Premiers pas avec Python

Premiers pas avec Python Nous supposerons ici que Python est déjà installé et fonctionnel. Dans la suite de ce document, nous indiquerons les commandes Python et le résultat donné par l'interprète. Les commandes venant après les chevrons >>> sont les commandes tapées par l'utilisateur. Le résultat donné par Python se lit alors sur la ligne suivante. Lorsque Python n'a rien à renvoyer, la ligne est omise. Variables et types simples Premiers pas On peut utiliser Python comme une calculatrice : >>> 6 * 7 42 Les entiers en Python ne sont pas limités. Calculons 5 à la puissance 20 : >>> 5 ** 20 9094947017729282379150390625L (la lettre L affichée à la fin du résultat signifie simplement que l'entier est un entier «long», c'est-àdire trop grand pour être représenté par un mot machine, mais Python sait gérer ces entiers longs. Il n'y a pas à se soucier de questions d'homogénéité, en cas d'opérations entre un entier standard et un entier long, Python renvoie toujours un long). Les opérateurs usuels sur les entiers sont : +, -, *. La précédence entre ces opérateurs est standard : * est prioritaire sur + ou -. >> 2 + 3 * 2 8 La division entière se note // et le reste dans la division euclidienne de a par b est noté a % b : >>> 14 // 3 4 >>> 14 % 3 2 http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/fr/ 1/23

On peut également manipuler des nombres à virgules (nombres flottants). Ici, comme pour les entiers longs, la simple présence d'un unique flottant dans une expression indique à Python de tout effectuer avec des nombres à virgules. >>> 3.12 ** 2 9.7344000000000008 Notez qu'on obtient uniquement une valeur approchée. Notamment, un rationnel comme 1/33 n'existe qu'en tant qu'approximation : >>> 1.0 / 33.0 0.030303030303030304 (Ici le 4 à la fin illustre bien le problème de l'approximation d'un réel par un flottant). Si on veut utiliser des fonctions mathématiques, on doit les importer de la bibliothèque math. Sinon, Python se vexe : >>> sin(2.5) Traceback (most recent call last): File "<stdin>", line 1, in <module> NameError : name 'sin' is not defined sin n'est en effet pas défini par défaut. >>> from math import sin >>> sin(2.5) 0.59847214410395655 après importation de la fonction sin du module math, on peut l'utiliser. Pour importer toutes les fonctions du module math : >>> from math import * >>> cos(2.5) -0.8011436155469337 Notez qu'il y a une différence entre les entiers et les flottants. 42 est un entier >>> type(42) <type 'int'> Mais 42.0 est un flottant : >>> type(42.0) <type 'float'> http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/fr/ 2/23

Il est possible de convertir un entier en flottant : >>> float(42) 42.0 Et dans l'autre sens : >>> int(42.4) 42 Attention : int ne calcule pas la partie entière mais arrondit vers 0. Autrement dit int(x) est la partie entière de x si x est positif et l'opposé de la partie entière de x sinon : >>> int(-42.4) 42 Pour plus de contrôle sur la conversion, on pourra utiliser les fonctions de troncature et d'arrondi. floor pour la partie entière inférieure, ceil pour la partie entière supérieure et round pour un arrondi. >>> floor(42.4) 42.0 >>> ceil(42.4) 43.0 >>> round(42.4) 42.0 >>> round(42.6) 43.0 >>> int(round(42.6)) 43 On pourra retrouver la définition de ces fonctions dans l'aide intégrée à Python. On y accède à l'aide de la fonction help : >>> help(ceil) Help on built-in function ceil in module math: ceil(...) ceil(x) Return the ceiling of x as a float. This is the smallest integral value >= x. Python convertit automatiquement les entiers en flottants quand cela est pertinent. Ainsi : >>> from math import sqrt >>> sqrt(2) 1.4142135623730951 donne la même chose que sqrt(2.0). http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/fr/ 3/23

