de noionnel 3M de dollars. qu elle devra rembourser en T pour un monan de B US (,T) 3M X()/B JPY (,T) Ce monage perme à la banque de mere à disposiion de son clien les 3M de dollars à la dae T. En conreparie de ces 3M de dollars, la banque demandera à son clien de lui verser en yen, oujours à la dae T, la somme de B US (,T) 3M X() B JPY (,T) somme qui permera à la banque de rembourser sa dee en Yen. On a donc, dans le cadre de cee sraégie de réplicaion On obien alors : 3M X(,T) = 3M X()BUS (,T) B JPY (,T) X(,T) = X()BU S (,T) B JP Y (,T) Mise en oeuvre du principe d AOA. Pour valoriser les acifs sur les marchés liquides on fai l hypohèse que sur ces marchés il y a AOA. Cee hypohèse se jusi e par le fai que, sur les marchés liquides, les opporuniés d arbirage son rès vie repérées par des arbiragises e que le marché sous 8

9 Figure 5: Sraégie d arbirage des conras à erme de change La banque vend à l inervenan 3M de yens au prix à erme X, e me en place une sraégie d arbirage. T leur inervenion se «rééquilibre» rès rapidemen avec les mécanismes que nous avons pu voir précédemmen. L évaluaion que nous allons faire ici de X(,T) repose sur l hypohèse que le marché des conras à erme de change es bien arbiré, c es à dire qu il n exise pas d opporunié d arbirage. Prouvons donc que cee valeur obenue par réplicaion es la seule qui convienne sous l hypohèse d AOA, c es à dire que siun aure inervenan proposai un conra à erme avec aux de change à erme di éren, on aurai une opporunié d arbirage. Supposons que la banque propose un conra à erme à valeur X 0 > X(,T). Alors il es possible d e ecuer le monage illusré par la gure 5. Ce monage es une combinaison du monage précédemmen décri e d un conra de vene à erme passé avec l inervenan au aux X 0 ( ux en poinillé). Par consrucion l invesissemen en es nul. En revanche, il génère en T un ux sricemen posiif en Yen de 3M X 0 3M X()BU S (,T) B JP Y (,T) = 3M (X 0 X(,T)) > 0 Ce qui es incompaible avec l absence d opporunié d arbirage. Inversemen on monre que si un inervenan propose un conra à erme à X 0 < X(,T) il es possible de l arbirer, c es à dire de moner une opéraion nancière à coû nul qui rappore une somme posiive avec une probabilié non nulle, en l occurrence dans ce cas pariculier à coup sûr. En la présence d une opporunié d arbirage, les arbiragises auraien massivemen acheé des dollars à erme (dans le cas X 0 < X(,T)) ou inversemen vendu des dollars à erme (dans le cas X 0 > X(,T)) aux conreparies proposan X 0. Ces conreparies s apercevan que le prix qu elles proposen suscie 9

10 Figure 6: Dollar/Yen forward au 8 Janvier 2002 dae 08/01/02 08/01/04 08/01/05 08/01/06 08/01/07 08/01/08 08/01/09 08/01/10 08/01/11 08/01/11 change forward 132,54 129,59 124,06 117,48 111,11 105,29 100,13 95,51 91,28 87,24 des demandes imporanes réajusen leur prix, ce qui a pour e e «réequilibrer» le marché vers la valeur X(,T). Exemple numérique des aux de change à erme sur données du 8 janvier 2002 Pour donner une idée concrèe des aux forward que l on peu obenir acuellemen nous donnons gure 6lavaleur du aux de changeforward pour di érenes mauriés. La dae d évaluaion es le 08/01/02 Le premier aux de change donné es en fai le aux de change spo dollar/yen du 8 janvier. On s aperçoi sur ces valeurs que nore acheeur japonais en achean à erme peu vouloir pro er de la faible cheré du dollar à erme Maières premières Le marché des maières premières a vu le développemen de produis nanciers permean aux aceurs de se couvrir conre les variaions de prix. Il s agi esseniellemen de conra de vene e d acha à erme. Sur cerains marchés ces conras exisen depuis rès longemps (marché à erme de méaux à Amserdam au 18ème, marché à erme de céréale au Chigago Board of Trade au 19ème) e sur cerains son ils nouvellemen apparus comme sur le marché de l énergie (pérole, gaz, élecricié) Marché des produis de crédi Les produis de crédis e leur valorisaion seron présenés par Monique Jeanblanc dans le cours dédié aux problémaiques de crédi Prix forward d un acif Nous sommes en e l on considère un acif S (une obligaion ou une acion) don on veu déerminer le prix à erme en T(>). Pour simpli er on considère que ce acif ne verse pas de coupon ou de dividendes enre e T. De même que dans le cas du change à erme nous plaçons sous AOA e raisonner en deux éapes : 1) éablir un prix "de réplicaion", 2) conclure sur ce prix en uilisan l hypohèse d AOA. Réplicaion Considérons que nous sommes une banque e qu un clien s adresse à nous pour une vene à erme. Il nous fau donc moner une sraégie que l on 10

11 Figure 7: acha à erme T Le clien nous reme l acif Nous acheons au clien l acif au prix forward Figure 8: opéraion de repo T L acif es empruné L empruneur paie S au prêeur Le prêeur rend S (1+rrepo) à l empruneur de l acif L acif es rendu représene par la gure 7 : nous sommes la banque e de nore poin de vue nous e ecuons un acha à erme de l acif S. Pour répliquer de els ux la banque va mere en place une sraégie à base d acifs de base qui son ici, l acif spo, e une opéraion de repurchase agreemen die ausi opéraion repo. Repurchase Agreemen Une opéraion de repo ou en anglais repurchase agreemen consise en l acha (ou la vene) d un acif assori(e) de la revene (resp. du racha) de ce acif. La revene ou le racha s e ecue à une dae e pour une valeur qui son xées au momen de la mise en place de l opéraion. L acha e la revene (ou symériquemen la vene e le racha) s e ecue auprès de la même conreparie. Cee opéraion es illusrée par la gure 8. Nous venons de présener les opéraions de repo comme des opéraions de prê ou d emprun d acif. Mais on peu renverser la perspecive e les iner- 11

12 prêer comme des des prês en empruns de cash avec nanissemen. L acif es alors en quelque sore un bien hypohéqué qui garani le prêeur de cash du remboursemen à l issue du prê. Ce principe de nanissemen qui donne une garanie au prêeur du cash explique que les aux repo son généralemen inférieurs aux aux auxquels l empruneur peu empruner lorsqu il le fai sans apporer de garanie au prêeur (emprun par émission d obligaion). Réplicaion (suie) econséquencedel AOA Nous renrons dans l opéraion d acha à erme. Nous nous couvrons par une opéraion repo e par une vene spo ( spo signi e que l on exécue la vene immédiaemen, c es à dire en ). Le monage, sa couverure e la résulane son représenés sur la gure 9. L opéraion globale qu e ecue la banque es une opéraion qui en ne lui génère aucun ux, donc aucun invesissemen e qui en T lui rappore P f S (1+ r repo ) Sous AOA une opéraion à invesissemen nul ne peu que rapporer 0. On a donc : P f = S (1 + r repo ) 2.2 Produis dérivés Les acifs dérivés son de façon générale des conras de vene ou d acha d acifs nanciers de base sous des conraines pariculières. L acif de base es alors appelé acif sous-jacen. Conrairemen au chapîre précéden il ne vous sera pas proposé ici une descripion des di érens acifs dérivés que l on peu rouver sur les marchés nanciers. Nous nous concenrerons pluô sur les méhodes d évaluaion de ces produis. Nous commencerons par la descripion e l évaluaion d un acif dérivé simple : l opion d acha ou de vene. La méhode d évaluaion repose sur ² une hypohèses d absence d opporunié d arbirage, analogue à celle que nous avons vu pour l évaluaion du aux de change à erme; ² une modélisaion de l évoluion du cour du sous jacen, modélisaion don nous n avions pas eu besoin pour l évaluaion du aux de change à erme; Les méhode d évaluaion e ecivemen uilisée sur les marchés, propose une modélisaion des cours des sous jacens par un processus en emps coninu. Avan d exposer cee méhode, e pour mieux comprendre les principes qui sous enden l évaluaion des produis dérivés, nous commencerons par des modélisaions du sous jacen plus simple. Ce chapire sur les produis dérivés s organisera de la façon suivane. ² Une descripion de nore produi de référence : l opion d acha ou call en anglais 12

13 Figure 9: Monage comple de la banque : conra à erme e couverure T Acha à erme de l acif + Nous acheons au clien l acif au prix forward P f Opéraion de repo S (1+r repo ) S couverure + Vene spo de l acif S + = P f S (1+r repo ) 13

14 Figure 10: Acha avec couverure en cas de hausse du prix Ce que veu payer nore acheeur : MAX (S T,K) K K S ² Une évaluion de ce produi dans un univers discre à une période e deux éas du monde puis dans un univers d évoluion binomiale à plusieurs périodes. La valorisaion en emps coninue sera abordée dans la seconde parie du cours Call e Pu sur acif Un call sur un acif donne à son déeneur la possibilié d acheer à une dae xée l acif à un prix K convenu à l avance. Il va permere à un inervenan qui sai devoir acquérir ce acif à une dae fuure de se couvrir conre une hausse évenuelle du cours. A la dae T d acquisiion, le déeneur de l opion veu débourser en T pour acheer l acif Max(S T,K) comme illusré par la gure 10. Pour avoir l assurance de ne payer que MAX(S T,K), l agen qui désire se couvrir achèe un produi nancier, un call, quiluiversera0sil acif sous-jacen vau moins que K e S T K sinon e donc synhéiquemen MAX(S T K,0). Soi graphiquemen ce que nous pouvons voir sur la gure Valorisaion par réplicaion dans un univers à deux daes e deux éas du monde : hypohèse AOA e exisence d une probabilié risque neure Un univers à deux daes e deux éas du monde Nous sommes en e l on adme que nore univers de valorisaion puisse êre représené par deux daes e T e deux éas du monde en T, un éa «hau» e un éa «bas». 14

15 Figure 11: Payo d un call payoff MAX (S T -K,0) S K Figure 12: Modèle à 1 période e deux éas T Hau Ph Sh 1+r Ch S 1 C Bas Pb Sb 1+r Cb 15

