Équations d amorçage d intégrales premières formelles

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1 Équations d amorçage d intégrales premières formelles D Boularas, A Chouikrat 30 novembre 2005 Résumé Grâce à une analyse matricielle et combinatoire des conditions d intégrabilité, on établit des équations diophantiennes, appelées équations d amorçage, dont les solutions correspondent aux multi-degrés des monômes de démarrage des intégrales premières formelles des systèmes différentiels de valuation un Classification AMS : 34A34, 34C20, 14L30, 14L35 Mots clés : systèmes différentiels, intégrabilité, intégrales premières 1 Notations et motivations Le problème de l intégrabilité des systèmes différentiels polynomiaux est un sujet à la fois ancien, plaisant et qui se pose en des termes simples Soit K le corps des nombres réels IR) ou complexes C) et Pn, m) l espace vectoriel des systèmes différentiels autonomes à coefficients dans K dx j dt = P j x), j {1,, n} 1) où xt) = T x 1 t),x 2 t),, x n t)), représenté avec des indices supérieurs, est un élément courant de l espace des phases K n et les polynômes P j j = 1, 2,, n) sont de degré au plus égal à m Le temps t pourrait être réel ou complexe LACO, UMR 6090, Département de Mathématiques, Faculté des Sciences et Techniques, Université de Limoges, 123, Avenue A Thomas, 87000, Limoges, France Département de Mathématiques, Faculté des Sciences, Université Saad Dahlab, Blida, Algérie 1

2 Définition 1 Une fonction F C 1 O), continûment différentiable sur l ouvert O de K n et à valeurs dans K est une intégrale première du système différentiel 1) si n F x j x) P j x) =0 2) Le membre de gauche de l égalité 2) définit un opérateur linéaire O,P de l espace vectoriel des fonctions continûment différentiables C 1 O) dans l espace vectoriel des fonctions continues CO) Le problème de l intégrabilité des systèmes différentiels 1) consiste à décrire le noyau de cet opérateur Il relève plutôt de la résolution du système considéré On sait qu au voisinage de tout point régulier x 0 c est-à-dire, P x 0 ) 0) le noyau de O,P est engendré par n 1 intégrales premières fonctionnellement indépendantes[7, p206]) Ce résultat, important en soi, demeure cependant théorique Par contre au voisinage d un point singulier, des travaux de plus en plus nombreux et d essence effective [4, 5, 6, 8]) sont consacrés à la recherche d intégrales premières dans des classes particulières de fonctions comme celles des polynômes, des fractions rationnelles, des fonctions algébriques, des exponentielles ou, plus généralement, dans des extensions différentielles du corps des fractions rationnelles Kx) Dans ce travail, nous nous intéressons aux intégrales premières développables en séries entières formelles) au voisinage d un point singulier, ici x = 0, où la matrice du linéarisé A n est pas nulle Lorsque ces deux conditions sont vérifiées, à savoir P O) = 0 et A = A i j) 1 i,j n = P 0) 0, nous dirons que le polynôme vectoriel P est de valuation 1 x On note σ 1,, σ n les fonctions symétriques associées aux valeurs propres de A Le principal résultat de cet article est l obtention d une famille d équations diophantiennes multivariées, à coefficients dans K[σ 1,σ 2,, σ n ], telles que si le système 1) admet une intégrale première formelle, sa valuation est solution de l une de ces équations 2 Écriture matricielle des conditions d intégrabilité 21 Ordre total-lexicographique On note Symk) l ensemble des formes algébriques homogènes de degré k et S l espace vectoriel de dimension infinie des séries formelles : où [9, p 21]) S= Symk) k=1 dimsymk)) = nn + 1)n + 2) n + k 1) k! = n + k 1)! n 1)!k! 2

