EC533: Instrumentation et Analyse spéctrale Lamri NEHAOUA October 8, 2015
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Contents 1 Analyse spectrale 1 1.1 Analyse spectrale: Problématique.............................. 1 1.1.1 Représentation des signaux............................. 1 1.1.2 Analyse spectrale: pourquoi............................. 3 1.1.3 Signaux périodiques................................. 4 1.1.4 Analyse spectrale: signaux apériodiques...................... 5 1.1.5 Résumé........................................ 6 1.2 Paramètres d intérêt..................................... 6 1.3 Analyse spectrale: Rappel.................................. 9 1.3.1 Analyse spectrale: Echantillonnage......................... 11 1.3.2 Analyse spectrale: Filtre anti-repliement...................... 11 1.3.3 Analyse spectrale: Troncature............................ 12 1.4 Analyse spectrale: TFD................................... 14 1.5 Mesure et analyse spectrale: TFD.............................. 14 iii
iv CONTENTS
1 Analyse spectrale 1.1 Analyse spectrale: Problématique Principalement du traitement numérique, donc, numérisation des signaux analogiques. CAN: Pb: fréquence d échantillonnage repliement. taille des mémoires : séquence finie et troncature, Pb: durée d observation fuite spectrale (leakage). Autres: erreurs de quantification, bruit de calcul des processeurs. 1.1.1 Représentation des signaux Signal: toute grandeur physique qui varie en fonction d une autre grandeur physique (le temps, l espace, la fréquence). Figure 1.1: Exemple d une chaîne d acquisition. 1
2 1. ANALYSE SPECTRALE Figure 1.2: Représentation temporelle et fréquentielle d un signal. Figure 1.3: Représentation spatiale et fréquentielle d un signal (il s agit dans cet exemple d un signal à deux variables).
1.1. ANALYSE SPECTRALE: PROBLÉMATIQUE 3 Figure 1.4: Oscilloscope: domaine temporel. Analyseurs de spectre: domaine fréquentiel. Figure 1.9: Spectre fréquentiel du signal x(t) = cos(2πf 1 t) où F 1 = 10 Hz. Déterministe Aléatoire Figure 1.5: périodique Figure 1.6: aléatoire stationnaire Figure 1.7: apériodique Figure 1.8: aléatoire non stationnaire 1.1.2 Analyse spectrale: pourquoi Te = 0.001; Fe = 1/ Te; % définir un pas de temps et de fréquence t = 0: te :1; % définir un intervalle de temps f = linspace (-Fe /2, Fe /2, length (t)); %un intervalle de fréquence x = cos (2* pi *10* t); % un cosinus de 10 Hz Xf = fftshift ( fft ( x)* Te); % calcul de la transformée de Fourier stem (f, abs ( Xf)) % dessine l amplitude de la transformée de Fourier Figure 1.10: Spectre fréquentiel du signal x(t) = cos(2πf 1 t) + cos(2πf 2 t) où F 1 = 10 Hz et F 2 = 20 Hz.
4 1. ANALYSE SPECTRALE Figure 1.11: Spectre fréquentiel du signal x(t) = cos(2πf 1 t) + ɛ(t) où F 1 = 10 Hz et ɛ(t) est un signal aléatoire uniforme. Figure 1.12: Réponse d un système linéaire à une excitation sinusoïdale. x = cos (2* pi *10* t)+ cos (2* pi *20* t); % deux cosinus de 10 et 20 Hz Xf = fftshift ( fft (x)*te); stem (f,abs (Xf)) x = cos (2* pi *10* t)+ cos (2* pi *20* t); % un cosinus de 10 Hz xn = x + 0.05* randn ( size ( t)); % ajouter un bruit uniforme Xf = fftshift ( fft (x)*te); stem (f,abs (Xf)) L analyse spectrale permet d étudier un signal dans le domaine fréquentiel. Les composantes fréquentielles importantes sont facilement dissociées des composantes fréquentielles indésirables. Théorie des systèmes linéaires: la réponse d un système à une excitation sinusoïdale est aussi un signal sinusoïdal d amplitude et de phase différente. 1.1.3 Signaux périodiques N = 2; % esuite 5, 10, 100 t = [0:1000]/1000; x = ones (1,1001) *1/2; for i = 1:2: N a = 2/ pi/i; Figure 1.13: Un signal rectangulaire périodique peut être décomposé en une infinité de sinusoïdales.