Attention cependant au symbole / : en Python 2. X, s'il est appliqué à deux entiers, il dénote toujours la division entière, sinon, il dénote la division en flottants ; en Python 3.X (ou en Python 2.7 avec le mode de compatibilité «future»), il dénote toujours la division en flottants, quels que soient les arguments. Il est donc préférable d'utiliser // pour la division d'entiers et / pour la division en flottants. On rappelle que pour qu'un calcul s'effectue en flottants, il suffit qu'un des opérandes soit flottant, ainsi : >>> ((1-4)+3*2)/2 1 >>> ((1.0-4)+3*2)/2 1.5 Définitions de variables Affectation Le symbole d'affectation pour donner une valeur à une variable est le symbole = : >>> x = 42 Python ne répond rien : nos entrées précédentes étaient des expressions, qu'il a interprétées comme des questions et il y a répondu. Ici, nous lui avons donné une instruction, il exécute l'ordre et se contente d'affirmer qu'il est prêt en nous gratifiant de nouveau d'un >>> On peut alors lui demander la valeur de x : >>> x 42 On peut affecter plusieurs variables simultanément : >>> a, b = 17, 42 >>> a 17 >>> b 42 http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/fr/ 4/23

L'affectation se fait en parallèle, ce qui est bien pratique pour échanger le contenu de deux variables : >>> b, a = a, b >>> a 42 >>> b 17 Incrémentation Pour ajouter une valeur (par exemple 3) à une variable, on peut faire comme dans les langages de programmation classiques : >>> x = 0 >>> x = x + 3 >>> x 3 Mais on peut aussi utiliser += (c'est la façon de faire idiomatique en Python) : >>> x += 3 >>> x 6 On dispose de même de *=, -=, /= et //= : >>> x *= 5 >>> x 30 >>> x -= 7 >>> x 23 Autres types simples Les booléens Les booléens, ou valeurs de vérité, peuvent prendre deux valeurs : True ou False. Les opérateurs de comparaison (<, >, <=, >=) permettent comparer deux nombres : >>> 17 < 42 True >>> 17 > 42 False http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/fr/ 5/23

On dispose également de l'opérateur == pour tester l'égalité (attention : ce n'est pas =, qui est le symbole d'affectation) et!= pour tester si deux nombres sont différents (imaginer le point d'exclamation comme une barre verticale barrant le symbole d'égalité) : >>> 42 == 42 True >>> 42!= 42 False >>> 17 == 42 False >>> 17!= 42 True On peut calculer la conjonction ou la disjonction de deux booléens avec les opérateurs «and» et «or» : >>> 17 > 42 or 3 == 3 True >>> 17 < 42 and 3!= 3 False >>> 17 < 42 and 3 == 3 True La négation logique d'un booléen b se note not(b) : >>> not(17 == 42) True On peut convertir un booléen en entier : >>> int(true) 1 >>> int(false) 0 On peut également convertir un entier en un booléen. Tout entier non nul est converti en True et 0 est converti en False. >>> bool(42) True >>> bool(0) False Plus généralement, n'importe quelle valeur nulle (0 pour les entiers, 0.0 pour les flottants, et, pour les types chaînes de caractères et liste qu'on verra plus loin, une chaîne vide, une liste vide) sera considérée comme le booléen False et les autres valeurs comme True. http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/fr/ 6/23

