3 POLITIQUE D'ÉPARGNE

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1 3 POLITIQUE D'ÉPARGNE 3. L épargne exogène e l'inefficience dynamique 3. Le modèle de Ramsey 3.3 L épargne opimale dans le modèle AK L'épargne des sociéés dépend largemen des goûs des agens, de faceurs sociaux, culurels e démographiques, de phénomènes indépendans des poliiques. Les gouvernemens ne mènen pas à propremen parler des «poliiques d'épargne», mais la poliique économique, budgéaire e monéaire, a un impac sur les comporemens d'invesissemen, comme on le verra dans les chapires suivans. Avan de renrer dans ces déails, il es nécessaire d'examiner les conséquences en erme de bien-êre du choix du aux d'épargne. Ce chapire examine quelles son les conséquences poliiques du modèle de croissance néoclassique. Dans celui-ci, le aux de croissance d'éa régulier es indépendan du aux d'épargne, en revanche le aux d'épargne déermine le niveau de consommaion d'éa régulier e le aux de croissance de dynamique ransioire. Le choix du aux d'épargne a donc des implicaions en ermes de bien-êre. La secion décri ces implicaions e en pariculier le fai que l'épargne, si on la modélise comme exogène, peu êre excessive. Dans ce cas on monre qu'il nous manque, dans le cadre de cee modélisaion, des jusificaions pour mener une poliique économique. La secion modélise le cas où l'épargne es déerminée de façon endogène par des agens qui opimisen. Dans ce cas, l'économie déermine, aussi bien à l'éa régulier qu'en dynamique ransioire, le meilleur aux d'épargne possible. La secion 3 s'écare du modèle néoclassique pur e examine un cas ypique où une inefficience de marché condui à un aux d'épargne qui peu êre insuffisan. Dans ce cas, l'inervenion de la poliique économique peu conduire à un aux d'épargne meilleur. 3. L'ÉPARGNE EXOGÈNE ET L'INEFFICIENCE DYNAMIQUE Nous considérons ici, comme dans le modèle de Solow, que le aux d'épargne es exogène. Nous calculons le aux d'épargne opimal d'éa régulier, puis examinons les conséquences ransioires d'une poliique qui modifie ce aux. 3.. L'opimum de Phelps de l'éa régulier Dans le modèle de Solow à l'éa régulier, on s'inéresse aux effes du aux d'épargne sur le bien-êre. À l'éa régulier, s ne déermine pas la croissance mais les niveaux de k*, y*, c*, r*, w*. Ainsi, divers aux d'épargne ou diverses poliiques d'épargne mèneron à des éas réguliers présenan le même aux de croissance mais avec des niveaux différens de consommaion, donc de bien-êre.

2 Figure 3. : éa régulier e épargne ŷ y ˆ * c ˆ* f( k ˆ) ( x n ) kˆ ŷ f( k ˆ) ( x n ) kˆ s f ( kˆ ) y ˆ * c ˆ* s f ( k ˆ) k ˆ*( s ) ˆk k ˆ * ( s ) ˆk Sur la figure 3., le choix de s par une sociéé (s élevé ou s faible) ou par le dicaeur bienveillan, déermine le niveau de consommaion par êe à l'éa régulier, e donc le bienêre de la sociéé. Il exise donc (figure 3.) une valeur de s (e donc de k*) qui maximise le niveau de consommaion par êe d'éa régulier : c es l opimum de Phelps, qui déermine le aux d'épargne opimal de la règle d'or. Figure 3. : opimum de Phelps ŷ f( k ˆ) y ˆ * ( x n ) kˆ c ˆ or * s f ( k ˆ) or ˆ*( ) k s or ˆk Le problème d'opimisaion peu êre formalisé comme un problème de choix de ks ˆ( ) qui maximise la consommaion sous la conraine d'éa régulier : Max : cˆ ( s) ( s) f kˆ ( s) kˆ sous : s. f kˆ( s) ( x n ). kˆ( s) En reporan la conraine dans la foncion objecif on a : Max : cˆ ( s) f kˆ( s) ( x n ). kˆ( s) kˆ e la condiion du premier ordre es : f '( kˆ or ) Pmkor ( x n ). C'es la règle d'or : la consommaion par êe d'éa régulier es maximale lorsque le capial par êe d'éa régulier es el que la producivié marginale du capial es égale à