3 L ensemble des multi-degrés est décrit par le produit cartésien IN n On appelle degré total d un monôme x 1 ) i 1 x 2 ) in x n ) in l entier naturel i = i 1 + i i n L ensemble des multi-degrés IN n peut être muni de l ordre total-lexicographique : i > j ou i j { la première composante non nulle de i j i = j et est positive C est bien un ordre total En respectant l ordre total-lexicographique, l ensemble des formes algébriques {x 1 ) i 1 x 2 ) i2 x n ) in ; i = k} définit une base canonique) dans laquelle tout élément de Symk) f i1,i 2,,i n x 1 ) i 1 x 2 ) i2 x n ) in i =k s écrit sous la forme [f k,0,0,,0,f k 1,1,0,,0,f k 1,0,1,,0,, f 0,0,0,,k ] x 1 ) k x 1 ) k 1 x 2 ) 1 x 1 ) k 1 x 3 ) 1 x n ) k = F [k] X [k], 3) où F [k] et X [k] désignent respectivement des vecteurs ligne et colonne Utilisant cette écriture simplifiée, une série formelle devient k=1 i =k f i1,i 2,,i n x 1 ) i 1 x 2 ) i2 x n ) in F 1 X 1 + F 2 X F k X k + 4) tandis que le second membre du système différentiel 1), de valuation 1 et de degré m, s écrit sous la forme : dx dt = P 1 X 1 + P 2 X P m X m, 5) où cette fois, P i,i=1, 2,, m, est une matrice à n lignes et 3 n + i 1)! n 1)!i! colonnes

4 22 Écriture matricielle des conditions d intégrabilité Une série F x) = F 1 X 1 + F 2 X F k X k + est une intégrale première du système différentiel 1) si elle vérifie l équation 2) que l on réécrit sous la forme : n F x) P j x) =0, x j c est-à-dire, en reprenant les notations précédentes, n F 1 X 1 + F 2 X 2 + ) [ ] P j x j 1 X 1 + P j 2 X PmX j m =0 En développant le membre de gauche de cette équation par degré d homogénéité, on obtient la suite infinie d équations, degrés croissants en x, 1 : 2 : 3 : m : m + 1 : n F 1 X 1 ) P j x j 1 X 1 =0, n [ F1 X 1 ) P j x j 2 X 2 + F 2X 2 ) ] P j x j 1 X 1 =0, n [ F1 X 1 ) P j x j 3 X 3 + F 2X 2 ) P j x j 2 X 2 + F 3X 3 ) ] P j x j 1 X 1 =0, n [ F1 X 1 ) P x mx j m + F 2X 2 ) P j x m 1X j m F mx m ) ] P j j x j 1 X 1 =0, n [ F2 X 2 ) P x mx j m + F 3X 3 ) P j x m 1X j m F m+1x m+1 ) ] P j j x j 1 X 1 =0, De façon générale, l équation qui correspond au degré k en x est : n [ Fk mink,m)+1 X k mink,m)+1 ) x j P j mx m + + F k mink,m)+2x k mink,m)+1 ) P x m 1X j m F kx k ) ] P j j x j 1 X 1 =0 6) L équation 6) étant homogène de degré k en les composantes de x, il existe mink, m) matrices, notées M [i,k] i = k mink, m) + 1,, k), permettant de la réecrire sous la forme : ] [F k mink,m)+1 M [k mink,m)+1,k] + F k mink,m)+2 M [k mink,m)+2,k] + + F k M [k,k] X [k] =0 4

5 La matrice M [i,k] a n + i 1)! n 1)!i! lignes et n + k 1)! n 1)!k! La précédente suite infinie d équations devient : F 1 M [1,1] =0 colonnes F 1 M [1,2] + F 2 M [2,2] =0 F 1 M [1,3] + F 2 M [2,3] + F 3 M [3,3] =0 7) F k mink,m)+1 M [k mink,m)+1,k] + F k mink,m)+2 M [k mink,m)+2,k] + + F k M [k,k] =0, Le système linéaire ainsi obtenu est triangulaire par blocs) 3 Équations d amorçage des intégrales premières Si le système différentiel 1) admet une intégrale première F de valuation d, dans l écriture 4) de celle-ci, on a nécessairement : F 1 = F 2 = F 3 = = F d 1 = 0 et F d 0 Par conséquent, la première équation consistante que nous rencontrons est : F d M [d,d] =0 Elle admet une solution non nulle si, et seulement si, detm [d,d] )=0 Cette condition est nécessaire mais pas suffisante Sachant que le système 7) est triangulaire, une fois le premier F d trouvé, on l injecte dans l équation vectorielle) suivante et on déduit F d+1 On continue ce processus tant que le passage d une équation à une autre est compatible Il peut s interrompre de deux manières La première est lorqu une équation n a pas de solution Dans ce cas, Le système différentiel 1) n a pas d intégrale première formelle de valuation d La seconde manière apparait lorsqu à partir d un certain rang D, la nullité des F i,i = D +1,D+2,, D + m 1, est compatible avec les équations Dans ce cas, le système 1) admet une intégrale première polynomiale de valuation d et de degré D et par conséquent, le rang de la matrice M [D mind,m)+1,d] est inférieur à D mind, m)+n)! D mind, m) + 1)!n 1)! Nous obtenons ainsi une condition nécessaire d existence d intégrale première polynomiale qu on appellera, condition de rupture Dans ce travail, nous nous intéresserons seulement à la condition d amorçage d intégrales premières formelles et pour cela, on va détailler le calcul de M [d,d] 5

