Modèles de dimensionnement et de planification dans un centre d appels

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1 Modèles de dimensionnemen e de plnificion dns un cenre d ppels Rbie Ni-Abdllh To cie his version: Rbie Ni-Abdllh. Modèles de dimensionnemen e de plnificion dns un cenre d ppels. Engineering Sciences. Ecole Cenrle Pris, French. <el > HAL Id: el hps://el.rchives-ouveres.fr/el Submied on 25 Apr 2008 HAL is muli-disciplinry open ccess rchive for he deposi nd disseminion of scienific reserch documens, wheher hey re published or no. The documens my come from eching nd reserch insiuions in Frnce or brod, or from public or prive reserch ceners. L rchive ouvere pluridisciplinire HAL, es desinée u dépô e à l diffusion de documens scienifiques de niveu recherche, publiés ou non, émnn des éblissemens d enseignemen e de recherche frnçis ou érngers, des lboroires publics ou privés.

2 Thèse de docor de l Ecole Cenrle des Ars e Mnufcures Spécilié : Génie Indusriel Présenée pr M. Rbie NAIT-ABDALLAH Le 18 jnvier 2008 Pour obenir le grde de Doceur de l Ecole Cenrle Pris Suje de hèse : MODÈLES DE DIMENSIONNEMENT ET DE PLANIFICATION DANS UN CENTRE D APPELS Jury Présiden Rpporeurs Direceurs de hèse E. JACQUET-LAGRÈZE, EURODÉCISION M. GOURGAND, Professeur - ISIMA G. KOOLE, Professeur - VU Universiy Amserdm F. CHAUVET, Gz de Frnce Y. DALLERY, Professeur Ecole Cenrle de Pris Lboroire Génie Indusriel Ecole Cenrle Pris Grnde Voie des Vignes Châeny-Mlbry Cedex N

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6 REMERCIEMENTS Je iens à remercier Fbrice Chuve qui encdré mes recherches e qui m fi confince il y bien longemps en me recrun u sein de son équipe d opimision. Ce rvil n uri ps boui sns son suivi e son implicion. Une grnde prie des idées mises en œuvre dns cee hèse on éé le frui de ses réflexions. M griude v églemen à Yves Dllery qui dirigé mes rvux. S hueur de vue e ses inuiions oujours perinenes on beucoup enrichi cee hèse. Je remercie Michel Gourgnd e Ger Koole pour l inérê qu ils on poré à cee hèse en ccepn d en êre les rpporeurs. M reconnissnce v églemen à Eric Jcque-Lgrèze qui me fi l honneur d êre le présiden de mon jury. Mes remerciemens von ussi à Ali Cheiou qui m pporé son ide pour les recherches bibliogrphiques. Merci enfin à ous ceux, fmille e mis, qui m on encourgé e souenu. Je ne pourris ous les cier sous peine d en oublier.

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8 TABLE DES MATIÈRES Inroducion... 4 Chpire I...5 Inroducion e Problémique L gesion des ressources humines, un problème cenrl dns un cenre d ppels... 5 I.1 Inroducion à l univers des cenres d ppels... 6 I.1.1 Quelques noions de bse concernn les cenres d ppels... 6 I Définiion d un cenre d ppels... 6 I Foncionnemen d un cenre d ppels... 7 I.1.2 Les horizons de décision dns un cenre d ppels... 8 I Décisions srégiques : Invesissemens e choix srucurns... 8 I Décisions ciques : gesion des ressources humines... 9 I Décisions opérionnelles e emps réel : Piloge emps réel de l civié...10 I.1.3 Focus sur l horizon cique : l chîne de décision en gesion des ressources humines...12 I.2 Enjeux du shif-scheduling, un problèmes cenrl dns l opimision des cenres d ppels...15 I.2.1 Enjeu indusriel : un problème u cœur de l déquion enre chrge e cpcié...15 I Une chrge d ppels à fore vribilié...15 I Une obligion de réponse en emps réel...16 I.2.2 Enjeu scienifique : un modèle d opimision de plusieurs problèmes de gesion des ressources humines...18 I.3 Problémiques : les xes de conribuion de l hèse...19 I.3.1 L incompléude de l informion, un principe u fondemen de l orgnision des décisions..19 I.3.2 Proposer un prdigme e un modèle unificeur du shif-scheduling...20 I.3.3 Prendre en compe l qulié de service de mnière explicie...20 Chpire II...23 Orgnision des décisions de gesion des ressources humines II.1 Méhodologie d orgnision des décisions de gesion des ressources humines dns les cenres d ppels 24 II.1.1 Cs déerminise vec une décision cenrlisée...25 II.1.2 Le principe de décomposiion - impc de l inceriude...26 II Décomposiion dimensionnemen-plnificion...28 II Décomposiion de l plnificion journlière e horire...29 II.1.3 Le principe de décomposiion impc du prge de l décision...30 II.1.4 Limies de l décomposiion des décisions...32 II.1.5 Inroducion des décisions d jusemen de cpcié...34 II.1.6 Synhèse...36 II.2 E de l r des problèmes de gesion des ressources humines dns les services...39 Chpire III...43 Dimensionnemen sous conrine de couverure III.1 Posiion du problème...44 III.2 E de l r des modélisions du problème de consrucion de vcions (shif scheduling problem)...47 III.2.1 Définiion du problème de consrucion de vcions...47 III Quelques définiions :...47 III.2.2 Les premiers modèles...48 III Progrmme linéire en nombres eniers (Dnzig 1954)...48

9 III Problème de flo (Segl 1974)...49 III.2.3 Les modèles implicies...50 III Le concep de modélision implicie...50 III Débu, fin e durée de vcions implicies (Moondr 1976)...50 III Une seule puse implicie (Bechold e Jcobs 1990)...51 III Modèle doublemen implicie (Thompson 1995)...52 III Plusieurs puses implicies (Aykin 1996)...53 III.2.4 Synhèse des modèles...53 III.3 Modélision vi le prdigme de chîne d civié...54 III.3.1 Le prdigme de chîne d civié...54 III.3.2 Modélision mhémique...57 III Définiions e noions...57 III.3.3 Exemple d pplicion e limies du prdigme...59 III Illusrion du prdigme...59 III Limies du prdigme de chîne d civiés...60 III.3.4 Les vribles de décision...61 III.3.5 Les conrines...62 III Conrines de emps de rvil...62 III Conrines de couverure...65 III.3.6 Foncion objecif - Minimision du coû...65 III.3.7 Récpiulif du modèle...66 III.4 Anlyse des propriéés du modèle proposé...68 III.4.1 Equivlence enre soluion implicie e soluion individuelle...68 III.4.2 Anlyse de l difficulé du problème...71 III L ole unimodulrié de l mrice des conrines de emps de rvil...72 III Inroducion des conrines de couverure...77 III Cs priculier polynomil...78 III.5 Générlision du modèle issu du prdigme de chîne d civié à l muli-compéence...79 III.5.1 Plusieurs flux d ppels (synchrone)...79 III.5.2 Plusieurs flux sockble (synchrone) e plusieurs flux d ppels...80 III Un seul flux sockble...81 III Plusieurs flux sockble...82 III.5.3 Le cs du Cll blending...83 III.5.4 Equivlence implicie-explicie du modèle générlisé...85 III.6 Posiionnemen du modèle pr rppor à l liérure...86 III.7 Résoluion du problème de dimensionnemen - Qulié de l relxion linéire...87 III.7.1 Fisbilié de l soluion rrondie...87 III.7.2 Qulié de l soluion rrondie...88 III.8 Conclusion...92 Chpire IV...95 Plnificion mximisn l qulié de service IV.1 Posiion du problème...96 IV.2 Prise en compe de l qulié de service...98 IV.2.1 Qulié de service à l journée pluô que pr période...98 IV.2.2 Impc de l non-linérié de l qulié de service sur le shif scheduling...98 IV.2.3 E de l r...99 IV Couplge pr l foncion objecif : qulié de service globle à l journée...99 IV Couplge pr influence muuelle enre périodes IV.3 Modélision IV.3.1 Hypohèses IV.3.2 Conrines IV.3.3 Foncion objecif opimision de l qulié de service IV Deux pproches de modélision de l qulié de service IV.3.4 Synhèse du modèle IV Conrines de emps de rvil IV Conrines de limiion des effecifs IV Foncion objecif IV.4 Comprison enre l vision déerminise e l vision sochsique IV.5 Conclusion...115

10 Conclusions e perspecives Bibliogrphie

11 INTRODUCTION Les cenres d ppels son ujourd hui inconournbles dns les civiés de l vie quoidienne. Ils son le moyen de fournir oues sores de services : cenrles de réservion, vene pr correspondnce, ssisnce echnique ou renseignemens, ec. Toues ces civiés son ssurées à disnce pr des gens ou conseillers de clienèle. Aussi, l problémique de gesion des ressources humines es cenrle cr d une pr, elle condiionne l qulié du service rendu e d ure pr, elle représene l élémen de coû le plus significif. Cee hèse borde cee problémique de gesion des ressources humines dns un cenre d ppels. Elle es consruie uour de qure chpires : Le premier chpire présene l problémique e les xes de recherche que nous vons idenifiés pour cee hèse. Dns le second chpire, nous nlysons les fondemens e mécnismes qui condiionnen l orgnision des décisions dns un cenre d ppels. Dns le roisième chpire, nous bordons le problème du dimensionnemen d un cenre d ppels. Nous développons églemen nore concep de prdigme de chîne d civiés. Dns le qurième chpire, nous nous inéressons u problème de plnificion e nous présenons nos rvux sur l modélision de l qulié de service. 4

12 Chpire I: Conexe e Problémique Chpire I INTRODUCTION ET PROBLÉMATIQUE LA GESTION DES RESSOURCES HUMAINES, UN PROBLÈME CENTRAL DANS UN CENTRE D APPELS L objecif de ce chpire es d une pr de présener les cenres d ppels e le conexe les environnn e d ure pr de posiionner les conribuions de l hèse qui srucureron l suie du documen. Nous commençons pr présener les enjeux économiques e indusriels des cenres d ppels e nous donnons un rpide perçu des décisions qu implique ce ype d civié Pr l suie, nous nous foclisons sur le problème qui es u cœur de cee hèse : le problème de consrucion de vcions ou shif-scheduling. Il présene un enjeu cenrl à l fois d un poin de vue indusriel e scienifique. Nous concluons enfin pr une descripion de l problémique e des hèmes qui seron développés dns l suie de l hèse. 5

13 Chpire I: Conexe e Problémique I.1 Inroducion à l univers des cenres d ppels I.1.1 Quelques noions de bse concernn les cenres d ppels I Définiion d un cenre d ppels Un cenre d ppels pour finlié l gesion de l relion que les enreprises souhien enreenir vec leurs cliens. Il es l obje de plusieurs enjeux d impornce pour l enreprise : un enjeu d imge lié à l qulié de service perçue pr le clien, un enjeu finncier, du fi de l msse slrile que représenen les conseillers e un enjeu socil relif ux condiions de rvil. Du fi de leur rôle cenrl dns l consiuion de l relion clien, les cenres d ppels se rerouven dns priquemen ous les seceurs d civiés : bnque, ssurnce, éléphonie, vene à disnce, services dminisrifs, ec. L Figure I-1 donne un perçu de l environnemen de rvil dns un cenre d ppels (source : cenre d ppels de l bnque Firs Direc (Gns, Koole e l. 2003)) Figure I-1 : Environnemen de rvil du cenre d ppels de l bnque Firs Direc (Gns, Koole e l. 2003) 6

14 Chpire I: Conexe e Problémique Une définiion des cenres d ppels plus déillée es donnée dns (Jcquine 2007) : Les cenres d ppels don l vocion es de gérer à disnce l relion que les enreprises souhien enreenir vec leurs cliens e prospecs : c es un ensemble de moyens humins, orgnisionnels e echniques mis en plce fin d pporer à l demnde de chque clien une réponse dpée. A ce ire, les cenre d ppels se définissen comme des eniés composées d opéreurs orgnisés pr ype de compéences e regroupés pr équipe sur des ple-formes desinées à gérer, exclusivemen pr éléphone, des cliens e/ou des prospecs en s ppuyn sur des sysèmes de couplge éléphonique e informique, que ce soi en émission ou en récepion d ppels. Eniés de relion à disnce, les cenres d ppels opimisen l ouil éléphonique e ses connexions vec l informique e d ures médis (courrier, fx, miniel, inerne, exrne, sms, wp, ec.). Ils meen en jeu qure composnes mjeures : Les ressources humines (éléconseillers, superviseurs, mnger, formeurs ) L echnologie (éléphonie, informique, inerne, logiciels, progiciels, serveurs mulimédi, bses de données, cres de communicion, câblge ) L logisique (immobilier, mobilier, ergonomie de l environnemen mériel e de l environnemen écrn ) Une culure e des méhodes mrkeing (srégie de l enreprise, relion clien, fulfillmen, profibilié ) Source : convenion collecive presires de services dns le domine du seceur eriire supplémen n 10 Brochure e édiion décembre 2000 venn du 18 sepembre 2001 relif à l modificion du chmp d pplicion I Foncionnemen d un cenre d ppels Le foncionnemen d'un cenre d'ppels es illusré dns l Figure I-2. Les ppels rriven dns une file e son mis en ene jusqu'à ce qu'un conseiller de clienèle soi disponible pour leur répondre. L'ppel es lors répondu ou servi. L ille de cee file d'ene peu êre limiée. Lorsque cee limie es eine, les ppels qui rriven ne peuven plus êre pris en chrge. Générlemen, un messge les invie à rppeler ulérieuremen. On prle lors d'ppels déconnecés ou dissudés. Pr illeurs, ous les ppels mis en file d'ene ne seron ps nécessiremen servis. En effe, cerins cliens peuven s'impiener e décider de quier l file d'ene. On prle lors d'ppels bndonnés. Prmi les ppels déconnecés e bndonnés, une prie renouvelle son ppel. Ceci consiue un flux de rppels qui s'ddiionne u flux d'ppels originel pour consiuer l olié des ppels reçus. 7

15 Chpire I: Conexe e Problémique 1 ère inenion Reçu File d ene Conseillers Servi Rppel Déconnexion Abndon Abndon définiif Figure I-2 : Schém représenif du foncionnemen d'un cenre d'ppels I.1.2 Les horizons de décision dns un cenre d ppels L obje de cee prie es de décrire les différens horizons de décision liés u mngemen des cenres d ppels. Nous disinguons rois horizons de décision : le niveu srégique correspondn ux décisions les plus srucurnes, le niveu cique lié ux problémiques de gesion des ressources humines e le niveu opérionnel relif u piloge de l civié u cours de l journée e en emps réel. Les principles décisions des ces horizons de décision son synhéisées dns le Tbleu I-1. I Décisions srégiques : Invesissemens e choix srucurns Les décisions à ce niveu on pour finlié l mise en plce d un cenre d ppels qui corresponde ux objecifs de l enreprise. Ces décisions relèven principlemen de deux specs : ) Infrsrucures e echnologies Il s gi de déerminer l emplcemen géogrphique du sie (ou des sies dns le cs d un cenre d ppels muli-sie), l nure des echnologies informiques e élécoms à mere en plce insi que les fournisseurs de soluions (Poses informiques e éléphoniques, Progiciels de gesion de l relion clien, Ouils de piloge e de supervision, ec.). b) Orgnision L un des specs les plus fondmenux en ermes d orgnision es le posiionnemen du cenre d ppels, e plus générlemen de l relion clien, u sein de l enreprise. 8

16 Chpire I: Conexe e Problémique En effe, le cenre d ppels peu êre un cnl de conc vec le clien prmi d ures sns êre le cœur de l relion vec les cliens. Dns ce cs, il es générlemen considéré comme cenre de coû nécessire qui doi êre minimisé. L enreprise ser lors d un plus disposée à l exernliser s il correspond à une foncion qui n es ps cenrle dns son civié. Dns d ures cs, le cenre d ppels es u cœur de l poliique d cquisiion e de fidélision des cliens des enreprises. Ce n es plus un cenre de coû mis un cenre de profi qui crée de l vleur pour l enreprise. D ures décisions mjeures doiven églemen êre prises. Nommen : Les indiceurs de performnce permen de piloer l civié : emps moyen d ene, indiceurs quliifs de sisfcion clien, volumes de venes rélisés vi le cenre d ppels, ec. Choix d exernlision ou d inernlision du cenre d ppels. Nure des flux riés e cnux d origine : ppels enrns, ppels sorns, emils, courriers, fx, ec. Profil de compéence des conseillers : polyvlens ou spécilisés. Condiions de rvil : nure des conrs de emps de rvil (CDI, CDD, emps plein ou emps priel), formions, plns de crrières u sein de l enreprise, ec. Ces choix orgnisionnels son rès srucurns dns l mesure où ils consiuen un socle de conrines. Ils déerminen les mrges de mnœuvre de oues les décisions ciques e opérionnelles qui seron déillées pr l suie. De ce fi, un des enjeux mjeurs des décisions à long erme es de «préprer le errin» pour les décisions à moyen e cour erme. Il s gir pr exemple, de choisir judicieusemen l orgnision à mere en plce fin de grnir à l fois qulié de service e récivié (une illusrion de l impc des choix orgnisionnels sur l performnce d un cenre d ppels pourr êre rouvée dns (Jouini, Dllery e l. 2004; Jouini, Dllery e l. 2007). On peu cier églemen l impornce de l poliique RH (équilibre CDD/CDI, conrs de rvil, pln d évoluion de crrière) qui doi à l fois permere suffismmen de souplesse pour une plnificion efficce e sisfire les conseillers de clienèle fin de les fidéliser e réduire le urnover. I Décisions ciques : gesion des ressources humines L esseniel des décisions à un horizon cique concerne l gesion des ressources humines. Nous pouvons les clsser dns rois cégories : ) Le dimensionnemen des ressources humines Le dimensionnemen des ressources humines consise à déerminer l effecif à recruer. L nure des recruemens (CDI, CDD, emps plein ou emps priel) qui en découlen dépendr de l poliique RH de l enreprise e des conrines opérionnelles. 9

17 Chpire I: Conexe e Problémique Noons que même si les conrs flexibles (CDD, Inérimires, ec.) permeen une plus grnde récivié, de plus en plus d enreprises fvorisen le recours à des conrs à long erme. C es un élémen clé de fidélision de leurs conseillers. En effe, compe enu des coûs de recruemen e de formion, il es dns l inérê de l enreprise de grder les mêmes effecifs ussi longemps que possible. Ceci es d un plus vri que dns le domine des cenres d ppels les conseillers expérimenés jouen un rôle imporn dns l formion des nouveux rrivns (voir à ce suje (Gimon e Thompson 1984)). b) L plnificion Le dimensionnemen pour finlié de déerminer le nombre de conseillers à recruer. L objecif de l plnificion es d orgniser leur emps de rvil fin de respecer u mieux les conrines de service e leurs conrines personnelles. Concrèemen, l plnificion en enreprise se décline en un ensemble de processus e d ouils visn à déerminer les jours de congé, les jours de repos ou les emplois du emps pr exemple. c) Ajusemen de l cpcié de service Les phses de dimensionnemen e de plnificion peuven ne ps êre suffisnes pour grnir l déquion enre chrge e cpcié. En effe, des siuions imprévues de surchrge peuven conduire l enreprise à réjuser de mnière récive l cpcié de service. Ces besoins de min d œuvres supplémenire peuven êre sisfies pr exemple pr des recruemens poncuels ou des presires exernes. I Décisions opérionnelles e emps réel : Piloge emps réel de l civié ) Gesion opérionnelle des imprévus A l horizon opérionnel, l emploi de emps des conseillers es olemen défini. Touefois, on se réserve générlemen une mrge de mnœuvre fin de gérer les imprévus (surchrge d ppels pr rppor à l prévision, inciden echnique, ec.). Ainsi, en cs de surchrge d ppels pr exemple, le mngemen peu décider de mnière récive d ffecer des conseillers à d ures civiés ou de sollicier du personnel en renfor d ures services. b) Disribuion emps réel des flux ux conseillers L disribuion des flux ux conseillers se fi pr les équipemens informiques e élécoms du cenre d ppels. Des lgorihmes spécifiques permeen d cheminer les ppels vers le conseiller le plus déqus ou en minimisn le emps d ene. Des disincions en ermes de niveu de service peuven êre inroduies selon le ype de cliens ou le moif de l ppel. Les lgorihmes inègren lors des niveux de priorié ou de qulié de service objecifs. Au-delà de l disribuion d ppels, cerines foncionnliés peuven êre 10

18 Chpire I: Conexe e Problémique pporées ux cliens elles que l nnonce du emps d ene (Aguir, Chuve e l. 2003) ou l possibilié de lisser un messge e d êre rppelé. Horizon Problémique Décisions Srégique Long erme (nnées) Invesissemen e choix srucurns Tcique Moyen erme (semines/ mois) Gesion des ressources humines Opérionnel e emps réel (heures/ secondes) Piloge emps réel de l civié Mere en plce un cenre d ppels opérionnel en déquion vec les objecifs de l enreprise Grnir l déquion enre chrge e cpcié ou en respecn les principles conrines de emps de rvil Disribuer les ppels e gérer les imprévus Infrsrucures e echnologies Loclision du sie (ou des sies) Acquisiion du mériel informique e élécom Choix des fournisseurs Orgnision Posiionnemen en cenre de coû ou cenre de profi Les indiceurs de performnce Exernlision ou inernlision Flux e cnux riés Profil de compéence des conseillers Poliique RH Dimensionnemen Ressources humines (pln de recruemen) Plnificion Posiionnemen des jours de repos e des jours de congé des conseillers Déerminion des emplois du emps des conseillers Ajusemen de l cpcié de service Recruemens complémenires (inérim, CDD) Solliciion de presires Récivié du mngemen (procédures en cs de surchrge d ppels, d incidens echniques, ec.) Décisions de rouge effecuées pr les lgorihmes opérn u sein des équipemens du cenre d ppels Tbleu I-1 : Les horizons de décision dns un cenre d ppels 11

19 Chpire I: Conexe e Problémique I.1.3 Focus sur l horizon cique : l chîne de décision en gesion des ressources humines L msse slrile es le premier pose budgéire d un cenre d ppels. Elle représene enre 60% e 80% des coûs (Coffre 2005). De ce fi, l gesion des ressources humines es le principl levier pour grnir l déquion enre l chrge d ppels prévisionnelle e l cpcié de service mise en plce. Compe enu de l impornce des coûs slriux, le foncionnemen usuel dns les cenres d ppels es de surdimensionner oues les ressources mérielles (ressources informiques, réseux, ec.) e de piloer u plus juse l msse slrile en foncion de l demnde. Ceci condui à des problémiques d orgnision du emps de rvil qui doiven inégrer différens ypes conrines : l obligion de disponibilié vis à vis des cliens, les conrines légles ou conrcuelles, les desider des conseillers, ec. Ces différenes problémiques induisen un grnd nombre de décisions qui doiven êre prises à différens horizons emporels. Chque décision fige un peu plus le emps de rvil des conseillers (durée du conr, congés, jours de repos, horires, ec.). Le jlonnemen de ces décisions dns le emps vrie selon les domines d civiés, les conrines légles ou les hbiudes de l enreprise. Afin de donner une vision plus concrèe de l enchînemen e de l imbricion de ces différenes décisions, nous llons nous rder sur l orgnision illusrée dns l Figure I-3. Il ne s gi que d un exemple d orgnision du emps de rvil dns un cenre d ppels. Nous verrons dns le prochin chpire que d ures modes de foncionnemens peuven êre envisgés. Le processus de gesion du emps de rvil décri dns l Figure I-3 es décomposé en plusieurs épes. Chque épe fourni des informions d enrée à celle qui lui succède. Dimensionnemen : il s gi de déerminer le besoin en ressources humines e effecuer les recruemens. Plnificion journlière individuelle : il s gi de déerminer les jours d bsence e de présence des conseillers de clienèle. Dns nore exemple ceci se fi pr un processus iérif où les conseillers exprimen des choix (ffecion clendriers) en foncion des conrines sur l cpcié de service présene. Plnificion horire grégée : Une fois les jours de présence déerminés, rese à plnifier les horires des conseillers. Dns nore exemple, ceci commence pr une première épe de plnificion horire grégée, où l enreprise déermine le 12

20 Chpire I: Conexe e Problémique nombre de conseillers pr vcion en foncion de l chrge d ppels. Une vcion es un horire ype qui n es ps encore ffecé à un conseiller. Emploi du emps : il s gi ici d ffecer les vcions ux conseillers. Générlemen, l objecif es de respecer u mieux les desider des conseillers. Les processus pour y rriver vrien d une enreprise à l ure. Cerines enreprise lisse u superviseur le soin de réprir de l mnière l plus équible les horires. On peu églemen uiliser des ouils informiques ssez complexes permen de recueillir les ordres de préférence des conseillers e de générer les emplois du emps mximisn leur sisfcion. Chque épe de ce processus consiue un problème à pr enière qui suscie s propre liérure scienifique. Dns cee hèse, nous llons nous inéresser priculièremen à un modèle, le shif scheduling, qui comme nous le verrons dns ce qui sui, es à l fois le cenre de grnd enjeux économiques (du fi qu il représene l esseniel des coûs d un cenre d ppels) e présene pr illeurs un inérê scienifique. 13

