Comparaison entre un groupe expérimental et un groupe témoin (Corrigé) /30

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1 Comparaison entre un groupe expérimental et un groupe témoin (Corrigé) /30 I1 Connaissances préalables : Buts spécifiques : Outils nécessaires: Consignes générales : Test t de comparaison de moyennes pour échantillons indépendants Analyse de la variance à un facteur (ONEWAY) Utilisation des formules des deux tests. Comparaison des deux tests. TI-83,Programme utilisateur DISTR. Donnez les résultats numériques avec une précision de trois décimales. Un chercheur a récolté des résultats pour comparer les performances à un test dans deux groupes. Le premier - appelé groupe expérimental - a suivi une préparation préalable à l épreuve; le second - appelé groupe témoin - n a subi aucune préparation. L hypothèse testée est celle d absence d effet de la préparation sur le résultat moyen au test ( c est-à-dire l hypothese selon laquelle un individu ayant suivi la préparation obtiendrait, en moyenne, un résultat identique à un individu n ayant pas bénéficié de la préparation préalable). Le chercheur a malheureusement perdu ses données et n a pu retrouver dans sa corbeille à papier que quelques résultats partiels : quelques mesures de statistique descriptive et des fragments d un tableau d analyse de la variance à un facteur. Ces résultats sont repris ci-dessous, les cases marquées d un point d'interrogation "?" correspondent à des données perdues. STATISTIQUE DESCRIPTIVE Groupe expérimental Groupe témoin Ensemble des deux groupes Effectif??? Moyenne??? Variance (non corrigée)?? 2,257 Source de variation Somme des Carrés Degrés de libertés ONEWAY Carrés moyens f obs p-valeur Préparation SC inter =?? CM inter =8,540 f obs =? P Ho (F f obs ) =? Résidu SC intra =? 18 CM intra =? Total SC total =?? I1/Corrigé - 1/5 -

2 PARTIE I : ONEWAY Le chercheur se demande s'il peut affirmer qu il existe un effet de la préparation sur le résultat moyen au test. Dans un premier temps, il se propose d'appliquer une analyse de la variance à un facteur en s'efforçant de compléter le tableau ANOVA. Source de variation Somme des Carrés Degrés de libertés ONEWAY Carrés moyens f obs p-valeur Préparation 8, ,540 4,200 0,055 Résidu 36, ,033 Total 45, Calculez les degrés de liberté et reportez-les dans le tableau précédent. 2. Calculez SC inter et reportez cette valeur dans le tableau précédent. 3. Calculez SC total et reportez cette valeur dans le tableau précédent. 4. Calculez SC intra et reportez cette valeur dans le tableau précédent. 5. Calculez CM intra et reportez cette valeur dans le tableau précédent. 6. Calculez f obs et reportez cette valeur dans le tableau précédent. 7. Calculez la p-valeur associée à f obs en utilisant le programme approprié de votre calculatrice et reportez cette valeur dans le tableau précédent. 8. Quelles sont les hypothèses nulle et alternative testées au cours de cette analyse de la variance? Réponse : (i) H0 : Les performances moyennes au test des deux sous-populations ( celle constituée des individus qui ont suivi la préparation et celle constituée des individus qui ne l ont pas suivie ) sont égales (Absence d'effet de la préparation) (ii) H1 : Les performances moyennes au test des deux sous-populations sont différentes (Effet - positif ou négatif - de la préparation) I1/Corrigé - 2/5 -

3 9. Quelle conclusion peut-on tirer du tableau ANOVA en travaillant au niveau 0,05? Explicitez cette conclusion en fonction du contexte. (i) NRH 0 (ii) Les performances moyennes des deux sous-populations ne présentent pas de différence significative au seuil traditionnel de 0,05. Les résultats observés ne permettent pas de conclure à un effet significatif de la préparation sur le résultat moyen au test. PARTIE II : TEST T POUR ECHANTILLONS INDÉPENDANTS A priori, le chercheur n'envisage comme seule alternative possible à l'hypothèse nulle, qu'une amélioration des résultats suite à la préparation. Le chercheur se souvient d'ailleurs que la moyenne des performances du groupe expérimental est supérieure à celle du groupe témoin. 10. Formulez, dans ce cas, l'hypothèse alternative. H1 : La moyenne des performances au test de la sous-population entraînée est supérieure à la moyenne des performances au test de l'autre sous-population (effet positif de la préparation). 11. L analyse de la variance à un facteur est-elle le test approprié pour trancher entre l'hypothèse nulle et la nouvelle hypothèse alternative ou est-il préférable d utiliser un test t pour échantillons indépendants? Justifiez la réponse. L hypothèse alternative nécessite un test unilatéral, ce qui n est pas possible avec le ONEWAY vu qu en élevant les différences de moyennes au carré, on perd toute information sur les signes de ces différences. Dans ce cas, le test t pour échantillons indépendants est le seul approprié. I1/Corrigé - 3/5 -

4 12. Calculez, à partir des résultats précédents, la valeur absolue de la statistique de test pour le test t pour échantillons indépendants. Indiquez la formule utilisée. t obs = f obs = 2, En supposant que pour le calcul de t obs, on utilise la différence de moyennes entre le groupe expérimental et le groupe témoin, quel sera le signe de t obs? Pourquoi? Positif, car la moyenne des performances du groupe expérimental est, selon les souvenirs du chercheur, supérieure à celle du groupe témoin. 14. Quels sont les degrés de liberté de la statistique utilisée? Calculez la p-valeur associée à t obs en utilisant le programme approprié de votre TI-83. (i) d.l. : 18 (ii)p H 0 ( T t obs ) = P ( t 18 2, 049 ) = 0, Quelle relation a priori existe-t-il entre la p-valeur associée à f obs et celle associée à t obs? Cette relation se vérifie-t-elle? (i)p H 0 ( F f obs ) = 2 P H 0 ( T t obs ) (ii) Cette relation se vérifie aux erreurs d'arrondi près. I1/Corrigé - 4/5 -

5 16. Quelle conclusion peut-on tirer en travaillant au niveau 0,05? Explicitez cette conclusion en fonction du contexte. (i) RH0 (ii) La moyenne des performances du groupe expérimental est significativement au niveau α = 0, 05 supérieure à celle du groupe témoin. Les résultats observés permettent de conclure, avec un risque d erreur d au plus 5%, à une amélioration des performances moyennes suite à la préparation. 17. Comparez les conclusions des deux tests utilisés. Commentez. (i) En utilisant l'analyse de la variance, on ne rejette pas l'hypothèse nulle. En utilisant le test t, on est amené à la rejeter. (ii) Ces résultats ne sont pas contradictoires : l'analyse de la variance est équivalente à un test t bilatéral et il est parfaitement possible d'observer une différence significative pour le test unilatéral et une différence non significative pour le test bilatéral. I1/Corrigé - 5/5 -