Chapitre 1 : La physique nucléaire Exercices E1. On utilise l équation 1.1. (a) Pour le nuclide 16 8O, avec A 16, on obtient R 1,A 1/3 fm 1, (16) 1/3 fm 3,0 fm (b) Pour le nuclide 56 6Fe, avec A 56, on obtient R 1, (56) 1/3 fm 4,59 fm (c) Pour le nuclide 38 9U, avec A 38, on obtient R 1, (38) 1/3 fm 7,44 fm E. On donne R T 6400 km et ρ T 5500 kg/m 3. La masse de la Terre est m T ρ T V T ρ T 4 3 πr3 T 4 3 (5500) π 6400 10 3 3 6,04 10 4 kg On cherche le rayon d une sphère possédant la même masse, mais pour laquelle la masse volumique est ρ n,3 10 17 kg/m 3. Si on inverse l équation utilisée, on obtient µ 1/3 1/3 R n 3mT 3(6,04 10 4πρ 4 ) n 4π(,3 10 17 ) 184 m E3. La masse du Soleil est m S 1,99 10 30 kg. Avec un rayon égal à R é 10km, on trouve m S ρ é V é ρ 4 é 3 é πr3 ρé m S 4 3m S 3(1,99 1030 ) 4,75 10 17 kg/m 3 3 πr3 4πR 3 é é 4π(10 10 3 ) 4 Il s agit d une masse volumique plus élevée que celle de la matière nucléaire donnée à l exercice. E4. Le rayon d une sphère de même masse que l Univers m Un 10 50 kg et formée d une matière de densité nucléaire ρ 3 n,3 10 17 kg/m est µ 1/3 1/3 R Un 3mUn 3(10 4πρ 50 ) n 4π(,3 10 ) 4,70 10 10 m 17 E5. Pour doubler le rayon du noyau, il faut augmenter le nombre de masse par le facteur suivant : R R 1 1,A1/3 1,A 1/3 1 A1/3 A 1/3 1 A A 1 8,00 E6. On calcule le rayon du nuclide 35 9U dans l hypothèse où il a la même densité que celle de la Terre, soit ρ T 5500 kg/m 3, de la façon suivante. On calcule d abord la masse de l isotope grâce à l information qu on trouve dans l annexe E : m U 35,04 u 35,04 1,661 10 7 kg 3,90 10 5 kg Ensuite, on calcule son rayon : v3 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre 1 : La physique nucléaire 1
µ 1/3 1/3 R U 3mU 3(3,90 10 4πρ 5 ) T 4π(5500),57 10 10 m E7. L abondance relative des deux isotopes du cuivre, 63 9Cu et 65 9Cu, qui forment la masse atomique pondérée du cuivre (m Cu 63,55 u), se calcule d après la moyenne pondérée des masses atomiques isotopiques respectives de 6,93 u et 64,93 u, données à l annexe E: m Cu xm63 9 Cu +(1 x) m65 9Cu 63,55 u x (6,93 u)+(1 x)(64,93 u) 63,55 6,93x +64,93 64,93x,00x 64,93 63,55 1,38 x 0,69 1 x 0,31 Ainsi, l abondance relative est de 69,0 %de 63 9Cu et de 31,0 %de 65 9 Cu. E8. Les abondances relatives des deux isotopes principaux du néon, 0 10Ne et 10Ne, sont respectivement de x 0,91 et de 1 x 0,09. La masse de chacun de ces isotopes est donnée à l annexe E, soit m0 10 Ne 19,99 uetm 10Ne 1,991 u. La masse atomique approximative du néon est, si l on ne considère que ces deux isotopes m Ne xm0 10 Ne +(1 x) m 10Ne (0,91) (19,99 u)+(0,09) (1,991 u) 0, u Ce résultat correspond bien à la masse atomique du néon telle que l indique le tableau périodique de l annexe D. E9. (a) On calcule le rayon de l isotope d or (A 197) au moyen de l équation 1.1 R Au 1,A 1/3 fm 1, (197) 1/3 fm 6,98 fm (b) On considère la charge du noyau d or (79e) concentrée en son centre. Une particule α de rayon R α 1,8 fm et de charge e arrive à proximité du noyau d or et parvient à toucher sa surface. L énergie cinétique initiale de la particule α est convertie en énergie potentielle électrique, ce qui donne K K f K i K i et K U E kq Auq α r