21 Chpire I: Conexe e Problémique Long Terme Dimensionnemen Budge RH - Pln de recruemen > 6 mois 50 CDD 200 CDI 60 CDD 200 CDI 50 CDD 200 CDI T T T Moyen Terme Affecion clendriers Plnificion journlière individuelle Cpcié service présene = chrge 2-3 mois Agen 1 Agen 2 Lun Mr Mer Prés Repos Congé Prés Prés Repos Prévision chrge Cpcié de service pyée Congé e Repos Cpcié de service présene Lundi Mrdi Mercredi Plnificion horire grégée 1 mois 40 CdC 40 CdC 25 CdC 8h 20h Cour Terme Déerminion des horires des conseillers 8h 17h 15 jours Agen 1 Appels Puse Appels 10h Repos 17h Agen 2 Congé Appels Puse Appels Lundi Mrdi Figure I-3: Les problémiques de gesion des ressources humines (workforce mngemen). Exemple d orgnision dns un cenre d ppels 14

22 Chpire I: Conexe e Problémique I.2 Enjeux du shif-scheduling, un problèmes cenrl dns l opimision des cenres d ppels Dns le monde des cenres d ppels le shif scheduling es un problème cenrl à l fois d un poin de vue économique e d un poin de vue scienifique. I.2.1 Enjeu indusriel : un problème u cœur de l déquion enre chrge e cpcié Le shif scheduling ssure l déquion enre l chrge d ppels e l cpcié de service u niveu horire. En effe, il pour objecif de grnir que, ou u long de l journée, l cpcié de producion es suffisne pour répondre à l demnde. L problémique d déquion enre chrge e cpcié se rerouve dns qusimen ous les seceurs d civiés indusrielles ou de service. Deux élémens disinguen les cenres d ppels des ures seceurs de l indusrie e renden cee déquion plus difficile e plus coûeuse à réliser. D une pr, l chrge d ppels es rès vrible u cours de l journée. Elle es difficilemen compible vec les conrines de présence des effecifs. D ure pr, l réponse à un ppel ne peu ps êre différée. Elle doi se fire en emps réel. Ceci resrein considérblemen l mrge de flexibilié pour dper l cpcié à l chrge d ppels. I Une chrge d ppels à fore vribilié Une personne ppelle son cenre de relion clien lorsqu elle es disponible. Générlemen hors de son emps de rvil. A une échelle collecive, ceci condui le cenre d ppels à recevoir des pics d ppels u momen des puses déjeuners ou à l fin des journées de rvil (voir Figure I-4). Au delà de l nécessire dpion à une chrge vrible, ceci impose u cenre d ppels de mere en plce une orgnision du emps de rvil en ol déclge vec les usges hbiuels. Pour répondre ux ppels il fu donc prévoir le plus d effecifs dns les plges hbiuellemen «incives». 15

23 Chpire I: Conexe e Problémique 4000 Nombre d ppels reçus pr heure h 10h 12h 14h 16h 18h 20h Figure I-4 : L chrge d ppels n es ps monoone u cours de l journée. Elle es rès vrible e présene plusieurs pics (source : chrge d ppels d un lundi ypique pour un opéreur frnçis de éléphonie mobile) I Une obligion de réponse en emps réel Lorsqu un ppel rrive, il doi êre rié qusi immédiemen. En effe, u delà de quelques minues d ene le clien s impiene e rccroche. L ppel es à ce momen perdu. Cee conrine d immédieé enre l expression de l demnde e s sisfcion resrein considérblemen l flexibilié en gesion des ressources humines. Pr opposiion u monde des cenres d ppels, une flexibilié exise dns l indusrie pr le fi qu il es possible de différer le momen de l producion du momen de l expression de l demnde. Lorsque l producion se fi vn l expression de l demnde, on prle de producion sur sock. Lorsque l producion se fi près l demnde, on prle de producion sur commnde (Bglin, Bruel e l. 2001). Ces deux moyens de flexibilié n exisen ps dns un cenre d ppels : on ne peu évidemmen ps répondre à un clien vn qu il i ppelé e on ne peu ps non plus endre u delà de quelques minues pour lui répondre. L impc de cee conrine d immédieé sur l déquion enre chrge e cpcié es illusré dns l Figure I-5. On voi que dns le cs où on l possibilié de produire sur sock e sur commnde, oue l demnde peu êre sisfie si elle ne dépsse ps l cpcié de producion sur l journée. Dns le cs d un cenre d ppels, on conse qu une prie de l demnde n es ps sisfie e que l cpcié n es ps exploiée pleinemen. 16

24 Chpire I: Conexe e Problémique Producion sur commnde Producion sur sock Chrge Cpcié de service Dns l indusrie L possibilié de différer l producion de l demnde perme de répondre à oues l chrge Appels non riés Dns un cenre d ppels Une prie de l chrge n es ps riées du fi de l conrine de réponse en emps réel ux ppels Chrge Temps de rvil non producif Cpcié de service Figure I-5 : Impc de l conrine de riemen en emps réel de l demnde sur l déquion enre chrge e cpcié dns un cenre d ppels pr opposiion à l indusrie En rélié, il exise d ures moyens de flexibilié dns les cenres d ppels. Nous pouvons cier l uilision de flux sockble (mil e courrier, pr exemple) qui se prêen à un riemen différé ou lors les cions de communicion fin d incier les cliens à ppeler lors des périodes d civié creuse du cenre d ppels. N oublions ps églemen d évoquer le moyen de flexibilié le plus courn dns le monde des cenres d ppels qui consise simplemen à ne ps prendre en chrge les ppels e invier les cliens à rppeler ulérieuremen. 17

25 Chpire I: Conexe e Problémique I.2.2 Enjeu scienifique : un modèle d opimision de plusieurs problèmes de gesion des ressources humines Nous vons vu que le shif-scheduling bordi des enjeux imporns d un poin de vue économique pour un cenre d ppels. Au delà de son inérê indusriel, le shif-scheduling es qusimen inconournble pour qui s inéresse u modèles mhémiques d opimision de l gesion des ressources humines d un cenre d ppels. En effe, l modélision mhémique en shif-scheduling perme de résoudre plusieurs problèmes de gesion des ressources humines. Nommen : Le problème de dimensionnemen où il s gi de déerminer le nombre d gens qu il es nécessire de recruer pour répondre à l demnde. L première modélision du shif-scheduling d illeurs éé proposée sur un problème de dimensionnemen d gen de pége dns (Dnzig 1954). Le problème de plnificion permen de déerminer le nombre de conseillers qui doiven êre présens à chque période pour mximiser l qulié de service offere u clien. Le problème de déerminion des emplois du emps : nous monrons dns cee hèse que le modèle de plnificion que nous proposons perme d border les problémiques d emplois du emps individuels des conseillers. Pour conclure, nous pouvons dire que le problème de shif-scheduling es rès imporn à l fois d un poin de vue économique e scienifique. Il ser, en quelque sore, le fil conduceur de cee hèse. L objecif én de répondre à une problémique indusrielle ou en proposn des élémens nouveux d un poin de vue de recherche scienifique. 18

26 Chpire I: Conexe e Problémique I.3 Problémiques : les xes de conribuion de l hèse A l lumière d une première nlyse de l é de l r e d une expérience opérionnelle dns le domine des cenres d ppels, nous vons idenifié rois xes de recherche sur lesquels cee hèse conribueri. Dns ce qui sui nous déclinons ces rois xes de recherche qui corresponden u rois chpires de l suie du documen. I.3.1 L incompléude de l informion, un principe u fondemen de l orgnision des décisions Nous vons monré dns l secion I.1.2 que les décisions de gesion de ressources humines dns un cenre d ppels éien hiérrchisées en plusieurs niveux de décision. Ces différens niveux donnen lieu à plusieurs problémiques disinces (voir Figure I-3) : dimensionnemen, plnificion, emplois du emps individuels, ec. Dns l liérure, cee décomposiion es souven prise comme donnée de bse. l perinence ou les fondemens de cee décomposiion son rès peu discués. A nore connissnce, cee quesion n éé bordée dns l liérure que d un poin de vue lgorihmique e echnique. C es à dire comprer le gin en emps de clcul qu ppore l décomposiion d un problème pr rppor à l pere d opimlié que ceci engendre. De nore poin de vue, l rgumen echnique (opimlié vs emps de clcul) n es ps suffisn pour jusifier les décomposiions. D ures risons, en priculier orgnisionnelles, doiven enrer en ligne de compe. En effe, ce principe de décomposiion des décisions n es ps spécifique ux cenre d ppels. On le rerouve dns ou seceur d civié y compris dns des processus ne nécessin ps d ouils informiques pour lesquels ucun problème de emps de clcul ne se pose. Nous pouvons cier pr exemple, les pproches hiérrchique e de consolidion uilisées pour l ffecion des budges dns priquemen oues les enreprises e dminisrions. Il y donc d ures risons sous-jcenes, nommen orgnisionnelles, derrière ce principe de décomposiion u delà des simples risons echniques. Le chpire 2 ene d éclircir ces risons orgnisionnelles. Le crcère incomple e incerin de l informion es, de nore poin de vue, l élémen qui condui à rerder e décomposer les décisions de gesion des ressources humines. Nous monrons à prir d exemples illusrifs commen l décomposiion de décisions perme de pllier les inconvéniens d une informion incomplèe. 19

27 Chpire I: Conexe e Problémique I.3.2 Proposer un prdigme e un modèle unificeur du shif-scheduling L première modélision en PLNE du problème de shif-scheduling éé proposée pr Dnzig (Dnzig 1954). Depuis, de rès nombreux rvux on éé rélisés pour dper le modèle e permere l résoluion de problèmes de plus en plus complexes (nous présenons un é de l r des modèles dns le chpire 3). Touefois, chque conribuion propose un modèle spécifique en foncion des hypohèses qu elle prend en compe : vec ou sns puses déjeuner, possibilié d voir des puses hors déjeuner, durée des puses fixes ou vribles, nombre de profils de conseillers, un ou plusieurs flux riés, conrines de durée mximum de rvil, ec. Dns cee hèse, nous présenons un concep que nous ppelons le prdigme de chînes d civiés. Ce prdigme perme : de modéliser en un progrmme mhémique le shif-scheduling quelles que soien ses spécificiés (puses, conrine de durée mximum ou minimum de rvil) pour peu que les conrines de emps de rvil respecen un cerin nombre d hypohèses que nous spécifierons ; de s ffrnchir du formlisme mhémique pour rduire ou problème de shif scheduling. C es l rison pour lquelle on prle de prdigme u delà du modèle mhémique qui en découle. Ceci es priculièremen uile dns l concepion d inerfces d ouils de plnificion e simplifie le dilogue vec les uiliseurs opérionnels. Le chpire 3 présene le prdigme de chîne d civié. Le modèle mhémique qui en découle e son pplicion à un problème de dimensionnemen seron églemen présenés dns ce même chpire. I.3.3 Prendre en compe l qulié de service de mnière explicie Dns un cenre d ppels, l qulié de service mesure l fcilié d ccès u service. Les indiceurs courmmen uilisés son le emps moyen d ene, l proporion d ppels répondus en moins de 20 secondes ou encore l proporion d ppels répondus. Dns le problème de shif scheduling, l quesion de l qulié de service es générlemen riée en mon. L pproche clssique uilisée iniilemen pr Dnzig se fi en deux emps. Dns un premier emps, on évlue sur chque période de l journée le nombre de 20

28 Chpire I: Conexe e Problémique conseillers nécessires pour eindre un objecif de qulié de service donné. Le shif scheduling peu lors êre résolu dns un second emps en prenn direcemen comme conrine ce nombre de conseillers présens pr période. On prle de conrines de couverure. Le shif scheduling én un problème combinoire, rier l qulié de service en mon, perme de découpler l spec combinoire du modèle e l non-linérié de l qulié de service. Ceci donne in fine un problème plus simple à résoudre. Cee pproche bsée sur des conrines de couverure "dures" (i.e. devn êre respecées à ou prix) prévlu dns l qusi-olié des conribuions rin du shif scheduling depuis Dnzig. Même si elle perme de simplifier l résoluion, elle n es ps sns présener quelques inconvéniens. En effe, dns un cenre d'ppels, il n'es ps impérif de grnir un seuil de qulié de service consn durn l journée. On pourr se permere de compenser les "muvises" périodes pr de meilleures périodes de l journée. Dns ce cs, il seri plus perinen de considérer, pr exemple, une qulié de service globle sur l journée. Cee pproche seri plus rélise mis rendri le problème plus difficile à résoudre. En effe, ceci impliqueri d inroduire dns l combinoire du shif scheduling une évluion non linéire de l qulié de service. Dns le chpire 4 nous monrons commen, grâce u prdigme de chîne d civiés, nous pouvons résoudre le problème de shif scheduling vec un objecif de mximision de l qulié de service non linéire. 21

29 Chpire I: Conexe e Problémique 22

30 Chpire II : Orgnision des décisions de gesion des ressources humines Chpire II ORGANISATION DES DÉCISIONS DE GESTION DES RESSOURCES HUMAINES Ce chpire quesionne l orgnision des décisions dns un cenre d ppels. Générlemen, dns les rvux visn à opimiser l gesion des ressources humines, les problèmes son présenés dns leur formulion mhémique sns jusificion ou remise en cuse des processus de décision sous-jcens. Ce chpire ene d expliquer e jusifier les décomposiions possibles des décisions dns un cenre d ppels. Elles son, à nore sens, d bord liées à des risons d orgnision, de disponibilié de l informion e de conrines indusrielles. 23

31 Chpire II : Orgnision des décisions de gesion des ressources humines II.1 Méhodologie d orgnision des décisions de gesion des ressources humines dns les cenres d ppels Nous vons monré dns le chpire précéden un exemple de décomposiion des décisions de gesion des ressources humines. Dn l liérure, ce ype de décomposiion es pris comme hypohèse de bse. Nous enons de monrer, dns ce qui sui, que les décomposiions des décisions dns une orgnision suiven une logique. Le principe sousjcen à nore sens es celui de l incompléude de l informion. En effe, u momen de l prise d une quelconque décision, l informion sur le fuur n es jmis olemen connue. Cee informion es incomplèe pour deux risons principles : - L inceriude des prévisions : ou processus de décision pour préprer l venir doi se bser d une mnière ou d une ure sur des prévisions. Dns un cenre d ppels pr exemple, ces prévisions concernen l chrge d ppels, le nombre de courriers à rier, le ux d bsenéisme, ec. Plus l horizon de prévision es éloigné, plus les erreurs son impornes. L impc sur l qulié de l décision peu lors êre rès significifs. - L prise de décision pr plusieurs ceurs : pour des risons de sisfcion des collboreurs nommen, il es rès courn que les décisions de gesion du emps de rvil (plnificion journlière, emploi du emps) se prennen conjoinemen pr l enreprise e les collboreurs. Pr exemple, l déerminion des emplois du emps peu se fire iérivemen enre le responsble hiérrchique e les conseillers de mnière à concilier les objecifs de l enreprise de réponse ux cliens e les objecifs des conseillers d obenir des emplois du emps compibles vec leurs conrines personnelles. Afin d explicier le lien que nous voyons enre l incompléude de l informion e l orgnision des décisions de gesion des ressources humines nous commencerons pr prendre un cs héorique déerminise. Nous enerons de monrer que dns une siuion où l informion es incomplèe, il es judicieux de décomposer e rerder les décisions. Pr illeurs, nous nous focliserons dns un premier emps sur les décisions de gesion du emps de rvil (dimensionnemen e plnificion), nous monrerons pr l suie l impc de l inroducion des décisions d jusemen de cpcié (inérim, presires, ec.). 24

32 Chpire II : Orgnision des décisions de gesion des ressources humines II.1.1 Cs déerminise vec une décision cenrlisée Afin d illusrer les risons de l décomposiion, commençons pr prendre un cs héorique d un cenre d ppels où rois décisions de gesion du emps de rvil doiven êre prises : - Le dimensionnemen des ressources humines - Le clendrier des conseillers (plnificion journlière) : c'es-à-dire l déerminion des jours de présence e d bsence (congé e repos) - Les emplois du emps des conseillers (plnificion horire) Nous supposons de plus que oues ces décisions son prises pr l enreprise à elle seule. Il n y ps, pour le momen, de processus impliqun le conseiller dns l orgnision de son emps de rvil. Considérons, enfin, que l environnemen es olemen déerminise. Ceci signifie que l venir es connu vec ceriude e que l on dispose bien à l vnce de l volumérie précise d ppels à chque insn. Long Terme Dimensionnemen Clendrier (jours de repos e congé) Emplois du emps Moyen Terme Cour Terme Figure II-1: Les décisions de gesion des ressources humines dns un environnemen déerminise Dns ce cs, oues les décisions de gesion du emps de rvil (recruemen, clendrier, emplois du emps) peuven êre prises rès longemps à l vnce (horizon long erme). De plus, il ne devien plus nécessire de recourir à des jusemens de cpcié de service én donné qu en l bsence d inceriude, les décisions opimles prises à long erme le resen à cour erme. Le schém de foncionnemen perinen seri lors celui illusré dns l Figure II-1. Dns un environnemen déerminise, mono-décideur e olemen prévisible il n y ucun inérê à décomposer ou rerder une quelconque décision de gesion des ressources humines. 25

33 Chpire II : Orgnision des décisions de gesion des ressources humines II.1.2 Le principe de décomposiion - impc de l inceriude Considérons à présen un cs plus rélise où l environnemen es incerin. L informion sur l demnde es d un plus imprécise que l horizon de emps es éloigné. Ainsi, dns ce cs de figure, l enreprise ur ou inérê à rerder u mximum les décisions de gesion des ressources humines. L objecif én de prendre ces décisions lorsque l connissnce de l demnde es l plus précise (voir Figure II-2) Long Terme Moyen Terme Cour Terme Dimensionnemen Clendrier (jours de repos e congé) Emplois du emps Figure II-2: Impc de l inceriude - rerder les décisions u mximum Ainsi, dns un conexe incerin, il es de l inérê de l enreprise de rerder oues les décisions. Touefois, les conrines orgnisionnelles, opérionnelles ou légles fon que ou ne peu ps êre décidé u dernier momen. Le recruemen, pr exemple, es une décision lourde. Elle nécessie un processus prélble de prospecion, d idenificion e de sélecion de cndids e se prépre plusieurs mois à l vnce. Elle ne peu êre effecuée que sur du moyen ou long erme. En ce qui concerne les congés, le droi du rvil impose de les diffuser ux collboreurs u moins un mois à l vnce. Cerines convenions collecives peuven ller bien u-delà. Rerder oues les décisions comme illusré dns l Figure II-2 n es donc ps rélisble. A prir de ces deux exemples, il pprî ssez cliremen que deux préoccupions opposées condiionneron l orgnision e l hiérrchision des décisions de gesion des ressources humines u sein d une enreprise : - Une nécessié d niciper fin de mximiser l mrge de mnœuvre de l enreprise pour grnir une déquion enre chrge e cpcié. Cee mrge de mnœuvre es d un plus réduie que l on se rpproche du cour erme (à cour erme pr exemple, on ne peu plus bénéficier de l même mrge de mnœuvre offere pr des recruemens). 26

34 Chpire II : Orgnision des décisions de gesion des ressources humines - Une nécessié de prendre les décisions u plus rd fin de irer pri du niveu d informion le plus précis possible. Ce niveu d informion ugmene à mesure que l on se rpproche du cour erme. Ces deux endnces son illusrées pr deux courbes qui évoluen en sens opposés dns l Figure II-3. Les deux exemples ci-dessus (Figure II-1 e Figure II-2) corresponden ux cs exrêmes de chcune de ces endnces. Le premier exemple où oues les décisions son posiionnées à long erme offre une mrge de mnœuvre mximle à l enreprise mis vec un niveu d informion u minimum. Ce cs de figure ne se renconre qusimen jmis en prique. En effe, fonder l prise de oues les décisions sur des informions rès peu fibles condui nécessiremen à des résuls médiocres en erme d déquion chrge cpcié. Rerder, en revnche, oues les décisions u cour erme permeri de mximiser le niveu d informion. C es le cs illusré pr le second exemple mis qui n es ps rélisble. L soluion de compromis enre ces deux cs exrêmes es de irer profi du fi que oues les décisions n on ps les mêmes conrines emporelles. Il es, de ce fi, envisgeble de ne rerder qu une prie des décisions pour bénéficier d une informion plus fible ou en resn dns un cdre fisble. C es le principe de décomposiion des décisions. Dns ce qui sui nous présenons quelques exemples de décomposiion en ppliqun ce principe. 27

35 Chpire II : Orgnision des décisions de gesion des ressources humines LT 100% décisions Mrge de mnœuvre Informion MT 100% des décisions CT LT MT CT ) Mximision de l mrge de mnœuvre Sous-opimle : oues les décisions son prises lorsque l informion es minimum LT Mrge de mnœuvre Informion MT 100% des décisions CT 100% décisions LT MT CT b) Mximision du niveu d informion Non-rélisble : L mrge de mnœuvre à CT n es ps suffisne pour mere en œuvre oues les décisions LT Phse 1 Mrge de mnœuvre Informion MT Phse 2 60% des décisions CT Phse 3 30% des décisions 10% des décisions LT MT CT c) Mximiser le niveu d informion compe enu de l mrge de mnœuvre possible L décomposiion perme de rerder une prie des décisions pour obenir un meilleur niveu d informion Figure II-3: Gesion du compromis enre niveu d informion e mrge de mnœuvre dns gesion des ressources humines II Décomposiion dimensionnemen-plnificion Reprenons nore exemple iniil e supposons que l seule conrine emporelle en erme de mrge de mnœuvre es celle du dimensionnemen qui doi se fire à long erme. On considère églemen que l enreprise n oujours ps recours à des cions d jusemen de cpcié de service (inérim, CDD, ec.). 28

36 Chpire II : Orgnision des décisions de gesion des ressources humines Dns ce cs, l pplicion du principe de décomposiion es représenée dns l Figure II-4 où le dimensionnemen es effecué à long erme. Toues les ures décisions son rerdées soi u cour erme s il n y ps d ures conrines emporelles, ou u moyen erme (1 à 3 mois) lorsque l on des conrines légles qui imposen l diffusion des clendriers e des emplois du emps u moins un mois à l vnce. Long Terme Dimensionnemen Long Terme Dimensionnemen Moyen Terme Moyen Terme Plnificion (clendrier + emplois de emps) Cour Terme Plnificion (clendrier + emplois de emps) Cour Terme Conrine de diffusion du clendrier ux collboreurs à moyen erme Figure II-4 : Impc de l inceriude - rerder les décisions u mximum vec une conrine emporelle sur le dimensionnemen II Décomposiion de l plnificion journlière e horire Nous vons vu précédemmen que les conrines légles de diffusion des clendriers plusieurs mois à l vnce conduisien à vncer l plnificion du cour erme u moyen erme. A ce niveu, une nouvelle décomposiion peu s vérer perinene. En effe, une nouvelle possibilié seri de minenir l créion des clendriers ou plnificion journlière à moyen erme fin de respecer l conrine légle e de rerder l éblissemen des emplois du emps à cour erme bénéficin insi de l méliorion de l prévision. Cee décomposiion supplémenire es illusrée dns l Figure II-5. 29

37 Chpire II : Orgnision des décisions de gesion des ressources humines Long Terme Dimensionnemen Moyen Terme Clendrier (jours de repos e congé) Cour Terme Emplois du emps Figure II-5 : Impc de l inceriude - rerder les emplois du emps u cour erme Nous vons monré ici quelques exemples de décomposiions des décisions qui pouvien êre induis pr l inceriude sur les prévisions. Il ne s gi que d exemples illusrifs e d ures ypes de décomposiions peuven êre uilisés. Pr exemple, il es envisgeble de ne figer qu une proporion des emplois du emps à moyen erme. Le rese es plnifié u plus rd lorsque les prévisions son plus fibles. Les conseillers connissen insi l esseniel de leurs emplois du emps plusieurs semines à l vnce e l enreprise se réserve une mrge de flexibilié qui peu êre réjusée si besoin. II.1.3 Le principe de décomposiion impc du prge de l décision Jusque là nous vons supposé que l enreprise éi l seule à décider de s plnificion pour opimiser l déquion enre chrge e cpcié. En plus de cee préoccupion de service u clien, l enreprise doi églemen inégrer l sisfcion de ses collboreurs. Rppelons que dns les cenres d ppels, les enreprises doiven ocroyer oue son impornce ux condiions de rvil. C es un levier esseniel de moivion des conseillers, min d œuvre générlemen peu qulifié e fiblemen rémunérée. Il es donc nurel e judicieux d impliquer le conseiller dns l gesion de son emps de rvil. On psse lors d un problème mono-décideur où l enreprise décide des clendriers e emplois du emps de ses conseillers à un problème muli-décideurs fisn inervenir le conseiller dns l orgnision de son emps de rvil. Ce prge de l décision enre l enreprise e le conseiller condui à un second ype de décomposiion des décisions. Dns l Figure II-6 nous proposons deux exemples illusrn ce principe : Décomposiion de l déerminion des clendriers : l enreprise fixe pour chque jour le nombre de conseillers présens nécessires pour sisfire l demnde. Les conseillers posiionnen leurs choix en foncion de cee conrine. 30

