CANAUX DE TRANSMISSIONS BRUITES

INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES ALIQUEES DE TOULOUSE 4 ème Année IR CANAUX DE TRANSMISSIONS BRUITES SUORT DE COURS ENONCE DE TRAVAUX DIRIGES Alexandre Boyer alexandre.boyer@insa-toulouse.fr http://lesia.insa-toulouse.fr/~a_boyer

Canaux de transmissions bruités Septembre TABLE DES MATIERES Introduction... 3 A. Caractéristiques des canaux de transmission... 6 B. Le bruit et son effet sur les communications numériques... 6 C. Effet du canal sur le débit d une transmission numérique... 39 D. Impact du bruit sur un signal modulé... 54 E. Techniques de fiabilisation d un canal de transmission par codage de canal... 68 F. Techniques de fiabilisation d un canal de transmission sur la couche physique... 77 G. Régénération d un signal... 88 Conclusion - lanification d une transmission numérique... 98 Références... Annexe A Rappel sur les unités... Annexe B roduits d intermodulation pour une non-linéarité d ordre 3... 3 Annexe C Spectre d un signal numérique... 6 Annexe D Démonstration du premier critère de Nyquist et Bande passante de Nyquist... Annexe E Filtre en cosinus surélevé... 4 Annexe F Fonction d erreur de Gauss complémentaire ERFC... 7 Annexe G Glossaire... 9 Travaux Dirigés... A. Boyer

Canaux de transmissions bruités Septembre Introduction Le rôle d un système de télécommunications est de transmettre à distance des informations d un émetteur à un ou plusieurs récepteurs au travers d un canal de manière fiable et à coût réduit. Dans un système de transmission numérique, une suite finie de symboles représente l information. Celle-ci est transmise sur le canal de transmission par un signal «réel» ou analogique. Ce signal peut prendre une infinité de valeurs différentes et est ainsi soumis à différentes formes de perturbations et d interférences, pouvant conduire à des erreurs d interprétations du signal recueilli par le récepteur. Le rôle de l ingénieur en télécommunications est donc de s assurer que le récepteur pourra recevoir le message émis par l émetteur sans aucune erreur, par un dimensionnement judicieux du canal de transmission et par la mise en place de techniques le rendant plus robuste. Rappel historique : La figure présente un historique de l évolution des techniques de télécommunications. Contrairement à ce que l on pourrait croire, les premiers systèmes de télécommunications à être apparus étaient numériques. Il s agissait des télégraphes optiques de Chappe (794) et électriques de Morse (83), dans lesquels l information était représentée par des impulsions lumineuses ou électriques. C est ensuite le téléphone de Bell (876) et les transmissions radio de Marconi (896) qui ont ouvert l ère des communications analogiques. Ainsi, les premiers systèmes radio mobiles étaient analogiques. Les premières bases théoriques des communications numériques datent de 948 (Shannon), mais le numérique est finalement apparu à la fin des années 7 avec des applications telles que le CD audio, les ordinateurs personnels, les GSM Ces dernières années ont vu une véritable explosion des systèmes et des normes de communication, principalement sans fils. Bien que les premières transmissions radio datent de plus d un siècle, les systèmes de communication sont restés principalement filaires. Une des principales difficultés était liée aux propriétés non stationnaires du canal radio. Un signal peut suivre plusieurs chemins pour arriver à un récepteur donné, ce qui peut conduire à distordre très fortement le signal reçu. Ainsi, le canal de transmission radio a un impact néfaste sur la qualité du signal transmis. Il est donc essentiel de mettre en place des circuits et des algorithmes permettant de fiabiliser la transmission. Néanmoins, même si des ingénieurs et des chercheurs avaient déjà imaginé des solutions, leur mise en œuvre était difficile voire impossible faute de technologies suffisamment performantes sur lesquels elles pouvaient être implantées. Le «boom» de l industrie de la microélectronique à partir des années 7 et à l évolution constante des performances des circuits intégrés a rendu possible le développement récent des systèmes de télécommunications. 83 - invention du télégraphe 876 - invention du téléphone 95 st service de radiotéléphonie 948 Travaux de C. Shannon 978 - Advanced Mobile hone Service 987 - standard GSM 8 DVB-H en France - déploiement du e réseau UMTS Déploiement 3.9G LTE 86 - e liaison télégraphique transatlantique 896 - e liaison radio 956 - e liaison téléphonique transatlantique 983 - protocole TC-I 5 -standard Wimax Fig. - Historique des techniques de télécommunications A. Boyer 3

Canaux de transmissions bruités Septembre Analogique vs numérique : Les signaux numériques présentent certains avantages par rapport aux signaux analogiques. Le principal avantage est la vulnérabilité moindre du signal numérique aux perturbations extérieures par rapport à un signal analogique. En effet, il est plus difficile d entraîner la modification d un bit dans un signal numérique que de perturber sérieusement un Fig. Télégraphe de Morse Fig. 3 - Téléphone de Bell signal analogique de quelques dizaines de millivolts. Le deuxième avantage est qu il est Fig. 4 Radio de Marconi Fig. 5 Claude Shannon possible de manipuler un signal numérique et de le soumettre à différents traitements (image, son, vidéo.). Celui-ci peut être compressé pour améliorer le débit d informations, des codes détecteurs ou correcteurs d erreur peuvent lui être ajoutés, le rendant plus robuste aux perturbations extérieures. Néanmoins, la mise au point d un système numérique est plus complexe que celle d un système analogique au point de vue systèmes électroniques mais aussi au niveau des algorithmes à développer. La complexité se traduit aussi en terme de coût. L avènement des systèmes numériques s est ainsi fait en parallèle de celle de l évolution des circuits intégrés. roblématique du cours de canaux de transmission bruités Le rôle de tout système de communication est d assurer que le récepteur comprenne l intégralité des messages transmis par l émetteur, quel que soit la compression, le format ou le type des données, mais aussi les perturbations induites sur le canal de transmission et son effet parasite. La figure 6 présente un schéma général un canal de transmission. source Filtre Support de Filtre é metteur transmission r é cepteur E(t) R(t) é chantillonneur BRUIT Canal de transmission D é cision ou? Fig. 6 - Schéma d un canal de transmission numérique Le transfert de l information nécessite une source de données, traduites dans un système compréhensible par l émetteur et le récepteur (codage, format, compression préalablement définis). Le canal proprement dit représente le lien ou le support de transport de l information entre les entités communicantes, mais il comprend aussi les dispositifs en entrée et en sortie du support de transmission qui vont aider à l émission, à la réception et à l extraction correcte des données numériques. our envoyer le signal à travers le canal, la source a besoin d un système d adaptation (physique pour mettre en forme le signal, logiciel pour le protocole de dialogue). Le signal peut être directement A. Boyer 4

Canaux de transmissions bruités Septembre transmis à travers le canal, la transmission se fait alors sur la même bande de fréquence que le signal à transmettre. On parle alors de transmission en bande de base. Néanmoins, ce type de transmission est rarement réalisé en pratique, notamment pour les transmissions radio. Le signal est alors transmis hors de la bande de base, une modulation permet de transposer le signal en bande de base à des bandes de fréquence bien plus hautes présentant des caractéristiques bien meilleures et permettant un partage du canal radiofréquence entre tous les systèmes de télécommunications. Une fois le signal transmis, le récepteur récupère à l autre bout du canal un signal perturbé, déformé et affaibli. De ce signal, il doit extraire l information numérique originale sans erreur. Un filtrage permet de compenser les effets néfastes du support de transmission. uisqu il s agit d information numérique et synchrone, le récepteur doit être capable de récupérer l horloge sur laquelle les bits émis étaient initialement synchronisés. Une fois que le récepteur a reconstruit un signal numérique «propre», il doit l interpréter et décider de la valeur prise par signal à chaque période. Néanmoins, le signal transmis est soumis à de nombreuses perturbations externes et internes au canal de transmission. Dans un premier temps, le bruit ambiant peut perturber les communications numériques, en dégradant l amplitude des symboles reçus ce qui augmente le risque d erreur d identification de ces symboles. Des techniques de traitement du signal, de codage et de modulation ont été développées ces dernières années pour améliorer la robustesse des liaisons vis-à-vis du bruit. Néanmoins, le bruit n est pas la seule source de perturbations, la fonction de transfert du canal introduit une distorsion au signal lors de sa propagation. De plus, dans le cas de communications numériques, l aspect multi utilisateur doit être pris en compte car le canal de transmission est partagé et des interférences sont à craindre. ar conséquent, les performances des systèmes de communication dépendent des caractéristiques du canal de propagation. En outre, les caractéristiques temporelles du canal tendent à étaler le temps de transmission d un symbole, augmentant le risque de chevauchement de plusieurs symboles adjacents et limitant le débit de transmission admissible sur ce canal. La tache délicate de l ingénieur en télécommunication est de trouver des solutions en terme de format de modulation et codage de l information, pour optimiser ces performances, et donc pour diminuer à la réception la probabilité d erreur lors de la décision sur les symboles reçus. Le but de ce cours est de présenter l origine de toutes les perturbations pouvant affecter la transmission d un signal entre un émetteur et un récepteur, de déterminer dans quelles conditions un canal va assurer correctement la transmission, et de proposer différentes techniques qui vont permettre de réduire la probabilité d apparition d erreurs. Dans ce cours, nous nous intéresserons principalement aux transmissions numériques puisque celles-ci sont majoritairement employées dans les standards de communication. Les objectifs de ce cours sont les suivants : résenter l architecture générale d un canal de transmission ainsi que les différents types de canaux et leurs caractéristiques. résenter l origine du bruit et son effet sur l identification des symboles transmis (établir pour un signal binaire le lien entre le rapport signal à bruit et le taux d erreur binaire). résenter les caractéristiques temporelles d un canal et les limitations posées en terme de débit de données transférées sur le canal. Définir la capacité d un canal de transmission, qui caractérise le débit binaire maximum théorique sans erreur. Déterminer la robustesse au bruit de signaux numériques modulés. Décrire des techniques de fiabilisation de la transmission d un signal par codage de canal, filtrage, mise en forme Décrire des techniques de régénération du signal. A. Boyer 5

Canaux de transmissions bruités Septembre A. Caractéristiques des canaux de transmission Dans ce chapitre, nous allons dans un premier temps présenter l architecture générale d un canal de transmission numérique et décrire brièvement les différents blocs le constituant. Dans un deuxième temps, nous décrirons les principaux supports de transmissions numériques employés de nos jours ainsi que leurs principales caractéristiques. I. Architecture général d un canal de transmission Les systèmes de télécommunication numérique sont basés sur l architecture présentée à la figure 7. La source primaire d information peut être soit de type analogique qu on numérise ensuite (ex. de la voix pour un téléphone mobile) soit directement de type numérique. L information analogique est ensuite échantillonnée et numérisée à travers un étage de conversion analogique numérique. La taille du message binaire original ainsi produit est en général très importante et contient en outre un grand nombre de redondance. Il subit alors un codage de source, qui a pour but de le mettre dans un format standard d échange et de réduire sa taille (compression). Le codage source peut aussi comporter une étape de cryptage dans le cas où l on souhaite sécuriser le transfert des données et leur archivage. réparation à la transmission Reconstitution de la source Source analogique Source numérique Destinataire numérique Destinataire analogique Numérisation source Conversion N/A Codage source Décompression source Cryptage Codage de canal Modulation Accès multiple. Mise sur porteuse. Amplification Transmission canal Réception BRUIT Réception = Reconstruction du signal Décryptage Décodage de canal Démodulation Filtrage. Mise en bande de base. Amplification faible bruit Fig. 7 Architecture général d un canal de transmission Un canal de transmission ne se limite pas seulement au support physique du transfert de l information. Il comprend aussi les dispositifs qui permettent d adapter le signal à transmettre au canal et de minimiser les erreurs de réception. Ces étapes peuvent être réalisées bien en amont de la transmission proprement dite. La première étape est le codage de canal, qui consiste à ajouter A. Boyer 6

Canaux de transmissions bruités Septembre volontairement de la redondance au signal afin de le protéger contre les différentes perturbations. On retrouve par exemple l ajout de codes détecteurs ou correcteurs d erreurs. Le codage de canal est réalisé uniquement en bande de base. Une fois que ces symboles ont été ajoutés au signal numérique, celui-ci est modulé afin de transformer le signal informatif en un signal physique capable de transiter sur le canal de transmission utilisé. Le signal est alors transposé de sa bande de base à une bande de fréquence bien plus haute. La technique de modulation est choisie en fonction de la nature du canal, de son utilisation et du débit. Des techniques d accès multiples ou de multiplexage peuvent être employées afin de partager un même canal entre différents utilisateurs et d optimiser son utilisation, mais aussi de réduire l influence des parasites. Suivant la technique employée, le multiplexage peut être effectué dans ou hors bande de base. Une fois le signal à émettre mis en forme (modulé, filtré, amplifié), il peut être transmis à travers le canal de transmission. A travers ce cours, on supposera que le signal émis est vierge de tout parasite puisque toutes les précautions ont été prises afin d assurer la qualité du signal émis. Le passage de l information à travers le canal est critique. Le signal subit l atténuation et les déformations inhérentes au canal ainsi que les différentes perturbations extérieures qui se couplent sur le canal. Le canal n est pas le seul responsable de l ajout de bruit au signal utile puisque l ensemble des circuits de réception et de régénération du signal ajoute une part non négligeable de bruit. En outre, le bruit n est pas le seul problème. Le canal présente certains défauts intrinsèques (inertie aux changements temporels, atténuation, ) qui limite la quantité d information qu on peut faire passer à travers le canal. A partir de la théorie de l information (chapitre C), il est possible de prédire les performances limites théoriques d un canal de transmission. Le récepteur reçoit le plus souvent un signal faible, bruité et distordu qu il va falloir reconstruire avant de l interpréter. La première étape de la réception consiste à filtrer le signal et à l amplifier afin de l extraire du bruit ambiant et des interférences. Une étape de démodulation suit afin d extraire le signal utile et de le ramener en bande de base. Différentes étapes de régénération permettent ensuite de reformer un signal numérique d une qualité suffisante pour être traité par un circuit électronique. L opération de décodage de canal suit, afin de vérifier que le signal reçu n est pas erroné et enlever l ensemble des symboles rajoutés lors du codage du canal. En cas de détection d erreur, des demandes de retransmission peuvent être prévues suivant le protocole employé. Le signal numérique qu on cherchait à transmettre peut enfin être envoyé au destinataire. Si la qualité du canal et les techniques de fiabilisation de la transmission étaient suffisants, le destinataire ne devrait faire aucune erreur d interprétation et retrouver le signal original. Exercice - Etat de l art technologique : la figure ci-dessous présente l intérieur d un téléphone portable et un schéma bloc simplifié. Déterminer dans quels blocs sont réalisées les opérations décrites à la figure 7. Réponse : A. Boyer 7

Canaux de transmissions bruités Septembre Mémoires Microprocesseur Filtre CAN Codage voix BaseBand Analog Codage canal Mod. CNA CNA I Q Transmetteur RF A Filtre CNA Décodage voix BaseBand DS Décodage canal Egal. CAN CAN I Q Transceiver Récepteur RF RF & IF Analog Antenne Fig. 8 - Téléphone cellulaire éclaté et schéma bloc A. Boyer 8

Canaux de transmissions bruités Septembre II. Les différents types de canaux de transmission Une transmission d information se fait toujours à distance, un support physique assure le lien entre la source et le destinataire. Dans cette partie, nous allons présenter les principaux supports couramment utilisés comme média de transmission.. Communication électrique filaire L information est véhiculée par un «signal électrique», c est à dire une onde électromagnétique se propageant à travers un câble métallique. On trouve deux catégories de lignes de transmission utilisées en télécommunications : câble bifilaire, de bande passante faible et réservé pour les transmissions à bas débit (inférieur à Mbits/s pour le réseau téléphonique). Il s agit le plus souvent de paires bifilaires torsadées afin de réduire la surface de couplage aux perturbations extérieures. câble coaxial, de bande passante plus importante et qui permet de réaliser des transmissions avec un débit relativement élevé (jusqu'à 565 Mbits/s sur le réseau téléphonique). Le câble coaxial est notamment utilisé pour connecter les centraux téléphoniques entre lesquels transite un grand nombre de communications. Son avantage par rapport au câble bifilaire est d être blindé, réduisant ainsi le couplage des perturbations électromagnétiques, et de présenter un milieu de propagation quasi uniforme le long de la ligne. La principale caractéristique d un câble est son impédance caractéristique. Celle-ci est définie par les dimensions géométriques de la ligne et le milieu de propagation de l onde électromagnétique le long de la ligne (constante diélectrique de l isolant). Cette impédance ne représente pas une impédance au sens classique électrique du terme, il s agit en fait du rapport du champ électrique sur le champ magnétique de l onde se propageant dans le câble (équation ). La valeur de l impédance caractéristique d un câble dépend de ses caractéristiques géométriques et du milieu de propagation (permittivité diélectrique de l isolant séparant les deux conducteurs du câble). E ( / m) Z ( ) V c Ω = (Équation ) H ( A / m) La connaissance de l impédance caractéristique est fondamentale car elle va permettre de déterminer la valeur optimale à donner à la charge terminale Z load de la ligne pour assurer la meilleure transmission du signal. Une ligne est dite adaptée si on vérifie l égalité suivante : Zc = Zload. Dans le cas d une ligne adaptée, toute l énergie de l onde incidente est fournie à la charge terminale. ar contre, toute rupture d impédance conduit à la réflexion d une partie de l onde incidente, à la manière d un changement de milieu pour une onde lumineuse. L amplitude de cette onde réfléchie est d autant plus grande que la désadaptation est importante, comme le montre l équation : Vrefl Z load Z C Γ = = (Équation ) V Z + Z inc load Où Γ est le coefficient de réflexion, V inc et V refl l amplitude en tension des ondes incidentes et réfléchies. L onde présente le long de la ligne de transmission est la combinaison des ondes incidentes et réfléchies. Que se passe t-il alors si la condition d adaptation n est pas respectée? our répondre à cette question, il faut considérer les effets liés à la propagation de l onde électromagnétique le long du câble, qui vont dépendre du rapport entre la longueur du câble et la longueur d onde du signal transmis. La longueur d onde dans le vide d une onde est liée à sa fréquence par l équation suivante, où c est la vitesse de la lumière (3. 8 m/s) : C A. Boyer 9