k(79e)(e) (R Au +R α ) K i (9 109 )(79)()(1,6 10 19 ) 1 ev 5,9 MeV (6,98 10 15 )+(1,8 10 15 ) 1,6 10 19 J E10. On calcule la charge par unité de volume, ou densité volumique de charge, en établissant le rapport entre la charge du nuclide et son volume. On donne q Fe 6e et A 56. On calcule d abord le rayon du nuclide avec l équation 1.1 : R Fe 1,A 1/3 fm 1,(56) 1/3 fm 4,59 fm On calcule ensuite la charge par unité de volume : ρ q Fe V Fe q Fe 4 3 πr3 Fe 3q Fe 4πR 3 Fe 3(6)(1,6 10 19 ) 4π(4,59 10 15 ) 3 1,03 10 5 C/m 3 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre 1 : La physique nucléaire v3
E11. On calcule l énergie de liaison par nucléon au moyen de l équation 1.b, endivisant par A, le nombre de masse de l isotope : A c A [Zm H + Nm n m X ] Selon l annexe E, m H 1,00785 u, et m n 1,008665 u. Rappelons que N A Z et que u. (a) Pour cet isotope du calcium, avec N 40et m40 0 Ca 39,96591 u, selon l annexe E, on obtient A 40 c [(0) (1,00785 u) + (0) (1,008665 u) (39,96591 u)] A 40 c (0,36709 u) c 40 (0,36709) 8,55 MeV (b) Pour cet isotope d or, avec N 118 et m197 79 Au obtient 196,966543 u, selon l annexe E, on A c 197 [(79) (1,00785 u) + (118) (1,008665 u) (196,966543 u)] A c c 197 (1,67410 u) 197 (1,67410) 7,9 MeV E1. On utilise la méthode présentée à l exercice 11. (a) Pour cet isotope de lithium, avec N 3et m6 3 Li 6,01511 u, selon l annexe E, on obtient A c 6 [(3) (1,00785 u)+(3)(1,008665 u) (6,01511 u)] A c 6 (0,034349 u) c 6 (0,034349) 5,33 MeV (b) Pour cet isotope de césium, avec N 78et m133 55 Cs 13,90549 u, selon l annexe E, on obtient A c 133 [(55) (1,00785 u) + (78) (1,008665 u) (13,90549 u)] A c c 133 (1,00816 u) 133 (1,00816) 8,41 MeV E13. On calcule l énergie de liaison par nucléon au moyen de l équation 1.b : [Zm H + Nm n m X ] Selon l annexe E, m H 1,00785 u, et m n 1,008665 u. Rappelons que N A Z et que u. (a) Pour cet isotope de carbone, avec N 7et m13 6 C 13,003355 u, selon l annexe E, on obtient [(6) (1,00785 u)+(7)(1,008665 u) (13,003355 u)] (0,1045 u) (0,1045) 97,1 MeV v3 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre 1 : La physique nucléaire 3
(b) Pour cet isotope d azote, avec N 6et m13 7 N 13,005739 u, selon l annexe E, on obtient [(7) (1,00785 u)+(6)(1,008665 u) (13,005739 u)] (0,10106 u) (0,10106) 94,1 MeV E14. On utilise la méthode présentée à l exercice 13. (a) Pour cet isotope d azote, avec N 8et m15 7 N 15,000109 u, selon l annexe E, on obtient [(7) (1,00785 u)+(8)(1,008665 u) (15,000109 u)] (0,13986 u) (0,13986) 115 MeV (b) Pour cet isotope d oxygène, avec N 7et m15 8 O 15,003066 u, on obtient [(8) (1,00785 u)+(7)(1,008665 u) (15,003066 u)] (0,10189 u) (0,10189) c 11 MeV E15. (a) On calcule l énergie requise pour enlever un neutron au nuclide 7 3Li en évaluant la différence entre son énergie de liaison et celle de l isotope qu il deviendra, 6 3Li. On utilise pour ce faire l équation 1.b : E 73 Li E 63 Li h i h i 3m H +4m n m7 3 Li 3m H +3m n m6 3 Li i hm n m73 Li + m63 Li Les masses nécessaires sont données à l annexe E, de sorte que [(1,008665 u) (7,016003 u)+(6,01511 u)] (0,007783 u) (0,007783) c 7,5 MeV (b) On utilise la méthode présentée à l exercice 11. Pour cet isotope de lithium, avec