Les chaînes de caractères Python peut manipuler des chaînes de caractères. Une chaîne de caractères peut se noter entre apostrophes simples : >>> qui = 'Python' L'opération principale sur les chaînes de caractères est la concaténation, notée avec le symbole + : >>> 'bonjour ' + qui 'bonjour Python' On peut convertir un nombre en chaîne de caractères : >>> str(42) '42' >>> str(2.5) '2.5' Et réciproquement : >>> int('42') 42 >>> float('2.5') 2.5 En revanche la concaténation ne donne pas lieu à conversion implicite : >>> 'numero ' + n Traceback (most recent call last): File "<stdin>", line 1, in <module> TypeError: cannot concatenate 'str' and 'int' objects >>> 'numero ' + str(n) 'numero 10' Avant Python3, la gestion des chaînes de caractères contenant des accents est délicate. Le mieux est dans ce cas de ne pas mettre d'accents dans les chaînes de caractères. Les listes Python En Python, on utilise le terme de «liste» pour ce qu'on appellerait dans d'autres langages des tableaux et plus précisément des tableaux dynamiques. Une liste Python est donc une suite de cases mémoires contiguës, ce qui permet à la machine d'accéder à n'importe laquelle par un calcul simple, qui peut se faire en temps constant (c'est-à-dire indépendamment de la longueur de la liste). On dit qu'il s'agit de tableaux dynamiques, car on peut agrandir la liste en ajoutant de nouveaux éléments. Sans entrer dans le détail, l'ajout d'un élément à une liste Python est peu coûteux (en général en temps constant sous des hypothèses assez réalistes) s'il est effectué en fin de liste. http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/fr/ 7/23

Pour définir une liste d'éléments donnés, on les encadre par des crochets : >>> premiers = [2,3,5,7] >>> type(premiers) <type 'list'> La liste vide est alors celle n'ayant aucun élément : >>> vide = [] Le type des éléments dans une liste n'est pas nécessairement homogène. On peut très bien mettre côte à côte des entiers, des flottants, des chaînes, voire des listes. >>> melange = [ 2, 12.5, "abc", -3 ] Pour obtenir la longueur d'une liste, on utilise la fonction len qui renvoie un entier. >>> len(premiers) 4 Pour accéder au i-ème élément de la liste on utilise la syntaxe liste[i] mais, attention, la numérotation commence à l'élément 0. >>> premiers[1] 3 >>> premiers[0] 2 >>> premiers[3] 7 Si on dépasse l'indice maximal d'un élément, Python déclenche une erreur justement nommée IndexError. >>> premiers[4] Traceback (most recent call last): File "<stdin>", line 1, in <module> IndexError: list index out of range On peut manipuler une liste existante en ajoutant un élément. Pour cela on utilise une fonction particulière propre à la liste, on parle de méthode. On utilise un point pour séparer le nom de la liste du nom de la méthode, ici : append. >>> premiers.append(11) L'élément est alors ajouté à la fin de la liste : >>> premiers [2, 3, 5, 7, 11] http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/fr/ 8/23

Il est aussi possible d'utiliser l'aide intégrée dans Python sur les méthodes. >>> help(premiers.append) Help on built-in function append: append(...) L.append(object) -- append object to end La même méthode append ne permet pas de fusionner une autre liste en fin de la première. Ainsi l'appel suivant : >>> premiers.append([13,17]) ne fournit pas le résultat attendu. >>> premiers [2, 3, 5, 7, 11, [13, 17]] Pour réaliser cette opération de fusion, il suffit d'utiliser l'opération + sur les listes : >>> premiers = [2,3,5,7,11] + [13,17] >>> premiers [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17] >>> len(premiers) 7 >>> premiers[2] 5 Il est possible d'accéder aux éléments de la liste en partant de la fin grâce à des indices négatifs. >>> premiers[-1] 17 >>> premiers[-3] 11 On peut extraire la sous-liste des éléments compris entre l'indice i (inclus) et l'indice j (exclu) en utilisant l'expression l[i:j]. >>> premiers[2:7] [5, 7, 11, 13, 17] Si on omet i, Python le remplace par l'indice 0, si on omet j il le remplace par la taille de la liste. Ainsi : >>> premiers[:3] [2,3,5] >>> premiers [3:] [7,11,13,17] >>> premiers[:] [2,3,5,7,11,13,17] http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/fr/ 9/23