3 3 (x+n+ ). Puisque les capialises son rémunérés à la producivié marginale du capial nee de l'amorissemen Pmk e puisqu'il y a arbirage enre les deux formes d'acif, le capial e les prês r Pmk, on doi avoir l'égalié enre le aux d'inérê e le aux de croissance de l'économie : r or = (x+n). On peu calculer le aux d'épargne opimal lorsqu'on spécifie la foncion de producion par exemple avec la Cobb-Douglas ( ŷ kˆ ). En rappelan que ŷ kˆ kˆ e que dyˆ dkˆ kˆ yˆ kˆ dyˆ dkˆ e donc que s or = I Y = DK K DK / K x n Y Y / K ( / ) Pmk or L'épargne opimale es égale à la par des profis dans le revenu. Si l'on reprend la paramérisaion = /3, un aux d'épargne opimal égal à 30% paraî rès imporan, même s'il s'agi du aux d'épargne bru. Nos sociéés épargnen moins que ce aux, sauf peu-êre le Japon, comme le monre le ableau 3.. Tableau 3. : aux d'épargne des pays développés, moyenne Royaume-Uni USA Espagne Ialie Allemagne France Japon 7,%,0% 3,9% 4,4% 4,5% 5,% 33,8% Source : Summers e Heson, 99. On pourrai conclure sur cee base, que nos sociéés n'épargnen pas assez. Mais ce aux opimal, au sens de Phelps, ne l'es pas au sens uiliarise. Il es rop élevé comme on le verra dans la secion, car il ne ien pas compe de la préférence pour le présen des agens. Pour l'insan la quesion es de savoir si une sociéé qui n'épargne pas selon s or a oujours inérê à modifier son aux d'épargne pour adoper le aux opimal de la règle d'or. 3.. Dynamique ransioire e poliique économique Si le aux d'épargne es inférieur à celui de la règle d'or, alors oue augmenaion du aux d'épargne augmene le niveau de la consommaion par êe d'éa régulier. Si le aux d'épargne es supérieur à celui de la règle d'or, alors oue réducion du aux d'épargne augmene le niveau de la consommaion par êe d'éa régulier. Cee consaaion n'implique cependan pas, que la modificaion du aux d'épargne soi nécessairemen une poliique opimale au sens de Pareo (une amélioraion au sens de Pareo). Le problème es de savoir ce qui se passe duran la dynamique ransioire. ) La figure 3.3 illusre le cas d'inefficience dynamique lorsque l'épargne es rop fore (s >s or ). Si l'épargne es rop fore e donc le capial d'éa régulier k ˆ*( s ), on peu êre sûr que le dicaeur bienveillan a inérê à baisser le aux d'épargne. Ce aux d'épargne es inefficien, Quand par ailleurs on affirme que «es rop faible», c'es pour signifier que le concep de capial es plus large que le concep de capial physique. Ici quand on affirme que «s or = es rop for» c'es pour signifier que l'épargne opimale en capial physique es plus imporane que l'épargne effecive. Les deux proposiions ne son pas conradicoires.

4 4 car une consommaion par êe plus élevée pourrai êre obenue en ou poin du emps, en diminuan le aux d'épargne. Cee poliique es une amélioraion au sens de Pareo. Figure 3.3 : épargne rop fore yˆ*(s ) (x+n+δkˆ yˆ*(s or ) cˆ*(s ) s yˆ cˆ() cˆ*(s or ) cˆ*(s or ) s or yˆ cˆ*(s ) 0 kˆ*(s or ) kˆ*(s ) kˆ Dès la dae ( 0 ) de la poliique (baisse de s à s or ), la consommaion se rerouve immédiaemen au dessus de son niveau iniial e y rese duran oue la dynamique ransioire, c'es donc une bonne poliique (au sens de Pareo : oues les généraions y gagnen). Une épargne rop fore es une inefficience dynamique car une consommaion par êe plus élevée pourrai êre obenue en ou poin du emps. ) La figure 3.4 illusre le cas où l'épargne es «rop faible» (s < s or ). Si l'épargne es rop faible e donc le capial d'éa régulier k ˆ*( s ), on ne peu pas savoir, dans ce modèle d'épargne exogène, si le dicaeur à inérê a augmener le aux d'épargne. Cee poliique n'es pas une amélioraion au sens de Pareo. Figure 3.4 : épargne rop faible yˆ*(s or ) cˆ*(s or ) (x+n+ kˆ cˆ*(s or ) yˆ*(s ) cˆ*(s ) s or yˆ cˆ*(s ) s yˆ 0 T kˆ*(s ) kˆ*(s or ) kˆ