16 Dans ce univers de valorisaion nous disposons de deux acifs de base : un acif sans rique e un acif risqué. L acif sans risque es un placemen zérocoupon au aux r. On le normalise de façon qu en sa valeur soi 1. En T il vaudra donc(1 + r) T e ce quel que soi l éa du monde Si pour simpli er our simpli er on choisi T- =1, alors en T l acif sans risque vau 1+r. L acif risqué qui vau S en vaudra S h dans l éa hau e S b dans l éa bas avec S h < S b. La probabilié pour que l éa du monde hau (resp. bas ) se réalise es P h (resp.p b ). Remark 3 l inégalié S h < S b es srice. Si l on avai l égalié l acif serai un acif sans risque e l opporunié d une opion ne se pose pas. P i=h,b 2 ]0,1[. Le cas où l un des deux coe ciens vau 1 es un cas dégénéré où l opporunié d une opion ne se pose pas non plus. Nore objecif L ob jecif de cee secion es double. Il es ou d abord de valoriser nore call sous l hypohèse AOA e plus généralemen de monrer l équivalence : AOA, il exise une probabilié Q die risque neure équivalene (2) à la probabilié hisorique sous laquelle les prix acualisés des acifs, acifs de base e acifs dérivés, son des maringales valorisaion du call Nous allons procéder pour valoriser nore call comme nous l avions fai pour l évaluaion du aux de change forward : évaluer un prix de réplicaion puis uiliser l AOA pour conclure. Par combinaison linaire de ces deux acifs il e facile de répliquer le payo du call les conraines son les suivanes: Soi, si l on noe ² C h = MAX(S h K,0) e ² C b = MAX(S b K,0) α (1+ r) + β S h = MAX(S h K,0) α (1 + r) + β S b = MAX(S b K,0) α (1 + r) + β S h = C h α (1 + r) + β S b = C b Le sysème se résou de la façon suivane 16

17 β = (C h C b )/(S h S b ) α = [C h S h (C h C b )/(S h S b )]/(1 + r) = [C b S h C h S b ]/[(S h S b ) (1+ r)] Le prix de réplicaion de nore opion es alors donnée par C = α 1+ β S = [C b S h C h S b ]/[(S h S b ) (1 + r)] + (C h C b )/(S h S b ) S Que l on peu réécrire en foncion des payo s C h e C b e de coe cien pondéraeur h e b : Avec ² h =[S*(1+r)-S b ] / (S h -S b ) e ² b =[S*(1+r)-S h ] / (S h -S b ) C = [ h C h + b C b ]/(1+ r) (3) En n l hypohèse d AOA nous perme de conclure : le prix du call es son prix de réplicaion, soi donc C. Par ailleurs on remarque que: ainsi que S = [ h S h + b S b ]/(1 + r) (4) 1 = [ h (1+ r) + b (1 + r)]/(1 + r) (5) Propriéésdes coe ciens pondéraeurs emise en reliefd une probabilié risque neure Monrons que b = 1 h e que i=h,b 2 ]0,1[ b = [S (1 + r) Sh]/(Sh Sb) = [S (1 + r) S h + S b S b ]/(S h S b ) = 1 h Pour monrer que b 2 ]0,1[ parons de b = [S (1+ r) S h ]/(S h S b ) 17

18 Pour monrer b 2 ]0,1[ il nous su de monrer que S b < S (1+ r) < S h Monrons que l on ne peu pas avoir S (1 + r) < S b Si l on a S (1 + r) < S b alors on a S (1 + r) < S b < S h. On es donc en présence d un acif qui rappore sysémaiquemen sricemen plus que l acif sans risque. Il y a donc opporunié d arbirage : on emprune au aux sans risque e l on place l argen empruné sur l acif S. L invesissemen en es nul e le revenu en T es sricemen posiif. Conclusion en AOA on ne peu pas avoir S (1+ r) < S b. Monrons de la même façon que l on ne peu pas avoir S (1 + r) = S b Si l on a S (1 + r) = S b alors on a S (1 + r) = S b < S h. On es donc en présence d un acif qui rappore sysémaiquemen plus que l acif sans risque e sricemen plus avec une probabilié non nulle. Il y a donc opporunié d arbirage : on emprune au aux sans risque e l on place l argen empruné sur l acif S. L invesissemen en es nul e le revenu en T es posiif e sricemen posiif dans l éa du monde hau, c es àdireavec une probabilié non nulle. Conclusion en AOA on ne peu pas avoir S (1+ r) = S b. De la même façon le leceur monrera en s apuuyan sur l hypohèse AOA que l on ne peu pas avoir S h S (1 + r) Conclusion b = 1 h i=h,b 2 ]0,1[ Probabilié risque neure i=h,b peu s inerpréer comme un probabilié. Cee probabilié es appelée probabilié risque neure e noée Q. i=h,b 2 ]0,1[ enraine que Q es équivalene à la probabilié d observaion, que l on noera P e que l on avai précédemmen caracérisée par P i=h,b. Dans cee nouvelle perspecive réécrivons les équaions (3),(4) e (5). S = E Q ( S T 1 + r ) E rivialemen... C = E Q ( C T 1+ r ) 1 = E Q (1+ r) ( (1+ r) ) Que vien d obenir? On vien de monrer que sous l hypohèse AOA les di érens prix de nore marché s éablissen par l espérance, sous une probabilié Q équivalene à P, des gains acualisés. Ou encore que les prix acualisés de nos acifs son des maringuales sous Q. Où a on uilisé l hypohèse AOA? On l uilise par deux fois. 18

19 ² pour monrer que Q e équivalene à P. ² lorsque l on déclare que le prix de nore opion es le prix du porefeuille répliquan. En e e l on monre en raisonnan comme nous avions fai pour le aux de change forward, que si le prix de l opion n es pas le prix du porefeuille répliquan alors il y a une opporunié d arbirage. Quelques mos supplémenaires sur Q. Elle es appelée probabilié risque neure. Rappelons nous que pour obenir le prix aujourd hui d un ux xe C dans le fuur on se conenai de l acualiser. La probabilié risque neure perme d éendre cee méhodologie àla valorisaion de ux don les monans ne seron connus que lors de lors paiemen : on acualise e l on somme les di érens éas du monde en les pondéran par la probabilié risque neure. En n il es imporan de souligner que cee probabilié n es pas la probabilié hisorique. La probabilié hisorique n inervien pas pour la valorisaion du call. Pour donner à Q une inerpréaion économique, inroduisons deux acifs élémenaires: un acif «hau» qui paie 1 Euro dans l éa hau e 0 sinon; un acif «bas» paie 1 Euro dans l éa bas e 0 sinon. On monre facilemen que le prix de l acif hau es h /(1+r) e que le prix de l acif bas es b /(1+r).Ces acifs son appelés prix d Arrow Debreu. Ils formen la base canonique de ous les payo s possible de nore monde simpli é. h e b son en fai (au discoun près) plus des prix qu une vériable probabilié. En conclusion nous venons de monrer AOA ) il exise une probabilié Q die risque neure équivalene à la probabilié hisorique sous laquelle les prix des acifs, acifs de base e acifs dérivés, son des maringales Monrons la réciproque. Parons donc de l hypohèse que ou payo se valorise par l uilisaion d une probabilié risque neure équivalene à la proba hisorique. Monrons qu alors une opporunié d arbirage n es pas possible. Dans nore monde simpli é, une opporunié d arbirage es une sraégie de valeur nulle en e généran en T un ux oujours posiif e sricemen posiif dans au moins un éa du monde. Soi donc une sraégie qui génère en T un ux oujours posiif e sricemen posiif dans au moins un éa du monde. Monrons que la valeur en d un el monage es sricemen posiif. Pour xer les idées noons f h le ux en l éa hau e f b le ux en l éa bas avec f i=h,b 0 e f h > 0. Le prix en de cee sraégie es donné par : f h f b F = h 1 + r + b 1 + r Sous les hypohèse i=h,b 2 ]0,1[, F es donc sricemen posiif. En conséquence sous l hypohèse d exisence d une probabilié risqueneure équivalen à la probabilié hisorique il ne peu y avoir d opporunié d arbirage. 19

20 Figure 13: Marché imcomple T éa h éa m éa b Marché incomple : un exemple de pricing par sur-réplicaion (TD) Nous parons du modèle simple à une période mais cee fois on considère qu au emps T 3 éas du monde disincs peuven survenir. 2 acifs liquides son présens sur le marché : il s agi d un acif sans risque, qui vau 1 en e qui vau (1 + r) en T, e ce, quel que soi l éa du monde, e d un acif S qui vau S en e S i en T, avec i = h,m ou b. Le ou es illusré gure 13. Nous prendrons r = 0 e S = 3 S h = 4 S m = 2 S b = 1. Un rader reçoi une demande de quoaion pour un acif X qui génère en T un ux X i = h,m,b avec X h = 2 X m = 1 X b = 1. Dans le cadre du modèle à deux éas du monde e deux acifs liquides la méhodologie d évaluaion consisai à bâir à parir de l acif sans risque e l acif risqué S liquide un porefeuille répliquan le payo du call que nous avions à évaluer. Ici cela n es plus possible. 20

21 Supposons que soi demandé au rader de vendre ce acif X.L obje du TD es de déerminer la valeur X à laquelle le rader accepera de vendre l acif X. Quesion 1 Monrer en quoi le rader ne peu pas répliquer parfaiemen X à parir de l acif sans rique e de S. Les objecifs du rader son les suivans : se couvrir oalemen e proposer sous cee conraine de couverure le prix le plus aracif possible. Auremen di, avec l argen de la prime(= X ) que lui versera son clien, le rader compe acheer un porefeuille combinan l acif sans risque e l acif S el que, quel que soi l éa du monde, son porefeuille lui rappore en T plus qu il ne doi reverser à l acheeur de l acif X. Le rader doi ouefois «opimiser» son porefeuille de façon à demander à son clien la prime la plus faible possible. Quesion 2 Ecrire le programmed opimisaion linéaire correspondan aux objecifs du rader. Rappel de programmaion linéaire Inroduisons les noaions : ² I = fi : i = 1,2,..mg J = fj : j = 1,2,..ng ² x e c deux veceurs der n ² y e b deux veceurs de R m ² A une marice de M n,m (R) Par I 1 on noe une parie des indices de I, c es à dire quei 1 ½ I e I 2 = InI 1. D une façon analogue, J 1 ½ J e J 2 = JnJ 1. Les deux problèmes d opimisaion linéaires sous conraines mixes : e P B1 Min < c,x > x Sous (Ax) i b i i 2 I 1 (Ax) i = b i i 2 I 2 x j 0 j 2 J 1 PB2 Max < b,y > x Sous (A T y) j c j i 2 J 1 (A T y) j = c j i 2 J 2 y i 0 i 2 I 1 se nommen problèmes duaux avec conraines mixes. On monre que si l ensemble admissible de PB1 es vide, il en va de même pour PB2,e inversemen. Par ailleurs si l on noe x ey les soluions du PB1 e de PB2 alors on a < c,x >=< b,y > 21

