Situation, données & hypothèses Les réseaux d adduction et de distribution d eau potable présentent des connexions dont la structure est de forme maillée ou ramifiée. De tels réseaux sont caractérisés par la présence de nombreux réservoirs interconnectés. La connexion simplifiée entre trois de ces réservoirs (voir figure 1) doit être modifiée dans le but d augmenter la capacité hydraulique d alimentation du réservoir inférieur. Figure 1 Caractéristiques et paramètres du réseau Le tableau des paramètres de calcul est donné ci- dessous. Cas N Hypothèses de calcul D1 [m] D2 [m] D3 [m] NIV 1 [m s.m.] NIV 2 [m s.m.] NIV 3 [m s.m.] n [%] 102 0.100 0.225 0.200 550 475 400 70 Tableau 1 Paramètres de calcul Ø Les niveaux dans les réservoirs dans constants Ø Les pertes de charges locales (embouchures et jonction) peuvent être négligées. Par contre, la perte de charge au débouché des réservoirs doit être considérée. Page 1
Questions Exercice 6 Ecoulement en charge dans un réseau d alimentation en eau potable Question 1 : Déterminer les débits dans les conduites ainsi que la charge piézométrique à l extrémité aval de la conduite 1-0 pour les conditions de la figure 1. La première itération pour tout le réseau doit se faire obligatoirement à la main, c est- à- dire avec l équation de Darcy- Weisbach et le diagramme de Moody. La différence de charge ΔH dans une conduite entre deux réservoirs est la somme des pertes linéaires (répartie) et des pertes locale (singulière). H = h! + h! Δh f causés par frottement peut être calculé avec l équation de Darcy- Weissbach. h! = f!!!!!! où f est le coefficient de frottement Le coefficient de frottement f est fonction de deux paramètres, à savoir : Ø La rugosité relative de la paroi ε =!!! Ø Le nombre de Reynold Re =!! =!!"#$%&é é!"#$%&'()'!"!"#$%!"#$%!"#$%&'()!"#$è!"#!"!"!"#$%&'( υ Pour les conduites commerciales en régime turbulent, f peut être calculé avec la formule de Colebrook- White. 1 f = 2. log[ ε 3.71 + 2.51 Re f ] Cette formule est aussi représentée dans le diagramme de Moody à disposition sur le Moodle. Δh s représente les pertes de charges singulières au débouché des réservoirs. Il peut donc se calculer ainsi. h! = m!! où m=1 pour les conduites qui reçoivent!! Le but de la question est de déterminer Q 1,Q 2,Q 3 et H 0. Comme la charge piézométrique en 0 n est pas encore connue, il subsiste des interrogations concernant le fonctionnement des trois réservoirs. En effet, la conduite 2 peut : Ø Etre alimenté par le réservoir 1 Ø Alimenté elle- même le réservoir 3 Pour déterminer quel est le système d approvisionnement des réservoirs, on effectue une 1 ère itération à la main. On admet que H 0 = H 2 = 450 m s.m. Cela engendre donc l absence d écoulement dans la conduite 2 et donc diminue le nombre d inconnu initial. Page 2