38 Chpire II : Orgnision des décisions de gesion des ressources humines Décomposiion de l déerminion des emplois du emps : l enreprise propose des horires ype que l on ppelle vcions e déermine le nombre de conseillers nécessires pr vcion. Les conseillers choisissen prmi ces possibiliés les horires qui leur corresponden le mieux. Si cerins jours de présences ou d bsences ou cerines vcions son plus demndés que d ures, l enreprise peu imposer des règles ou des crières d ribuion ou de priorié pour grnir l équié de riemen enre les collboreurs e évier que cerins soien plus fvorisés que d ures u fil du emps. Il s gir pr exemple de fixer des quos mensuels ou rimesriels sur le nombre de «long week-end» pris pr conseiller ou encore de réprir équiblemen les horires les moins ppréciés (débu de l journée de rvil rès ô ou fin rès rdive) Long Terme Dimensionnemen Dimensionnemen Moyen Terme Clendrier (jours de repos e congé) Besoin en conseillers pr jour Clendrier Décision de l enreprise Décision des conseillers Cour Terme Emplois du emps Besoin en conseillers pr vcion Emplois du emps Décision de l enreprise Décision des conseillers Figure II-6 : décomposer les décisions dns un foncionnemen de muli-décideurs L implicion de plusieurs décideurs (en l occurrence l enreprise e les conseillers) dns l gesion du emps de rvil es un choix orgnisionnel. C es donc un fceur inerne à l enreprise qui condui à décomposer le processus de décision. Pr opposiion, l inceriude des prévisions es un fceur exerne à l enreprise lié u crcère léoire de son environnemen. 31

39 Chpire II : Orgnision des décisions de gesion des ressources humines II.1.4 Limies de l décomposiion des décisions Nous vons vu que l décomposiion des décisions éi le moyen uilisé u sein d une orgnision pour limier les conséquences d une informion incomplèe. Dns cerins cs cependn, cee soluion n es ps judicieuse. En effe, dns un cs olemen déerminise e mono-décideur, l soluion d un problème pris dns s globlié es oujours meilleure ou égle que l résoluion séprée des sousproblèmes qui le composen. L décomposiion d une décision n de sens qu en l confronn à l pere d opimlié qu elle indui. Si cee dégrdion de l qulié de l soluion es supérieure u gin pporé pr des sous-décisions rerdées, lors il n es ps perinen de décomposer. L rducion mhémique de ce principe es illusrée dns l Figure II-7. Moyen Terme = S.C Sˆ ( X, Y ) * * ( X, Y ) rgmin f ( X, Y ) X, Y ˆ * rgmin ˆ X b = f ( X, i) X, Y S.C Sˆ ( X, i) Cour Terme = S.C S( X, Y ) * * ( X, Y ) rgmin f ( X, Y ) X, Y * * Yb rgmin f ( X b, Y ) = X, Y * S.C S( X b, Y) Cs idél non fisble ) Ps de décomposiion X e Y déerminés à long erme b) Décomposiion en 2 sous-décisions X déerminé à long erme e Y à cour erme Figure II-7 : Illusrion du compromis enre résoudre un problème globl ou le décomposer en deux sous-décisions Considérons le problème Pb 0 défini comme sui : Min f ( X, Y ) X, Y S.C S( X, Y ) 32

40 Chpire II : Orgnision des décisions de gesion des ressources humines L objecif es de minimiser f(x,y) où X e Y son deux veceurs de vribles de décision. S(X,Y) correspond à l ensemble des conrines qui doiven êre respecées L soluion opimle de ce problème es noée * * ( X, Y ) Si ucune conrine n imposi le momen où les décisions doiven êre prises, lors l déerminion de X e Y doi se fire u plus rd (c es à dire à cour erme) pour disposer de l informion l plus précise. Supposons à présen que, pour des risons opérionnelles ou orgnisionnelles, X ne peu êre fixé qu à moyen erme u plus rd. Le problème Pb 0 n es lors plus pplicble. Deux lernives se présenen : ) Avncer u moyen erme les décisions sur X e Y Noons suivne : * * (, ) X Y l soluion opimle du nouveu problème. Il se formule de l mnière Min fˆ( X, Y ) X, Y S.C Sˆ ( X, Y ) Les foncion f e S on éé remplcées pr leur esimeurs ˆf e Ŝ cr, dns ce cs, les décisions reposen sur des esimions du fuur (i.e. des prévisions). b) Décomposer l décision enre cour erme e moyen erme Dns ce cs, X es déerminé à moyen erme e Y à cour erme. Ceci nous condui à deux X Y. Ces deux sous- sous-problèmes Pb MT e Pb CT don l soluion opimle es problèmes peuven se formuler de l mnière suivne : * * ( b, b ) ) Pb à moyen erme b) Pb à cou erme MT CT * Min fˆ ( X, i) ( b, ) X, Y Min f X Y X, Y ˆ * S.C S( X, i) S.C S( X b, Y ) Cee décomposiion n es perinene que si le cs b) es plus fvorble que le cs ). C es à dire si : f X Y f X Y * * * * ( b, b ) (, ) 33

41 Chpire II : Orgnision des décisions de gesion des ressources humines II.1.5 Inroducion des décisions d jusemen de cpcié Jusque là, nous vons considéré qu une fois les décisions de plnificion prises, il n y vi plus de possibilié de les remere en cuse. En donné que cerines décisions peuven êre prises longemps à l vnce - pr exemple, l phse de dimensionnemen dns l exemple précéden - l enreprise peu êre menée à les remere en cuse plus rd. Ainsi, des recruemens en CDI décidés 6 mois à l vnce, n on de perinence qu en foncion de l qulié des prévisions don on dispose. Avec le emps les prévisions s ffinen e le dimensionnemen ébli peu s vérer indpé pour grnir une bonne déquion enre chrge e cpcié. Dns ce cs, l enreprise peu êre menée à ugmener l cpcié de service vi des cions poncuelles elles que le recruemen d inérimires, de CDD ou l solliciion de presires exernes. A l insr des décisions de gesion du emps de rvil (dimensionnemen e plnificion), les leviers d jusemen de l cpcié de service on leurs propres conrines emporelles comme indiqué dns le Tbleu II-1. Horizon Décisions de gesion du emps de rvil Décisions d jusemen de l cpcié de service > 6 mois Budge RH e pln de recruemen (nombre de CDI, CDD, ec.) Recruemen à long erme (CDI) De 1 à 3 mois 15 jours Posiionnemen des jours de repos e de congé Emplois du emps Recruemen CDD Recruemen d inérimires Solliciion d un presire Heures supplémenires Quelques heures à quelques jours Réffecion d civiés Solliciion de conseillers d ures services en renfor Tbleu II-1 : Les conrines emporelles des décisions de gesion des ressources humines Lors de l inroducion d une décision d jusemen de cpcié, deux cs de figure peuven se présener : soi cee décision n inerfère ps vec les ures décisions. Il ne s gi lors que d une épe supplémenire. Soi cee décision es liée à d ures e son inroducion implique une modificion du processus de décision. 34

42 Chpire II : Orgnision des décisions de gesion des ressources humines Comme précédemmen, prenons un exemple ficif fin d illusrer ces deux cs. Considérons un cenre d ppels don le processus de gesion du emps de rvil es consiué de deux épes : le dimensionnemen à long erme e l consrucion des clendriers e emplois du emps à cour erme (voir Figure II-8 ()). Considérons, de plus, que l enreprise souhie voir recours à des inérimires poncuellemen. Ces inérimires doiven êre recrués u moins un mois à l vnce (moyen erme). Les deux opions envisgebles son les suivnes : - Soi le nombre d inérimire peu êre fixé indépendmmen des ures décisions e on inrodui une épe supplémenire dns le processus sns ure lérion (Figure II-8(b)) - Soi l enreprise esime que l déerminion du nombre d inérimire ne peu êre dissociée du problème d éblissemen des clendriers e emplois du emps. Ce seri le cs, pr exemple, si des conrines conrcuelles ou orgnisionnelle imposien de figer les emplois du emps des inérimires dès l proposiion de recruemen. Ceci imposeri d vncer l rélision des clendriers e des emplois du emps u même horizon que le recruemen des inérimires, c es à dire u moyen erme u lieu du cour erme (Figure II-8(c)). L enreprise es donc, à nouveu, fce à un choix enre deux mnières différenes de jlonner les décisions. Le choix dépendr de l qulié de l soluion que peu donner chque opion e des conrines orgnisionnelles ou conrcuelles que doi respecer l enreprise. Remrque : noons que l on peu inroduire un niveu de complexié supplémenire en considérn que les décisions d jusemen de cpcié (qu elles soien ssociées ou ps à des décisions de gesion du emps de rvil) peuven elles mêmes fire l obje de nouvelles décomposiions en ppliqun les principes décris en II.1.2, II.1.3 e II

43 Chpire II : Orgnision des décisions de gesion des ressources humines () (b) (c) Long Terme Dimensionnemen Dimensionnemen Dimensionnemen Moyen Terme Recruemen inérim. Clendrier Emplois du emps + recruemen inérim. Cour Terme Clendrier Emplois du emps Clendrier Emplois du emps Figure II-8 : Impcs sur le processus de décision de l inroducion de décisions d jusemen de cpcié II.1.6 Synhèse Nous vons monré dns ce qui précède que l élémen sous jcen à l décomposiion es d bord orgnisionnel vn oue considérion echnique de emps de clcul ou d exhusivié des élémens pris en compe dns les modèles. En effe, fin de pllier l impc de l incompléude de l informion (environnemen incerin e décision muli-ceur) nous vons idenifié quelques lignes direcrices pour orgniser les décisions : - Rerder les décisions u plus rd fin de bénéficier de l informion l plus précise - Décomposer les décisions en sous décisions si l opimlié n es ps pénlisée e décler u plus rd les sous-décisions obenues - Inégrer les leviers d jusemen de cpcié e dper le processus de décision en conséquence L Figure II-9 donne une illusrion de cee démrche de consiuion du processus de décision. Il ne s gi, bien enendu, que d un exemple. En rélié, il n exise ps d orgnision idéle e unique des décisions de gesion des ressources humines cr elle dépend de plusieurs fceurs : 36

44 Chpire II : Orgnision des décisions de gesion des ressources humines - L flexibilié de l orgnision permen de décomposer plus ou moins fcilemen les décisions. - L inceriude e l vribilié de l environnemen. - Les conrines réglemenires e orgnisionnelles de l enreprise. 37

45 Chpire II : Orgnision des décisions de gesion des ressources humines Environnemen Déerminise Environnemen Incerin Ps de décision MT à prendre Décision à 3 mois : conrine légle de diffusion des congés Décomposiion impossible sns dégrdion imporne de l opimlié Flexibilié suffisne pour décomposer sns pere d opimlié Ps de décision à 1 mois à prendre Décision à 1 mois : inérim, presire Décideur unique : enreprise Décision conseiller e enreprise LT > 6mois Dimensionnemen Clendrier e Emplois du emps Dimensionnemen Dimensionnemen Dimensionnemen Dimensionnemen Dimensionnemen MT 3 mois Clendrier e Emplois du emps Clendrier Clendrier Besoin en conseillers présens Clendrier MT 1 mois Emplois du emps + inérim, pres Besoin en conseillers pr vcion + inérim, pres CT 15 jours Clendrier e Emplois du emps Emplois du emps Emplois du emps Figure II-9 : Les problémiques de gesion des ressources humines. Exemple illusrn le processus de décomposiion des décisions 38

46 Chpire II : Orgnision des décisions de gesion des ressources humines II.2 E de l r des problèmes de gesion des ressources humines dns les services Les problémiques de gesion des ressources humines dns les cenres d ppels e plus générlemen dns les services fon l obje d une liérure scienifique rès riche. Plusieurs clssificions e ypologies de problèmes on éé proposées insi qu un grnd nombre de décomposiions. Ces clssificions se fon en générl sur l bse des spécificiés e conrines prises en compe dns le problème ou sur l nure des méhodes de résoluion uilisées (Tien e Kmiym 1982; Günes 1999; Erns, Jing e l. 2004; Cnon 2005). A nore connissnce, il n y ps, dns le domine des services, de conribuion semblble à celle que nous vons proposée plus hu décrivn l logique sous-jcene à l orgnision des décisions de gesion des ressources humines. Cee prie présener quelques élémens de l é de l r relif ux problémiques de gesion des ressources humines. Il ne s gir ps de dresser une bibliogrphie exhusive mis de proposer un perçu des ypes de modèles e méhodes qui permeen de répondre à ces problémiques. L objecif én in fine de mere en perspecive nore démrche de décomposiion des décisions pr rppor ux rvux e pproches clssiquemen uilisées dns l liérure. Prmi les rvux effecués dns le domine de l gesion des ressources humines, les problémiques de plnificion son, de loin, les plus bordées. En ce qui concerne les problémiques de dimensionnemen c es à dire l ide à l décision pour le recruemen à long erme, des rvux de référence peuven êre rouvés dns (Hol C., Modiglini F. e l. 1960; Grinold e Mrshll 1977; Chrnes, Cooper e l. 1978). Ils proposen des méhodes de mhémiques ppliquées pour opimiser des problémiques de recruemen e de pln de crrière permen de minimiser les coûs slriux. D ures rvux on inégré, u delà de l spec coû, des préoccupions de minien e de rnsmission des compéences sur le long erme (Bordoloi e Msuo 2001). En ce qui concerne l plnificion, plusieurs revues de liérures exisen. Une clssificion inéressne es celle proposée pr (Prouche 1998) qui disingue rois ypes de problème : Plnificion vec âches coures ou sécble (à courbe de chrge) Plnificion de personnel mobile (problème de consrucion de service, bus) Plnificion de personnel mobile vec découché (vion, consrucion de roion) 39

47 Chpire II : Orgnision des décisions de gesion des ressources humines Nous nous focliserons sur l 1 ere cégorie cr c es celle qui s pplique ux cenres d ppels. Sur ce ype de problémiques, nous pouvons cier les problèmes e modèles les plus courmmen bordés dns l liérure. Pour des élémens plus déillés se référer à (Prouche 1998) e (Bker 1976) : Shif-scheduling (problème de consrucion de vcion): plnificion u sein d une journée à prir d une courbe de chrge. Les conrines lin les journées enre elles (l conrine de 35 heures hebdomdires, pr exemples) ou les successions de vcions (pr exemple, imposer 2 jours de repos successifs dns l semine) ne son ps prises en compe. Dys-off scheduling (problème de plnificion de jours de repos): concerne les civiés de service sur 6 ou 7 jours pr semines mis don les slriés ne rvillen que 5 ou 6 jours. Le problème du dys-off scheduling perme de posiionner le ou les jours de repos hebdomdires pour chque personne. Tour scheduling (problème de plnificion de ours) : mix enre les deux problèmes précédens. Il s gi de consruire les vcions e les jours de repos en même emps sur un horizon d une semine. Problème globl de consrucion de grille : défini pour l première fois dns (Prouche 1998). Il consise à déerminer oues les décisions de plnificion journlière e horire. En prenn en enrée une courbe de chrge, l objecif du problème es de déerminer : l ffecion individuelle des jours de repos, les vcions à consruire, l ffecion du nombre de personnes ux vcions e les emplois du emps individuels. Un élémen imporn à noer dns cee clssificion es que les problèmes son consiués en foncion des élémens pris en compe e des données d enrée du problème. C es une clssificion orienée résoluion e non ps décision. En rélié, un même problème mhémique peu êre uilisé pour répondre à différenes décisions qui on lieu à différens horizons emporels. Ceci es illusré dns l Figure II-1 où nous reprenons un des exemples de décomposiion des décisions décri plus hu. Pour chque décision, nous indiquons un exemple de modèle qui peu êre uilisé pour répondre à l quesion posée. Le shif-scheduling pr exemple n es ps exclusivemen desiné u problème de plnificion. Il peu êre uilisé à l fois pour une problémique de recruemen à long erme e pour l éblissemen des emplois du emps. Bien enendu, il ne seri ps perinen d uiliser l même finesse dns les deux cs. Pr exemple, on inroduir moins de conrines de emps de rvil pour le dimensionnemen que pour l déerminion des emplois du emps. Ainsi, pour une décision donnée, plusieurs modèles plus ou moins complexes exisen dns l liérure. De l même mnière, un même modèle peu êre uilisé pour répondre à différens ypes de décisions. 40

48 Chpire II : Orgnision des décisions de gesion des ressources humines Long Terme Moyen Terme Dimensionnemen Plnificion journlière Plnificion horire grégée Shif scheduling minimision du coû slril Dy off scheduling Shif scheduling mximision qulié de service Pb globl de consrucion de grille Tour scheduling Cour Terme Déerminion des horires des CdC Shif scheduling mximision de l sisfcion des conseillers Figure II-10: Posiionnemen des problèmes de plnificion à courbe de chrge pr rppor à l hiérrchision des décisions de workforce mngemen Avn d border un problème de gesion des ressources humines il es donc nécessire de suivre une nlyse en deux emps. Dns un premier emps, définir l orgnision e le jlonnemen des décisions en suivn l pproche décrie en II.1.6. Dns un second emps, on chercher à idenifier les moyens les plus perinens pour répondre à ces décisions. Le degré de complexié de ces soluions pourr ller du logiciel inégré issu des modèles mhémiques d opimision présenés dns l liérure à des méhodes beucoup plus simples e opérionnelles : simple ccord verbl ou écri vec l hiérrchie, bleu d ffichge des horires, fichiers Excel, ec. 41

49 Chpire II : Orgnision des décisions de gesion des ressources humines 42

50 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure Chpire III DIMENSIONNEMENT SOUS CONTRAINTE DE COUVERTURE Ce chpire développe les principes du prdigme de chîne d civiés. C es un prdigme que nous uilisons pour représener, modéliser e résoudre le problème de shif scheduling. Afin d en illusrer les principes, nous ppliquons nore prdigme à l modélision d un problème de dimensionnemen d un cenre d ppels. Après une présenion du problème, nous proposons une revue bibliogrphique des modélisions du shif scheduling. Nous présenons, pr l suie, les conours du prdigme de chîne d civiés e le modèle qui en découle. Nous générlisons églemen ce modèle ux cenres d ppels rin plusieurs ypes de flux en plus des ppels. Nous erminons enfin pr une nlyse de l srucure e de l difficulé de nore problèmes e nous évluons une borne d une soluion pprochée. 43

51 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure III.1 Posiion du problème Nous nous inéressons, dns ce chpire, u problème de dimensionnemen d un cenre d ppels. Comme illusré dns l Figure III-1, le dimensionnemen es l première décision à prendre en mière de gesion des ressources humines. Les décisions de plnificion (posiionnemen des congé e jours de repos e ffecion des emplois du emps) son prises ulérieuremen. Dimensionnemen Décisions Déerminer le nombre de conseillers à recruer Crières d opimision Qulié de service grnie Plnificion (Clendrier+ emplois du emps) Décisions Déerminer les jours de repos, les congés e les emplois du emps pour chque conseiller Crières d opimision Qulié de service mximisée Conseillers sisfis Figure III-1 : Processus de décision englobn le problème de dimensionnemen L objecif du dimensionnemen es de déerminer le nombre de conseillers à recruer en foncion de l qulié de service que l enreprise souhie grnir. Pour ce fire, plusieurs specs son à considérer : - Les prévisions d ppels, - les conrines de emps de rvil, - les imprévus els que l bsenéisme, - l qulié de service à grnir, ec. Chque enreprise possède son propre mode de foncionnemen pour prendre en compe ces différens specs. Dns ce qui sui, nous considérons que l déerminion du nombre de recruemens se fi selon le processus décri dns l Figure III-2. C es le processus clssiquemen uilisé dns le seceur des cenres d ppels. 44

52 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure Conrine de qulié de service Conrines de emps de rvil Congés, formion, bsenéisme, ec. Prévision d ppels pour une Conrine de couverure : Besoin en Déermin ion du nombre Déermin ion du nombre Problème d opimision rié dns le présen chpire Figure III-2 : Processus sous-jcen à l consrucion de l décision de recruemen Ce processus se décompose en plusieurs épes : ) Prévision d ppels sur une journée ype L première épe consise à consruire les prévisions d ppels. Le dimensionnemen se fisn générlemen sur un horizon emporel ssez long, il n es ps possible de disposer de prévisions rès précises. Aussi, on prend hbiuellemen comme référence une journée ype de l hisorique. Ceci perme d esimer le nombre d ppels pr période sur une journée représenive du foncionnemen hbiuel d un cenre d ppels. b) Déerminion des conrines de couverure Une fois les prévisions d ppels éblies, le bu de cee épe es d évluer pour chque période, le nombre de conseillers nécessires pour grnir l objecif de qulié de service que s es fixée l enreprise. L usge hbiuel consise à imposer une conrine de qulié de service idenique pour chque période de l journée. Cee conrine es pr l suie converie en nombre de conseillers nécessires. Ceci se fi générlemen en yn recours à des modèles de files d ene (Bker 1976). L Figure III-3 illusre grphiquemen ce ype de méhodes pour deux crières de qulié de service : l proporion d ppels répondus e le emps moyen d ene. 45

53 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure Densié de probbilié de répondre à un ppel Crière de qulié de service : Conrine sur l proporion d ppels répondus Crière de qulié de service : Temps moyen d ene cible Temps moyen d ene Nombre de conseillers nécessires Nombre de conseillers nécessires Nombre de conseillers Nombre de conseillers Figure III-3 : Conversion d une conrine de qulié de service en nombre de conseillers nécessires c) Déerminion du nombre de conseillers présens Il s gi de l problémique qui es u cœur du présen chpire. Cee épe consise à déerminer le nombre de conseillers nécessires sur l journée ype idenifiée de mnière à minimiser le coû slril ou en respecn les conrines de qulié de service. Il es églemen nécessire de s ssurer que l soluion es pplicble. Pour cel, un cerin nombre de conrines de emps de rvil doiven églemen êre respecées : emps de rvil mximum, heure d rrivée u plus rd, ec. d) Déerminion du nombre de conseillers à recruer Une fois que le nombre de conseillers présens es évlué pour une journée ype, il rese à déerminer le nombre réel de conseillers qui devron recrués. Générlemen des règles empiriques son uilisées pr les enreprises. Une pproche clssique consise à ppliquer des coefficiens correcifs fin de prendre en compe les élémens qui n on ps éé inégrés dns le problème de l épe précédene : congés, bsenéisme, vriions sisonnières du volume d ppels, ec. Nous ne nous rderons ps sur les subiliés ou l perinence de ces pproches cr elles vrien considérblemen en foncion de l environnemen, des conrines e des priques de l enreprise (Clevelnd e Myben 1997; ICMI 2000). Dns ce qui sui, nous nous inéresserons u problème de déerminion du nombre de conseiller présens sur une journée ype de mnière à minimiser le coû slril (3 e épe du processus décri dns l Figure III-3). C es un problème lrgemen bordé dns l liérure e connu sous le nom de problème de consrucion de vcion ou shif scheduling. Nous commencerons pr présener un é de l r des modèles uilisés pour formuler e résoudre ce problème. Nous présenerons pr l suie le prdigme de chîne d civié qui nous perme de formuler e de résoudre le problème de shif scheduling sous une forme rès générique. 46

54 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure III.2 E de l r des modélisions du problème de consrucion de vcions (shif scheduling problem) III.2.1 Définiion du problème de consrucion de vcions Le problème de consrucion de vcions es un problème de plnificion de personnel. Il es connu dns l liérure scienifique inernionle sous le nom de shif scheduling problem (Grey e Johnson 1979). Il s'gi, pour une journée donnée, de déerminer une ffecion des employés à un ensemble de vcions uorisées fin, d'une pr de couvrir une courbe de chrge rduisn une demnde e d'ure pr, de minimiser le coû de rvil. III Quelques définiions : Vcion (shif) : c'es en quelque sore l "brique" élémenire de plnificion à lquelle son ffecés les employés. C'es un ensemble de périodes de plnificion consécuives. Chque vcion es crcérisée pr un emps de débu, un emps de fin e évenuellemen une ou plusieurs puses pour lesquelles son églemen définis des emps de débu e de fin (voir Figure III-4). Débu e fin de puse Débu de l vcion Fin de l vcion 8h 10h 12h 14h 16h 18h 20h Périodes d'civié Figure III-4: Illusrion de l définiion d une vcion Période de plnificion : L journée es divisée en périodes de plnificion. C'es l'inervlle de emps élémenire sur lequel on défini une chrge à sisfire. Les durées de rvil ou de 47

55 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure puses son définies pr un nombre enier de période de plnificion. Dns l prique, cee période vrie enre 15 e 60 minues pour les cenre d ppels (voire à des ps beucoup plus fins de l ordre de 5 mn dns des méiers els que le rnspor érien). Dns l mjorié des éudes, les périodes son de durées ideniques. L plupr des pproches peuven êre générlisées à des périodes de durées différenes u prix d une complexificion de l présenion. Noons que définir des périodes de plnificion condui à discréiser le emps. Courbe de chrge ou conrine de couverure : Elle correspond u besoin en nombre d'employés nécessires pr période de plnificion. En générl, elle es obenue à prir d'esimions prévisionnelles de l demnde. Pr exemple, dns le cs d'un cenre d'ppels, il s'gi de prévision d'ppels pr période. En foncion du niveu de qulié de service que l'on désire obenir (pr exemple le emps moyen d'ene ou l proporion d'ppels répondus sns ene) on peu évluer le nombre nécessire de conseillers pr période. Comme nous l vons déjà évoqué, ceci se fi générlemen sur l bse de modèles de files d'ene. Pour plus de déil sur l mnière d éblir une courbe de chrge à l ide de modèles de files d ene voir (Bker 1976; Koole e Mndelbum 2002). III.2.2 Les premiers modèles III Progrmme linéire en nombres eniers (Dnzig 1954) Dnzig proposé (Dnzig 1954) une formulion en problème de couverure (se covering problem). Son modèle éé ppliqué à une problémique proposée pr (Edie 1954) où il s'gissi de déerminer le nombre miniml d'employés pour ssurer le foncionnemen d'un pose à péges. L formulion mhémique du problème es l suivne : Min j= 1 n j= 1 j sous les conrines n j c x j x D i = 1 à m x N ij j i i es l indice de l période de plnificion considérée (lln de 1 à m) j es l indice de l vcion considérée (lln de 1 à n) x j correspond u nombre d'employés ffecés à l vcion j (vrible de décision à opimiser) D j correspond u nombre d'employés nécessires pour l période i (conrine de couverure) c j correspond u coû de rvil d'un employé ffecé à l vcion j 1 si l période i correspond à une période de rvil pour l vcion j ij = 0 sinon 48