Canaux de transmissions bruités Septembre c = f λ (Équation 3) our de faibles fréquences, la longueur d onde est largement plus grande que la longueur de la ligne de transmission, l onde est quasiment constante en tout point de la ligne, quel que soit l impédance de charge (fig. 9). ar contre, si la longueur d onde devient inférieure à la longueur de la ligne, l amplitude de l onde n est plus constante le long de la ligne, et présente des minima et maxima régulièrement espacés. onde L << λ câble onde L >> λ câble Vinc Vinc L x L x L amplitude de l onde est quasi constante sur toute la ligne L amplitude de l onde n est pas constante le long de la ligne Fig. 9 ropagation d une onde le long d une ligne de transmission en fonction de sa longueur d onde Si l adaptation de la ligne n est pas assurée à chacun de ses terminaux, l onde va être réfléchie plusieurs fois sur chacun des terminaux, faisant osciller la tension aux bornes de la charge (ringing) comme le montre la figure. Les effets sur le signal peuvent être : Un retard à l établissement du signal Des surtensions, sous-tensions et des oscillations pouvant conduire à des erreurs d interprétation des signaux reçus. Câble d impédance caractéristique Zc Vincident Iin x Vin Vréfléchi x= Vload Vin Vload Si Zload Zc temps temps Fig. - Effet de la désadaptation d impédance sur le signal transmis Exercice roblème d adaptation de ligne : soit un câble téléphonique de mètre utilisé pour transmettre un signal binaire de fréquence F. A partir de quelle fréquence F faut-il prendre en compte les effets de propagation de l onde électromagnétique. Réponse : A. Boyer

Canaux de transmissions bruités Septembre Un autre paramètre essentiel est l atténuation du câble liée aux différentes pertes (ex : les pertes dans le diélectrique). Cette atténuation augmente en général avec la fréquence. Un câble coaxial standard présente des pertes typiques de.3 db/m à MHz et db/m à GHz. Cette atténuation limite l utilisation de communications filaires pour de longues distances.. Communication optique filaire Les fibres optiques sont des guides pour les ondes électromagnétiques dont les fréquences sont de l ordre du spectre visible. La lumière est guidée le long d une fibre par réflexions multiples. La figure décrit la structure d une fibre optique ainsi que le principe de la propagation de la lumière le long de la fibre. Les principaux avantages des fibres optiques sont leurs bandes passantes très élevées (plusieurs dizaines de Gbits/s, voire quelques térabits/s) ainsi que leurs faibles atténuations (. db/km pour une longueur d onde de 55 nm). Théoriquement, les débits dans les fibres optiques devraient être infinis, mais ils sont principalement limités par les composants électroniques des étages de transmission et de réception. En outre, contrairement aux communications filaires et radioélectriques, les fibres optiques sont insensibles aux perturbations électromagnétiques externes puisque ces dernières ne peuvent s y coupler. Inversement, le signal guidé le long de la ligne ne peut sortir que par l autre bout de la ligne, interdisant toute fuite du signal et assurant une sûreté de transmission très élevée. Elles introduisent très peu de distorsions sur le signal et permettent de réaliser des multiplexages fréquentiels très efficaces. Enfin, elles subissent peu d échauffement par rapport aux liaisons filaires électriques ce qui améliorent leur fiabilité. Malgré tous ces avantages, les principaux points négatifs concernent la fragilité de fibres et de leurs connecteurs, ainsi que le coût d installation et d entretien des réseaux en fibres optiques. Aujourd hui, la plupart des liaisons transocéaniques sont réalisées par des fibres optiques puisque 8 % des communications longues distances sont effectuées à l aide des 5 millions de kilomètres de fibres optiques enterrées ou submergées. Cœur (silice, plastique) Faisceau de lumière incidente ropagation du signal Indice de réfraction n Indice de réfraction n n > n µm Gaine «réfléchissante» Fig. Guidage d un faisceau lumineux par une fibre optique Le débit record d une fibre optique a été obtenu par l opérateur japonais NTT Docomo, avec 8 Go/s sur une de distance de 6 km. Question : Soit une fibre optique de km de long présentant une atténuation de. db/km. Quelle est la puissance restante du signal reçu? Réponse : A. Boyer

Canaux de transmissions bruités Septembre 3. Radio communication Les radiocommunications utilisent la propagation d'une onde électromagnétique dans l'atmosphère. Ce milieu est généralement réservé aux transmissions par satellite ou par faisceaux hertziens ainsi qu'aux communications mobiles. Le dispositif de base pour transmettre ou recevoir un signal à travers le canal radioélectrique ou hertzien est une antenne. Les lois de propagation à travers ce canal sont déterminées par les équations de Maxwell. Les radiocommunications s étendent sur un spectre très large (de plusieurs KHz à plusieurs GHz). La figure présente l occupation du spectre radiofréquence. MF.3-3MHz HF 3-3MHz VHF 3-3MHz UHF 3-3MHz SHF 3-3GHz EHF 3-3GHz Radio AM RFID Radio OC CB IEEE ILS 8.b Radio FM GSM GS WiMAX DCS TV VHF TV UHF UMTS IEEE 8.c Radar auto Fr é quence (Hz) K M M M G G G RFID : 3.56MHz, 7.MHz Radio FM : 88-8MHz TV : 54-7MHz, 76-88MHz, 74-6MHz, 47-86MHz Applications commerciales : 434.3MHz GSM : 89-95MHz (montant), 935-96MHz (descendant) DCS : 8MHz GS : 7.6-37.6MHz, 565.4-585.4MHz UMTS : 9-98MHz, -7MHz Wifi - IEEE 8.b : 46MHz Wifi - IEEE 8.c : 6 GHz Bluetooth : 4MHz WIMAX (IEEE 8.6) : - GHz Fig. Occupation du spectre radiofréquence Type Bande passante Applications aire torsadée >KHz Téléphonie, LAN Câble coaxial >MHz Télévision, LAN Fibre optique >GHz LAN, WAN Faisceaux hertziens Dépend de la fréquence de la porteuse Télévision, téléphonie mobile, LAN Satellites >MHz GS, WAN Tableau - Les différents supports de transmission et applications L avantage des radiocommunications par rapport aux autres supports de communication (fialire, fibre optique) est le faible coût d installation d un réseau à grande échelle, puisqu il ne nécessite pas d installer des supports physiques entre chaque nœud et terminaux du réseau, il suffit d installer une antenne. Néanmoins, il présente de nombreux inconvénients. D abord, il s agit du mode de transmission le plus soumis aux perturbations extérieures et aux effets néfastes du support de transmission. ar nature, le canal radioélectrique est variable dans le temps, imprédictible et multichemin. Ensuite, les transmissions de données à travers le canal radioélectrique ne peuvent pas être sécurisées et n importe quelle antenne adaptée à la fréquence de transmission est susceptible de capter le signal. Enfin, le canal radioélectrique subit de très fortes atténuations avec l éloignement. En A. Boyer

Canaux de transmissions bruités Septembre espace libre (sans obstacles), le modèle de propagation d une onde ne dépend que de la distance séparant les antennes et de la fréquence. L équation 4 donne l expression théorique de l atténuation de la puissance transportée en espace libre en fonction de la distance et de la fréquence. Néanmoins, dans un environnement réel, le cas idéal de l espace libre ne peut s appliquer et on doit utiliser des modèles de propagation plus complexes prenant en compte des réflexions, des diffractions, des diffusions, des atténuations ainsi que la vitesse de déplacement relatif du récepteur par rapport à l émetteur. De plus, le déplacement du récepteur ou de l émetteur modifie à chaque instant les caractéristiques du canal de transmission. Enfin, d autres propriétés peuvent caractériser une antenne, comme sa polarisation. En pratique, des modèles statistiques permettent d estimer simplement les atténuations en prenant en compte les obstacles dans différents types d environnement (ville, milieu rural, ). La figure 3 présente les atténuations radio calculées à partir de modèles plus complexes, prenant en compte la nature de l environnement de propagation (modèle Okumara-Hata ou COST 3). Atténuation d f d = 4 = 4π λ c π (Équation 4) d : distance en m séparant l émetteur du récepteur. Cette équation suppose une propagation sans obstacles. f : fréquence du signal en Hz λ : longueur d onde en m. Fig. 3 Atténuation d un signal radiofréquence à 95 MHz pour différents environnements Question : Un téléphone mobilé GSM émet à pleine puissance ( W) à une fréquence de 95 MHz. Le seuil de réception de la station de base du réseau téléphonique est de - dbmw. Quelle est l atténuation maximale que peut subir le signal émis par le téléphone. Quelle est la portée théorique de cet émetteur dans l hypothèse d un espace libre? Dans un milieu rural? Dans un milieu urbain? Réponse : A. Boyer 3

Canaux de transmissions bruités Septembre Comme dans une liaison filaire les problèmes d adaptation d impédance se posent aussi pour les liaisons radiofréquences, en entrée et en sortie des antennes d émission et de réception. our optimiser le transfert, les liaisons entre l émetteur-récepteur et l antenne doivent être adaptées autour de leurs fréquences de résonance. L impédance caractéristique et la fréquence de résonance d une antenne sont principalement liées à la géométrie et à la disposition de l antenne dans son environnement. Cependant, une antenne diffère d un câble puisque l onde ne se propage pas le long d un circuit bien défini mais dans plusieurs directions dans l espace. Certaines antennes peuvent émettre de manière quasi uniforme dans toutes les directions (on parle d antenne omnidirectionnelle, comme les antennes fouet), alors que d autres dans une direction bien précise (antenne directionnelle comme une antenne parabolique). On caractérise cette faculté à concentrer plus ou moins l émission sur une zone de l espace par la directivité, ou bien par le gain de l antenne pour comparer la puissance rayonnée par une antenne donnée dans une direction par rapport à une antenne de référence, le plus souvent omnidirectionnelle. La figure 4 présente un exemple de diagramme de rayonnement d une antenne. Le choix d une antenne directive dépend de la couverture désirée de l espace environnant. Fig. 4 Diagramme de rayonnement d une antenne log périodique 4. Comparaison des portées Les liaisons filaires, optiques et radio subissent des atténuations très différentes. La figure 5 présente une comparaison des atténuations en fonction de la distance séparant l émetteur du récepteur pour ces 3 types de canaux de transmission. Le canal radio est celui qui présente l atténuation la plus importante, alors que les fibres optiques constituent le support qui introduit le moins d atténuation. Néanmoins, les liaisons radiofréquences permettent de construire des réseaux de communication économique et sont les seuls à autoriser la mobilité des émetteurs-récepteurs. Fig. 5 - Comparaison de l atténuation du signal pour différents supports de communication A. Boyer 4

Canaux de transmissions bruités Septembre 5. Autres supports de transmission d information D autres supports de transmission existent comme les supports de stockage que sont les CD, les DVD ou les disques durs. Ils représentent eux aussi des moyens de transfert d information et sont aussi soumis à des contraintes spécifiques en terme de taux d erreur. Il est important de connaître les caractéristiques d un support de transmission ainsi que leurs limitations pour le dimensionnement d un canal de transmission (capacité max. d information transmise, bande passante), techniques à adopter pour assurer la qualité de service. Enfin, il faut s assurer des réglementations associées à l utilisation d un support. III. Ce qu il faut retenir Un canal de transmission n est pas simplement composé du support de transmission, mais aussi de l ensemble des dispositifs qui permettent d adapter le signal à transmettre au canal et de minimiser les erreurs de réception. Afin de résister aux perturbations induites par le support de transmission, un signal à transmettre subit en général des opérations de codage de source, de codage de canal, de modulation, de mise en forme. Il subit les opérations inverses en réception. Lors de la transmission à travers le canal, le signal subit les atténuations et les déformations propres au canal, ainsi que le bruit provenant de perturbateurs externes. En outre, les émetteurs et récepteurs du canal contribue à générer des perturbations qui dégradent le signal. Les défauts du canal de transmission et les perturbations externes vont limiter la quantité d information qui peut passer à travers le canal et affecter la qualité du signal. Un récepteur reçoit en général un signal faible, bruité et distordu. Il doit être en mesure de le reconstruire puis de l interpréter afin de retrouver le signal d origine. Les transmissions d informations se font en général par liaison filaire (câble électrique ou fibre optique) ou par liaison hertzienne (ou sans fils). Cette dernière est la plus sensible aux perturbations externes et dont l environnement de propagation est le plus difficile à modéliser. A. Boyer 5

Canaux de transmissions bruités Septembre B. Le bruit et son effet sur les communications numériques ar définition, le bruit est un signal aléatoire superposé au signal utile. Selon l amplitude du bruit par rapport à celle du signal, le bruit sera à l origine d une fluctuation aléatoire de l amplitude du signal. En outre, le canal introduit une atténuation du signal transmis qui va limiter sa portée. Dans lors, «l information» transportée par le signal est dégradée, voire perdue, en présence de bruit. Le but de ce chapitre est de présenter les différentes sources de bruit dans un canal de transmission, de présenter les grandeurs permettant de le caractériser (rapport signal à bruit) et de lier la quantité de bruit à la dégradation d un signal numérique (relation entre le rapport signal à bruit et le taux d erreur binaire). A partir de ces critères sur l amplitude minimale que doit posséder le signal pour éviter une transmission erronée, il sera possible de dimensionner la puissance à émettre dans le canal, les caractéristiques du signal, les gains et les pertes des différents éléments du canal. Un outil nous le permettra : le bilan de liaison. I. Bruit lié aux équipements électroniques. Définition du bruit Les signaux utiles sont souvent mélangés à du bruit. Le bruit est par définition un signal parasite aléatoire, le plus souvent d origine thermique. Tout signal de fréquence F dont l amplitude est inférieure ou égale à celle du bruit, ou sous le seuil de bruit, à la fréquence F ne pourra être différencié du bruit par un dispositif électronique de réception (fig. 6). Le bruit définit donc la limite basse en amplitude permettant la détection d un signal. Au cours du dimensionnement d un canal de transmission, il faudra tenir compte du niveau de bruit afin de définir la sensibilité du récepteur. Le bruit peut être caractérisé de plusieurs manières : par sa densité spectrale de puissance (DS) (Fig. 6), c'est-à-dire la répartition énergétique en fonction de la fréquence (puissance par hertz). Les télécommunications étant basées sur des transmissions et des réceptions effectuées sur des bandes de spectre étroites, il est nécessaire de déterminer la quantité totale de bruit occupant la bande spectrale du signal utile. La quantité totale de bruit sur une bande de fréquence donnée (par exemple la puissance) est égale à l intégrale de la DS sur cette bande de fréquence par sa fonction de répartition ou densité de probabilité en amplitude (Fig. 7), et aussi par différentes valeurs statistiques comme sa valeur moyenne et sa variance. En effet, comme le bruit est généralement aléatoire (il peut être dans certains cas déterministes mais ses caractéristiques ne sont pas connues), celui est vu comme un signal aléatoire. En appliquant un modèle de distribution du bruit (distribution normale, log normale ), il est possible d estimer l amplitude maximale prise par le bruit. Les caractéristiques statistiques du bruit sont généralement données par la valeur moyenne et par l écart type. A. Boyer 6