6 31 Expression des matrices M [d,d] De manière générale, la matrice M [l,d], où d =1, 2, 3, mink, m)+2,, d, est définie par : et l = d mink, m) + 1, d n F l X l ) x j P j d l+1 Xd l+1 = F l M [l,d] X d La matrice M [d,d] est carrée et est de dimension Elle est définie par : d + n 1)! d)!n 1)! d + n 1)! On la note L d)!n 1)! n F d X d ) x j A j X 1 = F d LX d = i =d j =d f j1,j 2,,j n L j 1,j 2,,j n i 1,i 2,,i n x 1 ) i 1 x 2 ) i 2 x n ) in où A j désigne la j-jème ligne de la matrice A, c est-à-dire P 1, selon la notation 5) Nous nous proposons de calculer tous les coefficients L j 1,j 2,,j n i 1,i 2,,i n de la matrice L Pour faciliter ce calcul, on écrit l expression [ ] n F d X d ) n f A j X 1 i1,i2,,in x 1 ) i 1 x 2 ) i 2 x n ) in [ n ] = A j x j x j q x q i 1 +i 2 + +i n=d sous la forme {i 1 f i1,i2,,in x 1 ) i1 1 x 2 ) i 2 x n ) [A in 11x 1 + A 12x A 1nx ] n q=1 i =d + i 2 f i1,i 2,,i n x 1 ) i 1 x 2 ) i 2 1 x n ) in [ A 2 1x 1 + A 2 2x A 2 nx n ] + + i n f i1,i 2,,i n x 1 ) i 1 x 2 ) i 2 x n ) in 1 [ A n 1x 1 + A n 2x A n nx n ]} 8) On remarque alors que les multi-indices inférieur et supérieur sont égaux à deux indices près qui diffèrent au plus d une unité D où la proposition : Proposition 1 La matrice L est définie par : L j 1j 2 j n i 1 i 2 i = 0 si i j > 2, n L i 1i 2 i n i 1 i l 1) i q + 1) i n = i l A l q, L i 1i 2 i n i 1 i l + 1) i q 1) i n = i q A q l, L i 1i 2 i n i 1 i 2 i n = i 1 A i 2 A i n A n n) 6 9)

7 Corollaire 1 La matrice L = M [d,d] est diagonale triangulaire inférieure, triangulaire supérieure) si, et seulement si, quelle quel que soit d =1, 2, 3,, la matrice de départ A est diagonale triangulaire inférieure, triangulaire supérieure) Corollaire 2 Si λ 1,λ 2,, λ n désignent les valeurs propres éventuellement égales) de la partie linéaire A du système 1), alors les valeurs propres de la matrice M [d,d] sont de la forme i 1 λ 1 + i 2 λ i n λ n, où i 1,i 2, IN Remarquons que ce corollaire est contenu dans le lemme 23 de l article [6]) Grâce à l ordre utilisé et aux corollaires précédents, on peut dire que le déterminant de L ne change pas si on remplace la matrice A par sa forme de Jordan Par conséquent, Proposition 2 Le déterminant de la matrice M [d,d] est égal à : i 1 λ 1 + i 2 λ i n λ n ) 10) i 1 +i 2 ++i n=d Cette quantité étant une fonction symétrique, elle s exprime nécessairement [3, p 307]) à l aide des fonctions symétriques de base, c est-à-dire, des coefficients du polynôme caractéristique de A : où Par conséquent, detλ1 n A) =λ n σ 1 A)λ n ) n σ n A), σ 1 = n λ i, σ 2 = i=1 1 i<j n λ i λ j,,, σ n = λ 1 λ 2 λ n detm [d,d] = S d σ 1,σ 2,,σ n ) où S d est un polynôme Fait remarquable, ce polynôme se factorise en un produit de facteurs irréductibles dont la structure de chacun est décrite entierement par l action du groupe symétrique 32 Action du groupe symétrique sur IN n On note S n le groupe des permutations de {1, 2,, n} et ϕ : S n IN n IN n l action définie par ϕσ, i)) = i σ1),i σ2),, i σn) ) 11) où i =i 1,i 2,, i n ) Cette action laisse invariant les hyper-réseaux H k, k = 1, 2, 3, qui sont constitués de n-uplets d entiers naturels dont la somme est égale à k Elle induit donc sur les ensembles H k des partitions en orbites : Oi) ={i σ1),i σ2),, i σn) ); σ S n } Par exemple, pour tout entier naturel non nul k, 7