Ainsi pour insérer un élément au milieu d'une liste on pourra effectuer >>> premiers = premiers[:3] + [ 42 ] + premiers[3:] >>> premiers [2,3,5,42,7,11,13,17] Pour supprimer un élément d'une liste, on peut utiliser >>> del premiers[3] >>> premiers [2,3,5,7,11,13,17] Il est possible de créer une liste d'entiers consécutifs. L'appel range(i,j) renvoie la liste ordonnée des entiers compris entre i (inclus) et j (exclu) : >>> range(2,7) [2, 3, 4, 5, 6] NB : en Python 3, il convient d'utiliser list(range(2,7)). Si un seul argument est fourni à range, on considère que l'on commence à l'entier 0 : >>> range(3) [0, 1, 2] En rajoutant un troisième argument, on peut fournir l'incrément utilisé pour passer d'une valeur à l'autre. S'il est négatif, on peut ainsi obtenir une liste décroissante. >>> range(2,10,2) [2, 4, 6, 8] >>> range(5,2,-1) [5, 4, 3] L'opérateur * est également défini sur les listes et prend le sens qu'il a dans la langue courante : >>> 3 * [1,2] [1, 2, 1, 2, 1, 2] On a obtenu trois «fois» la liste [1,2]. C'est notamment utile pour initialiser un tableau : >>> t = 5 * [0] >>> t [0, 0, 0, 0, 0] Il faut toutefois prendre garde au fait que lorsque Python copie une liste, il ne duplique pas son contenu. Ainsi pour initialiser une matrice, l'approche suivante est à déconseiller :. >>> m = 3 * [ 3 * [0] ] # oups... http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/fr/ 10/23

En effet, les trois listes contenues dans m sont une seule et même liste. En modifier une modifie les modifie toutes : >>> m[0][1] = 2 >>> m [[0, 2, 0], [0, 2, 0], [0, 2, 0]] Définition par compréhension Il est possible de définir une liste par compréhension, de façon similaire à ce qu'on fait en mathématique pour définir un ensemble. >>> l = range(1,5) >>> [ 1.0/i**2 for i in l ] [1.0, 0.25, 0.1111111111111111, 0.0625] On peut également ne sélectionner que les éléments vérifiant une condition. Ici, on ne choisit que les éléments pairs : >>> [ 1.0/i**2 for i in l if i % 2 == 0 ] [0.25, 0.0625] En combinant avec la fonction Python sum permettant d'ajouter tous les éléments d'une liste, on peut effectuer facilement des calculs : >>> sum([ k**2 for k in range(10) ]) 285 >>> sum([ 1.0/k**2 for k in range(1,100) ]) 1.6348839001848923 On peut également utiliser cette notation pour définir la matrice vue plus haut : >>> m = [ [ 0 for i in range(3) ] for j in range(3) ] On a alors dans m trois copies distinctes de la liste [0, 0, 0] : >>> m[0][1] = 2 >>> m [[0, 2, 0], [0, 0, 0], [0, 0, 0]] http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/fr/ 11/23

Les variables sont des références Une variable ne contient pas un objet, elle est juste une référence faite à un objet qui existe dans la mémoire de la machine. La différence a son importance. Considérons les deux séquences d'instructions suivantes : Séquence A : >>> x = [ 13, 43, 17 ] >>> y = x Séquence B : >>> x = [ 13, 43, 17 ] >>> y = [ 13, 43, 17 ] Dans les deux cas, à l'issue de la séquence d'instructions, x et y contiennent la liste [ 13, 43, 17 ]. Il serait en fait plus exact de dire qu'ils font référence à une liste contenant [ 13, 43, 17 ] (on dit aussi que x et y pointent vers une liste contenant [ 13, 43, 17 ]). Car dans la séquence B, Python a créé deux listes, alors que dans la séquence A, il n'en a créé qu'une et A et B font tous deux référence à la même liste. La différence est flagrante si l'on exécute ensuite la séquence d'instructions C suivante : y[0] = 20 x[1] = 12 Si l'on exécute la séquence A puis la C, x et y font toujours référence à la même liste et celle-ci contient [ 20, 12, 17 ]. Si l'on exécute la séquence B puis la C, x et y font référence à des listes différentes, donc l'affectation d'un élément de la liste pointée par l'une n'a pas changé le contenu de la liste pointée par l'autre. x pointe donc vers une liste contenant [ 13, 12, 17 ] et y vers une liste contenant [ 20, 43, 17 ]. http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/fr/ 12/23