On prend Q = 1m 3 /s dans les conduites 1 et 3. On peut donc à l aide des formules suivantes en déduire les vitesses dans les conduites respectives et le nombre de Reynold correspondant. v =!!!!! Re =!!! v 1 (m/s) v 3 (m/s) Re 1 Re 3 127.3239545 31.83098862 9.65E+06 4.82E+06 On peut calculer la rugosité relative pour les deux conduites avec ε =!!!. On a k s = 0.03mm. On trouve ε = 3.00E- 04 pour la conduite 1 et ε = 1.50E- 04 pour la conduite 3. On peut lire les valeurs de f correspondante à l aide du diagramme de Moody (ou solveur excel). Ø Conduite 1 : f = 0.015010956 Ø Conduite 3 : f = 0.013228745 H = h! + h! peut- être réécrite sous la forme suivante afin de pouvoir déterminer la vitesse dans les conduites. v = H. 2. g f. L D + m On trouve avec cette formule les vitesses suivante. v 1 (ΔH = NIV 1 H 0 = 75 [m]) = 2.213915082 [m/s] et v 3 (ΔH = H 0 - NIV 3= 75 [m]) = 2.353892429 [m/s]. On réinjecte (2 ème frottement f. itération) ces vitesses dans Re pour trouver les nouveaux coefficients de Ø Conduite 1 : f = 0.018103785 (Re= 1.67E+05) Ø Conduite 3 : f = 0.015519529 (Re = 3.57E+05) Les vitesses correspondantes sont : v 1 (ΔH = NIV 1 H 0 = 75 [m]) = 2.015953199 [m/s] et v 3 (ΔH = H 0 - NIV 3= 75 [m]) = 2.173839122 [m/s]. On réinjecte (3 ème frottement f. itération) ces vitesses dans Re pour trouver les nouveaux coefficients de Ø Conduite 1 : f = 0.018323845 (Re= 1.53E+05) Ø Conduite 3 : f = 0.015669256 (Re= 3.29E+05) Les vitesses correspondantes sont : v 1 = 2.003811333[m/s] et v 3 = 2.163461383 [m/s]. La convergence est admissible. Les débits sont donc : Q 1 = 0.015716469 [m 3 /s] et Q 3 = 0.067967144 [m 3 /s]. Page 3
Comme Q 3 >Q 1, on peut en déduire que la conduite 2 alimente le réservoir3. Donc au point 0, la charge est plus petite que la charge au point 2 : H 0 <H 2. Ceci est nécessaire pour garantir l écoulement 2-0 à travers la conduite 2. En augmentant au fur et à mesure H 0, et en calculant les débits dans les différentes conduites par l équivalente entre la perte de charge et les pertes dues au frottement, on peut trouver H 0. En effet, le principe de continuité nous donne une relation supplémentaire au point 0, à savoir :! Q! = 0. Dans notre cas, nous avons Q1+Q2- Q3=0 car le réservoir 1 alimente le réservoir 3 et le réservoir 2 alimente aussi le réservoir 3. Cette relation n est vérifiée que pour une valeur unique de H 0. Une macro basée sur les formules de Darcy- Weisbach, de Colebrook et White permettant le calcul de f nous est fourni sur Excel. Nous lui ajoutons les critères pour le contrôle de la charge et du débit et on obtient les résultats suivant. Attention à changer le facteur «somme coeff» qui vaut 0 pour les conduites 1 et 2, 1 pour les conduites 3. H 0 [m] Q 1 [m 3 /s] Q 2 [m 3 /s] Q 3 [m 3 /s] 461.1813304 0.017219275 0.043726073 0.060945348 Page 4
Question 2 : Quelle devrait être l altitude du point 0 pour disposer à cet endroit d une pression supérieure ou égale à 33 m c.e. (mètre colonne d eau)? On a que H! = z! + hauteur de colonne d eau avec z 0 = altitude. Pour disposer au point 0 d une pression supérieure ou égale à 33 m c.e. sachant qu à la question 1 nous avons trouvé une charge piézométrique au point 0 de 461.1813304m, l altitude nécessaire du point 0 vaut : z! = H! 33m = 428.1813304m Question 3 : Quel est le régime d écoulement dans les diverses conduites? Pour déterminer le régime d écoulement dans les différentes conduites, nous avons deux possibilités. 