5 5 À la dae ( 0 ) de la poliique (hausse de s à s or ), la consommaion baisse, puis augmene progressivemen duran la dynamique ransioire e se rerouve en fin de compe au dessus de son niveau iniial. Mais duran la dynamique ransioire, enre 0 e T la consommaion es en dessous de son niveau iniial. On ne peu pas êre sûr que cee poliique augmene le bien-êre de la sociéé. Augmener le aux d'épargne augmenera le bien-êre des généraions fuures, mais baisse pour l'insan le bien-êre des généraions présenes. Cee poliique n'es donc pas une amélioraion au sens de Pareo. Mais cee poliique peu cependan êre une amélioraion au sens uiliarise, ou dépend de la façon don on pondère les inérês des généraions présenes e fuures. Ce résula fondamenal sera monré dans le paragraphe Le modèle de Phelps nous assure d'une seule chose, c'es qu'il ne fau pas rop épargner. Une épargne excessive consiue une inefficience dynamique. Tous les éas réguliers à droie de k ˆ* or son des équilibres concurreniels qui ne son pas des opimums de Pareo. Cela peu paraîre curieux, si l'on se rappelle du premier héorème de l'économie du bien êre. Mais il en es simplemen ainsi parce que nous avons considéré une épargne exogène. Au chapire 0 nous considèrerons des raisons plus subiles qui fon qu'une siuaion d'inefficience dynamique peu survenir même dans le cas où l'épargne es endogène. Pour l'insan, la quesion inéressane es de se demander si dans les fais, les économies son en inefficience dynamique. Une épargne excessive correspond (voir figure 3.3) à une producivié marginale du capial (r+ ) (la pene de la foncion de producion), inférieure à (x+n+ ), la pene de la droie d'invesissemen requis. Auremen di se poser la quesion de savoir si les économies son en inefficience dynamique revien à se demander si le aux d'inérê es inférieur au aux de croissance r < (x + n). Un el cas de figure éai à redouer duran les rene glorieuses où les aux d'inérê e de croissance éaien approximaivemen r = 0 % e = 5 %. La siuaion acuelle es pluô approximaivemen r = 5 % e =.5 %. Les économies ne son donc pas aujourd'hui en siuaion d'inefficience dynamique, à droie de k ˆ* or. Il nous rese donc à expliquer pourquoi elles son à l'équilibre à gauche de kˆ* or, avec un aux d'épargne «faible». De plus on vien de voir que le crière de Pareo perme de définir ce qu'es une épargne «rop fore», mais ne perme pas d'expliquer ce qu'es une épargne «rop faible». Pour comprendre ces deux poins, il nous fau changer de crière de bien-êre e prendre le crière uiliarise. 3. LE MODÈLE DE RAMSEY Le modèle de Ramsey (98) consiue la seconde référence (avec le modèle de Solow) des modèles de croissance, dans la mesure où il endogénéise le aux d'épargne. Ce aux devien expliqué par les comporemens d'opimisaion des agens. À coé des considéraions du coé de l offre qu examine le modèle de Solow, le problème de la croissance es un problème de choix enre consommaion présene e consommaion fuure. Comprendre commen ce fai ce choix es donc fondamenal. Vis-à-vis des problèmes que nous venons d évoquer dans la secion, l'inérê de cee endogénéisaion es double. Elle Remarquons que l'éa régulier déerminé par s (comme ous les éas réguliers à gauche de k or ) es un opimum de Pareo, puisqu'il n'es pas possible d'améliorer le bien-êre d'une généraion sans diminuer celui d'une aure.