56 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure Le modèle consise à déerminer le nombre d employés x j de chque vcion j de mnière à minimiser le coû globl généré ou en couvrn l chrge de chque période i. Limies du modèle Le modèle de Dnzig perme de prendre en compe ou ype de vcion vec un nombre quelconque de puses. Touefois, ssocier une vrible de décision à chque vcion peu ugmener l ille du modèle de mnière considérble. Ceci es ccenué lorsque les vcions son définies vec une cerine flexibilié sur les horires de rvil des conseillers. En effe, en règle générle e pour voir une plus grnde mrge de mnœuvre, on préfère spécifier des fenêres de emps pour le débu e l fin de rvil pluô que des heures fixes. Ceci es églemen le cs pour les débus e fins de puse. Pour enir compe de cee flexibilié dns le modèle de Dnzig, il es nécessire d'explicier chque vcion possible pr une vrible de décision. Pr exemple, si on k 1 périodes possibles pour le débu d'civié, k 2 pour l fin, k 3 pour le débu de puse, on devr explicier k 1*k 2*k 3 vcions différenes dns le modèle, on voi donc que l ille du modèle ugmene rès vie vec l flexibilié. Pour pllier ce problème, des modèles dis implicies on éé proposés, ils son présenés dns l prie III.2.3. III Problème de flo (Segl 1974) Segl s'es inspiré du modèle de Dnzig pour proposer une méhode originle de résoluion du problème de consrucion de vcions. Son pproche consise à uiliser un modèle de flo pour résoudre le problème sns enir compe des puses. A prir de cee première soluion, il fi inervenir une procédure heurisique pour réinégrer les puses. Les vcions son oues définies de mnière explicie dns ce modèle. Le modèle de flo es illusré dns l Figure III-5. Les nœuds représenen les insns de débu e de fin des périodes de plnificion. Nous vons deux ypes d'rcs, les forwrd rcs de i à i+1 qui représenen les périodes de plnificion lln de l'insn i à i+1 e les bckwrd rcs enre m e l (l<m) qui représenen les vcions. En effe, en l'bsence de puse, chque vcion es définie uniquemen pr son débu l e s fin m. L chrge à couvrir durn l période i à i+1 es l cpcié minimle de l'rc (i,i+1). E le coû uniire d'ffecion d'un employé à l vcion commençn en l e finissn en m es C ml, le coû de l'rc (m,l). L soluion du problème sns puses revien à rouver le flo de coû miniml. Le nombre d'employés ffecés à l vcion commençn en l e finissn en m ser le flo pssn pr l'rc (m,l). De plus, én données les propriéés d'un problème de flo, si l chrge à couvrir es enière lors il exise un flo opiml de vleurs enières (en nombre de conseillers). 49

57 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure l i-1 i i+1 m 8 8h 9h 10h 11h 12h 13h 14h Figure III-5: Modèle de flo de Segl Limies du modèle L'pproche de Segl es rès inéressne dns l mesure où il me en évidence que le problème de consrucion de vcions sns puse e sns flexibilié se rmène à un problème de flo qui peu insi êre résolu en un emps polynomil. Touefois, l'pproche qu'il propose pour réinégrer les puses es bsée sur une méhode heurisique. Cee pproche, ne perme donc ps, dns le cs générl, d'eindre l'opimum. III.2.3 Les modèles implicies III Le concep de modélision implicie Comme nous l'vons menionné plus hu, le modèle de Dnzig présene l'inconvénien d'ugmener en ille à mesure que l flexibilié sur les vcions ugmene (fenêre de emps, durée mximle e minimle). Pour pllier ce problème, des modèles dis implicies on éé proposés dns l liérure. L'idée consise à ne plus explicier ces flexibiliés dns les vcions en ssocin une vrible de décision à chque vcion possible mis pluô à uiliser d'ures vribles de décision don le nombre ne dépend ps de l flexibilié. Dns ce qui sui, nous présenerons les conribuions les plus significives en erme de modélision implicie. III Débu, fin e durée de vcions implicies (Moondr 1976) Moondr s'es inéressé u problème de consrucion de vcion des employés d'une bnque. Il considère deux cégories d'employés, des employés emps plein qui prennen 50

58 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure une puse u cours de l journée e des employés mi-emps qui n'on ps de puse mis rvillen moins longemps. Le modèle qu'il propose es un progrmme linéire en nombres eniers à l'insr de Dnzig, mis il s'en disingue pr des vribles de décision qui ne son ps ssociées ux vcions. Il inrodui, à l plce, des vribles de décision qui corresponden u nombre d'employés qui commencen e erminen leur vcion à chque période de plnificion. Ainsi, le nombre de vribles ne dépend plus de l flexibilié pporée ux vcions. L'inérê dns l conribuion de Moondr, en ermes d'pproche implicie, réside dns s modélision de l flexibilié de l'orgnision du emps de rvil des employés à mi-emps. En effe, dns le problème qu'il considère, ces derniers peuven rviller enre 4 e 7 heures e on l possibilié de débuer à n'impore quelle heure de l journée. Si l'on considère un horizon de plnificion de 9 périodes d'une heure, ceci correspond à 6 possibiliés pour l période de débu e 4 pour l durée de rvil. En uilisn l'pproche de Dnzig, il seri nécessire de disinguer 18 vcions c'es à dire un de vribles de décision. Dns le modèle de Moondr, il suffi de 13 vribles de décision uxquelles il fu jouer 9 conrines pour représener les mêmes possibiliés. L'pproche implicie de Moondr ne prend ps en compe le cs où l'on une flexibilié sur le posiionnemen de l puse. Il fudr endre une quinzine d'nnées plus rd pour que Bechold & Jcobs pporen une réponse à cee quesion. III Une seule puse implicie (Bechold e Jcobs 1990) Dns leur modèle, Bechold & Jcobs disinguen deux ypes de vribles de décision : des vribles pour représener les vcions sns puse e des vribles pour modéliser les puses. Les vcions sns puses son modélisées de mnière explicie, les puses pr conre son définies impliciemen. Elles représenen le nombre d'employés qui commencen leur puse à chque période de plnificion indépendmmen de l vcion à lquelle ils son ffecés. Des conrines dies bckwrd e forwrd son uilisées pour mere en cohérence ces puses vec les vcions uxquelles elles son ssociées. (Bechold e Jcobs 1996) on démonré l'équivlence enre leur modèle implicie e l formulion de Dnzig si on suppose qu'il n'exise ps de chevuchemen exrordinire. Le chevuchemen exrordinire (exrordinry overlp) es défini comme l'exisence d'u moins une fenêre de puse olemen incluse dns une ure (voir Figure III-6). Cee hypohèse es nécessire cr si elle n'es ps vérifiée lors le modèle de Bechold e Jcobs ffecer en premier les puses ux vcions yn l plus peie fenêre de puse vn de les ffecer ux ures vcions. 51

59 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure Fenêre de puse 1 Vcion 1 Vcion 2 8h 10h 12h 14h 16h 18h 20h Fenêre de puse 2 8h 10h 12h 14h 16h 18h 20h Figure III-6: Illusrion du chevuchemen exrordinire Bechold e Jcobs on monré expérimenlemen que le fi de modéliser les puses de mnière implicie permei de résoudre le problème plus rpidemen qu'vec l formulion de Dnzig. Touefois, le modèle présene encore quelques limies : conriremen u modèle de Moondr, les vcions son définies de mnière explicie. De plus, le modèle ne perme qu'une seule puse pr vcion e les fenêres de puse n'dmeen ps de chevuchemen exrordinire. Le premier poin ser résolu dns (Thompson 1995) e les deux derniers dns (Aykin 1996). III Modèle doublemen implicie (Thompson 1995) Le modèle de Moondr perme de modéliser de mnière implicie l flexibilié sur le débu, l fin e l durée des vcions. Le modèle de Bechold & Jcobs considère qun à lui de mnière implicie le posiionnemen d'une seule puse. (Thompson 1995) inégré ces deux pproches pour développer un modèle doublemen implicie. Il inrodui l noion de ype de vcion que nous ppelons dns ce documen profil. Un ype de vcion ou profil consise en un ensemble de vcions yn le même coû, l même durée de puse e les mêmes conrines de emps de rvil. A chque profil e à chque période de plnificion, il ssocie rois vribles de décision : le nombre d'employés qui commencen leur journée de rvil, le nombre d'employés qui l erminen e le nombre d'employés qui prennen leur puse. Les posiionnemens possibles de l puse son déerminés en foncion de fenêre de emps mis ussi en foncion des durées (minimles e mximles) permises pour l période d'civié qui l précède e celle qui lui succède. Thompson ese expérimenlemen s formulion e l compre vec celle de Bechold e Jcobs sur 588 problèmes. En moyenne s formulion se révèle plus rpide à résoudre e perme d'border des problèmes de plus grnde ille. 52

60 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure III Plusieurs puses implicies (Aykin 1996) (Aykin 1996) prend en compe dns son modèle l possibilié d'voir plusieurs puses. Il conserve l modélision explicie de Dnzig des vcions mis représene les puses de mnière implicie. En plus de prendre en compe plusieurs puses, il se disingue de Bechold e Jcobs en uilisn des vribles de puses différenes pour chque vcion. Ceci fi que le problème de chevuchemen exrordinire ne se pose plus. De plus, Aykin propose églemen une générlision de son modèle u cs de rvil cyclique sur 24 heures. Le modèle d'aykin possède plus de vribles de décision mis moins de conrines que celui de Bechols e Jcobs. Dns (Aykin 2000) son présenés les résuls de ess comprifs enre les deux modèles sur 220 problèmes. En règle générle, le modèle d'aykin perme de résoudre des problèmes de plus grnde ille e plus rpidemen. III.2.4 Synhèse des modèles Le bleu suivn synhéise les différences e les ppors de chque modèle : Vcions hors puse Puses Modèle explicies implicies explicies Une puse implicie Plusieurs puses implicies Remrques Dnzig, 1954 Segl, 1974 Moondr,1976 Bechold, 1990 Thompson, 1995 Aykin, Problème de se covering - Explosion de l ille du problème vec l flexibilié des vcions - Problème de flo - Puses riées séprémen pr une procédure heurisique Vribles de puse communes pour oues les vcions Modèle doublemen implicie : Combinison des modèles de Moondr e Bechold & Jcobs Vribles de puse disinces pour chque vcion Tbleu III-1 : Synhèse des principux modèles de PLNE implicies e explicies pour l résoluion du problème de consrucion de vcions 53

61 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure III.3 Modélision vi le prdigme de chîne d civié Comme nous l vons vu dns l prie précédene, l pproche de Dnzig nécessie d énumérer oues les vcions possibles dns le modèle. Ce spec qui es considéré comme s principle limie présene nénmoins l vnge d êre générique. En effe, l représenion explicie des vcions perme, pr consrucion, de rduire ou ype de conrine de emps de rvil. Les modèles implicies qui on éé développés pr l suie ne permeen ps, en revnche, l même généricié. Les conribuions que nous vons présenées en III.2 inroduisen des limiions sur le modèle (ne seri-ce que pour des risons «pédgogiques» de clré). Ainsi, on peu voir, pr exemple, des resricions sur le nombre de puses considérées, sur leur durée ou encore le nombre de ypes de conrs pris en compe. Ceci signifie que ou problème de consrucion de vcions qui n enre ps excemen dns le cdre défini dns le modèle proposé nécessie une formulion spécifique (même s il s gi d une modificion mineure du modèle iniil). Le modèle que nous proposons ene de conserver un que possible le crcère générique du modèle de Dnzig dns l rducion des conrines de emps de rvil ou en grdn les vnges d une formulion implicie (l ille du modèle qui ne dépend ps du degré de flexibilié sur les vcions). Il repose sur un prdigme que nous ppellerons le prdigme de chîne d civié. Le prdigme de chîne d civié es une représenion non mhémique qui perme de rduire les conrines de emps de rvil de mnière générique. Nous monrons qu il es possible de consruire à prir de ce prdigme un modèle implicie pour l résoluion du problème de consrucion de vcion. De plus, nous monrons dns III.5 que le prdigme de chîne d civié perme d ller u-delà des modélisions clssiques du problème de shif scheduling en prenn en compe l muli-compéence des conseillers e les flux dis sockbles (Chuve, Ni-Abdllh e l. 2007). III.3.1 Le prdigme de chîne d civié Le prdigme de chîne d civié es illusré dns l Figure III-7. Il s gi de représener les vcions pr une succession d civiés. Les conseillers, peuven, en effe, enchîner plusieurs civiés u cours d une journée de rvil. L ordre selon lequel les civiés s enchînen es donné. Dns l Figure III-7, l séquence de rvil du conseiller sui l enchînemen suivn : - prise d ppels 54

62 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure - puse déjeuner - riemen de courrier - prise d ppels - fin de l journée de rvil Acivié 1 Acivié 2 Acivié 3 Acivié 4 Acivié 5 Prise d ppels Puse déjeuner Triemen de courrier Prise d ppels 8h 10h 12h 14h 16h 18h 20h Figure III-7: Illusrion du prdigme de chîne d civié Les conrines ssociées ux vcions insi qu'ux civiés qui l composen (puses incluses) son de deux ypes (voir Figure III-8) : - Des conrines de fenêres de emps définissn les des u plus ô e u plus rd de débu ou de fin des vcions e des civiés. Pr exemple, un conseiller commence à rviller enre 8h e 10h, pr en puse déjeuner enre 11h30 e 13h30 e commence à émere des ppels sorn enre 15h e 17h. - Des conrines de durée mximle e minimle permen de limier l durée d une civié ou d une suie d civiés. Pr exemple, un conseiller ne peu ps répondre à des ppels durn plus de 5 heures consécuives, l durée de s puse déjeuner ser comprise enre 45 minues u minimum e 2 heures u mximum e s journée de rvil ne dépsser ps 10 heures. 55

63 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure Acivié 1 Acivié 2 Acivié 3 Acivié 4 Fenêre de emps 2 2 T 1 T 2 T T 3 T 4 T min mx Temps L 1,3 Durées minimles e mximles l 1,4 Figure III-8: Conrines de emps de rvil ssociées u prdigme de chîne d civié L1,3 : déli mximl enre le débu de l civié 1 e le débu de l civié 3 l1,4 : déli miniml enre le débu de l civié 1 e le débu de l civié 4 2 T e T de u plus ô e u plus rd pour le débu de l civié 2 min 2 mx On défini églemen l noion de profil qui regroupe les conseillers yn les mêmes conrines de emps de rvil e le même coû slril. Un profil es un ensemble de vcions consiuées d'une même succession d'civiés uxquelles es ssocié un ensemble de conrines de fenêres de emps e de durée. On pourr cier pr exemple le cs d'un cenre d'ppels qui uri deux profils. Un profil mi-emps correspondn à une durée mximle de présence de 4 heures sns puse. E un profil emps-plein correspondn à une durée de présence comprise enre 6 heures u minimum e 9 heures u mximum vec une puse déjeuner d'une heure e deux puses de repos d'une demi-heure (voir Figure III-9). 56

64 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure Vcions mi-emps Vcions emps plein 8h 10h 12h 14h 16h 18h 20h Figure III-9: Deux ypes de profils de vcions III.3.2 Modélision mhémique Le modèle que nous proposons éé inrodui dns le cs d une seule puse dns (Chuve, Chuvier e l. 2003) insi que dns (Roembourg 2003), le prdigme de chîne d civié e l inégrion de plusieurs puses on éé présenés dns (Chuve, Chuvier e l. 2003; Chuve 2005). Enfin l générlision décrie dns l prie III.5 éé présenée dns (Chuve, Ni-Abdllh e l. 2007). III Définiions e noions Les définiions e noions ssociées u prdigme de chine d civiés son illusrées dns l Figure III-10. ) Un horizon de plnificion non cyclique Nous supposons que l plnificion s'effecue sur un cerin horizon. Sns pere de générlié, nous prendrons dns l suie un horizon d une journée. L journée commence à l de T 0 e se ermine à l de T end. Ainsi, l première période de plnificion commence à T 0 e l dernière commence à T end-1. Dns ce qui sui nous désignons pr période, l période qui commence à l de. Le problème que nous bordons es non cyclique c es à dire que l période d civié es inférieure à 24h pr jour. b) Des conseillers qui effecuen une succession d civiés 57

65 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure Soi I l ensemble des profils. Pour chque profil i I, on défini A(i), l ensemble des civiés que peuven effecuer les conseillers du profil i. Les élémens de ce ensemble son ordonnés selon l enchînemen des civiés. Ainsi, si une civié A(i) lors +1 es l civié qui lui succède u sein du profil i. Pour simplifier les formulions mhémiques ulérieures, nous inroduisons l noion d civié ficive end. Elle correspond à l fin de l journée de rvil des conseillers du profil. Elle succède à l dernière civié «réelle» effecuée pr les conseillers. Pour l insn nous considérons le cs où l on un seul ype de flux à rier : les ppels. Une civié ser donc : - soi une puse - soi une civié de riemen d ppels - soi l civié ficive end correspondn à l fin de l journée de rvil Soi Appels ( i ) l ensemble des civiés de riemen d ppels du profil i. Ainsi dns le cs où le seul flux à rier es celui des ppels, l ensemble des puses du profil i es : A = A ( i ) A ( i ) { } puse ppels end +1 ' end -1 end l,' L,' Appels Puse Appels Puse Appels Puse Appels T 0 T end Figure III-10: Le prdigme de chînes d civiés : définiions e noions 58

66 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure c) Les conrines de emps de rvil Les conrins de emps de rvil son définies comme sui l, ( i) e L, ( i) corresponden ux durées minimle e mximle séprn les débus des civiés e ' pour le profil i. Tmin ( i), Tmx ( i) correspond à l fenêre de emps (des u plus ô e u plus rd) durn lquelle l'civié doi commencer pour les conseillers du profil i. III.3.3 Exemple d pplicion e limies du prdigme III Illusrion du prdigme Afin d illusrer l uilision du prdigme de chîne d civiés, éudions son pplicion à l exemple d un cenre d ppels vec un seul ype de profil yn les conrines de emps de rvil suivnes : - Les vcions duren excemen 8 heures - Les conseillers prennen une seule puse qui peu commencer enre 11h e 13h - L puse dure enre 1h e 2h Nous considérons de plus que l période de plnificion es égle à 1h (i.e. les civiés son plnifiées pr ps de 1h) L rnscripion de ces conrines dns le formlisme du prdigme de chîne d civiés es illusrée dns l Figure III-11 : - L journée de rvil es décomposée en rois civiés - Une première civié d ppels comprise enre l épe 1 e 2 - Une puse comprise enre l épe 2 e 3 - Une seconde civié d ppels comprise enre l épe 3 e 4 - L conrine de durée des vcions es formulée pr une durée mximle e minimle enre les épes 1 e 4 égles à 8h - L fenêre de emps (11h à 13h) pour le débu de l puse es ssociée à l épe 2 59

67 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure - Les conrines sur l durée de l puse son ssociées à l durée enre l épe 2 e 3 : durée mximle de 2h e minimle de 1h Appels(1) Puse Appels(2) Epe1 Epe2 Epe3 Epe4 [11h,13h] T min =1h, T mx =2h T min = T mx =8h Figure III-11: Exemple d pplicion du prdigme de chîne d civiés III Limies du prdigme de chîne d civiés Nous vons vu précédemmen que les conrines de emps de rvil devien êre exprimées sur les épes. Ainsi, il es possible d imposer des conrines sur l durée d une civié ou l somme de plusieurs civiés successives. En revnche, le prdigme de chîne d civiés n offre ps de possibilié de formuler direcemen e de mnière implicie des conrines sur l somme des durées de plusieurs civiés non successives. Pour y rriver, il es nécessire de modéliser cerines prie du problème de mnière explicie. Pour illusrer cee limie, revenons à l exemple précéden. Considérons à présen qu il n y plus de conrine sur l durée de l vcion. Nous l remplçons pr une durée des civiés d ppels (Appels(1) + Appels(2) ) égle à 7 heures. Dns ce cs, l durée de l puse ne peu plus êre implicie. Pour prendre en compe cee conrine, il es désormis nécessire de créer 2 profils, chcun yn une durée de puse fixe : - Un premier profil vec une puse d 1 heure excemen; l conrine de durée (8h) des civiés d ppels revien à fixer l durée enre l épe 1 e 4 à 8 heures 60

68 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure - Un second profil vec une puse de 2 heures excemen; l conrine de durée (8h) des civiés d ppels revien à fixer l durée enre l épe 1 e 4 à 9 heures III.3.4 Les vribles de décision Noons l vrible de décision X ( i ) qui correspond u nombre de conseillers ffecés u profil i qui on commencé l'civié durn l période ou vn. X + 1 ( i) correspond u nombre de conseillers qui on erminé cee civié vn l de. X ( i ) es une vrible de cumul croissne en foncion du emps. Ces vribles de cumul permeen à elles seules de déduire les ures informions liées à l plnificion des conseillers Nombre de conseillers ffecés à un profil Soi N(i) le nombre de conseillers qui seron ffecés u profil i. En donné que les conseillers effecuen oues les civiés ssociées à un profil, on ur pr définiion l églié suivne : N( i) = X ( i) A( i), i I Tend Nombre de conseillers ffecés à une civié Soi N ( i ) le nombre de conseillers d'un profil i dns l'civié durn l période. Il correspond à l différence enre le nombre de conseillers qui on commencé e ceux qui on erminé cee civié vn l période. Soi: X i X i N ( i) = + 1 ( ) ( ) si end end X ( i) sinon Nombre de conseillers présens pr période N ( i ) correspond u nombre de conseillers du profil i présens durn l période. N correspond u nombre ol de conseillers présens durn cee période. N ( i ) = N ( i ) A ( i ) N = N ( i ) i I Nombre de conseillers en prise d ppels pr période 61

69 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure ppels N ( i ) correspond u nombre de conseillers du profil i en prise d'ppels durn l période. période. ppels N correspond u nombre ol de conseillers en prise d ppels durn cee ppels N ( i ) = N ( i ) Appels ( i ) ppels ppels N = N ( i ) i I III.3.5 Les conrines Dns ce qui sui nous présenerons l formulion des différenes conrines à prendre en compe. Elles son de deux ypes : - Les conrines de emps de rvil. En plus des conrines de fenêre de emps e de durée, nous inégrons églemen les conrines permen de grnir l cohérence des vribles de décision elles que l inégrié des vribles ou l succession des civiés. - Les conrines d déquion enre chrge e cpcié. Dns ce qui sui, elles corresponden ux conrines de couverure de l courbe de chrge à rier. III Conrines de emps de rvil ) Conrines d inégriés Les vribles de décision son des eniers posiifs ou nuls cr elles représenen un nombre de conseillers. X ( i) N i I, A( i), = T, T 0 end b) Conrines de succession des civiés Comme cié plus hu, l'ordre de succession des civiés es défini pr profil. Afin de grnir ce ordre dns le modèle mhémique il es nécessire d'inroduire, pour chque profil i, les conrines suivnes : { } X i X i i I A i T T + 1 ( ) ( ), ( ) end, = 0, end Ces conrines découlen du fi que si, à un momen donné, un conseiller es dns l'civié +1 lors il es nécessiremen pssé pr l'civié. Ainsi, à chque insn le nombre de conseillers dns l'civié ou l'yn déjà effecuée ( X ( i ) ) es forcémen supérieur u nombre de conseillers dns l'civié +1 ou l'yn déjà effecuée ( X 1 ( i) ). + 62

70 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure c) Conrines imposn des vribles de cumul croissnes Les vribles de décision X ( i ) représenen le nombre de conseillers du profil i yn commencé l'civié vn l de. C'es une vrible de cumul du nombre de conseiller qui es pr définiion croissne. Ceci se rdui pr les conrines suivnes : X + 1( i) X ( i) i I, A( i), = T0, Tend 1 d) Conrine de emps de rvil mximl e miniml l, ( i) e L, ( i) én les durées minimle e mximle séprn les débus des civiés e ' pour le profil i. Ces conrines de emps de rvil seron exprimées comme sui : X ( i) X ( i) l ( i) T X ( i) X ( i) L ( i) T l, ( i), end L, ( i), end Dns le cs où il s'gi de conrindre l durée d'une civié priculière, il suffi de remplcer dns les inéquions précédenes ' pr +1. Pour illusrer le principe sous-jcen derrière ces conrines, prenons l exemple simplifié décri dns l Figure III-12 d un cenre d ppels vec un profil e une seule civié (en plus de l civié ficive de fin de journée de rvil end). L durée minimle de l civié es l (dns l exemple l=2). A chque insn le nombre de conseillers qui finissen l civié (donc qui commencen l civié end) es nécessiremen inférieur ou égl u nombre de conseillers qui l on commencée l périodes vn. De l même mnière, si l durée mximle es L (dns l exemple L=6) lors le nombre de conseillers qui finissen l civié es supérieur ou égl u nombre de conseillers qui l on commencée L end périodes vn. De ce fi, l courbe représenn X ne peu êre qu enre les courbes e X L X l 63