Canaux de transmissions bruités Septembre Densité spectrale de puissance (W/Hz ou dbw/hz) Signal non détectable df Signal détectable uissance du bruit : = f N n df n Seuil de bruit Fréquence Fig. 6 Représentation de la densité spectrale de puissance du bruit et d un signal, et détection d un signal au dessus du seuil de bruit Amplitude du bruit (x) Amplitude du bruit (x) σ = écart-type Moyenne σ Temps Densité de probabilité p(x) Fig. 7 Caractérisation statistique du bruit. Bruit Johnson Toute résistance, même si elle n est pas parcourue par un courant, produit à ses bornes une tension de bruit appelée bruit Johnson. Ce bruit est produit par l agitation thermique aléatoire des électrons. Ce bruit possède un spectre plat, c est à dire que la puissance du bruit est constante avec la fréquence. On parle alors de bruit blanc. Son amplitude dépend de la valeur de la résistance et de la température ambiante. La tension efficace de bruit aux bornes d une résistance R peut se calculer à l aide de l équation 5, la densité spectrale de bruit à l aide de l équation 6. V = 4k TR B (Équation 5) bruit DS k V Hz R = résistance du conducteur (Ohm) k=.38x -3 Joule/ K, constante de Boltzmann T= température du matériau ( K) B=largeur de bande (Hz) bruit = 4 TR ( / ) (Équation 6) Comme le bruit est un phénomène aléatoire, l amplitude du bruit Johnson est imprévisible mais suit une loi gaussienne. 3. Bruit de grenaille Un courant électrique peut être comparé à un flux de charges discrètes de charges constantes. Contrairement à l écoulement d un fluide, un courant est composé d éléments finis qui connaissent des fluctuations statistiques. La fluctuation du courant est donnée par l équation 7 : Ibruit = qib (Équation 7) A. Boyer 7

Canaux de transmissions bruités Septembre q=.6x -9 C charge d un électron I= amplitude du courant continu (A) B=largeur de bande (Hz) Les fluctuations relatives du courant sont d autant plus importantes que le courant est faible. Comme le bruit Johnson, il s agit d un bruit blanc gaussien. Cette formule est particulièrement valable dans une jonction N, mais surestime le bruit de grenaille dans un conducteur métallique. 4. Bruit en /f ou bruit de scintillement Alors que les bruits Johnson et de grenaille sont des phénomènes irréductibles liés à des phénomènes physiques, les composants réels ont une source de bruit supplémentaire ayant plusieurs origines liées à leur fabrication (nature du matériau, résistif par exemple). Ainsi, les résistances sont affectées de variations de résistance proportionnelles au courant qui les traversent produisant des fluctuations de tension à leurs bornes. Le spectre de ce bruit suit à peu près une loi en /f, sa densité de puissance est donc divisée par à chaque décade de fréquence. On appelle aussi ce bruit le bruit rose. 5. Bruit thermique Comme nous venons de le voir, le bruit est essentiellement d origine thermique et son amplitude dépend de la fréquence. Il est beaucoup plus important en basse fréquence qu en haute fréquence à cause du bruit de scintillement, mais il a tendance à se stabiliser en haute fréquence. En considérant que le bruit est constant sur la bande de fréquence visée (ce qui est généralement le cas puisque les bandes de fréquence allouées aux transmissions sont limitées), la formule suivante est proposée afin de déterminer de manière simple l amplitude du bruit d origine thermique aux bornes d un dispositif de réception. N : amplitude du bruit k : constante de Boltzmann (k=.38e-3 J/K) T : température (K) B : bande de fréquence (Hz) ( dbw ) log( ktb) N = (Équation 8) La formule précédente permet d évaluer le seuil ou plancher de bruit dû à l agitation thermique ambiante. Question : calculer la densité spectrale du bruit à température ambiante (7 c) à l aide de la formule précédente. Réponse : 6. Bruit d un circuit actif et facteur de bruit Les circuits actifs sont constitués de nombreux éléments capables de générer du bruit (transistors, diodes ). Ainsi, les amplificateurs introduisent une part non négligeable de bruit dans les récepteurs. Un modèle équivalent de bruit ramené en entrée est donné pour représenter le bruit d un amplificateur. Il contient : Une manière courante de caractériser le bruit interne par un système électronique est le facteur de bruit ou Noise Figure. Celui-ci est égal au rapport entre la puissance de bruit mesuré en sortie sur la A. Boyer 8

Canaux de transmissions bruités Septembre puissance de bruit mesuré en entrée d un système électronique (équation 9). Il indique donc la quantité de bruit ajouté par le système électronique. N out NF = NF ( db) = N out ( dbm) N in ( db) (Équation 9) N in Lorsque plusieurs systèmes électroniques sont cascadés, le facteur de bruit du système complet va dépendre des facteurs de bruit NFi de tous les éléments et de leurs gains Gi. Il peut se calculer à partir de la relation de Friis (équation ). e élément e élément N e élément Nin G G GN Nout NF NF NFN = N = NF + NF + + out 3 N NF NF... (Équation ) Nin G GG GG... GN Remarque : les circuits passifs génèrent aussi du bruit. En effet, une résistance génère du bruit Johnson. Le facteur de bruit d un dispositif passif est lié à son atténuation L par la formule ci-dessous. 7. Bruit d une antenne + NF NF passif = (Équation ) L Dans un système de transmission radio, les performances en termes de sensibilité du récepteur dépendent non seulement de celles des circuits électroniques, mais aussi de l antenne qui contribue à ajouter du bruit au signal. L antenne possède une résistance de perte et présente donc une source de tension de bruit de Johnson, qui dépend fortement de la température de l antenne. Une antenne est aussi une source de bruit à cause de sa fonction première : capturer des ondes électromagnétiques. En effet, une antenne est susceptible de capter l ensemble des signaux parasites produits par son environnement (interférences électromagnétiques, bruit thermique). 8. Autres sources de bruit Les sources de bruit sont très nombreuses. On peut trouver par exemple les rayonnements cosmiques qui sont des événements localisés et de haute énergie. Certains circuits peuvent être sensibles aux vibrations et aux sons comme les détecteurs. lusieurs techniques existent pour rejeter le bruit : moyenne du signal puisque le bruit est de nature aléatoire réduction de la bande passante filtrage techniques de conception de circuits dits faible bruit La figure 8 présente un exemple de mesure à l analyseur de spectre du bruit aux bornes d une résistance. A. Boyer 9

Canaux de transmissions bruités Septembre Question : Commenter la mesure de la figure 8. Réponse : Fig. 8 Mesure du bruit aux bornes d une résistance II. Distorsions non linéaires des circuits électroniques Les circuits électroniques actifs sont souvent modélisés par des lois linéaires, alors que leur comportement est purement non linéaire. Celui-ci est négligé afin de faciliter la prédiction de leur comportement (par ex, en utilisant des fonctions de transfert). Ces effets liés au comportement intrinsèque des composants et à leurs imperfections vont dégrader les performances du système en modifiant certains paramètres tels que le gain des étages d amplification ou en créant des signaux parasites. Les effets non linéaires sont difficiles à modéliser et, en général, ils sont modélisés à l aide de série de développement limité à l ordre ou 3. Les lois non linéaires apparaissent alors comme des polynômes d ordre ou 3 (ces calculs sont présentés à l annexe B), enrichissant le spectre du signal de sortie de nouvelles composantes spectrales. On dit alors que les signaux d entrée et de sortie de dispositifs non linéaires ne sont plus isomorphes. On distingue plus particulièrement deux types de distorsions : La distorsion harmonique La distorsion d intermodulation A. Boyer

Canaux de transmissions bruités Septembre. Distorsions harmoniques La distorsion harmonique est due, en cas d excitation par une sinusoïdale pure de fréquence fo, à la création de composantes aux fréquences harmoniques k fo, où k est un entier. Le spectre en sortie du dispositif non linéaire est enrichi en nouvelles composantes spectrales. our caractériser la distorsion spectrale, on utilise les notions de taux de distorsion. Le taux de distorsion de l harmonique k, notée dk, prend en compte l apparition de nouvelles composantes spectrales : amplitude harmonique k Ak dk (%) = amplitude du fondamental = A (Équation ) Le taux de distorsion harmonique global d caractérise la distorsion totale du signal. Il s agit du rapport des valeurs efficaces du signal de sortie sans la composante fondamentale sur celui avec fondamentales : + Ak A k= d = = (Équation 3) + + A A k= k La distorsion apparaît dès que les signaux ont des amplitudes importantes et que les approximations linéaires ne sont plus valables. Les distorsions harmoniques apparaissent principalement dans les étages d amplification des émetteurs-récepteurs. Le gain de tout amplificateur est considéré comme constant tant que l amplitude du signal d entrée reste faible. L entrée et la sortie de l amplificateur sont alors reliées par une loi linéaire et les signaux d entrée et de sortie sont isomorphes. Cependant, dès que l amplitude du signal d entrée est suffisamment élevée pour sortir du domaine linéaire, le gain n est plus constant et diminue. On parle de compression de gain. Dès lors, le signal de sortie subit une distorsion d amplitude. our caractériser la plage d amplitude du signal d entrée sur laquelle le gain peut être considéré comme constant, on définit le point de compression à db; il s agit de la plage d amplitude du signal d entrée pour laquelle la relation suivante est vérifiée : k = G = G db (Équation 4) db où Go est le gain en zone linéaire. Le point à db correspond à la puissance à fournir en entrée pour que le gain réel de l amplificateur s écarte de db du gain linéaire. L annexe B présente un calcul qui fait apparaître cette compression de gain dans un système non linéaire d ordre 3. La figure 9 illustre la notion de point de compression à db. La seule façon de limiter la distorsion du signal de sortie est de limiter l amplitude du signal en entrée pour s assurer que le circuit reste dans la zone de fonctionnement linéaire. On peut aussi filtrer le signal distordu afin de ne conserver que la composante de fréquence fondamentale. uissance sortie Caractéristique idéale dbm s k Distorsion Zone de fonctionnement non linéaire oint de compression à db uissance entrée Fig. 9 - Illustration de la distorsion d un signal provoqué par le comportement non linéaire d un amplificateur e A. Boyer

Canaux de transmissions bruités Septembre. Distorsions d intermodulation La distorsion d intermodulation est liée à l existence de produits d intermodulation. Ceux-ci apparaissent lorsqu un signal d entrée constituée d une combinaison linéaire de termes sinusoïdaux de fréquences différentes fi, fj, passe à travers un dispositif non linéaire. Le signal de sortie est alors composé, en plus des composantes harmoniques initiales, de termes d intermodulation dont les fréquences sont égales à des combinaisons linéaires des fréquences initiales F = m f ± n f. Ces distorsions sont très gênantes car elles génèrent des signaux parasites dans la bande utile. Néanmoins, cette propriété est mise à profit dans les circuits mélangeurs des modulateurs/démodulateurs pour la transposition de fréquences. L annexe B présente le calcul du signal de sortie pour un système non linéaire d ordre 3. La figure présente le spectre du signal de sortie d un amplificateur. Le signal d entrée correspond à la somme de sinusoïdes de fréquences et 5MHz. On remarque que le signal présente de nombreux produits d intermodulation. F F f=5mhz i j F-F F-F F+F F+F f f Fig. - Signal de sortie d un amplificateur non idéal et produits d intermodulation On peut remarquer que les produits les plus gênants sont ceux d ordre 3 (F-F et F-F). En effet, si les fréquences F et F sont très proches, les produits d ordre 3 peuvent parasiter le signal utile si ils apparaissent dans la bande passante du récepteur. our caractériser les dégradations apportées par les produits d intermodulation, on utilise la distorsion d intermodulation IM3, qui est égale au rapport de l amplitude des signaux de produit d ordre sur celle des signaux initiaux. Ce rapport est exprimé en dbc, c pour carrier, c'est-à-dire «par rapport à la porteuse». Des valeurs comprises entre et 4 db peuvent être considérées comme acceptables. V F IM 3 = log ( dbc) (Équation 5) V F F Question : D après l exemple de la figure, calculer la valeur IM3? Réponse :, A. Boyer

Canaux de transmissions bruités Septembre 3. Bruit de phase des oscillateurs locaux des récepteurs Bien que ses effets soient moindres, une autre source de bruit liée aux défauts des circuits électroniques du récepteur est le bruit de phase. Celui-ci est lié à l instabilité des oscillateurs locaux (OL) du récepteur. Ceux-ci sont souvent des oscillateurs contrôlés en tension montés à l intérieur d une boucle à verrouillage de phase (LL) et subissent en permanence une variation aléatoire de leur fréquence de fonctionnement. Au niveau du spectre, le bruit de phase se traduit par une large bande de bruit situé au pied de la porteuse, comme le montre la figure. signal oscillateur peu bruyant signal oscillateur bruyant fréquence seuil de bruit Fig. - Bruit de phase bruit de phase fréquence Ces oscillateurs locaux sont utilisés dans les circuits de réception pour ramener le signal modulé en bande de base. Si l OL est bruyant, son bruit va se superposer au signal utile des canaux adjacents et être ramené dans la bande passante du récepteur. Le bruit de phase est très perturbateur car ses effets sont cumulatifs. Il n existe pas de contre mesures permettant de réduire son effet, le seul moyen est d améliorer la pureté spectrale de l OL à sa conception. Voila pourquoi des gabarits très stricts sont imposés aux oscillateurs locaux dans les applications radio, comme celui de la norme GSM présenté figure. Fig. - Gabarit fréquentiel imposé par la norme GSM Le bruit de phase est le plus souvent exprimé en dbc/hz. Il s agit du rapport de la puissance du bruit sur une bande passante de Hz sur la puissance de la porteuse. Cette bande est choisie en s écartant de KHz de la porteuse. Une valeur typique de bruit de phase est de -dbc/hz. puissance KHz Bruit de phase Hz orteuse Fp fréquence Fig. 3 - Calcul du bruit de phase A. Boyer 3

Canaux de transmissions bruités Septembre 4. Autres sources de perturbations D autres sources de perturbations liées à l électronique du récepteur existent et ont déjà été étudiées les années précédentes : on trouve par exemple les résidus de spectres non supprimés par les filtres anti-repliement. Ceux-ci sont utilisés pour limiter la largeur de bande d un signal à échantillonner. Si celle-ci ne respecte pas le théorème d échantillonnage de Shannon, un phénomène de repliement de spectre peut avoir lieu et entraîner une distorsion du signal transmis. Les erreurs de quantification sont une source de dégradation du signal inévitable dans toute chaîne de conversion analogique numérique et qui réduisent les performances du système en terme de rapport signal sur bruit. III. Atténuation du canal de transmission. Affaiblissement ar définition, l affaiblissement ou l atténuation est le rapport de la puissance à la sortie du système s sur la puissance à son entrée e. On le calcule de la manière suivante : s A = log ( db) (Équation 6) e ln s A = ( Np ) e (Équation 7) Suivant la base choisie pour le logarithme, le gain ou l affaiblissement sont exprimés en décibel (db) ou en néper (Np). Même si le néper est mathématiquement plus naturel que le décibel (dans la théorie des lignes, l atténuation suit une loi exponentielle), l usage du décibel est plus répandu. On passe d une unité à l autre à l aide des formules suivantes : Np = log( e) db = 8.68dB (Équation 8) db = ln() Np =.5 Np (Équation 9) our la conversion en db, reportez vous à l annexe A.. Communications filaires Les câbles, s ils ne sont pas blindés, peuvent coupler un grand nombre de perturbations électromagnétiques qui se superposent au signal utile et réduisent le rapport signal à bruit. De plus, les ruptures d adaptation existant le long d un câble ont tendance à ralentir et déformer le signal. L atténuation d un câble réduit non seulement l amplitude du signal et mais contribue aussi à l étaler dans le temps. Un autre problème se pose dans le cas de câbles placés à proximité les uns des autres : la diaphonie. Elle est due à la proximité de chacun des câbles qui fait se coupler mutuellement les signaux présents sur chacun des câbles (création de couplages inductifs et capacitifs entre les câbles). Si une ligne sensible est placée trop près d une ligne sur laquelle un signal rapide est véhiculé, le signal rapide se couplera sur la ligne sensible par diaphonie et parasitera le signal sensible. 3. Affaiblissement de parcours en propagation hertzienne Un canal radio représente le médium le plus soumis aux perturbations. Dans la réalité, un espace libre dégagé de tout obstacle et aux propriétés uniformes est un cas purement idéal. Considérons d abord une propagation en espace libre. Lorsqu une onde électromagnétique se propage et s éloigne de la source, la puissance qu elle transporte par unité de surface décroît avec la distance. L atténuation en fonction de la distance d et de la fréquence f est donnée par : A. Boyer 4