6 6 perme de comprendre pourquoi l'équilibre es à gauche de k ˆ*or, elle perme de juger la poliique d'augmenaion du aux d'épargne. Nous présenons successivemen l équilibre concurreniel, l éa régulier, la dynamique ransioire e enfin nous esons les prédicions de ce modèle néoclassique. 3.. L'équilibre concurreniel La présenaion de Barro e Sala-i-Marin (995) disingue le problème des consommaeurs de celui des produceurs. Elle es un peu plus compliquée que la présenaion radiionnelle en erme d'agen, à la fois produceur e consommaeur, mais bien plus insrucive, nous la reprenons. Nous présenons longuemen l'équilibre des consommaeurs, puis celui des produceurs e enfin l'équilibre concurreniel. ) L'équilibre des consommaeurs À la dae = 0, le «père fondaeur» d'une dynasie (qui croî au aux n) maximise l'uilié par êe de ous les membres de sa famille vivan à chaque dae. Ce crière d'opimisaion es donc un crière uiliarise : on maximise la somme des uiliés (ce qui présuppose une foncion d'uilié cardinale). Les uiliés fuures son pondérées par le aux de préférence pure pour le présen ( > 0). Cee maximisaion se fai sous rois conraines : la conraine budgéaire par êe à chaque dae, la conraine de la richesse iniiale donnée, la conraine de la richesse finale acualisée, non négaive, car il n'y a pas possibilié de laisser des dees.. n. Max c() U e e u( c( )). d 0 sous : w() + r(). a() = c() + n. a() + Da() à l'origine en =0 : a 0 > 0 donné à l'infini en : a() e - (r-n) 0 a() représene les acifs nes par personne, a() es mesuré en ermes réels, c'es-à-dire en uniés de consommaion. Les agens déiennen des acifs sous forme de drois de propriéé sur le capial ou sous forme de prês. Ils peuven prêer e empruner enre eux, mais l'agen représenaif (l'économie es fermée) a une posiion nee, nulle à l'équilibre. Puisque les deux sores d'acifs, le capial e les prês, son supposés parfaiemen subsiuables, ils doiven rapporer le même aux de rendemen réel, r(). La conraine de budge d'un agen peu s'écrire comme une conraine d'accumulaion : Da = w + (r-n) a - c. Les acifs par êe (a) augmenen avec le revenu par êe, w + ra, e baissen avec la consommaion par êe (c) e du fai de l'augmenaion de la populaion, (na). Le problème du «père fondaeur» es de choisir le profil emporel de c() sous la conraine d'accumulaion (Da). Puisque w, r, n, son données e puisque à un momen donné, l'éa de la richesse (a) es donné, choisir la consommaion c() c'es choisir l'épargne Da(). La variable de conrôle es (c), la variable d'éa es (a). n Le Lagrangien es : L e u( c) w ( r n) a c Da. d. a. e 0 ( ). ( rn ) ( n). Posons ( ) ( ). e ( es le prix implicie non acualisé e le prix implicie acualisé des acifs)

7 7 ( n). Le Hamilonien es : H e u( c) w ( r n) a c Les condiions du premier ordre son : H ( n ) 0 ue ' c (3.) d H d a D ( r n) (3.) lim v( ). a( ) 0 (3.3) L'équaion (3.) es la condiion d'opimalié sur le aux de croissance du prix implicie des acifs par êe. D Dv v( r n) r n. La valeur acuelle, du prix implicie des acifs par êe, diminue au aux (r-n). Cee condiion d'opimalié es inuiive : Si la populaion ne croî pas, la valeur en erme d'uilié acuelle, des acifs déenus par un agen, diminue dans le emps à un aux égal à leur aux de rendemen (r). L'équaion (3.3) es la condiion de ransversalié. La condiion de ransversalié indique que la valeur acualisée des acifs par êe (la quanié a() mulipliée par le prix ()) doi êre nulle à la «fin» de la période de planificaion. En effe, la dynasie pourrai augmener son uilié si les acifs déenus jusqu'à cee période erminale éaien uilisés pour augmener la consommaion. ( r n) Selon (3.), le prix des acifs diminue dans le emps au aux (r-n) : v( ) v(0). e. Posons a( ) a(0). e z où z es le aux de croissance de la quanié d'acifs. La condiion de ransversalié devien alors : ( ) lim (0) z rn a e. (0) e 0. Pour saisfaire cee condiion, il fau donc que la quanié d'acifs par êe (a), croisse à un aux (z) inférieur à (r-n), ou de manière équivalene, que la quanié d'acifs de la dynasie (A=L.a), croisse à un aux inférieur à r. Cee condiion di qu'il n'es donc pas opimal pour une dynasie d'accumuler éernellemen une quanié posiive d'acifs à un aux plus élevé que r, car elle pourrai augmener son uilié en consomman ces acifs. En cas d'emprun, a() es négaif, e on peu se demander s'il n'es pas opimal de s'endeer éernellemen, de faire croîre la dee à un aux supérieur à r. Les dynasies (éernelles) aimeraien empruner sans jamais avoir à rembourser le principal ou les inérês, en remboursan chaque emprun par un nouvel emprun. Dans un jeu de Ponzi, l'agen emprune euro pour consommer e uilise un nouvel emprun, de (+r) ou plus, pour reconduire son principal e payer les inérês. Dans ce cas, la dee de la dynasie croîrai perpéuellemen au aux r ou à un aux plus élevé. Mais cee dynasie empruneuse devai rouver un prêeur consenan, c'es-à-dire une dynasie désireuse de déenir une quanié d'acifs croissans au aux r ou à un aux plus élevé. Mais la condiion de ransversalié di que les prêeurs ne souhaien pas, acquérir des acifs à un aux aussi élevé. Par conséquen, à l'équilibre, aucune dynasie ne pourra s'endeer indéfinimen, e la condiion d'opimalié sera donc égalemen vérifiée pour les empruneurs (e du même coup la conraine de richesse finale). Les équaions (3.) e (3.) donnen la règle de Ramsey-Keynes. Réécrivons (3.) comme sui :