1. Calculer le nombre de Reynolds dans les différentes conduites. On distingue l écoulement laminaire de l écoulement turbulent. Pour l écoulement laminaire, les lignes de courant sont parallèles contrairement à l écoulement turbulent ou les trajectoires sont aléatoires. Osborne Reynolds a trouvé que la transition entre ces deux régimes d écoulement s effectue pour un nombre de Reynold supérieur à 2300. Il est important de noter qu on a généralement un régime turbulent dans les conduites des constructions hydrauliques. Conduite n Nombre de Reynold Régime d écoulement 1 166092.8907 turbulent 2 1.87E+05 turbulent 3 2.94E+05 turbulent 2. Regarder sur le diagramme de Moody dans quel régime d écoulement on est. Conduite n Nombre de Reynold Régime d écoulement 1 166092.8907 transitoire 2 1.87E+05 transitoire 3 2.94E+05 transitoire On peut dire qu on aboutit à des résultats assez différents selon la méthode. Sur le diagramme de Moody, le régime «fully turbulent» est atteint à partir d un nombre de Reynolds de 10 7 pour une rugosité faible comme dans notre cas. Mais on remarquera aussi que le régime transitoire comporte aussi d importantes turbulences. Page 5
Question 4 : Que faire pour augmenter de n % (70 %) le débit d alimentation du bassin inférieur à partir du point 0? Pour augmenter le débit d alimentation trois possibilités s offrent à nous. 1. Augmenter le diamètre de la conduite existante 2. Créer une deuxième conduite depuis le point 0 3. Diminuer la rugosité de la conduite existante Pour des raisons économiques et pour ne pas interrompre l exploitation de la conduite 3, on opte pour la 2 ème solution qui est la construction d une nouvelle conduite parallèle à l existante et ayant des caractéristiques similaires (même rugosité, longueur, ) mais un diamètre différent. On fera pour hypothèse simplificatrice que cette augmentation du débit d alimentation du bassin inférieur (réservoir 3) n a aucun impact sur le reste du réseau et que ce surplus peut être fourni. Les changements à effectuer n auront donc lieu que sur la conduite 3, pour une charge au point 0 admise constante. Selon mes paramètres de calcul, je dois augmenter de 90% le débit d installation. Le nouveau débit d alimentation du bassin inférieur à fournir est de : 1 + n Q! = 0.086688396m 3 /s. La nouvelle conduite doit avoir un débit de 0.035695222m 3 /s. On trouve un diamètre pour la nouvelle conduite de d= 0.17479605m. Page 6
Données de bases 1ère itération main 2ème itération main Longueur 1 L1 [m] 2000 v1 127.323954 v1 2.21391508 Longueur 2 L2 [m] 3000 v3 31.8309886 v3 2.35389243 Longueur 3 L3 [m] 4000 Re1 9.65E+06 Re1 1.68E+05 Diamètre 1 D1 [m] 0.1 Re3 4.82E+06 Re3 3.57E+05 Diamètre 2 D2 [m] 0.225 ε1 3.00E- 04 f1 0.01810378 Diamètre 3 D3 [m] 0.2 ε3 1.50E- 04 f3 0.01551953 Surface 1 S1 [m2] 0.007853982 Colebrook White - 2.2786E- 07 Surface 2 S2 [m2] 0.039760782 f 0.01566926 3ème itération main Surface 3 S3 [m2] 0.031415927 ε 0.00015 v1 2.0159532 Niveau 1 H1 [m] 500 Re 329369.564 v3 2.17383912 Niveau 2 H2 [m] 450 f1 0.01501096 Re1 1.53E+05 Niveau 3 H3 [m] 400 f3 0.01322875 Re3 3.29E+05 Pourcentage d'augmentation n [%] 90 f1 0.01832385 Gravité g [m/s2] 9.81 f3 0.01566926 Rugosité k [m] 3.00E- 05 Viscosité cinématique ν [m2/s] 1.32E- 06 4ème itération main v1 2.00381133 v2 2.16346138 Q1 0.0157379 Q3 