FICHE N 47 Le traitement du signal FFT, DFT ET IFT Jean-aptiste Joseph Fourier (1768-1830), né à uxerre, mathématicien et physicien français, auteur de la Théorie analytique de la chaleur (1822) : la transformée qui porte aujourd hui son nom est un héritage des outils mathématiques qu il a développés pour ses études analytiques de la chaleur. Dans les fiches 18 et 19 se trouvent quelques rappels de base sur la théorie de Fourier et sa mise en œuvre sur les calculateurs numériques. ous trouverez ici une approche plus pratique de la question, en insistant particulièrement sur les filtres utilisables. Le domaine temps et le domaine fréquence, intimement liés Rappelons d abord que le temps (dont l unité de mesure est la seconde) est inversement proportionnel à la fréquence (dont l unité de mesure est le hertz). Ces deux grandeurs sont donc liées. Le plus souvent, lorsqu on étudie un signal, on le considère dans l espace du temps. On représente alors les variations de son amplitude en fonction du temps qui s écoule. L astuce de Fourier a été de considérer et de démontrer que tout signal, quelle que soit sa forme, peut être assimilé à la superposition (la somme) d une infinité de sinusoïdes pures. Chacune a sa propre fréquence et sa propre amplitude (celle-ci peut très bien être nulle pour beaucoup d entre elles). De plus, elles sont souvent décalées en phase les unes par rapport aux autres. Partant, pour certaines caractéristiques du signal, il devient plus facile de s intéresser à des sinusoïdes individuelles qu à leur somme. Ce que l on appelle transformée de Fourier, c est une fonction mathématique qui permet de passer d une représentation temporelle à une représentation dans l espace des fréquences. On visualise alors l amplitude de chaque composante fréquentielle du signal, ou FICHE 47-1
Sinusoïde pure 5 khz 1 crête v(t) = 1 sin 2π f 1 t f 1 = 5 khz Superposition de deux sinusoïdes pures 5 et 10 khz (1 crête chacune) v(t) = 1 sin 2π f 1 t + 1 sin 2π f 2 t f 1 = 5 khz f 2 = 10 khz 10k Superposition de trois sinusoïdes pures 5, 10 et 20 khz (1 crête chacune) v(t) = 1 sin 2π f 1 t + 1 sin 2π f 2 t + 1 sin 2π f 3 t f 1 = 5 khz f 2 = 10 khz f 3 = 20 khz 10k 20k Carré pur 5 khz (1 crête) 4 v(t) = sin 2π f 1 t + p sin 2π f2 t + 4 3p 4 sin 2π f3 t +... 5p f 1 = 5 khz f 2 = 15 khz f 3 = 25 khz 4/ p 4/3 p 4/5 p 1 2 D après la théorie de Fourier, une onde (qu il s agisse d une vibration entretenue, aléatoire ou non, ou d un transitoire) n est autre que la superposition d une multitude de sinusoïdes. Chacune est caractérisée par sa fréquence, son amplitude et sa phase. plus exactement l amplitude de sa puissance. On appelle cette courbe le spectre de puissance du signal. En clair, représenter un signal par son amplitude fonction du temps ou par sa puissance fonction de la fréquence revient à faire un changement particulier de système de coordonnées. Pour en finir avec les rappels théoriques, disons que la tranformée de Fourier inverse permet de retrouver un signal temporel à partir de son spectre de puissance. De nombreux calculs sont indispensables vant l apparition des ordinateurs, le calcul d une transformée de Fourier était un tra- FICHE 47-2
Nombre de points 512 1 024 2 048 4 096 8 192 16 384 FFT 0,3 0,6 0,9 1,4 2,6 7,3 DFT 1,3 2,0 3,3 5,6 12,6 Ce tableau donne une idée sur les écarts de temps de calcul (avec le même ordinateur) pour une transformation de Fourier effectuée au moyen d une FFT et une DFT. vail fastidieux. vec l informatique, la tâche s est simplifiée, mais il a fallu quelques aménagements. Le signal à analyser est, par définition, analogique : il varie continuement dans le temps et peut prendre une infinité de valeurs entre un minimum et un maximum. Or, il est clair que l ordinateur ne sait pas travailler sur un nombre infini de valeurs. Il faut donc tout d abord échantillonner le signal, pour obtenir un ensemble discret de n points, par exemple. Et on fait l analyse au travers de ces n échantillons pris successivement sur le signal. C est alors qu interviennent la DFT (Discrete Fourier Transform) et la FFT (Fast Fourier Transform). Comme son nom l indique, la DFT ou transformée de Fourier discrète s applique sur un ensemble discret de points, les n points captés pendant la fenêtre d échantillonnage (cette fenêtre définit la portion de courbe sur laquelle on applique la transformée de Fourier). L inconvénient de cette technique, c est qu elle est gourmande en place mémoire et en temps de calcul. Des contraintes qui deviennent prohibitives lorsque le nombre n est élevé. lors, souvent, on