8 8 u'. e ( n ) D Du e n e u ( n) ( n) '. ( ). ' ( n) ( n) Dv Du '. e ( n) e. u ' ( n ) v u '. e Dv Du ' ( n) v u' Dv Du ' ( n) v u' Du ' En égalisan (3.) e (3.) : r u ' Du ' u" Dc u" Dc Où.. c u ' u ' u ' c u" Dc e donc : r c. u ' c c Avec la foncion d'uilié uc () u". c on a c c u' c Dc E alors : r. c es l'élasicié de l'uilié marginale de la consommaion, plus es grand, plus l'uilié marginale de la consommaion diminue vie quand la consommaion augmene, l'agen es rès vie sauré. Un élevé signifie que les variaions de la consommaion se raduisen par de fores variaions de l'uilié marginale. Pour cee raison l'agen n'aime pas subsiuer de la consommaion fuure (élevée, mais à faible uilié marginale) à de la consommaion présene (faible mais à fore uilié marginale). c Remarque : lim ln c. Dc r : La règle de Ramsey-Keynes nous di qu'à l'équilibre, les agens c égalisen leur aux d'inérê psychologique au aux d'inérê. Le aux d'inérê psychologique indique que les agens préfèren la consommaion présene à la consommaion fuure pour deux raisons. Premièremen, le erme apparaî parce que les agens déprécien l'uilié fuure à ce aux. Deuxièmemen, si (Dc/c > 0) comme les agens on endance à préférer une consommaion régulière dans le emps, ils chercheron à niveler le flux en «ransféran» une parie de leur consommaion fuure vers le présen. Plus es élevé, plus la consommaion présene es uile à la marge. Dc r : La règle de Ramsey-Keynes peu égalemen s'inerpréer ainsi : les c agens choisissen un profil de consommaion parfaiemen uniforme, avec Dc/c = 0, si r = en revanche, ils n'accepen d'épargner pour obenir un profil croissan (Dc/c > 0), que s'ils reçoiven en compensaion un aux d'inérê r suffisammen supérieur à. ) L'équilibre des produceurs Nous reprenons le modèle de Solow avec progrès echnique neure au sens de Harrod. R = r + es le prix de locaion du capial e w le prix de locaion du ravail. x x L'enreprise maximise : (, ) ( ˆ) ˆ x F K Le RK wl Le f k Rk we A l'équilibre : f '( kˆ ) r (3.4) f ( kˆ ) kˆ. f '( kˆ ). e x w (3.5)

9 9 3) L'équilibre concurreniel e les deux équaions dynamiques fondamenales Tous les ménages son ideniques e oues les enreprises on la même foncion de producion. A l'équilibre concurreniel : les condiions d'opimalié (,,3,4,5) son saisfaies e les condiions d'équilibre, sur les rois marchés, son saisfaies. x Sur le marché du capial, la condiion d'équilibre es : a k kˆ. e. Elle perme avec (3.5) e (3.4) de réécrire la conraine d'accumulaion de l'agen représenaif en foncion de ˆk. Da = w + (r-n) a - c devien Dkˆ. e x kˆ. x. e x f ( kˆ ) kf ˆ '( kˆ ). e x f '( kˆ ) n. kˆ. e x c Dk ˆ f ( k ˆ ) cˆ x n. k ˆ (3.6) e en divisan par e x : C'es l'équaion dynamique du capial dans le modèle de Ramsey. Elle correspond à l'équaion (.4) du modèle de Solow. Remarque : chez Solow le aux d'épargne éai exogène, e l'évoluion de la consommaion éai déerminée par celle de ŷ. Dans le modèle de Solow la dynamique du capial éai suffisane pour déduire les dynamiques des aures variables. En effe : ˆ ( ) ( ˆ Dcˆ Dyˆ Dkˆ c Dc Dcˆ c s f k), donc e comme cˆ, on a : x. cˆ yˆ kˆ x. e c cˆ Dans le modèle de Ramsey, l'évoluion de la consommaion es déerminée par la règle Dc de Ramsey-Keynes : ( r ). A l'équilibre concurreniel, la variable r es égale à la c producivié marginale du capial nee (condiion 3.4) : r f '( kˆ ). L'évoluion de la Dc consommaion es donc déerminée par f '( kˆ ) c. Comme Dcˆ Dc x, on a cˆ c donc un équilibre concurreniel caracérisé par une seconde équaion dynamique qui déermine l'évoluion de la consommaion par êe efficaces : Dcˆ f '( kˆ ). x cˆ (3.7) 3.. L'éa régulier A l'éa régulier, oues les variables croissen à aux consan. Or si Dkˆ kˆ 0, ˆk, e d'après les condiions d'inada f '( kˆ ) 0. Dans ce cas, d'après (3.7) Dcˆˆ c 0. Ce cas es donc impossible 3. Le cas inverse l'es égalemen. Le seul cas possible, comme dans le modèle de Solow, es le cas où Dkˆ Dcˆ 0. Les valeurs de ĉ e ˆk d'éa régulier son soluions de deux équaions différenielles (3.6 e 3.7) annulées, elles saisfon les deux condiions suivanes : Dk ˆ f ( k ˆ ) cˆ x n. k ˆ 0 cˆ* f ( k ˆ *) ( x n ) k ˆ * Dcˆ f '( kˆ). x. cˆ 0 f '( kˆ*). x 3 Puisque Dcˆ/ c ˆ e Dkˆ/ k ˆ doiven êre de même signe. Pour le monrer il fau éudier les variaions de ĉ par rappor au emps.