8 1 Ok, 0, 0,, 0))={k, 0, 0,, 0), 0, k, 0,, 0), 0, 0, k,, 0),,0, 0, 0,, k)}, 2 et si de plus k est multiple de n k = nl), Ol, l, l,, l)) = {l, l, l,, l)} Il est clair que la dimension de Symk) est égale au nombre d éléments de H k : H k = nn + 1)n + 2) n + k 1) k! = n + k 1)! 12) n 1)!k! Pour calculer le nombre d orbites, on prendra pour chacune d elle un représentant i = i 1,i 2,, i n ) tel que i = k et i 1 i 2 i n Ce représentant correspond à une partition de k, ne dépassant pas n parts Par conséquent, le nombre d orbites de H k est égal au nombre de partitions de k ne dépassant pas n parts Soient p n k) le nombre de partitions de l entier naturel k en au plus n parts et p n,m k) le nombre de partitions de k en au plus n parts inférieures ou égales à m D après [2, p 33], les nombres p n,m k) sont définis par la fonction génératrice : G n,m t) = 1 tm+n )1 t m+n 1 ) 1 t n+1 ) 1 t m )1 t m 1 ) 1 t) = 1 + p n,m k)t k 13) k=1 Sachant que les parts d une partition de k ne dépassent pas k, on a : p n k) =p n,k k) De manière générale, pour obtenir tous les p n k), on fait tendre m vers l inifini Proposition 3 Le produit g n t) = m=1 1 t m+n converge pour tout t I =] 1, 1[ 1 tm t m t m+n Preuve Pour tout n fixé, la série est absolument convergente sur I par 1 t m m=1 comparaison avec la série géométrique de terme général t m ) La proposition 4101 [1, p157] permet de conclure En fait, Proposition 4 La somme partielle d ordre k de la série 1+ somme partielle d ordre k du développement en série du produit fini p n k)t k est égale à la k=1 k m=1 1 t m+n 1 t m 8

9 Preuve Pour le voir, il suffit de remarquer que dans le passage de k à k + 1 du développement en série entière du produit k 1 t m+n 1 t, m m=1 le développement de la fraction 1 tk+n+1 1 t k+1 qui est de la forme 1 + t k+n+1 )1 + t k+1 + ) = 1 + t k+1 + n influe pas sur les k premiers termes du développement en série entière de la fraction k m=1 1 t m+n 1 t m 33 Factorisation de detm [d,d] ) dans K[σ 1,σ 2,, σ n ] L objectif de ce paragraphe est de présenter une méthode qui permet d exprimer detm [d,d] ) à l aide des fonctions symétriques σ 1,σ 2,, σ n Pour arriver à cette fin, un réarrangement des facteurs du produit de l expression 10) est nécessaire Pour cela, nous allons regrouper dans l expression 10) les facteurs en les λ i par orbites d indices D où : ) detm [d,d] )= j 1 λ 1 + j 2 λ j n λ n i 1 + i i n = k i 1 i 2 i n 0 j 1,j 2,,j n) Oi 1,i 2,,i n) Dans l expression précédente, chaque crochet nous fournira un facteur irréductible il y en a p n k) facteurs) dans K[σ 1,σ 2,, σ n ] Voici quelques exemples génériques) de ces facteurs 1 lorsque la partition de k est k), le facteur est : j 1 λ 1 + j 2 λ j n λ n )=k n deta); j 1,j 2,,j n) Ok,0,0) 2 lorsque k est un multiple de n, c est-à-dire, k = nl, l, l, l) est une partition de k et alors, j 1 λ 1 + j 2 λ j n λ n )=ltracea); j 1,j 2,,j n) Ol,l,l) 3 lorsque k = u +n 1)v, avec u < v, la partition v, v,, v, u) correspond au facteur [uλ 1 + vλ λ n )][uλ 2 + vλ 1 + λ 3 + λ n )] [uλ n + vλ λ n 1 )] = [u v)λ 1 + v tracea)][u v)λ 2 + vtracea)] [u v)λ n + v tracea)] = v n [tracea)] n + v n 1 u v)[tracea)] n 1 σ 1 + v n 2 u v) 2 [tracea)] n 2 σ vu v) n 1 [tracea)] σ n 1 +u v) n σ n 9

