Thème : intégration d'un outil logiciel Présentation du thème Introduit dés l'école élémentaire (par exemple avec l'utilisation de la calculatrice) De plus en plus important au cours de la scolarité (grâce à des outils logiciels de plus en plus diversifiés) Aucun chapitre dédié dans les programmes, mais mentionné dans : L'introduction commune du collège et préambule pour le collège pour les mathématiques L'introduction des programme des classes du lycée En lien avec toutes les parties des programmes grâce aux nombreux supports et logiciels disponibles (calculatrice, tableur, logiciels de géométrie dynamique, langages de programmation...) A deux but principaux, l'aide à la démonstration (par exemple en émettant une conjecture grâce à un logiciel de géométrie dynamique) et accélérer les phases calculatoires (par exemple en utilisant un algorithme itératif dans le cas de suites récurrentes) Présentation de sujet Propose de comparer deux méthodes pour démontrer une même propriété (ce qui à pour originalité d'être proche du métier de professeur qui impose de faire des choix d'exercices en fonction des compétences à mobiliser )
Présentation de l'exercice Niveau Terminale S La première partie de l'exercice permet de démontrer grâce à l'utilisation d'un logiciel de calcul formel une propriété La seconde partie permet de démontrer la même propriété grâce à de la géométrie dans l'espace QUESTION 1 Méthode 1(utilisation d'un logiciel de calcul formel) Compétences mobilisés Être capable de réinvestir des résultats partiels Manipuler une inéquation algébrique. Inconvénients Peu d'initiative laisser aux élèves (l'utilisation du logiciel de calcul formel est trop guidée, trop inattendue) Méthode 2(utilisation de la géométrie dans l'espace) Compétences mobilisés Connaître des résultats de résultats de géométrie dans l'espace (où savoir les retrouver) et être capable de les réinvestir (notamment les distance plan / point et point / point) Être capable de surmonter la difficulté de travailler dans l'espace (notamment se la difficulté de représentation de la situation) Inconvénients Pas d'utilisation de logiciel alors qu'un logiciel de géométrie dynamique permettrai de mieux représenter la situation et ainsi de laisser plus d'initiative aux élèves en supprimant des questions
QUESTION 2 au tableau et fichier geospace 2)a)Bien que non explicitement au programme, nous allons utiliser une propriété classiquement démontrée lors d'exercices qui donne la distance d'un point à un plan. Nous avons alors directement d OP = 1 3 = 1 3 2)b) Considérons le point que le point R appartient au plan P, c'est à dire x+y+z=1, et donc d 0R d OP (par propriété de la distance d'un point à un plan) d'où les distances étant positives d 2 2 0R d OP, c'est à dire x 2 + y 2 + z 2 1 3 On a bien x+ y+ z=1 x 2 + y 2 + z 2 1 3 3)Pour montrer que la propriété n'est pas une équivalence il nous suffit d'exhiber un contre exemple, comme le point S(1;1;1). De plus nous pouvons préciser que l'ensemble des points tels que x 2 + y 2 + z 2 1 3 est l'ensemble des points extérieurs à la boule de centre O et de rayons 1/3, alors que l'ensemble des points tels que x+y+z=1 est un plan. Dire que la propriété est une équivalence reviendrai donc à dire que l'ensemble des points extérieur à une boule appartiennent à un même plan, ce qui est évidemment faux
QUESTION 3 : proposition de 3 exercices Exercice 1 (niveau 6 ème ) Dans un entrepôt, on doit placer 8 boites sur 2 étagères qui peuvent chacune supporter 2000kg. Sachant que l'on ne peut pas placer plus de 4 boites par étagères et que les boites numérotées de 1 à 8 pèsent: B1:405kg, B2: 152kg, B3: 822kg, B4:503kg, B5:505kg, B6: 373kg, B7: 304kg, B8:712kg Comment doit-on placer les boites sur les 2 étagères? Intérêt de l exercice Montrer que l'on peut résoudre efficacement un problème concret en utilisant de manière pertinente un outil, ici une calculatrice. Exercice 2 (niveau 2nd) Parmi les rectangles de périmètre 100, y en a-t-il un dont l'aire soit maximale? Dans un premier temps, l'utilisation du logiciel geogebra pourra permettre d émettre une conjecture. Intérêts de l exercice La modélisation du problème est laissée entièrement à l'initiative des élèves Il s'agit d'un problème optimisation qui à une place importante en seconde en lien direct avec les fonctions polynôme de second degré. Même si certains élèves ne peuvent résoudre le problème il pourront cependant quand même conjecturer le résultat
Exercice 3 (niveau TS) Une entreprise du secteur B.T.P. (Bâtiments et Travaux Publics) doit réduire la quantité de déchets qu elle rejette pour respecter une nouvelle norme environnementale. Elle s engage, à terme, à rejeter moins de 20 000 tonnes de déchets par an. En 2005, cette entreprise rejetait 40 000 tonnes de déchets par an. Depuis cette date, chaque année : l entreprise réduit la quantité de déchets qu elle rejette de 5 % l entreprise produit 200 tonnes de déchets supplémentaires en raison du développement de nouvelles activités. Pour tout entier naturel n, on note Un la quantité, en tonnes, de déchets rejetés pour l année (2005 + n), on a donc U 0 = 40000 1. Justifier que pour tout entier naturel n on a U n+1 = 0,95 U n + 200 2. On fournit l algorithme suivant, réalisé avec le logiciel Algobox : a) Supposons que l on fournisse la valeur n = 4 en entrée Quelle est la valeur de U affichée en sortie d algorithme? Arrondir le résultat, si nécessaire, à l unité près. b) Soit n un entier naturel quelconque, fourni en entrée dans cet algorithme. Quel est le rôle de cet algorithme? 3. Etude d une suite auxiliaire : la suite Vn définie pour tout entier naturel n, par Vn = Un - 4000 a) Montrer que la suite Vn est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme. b) Exprimer Vn en fonction de n.
c) En déduire que pour tout entier naturel n, on a Un = 36000x 0,95 n + 4000 d) Calculer une estimation, arrondie à l unité près, de la quantité de déchets rejetée en tonnes par cette entreprise en 2012. e) Préciser la limite de la suite Vn, en justifiant. En déduire la limite de la suite Un Interpréter le résultat obtenu. 4. Déterminer l année à partir de laquelle l entreprise réalisera son objectif, à savoir, rejeter moins de 20 000 de déchets par an. Intérêts de l exercice Travailler sur une suite arithmético-géométrique en utilisant deux méthodes différentes, d'abord un outil logiciel puis l'introduction d'une suite auxiliaire