10 0 Figure 3.5 : éa régulier du modèle de Ramsey Dcˆ 0 implique une valeur pariculière pour la producivié marginale du capial (graphe du hau) e donc pour ˆk : droie vericale en k ˆ* sur le graphe du bas. f ( k ˆ) x n+x+ f ( kˆ ) (n+x+) ˆk Dkˆ 0 implique une valeur pariculière pour ĉ : que la consommaion soi un résidu après invesissemen requis. (lenille sur le graphe du hau) (courbe sur le graphe du bas). ĉ Dcˆ 0 ˆk L inersecion de la droie e de la courbe (graphe du bas) saisfai les deux condiions de l'éa régulier. ĉor c ˆ * k ˆ* L'éa régulier es k ˆ* k ˆk ˆor, c ˆ*. Déerminons la condiion d'exisence de ce éa régulier. Considérons la condiion de. ( ) ransversalié : lim ˆ x rn k. e. (0) e 0. Puisque ˆk es consan à l'éa régulier, cee ( r n x) condiion es vérifiée lorsque e end vers zéro. Donc lorsque r* f '( kˆ ) n x. Comme à l'éa régulier r* x, la condiion pour avoir un éa régulier es donc que x > n + x. Une aure façon de rouver cee condiion es d'examiner la foncion d'uilié ineremporelle. Pour qu'il exise une soluion d'équilibre, il fau que l'uilié soi bornée. Pour cela, il fau que la préférence pour le présen soi suffisammen grande, > n + x (- ), afin qu'il exise une soluion au choix raionnel de l'agen. Cee condiion (qui impose l'exisence d'une préférence pour le présen, posiive e suffisammen fore) doi donc êre considérée comme un axiome de la raionalié, (au même ire que l'hypohèse de coninuié des préférences dans le modèle de choix du consommaeur, qui assure elle aussi l'exisence de l'équilibre en excluan les ordres de préférences lexicographiques). Déerminons la «règle d'or modifiée». L'équaion f '( kˆ ) x es la règle d'or modifiée. A l'opimum au sens uiliarise 4, le aux d'inérê es égal au aux d'inérê psychologique : r* x. C'es une implicaion de la règle de Ramsey-Keynes à l'éa régulier : Tan que r* x, les agens on inérê à invesir, à renoncer à la consommaion présene pour consommer plus demain, alors Dcˆ 0. ˆ Dk O 4 On a vu que ous les équilibres à gauche de k ˆor son des opimums de Pareo. Parmi ceux-ci, un es opimal au sens de Phelps ( k ˆor ) e un es opimal au sens uiliarise ( k ˆ* ).