1.1. ANALYSE SPECTRALE: PROBLÉMATIQUE 5 x = x+ a* sin (2* pi*i*t); end plot (x,f) Pour les signaux périodique, continus et discrets, on parle de la série de Fourier. Le spectre d un signal continu périodique est discret apériodique. s(t) = C k e j2πkf 0t k= C k = 1 T0 /2 x(t)e j2πkf0t dt T 0 T 0 /2 f 0 = 1 T 0 Le spectre d un signal discret périodique est discret périodique. s(n) = C k = 1 N C k e j2π k N n k=0 N 1 n=0 x(n)e j2π k N n 1.1.4 Analyse spectrale: signaux apériodiques Pour les signaux non-périodiques, continus et discrets, on parle de la transformée de Fourier. Le spectre d un signal continu apériodique est continu apériodique.
6 1. ANALYSE SPECTRALE s(t) = X(f)e j2πft dt S(f) = Le spectre d un signal discret apériodique est continu périodique. x(t)e j2πft df s(n) = 1 fe X(f)e j2π n fe f S(f) = f 0 0 + n= x(n)e j2π n fe f Pour les signaux discrets finis, on parle de la transformée de Fourier Discrète (TFD). 1.1.5 Résumé s(n) = 1 N N 1 k=0 1.2 Paramètres d intérêt Exemple: spectre d un son grave largeur de bande, S(n)e j2π n N n S(n) = N 1 k=0 s(n)e j2π k N n pics de fréquence: amplitude maximale, fréquence correspondante, largeur de bande à 3 db de chaque pic Exemple: spectre d une fonction porte position des zéros
1.2. PARAMÈTRES D INTÉRÊT 7 Figure 1.14: source de l illustration : A. Oumnad largeur des lobes décroissance s(t) = A.rect τ (t) S(f) = A.τ.sinc(πfτ) Composantes spectrales d un signal ensemble des fréquences le constituant signaux périodiques et réels : ensemble des paires de «raies» fréquences de signes opposés mais même module Fréquence fondamentale d un signal périodique : F0 pour les signaux périodiques uniquement PGCD des composantes spectrales
8 1. ANALYSE SPECTRALE Figure 1.15: Largeur de bande de la DSP: bande totale (B), bande à 3 db bilatérale (B1), largeur du lobe principal bilatérale (B2) Figure 1.16: Puissance Dynamique de la DSP d un signal : Da rapport entre les amplitudes maximale et minimale de la DSP de ses composantes, s exprime aussi en db: 10Log 10 (D a ) Finesse spectrale d un signal : D f plus petit écart de fréquence entre deux composantes fréquentielles (ou fréquences de même signe) successives (continu compris) pour les signaux périodiques : au minimum D f = F 0 Fréquence maximale du signal : F max composante de fréquence la plus élevée, en valeur absolue Densité Spectrale de Puissance : S(f) signaux périodiques : carré du module du spectre ou carré du spectre de la fonction d autocorrélation ou intégration de la puissance dans une bande de fréquence en W/Hz, ou A 2 /Hz ou V 2 /Hz P s = + 0 B eq = 1 H 0 2 S(f)df = + 0 B H(f) 2 df définie pour la fonction de transfert H(f) d un système S(f)df [Hz] Figure 1.17: Bande équivalente de bruit