Canaux de transmissions bruités Septembre Atténuation d f d = 4 = 4π λ c π (Équation ) Supposons qu on est une liaison radiofréquence entre un émetteur E et un récepteur R. La puissance rayonnée par l antenne de l émetteur dépend de la puissance électrique e et du gain de l antenne Ge. La puissance électrique reçue r dépend de la puissance transportée par l onde électromagnétique et le gain de l antenne réceptrice Gr. Le rapport entre la puissance électrique reçue et la puissance électrique émise est donnée par la formule de Friis : r GeGr GeGr = = (Équation ) e d f d 4π 4π λ c Dans le prochain chapitre, nous détaillerons les différents phénomènes physiques qui affectent la propagation et altèrent les caractéristiques temporelles du signal. 4. Brouillage ou interférences Le terme brouillage ou interférences signifie qu un signal parasite de puissance non négligeable émis à la même fréquence que le signal utile peut perturber la transmission sur le canal, en dégradant le rapport signal à bruit ou en introduisant des distorsions. On trouve types d interférences : L interférence due à la présence simultanée d autres utilisateurs soit sur le même canal de transmission (mauvais duplex, interférences entre utilisateurs), soit sur des canaux adjacents (la largeur de bande du canal adjacent ne respecte pas les contraintes fixées). Le brouillage intentionnel (activité militaire, volonté de perturber une communication gênante). La technique revient à placer à proximité de l utilisateur une source haute puissance et de la faire émettre à la fréquence du canal. Seules les communications radio peuvent être brouillées, les communications par fibre optique restent inviolables. Dans les réseaux cellulaires, le brouillage entre cellules adjacentes émettant sur une même sous bande est inévitable. On parle d interférence co-canal. Celui-ci est dû à la réutilisation des fréquences allouées par un opérateur dans des cellules voisines, comme le montre la figure 4. Des règles de réutilisation de fréquence sont dès lors requises ainsi qu un dimensionnement judicieux des puissances des émetteurs. Les canaux émettant sur des bandes de fréquences voisines ou adjacentes peuvent aussi se perturber. En effet, les signaux sont rarement bornés en fréquence, alors que les bandes de fréquence allouées le sont. Un filtrage efficace est nécessaire pour couper toute émission hors bande et éviter des phénomènes de blocage de canaux adjacents. Cependant, les défauts des circuits et des filtres (bruit de phase, distorsions non linéaires, produits d intermodulation) limitent l efficacité du filtrage en produisant un grand nombre d harmoniques hors bande. f Bande allouée à un opérateur f Signal Interférences f f f k Sous bande Fréquence Interférences f Interférences f Fig. 4 - Interférence co-canal dans un réseau cellulaire A. Boyer 5

Canaux de transmissions bruités Septembre IV. Modélisation du bruit dans un canal de transmission Un modèle de canal reste une vision simplifiée de la réalité, sa modélisation complète pourrait atteindre une très grande complexité (par exemple un réseau cellulaire dans un milieu urbain). Dans ce cours, on prend la notion de canal au sens large du terme, c'est-à-dire qu on y inclut le médium de transmission mais aussi les équipements de transmission et de réception. Voici quelques définitions : Canal discret : l ensemble des symboles reçus après le passage dans le canal est fini. L information est donc numérique. Canal à temps discret : l échelle des temps est discrète. Canal sans mémoire : le symbole reçu à un instant donné dépend uniquement du symbole émis au même instant t (en considérant le retard de transmission nul). Si le canal a une mémoire, la sortie dépend aussi des symboles présents en t, t <t. Canal stationnaire : ses caractéristiques sont fixes au cours du temps. Une fibre optique est un canal stationnaire, ses caractéristiques étant quasi invariantes au cours du temps, alors qu une liaison radio correspond à un canal non stationnaire puisque ses caractéristiques dépendent de nombreux facteurs tels que les objets environnants, les conditions atmosphériques ou les perturbations électromagnétiques. Canal sélectif : le signal à transmettre a des composantes fréquentielles qui sont atténuées différemment par le canal de propagation. Il introduit donc une distorsion dans le signal transmis. Nous allons maintenant présenter quelques modèles simples de canaux de transmission prenant en compte l ajout de bruit par le canal. Dans le chapitre suivant, nous verrons comment inclure les effets temporels induit par le canal. Des modèles bien plus complexes existent (par exemple pour le canal radioélectrique), mais ils ne sont pas traités dans ce cours.. Canal binaire symétrique ou BSC Il s agit d un canal discret binaire sans mémoire. Ce canal est qualifié de symétrique car la probabilité qu un devienne un en sortie est égale à celle qu un devienne un. p est la probabilité d erreur. La figure 5 illustre le modèle de ce canal. Densité de probabilité entrée sortie -p p robabilité que le symbole émis soit robabilité que le symbole émis soit p -p Interférences entre symboles -V +V Valeur pris par le signal On décide que la valeur reçue est un On décide que la valeur reçue est un Fig. 5 - Canal binaire symétrique Même si ce modèle de canal reste simpliste, il permet d évaluer rapidement les performances d un système numérique en termes de taux d erreur binaire. A. Boyer 6

Canaux de transmissions bruités Septembre. Bruit blanc gaussien et canal à bruit blanc gaussien additif (Additive White Gaussian Noise AWGN) Le bruit blanc gaussien est un modèle de bruit largement utilisé dans de nombreux domaines. En effet, lorsqu un phénomène correspond à la somme d un grand nombre de variables aléatoires, il est possible de démontrer par le théorème de la limite centrale que la distribution statistique de ce phénomène suit une distribution gaussienne. Dans le domaine fréquentiel, un bruit blanc présente une DS constante en fonction de la fréquence. Un bruit gaussien suit une distribution gaussienne, caractérisée par une moyenne µ et une variance σ². La densité de probabilité est donnée par l équation. La figure 6 illustre la représentation temporelle d un bruit gaussien et la distribution statistique qui peut en être extrait, dont la densité de probabilité suit une distribution gaussienne. La représentation temporelle ne permet pas d extraire d informations sur le signal en raison de sa nature aléatoire (pas de période par exemple), mais la distribution permet d extraire des éléments statistiques sur la nature du bruit. ( ) ( x µ ) p x = exp (Équation ) σ π σ Amplitude du bruit (x) Amplitude du bruit (x) Moyenne σ Temps Densité de probabilité p(x) Fig. 6 Représentation temporelle d un bruit gaussien et distribution statistique de son amplitude Un canal AWGN est non discret et sans mémoire qui représente parfaitement une liaison radio en vue directe dont le bruit est principalement d origine thermique. Le bruit additif est dans ce cas un bruit gaussien de moyenne nulle et de variance σ². Comme il s agit d un bruit blanc, la densité spectrale de bruit est constante avec la fréquence, ce qui représente une hypothèse simplificatrice des calculs et mais qui reste valide si on considère des bandes de fréquence étroites. La figure 7 illustre le modèle général d un canal AWGN. Le canal est caractérisé par une fonction de transfert ou une réponse impulsionnelle, qui décrivent le comportement soit fréquentiel soit temporel du canal (voir chapitre suivant). Les perturbations externes et le bruit se couplent au canal et sont ajoutés au signal transmis. Bruit et perturbations Signal numérique émis Filtre linéaire Canal de transmission Fig. 7 - Modèle général d un canal de transmission à bruit additif + + Signal numérique reçu A. Boyer 7

Canaux de transmissions bruités Septembre 3. Canal de Rayleigh Dans les liaisons radiomobiles, les canaux de transmission évoluent en fonction du temps à cause des déplacements aléatoires des entités communicantes et l existence d obstacles entre l émetteur et le récepteur. Il peut en résulter que le signal émis suit plusieurs trajets avant d arriver au récepteur, conduisant à une variabilité importante du signal reçu due à l addition de plusieurs signaux déphasés. Lorsque le débit de transmission est suffisamment faible, chaque symbole ne se superpose qu avec lui-même, au moins sur une portion significative de sa durée. Un canal de Rayleigh permet de prendre en compte ces effets : réflexions multiples, évanouissements, fluctuations à grande et petite échelle et effet Doppler. L amplitude et la phase du signal reçu apparaissent comme des variables aléatoires qui suivent une loi de Rayleigh (équation 3). Ce modèle est particulièrement adapté à une représentation statistique d un canal radiomobile. = x x p ( x) exp (Équation 3) σ σ V. Rapport signal sur bruit. Définition Connaître la puissance du bruit N n a un intérêt que si on peut la comparer à celle du signal s et en déduire son impact sur la dégradation du signal. C est pourquoi on utilise généralement un rapport de puissance appelé rapport signal sur bruit (Signal Noise Ratio) : SNR S nom = (Équation 4) N Le rapport signal sur bruit se rapporte toujours au niveau nominal du signal. Le plus souvent, celui-ci est exprimé en db (équation 5). Voir Annexe A pour les conversions entre les échelles linéaires et les échelles logarithmiques (db). S nom ( ) SNR db = log (Équation 5) N Celui-ci va donc permettre d apprécier la qualité d un signal et déterminer la sensibilité d un dispositif pour une densité spectrale du bruit donnée. Le rapport signal à bruit est une donnée surtout intéressante pour des signaux analogiques, puisqu il va permettre d estimer la dégradation subit par ce dernier. En effet, plus le rapport signal à bruit est faible, plus le signal est dégradé par le bruit et plus il sera difficile de supprimer l influence du bruit sur le signal. Il est nécessaire de garantir un rapport signal à bruit important pour s assurer que le signal reçu reste une «copie fidèle» du signal transmis. Ci-dessous, voici 4 exemples de contraintes en terme de SNR, les 3 premières correspondent à des transmissions analogiques, la dernière à une transmission numérique. Exemple de SNR : Téléphonie classique : SNR 5dB (B=3. KHz), bruit à peine perceptible, bruit à 3dB très gênant. Transmission de musique : SNR 47dB (B=5 KHz), plus sévère que les exigences en téléphonie puisque largeur de bande plus grande. Transmission de télévision : SNR 5dB (B=5 MHz) Système GSM : SNR 8dB (B=KHz), le bruit thermique étant de -dbm à 9 K, le premier étage d amplification ajoutant un bruit de db, la sensibilité du récepteur est de - A. Boyer 8

Canaux de transmissions bruités Septembre dbm (63pW)! Cette sensibilité permet de garantir un taux d erreur binaire d au plus pour bits. Remarque : dans le cas de signaux modulés, on parle aussi de rapport carrier on noise C/N, où C représente la puissance de la porteuse.. Cas d un signal numérique - Rapport signal à bruit par bit Les signaux numériques sont sensibles au bruit, mais ne sont pas aussi sensibles que les signaux analogiques. Contrairement à un signal analogique, la qualité d un signal numérique ne se mesure pas à la distorsion du signal, mais à la possibilité pour un circuit digital de détecter correctement l état binaire transmis. Alors que la principale contrainte d une communication analogique est le rapport signal à bruit qui est directement relié à la distorsion du signal, celle d une communication numérique est le taux d erreur binaire. Alors que les exigences en termes de rapport signal à bruit pour les transmissions analogiques sont très élevées (plusieurs dizaines de db!), celles-ci sont beaucoup plus faibles pour des communications numériques. Les niveaux de bruit nécessaires pour induire une erreur binaire doivent être très grand et du même ordre que l amplitude du signal. En général, il est possible de recevoir un signal numérique avec une qualité acceptable avec un rapport signal à bruit légèrement négatif (nous le verrons par la suite)! Ainsi, le rapport signal sur bruit n est pas la meilleure métrique pour qualifier la qualité d un signal numérique. On préfère employer un rapport signal à bruit normalisé appelé rapport signal à bruit par bit noté Eb/No. Il s agit du rapport entre l énergie véhiculée par un bit Eb et la densité spectrale en puissance du bruit No. Comme nous le verrons plus tard, cette grandeur est directement reliée au taux d erreur binaire, et fixer une contrainte en termes de taux d erreur binaire revient à fixer une contrainte sur le rapport Eb/No. Intuitivement, on sent que la dégradation d un signal numérique, en l occurrence une erreur d interprétation de bits, va dépendre du rapport entre l énergie transportée par un bit et celle du bruit. Décortiquons maintenant les deux termes de ce rapport. Eb représente l énergie transportée par un bit. L énergie par unité de temps s appelle la puissance. Dans le cas d un signal binaire, l énergie par bit (en J/bit) est donc reliée à la puissance moyenne du signal S (en W) par le débit binaire Fb (en bit/s) comme le montre l équation 6. On remarque que l énergie par bit est inversement proportionnelle du débit binaire. S E b = (Équation 6) F b N représente la densité spectrale de bruit, c'est-à-dire la puissance N transportée par le bruit sur une bande de fréquence de largeur B. Son unité est W/Hz, ce qui est équivalent à une énergie. N N = (Équation 7) B En combinant les équations précédentes, on peut relier le rapport signal à bruit et le rapport Eb/No par l équation suivante : S N E F E b b b = = (Équation 8) No B No N Fb S : puissance du signal (W) N : puissance du bruit (W) Eb : énergie par bit (W.s/bit) No : densité spectrale de bruit (W/Hz) Fb : débit binaire (bits/s) B : bande passante du canal de transmission (Hz) S B A. Boyer 9

Canaux de transmissions bruités Septembre Remarque : le rapport Eb/No dépend non seulement des puissances du signal et du bruit, mais aussi des propriétés du signal telles que le débit binaire, la modulation (comme nous le verrons, la bande passante nécessaire pour transporter un signal dépend du type de modulation employée). Le rapport Eb/No prend donc en compte l effet de d autres paramètres influents sur la robustesse d une communication numérique. Ce rapport est donc un paramètre plus intéressant pour comparer des systèmes de communication différents. 3. Résolution en amplitude Le bruit qui se superpose au signal transmis sur un canal vient dégrader sa qualité. Dans le cas d un signal numérique où les différents symboles sont représentés par des amplitudes différentes, plus le nombre de symboles possible est grand, plus il devient difficile de les différencier en présence de bruit. Ainsi, comme la puissance du signal est limitée, pour un niveau de bruit donné, il existera une limite en nombre de symboles pour assurer une transmission numérique. Dans l hypothèse d un bruit additif blanc gaussien et pour un rapport signal sur bruit S/N donné, Shannon a pu montrer que pour conserver une probabilité d erreur d interprétation des symboles quasi nulle, le nombre maximal d états Nmax est donné par l équation 9. S Nmax = + (Équation 9) N Néanmoins, il est impossible d assurer une probabilité d erreur nulle puisque cela signifierait qu une erreur est un événement impossible. En présence de bruit aléatoire et pour un dispositif de transmission donné, une erreur est un événement toujours possible. On peut donc en déduire une quantité maximale de décision par moments, c est-à-dire un nombre maximal de bits pour représenter les symboles à transmettre : S Dm ( bits) Dmax = log + (Équation 3) N VI. Taux d erreur binaire d un signal bruité. Définition Alors que la qualité d un signal analogique est dégradée par toute distorsion ou atténuation non linéaire créé par le canal de transmission, la qualité d un signal numérique ne sera réduite que si les effets négatifs du canal conduisent le récepteur à confondre plusieurs symboles ou bits dans le cas d un signal binaire. Afin de quantifier la dégradation subie par un signal numérique ou de spécifier la qualité que doit atteindre une transmission numérique, on utilise la notion de taux d erreur binaire ou Bit Error Rate (BER). Il s agit du taux d erreur mesuré à la réception d une transmission numérique, et se calcule à l aide de l équation 3. nombre de bits erronés BER (%) = (Équation 3) nombre total de bits reçus lus la contrainte sur la qualité de service d une transmission est élevée, plus le BER est faible. ar exemple, la norme GSM spécifie un BER < % pour une puissance reçue > - dbm. Remarque : le BER n est pas la seule métrique utilisée pour qualifier la qualité d un signal numérique. On retrouve aussi le Frame Error Rate (FER) ainsi que le Block Error Rate (BLER) qui indique respectivement la probabilité d erreur par trame et la probabilité d erreur par blocs de données. A. Boyer 3

Canaux de transmissions bruités Septembre. Taux d erreur binaire théorique d un signal binaire sur un canal AWGN Nous allons maintenant relier la probabilité d apparition d erreur binaire en fonction du rapport signal à bruit. laçons-nous dans le cas d un signal binaire et d un canal AWGN. On appelle f(x) la densité de probabilité du bruit, qui suit une distribution gaussienne, de moyenne nulle et d écart type σ. Supposons que les états binaires sont représentés par deux niveaux de tension notés a et a. On appelle A l amplitude du signal. L émission des états et sont équiprobables. Ce signal bruité est appliqué en entrée d un récepteur binaire, présentant un seuil de décision notée λ. Supposons de a + a plus que ce seuil de décision est tel que λ =. Une erreur binaire apparaît si le récepteur interprète mal un bit incident. Deux cas peuvent se présenter : un état est transmis, mais le bruit est suffisant pour que l amplitude du signal appliquée en entrée du récepteur dépasse le seuil de décision. un état est transmis, mais le bruit est suffisant pour que l amplitude du signal appliquée en entrée du récepteur soit inférieure au seuil de décision. Amplitude Vin du signal binaire reçu A a λ Récepteur (seuil de décision λ) Etat de sortie d : d = si Vin < λ d= si Vin > λ a Etat binaire transmis a : temps Fig. 8 Modèle de la décision d un récepteur binaire Connaissant les probabilités d apparition des symboles et et sachant que le bruit suit une distribution gaussienne, on peut déterminer la distribution de l amplitude du signal d entrée. Celle-ci est la somme des distributions de l amplitude dans le cas où un état est transmis (noté f(x/a)) et dans le cas où un état est transmis (noté f(x/a)) (Fig. 9). ( x a ) ( ) f x / a = exp (Équation 3) σ π σ ( x / a ) exp σ π ( x a ) = f (Équation 33) σ Densité de probabilité σ f(x/a) f(x/a) σ a λ a Vin Fig. 9 - Densité de probabilité de l amplitude du signal en entrée du récepteur binaire Calculons la probabilité d apparition d une erreur : A. Boyer 3