11 Tan que r* x, les agens on inérê à consommer aujourd'hui au prix d'un renoncemen à la consommaion fuure, alors Dcˆ 0. A l'éa régulier, puisque Dcˆ 0, on a r* x, où x Dc c. Comparons mainenan les deux règles d'or. Maximiser la consommaion d'éa régulier selon le crière de Phelps, ou maximiser l'uilié ineremporelle selon le crière uiliarise, ne condui évidemmen pas à la même norme d'opimalié. La règle d'or es (r or = x+n), la règle d'or modifiée es [ r* x]. Selon la condiion d'exisence, x > n+x e donc r* > r or ou encore f '( kˆ*) f '( kˆ or ). Donc (e on le voi sur la figure 3.5) le niveau de consommaion par êe, qui découle de la règle d'or modifiée, es inférieur à celui qui résule de l'applicaion de la règle d'or. En effe, la règle d'or modifiée résule d'une modélisaion où l'agen représenaif a une préférence pour le présen, e cee préférence pour le présen a un prix : c'es l'écar enre c ˆ* e c ˆor. Il fau bien noer que ce résula es opimal au sens uiliarise (il l'es donc aussi au sens de Pareo) ; éan donné sa préférence pour le présen, «le père fondaeur de la dynasie» préfère, à la dae =0, la consommaion d'éa régulier c ˆ* inférieure à c ˆor. On comprend donc pourquoi l'équilibre peu êre à gauche de k ˆor. Calculons selon nore nouveau crière le aux d'épargne opimal. On va calculer le aux d'épargne déerminé de façon endogène. Avec la Cobb-Douglas ( ŷ kˆ ) on a : s* = I Y = DK K DK / K x n x n (3.8) Y Y / K (/ ) Pmk * ( x) En prenan les valeurs habiuelles : = 0,3, x = %, n = %, = 5%, = %, =, on rouve un aux d'épargne opimal égal à %, inférieur au aux qui résule de la règle d'or qui es égal à = 30%. Le modèle de Ramsey donne une explicaion plus réalise des aux d'épargne, il explique leur faiblesse par la préférence pour le présen. 5 Nous sommes mainenan en mesure de monrer qu'il n'y a pas d inefficience dynamique dans le modèle de Ramsey, puisque par la condiion d'exisence, l éa régulier es nécessairemen à gauche de k ˆor, l'excès d épargne ne peu pas exiser. Le aux d épargne es opimal, il ne peu êre rop élevé. Il pouvai l'êre dans le modèle de Solow, car le aux d épargne exogène éai «arbiraire», il pouvai donc êre rop for. Concrèemen, le modèle de Ramsey prédi un aux d inérê supérieur au aux de croissance, ce qui es la siuaion des économies occidenales depuis les années 980. Dans une elle siuaion, il n'y a pas à craindre une épargne excessive. Dans le chapire 0, nous rerouverons la possibilié d'inefficience dynamique dans le cadre du modèle à généraions imbriquées Dynamique ransioire 5 Mais il donne une prédicion plus élevée que le modèle du cycle de vie (cf. chapire 0) où les agens égoïses n'épargnen que pour désépargner duran leur reraie, ce qui implique un aux d'épargne macroéconomique nul. Dans le modèle du cycle de vie, on a un aux d'épargne posiif si on adme : ) une croissance de la populaion qui implique que plus de jeunes épargnen que de vieux ne désépargnen, ) un progrès echnique qui fai que les jeunes son plus riches que les vieux e qu'ils épargnen donc plus que les vieux ne désépargnen, 3) l'inceriude qui explique l'épargne de précauion. On remarque que x e n son égalemen présens dans l'explicaion «à la Ramsey» : n joue posiivemen sur le aux d'épargne, x joue négaivemen (pour = ), posiivemen pour < ( ) /( n ), ce qui se comprend puisque plus es élevé, plus les agens préfèren la «faible consommaion présene» (voir exercice D).