71 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure Nombre de conseillers X X end l L=6 end X end X L l=2 0 h Temps Figure III-12: Illusrion des conrines de durée de rvil mximle e minimle e) Conrines de fenêre de emps de rvil Tmin ( i), Tmx ( i) correspond à l fenêre de emps durn lquelle l'civié doi commencer pour les conseillers du profil i. Cee conrine s'exprime de l mnière suivne : X ( i) = 0 vec Tmin ( i) 0 Tmin ( i) 1 end X ( i) = X ( i) = N( i) Tmx ( i) Tend L première conrine impose qu ucun conseiller du profil i n i commencé l civié vn T ( ) min i. L seconde conrine impose que ous les conseillers du profil i on commencé l civié vn T ( ) mx i. f) Quelques remrques concernn les conrines de emps de rvil Aciviés fculives e civiés obligoires Le fi d imposer un ordre sur les civiés d un profil ne signifie ps nécessiremen que chque conseiller doi effecuer oues les civiés. En effe, si un conseiller "sue" l'civié ceci se rdui pr le fi que X i = X i. Une civié qui n'es ps effecuée es une + 1 ( ) ( ) civié que le conseiller rélise mis pendn une durée nulle. De ce fi, oues les civiés 64

72 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure son «pr défu» fculives. Si l on souhie qu une civié donnée soi obligoire, nous devons lui ssocier une durée minimle égle à une période de plnificion. Chevuchemen des fenêres de emps Noons que les conrines de fenêres de emps peuven se chevucher. Conriremen à (Bechold e Jcobs 1990), il n y ps de resricions relives u chevuchemen exrordinire dns nore modèle. De ou durée fixe Si l on souhie qu une civié i une durée fixe (pr exemple, l puse déjeuner qui dure 1 heure excemen), il suffi que les durées mximum e minimum qui lui son ssociées soien égles. De l même fçon, pour donner à une civié une de de débu fixe, l fenêre de emps doi êre réduie à une seule de De fçon générle, si l on ssocie à chque civié une durée fixe e des des de débu fixes lors on obien un modèle vec des vcions explicies. Conrine de fenêre de emps pour l fin d une civié Les conrines de fenêre de emps on éé exprimées sur l de de débu d une civié. Noons que pour ssocier une elle conrine sur l de de fin d une civié, il suffi de l définir sur le débu de l civié qui lui succède. III Conrines de couverure Comme nous l vons indiqué plus hu, l courbe de chrge ou conrine de couverure correspond u nombre de conseillers minimum pr période nécessires pour couvrir l chrge d ppels. Noons ppels D le nombre de conseillers nécessires en prise d ppels durn l période. Les conrines de couverure peuven se rduire comme sui : N D T T ppels ppels =, 0 end III.3.6 Foncion objecif - Minimision du coû L objecif es de minimiser le coû de dimensionnemen. Deux composnes enren dns l consiuion de ce coû : 65

73 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure - le coû de recruemen que l on noer C i e qui correspond u coû d ffecion d un conseiller u profil i. - le coû horire que l on noer c i e qui correspond u coû de rvil pr période d un conseiller du profil i. Ainsi, l foncion de coû à minimiser s'exprime de l mnière suivne : T end Min Z = C N( i) + c N ( i) i i i I = T0 III.3.7 Récpiulif du modèle Le problème de consrucion de vcions rdui dns le prdigme de chîne d civiés peu donc êre formulé pr le progrmme linéire en nombre eniers suivn : 66

74 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure Objecif T MinZ = C + end i N i ci N ( i ) i I = T0 III-1 Conrines d'inégrié X ( i ) N i I, A ( i ), = T, T 0 end III-2 Conrines de emps mximum e minimum de rvil X ( i) X ( i) l ( i) T X ( i) X ( i) L ( i) T l, ( i), end L, ( i), end III-3 Conrines de fenêres de emps X ( i) = 0 vec Tmin ( i) 0 Tmin ( i) 1 end X ( i) = X ( i) = N( i) Tmx ( i) Tend III-4 Conrines de successions d'civiés X i X i i I A i T T + 1 ( ) ( ), ( ) { end }, = 0, end III-5 Vribles de cumul croissnes X + ( i) X ( i) i I, A( i), = T, T end III-6 Conrines de couverure N D T T ppels ppels =, 0 end III-7 vec ppels N = N ( i ) e i I, Appels ( i ) N III-8 = + 1 X ( i) X ( i) si f ( i) end X ( i) sinon 67

75 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure III.4 Anlyse des propriéés du modèle proposé III.4.1 Equivlence enre soluion implicie e soluion individuelle Dns un modèle explicie, comme celui de Dnzig, les vribles de décisions corresponden u nombre de conseillers ffecés ux différenes vcions. A chque vcion correspond une de de débu insi qu'une de de fin e évenuellemen des des de débu e de fin de puse. Dns ce cs, l soluion du modèle peu êre déclinée immédiemen en soluion individuelle. Ainsi, chque conseiller de clienèle ur l'emploi du emps qui correspond à celui de l vcion à lquelle il es ffecé. L fisbilié d une soluion d un modèle explicie es donc pr définiion immédie. Dns le cs d'un modèle implicie, pr définiion, les vribles de décision ne son ps ssociées ux vcions. De ce fi, le pssge de l soluion du modèle à l déerminion de l'emploi du emps de chque conseiller n'es ps rivil. Le fi qu'il exise une soluion rélisble du problème implicie ne signifie donc ps forcémen qu'elle es rélisble à l'échelle individuelle des conseillers. L fisbilié d une soluion d un modèle implicie ne grni donc ps priori s fisbilié pour le problème de consrucion de vcion. L'obje de cee prie, es de présener une règle simple permen de décliner l soluion du problème implicie en soluion individuelle e de démonrer que son uilision grni que oue soluion rélisble du problème implicie l'es églemen à l'échelle individuelle. L pplicion de cee règle nous perme insi de monrer que oue soluion de nore modèle es une soluion du problème de consrucion de vcion qu il rdui. ) Règle premier rrivé - premier pri Considérons l'exemple où l'on un seul profil vec une seule puse obligoire. L Figure III-13 représene une soluion du modèle implicie. fin de l journée de rvil. 2 X e 1 X e 4 X corresponden u débu e à l 3 X corresponden u débu e à l fin de l puse. L règle premier rrivé - premier pri perme de déerminer une soluion individuelle (c'es à dire explicie) à prir de l soluion implicie. Le principe de l règle es le suivn : le premier conseiller à commencer une civié doi êre le premier à l erminer. On démonre qu'en ppliqun cee règle, oue soluion qui vérifie les conrines de emps de rvil pour le modèle implicie les vérifie églemen u niveu individuel des conseillers. 68

76 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure Nombre de conseillers X 1 X 2 X 3 X 4 8 h 10 h 12 h 14 h 16 h 18 h 20 h Conseiller 1 Conseiller 2 Conseiller 3 Figure III-13: Illusrion de l règle premier rrivé - premier pri Théorème : L modélision implicie du problème de consrucion de vcion issue du prdigme de chîne d civié es équivlene à l modélision explicie de Dnzig. Toue soluion du modèle implicie peu êre déclinée en soluion individuelle à l ide de l règle premier rrivé premier pri. Démonsrion Inroduisons l vrible de décision suivne pour rduire les soluions explicies : X 1 si le conseiller k du profil i commencé l'civié durn l période ou vn ( i, k ) = 0 sinon 69

77 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure Cee vrible de décision correspond à celle que l on uri à prir de nore modèle de prdigme de chîne d civié où chque profil n uri qu un seul conseiller. Les deux vribles de décisions son liées pr l relion suivne : X end T end ( i ) X ( i ) = X ( i, k ) III-9 k = 1 Comme nous pouvons le remrquer de l formulion du modèle (voir récpiulif III.3.7), les conrines de emps de rvil (conrines III-3 à III-6) son de l forme suivne : X ( i ) X ( i ) Noons que l églié dns l conrine III-4 peu se rmener à une double inéglié de l forme ci-dessus. Pour prouver le héorème, nous devons démonrer que si une conrine de emps de rvil es respecée dns le modèle implicie, elle l es ussi dns le modèle explicie e vice vers soi: end X ( i ) X ( i ) X ( i, k ) X ( i, k ) k = 1, X ( i ) Tend ) Explicie implicie : (, ) end X i k X ( i, k ) k = 1, X ( i ) X ( i ) X ( i ) Tend end Si X ( i, k ) X ( i, k ) k = 1, X ( i ) lors en sommn on obien Tend X end ( ) end T ( ) i X T i end end k = 1 k = 1 X ( i, k ) X ( i, k ) De l églié III-9 on peu déduire que : X ( i ) X ( i ) L première implicion es donc démonrée b) Implicie explicie : ( ) ( ) (, ) end X i X i X i k X ( i, k ) k = 1, X ( i ) Tend Sns perdre en générlié, nous supposons que les conseillers son ordonnés en foncion de l période de débu de rvil. Ainsi, pour un profil donné, le conseiller k=1 es le premier 70

78 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure à rviller, k=2 es le second, ec. Si 1 es l première civié effecuée durn l journée pour un profil i on ur : 1 1 si X ( ) 1 i k X ( i, k ) = i I, = T 0, T 0 sinon end En donné qu u sein d un même profil ous les conseillers effecuen les mêmes civiés dns le même ordre, l pplicion de l règle premier rrivé premier pri conduir à voir le même ordre de pssge des conseillers sur oues les civiés. L relion ci-dessus peu donc êre générlisée à oues les civiés. Soi : Supposons que le premier erme de l implicion es vérifié. Soi X ( i ) X ( i ) nous devons vérifier que X ( i, k ) X ( i, k ) 1 si X ( i ) k X ( i, k ) = i I, A ( i ), = T 0, T end III-10 0 sinon Si l on considère un conseiller k du profil i, lors on ur deux cs de figure : 1 er cs : si k X ( i ) lors d près III-10 X ( i, k ) = 0 X ( i, k ) X ( i, k ) cr X ( i, k ) es posiif ou nul 2 nd cs : si < k X ( i ) X ( i ) lors d près III-10 X ( i, k ) = X ( i, k ) = 1 X ( i, k ) X ( i, k ) c.q.f.d III.4.2 Anlyse de l difficulé du problème Dns le cs générl, le problème de shif-scheduling es NP-difficile u sens for(grey e Johnson 1979; Brholdi 1981). Dns ce qui sui, nous monrons que nore modélision présene une srucure priculière : l ole unimodulrié. Cee propriéé nous permer de mere en évidence deux élémens : - Anlyser le lien enre conrines de couverure e l difficulé du problème de shifscheduling. - Idenifier des cs priculiers pour lesquels le problème de shif-scheduling peu êre résolu en un emps polynomil. 71

79 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure III L ole unimodulrié de l mrice des conrines de emps de rvil Nous reprenons l définiion d une mrice olemen unimodulire indiquée dns (Ghouil-Houri 1962). Définiion : On di qu une mrice es olemen unimodulire si le déerminn de oues les sousmrices crrées es à égl à 0, +1 ou 1 ; il fu en priculier que ous les ermes de cee mrice soien égux à 0, +1 ou 1. Cee propriéé es inéressne cr si un problème peu êre formulé en un progrmme linéire en nombres eniers don l mrice de conrine es olemen unimodulire lors l soluion opimle obenue es nécessiremen enière même si les conrines d inégrié son relxées. Le emps de résoluion d un PLNE don l mrice de conrine es olemen unimodulire es donc polynomil. Théorème : L mrice de conrine représenn les conrines de emps de rvil issues du prdigme de chîne d civiés es olemen unimodulire ) Démonsrion du héorème Avn de démonrer le héorème, inéressons-nous à l forme priculière des conrines de emps de rvil. Ces conrines (III-3 à III-6) son de l forme suivne : x y x x b Remrque : Les deux dernières formes de conrines son obenues en remplçn les vribles des égliés III-4 dns les ures conrines d inéglié. Cee propriéé peu êre illusrée grphiquemen (voir Figure III-14). Considérons le cs où l'on deux vribles de décision x e y e les conrines suivnes : y x y 2 x 4 72

80 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure Grphiquemen, les droies correspondn à ces conrines formen un ngle de 90, 0 ou 45 vec l'xe des bscisses. Dns ce cs, ous les sommes consiués pr les inersecions des conrines son sur des poins eniers. En donné que, pour un progrmme linéire, les soluions son sur les sommes, on comprend isémen qu'il n'es ps nécessire, dns ce cs, d'imposer des conrines d'inégrié. y x Figure III-14: Inersecion des conrines sur des poins eniers De mnière plus générle e plus rigoureuse qu une représenion grphique, bordons à présen l démonsrion du héorème. Pour ce fire nous llons recourir u héorème fondmenl de Ghouil-Houri (Ghouil-Houri 1964) Théorème fondmenl de Ghuouil-Houri Soi une mrice i M = m j (i I ;j J) don les ermes son égux à 0, +1 ou 1. Les deux proposiions suivnes son équivlenes : - M es olemen unimodulire - Tou ensemble non vide A I peu êre priionné en deux ensembles A 1 e A 2 el que : i m - m =0, +1 ou -1 j J i j i A1 i A2 j Le principe de nore démonsrion repose sur ce héorème fondmenl. Muliplions chque ligne de nore mrice de conrine pr un coefficien +1 ou 1. Nous démonrons 73

81 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure qu il exise, compe enu de l srucure priculière de nore mrice de conrines, une ffecion de ces coefficiens de elle sore que l somme sur les lignes donne 0, +1 ou 1. Cs des conrines de l forme x y Pour l insn, supposons que les conrines son oues de l forme x y. Nous éendrons l démonsrion ux conrines x e x b dns un second emps. Ces conrines se rduisen dns l forme mricielle suivne C es une mrice où chque ligne conien excemen deux élémens non nuls +1 e 1. Le fi que les lignes coniennen excemen deux vleurs non nulles nous perme de rduire cee mrice en un grphe équivlen que nous définissons de l mnière suivne : - Les sommes du grphe représenen les colonnes - Les rcs représenen les lignes - Deux sommes son reliés pr un rc si les colonnes qui leur corresponden coniennen +1 e 1 sur une même ligne - L rc es oriené du somme yn l vleur +1 u somme yn l vleur 1 Le principe de cee rducion en grphe équivlen es illusré dns l Figure III-15 b c d d c b Figure III-15: Trducion de l mrice de conrine en grphe équivlen 74

82 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure Nous pouvons fire deux remrques : i) Pr consrucion, les rcs sorns d un somme corresponden à un +1 dns l mrice de conrine e les sommes enrns corresponden à un 1. Ainsi, l somme des vleurs sur une colonne es égle à l différence pour le somme correspondn enre le nombre d rcs sorns e le nombre d rcs enrns. ii) Muliplier une ligne pr 1 condui à inverser le sens de l rc correspondn dns le grphe équivlen. A prir de ces deux remrques, nous pouvons déduire que les deux proposiions suivnes son équivlenes : - Il exise une orienion des rcs du grphe équivlen de elle sore que l différence enre le nombre d rcs sorns e le nombre d rcs enrns es égle à 0, +1 ou 1 - Il exise une ffecion de coefficiens muliplicifs +1 ou 1 de elle sore que l somme sur les lignes de l mrice de conrine donne 0, +1 ou 1. Nous bouissons donc à l propriéé suivne : Propriéé 1 : Une mrice de conrines de l forme x y es olemen unimodulire s il exise une orienion des rcs du grphe équivlen de elle sore que l différence enre le nombre d rcs sorns e enrns pour chque somme es égle à 0, +1 ou 1 Il suffi donc de consruire une orienion du grphe équivlen qui vérifie cee propriéé pour démonrer nore héorème. Pour ce fire, considérons les deux cs possibles pour un grphe : - grphe sns cycle - grphe vec cycle ) cs d un grphe sns cycle Un grphe sns cycle es consiué d un ou plusieurs rbres. Sns perdre en générlié, nous supposons que nore grphe équivlen es consiué d une seule composne connexe e donc d un seul rbre. En effe, pour que l propriéé 1 soi vérifiée sur un grphe consiué de plusieurs composnes connexes, il es nécessire e suffisn qu elle soi vérifiée sur chque composne connexe séprémen. Nous démonrons pr récursivié l propriéé 1. 75

83 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure Cs d un rbre vec un seul rc De mnière évidene, l propriéé 1 es vérifiée : le grphe es consiué de deux sommes don l un possède un rc sorn e l ure un rc enrn. L différence enre le nombre de sommes sorns e enrns es donc égle à +1 e 1. Propriéé vérifiée pour un rbre de n rcs Considérons l rbre A(n) de n rcs qui vérifié l propriéé 1. Il exise donc une orienion des rcs de elle sore que pour chque somme l différence enre le nombre de sommes sorns e enrns es égle à 0, +1 ou 1. Ajouons un rc supplémenire de mnière à obenir un nouvel rbre A(n+1) de n+1 rcs. Ce rc ne peu relier deux sommes de A(n) cr on uri lors un cycle. Ainsi deux cs son possibles : - ne relie ucun somme de A(n). Il n y ps de modificion sur le nombre d rcs qui relien chque somme. L propriéé 1 es donc oujours vérifiée pour l rbre A(n+1) - relie un seul somme de A(n) que nous désignons s. Avn l jou de, l différence enre le nombre de sommes sorns e enrns pour s pouvis voir 3 vleurs : o 0 : l propriéé 1 es oujours vérifiée près l jou de cr cee différence es à présen égle à +1 ou -1 o +1 : il suffi d oriener de elle sore que s en soi l origine pour l propriéé 1 soi oujours vérifiée (l différence es à présen égle à 0) o 1 : il suffi d oriener de elle sore que s en soi l desinion pour l propriéé 1 soi oujours vérifiée (l différence es à présen égle à 0) Ainsi, dns ous les cs, l propriéé 1 es oujours vérifiée près l jou d un rc. Nore héorème es donc démonré pour les mrices de conrines de l forme x y don le grphe équivlen es sns cycles. b) cs d un grphe vec cycle Pr définiion, il es possible d oriener les rcs d un cycle de mnière à obenir un circui. Chque somme d un circui possède un rc enrn e un rc sorn. L différence enre les deux es donc nulle. De ce fi, il es possible de supprimer du grphe équivlen les rcs qui 76

84 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure consiuen un cycle (en les orienn pour bouir à un circui) e ce sns modifier l différence enre nombre d rcs sorns e enrns pour ous les sommes. Ainsi, si on procède pr iérion en idenifin à chque épe un cycle e en supprimn les rcs qui le consiuen, on fini pr bouir à un grphe sns cycle qui ne modifie ps l différence enre nombre d rcs sorns e enrns pour chque somme. Comme nous vons démonré plus hu qu un grphe sns cycle vérifii l propriéé 1, nous pouvons donc conclure qu un grphe vec cycle l vérifie églemen. Ceci chève l démonsrion de nore héorème pour l mrice de conrines de l forme x y : elle es bien olemen unimodulire. Inroduisons à présen les ures conrines de l forme x e x>b. Cs des conrines sous l forme x e x b Nous vons démonré que l mrice des conrines de l forme x y éi olemen unimodulire. Si A désigne l ensemble des lignes de cee mrice lors d près le héorème fondmenl de Ghouil-Houri cié plus hu, il exise deux ensembles A1 e A2 A els que : S = m - m =0, +1 ou -1 j J i i j j j i A1 i A2 Les conrines de l forme x (respecivemen x b) corresponden, en écriure mricielle, à une ligne don ous les élémens son nuls suf un seul qui es égl à 1 (respecivemen 1). Noons B (respecivemen C) l ensemble des lignes de l mrice de conrines de l forme x (respecivemen x b). Noons b k B (respecivemen c k C) l ligne qui correspond à l conrine don le kième élémen es égl à 1 (respecivemen 1). Ajouons iérivemen chque ligne b k (respecivemen c k) à l somme S j en l muliplin u prélble pr 1 (respecivemen +1) si S j=+1 ou 0 e pr +1 (respecivemen -1) si S j=-1. A chque épe l somme es oujours égle à 0, +1 ou 1 jusqu à ce que l on i joué oues les lignes. Ainsi le héorème fondmenl de Ghouil-Houri es oujours vérifié. Ceci chève l démonsrion de nore héorème. III Inroducion des conrines de couverure Si, à présen, on considère les conrines de couverure, on voi que, dns le cs générl, l conrine III-7 fi que l mrice des conrines n'es ps olemen unimodulire. En effe, elle s'exprime de l mnière suivne : 77

85 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure i I, Appels X i X i D T T + 1 ppels ( ) ( ) = 0, end Dès lors que le nombre de profils e/ou d civiés es supérieur ou égl à 2, il es possible de consruire des conre-exemples pour lesquels l mrice n es plus olemen unimodulire. Ce son donc ces conrines qui renden le problème NP-difficile. Dns cerins cs priculiers, les conrines de couverures ne modifien ps l srucure olemen unimodulire de l mrice de conrine. Ces cs corresponden ux problèmes de shifscheduling qui peuven êre résolu en emps polynomil. III Cs priculier polynomil Nous proposons dns ce qui sui d effecuer une nlyse sur nore modèle implicie fin d idenifier les condiions permen d voir un problème polynomil. Comme nous l vons indiqué plus hu, il suffi de déerminer les condiions pour lesquelles les conrines de couverure formen une mrice olemen unimodulire pour que le problème devienne polynomil. Profil unique, civié unique, ps de puse Si l'on considère le cs présen où l'on qu'une seule civié (en plus de l'civié ficive qui correspond à l fin de l journée de rvil ), un seul profil e ps de puse. L conrine de couverure devien : X X D T T end ppels =, 0 end Cee nouvelle formulion fi que, dns ce cs, nore mrice de conrines devien olemen unimodulire cr de l forme x y. Le problème peu donc êre résolu en un emps polynomil pr un progrmme linéire en relxn les conrines d'inégrié. Théorème : Le problème de shif scheduling vec minimision du coû de recruemen peu êre résolu en un emps polynomil dns le cs où : - il n'y ps de puse - il n'y qu'un seul ype d'civié (prise d'ppel) e un seul profil - vec évenuellemen une conrine de durée de rvil mximum e minimum - évenuellemen des fenêres de emps pour le débu e l fin d'civié 78

86 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure III.5 Générlision du modèle issu du prdigme de chîne d civié à l muli-compéence Jusque là nous vons considéré dns nore modèle un seul ype de flux : des ppels qui peuven êre riés pr ous les conseillers. Dns ce qui sui, nous monrons que le modèle de progrmmion linéire rduisn le prdigme de chîne d civié peu êre générlisé u cs où plusieurs flux doiven êre riés. Dns ce qui sui nous considérons que les conseillers on des compéences différenes qui définissen les flux qu ils peuven rier. Nous disinguerons les cs de figure suivn : - Plusieurs flux d ppels - Un mix enre flux d ppels (non sockble) e flux sockble (mil, courrier, ec.) - Le cll blending où les conseillers peuven bsculer d un dossier sockble à un ppel Il exise une liérure riche bordn l problémique de l muli-compéence dns un cenre d ppels. Pour une vue générle voir (Gns, Koole e l. 2003; Wllce e Whi 2005). Concernn le shif-scheduling plus spécifiquemen, (Bhuli, Koole e l. 2007) propose une méhode en deux épes pour résoudre le shif-scheduling. Dns l première épe, les conrines de couverures son déerminées. Dns l seconde épe, le problème de shifscheduling es résolu pr un modèle de progrmmion linéire. Nous pouvons églemen fire référence à (Cezik e L'Ecuyer 2008) qui inègre l muli-compéence en dpn l pproche de (Alson, Epelmn e l. 2004) combinn progrmmion linéire e simulion. Les références que nous cions proposen des pproches reposn sur le modèle explicie de (Dnzig 1954). Dns ce qui sui nous proposons une dpion de nore modèle fin de grder les vnges d une représenion implicie des vcions. III.5.1 Plusieurs flux d ppels (synchrone) Dns ce cs nous vons plusieurs flux d ppels différens qui ppriennen à l ensemble F ppels. Les chînes d civié des profils corresponden à une succession d civiés d ppels e d civiés de puse. A chque profil es ssocié un ensemble de compéence qui correspond ux flux qui peuven êre riés pr les conseillers. Durn une civié d ppels (qui pprien à A ( i ) ), ous les conseillers peuven rier les flux don ils on l compéence. ppels 79