22 Figure 14: Modèle à 2 périodes T 1 T 2 T 0 S(h) S(hh) S S(hb) S(b) S(hb) Quesion 3 Ecrire le dual du programme d opimisaion obenu à la quesion 2. L inerpréer en inroduisan le concep de probabilié risque neure. Quesion 4 Résoudre les sysèmes de la quesion 2 e Processus binomial à plusieurs périodes Modèle à deux périodes Sur un modèle mulipériode l AOA se radui par une AOA période par période (illusré par la gure 14) Pour simpli er on prend ² T i+1 T i = d ² S (h) = S h ² S (b) = S b ² S (hh) = S (h) h ² S (hb) = S (b) h = S (h) b ² S (bb) = S (b) b On fai l hypohèse que le sous jacen se di use sous la proba hisorique comme nous venons de le shémaiser e comme nous l avons illusré par la gure 14. Sous AOA on a, à chaque éape, c es à dire pour i=0,1: C Ti (..) = [ C T i+1 (..h) (1+ r) d + (1 ) C T i+1(..b) (1 + r) d ] 22

23 Avec (en appliquan les résulas du modèle mono période déaillé au paragraphe précédan) E donc = (1 + r)d b h b C T0 = 2 C T2 (hh) + 2 (1 )C T2 (hh) + (1 ) 2 C T2 (hh) (1+ r) (T2 T0) Di usion à n périodes Pour une di usion discrèe à n périodes on obien : C T0 = µ 1 P j (1 + r) (Tn T0) 0 j n n j (1 ) n j C Tn (h j b n j ) Prenons le cas où C es un call sur S de srike K e de maurié T. On a : C Tn (h j b n j ) = (Sh j b n j K) + Par III Evaluaion en emps coninu 3 Théorème de valorisaion dans le cas monodimenionnel e avec coe ciens de di usion non sochasiques Nous sommes en emps coninu e l on se place dans un univers à horizon ni T. Nous sommes en. Sur le marché coexisen deux acifs liquides (acifs de base): l acif sans risque M, e un acif risqué S. Les prix de ces deux acifs suiven sous la probabilié hisorique P les di usions suivanes : dm τ M τ ds τ S τ = rdτ = µdτ + σdw P On désire évaluer au emps un acif C payan h (S T ) en T. On se place sous AOA. On monre alors que le "prix d arbirage" de C es unique e qu il exise une probabilié Q équivalene à P sous laquelle: 23

24 C = E Q [exp [ r (T )]h(s T )/F ] e S = E Q [exp [ r (T )]S T /F ] où C désigne le prix d arbirage de C. 3.1 Quelques dé niions On noe (F τ ) τ la lraion naurelle du brownien W P τ Porefeuille auo nançan Un porefeuille auo nançan es un couple (α τ,β τ ) τ de processus F τ adapés el que 8τ 2 [,T] Z τ Z τ α τ M τ + β τ S τ = α M + β S + α s dm s + β s ds s (6) ou encore d(α s M s + β s S s ) = α s dm s + β s ds s (7) e sous une forme plus concise e en supposan M = 1 e en posan S f τ = S τ /M τ = S τ exp ( r τ): Sraégie de rading α τ + β τ f Sτ = α + β S + Z τ β s d f S s Une sraégie de radinges un porefeuille auo naçan respecan évenuellemn ceraines conraines supplémenaires (posiivié, conraines d inégrabilié..) Opporunié d arbirage Une opporunié d arbirage es sraégie de rading elle que : ² Proba P (α M + β S = 0) = 1 ² Proba P (α T M T + β T S T < 0) = 0 ² Proba P (α T M T + β T S T > 0) > 0 24

25 3.2 Grandes lignes de ladémonsraion On monreou d abord par le héorèmedegirsanovqu ilexise uneprobabilié Q équivalene à la probabilié hisorique P elle que sous Q ds τ S τ = rdτ + σdw Q où W Q τ es un brownien sous Q. Puis on monrer à l aide du héorème de représenaion des maringales que sous ceraines condiions sur h, noammen lorsque h(s T ) es de carré inégrable sous Q, E Q h 2 (S T )/F < +1 il exise un couple de processus adapés (α,β ) qui dé nisse une sraégie de rading elle que α T M T + β T S T = h(s T ).On poursui en monran que 8τ 2 [,T] la valeur V τ (= α τ M τ + β τ S τ ) de ce porefeuille réplican véri e V τ = E Q h exp r(t τ) h(s T )/F τ i En n, sous hypohèse d absence d opporunié d arbirage, on conclu en disan que ou aure sraégie de rading répliquan nore acif dérivé en T ne peu pour valeur en que V. V es alors appelé prix d arbirage de C en. On a donc : C = V = E Q exp r(t ) h(s T )/F E plus généralemen: 8τ 2 [,T] C τ = E Q [exp [ r (T τ)]c T /F τ ] S τ = E Q [exp [ r(t τ)]s T /F τ ] M τ = E Q [exp[ r (T τ)]m T /F τ ] On s applique dans les deux paragraphes suivans à relever les analogies avec le modèle à une période e commener les di érences. 3.3 Analogies avec le modèle discre à une période ² Dans les deux cadres la consrucion de ce porefeuille répliquan mène à la mise en relief d une probabilé risque neure sous laquelle les prix de l acif sans risque, l acif risqué e l acif C une fois discouné son des maringuales. ² Dans les deuxcadres laprobabilié risque neurees équivaleneà la probabilié hisorique 25

26 3.4 Di érences ² Les opporuniés d arbirage son dé nies ici à parir de porefeuille ne conenan que les acifs de base, resricion que nous n avions pas en emps discre. La conséquence es imporan dans le cadre discre le héorème d évaluaion parle du "prix" de l acif dérivé alors qu en emps coninu on parle de "prix d arbirage" ² La sraégie de couverure n es plus saique mais dynamique : le porefeuille répliquan es consrui lors de la vene ou de l acha au emps de l acif C mais il subira au cours du emps des réarrangemens. Il es rès imporan de noer que dire que la saégie mise en place es auo - nançane. Ceci signi e que les réarrangemens de porefeuille au cours du emps se fon à coû nul. ² Nous n avons pas monré l équivalence (2). Nous avons simplemen monré quel AOA impliquequeilexiseune mesure Q équivalene àp sous laquelle le prix des acifs de base e le prix d arbirage de cerains (du fai de la condiion sur la foncion h) sur acifs dérivés, une fois discounés, son maringales. Démonrer la réciproque de cee implicaion es malaisé: elle ne peu êre démonrée qu à condiion de resreindre la classe des sraégies de rading (α τ,β τ ) τ qui peuven former les opporuniés d arbirage, par exemple en se resreignan aux sraégies de rading don la valeur es bornée inférieuremen. 3.5 Formules Black e Sholes Ideni caion des coe ciens du porefeuille répliquan, calcul du prix BS e du dela :TD cours Prix du call le prix du call es donné par avec C BS (,T,r,S,K,σ) = S N (d 1 ) exp r(t ) KN (d 2 ) µr + 12 σ 2 ln (S /K) + ² d 1 = σ p T (T ) µr 12 σ2 ² d 2 = d 1 σ p ln (S /K) + T = σ p T ² es la dae de valorisaion de l opion ² T es la dae d exercice de l opion (T ) 26

27 Figure 15: valeurs numériques uilisés dans les 4 gures suivanes srike 5 discoun 0,9 vol 10% maurié (T-) 10 Figure 16: prix d un call call prix niveau du sous-jacen prix du call prix du call à maurié ² T es la maurié résiduelle de l opion ² K es le srike de l opion ² S es la valeur de l acion en ² σ es la volailié du sous-jacen Inroduisons les noions suivanes ² C S es appelé dela de l opion. Cee valeur comme nous le verrons dans le paragraphe suivan ser au rader à moner son porefeuille de couverure. Dans le cas d un call C S = N (d 1 ) ² C es appelé héa de l opion 27

28 Figure 17: dela d un call dela comme foncion du sous jacen 1,2 1 0,8 dela 0,6 0,4 dela 0, sous-jacen ² 2 C S 2 es appelé gamma de l opion Prix du pu Le prix du pu es donné par P BS (,T,r,S,K,σ) = exp r(t ) KN ( d 2 ) S N ( d 1 ) e son dela par P S = N ( d 1 ) Prix forward d un acif On supposera dans cee secion que le aux repo es égal au aux sans risque. On se place dans la siuaion d une banque s engagean à à vendre en T un acif S au prix P f. On a vu que dans la première parie du cours que pour déerminer P f la banque doi moner une sraégie à base d acif sans risque e d acif risqué qui lui délivre les ux fuurs els que réprésener gure 20. Pour cela, la banque achèe en l acif S au prix S e nance ce acha par un emprun d un monan S sur la durée (T-). L opéraion es donc neure en, la banque se poran acquéreur de l acif en emprunan. En T elle aura dans son porefeuille l acif S e devra rembouser S exp r(t ) (emprun au auxsans risque r). En T elle aura donc dans son porefeuille l acif que pourra céder à son clien en conreparie de P f qui, somme qui permera à la banque de rembourser son emprun. D où P f = S exp r(t ). Le raisonnemen es en ou poin équivalen au raisonnemen enu dans la première parie du cours. 2 28

29 Figure 18: prix d un pu pu prix 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0, ,5 niveau du sous-jacen prix du pu prix du pu à maurié Figure 19: dela d un pu dela du pu -0, ,4 dela -0,6 dela -0,8-1 -1,2 sous-jacen Figure 20: Vene forward par la banque de l acif risqué S T P f acif 29

30 Figure 21: cash selemen du conra forward T P f S T di érences ouefois : 1) on raisonne sur une siuaion inverse, car le clien es ici acheeur à erme de l acif; 2) le repurchase agreemen es remplacé ici par un simple acha nancé par l acif sans rique. Dans la réalié des marchés, il faudrai prendre en compe ce décalage de aux de nancemen/emprun. Une aure façon de valoriser la valeur forward de l acif c es de considérer que du poin de vue du clien e de la banque un physical selemen de son conra forward, c es à dire avec livraison e ecive de l acif es équivalen à un cash selemen du conra ou en grand T son échangés deux ux de cash, l un d un monan P f, l aure d un monan S T (cf gure 21). Or la banque n accepe de renrer dans une elle ransacion que si e seulemen si le prix vu en de ces ux fuurs es 0. Soi si e seulemen si E Q exp [ r(t )]P f /F = E Q [exp [ r(t )]S T /F ] ou encore P f r(t ) = S exp Prix BS du call e du pu comme foncion du prix forward de l acif. Les formules de valorisaion peuven aussi s exprimer en foncion du prix forward de l acif. On a dans le cas du call: avec C,T,r,S T,K,σ = exp r(t ) S T N (d 1 ) KN (d 2 ) (8) ² d 1 = ² d 2 = ln S T /K σ2 (T ) σ p T ln S T /K σ2 (T ) σ p T 30