10 Les longueurs ou cardinaux) d orbites varient entre 1 lorsque les n parts de la partition sont égales) et n! lorsque les n ou n 1 parts de la partition sont distinctes deux à deux) De manière générale, Lemme 1 Soit k = k 1, k 1,k 2,, k 2,k l,, k l ) une partition de k en r = r 1 + r r l parts telle que r n ; la longueur de l orbite O k) est égale à O k) = n! r 1!r 2! r l!n r)! On fait remarquer que le facteur n r correspond au nombre de zéros dans le multi-degré représenté par la partition k de k Proposition 5 L expression j 1,j 2,,j n) Oi 1,i 2,i n) est un polynôme irréductible dans K[σ 1,σ 2,, σ n ] j 1 λ 1 + j 2 λ j n λ n ) Preuve L irreductibilité de chaque facteur associé à une orbite vient du fait que l orbite en question, en tant qu ensemble S n -invariant, est minimal au sens de l inclusion Maintenant que nous avons obtenu la factorisation du déterminant detm [k,k] ) en p n k) facteurs irréductibles dans K[σ 1,σ 2,, σ n ], étudions la structure de chacun d eux en fonction, seulement, de la longueur de l orbite correspondante Remarque 1 À toute orbite Oi 1,i 2,, i n ) telle que i 1 + i i n = d et de cardinal l correspond le type de facteur : j 1 λ 1 + j 2 λ j n λ n )= A α1,α 2,,α n d, l) σ α 1 1 σ α 2 2 σn αn j 1,j 2,,j n) Oi 1,i 2,i n) P n i=1 iα i=l où les A α1,α 2,,α n d, l) sont des coefficients entiers qui ne dépendent que de d et de l À chaque longueur d orbite O k) correspond un type de facteur E j σ 1,σ 2,,σ n k) de degré O k) dans K[A 1 1,A 1 2,, A n n] Les zéros de ces facteurs sont les multi-degrés de longueur égale à la valuation d de la série formelle cherchée Il y a autant d équations que de longueurs À chaque orbite, on associe une équation d amorçage : E j σ 1,σ 2,,σ n k) =0 en k 1,k 2,, k n ) IN n et à coefficients dans K[σ 1,σ 2,, σ n ] On peut alors regrouper les résultats précédents en : Théorème 1 Si le système différentiel 1) admet une intégrale première formelle, alors l une des équations d amorçage précédentes admet une solution non triviale 10

11 Remarque 2 On sait que lorsqu une série formelle F est une intégrale première de 1) alors, quelle que soit la fonction Φ : C C, différentiable, Φ F est aussi une intégrale première de 1), en particulier, si cette fonction est une puissance k-ième Tenant compte de cela, tout facteur irréductible de detm [d,d] ) est facteur de detm [ld,ld] ) pour l =1, 2, Une conséquence de cette remarque : Remarque 3 Le déterminant de L qui correspond à celui de A, pour d =1) est facteur de tous les déterminants detm [d,d] ) 4 Exemples des systèmes de dimensions 2 et 3 Les résultats précédents possèdent un caract`re algorithmique En effet, en suivant les étapes suivantes, on peut élaborer un algorithme qui permet de calculer les équations d amorçage de valuation totale donnée d Étape 1 Calculer toutes les partitions de l entier d en au plus n parts Étape 2 Répartir les orbites associées aux partitions selon leurs longueurs cardinaux) Cela donne les types d orbites Étape 3 Pour chaque longueur d orbite, écrire l équation d amorçage en les λ 1,, λ n Étape 4 En utilisant les bases de Groebner [3]), on réeduit ces équations dans l anneau K[σ 1,σ 2,, σ n ] Pour les petites dimensions, on peut comparer les facteurs obtenus à l expression générale de detm [d,d] ) factorisée dans K[σ 1,σ 2,, σ n ] sans passer par les S n -orbites Les exemples ci-dessous ont été traités à l aide du logiciel Maple8 41 Systèmes de dimension 2 ) d Pour chaque degré d, il existe +1 orbites Od 1 d 2 ) telles que d 1 + d 2 = d Ici 2 désigne la partie entière On distinguera deux types : Premier type : l orbite Od 1 d 2 ) est réduite à un singleton : Nécessairement d est pair et d 1 = d 2 = d Le facteur correspondant à l orbite est : 2 d 2 tracea) Second type : l orbiteod 1 d 2 ) contient deux éléments : Évidemment, d 1 d 2 Dans ce cas, ) d 1 λ 1 + d 2 λ 2 )d 2 λ 1 + d 1 λ 2 ) = d 1 d 2 λ 1 ) 2 +λ 2 ) 2 + d 1 ) 2 +d 2 ) 2 )λ 1 λ 2 ) 11