1.3. ANALYSE SPECTRALE: RAPPEL 9 Figure 1.18: L oreil est capteur logarithmique. L acoustique utilise toujours le db comme unité de mesure. bande que présenterait un système de puissance moyenne totale équivalente mais de DSP constante la bande équivalente de bruit d un système de fonction de transfert H(f) est équivalente à la bande passante d un filtre passe-bas idéal. Rapport signal sur bruit S/B [db] = 10Log P S P B = P s [db] P B [db] Taux de distorsion harmonique : mesure de la qualité des oscillateurs et de la linéarité de systèmes distorsion sur la forme d onde : défauts non linéaires de certains composants déformation du signal : génération d harmoniques dans sa DSP mesure via un signal de test sinusoïdal de fréquence f 0. d = + n=2 S(nf 0) + n=1 S(nf 0) si d << 1 d + n=2 S(nf 0) S(f 0 ) 1.3 Analyse spectrale: Rappel comment représenter simultanément les petits et grands signaux sur un même affichage? Décibel (db, Alexander Graham Bell). Décibel: une échelle logarithmique qui comprime les composantes de forte amplitude et dilatera les composantes de faible amplitude. Exemples: +20dB rapport de puissance de 100. -3dB 1/2. db = 10Log(puissance) = 20Log(tension)
10 1. ANALYSE SPECTRALE Figure 1.19: Le spectre d un signal échantillonné à T e est périodique avec une période F e. Si F e est mal dimensionnée: chevauchement ou repliement.
1.3. ANALYSE SPECTRALE: RAPPEL 11 Figure 1.20: Réponse fréquentielle d un filtre numérique à moyenne glissante pour F e = 1 KHz et N = 16. On voit que les fréquences 1KHz, 2KHz, k KHz où k N ne seront jamais filtrées. 1.3.1 Analyse spectrale: Echantillonnage période d échantillonnage T e et fréquence d échantillonnage F e = 1 T e axe temporel discret : perte d information, altération du spectre risques du sous-échantillonnage : Question: comment choisir la fréquence d échantillonnage F e? Réponse: Théorème de Shannon. La fréquence d échantillonnage F e doit être au minimum le double de la fréquence maximale F max contenue dans le signal. analyse de précision : rapport 5 à 10 spécifications des instruments : en général, double de la bande passante F e F max > F max F e > 2.F max dépend du nombre de voies et de la profondeur de la mémoire 1.3.2 Analyse spectrale: Filtre anti-repliement Les filtres anti-repliement permettent d éliminer les bandes de fréquence indésirables. Exemple: filtre numérique à moyenne glissante: H(f) = Σ N 1 k=0 1 N e2πjk f Fe ) H(f) = 1 sin (πn f Fe ) N sin (π f Fe si non connaissance de F e ou si F e,lim non compatible avec les fréquences d horloge des CAN et pour limiter la puissance de bruit instruments numériques : positionnement de F c en fonction de la gamme d analyse en général automatique, en général: F c = 2, 56F max Un filtre passe-bas idéal n existe pas.
12 1. ANALYSE SPECTRALE Figure 1.21: Filtre anti-repliement. Figure 1.22: Gabarit réel d un filtre passe-bas. Filtre de Butterworth: le plus utilisé. Maximum de platitude en bande passante. H(f) = 1 ( ) 2n 1 + f fc l ordre n du filtre est défini en fonction du pourcentage de recouvrement maximal toléré: P recouvrement P signal X% la fréquence de coupure F c est définie en fonction de la fréquence d échantillonnage F e et de de l ordre n du filtre. n 1 2 4 6 F c F e 127 F e F e F e 6 3 2 Table 1.1: Exemple pour un signal à spectre constant et 1%. 1.3.3 Analyse spectrale: Troncature Pb: la durée d observation d un signal T obs influt-il sur le spectre obtenu? Deux cas: T obs = nt 0 = n/f 0 Figure 1.23: Exemple: filtre passe-bas de Sallen et Key d ordre 2 (n=2). R = 11.2KΩ, C = 10nF, F c = 1/(2π 2RC) = 1005Hz.