31 ² S T = S exp r(t ) : prix forward de l acif Volailié BS implicie e smile Pour une dae de maurié T donnée son côés sur le marché un cerain nombre de call e de pu pour di érens niveaux de srike. Or les coaions ne son pas données en prix mais en erme de volailié BS, die "volailié implicie". Si l on noe f BS (σ) la foncion elle que : f BS (σ) = C BS (,T,r,S,K,σ) la relaion enre les prix P K e la volailie implicie σ BS implicie (K) s écri : ou σ BS implicie (K) = f 1 BS (P K) f BS σ BS implicie (K) = P K Or sur de nombreux marchés on s aperçoi la volailié implicie dépend de K. Ce phénomène es appelé "smile" du fai de la forme de la foncion σ BS implicie (K). Nous en donnons une exemple numérique.sur la gure 22. Un el phénomène vien conredire l hypohèse de di usion que nous avions donnée à savoir que sous la probabilié hisorique on a : ds τ Sτ = µdτ + σdw P dm τ = rdτ M τ avec des coe ciens µ, r e σ non sochasiques. Le marché coninue d adhérer à la formalisaion BS, sai qu elle es fausse e appore des correcions qui se raduisen par l appariion de smile. Ce phénomène es rès présen sur le marché des acions, sur le marché des changes mais aussi sur le marché des aux d inérê. 3.6 Valorisaion d aures opions exoiques (les calculs qui suiven fon en parie l obje de TD) Digiale sur le sous jacen S 1ère méhode Le payo d une digiale mauran en T e de srike K es donné par: 1 fst >Kg On noe D τ le prix de cee digiale au emps τ. En applicaion du héorème de valorisaion on a D = E Q exp r(t ) 1 fst>kg/f 31

32 Figure 22: Smile spo 110 T- 2 discoun 0,9 vol srike vol de marché (vol BS implicie) 15,30 13,60 12,40 11,70 11,50 11,80 12,60 15,7 prix du marché 29,72 25,33 21,09 17,14 13,64 10,81 8,78 6,92 prix BS calculé avec la vol ATM 29,18 24,91 20,84 17,06 13,64 10,65 8,11 4,38 vol de marché (vol BS implicie) vol BS implicie 15,3 16,00 13,6 12,4 11,7 11,5 14,00 12,00 10, srike vol de marché (vol BS implicie) soi or e donc D = exp r(t ) Proba Q [S T > K/F ] ds τ S τ = rdτ + σdw Q S T = S exp µr 12 ³ σ2 (T ) + σ W Q T W Q avec W Q T W Q (0,T ). Ainsi Pr oba Q [S T > K/F ] = Pr oba Q S exp 2 = Pr oba Q 4 W Q T W Q p T 0 ³ = 1 ln K S = 1 N = N (d) Ã µr 12 ³ σ2 (T ) + σ ³ > ln K ln S K + r 1 W Q T W Q S r 1 2 σ2 (T ) σ p T r 1 2 σ2 1 (T ) σ p A T 2 σ2! (T ) σ p T > K/F /F

33 Conclusion D = exp r(t ) N (d) avec d = ln( S K)+(r 1 2 σ2 )(T ) σ p T Digiale sur le sous jacen S 2ème méhode Il es possible de valoriser la digiale en remarquan que 1 fst >Kg = (S T K) + ou la dérivée es ici à prendre au sens des disribuions. On a alors D = E Q h exp r(t ) 1 fst>kg/f i Or K " # = exp r(t ) E Q (S T K) + /F " # E Q (S T K) + /F = K Z +1 1 K (S K) + g (S)dS K où g es la densié de S en T sachan F. g ne dépendan pas de K, on peu écrire " # E Q (ST K) + Z +1 /F = (S K) + g (S)dS K K 1 h i = K EQ (S K) + /F e donc D = ii he hexp Q r(t ) (S T K) + /F K = C K où C es le prix d un call mauran en T e de srike K. Ainsi dans le cadre d une valorisaion par formule BS: D = C K = exp r(t ) N (d 2 ) Digiale sur le sous jacen S 3ème méhode : porefeuille réplican e valorisaion en présence de smile En fai la seconde approche n es pas à considérer que d un poin puremen calculaoire. En e e elle auusi la raducion mahémaique de la sraégie de 33

34 Figure 23: Call Spread 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0-0,1 payoff du call spread de noionnel 1 pour K=5 e eps = payoff du call spread de noionnel 1 hedge saique que le rader va mere en place pour couvrir l acha/la vene d une digiale. Pour le comprendre consruisons un porefeuille consiué par l acha d un call de srike K ε 2 e la vene d un call de srike K + ε. Le payo 2 à maurié de ce porefeuille es représené par la gure 23. En prenan 1 ε pour noionnelde ce porefeuillerépliquan on obien un payo prochedeladigiale. Ceci es représené par la gure 24. Le prix du porefeuille répliquan es V (ε) = 1 ε ³ hc S,K ε ³ C S,K + ε i 2 2 Or ce porefeuille répliquan n es vériablemen répliquan que lorsque ε end vers 0. On a donc D = lim V (ε) = C ε!+1 K soi le résula obenu précédemmen. En présence de smile, il ne fau pas oublier que la volailié dépend ausi du smile. On a alors C D = K + C σ σ Le phénomène es illusrée par la gure 25. BS implicie K 34

35 Figure 24: Call Spread e Digiale 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0-0,2 payoff de la digiale e de son porefeuille répliquan payoff du call spread de noionnel 1/eps digiale Figure 25: illusraion de l impac du smile sur lle prix une digiale forward 100 T- 2 discoun 0,9 vol srike 80 84, , , ,1 vol de marché (vol BS implicie) 15,20 13,53 13,50 13,47 12,30 11,60 11,40 11,70 12,50 13,77 13,80 13,83 15,60 prix du marché 19,34 15,31 15,23 15,15 11,48 8,26 5,78 4,09 3,10 2,62 2,61 2,61 prix BS calculé avec la vol ATM forward 18,49 14,67 14,60 14,52 11,12 8,17 5,78 3,95 2,60 1,67 1,66 1,64 prix de la digiale avec vol ATM forward 0,813 0,743 0,741 0,739 0,645 0,535 0,421 0,316 0,226 0,156 0,155 0,153 0,102 prix de la digiale avec vol smilée des calls 0,742 0,699 0,698 0,696 0,628 0,532 0,421 0,318 0,239 0,188 0,187 0,186 0,157 prix de la digiale par couverure saique 0,792 0,057 vol implicie de la digiale 9,25 6,60 smile volailié 16,00 15,00 14,00 13,00 13, ,00 11,00 10, forward du $/Yen vol 35

36 3.6.4 TD calcul du dela BS On a C = S ii he hexp Q r(t ) (S T K) + /F = or = exp r(t ) S ³ E Q S exp ³ r 1 2 σ2 (T ) + σ S ³ h r ³ i E Q S exp 1 2 σ2 (T ) + σ W Q T W Q S = Z +1 1 Z +1 1 S µ S exp µr 12 σ2 " µ S exp µr 12 σ2 S avec g (x) la densié de la loi normale. Ainsi : (T ) + σx p T W Q T W Q (T ) + σx p T + K /F + K /F K + g (x) dx K + # g (x)dx 36

37 C r(t ) exp S = Z +1 1 S " µ S exp µr 12 σ 2 (T ) + σx p + # T K g (x)dx = Z +1 exp µr 12 σ2 (T ) + σx p T = = = soi 1 exp µr 12 Z +1 σ2 (T ) ln(k/s ) ( r 1 2 σ2 ) (T ) Z +1 exp [r (T )] ln(k/s ) ( r 1 2 σ2 ) (T ) σ p T Z +1 exp [r (T )] ln(k/s ) ( r+ 1 2 σ2 ) (T ) C S = Opion barrière σ p T Z +1 σ p T exp g (x)dx 1 fs exp[(r 1 2 σ2 )(T )+σx p T ]>Kgg (x) dx µ 12 σ2 ln(k/s) (r+ 1 2 σ2 )(T ) σ p T = 1 N ( d 1 ) = N (d 1 ) h exp σx p i T g (x)dx g (x) dx (T ) + σx p T Nous nous inéresserons ici à la valorisaion d un "Down and In Call" ou "DIC" mauran en T de srike K e de niveau de barrière H. Un DIC es un call qui ne s acive que si enre la dae de valorisaion e ladae de maurié le sous jacen es passé sous le niveau de la barrière. Le payo d un DIC peu s écrire: (S T K) + 1 ½ ¾ inf S τ<h τɛ[,t] Nous raierons ici le cas où K < H.Noons Dic τ la valeur au emps τ 2 [,T] du DIC. Le héorème de valorisaion 2 nous perme de dire que : 2 Le héorème de valorisaion ne menionnai que les payo s du ype h(s T ). Le héorème s applique aussi aux payo s Z où Z es une variable posiive F T mesurable elle que E Q (Z/F) exise. F T es ici la lraion engendrée par le prix de l acif sous jacen S, soi, dans nore conexe où µ r e σ son non sochasiques, la lraion engendrée par le brownien W Q g (x)dx 37

38 avec sous Q Dic = E Q Ã exp r(t ) (S T K) + 1 ½ ds τ S τ = rdτ + σdw Q inf Sτ<H τɛ[,t] ¾ /F! Pour alléger les noaions de nissons l ensemble A de la façon suivane: ½ ¾ A(S,H) def = inf S τ < H τɛ[,t] On a : Dic = exp r(t ) E Q ³ (S T K) + 1 A(S,H) /F = exp r(t ) E Q (S T K)1 fst>kg1 A(S,H ) /F = exp r(t ) EQ S T 1 fst >Kg1 A(S,H) /F E Q K1 fst >Kg1 A(S,H) /F Exprimons S T, 1 fst>kg e 1 A(S,H ) en foncion de W Q S T = S exp µr 12 ³ σ2 (T ) + σ W Q T W Q fs T > Kg = ½ S exp µr 12 ³ σ2 (T ) + σ W Q T W Q ¾ > K que l on peu écrire = W Q T W Q fs T > Kg = ³ > ln K S r 1 2 σ2 (T ) σ n W Q T W Q > K Qo avec de même K Q = A(S,H) = = ³ K ln S r 1 2 σ2 (T ) ½ σ ¾ inf S τ < H τɛ[,t ] ½ Wτ Q W Q inf τɛ[,t ] ¾ < H Q (τ) 38