lui préfère la FFT. Celle-ci est apparue en 1965, suite aux travaux de deux américains, James W. Cooley et John W. Tukey, qui ont développé un programme de transformée de Fourier rapide, ce qui, dans leur langue maternelle donnait : Fast Fourier Transform (FFT). La FFT diminue considérablement le nombre d opérations nécessaires pour effectuer la tranformée de Fourier. Le temps de calcul est divisé par un facteur compris généralement entre 2 et 10. Mais son gros inconvénient, c est qu elle peut créer une distorsion importante entre le spectre de puissance qu elle calcule et le spectre de puissance réel (restitué par la théorie de Fourier stricto sensu). Comme nous allons le voir, on utilise des artifices pour amoindrir cette distorsion et pouvoir malgré tout utiliser la FFT. oyons tout cela d un peu plus près. La FFT pour gagner du temps En fait, la FFT peut presque être considérée comme une version rapide de la DFT. Pour une transformée de Fourier portant sur n points, l algorithme DFT nécessite n 2 multiplications complexes. L algorithme FFT réduit ce nombre à environ (n/2) log 2 n. Si l on prend par exemple une portion de courbe pour laquelle on a enregistré 2 10 points FICHE 47-3
(a) Nombre entier de périodes (c) FFT appliquée sur 3 périodes Les extrémités se rejoignent (b) Nombre fractionnaire de périodes (d) FFT appliquée sur 2,5 périodes Les extrémités ne se rejoignent pas Quand on compte un nombre entier de périodes du signal dans la zone d analyse (a), on dit que l onde présente un recouvrement aux extrémités de cette zone (b). Dans ce cas, l application de la FFT ne génère pas de distorsion. Par contre, lorsque la zone d analyse ne comporte pas un nombre entier de périodes (c), on dit qu il n y a pas recouvrement aux extrémités (d). Cette discontinuité se traduit par un accroissement de l influence des composantes hautes fréquence de l onde. Cette distorsion fictive (les composantes HF n existent pas réellement dans le signal d origine) perturbent l analyse. (soit 1 024 échantillons), la DFT nécessite 1 048 576 multiplications, tandis que la FFT n en nécessite que 5 120... soit plus de 200 fois moins. Cependant, l accroissement de vitesse qui en résulte se paie au prix de quelques inconvénients. Tout d abord, il faut que le signal soit périodique. Et puisqu on l échantillonne (pour pouvoir le traiter avec de l informatique), il faut s assurer que l échantillonnage ne fasse pas perdre trop d informations (notons que c est vrai aussi pour la DFT). Et puis, pour que la réponse en fréquence ait un sens et soit précise, il faut que le nombre de points sur lequel porte la FFT soit un multiple d une puissance de 2 (512, 1 024, 2 048, etc.). Et si l on a, par exemple, un enregistrement de 1 096 points, il faut savoir qu on ne peut appliquer une FFT que sur 1 024 de ces points (1 024 étant la première puissance de 2 inférieure à 1 096). La fenêtre d analyse ne recouvre donc pas la fenêtre d échantillonnage, et dans ce cas, on perd les informations de puissance associées aux 72 points manquants! Et ce n est pas tout. Pour que la transformation se passe sans distorsion, il faut que le nombre de périodes du signal contenues dans la fenêtre d analyse soit un nombre entier. Inutile d insister sur le fait que cette condition est difficile à remplir, notamment lorsque le signal résulte de la superposition d une multitude de sinusoïdes. Lorsque le nombre de périodes dans la fenêtre d analyse n est pas un entier, cela revient à ajouter une discontinuité au signal. Expliquons nous. Supposons que la valeur de l ampli- FICHE 47-4
Hanning artlett lackman mplitude Fréquence Hamming Sans recouvrement des extrémités vec recouvrement des extrémités Comparaison de l action des filtres les plus utilisés. Une FFT est appliquée sur un signal mélangeant deux sinusoïdes de fréquence et d'amplitude différentes : l une à 2,2 Hz à 90 d et l autre à 10,9 Hz à 46 d. Pour détecter les deux sinusoïdes, on voit que le filtre de lackmann est le mieux adapté. tude soit à l entrée de la fenêtre d analyse, et à sa sortie. Le programme qui effectue la FFT balaye la fenêtre d analyse, en partant de vers. u moment où il quitte, s il revient à l entrée de la fenêtre pour recommencer un balayage, il voit une discontinuité entre et. Celle-ci se traduit par un ajout artificiel de puissance dans le spectre vers les fréquences élevées de l onde (pourtant, les composantes hautes fréquences n existent pas réellement dans le signal d origine). Cette distorsion se traduit par un étalement du spectre de puissance. lors il faut faire quelque chose. Le filtrage pour corriger les anomalies Une solution consiste à multiplier chaque point de la fenêtre d analyse par un cœfficient de pondération, avant d appliquer la FFT. Le rôle de cette pondération, c est de limiter l influence des points situés sur les bords de la fenêtre d analyse, alors, plus on se rapproche des bords de la fenêtre, plus la valeur du cœfficient multiplicateur se rapproche de zéro. On voit tout de suite que lorsque l onde est riche en informations dans les zones situés aux bords de la fenêtre, cette information est perdue... Il faut alors envisager d autres solutions. Nous verrons cela plus loin. FICHE 47-5