1.3. ANALYSE SPECTRALE: RAPPEL 13 Figure 1.24: Signal périodique: x(t) = sin(2πf 0 t). Cas où T obs = nt 0, T 0 = 2 s, n = 2. Figure 1.25: Signal périodique: x(t) = sin(2πf 0 t). Cas où T obs = nt 0, T 0 = 2 s, n = 1.25. T obs nt 0 Pb: la durée d observation d un signal T obs influt-il sur le spectre obtenu? Deux cas: T obs = nt 0 = n/f 0 T obs nt 0 si n N, deux raies à -0.5 Hz et 0.5 Hz, A = 0.5, la résolution fréquentielle f = 0.5 Hz. si n / N, les deux raies principales ont changé de fréquence et éclaté en plusieurs plusieurs raies, A = 0.45, la résolution fréquentielle f = 0.4 Hz. La troncature provoque des fuites fréquentielles. Fuite spectrale: le spectre aura des composantes non-nulles a des fréquences autres que ±F 0. Les raies deviennent des sinus cardinaux dont la largeur du lobe principal est inversement proportionnelle à T obs. Minimiser les effets de fuite spectrale: Figure 1.26: Spectre de: x(t) pour T obs = 2T 0 et T obs = 1.25T 0.
14 1. ANALYSE SPECTRALE Figure 1.27: Un zoom sur le spectre de: x(t) pour T obs = 2T 0 et T obs = 1.25T 0. si le signal est périodique: choisir T obs = nt 0, avec n N, si le signal n est pas périodique: effet de bord systématique. Il faut utiliser des fenêtres. 1.4 Analyse spectrale: TFD TFD: Transformée de Fourier Discrète: calcul numérique de spectres. {x n }, n [0; N 1] TFD {x k }, k [0; N 1] x(t) échantillonné à F e spectre périodique en F e x(t) observé sur [0; T obs [ spectre observé sur [0; F e [ pas temporel T e pas fréquentiel f = 1 T obs N = T obs T e N = Fe f 1.5 Mesure et analyse spectrale: TFD Exemples en projetant directement le TP sur Matlab lire un spectre de 0 à F e /2 le bruit de calcul le repliement de spectre : effets sur l estimation des fréquences et amplitudes des composantes, sur les puissances montrer leakage sur une raie : quand c est OK et quand ça ne va plus montrer séparation possible ou non avec leakage (utiliser manip résolution de la fenêtre rectangulaire) : voir captures suivantes
1.5. MESURE ET ANALYSE SPECTRALE: TFD 15 Figure 1.28: x(t) = A 0 cos(2πf 0 t), F 0 = 16, 5 Hz, A 0 = 1, N = 128, F e = 128 Hz, f = 1 Hz. La condition T obs = nt 0 = n/f 0, n N n est vérifiée donc leakage. Figure 1.29: x(t) = A 1 cos(2πf 1 t) + A 2 cos(2πf 2 t), F 1 = 10, 5 Hz, A 1 = 1, F 2 = 13 Hz, A 2 = 0.05 F 2 est «noyée» dans le leakage de F 1 les composantes ne sont pas «séparées» à partir de F 2 = 14, 5 Hz un deuxième pic séparable apparait F 1 et F 2 sont séparées limite de séparation en fréquence A 1 /A 2 = 26 db à partir de A 2 = 0, 17 un deuxième pic séparable apparait F 1 et F 2 sont séparées Figure 1.30: x(t) = A 1 cos(2πf 1 t) + A 2 cos(2πf 2 t), F 1 = 10, 5 Hz, A 1 = 1, F 2 augmente, A 2 = 0.05
16 1. ANALYSE SPECTRALE Figure 1.31: x(t) = A 1 cos(2πf 1 t) + A 2 cos(2πf 2 t), F 1 = 10, 5 Hz, A 1 = 1, F 2 = 13 Hz, A 2 augmente limite de séparation en amplitude F 2 F 1 = 2, 5 Hz