N 4 et m7 3 Li A c 7 7,016003 u, selon l annexe E, on trouve [(3) (1,00785 u)+(4)(1,008665 u) (7,016003 u)] A c 7 (0,0413 u) c 7 (0,0413) 5,61 MeV Le rapport entre le résultat obtenu en (a) et l énergie de liaison par nucléon donne E (a) E liaison 7,5 MeV 5,61 MeV E (a) E liaison 1,9 E16. (a)oncalculel énergierequisepourenleverunprotonaunuclide 1 6 Cenévaluantladifférence entre son énergie de liaison et celle de l isotope qu il deviendra, 11 5B. On utilise pour ce faire l équation 1.b : E 16 C E 115 B h i h i 6m H +6m n m1 6 C 5m H +6m n m11 5 B i hm H m16 C + m115 B Les masses nécessaires sont données à l annexe E, de sorte que 4 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre 1 : La physique nucléaire v3
[(1,00785 u) (1 u)+(11,009305 u)] (0,017175 u) (0,017175) 16,0 MeV (b) On utilise la méthode présentée à l exercice 11. Pour cet isotope de carbone, avec N 6 et m1 6 C 1u, on calcule A c 1 [(6) (1,00785 u)+(6)(1,008665 u) (1 u)] A c 1 (0,09894 u) c 1 (0,09894) 7,68 MeV Le rapport entre le résultat obtenu en (a) et l énergie de liaison par nucléon donne E (a) E liaison 16,0 MeV 7,68 MeV E (a) E liaison,08 E17. On suit le même raisonnement qu à l exemple 1.5 du manuel. On calcule d abord N 0 d après la fraction de mole m 0,01 getdem 60g/mole, la masse molaire du cobalt. N 0 mn A M (0,01 g)(6,0 103 atomes/mol) 60 g/mol 1,0037 10 0 atomes On calcule ensuite la constante de désintégration au moyen de T 1/ 5,7 a: λ 0,693 T 1/ 0,693 (5,7)(3,156 10 7 ) 4,167 10 9 s 1 Finalement, on calcule le taux initial de désintégration avec l équation 1.7, ce qui donne R 0 λn 0 4,167 10 9 1,0037 10 0 4,18 10 11 Bq E18. On suit le même raisonnement qu à l exemple 1.5 du manuel. On calcule d abord N 0 d après la fraction de mole m 0,001 getdem 3g/mole, la masse molaire du phosphore, ce qui donne N 0 mn A M (0,001 g)(6,0 103 atomes/mol) 3 g/mol 1,88 10 19 atomes On calcule ensuite la constante de désintégration en fonction de T 1/ 14,3 jours : λ 0,693 T 1/ 0,693 (14,3)(86400) 5,609 10 7 s 1 Finalement, on calcule le taux initial de désintégration avec l équation 1.7 : R 0 λn 0 5,609 10 7 1,88 10 19 1,06 10 13 Bq E19. Connaissant le taux initial de désintégration R 0 30 Bq du radon 86Rn et la demi-vie T 1/ 3,8 jours, on calcule le nombre initial N 0 d atomes dans l échantillon : λ 0,693 0,693 T 1/ (3,8)(86400),10 10 6 s 1 R 0 λn 0 N 0 R 0 30 λ 1,54 10,10 10 8 atomes 6 Compte tenu de la décroissance exponentielle, on calcule le nombre d atomes après t 1jour et on obtient N N 0 e λt 1,54 10 8 e (,10 10 6 )(86400) 1,7 10 8 atomes v3 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre 1 : La physique nucléaire 5
E0. Pour qu un noyau X soit instable par rapport à la désintégration α, rendant ainsi possible l émission d une particule α, il faut que sa masse soit supérieure à la somme des masses des produits Y + α, ou encore que l énergie de désintégration Q soit supérieure à zéro, c est-à-dire Q (m X m Y m He ) > 0 dans laquelle m He 4,00603 u; la masse des isotopes X et Y est donnée à l annexe E. (a) On trouve l énergie libérée par la désintégration α du 8 4Be d après la réaction 8 4 Be 4 He + 4 He : Q m84 Be m4 He m4 He ((8,005305 u) (4,00603 