Instructions conditionnelles et boucles Instructions conditionnelles Il est possible de réaliser des instructions seulement si une condition est vérifiée >>> x = 0 >>> if 17 % 2 == 1:... x = x + 1... >>> x 1 Ici, une des particularités de Python entre en jeu. Pour indiquer à Python le bloc d'instruction à exécuter si la condition est vérifiée, ce bloc d'instruction doit être indenté, c'est-à-dire être mis en retrait par rapport à la marge gauche. Il suffit pour cela de mettre au début de chaque ligne de ce bloc des espaces ou une tabulation pour placer le nouveau bloc plus à droite. On peut utiliser au choix un nombre fixe d'espaces ou une tabulation mais il faut prendre garde à conserver ce choix tout au long du bloc. Cette indentation se substitue aux blocs begin end de nombreux langages. Par exemple, ceci est valide : >>> if 17 % 2 == 1:... x += 1... x *= x mais ceci ne l'est pas : >>> if 17 % 2 == 1:... x += 1... x *= x On peut effectuer des instructions si la condition n'est pas vérifiée grâce à l'instruction else qui doit se trouver au même niveau que le if : >>> if 17 % 2 == 1:... x += 1...else:... x += 2 http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/fr/ 13/23

Il est également possible et même recommander d'abréger les tests imbriqués à l'aide de elif. Ainsi, au lieu d'écrire : >>> if n % 3 == 0:... x += 1... else:... if n % 3 == 1:... x += 3... else:... x *= x on utilisera : >>> if n % 3 == 0:... x += 1... elif n % 3 == 1:... x += 3... else:... x *= x Cette dernière version permet ainsi de placer tous les blocs d'instructions dans un même niveau d'indentation, ce qui accroit la lisibilité. Boucles inconditionnelles Les boucles bornées sont introduites par le mot-clé for. Exemple bateau : le calcul de la factorielle. >>> n = 100 >>> r = 1 >>> for i in range(1, n+1):... r *= i... >>> r 93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993 22991560894146397615651828625369792082722375825118521091686400000000000000 0000000000L Remarquez la syntaxe : pour effectuer une itération bornée de la variable i de a inclus à b exclu, on dit que i doit parcourir la liste range(a,b). Attention, range(a,b) est l'intervalle d'entiers [a,b[ ouvert à droite, d'où le n+1 dans le code ci-dessus. Mais on peut aussi itérer sur une liste arbitraire : >>> premiers = [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17] >>> prod = 1 >>> for x in premiers :... prod *= x >>> prod 510510 http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/fr/ 14/23

Boucles conditionnelles On réalise une boucle conditionnelle à l'aide du mot-clé while. >>> n = 42 >>> while n!= 0:... n /= 2... Manipulation du flot de contrôle Pour manipuler le flot de contrôle on peut utiliser deux instructions spécifiques : break interrompt la boucle ; continue termine le tour de boucle en cours et retourne au début de la boucle. >>> l = [ 2, 3, 5, 7 ] >>> i = 0 >>> for n in l:... if p == n:... break... i += 1 >>> i 1 http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/fr/ 15/23