Canaux de transmissions bruités Septembre err err = = ( d = ). ( d = / a = a ) + ( d = ). ( d = / a = a ) + λ f ( x / a ) dx + f ( x / a ) λ En analysant l équation précédente et en exploitant les propriétés de symétrie d une fonction gaussienne, on peut écrire : err err err = A f = = dx ( x) dx + f ( x / a ) + A A + A f ( x) + A dx x exp πσ σ dx dx Comme le seuil est placé de manière symétrique par rapport à a et a, on peut faire intervenir A, qui correspond à l amplitude du signal. σ Densité de probabilité + Densité de probabilité σ a λ a Vin a λ a Vin err Densité de probabilité σ a a A = λ-a/ λ λ-a/ Vin Fig. 3 - Calcul du taux d erreur binaire dans le cas d un signal binaire traversant un canal AWGN suivante : En effectuant le changement de variable suivant : err A + σ = exp π u = ( u ) du x, on peut écrire l équation σ En se reportant à l annexe E, on remarque que la fonction erfc apparaît dans l équation précédente, qui peut s écrire sous la forme ci-dessous : A = erfc σ err (Équation 34) Modifions cette équation pour faire apparaître le rapport signal à bruit par bit Eb/No : A. Boyer 3

Canaux de transmissions bruités Septembre A Energie du signal : E = Tb, où Tb est la période binaire. L énergie par bit est donc de : E b = A Energie du bruit : N = σ Tb. our chaque période binaire, l énergie du bruit est donc de : N = σ L équation 34 peut donc s écrire sous la forme suivante : Eb = err erfc (Équation 35) N Le taux d erreur binaire BER est similaire à la probabilité d apparition d erreur binaire, donc le BER est relié au rapport signal à bruit par bit par l équation 36 pour un signal binaire. Cette relation est particulièrement importante pour le dimensionnement d un canal de transmission car il permet de définir une limite en terme de rapport signal à bruit à partir d une contrainte donnée sur le taux d erreur binaire maximale. Cette formule reste cependant théorique mais donne une bonne estimation du taux d erreur binaire pour un rapport signal à bruit donné. Comme nous le verrons par la suite, cette relation n est valable que pour un signal binaire et évolue avec le type de modulation, le codage canal le filtrage = erfc b BER (Équation 36) N o La figure 3 présente le taux d erreur binaire en fonction du rapport signal à bruit dans le cas d un signal binaire. On remarque que plus le rapport signal à bruit augmente, plus le taux d erreur binaire diminue. Un fait surprenant est que même si le rapport signal sur bruit est négatif, le taux d erreur binaire n est pas égal à. Dans cet exemple, pour E b /N o = db, le taux d erreur binaire est de 8 %. Même si ce taux d erreur est supérieur aux spécifications usuelles des systèmes de communications numériques, moins de bit sur risque d être altéré alors que le signal a un niveau plus faible que le bruit. Il faut cependant rappeler que l information dans un signal numérique n est pas portée par la forme du signal. Il peut être distordu et l information sera conservée intacte tant qu il est possible de reconnaître le bon état binaire transporté. E Fig. 3 Taux d erreur binaire en fonction du rapport signal à bruit dans le cas d un canal AWNG et d un signal binaire A. Boyer 33

Canaux de transmissions bruités Septembre Question : Soit un signal binaire de débit = Kbits/s. Le signal en bande de base présente une bande passante de 5 KHz. Calculer le rapport signal à bruit nécessaire pour garantir un BER <. %. Réponse : VII. Bilan de liaison Nous venons d établir une relation entre le rapport signal à bruit (l amplitude du signal reçu) et la probabilité d apparition d erreur binaire. La quantité d erreurs induites dans un signal binaire est donc dépendante de la puissance du signal reçu et du seuil de bruit du récepteur (nous avons pour l instant ignoré les effets temporels du canal qui sont une autre source d erreurs. Nous les aborderons dans le prochain chapitre). Si nous cherchons à réaliser un canal de transmission numérique et assurer une transmission avec un minimum d erreur, nous pouvons déterminer la puissance minimale à transmettre au récepteur, à condition de connaître le seuil de bruit et la nature du bruit présent. our cela, nous allons introduire un outil adapté au dimensionnement en puissance du canal : le bilan de liaison.. Définition Le bilan de liaison (ou link budget en anglais) est un outil fondamental pour dimensionner les puissances à mettre en jeu dans un canal de transmission. Le bilan de liaison fait la somme de la puissance émise et de tous les gains et les pertes rencontrés jusqu'au récepteur, ainsi que les marges ajoutées par le concepteur, fournissant la puissance reçue par le récepteur. Celle-ci doit être supérieure au seuil de réception, lié au niveau de bruit du récepteur et du rapport signal à bruit minimal pour assurer une détection du signal et une qualité de service suffisante (donnée par exemple sous la forme d une contrainte en terme de BER). La figure ci-dessous présente un schéma général d un canal de transmission. Une puissance électrique e est mise en entrée de l émetteur, qui va se charger de mettre en forme le signal et de l adapter au medium de propagation. Les différents éléments constituant l émetteur vont soit amplifier le signal avec un gain Ge au signal (apporté par exemple par des amplificateurs ou par les dispositifs de conversion du signal électrique comme les antennes, qui peuvent focaliser l onde électromagnétique produite dans une direction privilégiée), soit apporter une perte notée Le (L pour Loss) (par exemple, les pertes liées aux câbles). La puissance en sortie de l émetteur tient donc compte du gain Ge et des pertes Le. Cette puissance traverse le medium de propagation (câbles, fibre optique, espace libre pour une communication hertzienne) qui va introduire une perte de propagation Lp. Celleci dépend des caractéristiques du milieu et dans la distance séparant l émetteur du récepteur. La puissance du signal en entrée du récepteur sera donc égale à la puissance en sortie de l émetteur moins la perte de propagation liée au medium de propagation. Enfin, les différents éléments constituant le récepteur introduisent soit un gain Gr soit une perte Lr. La puissance en sortie du récepteur est donc égale à la puissance reçue amplifiée par le gain Gr et diminuée par la perte Lr. La probabilité d apparition d erreur dépendra donc du rapport entre la puissance r et le bruit superposé au signal reçu. A. Boyer 34

Canaux de transmissions bruités Septembre Bruit uissance en entrée de l émetteur e Emetteur Gain Ge erte Le Medium de propagation erte de propagation Lp Récepteur Gain Gr erte Lr uissance en sortie du récepteur r Erreur binaire? Fig. 3 Schéma général d un canal de transmission et bilan de puissance En exprimant les différentes puissances, gains et pertes en db, il est possible de déterminer la puissance reçue à l aide de l équation suivante et donc d établir un bilan de liaison. = L + G L + G L (Équation 37) r e e e p Le bilan de liaison se présente généralement sous la forme d un tableau où on va calculer introduit la puissance mise en entrée du canal par l émetteur (à partir de la puissance d entrée, des gains et des pertes de l émetteur), le seuil de réception du récepteur (à partir du seuil de bruit, du bruit ajouté par le récepteur, des gains et des pertes du récepteur), et déterminer la perte de propagation maximale. De cette perte et à partir d un modèle de propagation, il est possible d estimer la séparation maximale entre l émetteur et le récepteur. Le bilan va aussi permettre aussi d ajuster certains éléments du canal de transmission, telle que la puissance d émission, les gains à ajouter, les pertes maximales autorisées sur l émetteur ou le récepteur Cet outil simple va aider le concepteur à dimensionner les différents éléments du canal.. Sensibilité d un récepteur Une des principales contraintes d un récepteur concerne sa sensibilité ou seuil de réception, c'est-à-dire le niveau de puissance minimal du signal d entrée pour que celui-ci soit détecté. La sensibilité d un récepteur dépend non seulement du niveau de bruit en entrée du signal, mais aussi du rapport signal à bruit minimal à respecter pour une application donnée et des marges que le concepteur juge nécessaire pour compenser un certain nombre de pertes additionnelles probables et d incertitudes. La sensibilité d un récepteur peut se calculer à l aide de la formule suivante : sensibilité dbw = seuil de bruit + SNR + pertes marg (Équation 38) ( ) es r r min + Niveau de puissance Seuil de sensibilité Seuil de bruit Marges supplémentaires SNRmin signal Fig. 33 - Seuil de sensibilité d un signal Dans le cas d une transmission numérique, le rapport signal à bruit est exprimé en terme de rapport signal à bruit par bit, qui est directement relié au taux d erreur binaire. Dans le cas d un bruit thermique et d un signal binaire, la sensibilité d un récepteur peut s écrire : sensibilité dbw = log kt + E / N + log F (Équation 39) ( ) ( ) ( ) pertes k : constante de Boltzmann (.38e-3 J.K - ) T : température (K) E b /N o : rapport signal à bruit par bit (db) b o b + A. Boyer 35

Canaux de transmissions bruités Septembre Fb : débit binaire (Bits/s) Question : La norme de télécommunication mobile G appelée DCS 8 impose les caractéristiques suivantes au récepteur : un taux d erreur binaire < %, ce qui impose un E b /N o > 4.9 db la bande allouée à un canal est de KHz le débit binaire est de 7.83 Kbits/s le bruit ajouté par le récepteur sur le signal reçu doit être inférieur à 9 db l atténuation du récepteur sur le signal doit être inférieure à 3 db En se plaçant à température ambiante (7 c) et en considérant un signal binaire, calculer la sensibilité en dbm d un téléphoné mobile DCS 8. Réponse : 3. Exemple de bilan de liaison Appliquons un bilan de liaison à une application de téléphonie mobile, sur la liaison descendante entre une station mobile et GSM et un téléphone portable. On donne les contraintes suivantes : La station de base est composée par des antennes directives de gain = 4 db. La puissance maximale de l émetteur est d abord fixée à 4 dbm. Les coupleurs et les câbles induisent des pertes respectives de 3 et 3.5 db. On suppose qu on transmet un signal binaire, dont le débit binaire est égal à 7 Kbits/s. Une bande passante de KHz est utilisée. La station mobile est composée d une seule antenne omnidirectionnelle (gain db). Les pertes sont principalement dues à la proximité d un corps humain et sont évaluées à 3 db. On suppose que le bruit est uniquement d origine thermique (T c = 5 c). Le récepteur présente un noise figure de 5 db. Le cahier des charges indiquent que des marges de bruit et d environnement respectivement de 3 et 8 db doivent être ajoutées. On souhaite déterminer la perte de propagation maximale autorisée pour garantir un taux d erreur binaire inférieur à %. our cela, le rapport Eb/No minimal est égal à 5 db. A. Boyer 36

Canaux de transmissions bruités Septembre ebts L c f BTS Tx Coupleur Alimentation L GBTS L p G MS L fms Rx rms Station de base Station mobile La puissance reçue par la station mobile peut se calculer à partir de la puissance de l émetteur en cumulant les gains et les pertes présents dans le canal : = L L + G L + G L (Équation 4) r MS e BTS c f BTS Le tableau ci-dessous présente le bilan de liaison de ce lien radio. Bilan de la liaison descendante uissance entrée de E BTS Emetteur (station de base) Récepteur (station mobile) BTS p MS f MS 4 dbm l émetteur ertes coupleur Lc 3 db ertes câbles Lf BTS 3.5 db Gain antenne GBTS 4 db uissance émise E = E BTS- Lc - Lf BTS +GBTS 49.5 dbm Eb/No Eb/No 5 db Débit binaire Fb 7 Kbits/s Bande passante B KHz Rapport signal à bruit SNR = Eb/No + log(fb)- 6.3 db log(b) Densité de bruit No = log(kt) -74 dbm/hz Noise figure NF 5 db Seuil de bruit N = No + log(b)+nf -6 dbm Gain antenne GMS db ertes Lf MS 3 db uissance minimum reçue R = N+SNR+Lf MS-GMS -6.7 dbm en entrée du récepteur Marges Marge de bruit Mb 3 db Marge d environnement Me 8 db ertes de propagation maximale L max = E - R Mb - Me 45. db La perte de propagation hertzienne maximale est de 45. db. Connaissant le modèle de propagation adapté à l environnement, il est possible de déterminer la distance de séparation maximale entre la station de base et la station mobile (en d autres termes, la portée de la cellule). ar exemple, en supposant une propagation en espace libre, la séparation maximale est de 478 km! Cependant, ce modèle est irréaliste dans le cas d une propagation typique dans un réseau cellulaire, où de nombreux obstacles induisent de fortes atténuations. Dans un milieu urbain, la séparation maximale serait environ égale à 4 km. Supposons qu on cherche à accroître la couverture de cette cellule en conservant une qualité de service constante (Eb/No constant) et une puissance d émission constante. Il est nécessaire d augmenter la perte de propagation maximale. D après le bilan de liaison, on peut identifier les paramètres qui permettraient d accroître la perte de propagation maximale. ar exemple, en augmentant l ensemble des gains ou réduisant les différentes pertes. A. Boyer 37

Canaux de transmissions bruités Septembre VIII. Ce qu il faut retenir Le bruit est un signal aléatoire souvent d origine thermique, qui fixe le seuil minimum de réception des systèmes électroniques. Le bruit couplé à un signal dépend de la bande passante du signal. Tout système électronique présente des défauts qui dégradent le signal en lui ajoutant du bruit et en le distordant par des effets non linéaires. On caractérise l ajout de bruit par un système électronique par le facteur de bruit ou noise figure. Le rapport signal à bruit définit le rapport minimum à respecter entre la puissance du signal sur la puissance du bruit afin de garantir une réception de qualité du signal. Le signal est aussi affecté par les défauts du support de transmission et les interférences provenant des autres canaux de transmission. Les perturbations affectant le canal conduisent à affaiblir le signal et à le distordre. Les signaux numériques sont plus robustes au bruit que les signaux analogiques, on préfère employer le rapport signal à bruit par bit noté Eb/No. On mesure la qualité d un signal analogique par le rapport signal sur bruit, celle d un signal numérique par le taux d erreur binaire (Bit Error Rate BER). Dans le cas d un système de réception d un signal numérique, le taux d erreur binaire est lié au rapport signal à bruit par bit. Un bilan de liaison est un bilan de puissance dans un canal de transmission, faisant apparaître les puissances mises en jeu, les contraintes en terme de seuil de réception, les gains et les pertes sur l ensemble du canal. C est un outil indispensable pour dimensionner un canal de transmission. A. Boyer 38

Canaux de transmissions bruités Septembre C. Effet du canal sur le débit d une transmission numérique Dans le chapitre précédent, nous nous sommes concentrés sur la dégradation du rapport signal de l amplitude du signal transmis, lié à l atténuation et au bruit apportée par le canal. Cependant, nous avons ignoré les caractéristiques temporelles du canal. Celles-ci sont liées à un grand nombre d effets et leur modélisation reste complexe. Le canal de transmission va modifier la forme temporelle du signal, qui va s étaler dans le temps. Dans le cas d un signal numérique, les symboles transmis sont émis périodiquement. Si cette période est du même ordre que la constante de temps de la réponse du canal, des symboles adjacents risquent de se superposer et d induire des erreurs d interprétation des symboles. Cet effet est appelé interférence intersymboles. Les caractéristiques temporelles du canal vont donc limiter le débit de transmission. Le but de chapitre est de présenter le phénomène d interférence intersymboles et de déterminer la limite de débit de transmission de symboles électriques sur un canal. Les conditions permettant d annuler théoriquement le risque d interférences intersymboles seront aussi présentées. Enfin, la notion de capacité d un canal de transmission sera introduite, qui fixera une limite théorique du débit binaire. I. Caractéristiques temporelles d un canal de transmission. Retard de transmission Le temps mis par une information pour parvenir de la source au destinataire peut être un élément d appréciation de la qualité de transmission. Il est dû essentiellement au temps de propagation des ondes électromagnétiques sur un fil ou dans l espace libre, mais dans certains cas de transmission de données, il peut aussi être dû à des retards de commutation (commutation par blocs). L équation 4 donne l expression de la vitesse de propagation d une onde électromagnétique dans un milieu homogène et sans pertes, l équation 4 permet de calculer le retard dans une ligne. v c ε µ = (Équation 4) co = vitesse de la lumière dans le vide = 3 e 8 m/s εr = constante diélectrique relative (par exemple dans l air,.6 dans le silicium) µr = perméabilité magnétique relative (= dans les matériaux non magnétiques) v = vitesse de propagation du signal Td = retard L = longueur de la ligne r r L T d = (Équation 4) v Le retard n est pas critique dans une communication unilatérale (ex : télévision, fax, ), mais le devient dès qu une réponse est attendue dans l autre sens (ex : conversation téléphonique). our des raisons physiologiques, le retard dans une conversation téléphonique devient sensible dès qu il atteint 5ms et très pénible dès qu il dépasse 4ms. A. Boyer 39