12 La dynamique ransioire es inéressane pour deux raisons, l une posiive, l aure normaive : ) Comme dans le modèle de Solow, on vérifie si l éa régulier es sable. On va voir que c'es le cas, ce résula s appelle le héorème de l auoroue. ) Le crière de Pareo ne nous permeai pas de savoir, s il fallai, e commen il fallai, passer d une épargne rop faible à l épargne opimale d éa régulier. Le crière uiliarise répond à cee quesion de la façon suivane : La dynamique ransioire résule ici des comporemens opimaux de consommaion ineremporelle des agens de la sociéé, sensés maximiser la foncion d'uilié ineremporelle uiliarise, elle es donc nécessairemen opimale. Consruisons le diagramme de phase. En dynamique ransioire, Dc ˆ croî ou décroî selon que la producivié marginale du capial es plus ou moins fore : Dcˆ f '( kˆ ) xcˆ 0 f '( kˆ ) x kˆ kˆ * Dcˆ f '( kˆ ) xcˆ 0 f '( kˆ ) x kˆ kˆ * Dcˆ f '( kˆ ) xcˆ 0 f '( kˆ ) x kˆ kˆ * En dynamique ransioire Dk ˆ croî ou décroî selon que la consommaion es plus ou moins fore : Dkˆ f ( kˆ ) cˆ ( x n ) kˆ 0 cˆ f ( kˆ ) ( x n ) kˆ Dkˆ f ( kˆ ) cˆ ( x n ) kˆ 0 cˆ f ( kˆ ) ( x n ) kˆ Dkˆ f ( kˆ ) cˆ ( x n ) kˆ 0 cˆ f ( kˆ ) ( x n ) kˆ La figure 3.6 donne le diagramme de phase, qui décri la dynamique ransioire du modèle. Figure 3.6 : dynamique ransioire du modèle de Ramsey ĉ Dcˆ 0 ĉ cˆ * ˆk c ˆ(0)' c ˆ(0)' ˆ 0 Dk c ˆ(0)" ˆ(0) k ˆ* k ˆk

13 3 Dans le médaillon de la figure 3.6, l espace es divisé en quare régions, les flèches indiquen la direcion de c ˆ( ) e k ˆ( ) dans chaque région. Seules les régions sud-oues e nord-es permeen la convergence vers l'éa régulier c ˆ* e k ˆ*. C es donc dans ces deux régions que passe le bras sable qui décri la dynamique convergene de c ˆ( ) e k ˆ( ). C es le senier selle. Le modèle es donc sable au sens du poin selle. En suivan le senier selle, c ˆ( ) e k ˆ( ) convergen vers c ˆ* e k ˆ*. Les aures seniers ne convergen pas vers l éa régulier. Le résula imporan du modèle es qu il es opimal, pour des agens raionnels comme ceux que l on a décris, de suivre ce senier selle, e c'es ce qu'ils fon. En effe, si l économie démarre avec k ˆ(0), il exise une seule consommaion c ˆ(0) qui la posiionne sur le senier sable. Cee consommaion es, dans ce modèle, déerminée par les condiions d opimalié (,,3,4,5). Elle es opimale pour l insan zéro e pour oues les daes fuures jusqu'à l infini, puisqu elle résule du problème d opimisaion. La chronique c ˆ( ) qui en résule, respece à chaque dae les condiions (,,3,4,5). Les aures consommaions posiionnen l'économie sur un senier divergen e non opimal. Par exemple, si cˆ(0)' cˆ(0), cela veu dire que les agens n épargnen pas assez, que l'épargne es «rop faible», la consommaion c ˆ( )' va augmener jusqu'à ce que, dans la région nord-oues, ˆk devienne nul, ainsi qu'en définiive, la producion e la consommaion. Si cˆ(0)" cˆ(0), cela veu dire que les agens épargnen «rop» e dans la région sud-es, c ˆ( )" va baisser pour que ˆk devienne maximal e en définiive la consommaion nulle. Théorème de l'auoroue : la dynamique ransioire qui résule de l équilibre concurreniel es celle qui es sable. Le senier selle fai converger l'économie vers l'éa régulier, c'es-à-dire de croissance à aux consan. Premier héorème de l'économie du bien-êre en dynamique : ce équilibre concurreniel es opimal au sens uiliarise 6, donc le senier selle suivi par l'économie l'es. À chaque insan, les condiions d'opimalié (,,3,4,5) son saisfaies. Un dicaeur bienveillan qui diviserai la producion enre consommaion e épargne ne ferai pas mieux. Déerminons mainenan le senier selle de c ˆ( ) e k ˆ( ). Parmi les rajecoires de Dkˆ e Dc ˆ, il s agi d idenifier la seule rajecoire qui converge. On repar du sysème de deux équaions différenielles : Dkˆ f ( kˆ ) cˆ ( x n ) kˆ e Dcˆ f '( kˆ ) xcˆ. Les deux équaions ci-dessus consiuen un sysème d'équaions différenielles non linéaires. On les linéarise au voisinage de l'éa régulier ( c ˆ*, k ˆ* ) : Dkˆ G( kˆ, cˆ ) ˆ ˆ dg ˆ ˆ ˆ dg Dk G( k * c*) ( k k*) ( cˆ cˆ *) dkˆ dc Dkˆ 0 f ' ( x n ) ( kˆ kˆ *) ( )( cˆ cˆ*) Dkˆ ( x ) ( x n ) ( kˆ kˆ *) ( cˆ cˆ*) Dkˆ n x( ) ( kˆ kˆ *) ( cˆ cˆ*) Dkˆ ( kˆ kˆ *) ( cˆ cˆ*) Dcˆ H ( kˆ, cˆ) ˆ ( ˆ dh * ˆ*) ( ˆ ˆ dh Dc H k c k k*) ( cˆ cˆ *) dkˆ dcˆ cˆ* ˆ ˆ f ' x Dcˆ f " ( k k*) ( cˆ cˆ *) cˆ* Dcˆ f " ( k ˆ k ˆ *) 6 Le premier héorème de l'économie du bien-êre de la microéconomie uilise le crière de Pareo. Évidemmen un opimum au sens uiliarise es aussi un opimum au sens de Pareo (la réciproque n'es pas vraie).