12 = d 1 d 2 λ 1 + λ 2 ) 2 + d 1 d 2 ) 2 λ 1 λ 2 ) ) 2 ) 2 = d 1 d 2 tracea) + d 1 d 2 deta) Ainsi, pour n importe quel degré total d, nous pouvons prévoir et calculer les facteurs irréductibles de detm [d,d] ) Pour cela, on distinguera les cas où d est pair ou impair Théorème 2 Si le système 1) admet une intégrale première formelle de valuation d, alors 1) si d est impair, d 1 + d 2 = d d 1 >d 2 2 ] [d 1 d 2 tracea)) +d1 d 2 ) 2 deta) =0, 2) si d est pair, d 2 tracea) d 1 + d 2 = d d 1 >d 2 2 ] [d 1 d 2 tracea)) +d1 d 2 ) 2 deta) =0 Corollaire 3 Si le système 1), à coefficients dans IR, admet une intégrale première formelle réelle, alors trace 2 A)detA) 0 On vérifie l expression factorisée du théorème ci-dessus en effectuant directement les calculs à l aide des bases de Groebner réduction dans K[σ 1,σ 2,, σ n ]) et factorisation Ainsi, en posant δ = deta) = σ 2 et J = tracea) = σ 1 ) on obtient les expressions suivantes : detm [2,2] ) = 4 δ J, detm [3,3] ) = 9 δ 2 J 2 + δ), detm [4,4] ) = 32 δj 4 δ +3J 2 ), detm [5,5] ) = 25 δ δ +6J 2 ) 9 δ +4J 2 ), detm [6,6] ) = 432 δj 2 J 2 + δ) 16 δ +5J 2 ), detm [7,7] ) = 49 δ 25 δ +6J 2 )δ + 12 J 2 ) 9 δ + 10 J 2 ), detm [8,8] ) = 1024 δj 4 δ +3J 2 ) 36 δ +7J 2 ) 4 δ + 15 J 2 ), detm [9,9] ) = 729 δ δ + 20 J 2 ) 49 δ +8J 2 ) 2 J 2 + δ) 25 δ + 14 J 2 ), detm [10,10] ) = 8000 δj 9 δ +4J 2 )δ +6J 2 ) 16 δ + 21 J 2 ) 64 δ +9J 2 ), 12