87 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure Nous supposons pr illeurs qu il n y ps de sysème de priorié dns l disribuion des ppels en foncion de l compéence. A chque flux correspond une conrine de couverure f D qui représene le nombre minimum de conseillers nécessire pour rier l chrge du flux f durn l période (s ils devien rier exclusivemen ce ype d ppel). f Nous inroduisons l vrible de décision supplémenire p ( i ) qui correspond à l proporion de l chrge f D riée pr les conseillers du profil i. ppels Rppelons que N ( i ) correspond u nombre de conseillers du profil i qui effecuen une civié de riemen d ppels durn l période. Avec : N ( i) = N ( i) = T, T, i I ppels 0 end Appels Ainsi les conrines de couverure se rduisen de l mnière suivne N ( i ) p ( i ) D = T, T, i I ppels f f 0 end f Fppels Avec p f ( i ) = 1 = T 0, Tend, f F ppels i I Les conrines liées ux compéences des conseillers peuven s exprimer simplemen en joun les conrines suivnes f p ( i ) = 0 = T, T si le profil i ne peu ps rier le flux f. 0 end Noons que bien qu il ne soi ps nécessire d jouer des civiés supplémenires, cee formulion inrodui une dimension de complexié supplémenire liée ux compéences. En effe, même si ous les conseillers on ous les mêmes conrines de emps de rvil, il fu définir un de profil qu il y de configurion de compéences possibles. III.5.2 Plusieurs flux sockble (synchrone) e plusieurs flux d ppels Les flux sockbles son les flux don le riemen peu êre reporé ux périodes suivnes s il n es ps possible de les rier durn leur période d rrivée. Il s gi pr 80

88 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure exemple des ppels sorn qu éme le conseiller, les courriers, les emils, ec. On prle églemen de flux synchrone pr opposiion des flux synchrones que son les ppels. Nous supposons dns cee prie (voir Figure III-16) que cerines civiés son dédiées ux flux sockbles e d ures ux flux d ppels (en plus de celles correspondn à des puses). Ainsi, un conseiller pourr pr exemple lerner enre le riemen d un courrier puis d un emil mis il ne pourr ps prendre d ppels n qu il es dns une civié de riemen de flux sockble. Acivié 1 Acivié 2 Acivié 3 Acivié 4 Acivié 5 Type d civié Appels Puse sockble Appels 8h 10h 12h 14h 16h 18h 20h Type de flux riés Appels ype A Appels ype B Aucun flux rié Courriers emils Appels ype A Appels ype B Figure III-16: Illusrion du cs vec plusieurs flux sockble e flux d ppels III Un seul flux sockble Pour des risons de clré commençons pr considérer un seul ype de flux sockble, pr exemple le courrier. Soi Dcourrier le nombre de conseillers nécessires pour rier le volume de courriers qui rriven durn l période. Nous supposons que l objecif es de rier ous les courriers le jour même. Ainsi, pour respecer cee conrine, il suffi que l cpcié de service liée ux civiés de courrier soi supérieure à l cpcié nécessire u riemen de ous les courriers rrivés sur une journée, soi : Tend Tend courrier N ( i ) Dcourrier III-11 = T0 i I = T0 81

89 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure courrier Avec N ( i ) le nombre de conseillers du profil i qui effecuen une civié de riemen de courrier durn l période. On insi : N ( i ) = N ( i ) = T, T, i I courrier 0 end Acourrier L conrine III-11 perme de grnir que ous les courriers rrivés dns l journée son riés. En revnche, il es églemen nécessire de vérifier que le riemen ne se fi ps vn l rrivée du courrier. Ainsi, si ous les courriers rriven l près midi, le riemen ne peu se fire le min. Pour cel il es nécessire de vérifier que ous les courriers qui rriven près une période T ne seron riés que pr des ressources disponibles près cee période T. Ceci se rdui dns le modèle pr l générlision de l conrine III-11 qui donne l ensemble des conrines suivnes : Tend Tend courrier ( ) = 0, end = T i I = T N i Dcourrier T T T III-12 III Plusieurs flux sockble Considérons, à présen que plusieurs flux sockbles peuven êre riés. A l insr de ce qui éé fi dns l prie III.5.1, nous définissons F sockble l ensemble des flux sockbles. A chque profil es ssocié un ensemble de compéence qui correspond ux flux qui peuven êre riés pr les conseillers. Tous les conseillers d un même profil peuven rier les mêmes flux. Soi A sockble l ensemble des civiés correspondn u riemen des flux sockbles. sockble Avec N ( i ) le nombre de conseillers du profil i qui effecuen une civié de riemen de flux sockble durn l période. On insi : N ( i ) = N ( i ) = T, T, i I sockble 0 end Asockble L chrge es représenée pr f Dsockble, le nombre de conseillers nécessires pour rier le volume de flux sockble f qui rrive durn l période. L conrine d déquion enre chrge e cpcié III-12 peu se générliser comme sui u cs de plusieurs flux sockble : 82

90 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure Tend Tend sockble f f 0 end = T f Fsockble = T N ( i ) p ( i ) Dsockble T = T, T, i I III-13 Avec p f ( i ) = 1 = T 0, Tend, f F sockble i I Comme précédemmen, les compéences des conseillers peuven êre prises en compe pr les conrines suivnes : f p ( i ) = 0 = T, T si le profil i ne peu ps rier le flux f. 0 end III.5.3 Le cs du Cll blending Dns ce qui précède, nous vons considéré qu un conseiller ne pouvis bsculer du riemen d un flux sockble à un ppel u sein d une même civié (e foriori u sein d une même période). Le cll blending perme de lever cee resricion (Reynolds 2003). Le cll blending es une foncionnlié offere pr le mécnisme de rouge du cenre d ppels qui perme u conseiller de rier des flux sockbles e des ppels lors d une même période. Ainsi, un conseiller pourr lerner d un emil à un ppel en emps réel selon les règles de rouge mises en plce. Ce cs générl vec des civiés dédiées ux ppels e ux flux sockbles es illusré dns l Figure III-17. Acivié 1 Acivié 2 Acivié 3 Acivié 4 Acivié 5 Type d civié Cll blending Puse sockble Appels 8h 10h 12h 14h 16h 18h 20h Type de flux riés Appels ype A Appels ype B Courriers emils Aucun flux rié Courriers emils Appels ype A Appels ype B Figure III-17: Illusrion du cs vec plusieurs flux sockble, flux d ppels e cll-blending 83

91 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure En donné que l qulié de service endue pour les ppels es bien supérieure à celle des flux sockble (de l ordre de l minue pour les ppels e quelques jours pour les courriers), les mécnismes de rouges son prmérés de sore que le riemen des ppels soi prioriire sur ous les flux sockble. Nous supposons que l priorié des ppels es préempive. C'es-à-dire que si un ppel rrive lors qu un conseiller es en cours de riemen d un courrier, ce dernier inerrompr son riemen pour prendre l ppel. Nous supposons, de plus, que cee inerrupion ne génère ps u finl un emps de riemen plus long du courrier en quesion (le emps nécessire à l reprise d un dossier sockble inerrompu pr un ppel es supposé nul). Nous définissons un nouvel ensemble d civié supplémenire Amix qui correspond ux civiés u cours desquels un conseiller peu prendre indifféremmen des ppels ou des flux mix sockbles. Avec N ( i ) le nombre de conseillers du profil i qui effecuen une civié de ce ype durn l période. On insi : N ( i ) = N ( i ) = T, T, i I mix 0 end A mix f Nous inroduisons l vrible de décision supplémenire pmix ( i ) qui correspond à l proporion de l chrge civié de cll-blending (ie pprenn à f p f D riée pr les conseillers du profil i en rin d effecuer une A mix ( i ) qui correspond proporion de l chrge rin d effecuer une civié d ppels si ). Nous grdons l vrible de décisions f D riée pr les conseillers du profil i en f F ppels ou une civié sockble si f F sockble L première conrine d déquion enre chrge e cpcié es de vérifier qu il y suffismmen de cpcié pour prendre les ppels. Soi : N ( i ) p ( i ) D = T, T, i I ppels f f 0 end f Fppels N ( i ) pmix ( i ) D = T, T, i I mix f f 0 end f Fppels Avec 84

92 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure i I pmix ( i ) + p ( i ) = 1 = T, T, f F f f 0 end ppels En donné que les ppels son riés de mnière prioriire, l cpcié disponible pour rier des flux sockble lors des civiés en cll-blending pour le profil i durn l période s exprime comme sui : N ( i ) pmix ( i ) D mix f f f Fppels L conrine d déquion enre chrge e cpcié pour les flux sockbles peu donc se rduire comme sui : Tend Tend sockble f f 0 end = T f Fsockble = T N ( i ) p ( i ) Dsockble T = T, T, i I N ( i ) pmix ( i ) D pmix ( i ) Dsockble T = T, T, i I Tend Tend mix f f f f 0 end = T f Fppels f Fsockble = T Avec i I pmix ( i ) + p ( i ) = 1 = T, T, f F f f 0 end ppels III.5.4 Equivlence implicie-explicie du modèle générlisé L générlision de nore modèle n ps modifié les conrines de emps de rvil. Ainsi, l propriéé démonrée dns III.4.1 rese vlble dns le cs générl. Ceci grni que l propriéé d équivlence enre modèle implicie e explicie es églemen vérifiée pr nore modèle générl. Il es donc oujours possible à prir de ce modèle de rouver une soluion individuelle. 85

93 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure III.6 Posiionnemen du modèle pr rppor à l liérure Afin de posiionner l conribuion de nore prdigme pr rppor ux rvux nérieurs, reprenons dns le bleu Tbleu III-2 les principux élémens de synhèse ciés à l fin de l é de l r (voir Tbleu I-1). Modèle Vcion hors puse implicie Une seule puse implicie Plusieurs puses implicies Muli-flux e mulicompéence Flux sockble Aciviés fculives e obligoires Dnzig, Segl, Moondr, Bechold, Thompson, Aykin, PLNE issu du prdigme Tbleu III-2 : Appor du modèle de PLNE issu du prdigme de chîne d civiés Comme nous l vons indiqué, nore modèle es dns l coninuié des précédens modèles qui représenen de mnière implicie les puses e les vcions. Il v u-delà des précédens rvux dns l mesure où il es olemen implicie en ce qui concerne les vcions (des de débu e de fin e durées) insi que les puses (nombre de puses e durées quelconque). Il perme églemen de prendre en compe des élémens supplémenires els que les flux sockbles, l muli-compéence/muli-flux insi que l possibilié de disinguer enre civiés fculives e obligoires. 86

94 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure III.7 Résoluion du problème de dimensionnemen - Qulié de l relxion linéire Comme nous l vons vu dns le second chpire, le dimensionnemen se fi à long erme. Aussi, les données à ce sde son incerines. L cpcié de service résuln des décisions de recruemen du dimensionnemen devr êre jusée lors des épes ulérieures (pr recours à l sous-rince, ux inérimires, ux CDD). Ainsi, du fi de cee inceriude, l soluion opimle du problème de dimensionnemen un inérê limié. Ce qui es imporn c es d obenir une soluion robuse qui servir de bse ux épes ulérieures. Pour cee rison, nous ne chercherons ps dns ce qui sui à résoudre de mnière opimle le problème de dimensionnemen. Le problème én NP-difficile, le emps de résoluion seri exponeniel. Nous proposons donc de résoudre le progrmme linéire en relxn les conrines d inégrié puis d rrondir l soluion insi obenue. Ceci perme d uiliser des méhodes de résoluion polynomiles. L rpidié d exécuion es un poin imporn lorsqu il s gi de proposer ux uiliseurs des ouils inercifs uorisn des essis successifs. III.7.1 Fisbilié de l soluion rrondie * Soien X = ( X ( i )) l soluion opimle du problème e * = ( ( )) opimle du problème en relxn les conrines d inégrié. X X i l soluion * Nous démonrons que l prie enière de l soluion relxée noé X = ( X ( ) ) i respece oues les conrines de emps de rvil. Proposiion : si une soluion * = ( ( )) X X i respece les conrines de emps de rvil ssociées u prdigme de chîne d civié lors l prie enière de cee soluion les respece ussi. Démonsrion Toues les conrines de emps de rvil (cf. III.3.5.1) son de l forme x y ou x = y vec x 0, y 0 Le cs x=y es rivil cr x = y x = y. Ainsi pour démonrer que l proposiion cidessus es correce, il suffi de démonrer l proposiion suivne : 87

95 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure x y x y x 0, y 0 ) si x = y : rivil comme indiqué plus hu x = y x = y x y b) si x < y x < y e y < y + 1 x < y + 1 comme x < y +1 x x lors én donné que x, y N lors x y c.q.f.d. III.7.2 Qulié de l soluion rrondie * L soluion X respece donc oues les conrines de emps de rvil. En revnche, cee soluion ne respece ps nécessiremen les conrines de couverure. Les périodes en sous-effecifs seron celles qui corresponden u non respec de ces conrines. Nous donnons ci-dessous une borne supérieure u sous-effecif que peu induire cee soluion. ) Ps de flux sockble Proposiion : Dns le cs où l on un ou plusieurs flux d ppels, l prie enière de l soluion relxée X conduir à un sous-effecif pr période qui ser u pire égl à ( Appels i ) * Avec i I ( ) 1 Appels ( i ) correspond u nombre d civiés d ppels du profil i. Démonsrion * Le sous-effecif que génère l prie enière de l soluion relxée X s exprime pour chque période comme l différence enre le ol de l cpcié de prise d ppels e le ol de l chrge d ppels à couvrir soi : 88

96 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure sous effecif = D X i X i f + 1 ( ) ( ) ( ) f Fppels i I, Appels ppels i I sous effecif ( ) A ( i ) 1 = T, T Nous devons démonrer donc que ( ) 0 Dns le cs d un ou plusieurs flux d ppels, les conrines de couverure s exprimen comme sui : end N ( i ) p ( i ) D = T, T, i I ppels f f 0 end f Fppels III-14 En sommn III-14 sur I on obien N ( i ) p ( i ) D = T, T ppels f f 0 end i I i I, f Fppels f i I En donné que p ( i ) = 1 = T 0, Tend, f F ppels lors N ( i ) D = T, T ppels f 0 end i I f Fppels Soi 1 ( ) + f X i X ( i ) D = T 0, T end i I, Appels f Fppels III-15 Pr illeurs, nous vons pr définiion : ( ) ( ) < X ( ) i X i X i +1 Appels ( i ), i I donc ( ) < X ( ) i X i ( ) ( ) X i X i A, i I ppels En sommn on rouve ( ) X ( i ) X ( i ) < X ( i ) X ( i ) +1 i I, Appels ( i ) i I, Appels ( i ) D près III-15 on dédui 89

97 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure + ( ( ) ) 1 ( ) +1 D < X i X i f f Fppels i I, Appels ( i ) + ( ( ) ) 1 ( ) 1 ( ( ) ) D X i X i < = A i f ppels f Fppels i I, Appels ( i ) i I, Appels ( i ) i I En donné que f Fppels f D N (cr il correspond à un nombre de conseillers) lors + 1 ( ) ( ) D X ( i ) X ( i ) A ( i ) 1 f ppels f Fppels i I, Appels ( i ) i I ( ) ppels i I sous effecif ( ) A ( i ) 1 c.q.f.d. Noons que cee borne ne dépend ps de l chrge du cenre d ppels. Ainsi, plus le cenre d ppels es grnd plus l impc d une soluion rrondie pr rppor à une soluion exce se confond vec les élémens d inceriude lié à l environnemen du cenre d ppels. Ainsi, si l on considère pr exemple un cenre d ppels vec deux profils de conseillers : emps plein e emps priel Les conseillers emps plein prennen une puse déjeuner A ( emps plein ) = 2 e les conseillers emps priel ne prennen ps de puse ppels A ( emps priel ) = 1. Le sous-effecif généré pr l prie enière de l soluion relxée ppels ser donc de l équivlen de 2 conseillers pr période. Pour un cenre d ppels de ille moyenne (quelques cenines de conseillers) l écr représene moins de 1% de l effecif à recruer ce qui es rès négligeble compe enu de l inceriude sur les données liées à l horizon emporel du dimensionnemen (des erreurs de prévisions de l ordre de 10% son rès communes dns l prique) ou sur les ux d bsenéisme. b) Cs vec flux sockbles Les conrines de riemen des ppels son plus resricives que celles des flux sockbles. En effe, dns nos modèles, nous vons considéré une conrine de couverure pr période pour les ppels. S gissn des flux sockbles qui on un objecif de riemen sur l journée, nous vons considéré que leur riemen pouvi s éendre sur plusieurs périodes. De ce fi, les sous-effecif indui pr une soluion rrondie pour un flux sockble es u pire égl u sous-effecif que l on uri s il s gissi d un flux d ppels. Ainsi, l borne supérieure précédene clculée pour les flux d ppels peu êre générlisée ux flux sockbles. Ces flux corresponden ux civiés hors puse (ppels e flux sockbles) 90

98 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure Théorème : Dns le cs où l on un ou plusieurs flux d ppels ou flux sockbles, l prie enière de * l soluion relxée X conduir à un sous-effecif pr période qui ser u pire égl à i I ( A i ) Avec ( ) 1 hors puse A ( ) hors puse i es le nombre d civiés du profil i qui ne corresponden ps à des puses (ppels e flux sockbles) 91

99 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure III.8 Conclusion L première décision en mière de gesion des ressources humines dns un cenre d ppels es celle du dimensionnemen. Le modèle d opimision le plus lrgemen uilisé pour répondre à cee problémique dns l liérure es le shif scheduling. Pour répondre à cee problémique de dimensionnemen, nous vons présené dns ce chpire le prdigme de chine d civiés. Ce prdigme nous permis de mere en œuvre des développemens qui on boui à quelques résuls inéressns. ) Le prdigme de chîne d civiés : une représenion non mhémique Le premier inérê du prdigme de chîne d civiés es qu il perme de représener à prir de noions simples (civiés, profils, des de débu d civiés, ec.) l grnde diversié des environnemens e des conrines de gesion des ressources humines dns un cenre d ppels. De plus, ce prdigme ne nécessie ps de recourir à une formlisme mhémique peu ccessible à des non iniiés. b) Le prdigme se décline en un modèle implicie, générique e unificeur Nous vons monré dns ce chpire commen déduire de nore prdigme le PLNE qui perme de résoudre le problème shif scheduling. Le modèle que nous proposons es implicie dns l coninuié de ceux que nous vons présenés dns l é de l r. Il présene l vnge de ne ps imposer une énumérion explicie de oues les combinisons d horires possibles. De plus, l généricié du prdigme de chîne d civiés se rerouve dns nore modèle. Il ne présene donc ps les mêmes limiions que les précédens modèles de l revue bibliogrphique concernn le nombre de puses e de profils. Toues les spécificiés en erme de conrines de emps de rvil son prises en compe pr nore PLNE dès lors qu elles s inscriven dns le cdre du prdigme de chîne d civiés. Enfin, nore modèles élrgi le périmère du problème de shif scheduling générlemen éudié. En effe, en plus des civiés d ppels e de puse, nous inégrons les noions de muli-compéence, de flux sockble e de cll blending. Noons que ces specs son pris en compe dns nore modèle sns nécessier de modificions des hypohèses définissn le cdre du prdigme de chînes d civiés. 92

100 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure c) L ole unimodulrié e l difficulé du problème de shif scheduling Nous vons monré dns ce chpire que l srucure de l mrice des conrines de emps de rvil éi olemen unimodulire. Ceci nous permis de mere en évidence deux résuls : - Les conrines de couverure induisen l NP-difficulé du problème de shif-scheduling. - Nous vons pu idenifier des condiions priculières pour lesquelles le problèmes de shif-scheduling peu êre résolu en un emps polynomil. d) Esimion d une borne supérieure pour l soluion rrondie de nore modèle Le modèle que nous proposons es un PLNE. Dns cerins cs, il peu êre inéressn d obenir des soluions pprochées elles que l résoluion du progrmme linéire en relxn les conrines d inégrié. Dns ce chpire, nous vons clculé une borne supérieure de l écr que donne l soluion rrondie d un el problème pr rppor à l soluion exce du PLNE. 93

101 Chpire III: Dimensionnemen sous conrine de couverure 94

102 Chpire IV: Plnificion mximisn l qulié de serviceerreur! Source du renvoi inrouvble. Chpire IV PLANIFICATION MAXIMISANT LA QUALITÉ DE SERVICE Dns le chpire précéden, l conrine de qulié de service éi un prmère d enrée pour consiuer les conrines de couverure. Elle éi prise en compe en mon du problème de consrucion de vcions. C es l pproche clssique uilisée dns les conribuions scienifiques concernn ce problème. Dns le présen chpire, nous nous siuons dns l phse de plnificion. Les conseillers de clienèle son déjà recrués (lors de l précédene phse de dimensionnemen) e l objecif es de les ffecer à des vcions de fçon à mximiser l qulié de service. Il ne s gi plus d évluer l qulié de service séprémen du problème de consrucion de vcions mis de l inégrer dns le modèle de plnificion. Après un bref é de l r, nous présenons dns ce chpire nore modèle issu du prdigme de chîne d civiés pour formuler e résoudre ce problème. Nous erminons pr une pplicion numérique sur un exemple de es. 95

103 Chpire IV: Plnificion mximisn l qulié de serviceerreur! Source du renvoi inrouvble. IV.1 Posiion du problème Dns ce chpire, nous nous inéressons u problème de plnificion horire décri dns l Figure III-1. Nous considérons que les conseillers son déjà recrués e que leurs jours d bsence e de présence son plnifiés. Les quesions de minimision du coû slril insi que celle de l plnificion journlière son donc riées en mon. L objecif de l plnificion horire es de grnir l meilleure qulié de service ux cliens compe enu des effecifs présens. A ce niveu, deux décisions doiven êre prises : - Consruire les vcions à proposer ux conseillers - Déerminer le nombre de conseillers nécessires pour chque vcion Le résul de ces deux décisions servir de bse pour consruire les emplois du emps individuels des conseillers. Dimensionnemen Décisions Déerminer le nombre de conseillers à recruer Crières d opimision Qulié de service grnie Clendrier Décisions Déerminer les jours de repos e congés pour chque conseiller Crières d opimision Qulié de service mximisée Plnificion horire grégée Décisions Créer les vcions Nombre de conseillers pr vcion Crières d opimision Qulié de service mximisée Emplois du emps individuels Décisions Déerminer l emploi du emps de chque conseiller Crières d opimision Conseillers sisfis Equié enre les Figure IV-1 : Processus de décision englobn le problème de plnificion vec mximision de l qulié de service Remrque : nous ne nous inéressons ps dns ce qui sui à l problémique d infisbilié ou de sous-opimlié induie pr l décomposiion enre plnificion journlière e plnificion horire. Ceci se gère dns l prique, pr exemple, en plnifin chque journée séprémen à prir du nombre de conseillers présens (qui ne son ps en 96

104 Chpire IV: Plnificion mximisn l qulié de serviceerreur! Source du renvoi inrouvble. congé ou en repos) ou lors en se donnn des règles empiriques permen de surévluer le nombre de conseillers lors du dimensionnemen. Cee problémique es prélblemen riée pr l enreprise lorsqu elle décide de l mnière de décomposer son processus de décision de gesion des ressources humines. Nous ne reviendrons donc ps sur ce spec que nous vions évoqué dns le chpire 2 sur l orgnision des décisions. Dns ce qui sui, nous proposons de résoudre ce problème de plnificion grégée pr une dpion du modèle de shif scheduling issu du prdigme de chînes d civiés en y inégrn un objecif de qulié de service globle sur l journée. Avn de présener ce modèle nous nous rderons u prélble sur les difficulés induies pr l inégrion d objecifs de qulié de service dns le shif scheduling e son riemen dns l liérure. 97

105 Chpire IV: Plnificion mximisn l qulié de serviceerreur! Source du renvoi inrouvble. IV.2 Prise en compe de l qulié de service IV.2.1 Qulié de service à l journée pluô que pr période Dns l vision clssique du shif scheduling, on prend comme hypohèse que l qulié de service es imposée pr période (pr exemple, 80% des ppels dns l période d une demiheure riés). Dns un cenre d ppels e plus générlemen dns les services, cee vision es rès conrignne. En rélié, il n es ps nécessire de grnir une qulié de service consne à chque période de l journée. On peu se permere en prique de compenser les "muvises périodes" pr de "bonnes périodes" de l journée (Koole e vn_der_sluis 2003). Cee vision plus souple e plus rélise perme in fine une meilleure déquion enre l chrge e l cpcié. Dns le problème que nous bordons, nous considérons donc un objecif de qulié de service à mximiser globlemen sur l journée e non plus pr période. Ceci condui de fi à prendre en compe expliciemen l qulié de service dns le modèle puisqu il n es plus possible de déerminer le nombre de conseillers nécessires pr période ou le volume de rvil à fournir sur l journée. IV.2.2 Impc de l non-linérié de l qulié de service sur le shif scheduling L qulié de service (emps moyen d ene, proporion d ppels répondus, ec.) es le plus souven modélisées pr des files d ene qui jouen une non-linérié u crière à opimiser. L inégrion de cee non-linérié u shif scheduling implique une difficulé supplémenire à un problème déjà combinoire. Cee difficulé explique, pour une pr, le fi que peu de conribuions dns l liérure s inéressen u shif scheduling mximisn un crière de qulié de service non linéire. Une pproche lernive de simplificion consise à prendre comme crière de qulié de service l différence enre cpcié e chrge. C es une évluion linéire mis qui ne prend ps en compe le crcère sochsique du foncionnemen d un cenre d ppels. On prle dns ce cs d pproche déerminise pr opposiion à une pproche sochsique. Elle présene l vnge de minenir une srucure linéire du problème de shif scheduling e de permere une résoluion plus simple. Cependn, cee pproche ne rend ps compe du gin décroissn sur l qulié de service d une ugmenion de cpcié. Auremen di, l jou d un 3 e conseiller ppore moins en erme de qulié de service que le 2 nd. L pproche que nous proposons es encore différene. Elle procède pr linérisions. Elle perme d inégrer un objecif de qulié de service non linéire dns le shif scheduling ou en préservn l linérié du problème. 98