Canaux de transmissions bruités Septembre Question : Quel est le retard introduit par une ligne téléphonique entre personnes situées à km? Celui dans le cas d une liaison par satellite géostationnaire? Réponse :. Transmission conforme Distorsions linéaires Même si la transmission conforme ne concerne que les transmissions analogiques, nous allons quand même aborder ce point. Dans le cas d une transmission analogique, l information est contenue dans la forme du signal qui doit être sauvegardée à tout prix. our une transmission conforme, le signal reçu ne doit différer du signal émis que : ar un facteur d affaiblissement constant ar un retard constant Il en résulte que l affaiblissement de la transmission est une constante indépendante de la fréquence et que le déphasage doit être une fonction linéaire de la fréquence. Si les conditions précédentes ne peuvent pas être satisfaites, des distorsions linéaires pourront apparaître. On parle en particulier de : Distorsion d affaiblissement si l affaiblissement varie avec la fréquence Distorsion de phase si le déphasage ne varie pas linéairement avec la fréquence, c'est-à-dire si le temps de propagation n est pas constant. Ainsi, l effet de distorsions linéaires sur un signal sinusoïdal émis n a pas de conséquence puisqu en réception on récupère un signal sinusoïdal. Cependant tout autre signal voit sa forme et son spectre modifiés. Toutefois, aucune nouvelle composante fréquentielle n apparaît, contrairement aux cas de distorsions non linéaires. Remarque : distorsion de phase Soit un signal dont le spectre est composé de harmoniques de fréquences F et F. Supposons que ce signal passe à travers un filtre qui ajoute un déphasage à chacune des harmoniques et par conséquent un retard ou temps de propagation au signal. our ne pas déformer le signal, il faut que le retard des harmoniques soit identique. our un signal de période T et de fréquence f, déphasage Ф et temps de propagation τ sont liés par la relation suivante : Φ Φ Φ τ = T = = (Équation 43) f π π ω Si on veut que le retard soit indépendant de la fréquence, il faut que le déphasage soit une fonction linéaire de la fréquence, autrement dit un déphasage linéaire. k f k si Φ = k f, τ = = = cons tan te π f π A. Boyer 4

Canaux de transmissions bruités Septembre Cependant, pour une transmission numérique, la conformité n est pas nécessaire! En effet, le signal reçu étant échantillonné et régénéré avant que l information numérique en soit extraite, la seule condition est que l interférence entre symboles ou moments soit nulle. 3. ropagation multi-trajet dans un canal hertzien Un canal hertzien est le médium le plus soumis aux perturbations. En pratique, un espace libre dégagé de tout obstacle et aux propriétés uniformes est un cas purement idéal. Dans un canal hertzien réel, l onde incidente peut subir les effets suivants : Des réflexions multiples qui deviennent complexes aux fréquences radio UHF car les irrégularités des obstacles sont à l origine de différences de phase entre les différents rayons réfléchies. Ces réflexions multiples créent différents trajets, de longueurs variées, entre l émetteur et le récepteur entraînant un étalement temporel. On parle de propagation multi trajet. Des diffusions, c'est-à-dire des réflexions pour lesquelles il n existe aucune direction privilégiée. Elles sont provoquées par exemple par des gouttelettes d eau en suspension Des diffractions qui interviennent dès que les dimensions des obstacles deviennent comparables à la longueur d onde. Ce problème est majeur pour les ondes UHF. Des absorptions par l eau et les gaz de l atmosphère, l atténuation variant avec la fréquence En raison des réflexions, réfractions et diffusions des ondes électromagnétiques dans des environnements contenant de nombreux obstacles (milieu indoor par exemple), le signal transmis atteint souvent le récepteur par plusieurs chemins, créant le phénomène d atténuation multitrajet (ou multipath fading). Les différentes composantes du signal provenant des chemins directs et indirects se recombinent avec des amplitudes, des phases et des instants d arrivée différents, et produisent une version distordue du signal original. Lorsque la transmission se fait sur un canal à bande étroite, l enveloppe du signal reçu subit de fortes fluctuations d amplitude. On parle d évanouissement rapide ou sélectif, décrit par la figure 34. Dans le cas d un canal à bande large, une série d impulsions atténuées et retardées apparaissent pour chaque impulsion transmise, à la manière d un écho. Signal reçu Impulsion transmission Diffusion / diffraction Trajets multiples réflexion Fonction de transfert fade seuil temps seuil Fig. 34 - hénomène de trajets multiples et évanouissement rapide d un signal radio fade fréquence Leurs causes sont multiples, elles sont liées aux trajets multiples empruntés par les ondes, mais aussi à l effet Doppler résultant du déplacement du mobile par rapport à l émetteur. Ces phénomènes créent des interférences entre les signaux incidents qui peuvent devenir constructives ou destructives. Dans ce cas, une perte très importante voire totale du signal est à craindre pendant des durées qui vont de quelques µs à quelques secondes. arallèlement, cela se traduit par un évanouissement affectant quelques bandes de fréquence étroites. De plus, contrairement aux liaisons filaires et par fibre optique, une liaison radio est un canal dont les caractéristiques ne sont pas stationnaires dans le temps. ar A. Boyer 4

Canaux de transmissions bruités Septembre conséquent, ce phénomène est un des problèmes les plus sérieux en télécommunications car les atténuations sont importantes, difficile à modéliser et à combattre efficacement. Les figures ci-dessous présentent plusieurs exemples de réponses impulsionnelles mesurées en milieu indoor ou en environnement urbain. On voit clairement l étalement temporel de la réponse, qui peut atteindre plusieurs centaines de ns en milieu indoor, plus dizaines de µs en milieu urbain, et l apparition de nombreux échos de l impulsion initial. Fig. 35 Exemples de réponses impulsionnelles mesurées en milieu indoor (H. Hashemi, «The Indoor Radio ropagation channel», roceedings IEEE, vol. 8, no 3, July 993) Fig. 36 Exemple de réponses impulsionnelles mesurées en milieu urbain (J. B. Andersen, T. S. Rappaport, S. Yoshida, «ropagation Measurements and Models for Wireless Communications Channels», IEEE Communications Magazine, January 995) 4. Modélisation de la réponse temporel d un canal de transmission La réponse temporelle d un canal réelle reste complexe, souvent aléatoire et non stationnaire. Il est possible de les modéliser en un point donné de l espace par un filtre linéaire variable dans le temps, caractérisé par une réponse impulsionnelle h(t) dont les coefficients varient dans le temps (Fig. 37). Le canal peut aussi être modélisé par sa fonction de transfert H(f). Signal numérique émis x(t) Réponse impulsionnelle h(t) Canal de transmission Bruit et perturbations n(t) + + y h ( t) = h( t) x( t) N k k = ( t) = a ( t) δ ( t t ) exp( jθ ( t) ) Signal numérique reçu y(t) k k Fig. 37 Modèle mathématique d un canal de transmission A. Boyer 4

Canaux de transmissions bruités Septembre II. Interférences inter symbole diagramme de l oeil. Définition Le phénomène d interférence intersymbole (ISI ou IES) consiste en un chevauchement partiel entre les symboles adjacents, comme le montre la figure 38. La valeur du symbole reçu à l instant T est perturbée par les symboles reçus précédemment. Le symbole reçu peut alors être confondu avec un autre et introduire des erreurs d interprétation par le récepteur. L interférence inter symbole est la principale source d erreur binaire dans les communications numériques. Signal à émettre transmission temps Signal reçu temps Fig. 38 - Etalement d un signal numérique après transmission our améliorer la fiabilité d une communication numérique, il convient de minimiser le risque d apparition d IES. Comme nous le verrons dans les chapitre C et F, la théorie de l information prévoit que ces interférences apparaissent si les conditions de Nyquist ne sont pas respectées. Si ces conditions sont respectées, la probabilité qu il existe de l interférence inter-symbole tend vers.. Condition d apparition d interférences intersymboles Il est possible de savoir si un canal pourra présenter un risque important d apparition d interférence inter symbole en étudiant sa réponse impulsionnelle discrète. Soit le canal de transmission décrit à la figure 39, présentant un filtre émetteur, un support de transmission puis un filtre récepteur. Filtre émetteur x(t) Support de transmission n(t) + z(t) Fig. 39 Modèle de canal de transmission Filtre récepteur y(t) Supposons qu un émetteur transmette une séquence binaire a i sous la forme d un signal x(t), où s(t) représente la réponse impulsionnelle du filtre émetteur et Ts la période des symboles binaires : x t a s t (Équation 44) = ( ) ( ) i i it S Le signal est ensuite transmis à travers le canal de transmission, caractérisé par une réponse impulsionnelle c(t) et qui ajoute un bruit n(t). Le signal en entrée du récepteur z(t) peut s écrire sous la forme : z t = x t * c t + n t (Équation 45) ( ) ( ) ( ) ( ) Ce signal passe ensuite à travers un filtre de réception, dont la réponse impulsionnelle est notée r(t). Le signal en sortie du filtre de réception peut s écrire : y ( t) = r( t) * z( t) (Équation 46) y( t) = a p( t it ) w( t) (Équation 47) i i S + A. Boyer 43

Canaux de transmissions bruités Septembre où w(t) représente le bruit en sortie du filtre et p(t) la réponse impulsionnelle du système composé du canal et des filtres d émission et de réception. Finalement, le signal de sortie est échantillonné de manière synchrone avec l émetteur tous les t i = i.ts et peut s écrire : ( t ) a p( ) + a p( ( i k) T ) w( t ) y + i = i k S i (Équation 48) k i Le premier terme représente la contribution du i eme symbole transmis, c'est-à-dire celui qu on cherche à recevoir sans erreurs. Le second terme représente l effet résiduel des symboles précédemment transmis sur le décodage du i eme symbole. Cet effet est appelé interférence inter symboles. En l absence de bruit et d IES, on ne récupèrerait que le premier terme et aucune erreur d interprétation ne serait possible. laçons nous dans le cas où le rapport signal à bruit est important, le terme w(t i ) peut être négligé. Intéressons nous aux conditions sur la réponse impulsionnelle p(t) qui permettent d annuler l IES. Remarque : our qu il n y ait pas d IES, il faut que les symboles ne chevauchent pas. Une première condition simple pour annuler l IES est d avoir un support de transmission dont la durée de transmission (c est à dire la durée de la réponse impulsionnelle) est inférieure à la période binaire. Cependant, cette condition est rarement rencontrée dans les systèmes de transmission. Ainsi, en raison des longueurs des câbles téléphoniques et des désadaptations, l IES s étale sur plusieurs millisecondes. Dans le cas d un débit de symboles de 4 Bauds, l IES s étale sur plusieurs dizaines de symboles. A partir de l équation 48, il est possible d énoncer la condition sur p(t) pour laquelle l IES s annule. Cette condition est appelée critère de Nyquist en temps : ( ) p pour i = k p (( i k ) TS ) = p = pour i k ( t) = pour t T,T,3T... S S S (Équation 49) Si cette condition est vérifiée, le signal en sortie du filtre de réception s écrit : y( t ) a p( ) i = i. Cette condition indique que tous les symboles doivent s annuler aux instants d échantillonnage des autres symboles. Le filtre p(t), qui représente le canal en entier (filtre d émission, support de transmission, filtre de réception) est dit canal de Nyquist s il vérifie cette condition. La figure 4 illustre la condition de Nyquist d apparition d interférences intersymbole. A l instant d échantillonnage suivant le retour à de l impulsion, le signal reçu qui a traversé le canal est bien revenu à l état, le risque de confondre ce symbole avec un autre est quasi nul. Cependant, dans le cas du canal, le signal n est pas encore revenu à et son état se situe sur une zone indéterminée. En présence de bruit supplémentaire, cet état pourra être interprété par la récepteur comme un logique, provoquant une erreur binaire. A. Boyer 44

Canaux de transmissions bruités Septembre Impulsion élémentaire Transmission à travers canal Tm Tm Indéterminé Risque d ISE Tm temps Transmission à travers canal = Indéterminé Tm Tm as d ISE Fig. 4 - Condition d apparition d IES Annulation du signal reçu aux instants d échantillonnage 3. Diagramme de l oeil Cette condition d annulation de l IES est facilement vérifiable à l aide d un diagramme de l œil. Le diagramme de l œil est un outil graphique permettant de visualiser la présence d IES affectant une communication et de qualifier la qualité du signal numérique reçu. Le principe consiste à envoyer à travers un canal de transmission une série de symbole (binaire) connu, de mesurer la réponse à la sortie de canal et de superposer les tracés du signal reçu sur un multiple de la durée du symbole. On réalise donc la superposition des intervalles [i Ts; (i+) Ts]. Ce type de diagramme peut être généré à l aide d un oscilloscope synchronisé sur le débit du signal. La ressemblance du résultat graphique avec un œil a donné le nom à ce diagramme. La figure 4 donne un exemple de signal binaire et le diagramme de l œil en résultant. Fig. 4 - Tracé d un diagramme de l œil Le diagramme est un outil graphique très intéressant car sa lecture fournit des informations sur les performances du canal de transmission : L ouverture verticale ou la hauteur de l œil donne la marge en terme de bruit sur les niveaux. lus l ouverture est faible, plus la présence de bruit pourra causer une erreur de décision sur le niveau. L ouverture horizontale ou la largeur de l œil donne la marge en terme d écart temporel entre l instant d échantillonnage idéal et tout autre temps d échantillonnage. L instant d échantillonnage idéal, c'est-à-dire le moment où la probabilité d erreur est minimisée, se situe à l instant où l œil présente sa plus grande ouverture. A. Boyer 45

Canaux de transmissions bruités Septembre La pente de fermeture ou d ouverture donne la sensibilité aux erreurs temporelles. De manière générale, plus l œil est fermé, plus l effet de l IES est grave. En pratique, le diagramme de l œil permet : D ajuster un égaliseur afin d annuler l IES D ajuster l horloge locale du régénérateur afin d échantillonner le signal reçu au moment où l IES s annule De contrôler la qualité du signal reçu durant la réception La figure 4 présente un exemple de diagramme de l œil pour un signal binaire faiblement bruité. La figure 43 présente le digramme de l œil obtenu pour un signal bruité et trop rapide par rapport à la bande passante du canal. T Fig. 4 - Diagramme de l œil d un signal peu bruité T Fig. 43 - Diagramme de l œil d un signal bruité et rapide Question : À partir des figures 4 et 43, dire dans quel cas on a un fort risque d IES et indiquer quel est l instant idéal pour échantillonner le signal. Réponse : A. Boyer 46

Canaux de transmissions bruités Septembre III. Limite théorique du débit de transmission de symboles électriques Si il est en principe possible de transmettre n importe quel type et n importe quelle quantité d information à travers un canal quelconque, à condition d y mettre le temps, et de mettre en œuvre des méthodes de traitement de signal (modulation, codage), le débit d information transmissible en «temps réel» à travers un canal donné est strictement limité par ses caractéristiques propres. Dans le cas d une transmission numérique, le récepteur doit pouvoir distinguer deux symboles électriques successifs pour interpréter correctement le contenu du signal. Le canal doit donc disposer d une certaine résolution en amplitude afin de distinguer deux états adjacents. Le bruit de fond va fixer la limite à la résolution en amplitude. Le récepteur dispose aussi d une certaine résolution temporelle. Celles-ci sont prévues dans le cadre de la théorie de l information définie par Shannon. Avant d établir la limite théorique de débit de transmission de symboles électriques, il est nécessaire de présenter quelques éléments de théorie de l information.. Quelques éléments de la théorie de l information Le but de ce cours n est pas de présenter de manière exhaustive la théorie de l information, mais de comprendre ce qu elle apporte comme contraintes pour celui qui cherche à dimensionner un canal. La théorie de l information a été proposée par Claude Shannon en 948, qui cherchait à évaluer les performances optimales des systèmes de télécommunications en présence de perturbations de nature aléatoire. Ses travaux ont mis en évidence plusieurs résultats fondamentaux que nous pouvons résumer ainsi : Shannon montre qu il est possible de transmettre une information sans erreur quel que soit les perturbations ou le bruit de fond existants, à condition d employer une représentation appropriée de l information, c'est-à-dire en utilisant un codage approprié. Même si Shannon ne propose pas de codage permettant d atteindre cette condition, il démontre que de tels codes existent et permettent de se rapprocher des conditions de transmission sans erreur. Shannon fournit ensuite un ensemble de grandeurs permettant de quantifier l information contenue dans un message. Shannon donne une contrainte sur le débit d informations transmises en fonction des caractéristiques du canal, et donne ainsi des limitations sur la bande passante du canal Enfin, il donne une contrainte sur le nombre de valeurs différentes prise par un signal en fonction du rapport signal sur bruit.. Calcul de la quantité d information d un message binaire Quantifier l information contenue dans un message n est pas trivial car l information est une notion abstraite. L information peut se définir ainsi : elle représente «l effet de surprise» que possède un message. Il convient maintenant de mettre en équations cette définition. Nous nous intéressons ici à l information véhiculée par une source discrète ou numérique. Soit un message de k caractères appartenant à un alphabet composé de n caractères. L information que contient un caractère dépend de sa probabilité d apparition. On peut calculer la quantité d information I (exprimée en Shannon) contenu dans un caractère par la formule suivante : A. Boyer 47