Fonctions L'écriture de fonctions en Python est aisée. Calculons par exemple la longueur de l'hypoténuse d'un triangle rectangle connaissant les longueurs des deux autres côtés : >>> def hypotenuse(a, b): """Calcule la longueur du côté de l'hypoténuse d'un triangle rectangle. a et b sont les longueurs des côtés de l'angle droit""" return sqrt(a**2 + b ** 2) Comme on le voit : la définition est introduite par le mot-clé def ; le corps de la fonction est un bloc de code indenté ; l'instruction return indique quelle valeur retourner. La chaîne de caractère entre triples guillemets est une documentation de la fonction. Elle doit être donnée sur la ou les ligne(s) suivant le mot-clé def. On peut par la suite obtenir cette documentation en tapant «help(hypotenuse)». Exemple à peine plus compliqué : def factorielle(n): """Calcule la factorielle de n. n doit être un entier naturel""" assert n >= 0 f = 1 for i in range(1, n+1): f *= i return(f) L'instruction «assert n >= 0» vérifie que n est supérieur ou égal à 0 et provoque sinon une erreur qui arrête l'évaluation de la fonction. On peut évidemment écrire des fonctions récursives : def pgcd(a, b): """Calcule le plus grand diviseur commun de a et b).""" assert a >= 0 assert b >= 0 assert (a, b)!= (0, 0) if b==0: return(a) return pgcd(b, a % b) http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/fr/ 16/23

Portée des variables On distingue les variables locales à une fonction des variables globales. Les règles sont les suivantes (on se place dans un cadre où on ne définit pas de fonction à l'intérieur d'une autre fonction) : bien évidemment, on ne peut pas accéder à une variable en dehors de la fonction où elle est définie ; dans le corps d'une fonction f, une variable x doit être globale ou locale ; elle est locale par défaut si on l'affecte ; elle est globale si on ne l'affecte pas ; on peut rendre une variable globale une variable à l'intérieur d'une fonction avec le mot-clé global. Exemples : x = 42 def f() return x def g(): x = 3 return x def h(): global x x = 17 return x >>> f() 42 >>> g() 3 >>> x 42 >>> h() 17 >>> x 17 http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/fr/ 17/23

Passage par référence Attention cependant, le fait qu'une variable soit locale n'empêche pas qu'elle puisse pointer vers un objet qui est globalement accessible. En effet, puisqu'une variable n'est qu'une référence vers un objet Python en mémoire, les arguments d'une fonction sont toujours passés par référence : Par exemple : def echange_debut_fin(t): """Échange le premier et le dernier element de la liste t""" t[0], t[-1] = t[-1], t[0] >>> x = [ 10, 20, 30, 40, 50 ] >>> echange_debut_fin(x) >>> x [50, 20, 30, 40, 10] La variable t dans la fonction f est bien locale. Lorsqu'on appelle echange_debut_fin avec x, on copie la référence contenue dans x dans la variable t. t pointe donc alors vers la même liste que x. Les instructions d'affectation de t[0] et t[-1] modifient donc la liste pointée par x et t. http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/fr/ 18/23

Quelques exemples Crible d'eratosthene def eratosthene(n): assert(n>=2) premiers = [2, 3] for i in range(n-2): p = premiers[i+1] + 2 while divisible(p,premiers): p = p + 2 premiers.append(p) return(premiers) def divisible(x,t): """teste si x est divisible par un élément du tableau t, dont les éléments sont rangés en ordre croissant""" for p in t: if x % p == 0: return(true) if p * p > x: return(false) return(false) Moyenne et variance d'une liste de nombres def moyennevariance(l): n = len(l) s = 0.0 s2 = 0.0 for i in range(n): s = s + l[i] s2 = s2 + l[i]*l[i] return (s/n, s2/n-(s/n)*(s/n)) Recherche du zéro d'une fonction continue monotone, par dichotomie def zerodichotomie(f,a,b,epsilon): """Recherche du zéro de f supposée continue et monotone sur [a,b], à la précison epsilon près""" signea = f(a) while b-a > epsilon: c = (a+b)/2.0 if signea * f(c) < 0: b = c else: a = c return((a+b)/2.0) http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/fr/ 19/23