39 avec H Q (τ) = ln ³ H S r 1 2 σ2 (T τ) On remarque alors que si H Q (τ) e K Q son parfaiemen connu au emps, H Q (τ) a l inconvenien de dépendre de τ. Cee pise de calcul n es pas la bonne. Changemen de probabilié Le calcul de E Q S T 1 fst >Kg1 A(S,H ) /F e de E Q K 1 fst>kg1 A(S,H ) /F serai en fai bien plus aisé si l on se plaçai sous une proba L elle que: S τ = S expσw L τ En e e, dans ce cas on a fs T > Kg = WT L W L > K Lª ³ K ln avec K L S = e σ A (S,H) = inf W L τ W L < H Lª τɛ[,t ] ³ H ln avec H L S =. σ Soi donc la mesure L elle que dl dq = exp( r 1 2 σ2 W Q T σ 1 r 1 2 σ2 T) 2 σ. En appliquan le héorème de Girsanov on a : e avec ds τ S τ = 1 2 σ2 dτ + σdw L dl dq = exp(r 1 2 σ2 WT L 1 µ r 1 2 σ 2 σ 2 σ W L Pour la suie on noera m = r 1 2 σ2 σ σ = W Q r 1 2 σ 2 σ 2 T) 39

40 calcul de E Q K 1 fst >Kg1 fth<t g/f E Q K1 fst<tg1 A(S,H) /F ³ = E L dq dl K 1 fs T >Kg1 A(S,H) /F ³ E L dq dl /F ³ = KE L exp(mwt L 1 2 m2 T) 1 fw L T W L>KL g 1 A(S,H)/F E L exp(mw L T 1 2 m2 T)/F Or E L µ exp(mw L T 1 2 m2 T)/F = exp(mw L 1 2 m2 ) e e donc E L ³ exp(mw L T 1 2 m2 T) 1 fw L T W L >K L g 1 ft H<Tg/F ³ = E L exp(m WT L W L 1 2 m2 (T )) 1 L fwt W L >K L g 1 ft H<Tg exp(mw L 1 2 m2 ) E Q K1 fst<tg1 A(S,H) /F ³ = KE L exp(mwt L 1 2 m2 T) 1 fw L T W L>KL g 1 A(S,H)/F E L exp(mwt L 1 2 m2 T)/F ³ = KE L exp(m WT L W L 1 2 m2 (T )) 1 L fwt W L >K L g 1 A(S,H )/F K exp 1 2 m2 (T ) Ã= E L exp(m WT L W L ) 1 L fwt W L >K L g 1 A(S,H)/F avec la dernière éape du calcul consise à évaluer E ³exp(m L WT L W L ) 1fW L T W L>KL g 1 A(S,H )/F Remarquons ou d abord que B τ = Wτ L W L de 0 en.! es un brownien sur [,T] issu 40

41 Figure 26: Brownien passan sous la barrière e nissan au dessus diffusion du brownien enre e T 0,6 0,4 niveau du brownien 0,2 0-0, ,4-0,6-0,8 brownien srike barrière brownien réfléchi -1 emps Figure 27: ³ E L exp(m WT L W L ) 1fW L T W L>KL g 1 A(S,H )/F Ã! = E L exp(mb T ) 1 fbτ>k L g1 ½ ¾ /F inf [,T] Bτ<HL = = Z +1 1 Z H L + K Z L +1 H L Pour b 2 K L,H L exp(mb) 1 fbτ>k L g Prob µb L T 2 [b + db], inf B τ < H L [,T ] µ exp(mb)pr ob L B T 2 [b + db], inf B τ < H L [,T ] µ exp(mb)prob L B T 2 [b+ db], inf B τ < H L [,T ] Pr ob µb L T 2 [b + db], inf B τ < H L = Pr ob µb L T 2 [b + db], inf B τ < H L [,T] [,T ] car si en T on a B T < H L alors on sai que la barrière H L a éé franchie. Par ailleurs, le principe de réfexion nous donne Pour b 2 H L,+1 Pr ob L µb T 2 [b + db], inf [,T] B τ < H L = Prob L B T 2 2H L b + db Pour une illusraion du calcul qui sui e du principe de ré exion que nous venons d uiliser, se référer à la gure

42 Ainsi = Z H L K L Z H L K L µ exp(mb)prob L exp(mb)prob L (B T 2 [b + db]) B T 2 [b+ db], inf [,T ] B τ < H L Z 1 H L µ b 2 = p exp(mb)exp db 2 (T ) K L 2(T ) = exp( m 2 (T ) Z Ã! ) H L p 2 (b m (T ))2 exp db 2 (T ) K L 2(T ) = exp( m 2 (T ) Z ) H L m(t ) µ 2 y 2 p exp dy 2 (T ) K L m(t ) T µ = exp( m2 (T ) H L µ m (T ) K ) N p L m(t ) N p 2 T T Par ailleurs Z +1 H L µ exp(mb) Prob L B T 2 [b+ db], inf B τ < H L [,T ] 2H L b! 2 Z Ã 1 +1 = p exp(mb)exp db 2 (T ) H L 2(T ) Z Ã 1 +1! b 2H L 2 = p exp(mb)exp db 2 (T ) H L 2(T ) 2 = exp(m (T ) 2 + 2H L Z Ã m) +1 b 2H L + m (T )! 2 p exp db 2 (T ) 2(T ) H L 2 = exp(m (T ) + 2H L Z m) +1 p 2 2 (T ) H L 2H L m(t ) exp µ y 2 2(T ) soi en inroduisan la cumulée de la loi normale : Z +1 µ exp(mb) Prob L B T 2 [b+ db], inf B τ < H L H L [,T ] µ = exp( m2 (T ) + 2H L m (T ) + HL m) 1 N µ p 2 T conclusion = exp( m2 (T ) 2 + 2H L m)n µ m(t ) + H L p T dy 42

43 E Q K 1 fst >Kg1 A(S,H) /F 2 h= ³ ³ i K exp 1 2 m2 (T ) 4 exp( m 2 (T ) ) N H L m(t p ) 2 T N K L m(t ) p T + ³ exp( m2 (T ) + 2H L m)n m(t )+H L p 2 T 2 ³ = ³ 3 K 4 N H L m(t ) K p T N L m(t ) p T + exp 2H L m ³ 5 m(t )+H L N p T 3 5 Le calcul es similaire : il fau ef- calcul de E Q S T 1 fst>kg1 fth<t g/f fecuer le calcul sous la proba L. 4 Consrucion de la sraégie : approche du rading Lorsque qu une salle des marchés achèe ou vend un acif dérivé, elle me immédiaemen en place une sraégie de couverure. Son objecif n es pas de parier sur le ux qu elle aura à payer ou à recevoir en T. Au conraire elle invesi la oalié de la prime reçue (dans le cas ou elle vend l acif dérivé) ou respecivemen elle nance son acha (dans le cas où elle achèe l acif) dans un porefeuille qui à maurié lui délivrera des ux équivalens à ceux qu elle recevra/versera dans le cadre de son acif dérivé. Le rader consrui donc un porefeuille global de valeur nulle qui inclu l acif e sa couverure, exac inverse du porefeuille répliquan, e mainien ce porefeuille global de façon qu en T sa valeur en soi es nulle égalemen. L objecif du rader es en fai plus for : il es de mainenir la valeur de son porefeuille à 0 pour ou τ 2 [,T] car son porefeuille de couverure doi êre dynamiquemen parfai. Nous allons voir qu un el ob jecif n es aein que lorsque le prix de l opion véri e BS. On noe τ la valeur du porefeuille en τ e l on se place ici dans le cas d un rader ayan acheé l acif dérivé. En τ on a: τ = C τ + α τ M τ + β τ S τ = 0 (9) Enre τ e τ + τ le radeur laisse dériver son porefeuille. Il le recomposera à coû nul (sraégie auo nançane) en τ + τ puis le laissera dériver enre τ + τ e τ + 2 τ ec... Développons τ = τ+ τ τ en uilisan par Io e l équaion auo naçane (7). 43

44 τ = (C τ + α τ M τ + β τ S τ ) = C τ + α τ M τ + β τ S τ avec ² M τ = rm τ τ ² C τ = C τ τ τ (S τσ) 2 2 C τ S 2 τ + C τ S S τ soi τ = C τ τ τ (S τσ) 2 2 C τ S 2 τ + C τ S S τ + α τ rm τ τ + β τ S τ (10) Par ailleurs (9) implique e donc (10) devien α τ M τ = (C τ + β τ S τ ) τ = C τ τ τ (S τσ) 2 2 C τ S 2 τ + C τ S S τ r τ (C + β τ S τ ) + β τ S τ Pour se débarrasser du risque que l évoluion de S fai courrir à son porefeuille, le rader a neuralisé les ermes devan S τ e donc au emps τ il a choisi β τ = C τ. En conséquence S τ = C τ τ τ (S τσ) 2 2 µ C τ S τ + r Cτ 2 S S τ C τ τ (11) Or l edp BS es : 0 = C µ τ τ + r Cτ S S τ C τ (S τσ) 2 2 C τ S 2 d où si l edp BS es véri é par le prix on a bien : τ = 0 Inerpréons l équaion (11) erme par erme : ² C τ τ es la dérive due au héa : oue chose égale par ailleurs, l opion τ perd (dans le cas d un call par exemple) ou gagne de la valeur lorsque le emps passe c es à dire lorsque la maurié résiduelle de l opion baisse. Ce phénomène es illusré par la gure 28 44