Canaux de transmissions bruités Septembre ( ) log ( ) I sh ( ) ( n) ln = n = (Équation 5) ln Nous allons nous placer dans le cas particulier de messages binaires. La quantité précédente devient : ln ( ) I ( sh) = log ( ) = (Équation 5) ln Ainsi, si =, la quantité d information est nulle puisqu on annule l effet de surprise de l apparition de ce caractère. lus la probabilité d apparition d un caractère est faible, plus la quantité d information est grande. our calculer la quantité d information totale d un message binaire, on utilise la notion de quantité d information moyenne d une source I tot : n log ( ) (Équation 5) I = k tot i i i= La quantité d information moyenne par caractère émis par la source est définie par l entropie de la source notée H : n H ( sh / caractère) = log (Équation 53) i= L entropie sera maximum si le message est purement aléatoire, c'est-à-dire quand l effet de surprise sera maximal. our traduire l écart entre l entropie d une source et l entropie maximale possible, on définit la redondance d une source à l aide de l équation 54. Il s agit d une notion fondamentale pour le codage de source, nous y reviendrons. H R (%) = (Équation 54) H max i ( ) 3. Cadence de transmission de l information dans un canal Rappel : notion de symbole ou de moment On appelle moment l intervalle de temps pendant lequel le symbole électrique codant l information est physiquement transmis sur le canal. Le symbole peut être un potentiel électrique (par exemple les niveaux électriques haut ou bas représentant états binaires), un état de phase ou de fréquence pour un signal modulé Lorsqu un signal binaire est transmis, le symbole transmis est un bit et le moment correspond à la période binaire. Un symbole peut aussi être codé par plusieurs bits. ar exemple, supposons que l information transmise soit représentée par 4 niveaux de tension possibles. Dans ce cas, ces 4 niveaux peuvent être codés par bits. Le moment est donc égal à la durée de bits. Cette technique permet de transmettre plusieurs bits à l aide d un seul symbole. La cadence de transmission de l information dépend du nombre de symboles émis par unité de temps. On définit le débit de moments M comme le nombre de symboles par unité de temps et il s exprime en bauds. Dans une transmission numérique, chaque symbole reste constant durant une durée constante T M appelée la durée des moments. On calcule le débit de moments à l aide de l équation 55, qui est relié à la vitesse de variation des signaux sur un canal. M Bd = (Équation 55) ( ) T M Dans le cas d une information numérique, un symbole est codé à l aide d un certain nombre de bits. Le choix de ce nombre peut se calculer à l aide de la quantité de décision D, qui dépend de la taille n de l alphabet employé. Il faut par exemple 8 bits pour définir 56 niveaux de gris sur une image noir et blanc. i A. Boyer 48

Canaux de transmissions bruités Septembre D ( bits) log ( n) = (Équation 56) Le débit binaire de la source ou débit de la source est donc le produit du débit de moments (le nombre de symbole par unité de temps) par la quantité de décision (le nombre de bits pour coder un symbole). ( n) D log bits / s = M D = (Équation 57) ( ) T M lus le débit binaire sera important et plus la quantité d information transmise sera importante. Néanmoins, tout canal réel est limité à une valeur maximale de débit, appelée capacité du canal. La connaissance de cette capacité est fondamentale car elle va fixer des contraintes sur la bande passante du canal de transmission et sur le rapport signal à bruit minimal à respecter. 4. remier critère de Nyquist - Résolution dans le temps Nous allons considérer un canal de transmission sans bruit, nous ne nous intéressons qu à son effet temporel et sa limite à transmettre rapidement un signal. Tout canal de transmission possède une certaine inertie et il n est pas possible de faire varier les paramètres d un signal (électrique, lumineux) à une vitesse infinie. On peut assimiler un canal à un filtre passe-bas. De manière empirique, elle est limitée au moins par le temps de montée du signal Tr, ce qui va imposer une limite inférieure à la durée des moments T M, comme le montre la figure 44. Tm min = Tr M max = (Équation 58) T r Signal reçu Signal émis Tr=TM Tr = temps de montée TM = durée d un moment temps Fig. 44 - Limitation temporelle de l établissement d un signal sur un canal Si on ne respecte pas la condition précédente, il est possible que deux symboles consécutifs soient confondus, créant alors une interférence intersymbole. Le temps de montée d un signal transmis dans un canal est lié à la bande passante de ce canal. Le canal de transmission doit donc présenter une bande passante minimale pour faire passer un signal sans risques d interférences intersymboles. Reprenons le critère de Nyquist pour déterminer cette condition sur la bande passante du canal. A partir de l équation 48, le critère de Nyquist présenté à l équation 49 peut aussi être énoncé dans le domaine fréquentiel en appliquant une transformée de Fourier sur la réponse impusionnelle discrète du canal de transmission. Le signal reçu échantillonné tous les t = Ts peut être vu comme un peigne de Dirac. La transformée de Fourier de l égalité de l équation 48 peut alors s écrire : k= p (( i k ) TS ) = p( ) p( k) δ ( t kts ) = p( ) δ ( ) k= Transformée de Fourier : T S k= p k T S ( k ) δ f = p( ) A. Boyer 49

Canaux de transmissions bruités Septembre + k = k f = p T S ( ) T S (Équation 59) La figure 45 présente une allure du spectre de la réponse impulsionnelle discrète du canal. Le spectre présente le spectre de la réponse impulsionnelle du canal (f), répété infiniment tous les FS = TS, où Fs est la fréquence d échantillonnage du signal reçu. B représente la bande passante du canal de transmission. (f+fs) (f-fs) (f) (f-fs) (f-fs) T S T S B T S T S fréquence Fig. 45 Spectre de la réponse impulsionnelle discrète du canal de transmission L égalité de l équation 59 n est respectée que si le spectre est constant quelque soit la fréquence. Cette égalité ne peut être respectée que si toutes les répétitions de (f) se chevauchent les unes les autres. Il est possible de montrer que cette condition peut être réalisé si : B > FS < B (Équation 6) T S Cette condition est similaire à la condition de Nyquist, mais vue dans le domaine fréquentiel. Cette condition fixe la bande passante minimale que doit présenter un canal de transmission pour faire passer sans erreurs un message binaire avec un débit de symboles donné, ou inversement, le débit de symbole maximal pour un canal de bande passante donné. On peut montrer que pour un canal idéal représenté par un filtre passe bas de largeur de bande B, le temps de montée et la largeur de bande et le temps de montée sont liés par la relation suivante (cf. annexe D) : B T r =.5 (Équation 6) Cette condition permet d énoncer le théorème de Nyquist (98) : «our un canal passe-bas idéal de largeur de bande B, le passage dans le canal n amène aucune interférence entre moments si et seulement si :» M M max = = = B (Équation 6) T T M min r Ce théorème a surtout un intérêt théorique puisqu il considère un canal passe-bas idéal, ce qui est loin d être représentatif d un canal réel. Cependant, ce théorème donne une limite absolue à la rapidité d une transmission dans un canal réel. Ainsi, en pratique, on prend souvent comme limite minimale pour la période d un symbole la relation suivante : T min = T. En pratique, on retrouve la relation suivante pour un canal réel : B T =.35 ou.4 (Équation 63) r Cette relation permet d énoncer le critère de Nyquist élargi : M = =.5 B (Équation 64) T T M min r M r A. Boyer 5

Canaux de transmissions bruités Septembre Cette relation empirique donne une limite en terme de débit dans les canaux de transmission usuels plus réaliste que celui prévu par le théorème de Nyquist. Elle signifie qu on peut transmettre.5 Bd par Hertz de largeur de bande ou, inversement, qu il faut consacrer.8hz à chaque symbole que l on souhaite transmettre. Le critère de Nyquist et le critère de Nyquist élargi fournissent des formules simples pour déterminer la bande passante nécessaire à donner à un canal de transmission pour autoriser un débit binaire donné. Le critère de Nyquist est aussi appelé critère de Nyquist en fréquence et permet de déterminer si une transmission numérique en bande de base peut se faire sans IES. Remarque : canal passe-bande Nous avons considéré un canal passe-bas, qui représente une transmission dite en bande de base. Mais que se passe t-il lorsque le signal est modulé et transposé en fréquence (voir chapitre suivant sur les modulations)? Le signal est alors transposé autour d une fréquence porteuse avec deux bandes latérales identiques «à gauche et à droite» de la fréquence porteuse. La bande passante occupée est alors égale à *B. Comment se fait-il que les bandes passantes des versions bande de base et modulée du signal soit différente alors que le débit de symboles reste inchangé? Il ne faut pas oublier que la bande passante est toujours mesurée sur l axe positif des fréquences. Si on observe le spectre du signal en bande de base, celui-ci occupe la bande [-B ; +B]. La largeur de la bande occupée est donc égale à *B! Si on souhaite conserver les bandes latérales du signal, la bande passante du canal devra donc être deux fois plus grande que celle du canal d une transmission en bande de base. On peut remarquer que certaines modulations permettent de supprimer une des bandes latérales. our résumer, le critère de Nyquist fixe une limite au débit de symboles transmis en fonction de la bande passante du canal. La bande passante du canal doit donc être choisie pour satisfaire au critère de Nyquist lorsqu on cherche à transmettre un débit de symboles donné. Dans le cas où l on transmet un signal binaire (un bit est alors un symbole élémentaire), le débit binaire ne pourra jamais être supérieur à fois la bande passante (ou.5 fois la bande passante dans le cadre du critère élargi). Cela pose un très gros souci à l ingénieur télécom qui cherche à transmettre le débit le plus grand possible sur la bande passante la plus étroite possible. La solution est fournie par le codage. ar exemple, en codant les symboles transmis par plusieurs bits. Si un symbole est codé par N bits, alors le débit binaire maximale pouvant être transmis dans un canal idéal de bande passante B est égal à *N*B. our accroître le débit binaire dans le cas d une transmission à bande passante limitée, il suffit donc d accroître le nombre de symboles possibles pour augmenter le nombre de bits représenté par un symbole. Ce nombre est bien entendu limité par la quantité de bruit qui se superpose au signal reçu. Comme nous l avons vu dans le chapitre précédent, le bruit limite la résolution en amplitude du canal, c'est-à-dire la capacité de différencier plusieurs symboles. La performance d un canal en terme de débit binaire dépend donc de sa bande passante et de sa résolution en amplitude. Cette performance s appelle capacité d un canal. IV. Capacité d un canal de transmission Supposons qu on dispose du canal de transmission comme celui présenté à la figure 46. Celuici présente une bande passante finie B et est soumis à diverses perturbations, qu on modélise comme un bruit blanc gaussien (canal AWGN). Le récepteur au bout du canal impose une contrainte sur le rapport signal sur bruit. Bruit additif blanc et gaussien Canal de transmission idéal de largeur de bande B S/N sortie A. Boyer 5

Canaux de transmissions bruités Septembre Fig. 46 - Canal de transmission bruité Comme nous l avons vu dans les deux paragraphes précédents, il nous faut vérifier les deux conditions suivantes : le débit de moments doit respecter le critère de Nyquist pour annuler l interférence intersymbole la quantité de décision par moments doit respecter l inégalité donnée par la résolution en amplitude du canal, afin de différencier les différentes valeurs prises par un symbole. A partir de ces deux conditions, il est possible de déduire la capacité C du canal, c est à dire le débit binaire maximal que peut transmettre le canal. Celle-ci est donnée par l équation 65. ( bits / s) = D max = D M max = B log + C m max m (Équation 65) Cette capacité définit la limite maximum pour le débit binaire que peut supporter le canal, quel que soit le codage canal employé. Une transmission binaire peut se faire théoriquement avec une probabilité d erreur quasi nulle si le débit binaire respecte la condition suivante : D m C (Équation 66) Si cette condition n est pas respectée, un risque d apparition d interférences entre symboles est à craindre. Cependant, en pratique, on constate que la probabilité d erreur ne peut pas tendre totalement vers et il n est pas possible de la réduire autant qu on le voudrait. Dans le cas d une transmission numérique, même en respectant la condition précédente, plus la contrainte en terme de taux d erreur binaire est faible, plus il faudra réduire le débit binaire. Question : Discuter de l interchangeabilité de la largeur de bande B et du rapport S/N. Réponse : S N V. Ce qu il faut retenir Les caractéristiques du canal conduisent à affecter les caractéristiques temporelles du signal transmis, en le retardant, en l étalant dans le temps, voire à faire apparaître de multiples versions d un même symbole dans le temps (propagation multitrajets). A. Boyer 5

Canaux de transmissions bruités Septembre Le comportement temporel d un canal stationnaire peut être modélisé par sa réponse impulsionnelle, son comportement fréquentiel par sa fonction de transfert. Dans le cas d un signal numérique, ces effets peuvent conduire à des interférences inter symboles, c'est-à-dire le chevauchement des symboles successifs, et donc à des erreurs d interprétation. Le diagramme de l œil est un outil graphique qui permet de mesurer la dégradation en amplitude et temporelle apportée par le canal. Théoriquement, il est possible d annuler l interférence intersymbole d un canal s il s agit d un canal de Nyquist, c est àdire que sa réponse impulsionnelle respecte le critère de Nyquist dans le temps. Dans le cadre de la théorie de l information, le théorème de Nyquist définit le débit de moments maximal admissible dans un canal idéal. Le débit de données transmissibles en temps réel à travers un canal de transmission est limité par ses caractéristiques propres. Le récepteur doit être en mesure de distinguer deux symboles successifs. Il doit disposer d une résolution suffisante en amplitude (liée au bruit) et en temps (lié à l inertie du canal). La capacité d un canal définit le débit binaire maximal que peut transmettre un canal afin de garantir une interférence inter symboles quasi nulle. La capacité dépend de la bande passante du canal et du rapport signal à bruit. A. Boyer 53

Canaux de transmissions bruités Septembre D. Impact du bruit sur un signal modulé La transmission de l information sur de longues distances se fait généralement à l aide de signaux modulés. La modulation permet d adapter les caractéristiques du signal au medium de transmission. Jusque-là, nous avons présenté l effet du bruit et des caractéristiques du canal sur l apparition d erreur dans le cadre d un signal binaire émis en bande de base, sans aucune modulation. Dans ce chapitre, nous allons déterminer quelle est l influence de la modulation sur la robustesse au bruit. En outre, comme les bandes de fréquence allouées aux télécommunications sont étroites, il est important de se poser la question de l occupation spectrale d un signal modulé. La bande passante étant une «ressource rare», celle-ci constituera une limite pour le débit de transmission. Selon la technique de modulation employée, nous verrons qu il sera possible d utiliser cette ressource fréquentielle efficacement, c'est-à-dire transmettre un débit binaire plus important pour une bande passante donnée. I. Modulation et démodulation. Définition La transmission des signaux se fait habituellement dans leurs bandes de fréquences initiales. On parle de transmission en bande de base. arfois, la transmission en bande de base n est pas optimale voire impossible car le canal présente de mauvaises caractéristiques à ces fréquence (bruit important, antennes d émission/réception trop larges ) ou il est impossible de partager le canal entre plusieurs utilisateurs sans que ceux-ci interfèrent. Dans ce cas, une modulation est nécessaire car elle permet de transposer le signal initial de la bande de base à une bande de fréquence plus haute, sans modifier le contenu informatif du message, comme le décrit la figure 47 (dans ce qui suit, seul la partie positive de l axe des fréquences est représenté). Le signal informatif est appelé signal modulant, il modifie en temps réel une ou plusieurs caractéristiques (amplitude, fréquence, phase) d un autre signal simple appelé porteuse. La porteuse est en général un signal sinusoïdal. Le signal résultant de la modulation est appelé signal modulé. L opération inverse de la modulation est appelée démodulation. Transposition de fréquence Modulation Signal en bande de base Signal modulé -Fsignal +Fsignal Fporteuse Fréquence Fig. 47 - Modulation et transposition de fréquence De nombreuses techniques de modulation existent, beaucoup ont été mise au point ces dernières années avec le développement des systèmes de télécommunication mobiles. lusieurs critères permettent de sélectionner une technique de modulation. Les modulations se différencient par leurs occupations spectrales et par la puissance à émettre, ainsi que par leur capacité à minimiser la probabilité d erreur. L objectif de l ingénieur concevant un système de transmission est de réduire l occupation spectrale, la puissance d émission et la probabilité d erreur. La modulation choisie doit en plus être résistante vis-à-vis des défauts du canal de transmission. En outre, le coût du système de A. Boyer 54

Canaux de transmissions bruités Septembre modulation/démodulation ne doit pas être négligé. En effet, plus on cherchera à optimiser le contenu spectral ou la puissance à émettre, plus les systèmes à réaliser seront complexes et par conséquent coûteux.. Opération de transposition de fréquence La modulation et la démodulation sont basées sur une opération non linéaire, généralement une multiplication, entre le modulant et la porteuse (Fig. 48 et 49). Modulation Modulant UM Multiplieur Signal modulé UE Bandes latérales U E orteuse U ( t) = U ( t) U ( t) = Acos( ω t) cos( ω t) M M FM F-FM F F+FM Modulation Fréquence Bandes latérales A U E ( t) = [ cos( ωm t + ω t) + cos( ωt ωm t) ] A U E ( t) = [ cos( ( ωm + ω ) t) + cos( ( ω ωm ) t) ] F F F-F F F+F Fréquence F-F F+F Fig. 48 - rincipe de la transposition de fréquence par multiplication de deux signaux Démodulation Multiplieur filtrage UE Signal modulé UR Signal démodulé FM F-FM F F+FM Démodulation Fréquence F-FM F+FM U orteuse filtrage U U U U U D D D D D ( t) = U ( t) U ( t) E A A A 4 A ( t) = [ cos( ( ω + ω ) t) + cos( ( ω ω ) t) ] cos( ω t) F F F-F F F+F F-F A M A M 4 A A 4 M 4 M Fig. 49 - rincipe de la démodulation ( t) = cos( ( ω + ω ) t) cos( ω t) + cos( ( ω ω ) t) cos( ω t) F+F Fréquence ( t) = [ cos( ( ω + ω ) t) + cos( ( ω + ω ω ) t) ] + [ cos( ( ω ω ) t) + cos( ( ω ω + ω ) t) ] ( t) = cos( ω t) + cos( ( ω + ω ) t) + cos( ( ω ω ) t) M M M M M M M 3. Les différentes types de modulations On distingue deux types de modulations : les modulations analogiques et les modulations numériques. Dans une modulation analogique, le signal modulant est un signal analogique, un ou A. Boyer 55