Méthode de Newton def zeronewton(f,x,epsilon): """Recherche du zéro de f, à la précison epsilon près""" x0 = x + 2*epsilon x1 = x while abs(x1-x0) > epsilon: x0 = x1 h = max(x0/100.0,0.001) d = (f(x0+h)-f(x0))/h x1 = x0 - f(x0)/d return x0 Méthode d'euler (cas d'une équation scalaire d'ordre 1) def euler(f,x0,y0,x1,n): """Équation y'=f(y(x),x), condition initiale (x0,y0), valeur finale x1, n est le nombre d'étapes""" h = (x1-x0)/n x = np.arange(x0,x1,h) y = np.zeros(n) y[0] = y0 for i in range(n-1): x[i+1] = x[i] + h y[i+1] = y[i] + h*f(y[i],x[i]) return(x,y) # Exemple from math import * def f(y,x): return sin(x+y) (x,y) = euler(f,0,0,pi,100) http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/fr/ 20/23

Méthode d'euler (cas d'un système de deux équations d'ordre 1) def euler2(f,g,x0,y0,t0,t1,n): """Système x'=f(x,y,t) y'=g(x,y,t), condition initiale (t0,x0,y0), valeur finale t1, n étapes""" h = (t1-t0)/n x = np.zeros(n) y = np.zeros(n) t = t0 x[0] = x0 y[0] = y0 for i in range(n-1): x[i+1] = x[i] + h*f(x[i],y[i],t) y[i+1] = y[i] + h*g(x[i],y[i],t) t = t + h return(x,y) # exemple # y'' = 8*sin(y) - y'/5 # qu'on traduit en X' = Y et Y' = 8 sin X - Y/5 from math import * def f(x,y,t): return y def g(x,y,t): return 8*sin(x) - y/5 (x,y) = euler2(f,g,pi/2,0,0,20,10000) http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/fr/ 21/23

Pivot de Gauss # on veut résoudre AX = B, A étant n x n et supposée inversible # recherche du pivot maximal dans la colonne k, en lignes k, k+1,..., n # renvoie le numéro de la ligne du pivot def pivot(a,k,n): maxi = abs(a[k,k]) kmax = k for i in range(k+1,n): if abs(a[i,k]) > maxi: maxi = abs(a[i,k]) kmax = i return kmax def echangelignes(a,i,j,n): for k in range(n): x = A[i,k] A[i,k] = A[j,k] A[j,k] = x def pivotgauss(a,b): sa = np.shape(a) n = sa[0] assert(sa[1]==n and len(b)==n) for p in range(n): k = pivot(a,p,n) lepivot = A[k,p] if lepivot==0: return False # échange lignes p et k dans A et dans B echangelignes(a,p,k,n) b = B[k] B[k] = B[p] B[p] = b # normalisation de la ligne du pivot for j in range(n): A[p,j] = A[p,j]/lePivot B[p] = B[p]/lePivot # ligne i <- ligne i - A[i,p] * ligne du pivot for i in range(n): if i!= p: coefficient = A[i,p] for j in range(n): A[i,j] = A[i,j] - coefficient*a[p,j] B[i] = B[i] - coefficient*b[p] return B # exemple A = np.array([[1,3,2],[2,1,4],[-1,2,3.0]]) B = np.array([7,8.0,1]) pivotgauss(np.copy(a),np.copy(b)) http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/fr/ 22/23

Mises à jour Ce document est mis à jour régulièrement. La dernière version est disponible à cette adresse, où on trouvera également d'autres documents utiles : http://goo.gl/avv5t Auteurs Laurent Chéno, laurent.cheno@education.gouv.fr Judicaël Courant, judicael.courant@ac-lyon.fr Marc de Falco, marc@de-falco.fr Licence d'utilisation de ce document CC BY-SA 3.0 FR http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/fr/ http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/fr/ 23/23