45 Figure 28: Valeur emps évoluion de la valeur emps valeur du call 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0-0, sous-jacen maurié résiduelle 10 ans maurié résiduelle 5 ans maurié résiduelle 0 ans Figure 29: Acha d un call e consrucion de sa couverure srike 5 discoun 0,9 vol 10% maurié (T-) 10 spo prix du call dela (-1)*dela*spo 5,5 1,25 0,79-4,32 µ C ² r S S τ C τ es le coû/rendemen du nancemen du call e des acions : prenons l exemple où le rader a acheé un call sur acions. Pour se couvrir il vend C acions (on reviendra sur cee vene à découver S dans le prochain paragraphe). Les élémens chi rés son donnés dans la gure 29.La vene des acions rappore 4,32 andis que l acha du call nécessie l emprun de 1,25. Au oal la salle des marchés µ doi placer sur son compe rémunéré au aux sans risque 4,32-1,25 = C τ S S τ C τ somme qui placée sur un emps τ lui rapporera (4,32 1,25) r τ ² 1 2 (S τσ) 2 2 C τ τ es le gain en "convexié" du porefeuille ou dérive due S2 au gamma de l opion. Ce gain es à prendre au sens large : si 2 Cτ S es 2 posiif ce gain es posiif, sinon celui ci es négaif e ce gain es une pere. 45

46 Figure 30: Valeur du call e du porefeuille répliquan en foncion du niveau du sous-jacen call e porefeuille répliquan pour un niveau de S à 5.5 prix 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0-0, niveau du sous-jacen prix du call prix du call à maurié valeur du porefeuille répliquan Nous illusrons ce gain en convexié par les gures 30 e 31. On voi sur la gure 31 que le porefeuille global n es pas sensible au premier ordre au déplacemen du sous jacen (dérivé première nulle : on di qu il es "dela neure"). Ce n es pas une surprise car leporefeuillea éé consrui dans cee opique. En revanche il es sensible au second ordre e la variaion de valeur du porefeuille sera oujours du même signe, que le choc sur S soi posiif ou négaif. En praique, le rader laisse son porefeuille "faire son gamma" puis se "réhédge" de façon à oujours reser "dela neure" Vene à découver Revenons sur la vene à découver µ que le rader a e ecué pour couvrir son acha du call. Pour vendre ces 0,79 = C τ S = β τ acion le rader doi les empruner e pour cela renre dans une opéraion de repo qui lui perme de les empruner enre τ e τ + τ. Ilcombine cee opéraion repoavec lavene spo des acions : l opéraion résulane es une vene à erme. Le ou es illusré par la gure 32 Valorisons cee posiion en τ puis en τ + τ. Pour simpli er on admera que le aux cour e le aux repo son égaux soi r = r repo On noe 1 τ la valeur en τde cee posiion e 1 τ+ τ sa valeur en τ + τ. On a 1 τ = 0 par dé niion de la vene à erme de l acion. En revanche en τ + τ 46

47 Figure 31: Valeur du porefeuille global en foncion du niveau du sous jacen porefeuille : call + couverure 2 1,5 valeur du porefeuille global 1 0, porefeuille : call + couverure -0,5 niveau du sous jacen cee posiion es valorisée par 2 S τ (1+ r τ) 1 τ+ τ = C τ 6 µ S 4 S τ+ τ ( ux cerain : prix à erme de l acion) pour rendre l acion le rader doi en acheer une au prix prévalen en τ + τ Noons 1 τ = 1 τ+ τ 1 τ on a : 1 τ = C τ S [S τ (1 + r τ) S τ+ τ ] soi 1 τ = C τ S [S τ r τ S τ ] Reconsidérons mainenan le rese du porefeuille global que nore rader avai consiué : l acha d un call e le nancemen de ce acha. En τ cee parie du porefeuille vau 0 par consrucion: 2 τ = C τ (le call) C τ (endeemen sur compe à aux sansrisque) = 0 En τ + τ on a : 2 τ+d = C τ+ τ (le call) C τ (1 + r τ)( nancemen sur compe à aux sans risque) 47

48 Figure 32: vene à découver +d Opéraion de repo S (1+rrepod) S S + Vene spo de l acif = S (1+rrepod) 48

49 Figure 33: Données chi rées pour un pu srike 5 discoun 0,9 vol 10% maurié (T-) 10 spo prix du pu dela (-1)*dela*spo 5,5 1,25-0,21 1,17 e donc 2 τ = C τ C τ (r τ) On obien alors sur la globalié du porefeuille e en appliquan Io: τ = 2 τ + 2 τ µ Cτ = τ + r Cτ S S τ C τ (S τσ) 2 2 C τ τ S 2 e donc bien l équaion (11). TD : acha d un pu ;Monrer que sous AOA le prix d un pu es donné par P = exp r(t ) K S + C par mise en place d un porefeuille de couverure saique conenan l acif sans risque, l acion e un call. Eude du porefeuille de couverure dynamique avec les paramères chi rés donnés dans la gure 33 : 5 Formule BS pour un sous-jacen versan des dividendes 5.1 Acions Nous allons désormais nous placer dans le cas où le sous-jacen, une acion, verse des dividendes. Nous allons considérer pour simpli er que ces dividendes son connus e qu ils peuven êre représenés par un aux de rendemen insanané δ. Auremen di une acion de valeur S τ enre τ e τ + dτ rappore δs τ dτ à son déeneur. Noreobjecif es de calculer la valeur d une opion sur ce acif. Nous nous plaçons oujours dans la siuaion d un rader qui achèe une opion sur acion. Le rader consrui un porefeuille conenan l opion, des acions e leur nancemen au aux sans risque. Pour éablir l équaion BS nous allons 49

50 procéder en adopan une démarche de rading :nous allons chercher l edp BS que doi suivre le prix de l opion pour que le porefeuille global soi de valeur nulle à ou emps τ. La déenion d acion versan des dividendes implique que la sraégie de couverure n es plus auo nançane mais inègre larecepion de ces dividendes : lorsque le rader "se réhedge" il peu comper sur l appor des dividendes perçus. L équaion suivie par (α τ,β τ ) n es plus (6) mais devien : Z τ Z τ Z τ ατmτ+β τ Sτ = αm+β S+ αsdms+ β s dss+ δβ s Ssds {z } dividendes p erçus duran la période (12) ou encore sous une forme plus concise: d(α s M s + β s S s ) = α s dm s + β s ds s + δβ s S s ds (13) On noe τ la valeur du porefeuille en τ e l on se place ici dans le cas d un rader ayan acheé l acif dérivé. En τ on a: τ = C τ + α τ M τ + β τ S τ = 0 En appliquan (7) e Io τ s écri désormais: on a oujours e donc τ = C τ τ τ (S τσ) 2 2 C τ S 2 τ + C τ S S τ +α τ rm τ τ + β τ S τ + δβ τ S τ τ α τ M τ = (C τ + β τ S τ ) τ = C τ τ τ (S τσ) 2 2 C τ S 2 τ + C τ S S τ (14) r τ (C τ + β τ S τ ) + β τ S τ + δβ τ S τ τ Pour neuraliser son porefeuille aux chocs S τ le rader choisi oujours β τ = C τ. L équaion (14) devien alors S τ = C τ τ (S τσ) 2 2 C τ S 2 τ µ r τ C τ C τ S S τ δ C τ S S τ τ l edp que doi suivre le prix de l opion es donc : C τ C 2 (Sσ)2 S 2 rc τ + (r δ) C S S = 0 (15) 50

51 5.1.1 Résoluion de l EDP de valorisaion d un call sur acion Enoncé du TD En e ecuan le changemen de variable suivan ½ X = S exp δ(t τ) τ = τ résoudre l edp (15) avec la condiion limie C (S,T) = (S K) + (16) Monrer alors que le prix d un call sur acions versan des dividendes es donné par : C (S,) = E Q h exp r(t ) (S T K) + /F i avec sous Q: ds τ S τ = (r q)dτ + σdw Q Soluion On dé ni la foncion F par : F (X,τ) = C (S,τ) Réécrivons le sysème formé par l edp (15) e la condiion erminale (16) en foncion de F e X. On a ² C τ = F X X τ + F τ τ τ ² C S = F X X µ ² 2 C S 2 = e S + F τ exp τ S δ(t τ) F X F = δx X + F τ τ) F = exp δ(t X + 0 µ X ² C (S,T) = F (X,T) = (X K) + L edp (15) devien: X S + exp δ(t τ) F τ X τ S = exp 2δ(T τ) 2 F X 2 C τ C 2 (Sσ)2 S rc 2 τ + (r δ) C = S S δx F X + F τ Xσ exp δ(t τ) 2 exp 2δ(T τ) 2 F X 2 δ(t τ) F +(r δ) exp X X expδ(t τ) = δx F X + F τ (Xσ)2 2 F F + (r δ) X 2 X X = F τ (Xσ)2 2 F X 2 + r F X X = 0 51

52 e la condiion erminale éan donné par F (X,T) = (X K) + On reconnai l edp BS classique. On a donc F (X,) = E Q h exp r(t ) (X T K) + /F i avec sous Q dx τ = rdτ + σdw X Q τ ou encore en e ecuan un changemen de variable avec, en appliquan Io, sous Q C (S,) = E Q h exp r(t ) (S T K) + /F i ds τ S τ = (r δ) dτ + σdw Q 5.2 Change Si nous avons placé cee secion sur la valorisaion des opions de change dans le chapire des opions sur sous jacen versan des dividendes c es parce que les analogies son rès fores enre les opions sur acions e les opions de change. Plaçons nous dans le cas d opions d acha/vene de dollar en euro. Le sousjacen de l opion es le dollar e le prix en euro d un dollar sera noé X τ. Pour se couvrir ces opéraions les arders achèen ou venden des dollars e les placen sur l acif sans risque de l économie américaine. Si l on noe r e le aux cour rémunéran le placemen sans risque de l économie américaine, on peu écrire que la déenion d un dollar enre τ e τ +dτ rappore, exprimé en devise domesique: r e X τ dτ Economiquemen on peu considérer que les dollars son des ires de propriéé sur l économie américaine, e donc en quelque sore des acions sur cee économie, e qu à ce ire il verse des dividendes au aux r e.a parir de ce poin la gesion du porefeuille de rading es sricemen équivalene à celle décrie dans la secion précédene.on a donc pour le prix d un call sur dollar : C = E Q h exp r(t ) (X T K) + /F i avec sous Q: e donc avec dx τ X τ = (r r e )dτ + σdw Q C (,T,r,r e,x,k,σ) = X exp re (T ) N (d 1 ) exp r(t ) KN (d 2 ) 52