106 Chpire IV: Plnificion mximisn l qulié de serviceerreur! Source du renvoi inrouvble. IV.2.3 E de l r Dns le chpire 3, l qulié de service es clculée en mon de l résoluion du problème de shif scheduling. Cee séprion enre évluion de l qulié de service e le shif scheduling n es plus possible dès lors que l on considère que les périodes de plnificion ne son plus indépendnes enre elles. Nous pouvons idenifier dns l liérure deux cs de figure où l indépendnce des périodes de plnificion ne peu ps êre grnie : Couplge des périodes pr l foncion objecif : c es le cs que nous vons décri plus hu où l finlié es de mximiser l qulié de service globlemen sur oue l journée pr opposiion à une qulié de service pr période. Chque période influence l qulié de service globle e elles ne peuven donc êre riées séprémen. Couplge lié à l influence muuelle enre périodes : dns cerines siuions, les périodes de plnificion son dépendnes en rison du crcère rnsioire des phénomènes sous-jcens. C es le cs, pr exemple, lorsque les périodes de plnificion son rop coures pr rppor u emps de service. Les siuions où les rppels cliens son conséquens conduisen églemen à lier les périodes enre elles. En effe, dns ce cs, l qulié de service d une période dépend du nombre de rppels (e donc de l qulié de service) issus de l période qui l précède. Dns ce qui sui nous présenons quelques conribuions présenn ces deux specs. Ce son des rvux de modélision e de résoluion du problème de shif scheduling vec prise en compe explicie de l qulié de service. Les modèles concernen des problémiques de dimensionnemen (déerminer le nombre de conseiller à recruer) ou de plnificion (orgniser le emps de rvil des conseillers pour mximiser l qulié de service) IV Couplge pr l foncion objecif : qulié de service globle à l journée (Koole e vn_der_sluis 2003) borden l problémique d opimision du shif scheduling dns un cenre d ppels en prenn en compe une qulié de service globle sur l journée. Le modèle proposé repose sur une représenion explicie des vcions dns un cenre d ppels. Toues les vcions son de durées ideniques. Ils supposen églemen qu il n y ps de puses. Ce modèle perme de résoudre deux problèmes. Le premier es un problème de dimensionnemen visn à minimiser les effecifs compe enu d une conrine de qulié de service globle sur l journée. Le second problème rié es un problème de plnificion visn à minimiser cee qulié de service globle à effecif donné. 99

107 Chpire IV: Plnificion mximisn l qulié de serviceerreur! Source du renvoi inrouvble. L pproche uilisée pour résoudre le problème de plnificion es une méhode de recherche locle. Compe enu des hypohèses prises e d une propriéé du problème ppelée mulimodulrié, (Koole e vn_der_sluis 2003) démonren qu une méhode de recherche locle boui à l soluion exce du problème. Pour plus de déils concernn l mulimodulrié consuler (Hjek 1985; Almn, Gujl e l. 2000). L résoluion du problème de dimensionnemen se fi pr dichoomie. Le problème de plnificion cié plus hu es résolu à chque iérion en fisn vrier le nombre d effecifs. L lgorihme converge vers l soluion opimle de N conseillers lorsque l conrine de qulié de service es respecée mis qu elle n es ps respecée pour N-1 conseillers. IV Couplge pr influence muuelle enre périodes Les pproches en régime rnsioire son perinenes lorsque l évoluion du sysème ne peu êre éudiée en considérn les périodes de plnificion indépendmmen les unes des ures. C es le cs lorsque les emps de service son relivemen longs pr rppor à l durée d une période de plnificion. Prenons pr exemple le cs d un problème de plnificion des prouilles de police. L durée de l période de plnificion es d une demi-heure e l durée moyenne d une prouille es de plusieurs heures (emps de service). Dns ce cs, il es éviden qu il n es ps possible de considérer que les phénomènes son indépendns e sionnires u sein de chque période de plnificion. Il es nécessire de enir compe de l effe d une période sur les ures. L pproche en régime rnsioire es églemen ppropriée lorsqu il s gi de modéliser les effes de surchrge (rush hour). En effe, en régime sionnire, les évluions de performnce des files d ene (emps moyen d ene) son indéerminées lorsque l chrge es emporiremen supérieure à l cpcié de service e ne peuven donc êre riées vec des pproches clssiques. Touefois, il es à noer que ce cs de figure es ssez rre dns l prique. Du moins, ce ype d pproche ne devri ps êre uilisé pour des problèmes de plnificion ou de dimensionnemen don l objecif es de grnir ou mximiser l qulié de service. En effe, voir des périodes où l chrge es supérieure à l cpcié de service peu conduire à des insbiliés du sysème qui renden l soluion rès peu robuse. L qulié de service obenue n es insi ps mirisée. Compe enu de l complexié des phénomènes rnsioires, ils se prêen difficilemen à des modélisions nlyiques. C es l rison pour lquelle l esseniel des rvux prenn en compe ces phénomènes dns le shif scheduling on recours à des méhodes non nlyiques elles que les mé-heurisiques ou l simulion. 100

108 Chpire IV: Plnificion mximisn l qulié de serviceerreur! Source du renvoi inrouvble. Approche mé-heurisique (lgorihmes généiques) (Ingolfsson, Hque e l. 2002) s es inéressé u problème de plnificion de prouilles de police. Son pproche perme d inégrer l qulié de service en n que conrine à respecer ou en n qu objecif à opimiser. L pproche perme églemen de prendre en compe une qulié de service pr période ou globle sur l journée. L echnique de résoluion proposée pr (Ingolfsson, Hque e l. 2002) es une méhode heurisique qui repose sur deux composns : - Un composn d évluion de l qulié de service (service level evluor) : il perme d évluer l qulié de service à chque période sur l bse d une méhode numérique - Un composn de générion de plnificion (schedule generor) : il repose sur une echnique d lgorihme généique qui sélecionne les meilleures plnificions. Une méliorion de cee méhode es présenée dns (Ingolfsson, Cbrl e l. 2002). Il s gi d une pproche heurisique reposn sur l progrmmion linéire qui perme un emps de résoluion plus rpide. Approche pr simulion Un ure ype d pproche de résoluion consise à inégrer l spec rnsioire de l évluion de qulié de service pr l simulion évènemenielle. L résoluion consise à effecuer des iérions enre progrmme linéire e simulion. Cee pproche éé formlisée dns (Henderson e Mson 1998). Nous pouvons rouver une illusrion dns (Alson, Epelmn e l. 2004; Alson, Epelmn e l. 2005) qui développen une pproche de pln de coupes ssociées à l simulion. Dns (Alson, Epelmn e l. 2008) cee pproche es générlisée pour prendre en compe des évluions de qulié de service non convexe (en forme de S). 101

109 Chpire IV: Plnificion mximisn l qulié de serviceerreur! Source du renvoi inrouvble. IV.3 Modélision IV.3.1 Hypohèses Pour l consrucion du modèle nous reprenons le prdigme de chîne d civiés vec les mêmes hypohèses décries dns le chpire 3. - L durée de rvil es inférieure à 24h. - Les conseillers ppriennen à des profils. A chque profil es ssocié un ensemble de conrines de emps de rvil ideniques e un enchînemen d civiés prélblemen défini. - On suppose dns ce cs qu il y un seul flux d ppels à rier (ps de muli-flux, ni de flux sockbles) Le modèle que nous présenons es similire à celui décri dns le précéden chpire en priculier en ce qui concerne les conrines de emps de rvil. Les évoluions que nous pporons concernen deux specs : - Ajou de conrines de limiion des effecifs : l cpcié de service es limiée pr le nombre de conseillers recrués lors de l phse nérieure de dimensionnemen. - Modificion de l foncion objecif : nous n vons plus de conrines de couverure. Il es nécessire d inroduire dns le modèle une formulion de l qulié de service à opimiser. IV.3.2 Conrines Nous uilisons le prdigme de chine d civiés développé dns le chpire précéden pour modéliser le problème. Nous grdons les mêmes vribles de décision e les conrines de emps de rvil s exprimen de l même mnière. Soi : 102

110 Chpire IV: Plnificion mximisn l qulié de serviceerreur! Source du renvoi inrouvble. Conrines d'inégrié X ( i ) N i I, A ( i ), = T, T 0 end IV-1 Conrines de emps mximum e minimum de rvil X ( i) X ( i) l ( i) T X ( i) X ( i) L ( i) T l, ( i), end L, ( i), end IV-2 Conrines de fenêres de emps X ( i) = 0 vec Tmin ( i) 0 Tmin ( i) 1 end X ( i) = X ( i) = N( i) Tmx ( i) Tend IV-3 Conrines de successions d'civiés + 1 ( ) ( ), ( ) { end }, = 0, end X i X i i I A i T T IV-4 Vribles de cumul croissnes X + 1( i) X ( i) i I, Ai, = T0, Tend 1 IV-5 Ajou des conrines de limiion des effecifs Si Y correspond u nombre de conseillers disponibles pour le profil i, l conrine de mx i limiion du nombre de conseillers pr profil peu s exprimer comme sui : end X ( i ) Y Y i I Tend mx = i i IV-6 IV.3.3 Foncion objecif opimision de l qulié de service L indiceur de qulié de service que nous prenons comme objecif es l minimision du nombre de cliens dis déconnecés. C es à dire les cliens à qui on demnde de rppeler ulérieuremen. Soi dec, le nombre d ppels déconnecés durn l période. L objecif s exprime donc comme sui : min Z T = end = T0 dec IV-7 103

111 Chpire IV: Plnificion mximisn l qulié de serviceerreur! Source du renvoi inrouvble. Remrque : Dns le cs où l on souhieri mximiser l qulié de service pr période e non plus à l journée, l objecif seri lors d opimiser l plus muvise période. C'es-à-dire minimiser le ux de déconnexion mximum de l journée. Noons dec mx l vrible de décision correspondn u ux de déconnexion le plus élevé de l journée. On doi inroduire les conrines suivnes mx dec dec =, T 0 T end IV-8 L foncion à opimiser deviendri lors min Z = dec mx IV-9 IV Deux pproches de modélision de l qulié de service Le cenre d'ppels es un sysème où les phénomènes son fondmenlemen léoires. En effe, les ppels rriven selon un processus sochsique (l hypohèse l plus courne es qu il sui une loi de Poisson) e les emps de réponses ne son ps consns. Dns ce qui sui nous nous inéresserons à deux mnières d'border l modélision de l qulié de service : une pproche sochsique bsée sur un modèle de file d'ene permen de prendre en compe les phénomènes léoires e une pproche déerminise qui simplifie l première en supposn que l'lé n'inervien ps. ) Approche déerminise Si on ne prend ps en compe l'lé, le nombre d'ppels déconnecés pr période es l différence enre l chrge d'ppels e l cpcié de service (c'es à dire le nombre d'ppels qu'il es possible de servir pr période). L Figure IV-2 représene grphiquemen le nombre d'ppels déconnecés sur une journée en foncion de l'évoluion de l chrge d'ppels e de l cpcié de service. Noons que cee pproche revien à minimiser le sous-effecif. 104

112 Chpire IV: Plnificion mximisn l qulié de serviceerreur! Source du renvoi inrouvble. Appels Cpcié de service Appels déconnecés 8h 10h 12h 14h 16h 18h 20h Figure IV-2: Illusrion de l déconnexion sur une journée Ainsi, u cours d'une période le nombre d'ppels déconnecés dec es donné pr : ppels dec = mx( chrge µ N,0) Rppelons que : ppels N = N ( i) i I, Appels ( i) A ppels(i) : ensemble des civiés des conseillers qui corresponden à de l prise d'ppels pour le profil i ppels N : nombre ol de conseillers en prise d'ppels à l période chrge : nombre d'ppels qui rriven durn l période. µ : ux de service, i.e. nombre d'ppels servis pr un conseiller pendn une période Pour obenir une évluion linéire du nombre d'ppels déconnecés nous pouvons inroduire les conrines suivnes : dec chrge µ N ( i) = T, T 0 end i I, Appels L prise en compe de l qulié de service de mnière déerminise nous condui donc à jouer u modèle ( T T ) end + vribles de décision dec e un de conrines. 0 1 b) Approche sochsique 105

113 Chpire IV: Plnificion mximisn l qulié de serviceerreur! Source du renvoi inrouvble. Afin de enir compe des lés, nous uiliserons une file d'ene pour modéliser le cenre d'ppels. Afin d'obenir des évluions coninues nous uiliserons une file M/M/1/K pour pprocher une file M/M/C/K. K én l ille de l file d'ene e C le nombre de conseillers. Le ux de service de l file M/M/1/K équivlene ser C µ. L proporion d'ppels déconnecés es donnée pr l probbilié de blocge de l file d'ene. Elle s'exprime de l mnière suivne : P ppels N µ 1 chrge ppels ( N ) = µ + 1 ppels N 1 chrge blocge K Le nombre d'ppels déconnecés à l période es donné pr : blocge ppels dec = chrge P ( N ) Dns l Figure IV-3 es représenée l probbilié de blocge, c'es à dire l proporion d'ppels déconnecés, en foncion de l cpcié de service ( N µ ). Cee probbilié es égle à 1 lorsque le nombre de conseillers es nul e elle end vers zéro à mesure que ce nombre ugmene. L proporion d'ppels déconnecés es églemen représenée pour le cs déerminise. Conriremen u cs sochsique, cee proporion s'nnule si l cpcié de service correspond à l chrge d'ppels. L'pproche déerminise sous-esime sysémiquemen l proporion d'ppels déconnecés pr rppor à l'pproche sochsique cr elle ne prend ps en compe l disprié du emps de service des conseillers ni l rrivée irrégulière des cliens. ppels 106

114 Chpire IV: Plnificion mximisn l qulié de serviceerreur! Source du renvoi inrouvble. 1 Approche déerminise Approche sochsique chrge ppels N µ Figure IV-3: Probbilié de blocge dns le cs déerminise e sochsique L'évluion de l probbilié es une foncion non linéire du nombre de conseillers. Afin de pouvoir uiliser cee évluion dns une formulion en progrmme linéire, il es nécessire de linériser cee foncion. Le principe de l linérision consise à pprocher une foncion non-linéire en inroduisn un ensemble de conrines linéires. L linérision de l proporion de déconnecés en foncion du nombre de conseillers en prise d ppels l Figure IV-4. Appels N es illusrée dns Qulié de service linérision Appels N Figure IV-4: Linérision de l'évluion de l qulié de service Comme nore foncion à linériser es convexe, l linérision évlue de mnière légèremen pessimise le nombre de déconnecés. L erreur d pproximion ne dépend ici 107

115 Chpire IV: Plnificion mximisn l qulié de serviceerreur! Source du renvoi inrouvble. que du choix du nombre e des poins de linérision. Comme Appels N es enier, il suffi de prendre comme poins de linérision oues ses vleurs enières possibles pour que l pproximion soi exce. Pour que l uilision de ce principe de linérision soi possible dns un progrmme linéire, il es suffisn que l foncion à linériser soi convexe en foncion de Appels N. L convexié de l probbilié de blocge d une file M/M/1/K es démonrée dns (Ngrjn e Towsley 1992). Soien N 0, N 1,,N k un ensemble de vleurs à prir desquelles seron effecuées l blocge ppels linérision de le foncion P ( N ). On suppose que N 0 = 0 e que N 0<N 1< <N K e posons : k blocge P = P ( N ) k Les conrines inroduies seron celles qui corresponden ux droies relin les poins k ( Nk, P ) e (, k 1 N k 1 P + ) suivne : +. L'ensemble de conrines peu insi êre exprimé de l mnière k+ 1 k k k+ 1 P P P Nk+ 1 P N k dec chrge N + k = 0 à K 1 Nk+ 1 Nk Nk+ 1 Nk Plus le nombre de poins es grnd plus l linérision es proche de l foncion que l'on souhie pprocher. Si l'on suppose qu'à chque période le nombre de conseillers ne peu dépsser un mximum N mx lors il es possible d'effecuer une linérision qui évlue de mnière exce l foncion pour les vleurs enières. Pour ce fire, il suffi de prendre comme poins de linérision les vleurs enières comprises enre 0 e N mx vec N k=k. On obien lors, pour chque période, un ensemble de N mx conrines exprimées de l mnière suivne : dec chrge P P N + k + P k P k = N 1 1 mx ( k + k Appels ) ( 1) k k + 0 à 1 Ainsi, l inégrion de l qulié de service de mnière exce nécessie ( T T + ) + conrines. mx vribles de décision dec e N ( T T ) end 0 1 end

116 Chpire IV: Plnificion mximisn l qulié de serviceerreur! Source du renvoi inrouvble. Noons que cee formulion ne se limie ps à l foncion d évluion de l qulié de service que nous vons choisie (proporion de déconnecés). Elle peu êre générlisée à d ures foncions qui vérifien l condiion de convexié. IV.3.4 Synhèse du modèle Voici un récpiulif de nore modélision du problème de plnificion vec mximision de qulié de service IV Conrines de emps de rvil Elles son ideniques à celles du problème de dimensionnemen présenées u chpire 3 (conrines IV-1 à IV-5) IV Conrines de limiion des effecifs Si Y correspond u nombre de conseillers disponibles pour le profil i, l conrine de mx i limiion du nombre de conseillers pr profil peu s exprimer comme sui : mx = i i end X ( i ) Y Y i I Tend IV Foncion objecif min Z T = end = T0 dec ) Approche déerminise Ajouer les conrines suivnes : dec chrge µ N ( i) = T, T 0 end i I, Appels b) Approche sochsique Ajouer les conrines suivnes dec chrge P P N + k + P k P k = N 1 1 mx ( k + k Appels ) ( 1) k k + 0 à 1 109

117 Chpire IV: Plnificion mximisn l qulié de serviceerreur! Source du renvoi inrouvble. Remrque 1 : générlision de l pproche sochsique L pproche de linérision de l qulié de service peu êre générlisée à d ures modèles que l file M/M/1/K. Pour ce fire, il suffi que l foncion représenn l qulié de service soi convexe en Appels N (concve en cs de mximision). L pproche proposée es insi vlide pour des files d ene de ype Erlng A en choisissn un crière respecn l conrine de convexié els que décris dns (Koole 2004; Koole 2005). Pour une vue plus générle de l uilision des crières de qulié de service dns les problèmes de plnificion voir (Whi 2007). Remrque 2 :NP-difficulé du problème Noons que pour les deux pproches, déerminise e sochsique, l srucure des conrines inroduies pr l foncion objecif n es ps de l forme x y x = y Nous pouvons donc suivre le même risonnemen que le chpire précéden e conclure de l même mnière à un lien enre l NP-difficulé du problème de plnificion e les conrines que nous inroduisons pour prendre en compe l qulié de service (quelle que soi l pproche, sochsique ou déerminise). 110

118 Chpire IV: Plnificion mximisn l qulié de serviceerreur! Source du renvoi inrouvble. IV.4 Comprison enre l vision déerminise e l vision sochsique Dns ce qui précède, nous vons déillé deux pproches pour inégrer l qulié de service dns le problème de shif-scheduling : l pproche déerminise e l pproche sochsique. Nous proposons dns ce qui sui de comprer ces deux pproches e de mere en perspecive l ppor de l pproche sochsique. L objecif n es ps d éudier de mnière exhusive e générle chque pproche. En effe, ceci nous écreri du cdre de conribuion de cee hèse qui se foclise d bord sur des specs de représenion du problème de shif scheduling e ses formulions en modèles mhémiques génériques (le prdigme de chînes d civié e les PLNE qui en découlen). L problémique de résoluion e son pendn d éudes numériques déillées son donc hors de périmère de cee hèse. En revnche, à des fins d illusrion, nous ppliquons dns ce qui sui nore modélision sur un exemple de cenre d ppels. ) Méhodologie uilisée Nous uilisons nore modèle pour résoudre le problème de plnificion vec mximision de l qulié de service. Nous fisons inervenir les deux pproches décries précédemmen : déerminise e sochsique. L exemple que nous considérons es inspiré du cs réel d un opéreur de éléphonie mobile. Pour comprer l inérê des deux pproches d évluion de l qulié de service, nous nlysons l impc de chque méhode de plnificion sur l qulié de service obenue. Afin de blyer un lrge évenil de siuions en erme d déquion enre chrge e cpcié nous effecuons des ess numériques pour différenes vleurs de l chrge d ppels en minenn les effecifs consns. b) Descripion de l exemple de es Le cenre d ppels que nous éudions es opérionnel enre 8h e 21h. Il emploie deux ypes de conseillés regroupés en deux profils : Profil emps plein Nombre de conseillers : 200 Temps minimum de rvil : 4h 111

119 Chpire IV: Plnificion mximisn l qulié de serviceerreur! Source du renvoi inrouvble. Temps mximum de rvil : 8h Puse déjeuner d une heure enre 11h30 e 13h30 Profil emps priel Nombre de conseillers : 40 Temps minimum de rvil : 2h Temps mximum de rvil : 5h Puse déjeuner d une demi-heure Le crière de qulié de service mesuré es l proporion d ppels déconnecés sur l journée. Pour chque es, nous fisons vrier proporionnellemen l chrge d ppels iniile. L chrge d ppels de chque période es mulipliée pr le même fceur. Ce fceur muliplicif vrie enre 0.4 e 2. c) Résuls des ess Nous mesurons deux évluions : L proporion d ppels déconnecés obenue sur l journée en plnifin vec l pproche déerminise d évluion de l qulié de service. L réducion du nombre de déconnecés que perme l uilision de l pproche sochsique pr rppor à l pproche déerminise d évluion de l qulié de service. Les résuls des ess son illusrés dns l Figure IV-5. Deux observions peuven êre fies : L proporion d ppels déconnecés es croissne en foncion de l chrge d ppels. Ceci es une consion évidene du fi que le nombre de conseillers e donc l cpcié de service globle rese inchngé. L méliorion pporée pr l pproche sochsique es d un plus significive en proporion que l chrge d ppels es réduie. Ceci s explique pr le fi que l pproche déerminise "se conene" seulemen de minimiser le sous-effecif. Cee pproche n évlue ps, pr définiion, les conséquences d une cpcié de service supérieure à l chrge d ppels sur l qulié de service. Il es donc nurel que l pproche déerminise soi moins performne que l pproche sochsique 112

120 Chpire IV: Plnificion mximisn l qulié de serviceerreur! Source du renvoi inrouvble. lorsque le sur-effecif es imporn. Ce qui revien, dns nore exemple, u cs où l chrge d ppels es fible pr rppor à l cpcié de service. 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% Sur-qulié Effes sochsiques significifs Sous-cpcié 0% Fceur muliplicif de l chrge d'ppels iniile Réducion du nombre de déconnecés vec l'pproche sochsique % déconnecés (plnificion déerminise) Figure IV-5: Comprison de l impc sur l plnificion d une pproche déerminise e sochsique d évluion de l qulié de service d) Anlyses e conclusions En prn de ces deux observions, nous pouvons pprécier l inérê de l pproche sochsique pr rppor à l pproche déerminise en foncion de l siuion du cenre d ppels. Nous pouvons, en effe, disinguer rois cs de figure (mis en évidence dns l Figure IV-5) pour lesquels l ppor d une pproche sochsique n es ps idenique. Siuion de sur-qulié (surcpcié) : (%déconnecés <5%) Dns ce cs, l qulié de service es déjà imporne. Dns l exemple, nous supposons qu une proporion d ppels déconnecés inférieure à 5% représene une qulié de service rès significive (ce seuil à 5% es à l ppréciion de l enreprise, le même risonnemen peu s ppliquer à d ures vleurs : 1%, 10%, ec.). Aussi, bien qu en proporion l pproche sochsique soi rès vngeuse, son inérê es rès limié cr l mrge d méliorion es rès réduie. 113

121 Chpire IV: Plnificion mximisn l qulié de serviceerreur! Source du renvoi inrouvble. Siuion de sous-cpcié (%méliorion de l pproche sochsique <5%) Dns ce cs le nombre de déconnecés es imporn mis l méliorion pporée pr l pproche sochsique n es ps significive. En effe, dns nore cs nous considérons qu une méliorion inférieure à 5% n es ps significive. De l même mnière que précédemmen, ce seuil es fixé pour l exemple en quesion, il n es donné qu à ire indicif. Cee inefficcié de l pproche sochsique es liée u fi que le cenre d ppels es en siuion de sous-cpcié u poin qu il ne peu respecer l chrge d ppels même en négligen l effe des lés. Ce cs de figure es générlemen lié à des problèmes de dimensionnemen où l effecif disponible n es ps suffisn. L uilision d une pproche sochsique pour l plnificion présene donc peu d inérê pr rppor à une pproche déerminise. Siuion vec effes sochsiques significifs (%déconnecés >5% e %méliorion de l pproche sochsique >5%) Dns ce cs de figure l proporion d ppels déconnecés du fi d une plnificion pr pproche déerminise es significive. Dns le même emps, l pproche sochsique ppore une méliorion sensible pr rppor à l pproche déerminise. Les deux évluions son supérieures u seuil de 5% que nous vons fixés. C es bien dns cee siuion qu une pproche sochsique présene ou son inérê pr rppor à une pproche déerminise. 114