0.06796714 Calcul du coefficient de frottement d'après la formule de Coolebrook-White Q1 [m 3 /s] 0.017219275 Q2 [m 3 /s] 0.043726073 Q3 [m 3 /s] 0.0609453 D [m] 0.1 D [m] 0.225 D [m] 0.2 L [m] 2000 L [m] 3000 L [m] 4000 ks [m] 3.00E-05 ks [m] 3.00E-05 ks [m] 3.00E-05 ν [m 2 /s] 1.32E-06 ν [m 2 /s] 1.32E-06 ν [m 2 /s] 1.32E-06 S [m 2 ] 0.0079 S [m 2 ] 0.0398 S [m 2 ] 0.0314 U [m/s] 2.192 U [m/s] 1.100 U [m/s] 1.940 Epsilon, ks/d [-] 0.0003 Epsilon, ks/d [-] 0.0001 Epsilon, ks/d [-] 0.0002 Reynolds [-] 1.66.E+05 Reynolds [-] 1.87.E+05 Reynolds [-] 2.94.E+05 Coeff. frott. f [-] 0.0181 Coeff. frott. f [-] 0.0168 Coeff. frott. f [-] 0.0159 Pertes de charge linéaires Pertes de charge linéaires Pertes de charge linéaires dhl [m] 88.819 dhl [m] 13.819 dhl [m] 60.990 Pertes de charge singulières Pertes de charge singulières Pertes de charge singulières Somme coeff. 0 Somme coeff. 0 Somme coeff. 1 dhs [m] 0.000 dhs [m] 0.000 dhs [m] 0.192 Pertes de charge totales Pertes de charge totales Pertes de charge totales dhtot [m] 88.819 dhtot [m] 13.819 dhtot [m] 61.181 contrôle charges H1 550 dh1 88.8186696 0.00 Contrôle des débits H2 475 dh2 13.8186696 0.00 0.00000 H3 400 dh3 61.1813304 0.00 H0 461.1813304 0.000000000058 Question 2 Question 3 z0 428.1813304 Re1 166092.8907 Re2 1.87E+05 Re3 2.94E+05 Surface 1 S1 [m2] 0.007854 Surface 2 S2 [m2] 0.039761 Surface 3 S3 [m2] 0.031416 Calcul du coefficient de frottement d'après la formule de Coolebrook-White Q1 [m 3 /s] 0.018936816 Q2 [m 3 /s] 0.06775157 Q3 [m 3 /s] 0.0509932 0.086688396 Q4 [m 3 /s] 0.035695222 D [m] 0.1 D [m] 0.225 D [m] 0.2 D [m] 0.17479605 L [m] 2000 L [m] 3000 L [m] 4000 L [m] 4000 ks [m] 3.00E-05 ks [m] 3.00E-05 ks [m] 3.00E-05 ks [m] 3.00E-05 ν [m 2 /s] 1.32E-06 ν [m 2 /s] 1.32E-06 ν [m 2 /s] 1.32E-06 ν [m 2 /s] 1.32E-06 S [m 2 ] 0.0079 S [m 2 ] 0.0398 S [m 2 ] 0.0314 S [m 2 ] 0.0240 U [m/s] 2.411 U [m/s] 1.704 U [m/s] 1.623 U [m/s] 1.487 Epsilon, ks/d [-] 0.0003 Epsilon, ks/d [-] 0.0001 Epsilon, ks/d [-] 0.0002 Epsilon, ks/d [-] 0.0002 Reynolds [-] 1.83.E+05 Reynolds [-] 2.90.E+05 Reynolds [-] 2.46.E+05 Reynolds [-] 1.97.E+05 Coeff. frott. f [-] 0.0179 Coeff. frott. f [-] 0.0158 Coeff. frott. f [-] 0.0163 Coeff. frott. f [-] 0.0169 Pertes de charge linéaires Pertes de charge linéaires Pertes de charge linéaires Pertes de charge linéaires dhl [m] 106.156 dhl [m] 31.148 dhl [m] 43.719 dhl [m] 43.736 Pertes de charge singulières Pertes de charge singulières Pertes de charge singulières Pertes de charge singulières Somme coeff. 0 Somme coeff. 0 Somme coeff. 1 Somme coeff. 1 dhs [m] 0.000 dhs [m] 0.000 dhs [m] 0.134 dhs [m] 0.113 Pertes de charge totales Pertes de charge totales Pertes de charge totales Pertes de charge totales dhtot [m] 106.156 dhtot [m] 31.148 dhtot [m] 43.853 dhtot [m] 43.848 contrôle charges H1 550 dh1 106.1479028 0.01 Contrôle des débits H2 475 dh2 31.1479028 0.00 0.00000 H3 400 dh3 43.8520972 0.00 H0 443.8520972 dh4 43.8520972-0.00374671859 0.000080810783 Question 2 Question 3 Question 4 z0 (1+n)*Q3 471.195 0.0586756 Q4 0.0277937 Re1 45664.96766 Re2 4.80E+05 71.19521 Re3 4.37E+05 Surface [m2] 1 S1 0.031416 Surface 2 S2 [m2] 0.024053 Surface 3 S3 [m2] 0.017671 Page 7