53 ² X la valeur du aux de change en ln (X/K) + µr r e + 12 σ2 (T ) ² d 1 = σ p T µr r e 12 σ2 ² d 2 = d 1 σ p ln (X/K) + T = σ p T (T ) La formule peu aussi s écrire en foncion du aux de change forward X T = X exp re (T ) exp r(t ) C,T,r,r e,x T,K,σ h i = exp r(t ) X T N (d 1 ) exp r(t ) KN (d 2 ) 6 Théorème de valorisaion dans le cas mulidimensionnel e avec coe ciens de di usion sochasiques Soi un marché composé de d+1 acifs. ² un acif sans risque don la di usion sous la probabilié hisorique P es donnée par dm τ = r τ dτ M τ ² d acifs risqués qui sous P on la di usion suivane : ds i τ S i τ = µ i τ dτ + dx j=1 σ i,j τ dw P j ou avec des noaions vecorielles ds i τ S i τ = µ i τ dτ +! σ i Tr! τ.dw P avec W = W1 P,...,Wj P...,Wd P brownien d-dimmensionnel. On noe Fτ la lraion naurelle associée à W. On suppose par ailleurs que ² r,µ e σ son mesurables, F τ adapés, uniformémen bornés sur [,T] ; r es posiif. ² La marice σ τ es inversible, son inverse es borné pour ou τ 2 [,T], σ τ es prévisible. 53

54 ² une sraégie auo naçanees le d+1-uple π i ³π 0 i d = 0, π i de 1 i d processus F τ adapés e els que si l on noe! π τ le veceur formé des d dernières coordonnées de! π τ e X τ = π 0 M τ +! T π r τ.! S τ la valeur en τ de la sraégie on ai dx τ = π 0 τdm τ +! π Tr τ.d! S τ 6.1 Théorème Dans le marché el que dé ni précédemmen on demonre que : ² 9! probabilié Q équivalene à P elle ds i τ S i τ soi avec des noaions vecorielles ds i τ S i τ = r τ dτ + dx j=1 σ i,j τ dw Q j = r τ dτ +! σ i τ T r.! dw Q ² quelque soi Z variable F T -mesurablee elle que E Q h exp R T rsds Z/F ialors il exise une sraégie auo nançane fondée sur les acifs de base (acif sans risque e les d acifs risqués) qui nance Z ² e don la valeur pour ou τ 2 [,T] es donnée par: C τ = E Q h exp R T τ rsds Z/F τ i ² la di usion de C τ sous P peu s écrire dc τ C τ = µ C τ dτ +! σ C Tr! τ.dw P avec µ C τ = r τ +! σ C τ.! λ τ avec! λ τ veceur de prime de risque indépendan de l acif C Démonsraion ² on pose! h λ τ = σ 1 τ.!µτ! i r τ 1. Les hypohèses faies sur σ τ,! µ τ e r τ impliquen que! λ τ es borné. On peu alors appliquer le héorème de Girsanov mulidimenionnel qui monre qu il exise une unique probabilié Q équivalene à P sous laquelle on a : 54

55 avec ³ dw Q j j ds i τ S i τ brownien sous Q. = r τ dτ + dx j=1 σ i,j τ dw Q j ² sous cee probabilié Q les sraégies auo naçanes véri en : dx τ = π 0 τdm τ +! π τ T r.d! S τ = π 0 τdm τ + X i=d i=1 πi τ ds i τ = π 0 τ r τm τ d τ + X i=d = X τ r τ dτ +! T θ r τ. hσ τ.! i dw Q π 1 S 1 avec! π 2 S 2 θ =... π d 1 S d 1 π d S d puis en posan on obien : soi encore : i=1 πi τ Si τ r τdτ + X i=d R(τ) = exp R τ rsds i=1 πi τ Si τ d(x τ R(τ)) = R(τ)! h T θ r τ. σ τ.! i dw Q X τ R(τ) = X R() + Z τ 2 4 dx j=1 R(τ)! h T θ r τ. σ τ.! i dw Q σ i,j τ dw Q j ² on pose N τ = E Q h exp R T r sds Z/F τ i. N τ es une maringale.sous Q. D après lehéorème de représenaion des maringales il exise un processus! h τ el que N τ = N + R τ! T h r τ.! dw Q. On pose alors! θ τ = σ T r 1! τ hτ R(τ) e l on obien : N τ = N + R τ R(τ)! T θ r τ. hσ τ.! i dw Q avec N T = exp R T r sds Z. On conclu en posan

56 8 8i 2 f1,2,..,dg >< π i = θ i S i e >: π 0 τ = N τ R(τ) X d R(τ)M τ 1 π is i e en véri an que la sraégie obenue es e ecivemen auo nançane e que sa valeur es X τ avec h X τ = E Q exp R i T τ rsds Z/F τ rappel Lehéorème de représenaion des maringales qui aééuilisé ici es une exension du héorèmeclassique. Nous rappellerons icil énoncé.deceeexension (Cf Marchés Financiers en emps coninu, Rose-Anne Dana e Monique Jeanblanc, p153) Soi (B s ) 0 un P-mouvemen brownien, soi F = σ (B s,s ) sa lraion.soi L une densié de Girsanov s écrivan µz L = exp h(s)db s Z 0 h 2 (s)ds avec h bornée. On sai que fb s = B s R h(s)ds es un Q-mouvemen brownien. 0 En général, la lraion F e ³ = σ fbs,s n es pas égale à F. Cependan on peu monrer que le héorème de représenaion prévisible des maringales es encore véri é sous Q: Toue Q F maringale coninue s écri R 0 φ(s)df B s, où φ es un processus prévisible saisfaisan : Z 0 φ 2 (s)ds < +1 P p.s. (ou P p.s.) 6.2 Formule BS avec aux d inérê sochasique On se place à nouveau dans la con guraion d un call sur un acif ne versan pas de dividendes. Nous allons calculer la formule BS lorsque le aux cour es sochasique. Supposons que dans nore monde mulidimensionnel nous avons l acif sans risque M, l acif risqué e le zéro-coupon mauran en T. D après le héorème de valorisaion précéden nous avons h C = E Q exp R i T rsds (S T K) + /F (17) Avec sous Q: 56

57 ds τ S τ = r τ dτ +! σ s! dw Q db τ B τ = r τ dτ +! σ B! dw Q dm τ M τ = r τ dτ (18) avec donc, cee fois, r τ sochasique. Noons β τ = exp R τ 0 r sds.en appliquan Io on monre facilemen que: Posons mainenan : d S τ β τ S τ =!! σ s dw Q β τ d B τ β τ B τ =!! σ B dw (19) β τ L τ = B τ β τ 1 B 0 (19) implique que L τ es une maringale sous Q sricemen posiive. Par ailleurs L = E Q (L T /F 0 ) = 1.L T peu donc s inerpréer comme une densié de Radon Nycodym dqt dq caracérisan une probabilié QT die probabilié forward neure associée à la maurié T. Par ailleurs on remarque que: dl τ L τ = d B τ β τ B τ =!! σ B dw Q β τ e donc Z τ L τ = exp!! σ B dw Q 1 Z τ k! σ B k 2 ds 2 Ainsi en appliquan le héorème de Girsanov on a d! W τ Q T =! dw τ Q! σ B dτ avec d! W τ Q T brownien sous Q T. L τ s écri égalemen en foncion de d! W τ Q T Z τ L τ = exp!! σ B dw Q + 1 Z τ k! σ B k 2 ds 2 57

58 Monrons mainenan que S τ e β τ ainsi que M τ son maringuales sous B τ B τ B τ Q T : µ µ E Q dq T S τ Sτ dq /F s B E QT /F s = ³ τ B τ E Q dq T dq /F s = = = S s B τ µ E Q Bτ 1 S τ /Fs β τ B 0 B µ τ Bτ E Q 1 /F s β τ B 0 1 B 0 E Q 1 B 0 E Q µ Sτ /F s β µ τ Bτ /F s β τ son égalemen marin- Un calcul similaire nous monre que β τ ainsi que M τ B τ B τ gales sous Q T. On en dédui alors rapidemen : d Sτ B τ S τ B τ = [! σ S! σ B ]d! W Q T (20) ainsi que Reformulons nore équaion de valorisaion (17) d β τ B τ β τ =! σ B d! W QT (21) B τ h C = E Q exp R i T r sds (S T K) + /F h = EQ T dq dq exp R T T rsds (S T K) + /F i E QT h dq dq T /F i Calculons les deux ermes de ce raio. Au nominaeur : 58

59 dq R T E QT dq T exp rsds (S T K) + /F 1 = E QT exp R T rsds (S T K) + /F L T 2 = E QT exp R T rsds (S BT 1 T K) + /F 7 5 β h T B 0 i = B 0 E QT (S T K) + /F en remarquan que B T = 1.Au dénominaeur : dq E QT dq /F T 1 = E QT /F L T 2 3 = E QT /F B T 1 β T B 0 = B 0 E QT βt B T /F 3 d après l équaion (21) d où βt E QT /F = β B T B dq E QT dq /F T = β B B 0 ainsi : h C = E Q exp R i T r sds (S T K) + /F h i = B E QT (S T K) + /F " µ # + ST = B E QT K /F B T (22) 59

60 que l on peu résoudre avec la connaissance de la di usion de S τ B τ sousq T qui nous es jusemen donnée par (20). Si l on suppose que! σ S! σ B n es pas sochasique on obien S C = B N (d 1 ) KN (d 2 ) B avec ² d 1 = ³ ln S B /K σ 2 (T ) σ p T ² d 2 = d 1 σ p T ² σ = k! σ S! σ B k Soi si l on pose Sτ T = S τ B τ C = B S T N (d 1 ) KN (d 2 ) avec ln S T /K + 1 ² d 1 = 2 σ2 (T ) σ p T ² d 2 = d 1 σ p T Cee formule es à rapprocher de la formule de valorisaion BS exprimée en foncion du prix forward de l acif que nous avions éabli dans le cadre des aux non sochasiques (cf equaion 8). Nous allons monrer dans le paragraphe suivan que dans le cadre du modèle BS à aux d inérê sochasique S T = S B es e ecivemen le prix forward en de l acif S pour un conra forward mauran en T. 6.3 Prixforward d un acif On se replace dans le cadre du paragraphe Prix forward d un acif de la secion Théorème de valorisaion dans un cadre monodimensionnel e avec coe ciens de di usion non sochasiques. Il avai éé menionné que le prix forward en d un acif pour un conra forward mauran en T es el que le prix en des ux en T induis (cf gure 34) par le conra forward es 0. Soi, en noan P f ce prix forward : h E Q exp R i h T rsds P f /F = E Q exp R i T r sds S T /F e donc P f = S B (,T) 60