Canaux de transmissions bruités Septembre plusieurs paramètres de la porteuse sont modifiés de manière continue. Dans une modulation numérique, le signal modulant est un signal numérique synchrone, qui a subi un échantillonnage et une quantification. La porteuse voit ses propriétés modifiées à chaque période binaire du signal modulant et prendre un ensemble fini de valeurs. Les grandeurs usuellement modifiées pour réaliser une modulation sont : L amplitude La fréquence La phase La durée Le tableau décrit les modulations couramment employées. Forme de la aramètre Type de modulation porteuse modulé AM (mod. d amplitude), SSB ou BLU (mod. à Amplitude bande de base unique) Sinusoïde Modulation analogique Modulation numérique Impulsions Sinusoïde Signal d horloge Fréquence hase Amplitude Fréquence hase Durée Amplitude Fréquence hase code FM (mod. de fréquence) ФM (mod. de phase) AM (mod. d impulsions en amplitude) FM (mod. d impulsions en fréquence) M (mod. d impulsions en position) WM (ulse Width Modulation) ASK (mod. d amplitude discrète), OOK (mod. tout ou rien) FSK (Frequency Shift Key) SK (hase Shift Key) CM (ulse Coded Modulation DCM (Differential ulse Coded Modulation) M (Delta Modulation) A M (Adaptative Delta Modulation) Tableau Exemples de modulation analogique et numérique Les modulations analogiques sont fortement altérées par le bruit et les distorsions introduites par le canal. Les modulations numériques étant bien plus robustes que les modulations analogiques, elles sont massivement employées dans les systèmes de télécommunications modernes. La figure 5 décrit le principe des 3 principaux types de modulations numériques : en amplitude (Amplitude Shift Key ou ASK), l amplitude varie à chaque période de bit S t = B sin ω p t, B = ou ( ) ( ) en fréquence (Frequency Shift Key ou FSK), la fréquence varie à chaque période de bit S t = A sin ω + B ω t, B = ( ) ( ) ) p m ± en phase (hase Shift Key), la phase varie à chaque période de bit S t = A sin ω t + B π, B ou ( ) ( ) p = A. Boyer 56

Canaux de transmissions bruités Septembre État binaire ASK FSK SK modulant porteuse Amplitude Signal modulé Fréquence Signal modulé hase Signal modulé A A A A A A F F F F F F φ φ φ φ φ φ Fig. 5 - rincipe d une modulation numérique Question : armi ces 3 modulations, laquelle semble la plus avantageuse pour une communication numérique? Réponse : 4. Efficacité spectrale Si aucun filtrage n est appliqué lors de la modulation, le spectre d un signal modulé est une version transposée du signal de bande de base autour de la fréquence porteuse. Si on considère une modulation numérique, le signal modulant occupe une large bande de fréquence (voir annexe C). Son spectre de bande de base est composé d un lobe principal dont la largeur est égale au débit binaire et d une infinité de lobes secondaires dont l amplitude décroît avec la fréquence. Afin de réduire l occupation spectrale d un signal numérique modulé, il est possible de filtrer le signal modulant de manière à ne garder que le lobe principal. D après le théorème de Nyquist, si la bande passante utilisée A. Boyer 57

Canaux de transmissions bruités Septembre est supérieure à la moitié du débit de symboles, il est théoriquement possible de transmettre sans erreur le signal A condition que le filtre employé respecte le critère de Nyquist. Nous reviendrons sur les aspects filtrage dans le chapitre F. En général, la bande passante sera égale au débit de symbole afin de ne conserver que le lobe principal du spectre du signal, qui contient la majeure partie du signal. On définit l efficacité spectrale η d une modulation comme le rapport entre le débit binaire transmis par le signal modulé sur la bande passante utilisée. Ainsi, pour une modulation BSK, l efficacité spectrale est de bit/s/hz. Cela signifie que pour transmettre un bit par seconde, une bande passante de Hz est nécessaire. Db η ( bits / s / Hz) = (Équation 67) B Db : débit de la source B : bande passante nécessaire au canal 5. Exemple : modulation BSK La figure 5 présente le principe de la modulation SK ou BSK (Binary hase Shift Key). Le déphasage de la porteuse prend comme état et π en fonction de l état binaire du modulant. porteuse modulant BSK π π π π Fig. 5 Modulation BSK Comme il s agit d un signal binaire modulé en fréquence, la bande passante occupée en bande de base est égale à la fréquence symbole (c est-à-dire le débit binaire). Après transposition de fréquence, la bande de fréquence occupée est égale à fois la fréquence symbole. La figure ci-dessous présente un signal BSK dans les domaines temporels et fréquentiels. Le débit binaire est égal à Db = Kbits/s et la fréquence de la porteuse est égale à MHz. Le spectre du signal modulé est centré sur de la fréquence porteuse. Autour de celle-ci, on trouve lobes principaux suivis de lobes secondaires d amplitude décroissante. L énergie de ce signal est principalement concentrée sur les lobes principaux, qui occupent une bande de KHz de large. D après le théorème de Nyquist, il est théoriquement possible de transmettre sans erreur ce signal si la bande passante (en bande de base) est supérieure au débit de symboles divisé par. En bande de base, on peut utiliser une bande passante B égale au débit binaire Fb pour conserver l énergie du lobe principal. Si on considère le signal modulé, il faut une bande passante B égale à deux fois le débit binaire Fb pour conserver l énergie des deux lobes principaux. Si on n en conserve qu un, on peut utiliser une bande passante B égale au débit binaire Fb. A. Boyer 58

Canaux de transmissions bruités Septembre Saut de phase Lobes secondaires Lobe principal symbole B = Fs = KHz Fig. 5 Signal modulé en BSK (domaine temporel à gauche, spectre à droite) II. Modulation M-aire. rincipe Dans la plupart des systèmes de télécommunications, la bande de fréquence allouée est faible au regard du débit souhaité. Afin d augmenter le débit sans pour autant augmenter la bande passante, des modulations à plusieurs états ou modulations M-Aire ont été développées. Le principe de cette modulation est d associer à chaque groupe de M symboles binaires de durée T b un symbole complexe de durée T s : = T log M (Équation 68) TS b ( ) Avec le cas particulier M =, on retrouve une modulation binaire à états comme nous venons de les voir (ASK, BSK, FSK). lus M sera grand, plus l efficacité spectrale η sera grande. Ainsi, si on choisit une forte valeur de M, pour un débit de source donné, on diminuera le nombre de symboles à envoyer et donc la bande passante nécessaire. Inversement, pour une bande passante donnée, le débit de symboles reste constant mais le débit binaire augmente avec la valeur de M. En pratique, il est possible de créer une modulation numérique M-aire en créant des signaux à M états, c'est-à-dire en donnant plus de états possibles au signal modulant. De nombreuses modulations M-aires sont basées sur un modulateur I/Q. Nous allons en présenter le principe.. Concept de canaux I et Q Comment faire une modulation à partir de plusieurs symboles binaires? La solution consiste à utiliser une famille de fonctions indépendantes et orthogonales qui transporte chacune un bit puis de les combiner. Expliquons-nous Un signal modulé est un vecteur, dont on fait varier l amplitude et la phase. Il est possible de représenter ce vecteur dans un repère (x ;y), qui utilise un ensemble de vecteurs de base φi = ( ;) et φj = ( ;) qui sont orthogonales entre elles. Mathématiquement, l orthogonalité entre vecteurs est vérifié si : + i ( t) ϕ ( t) j si i = j dt = sin on ϕ (Équation 69) Un exemple intéressant de vecteurs orthogonaux est la paire formée par les fonctions cosinus et sinus, qui vérifient la condition précédente. C est cette base de vecteurs qui est utilisée dans les systèmes de télécommunications comme porteuses dans les modulations M-aires. Appelons I (pour In phase) le vecteur donné par la fonction cosinus et Q (pour Quadrature) celui donné par la fonction A. Boyer 59

Canaux de transmissions bruités Septembre sinus. Comme le montre la figure ci-dessous, on peut représenter n importe quel signal modulé d amplitude A et de phase φ à l aide d une combinaison linéaire des vecteurs I et Q (fc est la fréquence de la porteuse. Amplitude A AQ Signal modulé s s hase φ AI cos πf t orteuse I ( t) = Acos( πf ct + ϕ) = AI ( c ) + AQ sin( πf ct) ( t) = A I + A Q A = A I I + A Q Q et AQ ϕ = arctan AI Fig. 53 Représentation vectorielle d un signal modulé à partir des vecteurs I et Q L amplitude et la phase prises par le signal modulé va donc dépendre uniquement de l amplitude prise par les porteuses I et Q. La figure ci-dessous présente le schéma général d un modulateur I/Q. Il est composé de trois blocs : le traitement en bande de base, qui traite les bits du signal modulant et produit signaux modulant pour les canaux I et Q. la multiplication par les porteuses I et Q. Celles-ci sont issues d un oscillateur local qui fournit une porteuse sinusoïdale à la fréquence porteuse, qui est ensuite déphasée. le signal modulé est issu de l addition des canaux I et Q Canal Q Signal Traitement Q binaire bande de base + Signal modulé (amplitude et /ou phase) Oscillateur local Canal I orteuse cos( πf C t) I 9 3. Exemple : modulation QSK Fig. 54 Schéma général d un modulateur I/Q a. rincipe De manière générale, un signal modulé en phase M-aire peut s exprimer de la manière suivante : πi si ( t) = A cos( π f ct + θ i ), θ i = et i [ ; M ] (Équation 7) M s i (t) : le signal modulé à l instant t, qui transmet un symbole i. Il existe M symboles possibles Ap : amplitude constante du signal modulé en phase fc : fréquence porteuse θi : l angle de la modulation pour le symbole i A. Boyer 6

Canaux de transmissions bruités Septembre π i Dans le cas d une modulation 4-SK, M = 4 et θ i = et i [ ;3]. Le problème de cette forme est que les signaux I et Q doivent prendre 3 états d amplitude possibles : -, et +. Une solution pour réduire le nombre d états d amplitude est de déphaser l angle d amplitude 45 : π i π θ i = + et i [ ;3]. C est ce qui est fait pour une modulation QSK. L expression du signal 4 modulé devient : πi π π ( ) ( i + ) si t = A cos πf ct + + = A cos πf ct + 4 4 s s i i ( t) = A cos( πf t) ( t) π + = I cos 4 c ( i ) π + cos 4 A ( i ) π ( i ) + Q sin 4 sin = ± ( πf t) c I ± ( i ) π + sin 4 Q (Équation 7) Le signal modulé en QSK correspond donc à la combinaison des signaux I et Q multipliés par +/- / en fonction du symbole transmis. Ce dernier correspond aux 4 états de phase de la modulation et est codé par bits. La figure 55 présente le principe de construction du signal QSK. La correspondance entre les bits du signal binaire et la phase du signal modulé est : Symbole π/4 ( + I + Q ) orteuse I orteuse Q π 3 π/4 ( I + Q ) Signal I modulé - + + 5 π/4 ( I Q ) 7π/4 ( + I Q ) Signal Q modulé Signal I+Q modulé + 3π 4-7π 4 + π 4 Fig. 55 - Modulation QSK b. Modulateur/démodulateur I/Q en QSK La plupart des modulations M-aire telles que QSK (ou d autres telle que la M-QAM) sont obtenues à partir du modulateur I/Q. Celui-ci consiste à séparer le flux binaire en entrée en flux parallèle et de les multiplier par deux porteuses de même fréquence mais en quadrature. En les recombinant, on obtient un signal modulé en phase. La figure ci-dessous présente le modulateur I/Q pour une modulation QSK. A. Boyer 6

Canaux de transmissions bruités Septembre [, +, ] ± sin( πf C t) _ Signal binaire [, +, +,,, + ] DEMUX [ +,, + ] Q sin πf C t ( ) I + ± cos( πf C t) Signal QSK ( i ) + cos πf C t + 4 π Oscillateur local orteuse cos( πf C t) 9 Fig. 56 Schéma de principe d un modulateur I/Q pour une modulation QSK La figure ci-dessous présente le schéma de principe du démodulateur I/Q. Le principe est inversé. En multipliant le signal modulé par les signaux I et Q, il est possible de récupérer les états binaires ayant servi à la modulation. Q A cosθ i A Signal QSK cos ( π f t + θ ) C i sin( πf C t) MUX Flux «binaire» I Oscillateur local orteuse cos πf C t ( ) 9 A sinθ i Fig. 57 Schéma de principe d un démodulateur I/Q pour une modulation QSK c. Occupation spectrale Soit Tb la durée d un bit, avec Tb = /Fb. La durée d un symbole ou moment est égal à T b et le débit de moment égal à Fb/. Le spectre du signal modulé en QSK va donc être celui d un signal numérique dont le débit est égal à Fb/. ar exemple, la figure 58 présente le profil temporel d un signal modulé en QSK ainsi que l évolution de la phase dans le temps. Le débit de symbole est de MBauds, le débit binaire est donc de Mbits/s, la fréquence de la porteuse est de MHz. La figure 59 présente le spectre en bande de base du signal en sortie du modulateur IQ. Fig. 58 - rofil temporel d un signal modulé en QSK (gauche) et phase (droite) (débit de symbole = MBauds, fréquence porteuse = MHz) A. Boyer 6

Canaux de transmissions bruités Septembre Fig. 59 - Spectre en bande de base d un signal modulé en QSK Le spectre présente un lobe principal centré sur MHz et de largeur MHz ( fois le débit de symbole). C est là qu est concentré la plus grande partie de l énergie du signal. En filtrant ce signal de manière à ne garder qu une bande latérale du lobe principal, on peut transmettre ce signal modulé sur une bande fréquentielle de largeur MHz. Mbits / s L efficacité spectrale d une modulation QSK est donc égale à : η = =. C est le double de celle d une modulation BSK. On pourrait montrer que l efficacité spectrale d une modulation M-aire est égale à : N η M aire = N, M = (Équation 7) QSK MHz Ce qui se comprend intuitivement puisqu on fait passer N bits par symbole. lus on accroît le nombre de symboles M, meilleure est l efficacité spectrale. our un canal à bande passante donnée, le débit binaire augmentera avec M. Cela fournit à l ingénieur télécom une solution pour accroître le débit d une transmission sur un canal à bande limitée. Cependant, le bruit présent sur le canal va limiter le nombre de symbole (résolution en amplitude). III. Filtrage d un signal modulé ulse shaping En pratique, il est nécessaire de filtrer le signal modulé afin de réduire son occupation spectrale. Un filtre passe bas d ordre élevé est appliqué directement sur le signal de bande de base avant modulation. En général, seul le premier lobe est conservé puisque celui-ci contient la majeure partie de l énergie du signal. De nombreux types de filtre existent pour limiter la bande passante du signal modulé. Un filtre courant est le filtre à cosinus surélevé (cf annexe E). Comme ce filtre modifie le spectre du signal modulé, la réponse temporelle est aussi affectée. On parle aussi de filtre de pulse shaping. Le choix du filtre est critique car il ne doit pas dégrader la réponse temporelle et introduire des interférences intersymboles. Nous y reviendrons au chapitre F. La figure 6 présente l occupation spectrale du signal issu du modulateur IQ après passage dans un filtre à cosinus surélevé, avec un coefficient de raidissement r de.7. Les lobes secondaires ont été considérablement atténués (4 db sur le canal adjacent) et on ne distingue plus que le lobe principal. A. Boyer 63

Canaux de transmissions bruités Septembre Fig. 6 - Spectre en bande de base d un signal modulé en QSK puis filtré par un filtre à cosinus raidi (r=.7) L ajout d un filtre modifie la forme temporelle du signal et le ralentit, comme le montre la figure 6 qui compare le signal en sortie du modulateur IQ et celui en sortie du filtre (ces signaux présentent un décalage d une période, qui correspond au temps de traitement du filtre). Le filtre à cosinus raidi permet d éviter l apparition d interférences intersymboles. En effet, les symboles peuvent être distingués à chaque période, comme le montre le diagramme de l œil de la figure 6. Fig. 6 - Comparaison du signal en bande de base avant et après filtre en cosinus raidi Fig. 6 - Diagramme de l œil du signal de bande de base avant et après filtre en cosinus raidi A. Boyer 64