Il existe un certain nombre de filtres. Chacun présente ses propres particularités. Les plus utilisés portent le nom de leurs inventeurs : Hamming, artlett, Hanning et lackmann. Le filtre (ou la fenêtre) de Hamming apporte une pondération en forme de cloche. Il n annule pas les points aux extrémités de la fenêtre. Ce filtre convient bien à la détection de raies spectrales, mais ne réduit pas vraiment l étalement du spectre. Le filtre de artlett offre une pondération en forme de triangle et annule le signal aux extrémités de la fenêtre. Il convient à la détection de pics, tout en améliorant la forme générale du spectre (diminution de l écrasement). Le filtre de Hanning est similaire à celui de Hamming (forme de cloche) mais annule les points des extrémités. Il permet de détecter les pics (comme le précédent) et améliore considérablement la forme du spectre. Le filtre de lackmann ressemble au précédent, mais les bords de la cloche sont moins évasés. Résultat, il diminue très fortement l étalement de la puissance. Des solutions pour limiter les distorsions Pour certaines applications, la précision offerte par la FFT n est pas suffisante. De plus, pour les signaux qui ne sont pas répétitifs, on ne peut pas se contenter d une fenêtre d analyse prise au hasard sur le signal. Et puis, lorsque l on s intéresse à un signal transitoire par exemple, les bords de la fenêtre d analyse contiennent des informations importantes pour la description du signal (ne serait-ce que sa valeur initiale et sa valeur finale). En appliquant l un des filtres décrits précédemment comme pour une FFT, on perdrait cette information. Dans ce cas, on n a pas d autre choix que d utiliser une DFT pour extraire le spectre de puissance de ce signal. Certes, cette adaptation de la transformée de Fourier nécessite une grande capacité mémoire et consomme du temps de calcul, mais quand le jeu en vaut la chandelle... Précisons toutefois que, pour un signal périodique, il vaut mieux que la fenêtre d analyse commence lorsque l amplitude du signal est sur sa valeur moyenne, et qu elle contienne un nombre entier de périodes du signal. Ces deux précautions permettent de limiter les distorsions apportées par le traitement. Revenir au signal temporel La transformée de Fourier est une transformation bilatérale (comme un changement de coordonnées pour passer d un système orthogonal à un système polaire, par exemple). Et, comme toutes les transformations bilatérales, elle fonctionne dans les deux sens. Lorsqu on part d un spectre de puissance, on peut (en théorie) retrouver le signal fonction du temps qui lui correspond. C est le rôle de l IFT (Inverse Fourier Transform). On peut se demander pourquoi il faut revenir au point de départ. En fait, cette fonction inverse est très utile pour l analyse d un signal. Par exemple, lorsqu on cherche à identifier un signal bruité, on lui applique une tranformée de Fourier (FFT ou DFT) pour en obtenir le spectre de puissance. Ensuite, on peut nettoyer ce spectre par filtrage, pour éliminer le bruit. Et, enfin, l IFT permet de retrouver le signal épuré. Il faut alors savoir FICHE 47-6
évaluer les distorsions accumulées au cours des deux transformations (FFT ou DFT dans un sens et IFT dans l autre) ; elles peuvent être négligeables. Pour le filtrage du spectre, on peut utiliser un filtre passe-bas qui atténue l effet des fréquences les plus hautes, un filtre passe-haut qui atténue les fréquences les plus basses, un filtre passe-bande qui ne garde qu une bande de fréquences et un filtre en qui supprime la puissance sur une fréquence donnée. En combinant plusieurs de ces filtres, on peut jouer sur le niveau de puissance de chacune des raies du spectre, pour n en garder que certaines parties. On peut ainsi simuler plusieurs spectres à partir de celui qu on a obtenu par la FFT ou la DFT et voir quel est le signal temporel qui correspond à chacun, grâce à l IFT. FICHE 47-7