13 42 Systèmes de dimension 3 D après l étude générale, pour un degré donné d, nous avons trois types de décompositions en partitions ou de facteurs) : Premier type : l orbite Od 1,d 2,d 3 ) a un élément Nécessairement d est un multiple de 3 et d 1 = d 2 = d 3 = d Le facteur correspondant est évidemment 3 d 3 σ 1 Deuxième type : l orbite Od 1,d 2,d 3 ) a trois éléments Dans ce cas, nous avons nécessairement d 1 = d 2 >d 3 ou d 1 >d 2 = d 3, ce qui revient à : Le facteur est d =2d 1 + d 3 ou d = d 1 +2d 2 avec d 1 >d 2 d 1 d 3 ) 3 σ 3 + d 1 d 2 3 σ 3 1 d 3 d 1 d 3 ) 2 σ 2 σ 1 si d =2d 1 + d 3 d 2 d 1 ) 3 σ 3 + d 2 d 2 1 σ 3 1 d 1 d 2 d 1 ) 2 σ 2 σ 1 si d = d 1 +2d 2 Troisième type : l orbite Od 1,d 2,d 3 ) a six éléments Dans ce cas, d = d 1 + d 2 + d 3 avec d 1 >d 2 >d 3 Le facteur correspondant est : d 2 1 d 1 d 3 d 2 d 1 d 3 d 2 + d d 2 2) 3 σ 2 3 d 2 d 3 ) 2 d 1 d 3 ) 2 d 1 d 2 ) 2 σ d 2 3 d 2 1 d 2 2 σ 6 1 +d 3 d d 2 1 d 2 3 d 3 d 2 d 1 + d 2 3 d 1 )d 1 d d 3 d 2 d 1 + d 3 d d 2 3 d 2 ) σ 2 2 σ 2 1 d 3 d 2 d 1 6 d 3 d 2 d 1 + d 3 d d 2 3 d 1 + d 3 d d 2 1 d 2 + d 1 d d 2 3 d 2 ) σ 2 σ 4 1 d 3 2 d 1 + d 3 2 d 3 4 d 2 2 d d 2 3 d d 1 d 3 d d 1 d 2 3 d 2 +2d 2 1 d 3 d 2 + d 3 3 d 2 + d 2 d d 2 3 d d 3 3 d 1 + d 3 d 3 1)d 2 1 d 1 d 3 d 2 d 1 d 3 d 2 + d d 2 2)σ 3 σ 2 σ d 3 3 d d 3 3 d d 3 2 d 3 1 d 3 2 d 3 d 2 1 d 3 3 d 1 d 2 2 d 2 2 d 3 d 3 1 d 2 3 d 3 2 d 1 d 3 3 d 2 1 d 2 + d 2 3 d d 4 2 d d 4 3 d d 2 3 d d 2 3 d 2 1 d d 4 3 d 2 1 d 2 3 d 3 1 d 2 + d 4 1 d 2 2)σ 3 σ 3 1 Comme en dimension 2, en utilisant les bases de Groebner, on obtient les factorisations suivantes des déterminants suivants : detm [1,1] ) = σ 3 detm [2,2] ) = 8 σ 3 σ 1 σ 2 σ 3 ), detm [3,3] ) = 27 σ 3 σ 1 27 σ σ 3 σ 2 σ 1 +4σ 3 σ σ σ 2 2 σ 1 2 ) detm [4,4] ) = 512 σ 3 σ3 +2σ σ 1 σ 2 ) σ1 σ 2 σ 3 ) 343 σ σ 3 σ σ 3 σ 2 σ σ σ 2 2 σ 1 2 ) 13

14 detm [5,5] ) = 125 σ 3 8 σ3 +3σ σ 1 σ 2 ) 4 σ1 3 +2σ 1 σ 2 σ 3 ) 2197 σ σ 3 σ σ 3 σ 2 σ σ 2 2 σ σ 2 3 ) 343 σ σ 3 σ σ 3 σ 2 σ σ 2 2 σ σ 2 3 ) detm [6,6] ) = σ 3 σ 1 σ 3 + σ 1 σ 2 ) 27 σ 3 +4σ σ 1 σ 2 ) 27 σ σ 3 σ 2 σ 1 +4σ 3 σ σ σ 2 2 σ 1 2 ) 9261 σ σ 3 σ σ 3 σ 2 σ σ 2 2 σ σ 2 3 ) 27 σ3 2 +4σ 3 σ σ σ 3 σ 2 σ σ 1 4 σ σ 2 2 σ σ 2 3 ) Les auteurs remercient vivement le referee pour toutes les corrections et suggestions apportées Références [1] É Amar, É Matheron, analyse complexe, Editions Cassini [2] GE Andrews, The Theory of Partitions, Encyclopedia of Mathematices and its applications, volume 2,Addison-Wesley Publishing Company, 1976 [3] D Cox, J Little, D O shea, Ideals, Varieties and Algorithms, Springer-Verlag, 1992 [4] A Maciejewski, J Moulin-Ollagnier, A Nowicki, Generic polynomial vector fields are not integrable, October 2002, to be published in Indagationes Mathematicae [5] J Moulin-Ollagnier, Liouvillian Integration of the Lotka-Volterra System, Qualitative Theory of Dynamical Systems ), [6] J Moulin-Ollagnier, A Nowicki, J-M Strelcyn, On the no-existence of constants of derivations : the proof of a theorem of a theorem of Jouanolou and its development Bull Sci math 119, [7] L Pontriaguine, Équations différentielles ordinaires, Éditions Mir - Moscou, 1975 [8] M F Singer, Liouvillian First Integral of Differential Equations, Transactions of the AMS, 3332), October 1992, [9] H Weyl, The Classical Groups, Their Invariants and Representations Princeton