122 Chpire IV: Plnificion mximisn l qulié de serviceerreur! Source du renvoi inrouvble. IV.5 Conclusion Nous nous sommes inéressés dns ce chpire u problème de plnificion d un cenre d ppels yn pour objecif l mximision de l qulié de service. Après un bref é de l r, nous vons proposé, sur l bse du prdigme de chîne d civiés, un modèle permen de formuler le problème. Ce modèle perme de prendre en compe l qulié de service selon deux pproches : une pproche déerminise qui correspond ux méhodes uilisées hbiuellemen e une pproche sochsique qui perme de prendre en compe les phénomènes léoires dns l plnificion. L pproche sochsique, pr définiion plus précise que l pproche déerminise, éé uilisée dns un exemple représenif de l rélié. Nous vons monré que, sous cerines condiions d déquion enre chrge e cpcié, cee pproche pouvi représener de réels gins en erme de qulié de service. 115

123 Chpire IV: Plnificion mximisn l qulié de serviceerreur! Source du renvoi inrouvble. 116

124 CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES 117

125 Conclusions Cee hèse borde l problémique de gesion des ressources humines (workforce mngemen) dns un cenre d ppels. C es un élémen srucurn dns un cenre d ppels où l msse slrile représene l esseniel des coûs. D un poin de vue indusriel, nous vons essyé d pporer des éclirges concernn rois ypes de décisions fondmenles : Les décisions de dimensionnemen : combien fu-il recruer de conseillers? Ce problème es rié dns le chpire 3. Les décisions de plnificion : commen orgniser le emps de rvil des conseillers une fois ceux-ci recrués? Ce problème es rié dns le chpire 4. Les décisions "d orgnision des décisions" : commen orgniser, décomposer e hiérrchiser les décisions? Ce son en quelque sore des "mé-décisions" prélbles à oues les ures en mière de gesion des ressources humines. Ce spec es générlemen peu quesionné dns l liérure. Nous vons ené d esquisser quelques nlyses sur le suje dns le chpire 2. L démrche de recherche que nous vons uilisée pour border ces quesions consisé à nous focliser sur le problème de shif-scheduling (problème de consrucion de vcions). C es un problème qui es u cœur de rès nombreux rvux de recherche relevn de l gesion des ressources humines. Compe enu de l é de l r e de nore propre expérience opérionnelle dns le domine des cenres d ppels, nous vons idenifié rois xes de recherche sur lesquels nous espérons voir pporé quelques conribuions nouvelles : Anlyser les fondemens de l décomposiion des décisions de gesion des ressources humines dns un cenre d ppels en men en évidence l effe déerminn de l incompléude de l informion. Proposer une représenion unificrice e un modèle générique du problème de shif-scheduling grâce u prdigme de chîne d civiés e des modèles de PLNE qui en découlen. Inégrer expliciemen l qulié de service dns le modèle d opimision du problème de shif-scheduling en uilisn une pproche linéire modélisn les phénomènes sochsiques. Revenons sur les élémens sillns de chcune de ces rois conribuions. 118

126 ) Incompléude de l informion e orgnision des décisions Avn de répondre à l quesion «commen décider?» qui es le propre des méhodes e modèles d opimision des problèmes de dimensionnemen e plnificion, nous nous sommes d bord inéressé à l quesion de «qund décider quoi?». C éi l obje du second chpire où nous vons ené de monrer que l décomposiion des décisions éi rendue nécessire pr l incompléude de l informion. Celle-ci es liée soi u prge de l décision dns l orgnision, soi à l inceriude des prévisions. A rvers quelques exemples illusrifs, nous vons monré qu en cs de mnque ou de non fibilié de l informion sur le fuur, il éi vngeux de décomposer e de prévoir des moyens de correcion des décisions de gesion des ressources humines. De ce fi, il n exise ps d orgnision idéle des décisions vlble dns l bsolu. Il pprien à chque enreprise d nlyser son propre mode de foncionnemen e son environnemen fin d idenifier les conrines e les élémens d inceriudes uxquels elle es soumise. L orgnision judicieuse des décisions se fer à l lumière d une elle nlyse. b) Prdigme de chîne d civiés e les PLNE qui en découlen Dns cee hèse nous vons inrodui l idée de prdigme de chîne d civiés. Il perme de représener, à prir de noions simples e sns nécessier de formlisme mhémique, l grnde diversié des environnemens e des conrines de gesion des ressources humines. Ceci confère ux modèles de PLNE qui en découlen une grnde généricié pour l formulion e l résoluion du problème de shif-scheduling. Cee vision unifiée e générique éé mise à profi à plusieurs niveux : Le prdigme de chîne d civiés éé ppliqué à deux problèmes fondmenux en gesion des ressources humines : le dimensionnemen e l plnificion. Les modèles de PLNE que nous vons consruis générlisen les précédens modèles implicies de l liérure en én olemen implicies (sur les vcions e sur les puses). Nous vons inégré à nos modèles de nouveux specs générlemen non pris en compe dns le problème de shif-scheduling : le muli-flux, les flux sockbles, le cll-blending, l disincion enre civiés fculives e obligoires. Au-delà de ces inérês "priques", nous vons monré que l mrice de conrines de emps de rvil issue du prdigme de chîne d civiés vi une srucure olemen unimodulire. Ceci nous permis de mere en évidence le lien enre les conrines de couverure (dns le cs du dimensionnemen) ou de qulié de service (dns le cs de l plnificion) e l NP-difficulé du problème de shif-scheduling. Nous vons églemen idenifié quelques condiions pour lesquelles le problème éi polynomil. 119

127 c) Modélision de l qulié de service dns le problème de shif-scheduling pr des pproches linéires Dns le chpire 4, nous nous sommes inéressés u problème de plnificion vec un objecif de mximision de l qulié de service sur l journée. Pour l modélision des conrines de emps de rvil, nous vons uilisé le modèle issu du prdigme de chîne d civiés décri dns le chpire 3. En ce qui concerne l déquion enre l chrge e l cpcié, nous vons proposé deux pproches linéires pour prendre en compe l qulié de service. Une pproche die déerminise qui minimise le sous-effecif e une pproche sochsique qui prend en compe les phénomènes léoires. A rvers une pplicion numérique, nous vons monré que cee dernière pproche pouvi, sous cerines condiions, pporer une méliorion significive. Perspecives Un cerin nombre de limiions e d hypohèses dns nos rvux nous conduisen à envisger quelques prolongemens possibles. Pr exemple, nous vons considéré dns cee hèse que l enreprise disposi des leviers d orgnision du emps de rvil des conseillers. C es l siuion qui correspond à des cenres d ppels inernes à l enreprise. Le recours à des presires én de plus en plus courn, il seri inéressn d éudier l possibilié de générliser nos modèles pour inégrer ce ype de problémiques. Dns le chpire 4, nous vons pris comme crière de qulié de service l proporion d ppels déconnecés. Nous vons supposé que les cliens déconnecés ne rppellen ps. Cee supposiion es générlemen jusifiée cr les ux de rppels son ssez fibles dns l prique. Touefois, dns cerins cs, les rppels peuven êre significifs. Il devien lors imporn de les prendre en compe. Bien que ç ne figure ps ce documen, nous vons éendu nore modèle pour inégrer le phénomène de rppels dns l pproche sochsique. Les conours de l méhodologie uilisée on éé présenés dns (Chuve e Ni-Abdllh 2006; Bhuli, Koole e l. 2007; Green, Kolesr e l. 2007; Whi 2007) Enfin, e de mnière plus fondmenle, nous pouvons envisger des développemens plus "quniifs" en prolongemen des nlyses de l orgnision des décisions qui on fi l obje du chpire 2. En effe, fce à des problémiques d opimision des coûs ou de qulié de service, il es souven perinen de quesionner le socle de (sur)conrines que peu représener l orgnision. L enjeu n es plus lors de rouver l méhode l plus opimle mis l orgnision qui perme de prendre les décisions les plus robuses fce à l incerin. Les pproches d opimision robuse peuven pporer des éclirges quniifs sur ce ype de quesions. 120

128 BIBLIOGRAPHIE (Dnzig 1954; Edie 1954; Hol C., Modiglini F. e l. 1960; Ghouil-Houri 1962; Ghouil-Houri 1964; Bker 1974; Segl 1974; Kolesr, Rider e l. 1975; Bker 1976; Moondr 1976; Wrner 1976; Bker e Mgzine 1977; Grinold e Mrshll 1977; Chrnes, Cooper e l. 1978; Grey e Johnson 1979; Mber 1979; Brholdi 1981; Mber e Ws. 1982; Tien e Kmiym 1982; Morris e Showler 1983; Gimon e Thompson 1984; Burns e Crer 1985; Hjek 1985; Bechold e Jcobs 1990; Ngrjn e Towsley 1992; Thompson 1993; jrrh, brd e l. 1994; Thompson 1995; Aykin 1996; Bechold e Jcobs 1996; Clevelnd e Myben 1997; Thompson 1997; Dowslnd 1998; Henderson e Mson 1998; Prouche 1998; Billionne 1999; Günes 1999)(Almn, Gujl e l. 2000; Aykin 2000; ICMI 2000; Bglin, Bruel e l. 2001; Bordoloi e Msuo 2001; Green, Kolesr e l. 2001; Benois, Gudin e l. 2002; Gns e Zhou 2002; Ingolfsson, Cbrl e l. 2002; Ingolfsson, Hque e l. 2002; Koole e Mndelbum 2002; Aguir, Chuve e l. 2003; Chuve, Chuvier e l. 2003; Chuve, Chuvier e l. 2003; Gns, Koole e l. 2003; Koole e vn_der_sluis 2003; Rekik, Soumis e l. 2003; Reynolds 2003; Reynolds 2003; Roembourg 2003; Alson, Epelmn e l. 2004; Benois 2004; Erns, Jing e l. 2004; Jouini, Dllery e l. 2004; Koole 2004; Rekik, Cordeu e l. 2004; Alson, Epelmn e l. 2005; Benois, Gudin e l. 2005; Cnon 2005; Chuve 2005; Coffre 2005; Koole 2005; Chuve e Ni-Abdllh 2006; Thompson e Goodle 2006; Bhuli, Koole e l. 2007; Chuve, Ni-Abdllh e l. 2007; Green, Kolesr e l. 2007; Jcquine 2007; Jouini, Dllery e l. 2007; Whi 2007; Alson, Epelmn e l. 2008) 121

129 Aguir, S., F. Chuve, Y. Dllery, F. Kresmen, R. Ni-Abdllh e T. Pr (2003). Soluion pour l'esimion vec inervlle de confince du emps d'ene en vue de l'nnoncer u clien. Insiu Nionl de l Propriéé Indusrielle (INPI). Frnce. Almn, E., B. Gujl e A. Hordijk (2000). "Mulimodulriy, convexiy nd opimizion propoeries." Mhemics of Operions Reserch(25): Alson, J., M. A. Epelmn e S. G. Henderson (2004). "Cll Cener Sffing wih Simulion nd Cuing Plne Mehods." Annls of Operions Reserch 127(1): Alson, J., M. A. Epelmn e S. G. Henderson (2005). "Opimizing cll cener sffing using simulion nd nlyic cener cuing plne mehods." Soumis à Mngemen Science(1). Alson, J., M. A. Epelmn e S. G. Henderson (2008). "Cll Cener Sffing Using Simulion nd Anlyic Cener Cuing Plne Mehods." Mngemen Science 54(2): Aykin, T. (1996). "Opiml Shif Scheduling wih Muliple Brek Windows." Mngemen Science 42(4): Aykin, T. (2000). "A comprive evluion of modeling pproches o he lbor shif scheduling problem." Europen Journl of Operionl Reserch 125(2): Bglin, G., O. Bruel e A. Grreu (2001). Mngemen indusriel e logisique. Pris, Economic. Bker, K. R. (1974). "Scheduling Full-Time Workforce o Mee Cyclic Sffing Requiremens." Mngemen Science 20(12, Applicion Series): Bker, K. R. (1976). "Workforce Allocion in Cyclicl Scheduling Problems - A Survey." Operionl Reserch Qurerly 27(1): Bker, K. R. e M. J. Mgzine (1977). "Workforce Scheduling wih Cyclic Demnds nd Dy- Off Consrins." Mngemen Science 24(2): Brholdi, J. J. (1981). "A Gurneed-Accurcy Round-Off Algorihm for Cyclic Scheduling nd Se Covering." Operions Reserch 29(3): Bechold, S. E. e L. W. Jcobs (1990). "Implici modeling of flexible brek ssignmens in opiml shif scheduling." Mngemen Science, 36(11): Bechold, S. E. e L. W. Jcobs (1996). "The equivlence of generl se-covering nd implici ineger progrmming formulions for shif scheduling." Nvl Reserch Logisics 43(2): Benois, T. (2004). Relxions e décomposiions combinoires. Lboroire d Informique, Universié d Avignon e des Pys de Vucluse. 122

130 Benois, T., E. Gudin e B. Roembourg (2002). Consrin Progrmming Conribuion o Benders Decomposiion: A Cse Sudy. Proceedings CP'02, Springer Benois, T., E. Gudin e B. Roembourg (2005). Plnificion de cenres d ppels éléphoniques. Gesion de producion e ressources humines Méhodes de plnificion dns les sysèmes producifs. V. G. Pierre Bpise, Alin Hï, Frnçois Soumis, Presses Inernionles Polyechnique (Monrél). Bhuli, S., G. Koole e A. Po (2007). "Simple mehods for shif scheduling in muli-skill cll ceners." Mnufcuring & Service Operions Mngemen o pper. Billionne, A. (1999). "Ineger progrmming o schedule hierrchicl workforce wih vrible demnds." Europen Journl of Operionl Reserch 114(1): Bordoloi, S. K. e H. Msuo (2001). "Humn resource plnning in knowledge-inensive operions: A model for lerning wih sochsic urnover." Europen Journl of Operionl Reserch 130(1): Burns, R. N. e M. W. Crer (1985). "Work force size nd single shif schedules wih vribles demnds." Mngemen Science 31(5): 599. Cnon, C. (2005). Applicion des echniques de recherche opérionnelle à l plnificion de personnel dns un cenre de concs muli-compéen, Universié de Tours. Cezik, M. T. e P. L'Ecuyer (2008). "Sffing Muliskill Cll Ceners vi Liner Progrmming nd Simulion." Mngemen Science 54(2): Chrnes, A., W. Cooper e R. Niehus (1978). Mngemen science pproches o mnpower plnning nd orgnizion design, Norh-Hollnd Pub. Co. Chuve, F. (2005). Une recherche opérionnelle. Hbiliion à diriger des recherches. Informique. Pris, Universié de Pris VI. Chuve, F., L. Chuvier, A. Renud e R. Ni-Abdllh (2003). An ggrege sffing model o opimize cll cener plnning. EURO/INFORMS Conference (ISTANBUL'2003). Isnbul (Turkey). Chuve, F., L. Chuvier, A. Renud e R. Ni-Abdllh (2003). Un modèle grégé de plnificion des cenres d'ppels. 5ème Congrès de l Sociéé Frnçise de Recherche Opérionnelle e d'aide à l Décision (ROADEF'2003). Avignon (Frnce). Chuve, F. e R. Ni-Abdllh (2006). Impc des renouvellemens d ppels dns l plnificion d un cenre de clienèle. ROADEF Lille, Frnce. Chuve, F., R. Ni-Abdllh e J. Luzier (2007). Prdigme de chîne d civiés pour l plnificion dns un cenre d ppels. FRANCORO V - ROADEF Grenoble, Frnce. Clevelnd, B. e J. Myben (1997). Cll cener mngemen on fs forwrd, Cll cener press. Coffre, A. (2005). Déloclision d'un cenre d'ppels vec voix sur IP. 01 Réseux. n

131 Dnzig, G. B. (1954). "A Commen on Edie's Trffic Delys Toll Boohs." Journl of he Operions Reserch Sociey of Americ 2(3): Dowslnd, K. A. (1998). "Nurse scheduling wih bu serch nd sregic oscillion." Europen Journl of Operionl Reserch 106(2-3): Edie, L. C. (1954). "Trffic Delys Toll Boohs." Journl of he Operions Reserch Sociey of Americ 2(2): Erns, A. T., H. Jing, M. Krishnmoorhy e D. Sier (2004). "Sff scheduling nd rosering: A review of pplicions, mehods nd models." Europen Journl of Operionl Reserch 153(1): Gimon, C. e G. L. Thompson (1984). "A Disribued Prmeer Cohor Personnel Plnning Model h Uses Cross-Secionl D." Mngemen Science 30(6): Gns, N., G. Koole e A. Mndelbum (2003). "Telephone cll ceners: Tuoril, review, nd reserch prospecs." Mnufcuring nd Service Operions Mngemen: 5: Gns, N. e Y. P. Zhou (2002). "Mnging lerning nd urnover in employee sffing." Operions Reserch 50(6): Grey, M. R. e D. S. Johnson (1979). Compuers nd inrcbiliy : guide o he heory of NP-compleeness. Sn Frncisco, W. H. Freemn. Ghouil-Houri, A. (1962). "Crcérision des mrices olemen unimodulires." Compes Rendus de l'acdémie des Sciences(254): Ghouil-Houri, A. (1964). "Flos e ensions dns un grphe." Annles scienifiques de l'école Normle Supérieure(Sér. 3, 81 no. 3): p Green, L. V., P. J. Kolesr e J. Sores (2001). "Improving he SIPP Approch for Sffing Service Sysems Th Hve Cyclic Demnds." Operions Reserch 49(4): Green, L. V., P. J. Kolesr e W. Whi (2007). "Coping wih Time-Vrying Demnd when Seing Sffing Requiremens for Service Sysem." Producion nd Operions Mngemen (POMS) 16(1): pp Grinold, R. C. e K. T. Mrshll (1977). Mnpower plnning models, Norh Hollnd Publishing Compny. Günes, E. (1999) Workforce scheduling. IE 672 Theory of Mchine Scheduling course. Deprmen of Indusril Engineering. Bilken Universiy., Hjek, B. (1985). "Exreml spliing of poin processes." Mhemics of Operions Reserch(10): Henderson, S. G. e A. J. Mson (1998). Rosering by Iering Ineger Progrmming nd Simulion. Proceedings of he 1998 Winer Simulion Conference. 124

132 Hol C., Modiglini F., Muh J. F. e S. H. (1960). Plnning Producion, Invenories, nd Work Force, Prenice Hll, New Jersey. ICMI (2000). Cll cener forecsring nd scheduling : he bes of cll cener mngemen review, Incoming Clls Mngemen Iniue, Cll Cener Press. Ingolfsson, A., E. Cbrl e X. Wu (2002). Combining Ineger Progrmming nd he Rndomizion Mehod o Schedule Employees, Deprmen of Finnce nd Mngemen Science, Fculy of Business, Universiy of Alber, Edmonon, Alber, Cnd. Ingolfsson, A., M. A. Hque e A. Umnikov (2002). "Accouning for ime-vrying queueing effecs in workforce scheduling." Europen Journl of Operionl Reserch 139(3): Jcquine, M. (2007). Les cenres de concs, l relion cliens : ou ce que vous vez oujours voulu svoir e qu'on ne vous jmis di, Voclcom. jrrh, brd e desilv (1994). "Soliving lrge scle our scheduling problems." Mngemen Science 40(9). Jouini, O., Y. Dllery e R. Ni-Abdllh (2004). Sochsic Models of Cusomer Porfolio Mngemen in Cll Ceners. Proceedings of he Germn Operions Reserch Sociey Jouini, O., Y. Dllery e R. Ni-Abdllh (2007). "Anlysis of he Impc of Tem-Bsed Orgnizions in Cll Ceners Mngemen." Mngemen Science To pper. Kolesr, P. J., K. L. Rider, T. B. Crbill e W. E. Wlker (1975). "A Queuing-Liner Progrmming Approch o Scheduling Police Prol Crs." Operions Reserch 23(6): Koole, G. (2004). Monooniciy nd convexiy resuls for muli-server queues wih pplicions o cll ceners. CWI Queueing Colloquium. Amserdm. Koole, G. (2005). Convexiy properies of queueing sysems wih pplicions o cll ceners INSEAD, Foninebleu nd Ecole Cenrle de Pris. Koole, G. e A. Mndelbum (2002). "Queueing models of cll ceners: An inroducion." Annls of Operions Reserch 113(1-4): Koole, G. e E. vn_der_sluis (2003). "Opiml Shif Scheduling wih Globl Service Level Consrin." IIE Trnscions 35(11): Mber (1979). "A Cse Sudy of Encoder Shif Scheduling under Unceriny." Mngemen Science 25(7). Mber, V. A. e C. A. Ws. (1982). "A simulion nlysis of our-shif scheduling consrucion procedures." Mngemen Science 28(5). Moondr, S. L. (1976). "An L.P. model for work force scheduling for bnks." Journl of Bnk Reserch 7(4):

133 Morris, J. G. e M. J. Showler (1983). "Simple pproches o shif, dys-off nd our scheduling problems." Mngemen Science 29. Ngrjn, R. e D. Towsley (1992). A noe on he convexiy of he probbiliy of full buffer in he M/M/1/K queue, CMPSCI Technicl Repor TR Prouche, A. (1998). Plnificion d'horires de rvil. Méhodologie, modélision e résoluion à l'ide de l progrmmion linéire en nombres eniers e de l progrmmion pr conrines. U.F.R Sciences des orgnisions. Pris, Universié Pris-Duphine. Rekik, Soumis e Cordeu (2003) Implici Shif Scheduling wih Muliple Breks nd Pre- nd Pos-Brek Resricions. Chiers du Gerd., Rekik, M., J. F. Cordeu e F. Soumis (2004). "Using Benders decomposiion o implicily model our scheduling." Annls of Operions Reserch 128(1-4): Reynolds, P. (2003). Cll cener sffing : he complee, prcicl guide o workforce mngemen, The Cll Cener School. Reynolds, P. (2003). Cll cener sffing. The complee, prcicl guide o workforce mngemen, The Cll Cener School. Roembourg, B. (2003). Dimensionnemen e plnificion des cenres d'ppels : problémiques e soluions d'opimision. 4e conférence frncophone de Modélision e de Simulion MOSIM'03. Toulouse. Segl, M. (1974). "Operor-Scheduling Problem - Nework-Flow Approch." Operions Reserch 22(4): Thompson, G. M. (1993). "Accouning for he muli-period impc of service when deermining employee requiremens for lbor scheduling." Journl of Operions Mngemen 11(3): Thompson, G. M. (1995). "Improved Implici Opiml Modeling of he Lbor Shif Scheduling Problem." Mngemen Science 41(4): Thompson, G. M. (1997). "Lbor sffing nd scheduling models for conrolling service levels." Nvl Reserch Logisics 44(8): Thompson, G. M. e J. C. Goodle (2006). "Vrible employee produciviy in workforce scheduling." Europen Journl of Operionl Reserch 170(2): Tien, J. M. e A. Kmiym (1982). "On Mnpower Scheduling Algorihms." Sim Review 24(3): Wllce, R. B. e W. Whi (2005). "A sffing lgorihm for cll ceners wih skill-bsed rouing." Mnufcuring & Service Operions Mngemen 7(4): Wrner, D. M. (1976). "Scheduling Nursing Personnel According o Nursing Preference - Mhemicl-Progrmming Approch." Operions Reserch 24(5):

134 Whi, W. (2007). "Wh You Should Know Abou Queueing Models o Se Sffing Requiremens in Service Sysems." Nvl Reserch Logisics 54(5):

135 Résumé Cee hèse borde l gesion des ressources humines dns un cenre d ppels. Plus spécifiquemen, nous nous inéressons ux problèmes de dimensionnemen e de plnificion. L objecif sous-jcen es d ssurer l meilleure qulié de service u clien (pr exemple minimiser le déli d ene) vec un coû slril minimum pour l enreprise. Ces problémiques son générlemen modélisées dns l liérure pr le problème de consrucion de vcion (shif-scheduling problem). Pour ppréhender ce problème, nous inroduisons le prdigme de chîne d civiés. Ce prdigme nous perme de représener l grnde diversié des environnemens e des conrines de gesion des ressources humines dns un cenre d ppels. Nous rduisons ensuie ce prdigme en progrmme linéire en nombres eniers pour résoudre les problèmes de dimensionnemen e de plnificion. Nous proposons enfin une méhode pour inégrer u progrmme linéire en nombres eniers un objecif de qulié de service non linéire. Mos clés : cenres d ppels, plnificion, dimensionnemen, problème de consrucion de vcions, progrmmion linéire en nombres eniers, modèles implicies. Absrc We ddress in his hesis dimensioning nd plnning issues in cll cener. The purpose is o gurnee high quliy of service minimum cos for he compny. In he lierure, heses issues re generlly modeled using he shif-scheduling problem. In his hesis we inroduce wh we cll he civiy series prdigm. This prdigm llows deling wih he gre diversiy of cll cener consrins nd environmens. I ws used o model nd solve he plnning nd dimensioning problems wih n ineger liner progrm. We lso, develop mehod o opimize non-liner quliy of service in he shif-scheduling problem. Keywords: cll ceners, plnning, dimensioning, shif-scheduling problem, ineger liner progrmming, implici models.