61 Figure 34: Flux induis en T par un conra de vene forward en cash selemen T P f S T où B (,T) es le prix en du zéro-coupon mauran en T. Par IV Modèle de smile La présence de smile sur les marchés des aux, des acions e du change on poussé les opéraeurs à rouver des processus de di usion des sous-jacens qui leur permeen d expliquer le phénomène de smile. L objecif es double : il s agi de pouvoir donner un prix à des payo s où la réplicaion saique n es pas enviseageable mais aussi de mieux se couvrir. Nous alons éudier 3 modèles à smile : le modèle log-décalé, qui comme on le verra peu s inerpréer comme une combinaison linéaire d un modèle normal e d un modèle log-normal, le modèle Dupire à volailié locale dépendan du emps e du niveau du sous jacen e en n le modèle SABR où la vol dépend du sous-jacen mais égalemen d un paramère sochasique non corrélé avec le sous jacen. Pour un appronfondissemen lalecuredes aricles suivans es recommandées: ² A heory of Volailiy, Anoine Savine ² Towards a Theory of Volailiy Trading, Peer Carr, Dilp Madan ² Managing Smile Risk, Parick S. Hagan, Deep Kumar, Andrew S. Lesniiwsky, Diana E. Woodward ² A Risk Neural Sochasic Volailiy Model, Yingzi Zhu, Marco Avellaneda ² Pricing and Hedging wih Smile, Bruno Dupire 61

62 7 Modèle log-décalé On se place sous la probabilié forward neure Q T associé à la maurié T. Sous cee probabilié le prix forward de l acif es maringale. La di usion du sous-jacen s écri de la manière suivane : avec avec m paramère consan. Soi encore ds T τ S T τ 7.1 Valorisaion d un call. ds T τ S T τ + m = σdw QT (23) = σ loc S T τ dw Q T σ loc S T τ = σ S T τ + m S T τ On se place dans le cadre du paragraphe Formule BS avec aux d inérê sochasique e l on reprend le calcul de valorisaion du call à parir de l équaion (22). On pose L τ = S T τ + m On a : ² L = S T + m ² L T = S T T + m ² dl τ L τ = σdw QT h ² C = B E QT S T T K i h i + /F = B E QT (L T (K + m)) + /F e donc: C = B [L N (d 1 ) KN (d 2 )] = B S T + m N (d 1 ) KN (d 2 ) avec ² d 1 = ln µ S T + m + 1 K + m 2 σ2 (T ) σ p T ² d 2 = d 1 σ p T 62

63 7.1.1 Lien avec le modèle de aux Ho and Lee Nous sommes en. On cherche à valoriser un cap sur aux θm mauran en T. On se place dans le cadre pre xing pos paymen, c es à dire que que payo du cap xe en T mais le paymen es e ecué en T + θ On noe C τ la valeur du cap en τ. On a : C = E Q h exp R T rsds (y T K) B(T,T + θ) /F i = E Q h exp R T+θ r sds (y T K) /F i = B (,T + θ) E QT+θ [(y T K) /F ] Le aux θm en T es donné par : 1 = B (T,T + θ) 1 + θy T soi y T = 1 1 θ B (T,T + θ) 1 Posons y T τ = 1 B (τ,t) θ B (τ,t + θ) 1 (il s agi du aux forward). On a ² y T τ = y T ² dy T τ 1 + θy T τ = 0 d@ B (τ,t) B (τ,t + θ) B (τ,t) B (τ,t + θ) 1 A Dans le cadre du modèle Ho and Lee les prix zéro-coupon suiven sous la probabilié risque neure la di usion : db (τ,t) B (τ,t) = r τdτ + σ H L (T τ)dw Q On monre aisémen en uilisan des raisonnemens analogues à ceux développés B (τ,t) dans leparagraphe Formule BS avec aux d inérê sochasique que B (τ,t + θ) es une maringale sous Q T +θ. On en dédui que sous Q T+θ on a : d B (τ,t) B (τ,t + θ) B (τ,t) B (τ,t + θ) = σ HL θ dw QT+θ 63

64 e donc soi encore dy T τ 1+ θy T τ dy T τ 1/θ + y T τ = σ H L θ dw QT+θ = σ HL θ 2 dw QT+θ Remarques e exemples numériques Remarque 1 Une bonne approximaion des volailiés implicies es donnée par: σ BS S T,K µ S T = σ + K loc σ 00 loc µ S T 3 + K 2 S T K σ loc µ S T + K 2 Remarque 2 L équaion de di usion (23) peu égalemen s écrire: avec m = qeσ e (1 q)eσ = σ. ds T τ = qeσdw QT + (1 q)s T τ eσdw QT Exemples numériques cf gures 35 e 36. (24) 8 Modèle à volailié locale non paramérique : modèle di de Dupire 8.1 Formule de Tanaka La formule de Tanaka es une exension du lemme d Iô que l on applique aux disribuions. Soi f(,x) une foncion e X un processus d Iô qui s écri On a : dx = µ d + σ dw df(,x ) = f(,x ) d + f(,x ) dx + 1 X 2 2 f(,x ) X 2 σ 2 d où f(,x ) e 2 f(,x ) X X 2 son à prendre, si nécessaire, au sens des disribuions 64

65 Figure 35: Log décalée : modèle de aux Ho & Lee S 5% srike 3,50% 4,00% 4,50% 5,00% 5,50% 6,00% 6,50% 7,00% 7,50% T- 2 prix 1,396% 1,008% 0,675% 0,411% 0,225% 0,109% 0,046% 0,017% 0,005% discoun 0,9 BS implied vol 19,276% 18,088% 17,096% 16,230% 15,473% 14,801% 14,202% 13,665% 13,191% vol 0,2% proxy (ATM) 16,20% m 4 proxy 19,22% 18,05% 17,06% 16,20% 15,45% 14,79% 14,19% 13,66% 13,17% volbar 16% smile Ho&Lee srike 20,0% 19,0% 18,0% 17,0% 16,0% 15,0% 14,0% 13,0% 3,00% 4,00% 5,00% 6,00% 7,00% 8,00% vol implicie BS vols implicies densiés log-normale e log decalée H&L aux à maurié ,00% 2,00% 4,00% 6,00% 8,00% 10,00% densié H&L Log normale à variance égale 65

66 Figure 36: Log décalée S 5% srike 3,50% 4,00% 4,50% 5,00% 5,50% 6,00% 6,50% 7,00% 7,50% T- 2 prix 1,351% 0,912% 0,518% 0,228% 0,073% 0,017% 0,003% 0,000% 0,000% discoun 0,9 BS implied vol 10,150% 9,709% 9,324% 8,998% 8,710% 8,462% 8,253% 8,065% 7,876% vol 3,0% proxy (ATM) 9,00% m 0,1 proxy 10,13% 9,69% 9,32% 9,00% 8,72% 8,47% 8,25% 8,05% 7,86% volbar 9% smile Log décalée 11,0% srike 10,0% 9,0% vols implicies 8,0% 7,0% 3,00% 4,00% 5,00% 6,00% 7,00% 8,00% vol implicie BS densiés log-normale e log decalée aux à maurié % 3% 4% 5% 6% 7% 8% densié Log décalée Log normale à variance égale 66

67 8.2 Applicaion Equaion de Focker-Plank On prend f(,x ) = δ x (X ) e On obien : dδ x (X ) = dx = µ(,x )d + σ(,x )dw δ 0 x (X ) µ(,x ) δ00 x (X )σ 2 équaion à laquelle on applique l opéraeur Espérance : ϕ (x)µ(,x) dϕ (x) = + 1 x 2 d + δ 0 x (X )σ(,x )dw 2 ϕ (x) σ 2 (,X ) x 2 e donc ϕ (x) = ϕ (x) µ(,x) ϕ (x)σ 2 (,X ) x 2 x 2 soi l équaion de Focker-Plank régissan la densié du processus X EDP suivi par le prix des calls e équaion de la vol locale On prend f(,x ) = (X K) + e dx = µ(,x )d + σ(,x )dw L applicaion de la formule de Tanaka nous donne : d(x K) + = 1 fx>kgdx δ K (X ) σ 2 (,X )d soi, en appliquan l opéraeur espérance : de (X K) + = 1 2 ϕ (K)σ 2 (,K)d On noe C(,K) le prix au emps 0 d un call de srike K mauran en. En supposan les aux à zéro on a C(,K) = E (X K) +. L équaion précédane s écri : C(,K) = 1 2 ϕ (K)σ 2 (,K) En uilisan le fai que on obien : ϕ (K) = 2 C(,K) K 2 v C(,K) σ(,k) = u 2 2 C(,K) K 2 d 67

68 Figure 37: Smile SABR 1 smile SABR Forward 5,5%-6,5%-7,5% SigmaBea 1,6% Bea 0,5 Alpha 30% rho -25% 20% 15% 10% smile SABR Fwd 5,5% smile SABR Fwd 6,5% smile SABR Fwd 7,5% 5% 0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% smile SABR Forward 5,5% SigmaBea 2% Bea 0,5 Alpha 30% rho -25% 25% 20% 15% 10% 5% 0% 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% smile SABR smile SABR Forward 5,5% SigmaBea 1,6% Bea 0,3 Alpha 30% rho -25% 40% 30% 20% 10% smile SABR 0% 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 9 Modèle SABR (Sigma Alpha Bea Rho) Le modèle SABR propose de ne pas réduire la sochasicié de la volailié locale à la seule dépendance de cee volailié au sous jacen e ajoue une source de brui supplémenaire. Le forward sui la di usion suivane : ² df = F β σ β dw 1 ² dσ β = ασ β dw 2 ² dw 1 dw 2 = ρ L impac des paramères sur la forme des smiles implicies es illusré par les gures 37 e 38. Une augmenaion du paramère σ β indui une ranslaion du smile vers le hau. Unediminuion du paramère β accroi le skew demême qu une diminuion du paramère ρ. En n uneaugmenaion du paramèreα, lavolailiédela volailié σ β accroi la convexié du smile. L ajou d une dimension sochasique pour la volailié perme donc d aeindre des smiles convexes qui n éaien pas 68

69 Figure 38: Smile SABR 2 smile SABR Forward 5,5% SigmaBea 1,6% Bea 0,5 Alpha 40% rho -25% 25% 20% 15% 10% smile SABR 5% 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% smile SABR Forward 5,5% SigmaBea 1,6% Bea 0,5 Alpha 30% rho -40% 25% 20% 15% 10% smile SABR 5% 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% accesibles sous des modèles du ype log-décalé. Mais ce que perme surou l uilisaion du SABR c es un hedge plus compaible avec la dynamique du smile. Comme on peu l a vu en TD à parir d une analyse simple de la formule (24) pour le modèle log-décalé,l évoluion du forward, à paramère minchangé, fai évoluer le smile d une façon qui peu êre incompaible avec l évoluion réelle du smile de marché e induire un dela hedge moins e cace qu un dela hedge évalué à parir d un simple modèle BS. 69