u) (4,00603 u)) Q (0,000099 u) (0,000099) 9, kev (b) On calcule l énergie libérée par l émission de trois particules α par le nuclide 1 6 Cau moyen de la réaction 1 6 C 4 He + 4 He + 4 He : Q 3m4 He ((1 u) 3(4,00603 u)) m16 C Q ( 0,007809 u) ( 0,007809) 7,7 kev Comme Q<0, on en conclut que, non, ce processus n est pas possible. E1. L émission d un positon est possible pour un noyau X s il est instable par rapport à la désintégration β +. Il faut pour ce faire que l énergie de désintégration Q soit supérieure à zéro, c est-à-dire Q (m X m Y m e ) > 0 dans laquelle, étant donné que la transformation s opère sans modification de la charge, on ajoute deux électrons de masse : m e 9,1094 10 31 kg 1 u 1,660540 10 7 kg La masse des isotopes X et Y est donnée à l annexe E. 5,486 10 4 u Si le nuclide 11 6 C émet un positon, le nuclide restant est le 11 5B, et l énergie de désintégration est Q m11 5 C m11 5 B m e Q (11,011434 u) (11,009305 u) 5,486 10 4 u Q (0,00103 u) (0,00103) 0,961 MeV On en conclut que, oui, la production de 11 5B est possible. E. On calcule le nombre initial N 0 d atomes dans un échantillon de 1 m contenant une 6 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre 1 : La physique nucléaire v3
masse m 1µg de 90 38 Sr dont la demi-vie est T 1/ 8,8 a: N 0 mn A M (1 10 6 g)(6,0 10 3 atomes/mol) 90 g/mol 6,691 10 15 atomes On calcule ensuite la constante de désintégration : λ 0,693 T 1/ 0,693 (8,8)(3,156 10 7 ) 7,64 10 10 s 1 On calcule le taux initial de désintégration par unité de surface avec l équation 1.7 : R 0 λn 0 7,64 10 10 6,691 10 15 5,10 10 6 Bq On cherche le temps nécessaire t pour que le taux de désintégration par unité de surface devienne R 1µCi 1 10 6 3,7 10 10 Bq 3,7 10 4 Bq On calcule t avec l équation 1.7 : R R 0 e λt λt ln R t ln R0 RR0 λ µ 3,7 10 ln 4 5,10 10 6 7,64 10 10 1 a 3,156 10 7 s 05 a E3. (a) On donne R R 0 9 µci 15 µci 0,6 au bout d un temps t,5 h. On calcule d abord la constante de désintégration avec l équation 1.7, puis la demi-vie : R R 0 e λt λ ln RR0 t ln(0,6) (,5)(3600) 5,676 10 5 s 1 T 1/ 0,693 λ 0,693 5,676 10 1, 10 4 s 5 (b)onsaitquer 0 15µCi 15 10 6 3,7 10 10 Bq 5,55 10 5 Bq et que N 0 R 0 λ 5,55 105 9,78 10 5,676 10 9 atomes 5 E4. On calcule le nombre initial N 0 d atomes dans un échantillon contenant une masse m 1gde 39 94 Pu dont la demi-vie est T 1/,41 10 4 a: N 0 mn A M (1 g)(6,0 103 atomes/mol) 39 g/mol,5 10 1 atomes On calcule ensuite la constante de désintégration : λ 0,693 T 1/ 0,693 (,41 10 4 )(3,156 10 7 ) 9,111 10 13 s 1 Finalement, on calcule le taux initial de désintégration avec l équation 1.7 : R 0 λn 0 9,111 10 13,5 10 1 6,1 10 Ci 1 Ci 3,7 10 10 Bq E5. OncalculelenombreinitialN 0 d atomes de 14 6C dans un échantillon contenant une masse m 80gdecarbone.Lademi-viedu 14 6 CestT 1/ 5730 a. On suppose que le rapport en nombre des isotopes 14 6 C/1 6 Cestf 1,3 10 1 et qu il est resté constant dans l atmosphère. En raisonnant comme à l exemple 1.6, on obtient N 0 f mna M 1,3 10 1 (80 g)(6,0 10 3 atomes/mol) 1 g/mol 5, 10 1 atomes v3 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre 1 : La physique nucléaire 7
On calcule ensuite la constante de désintégration : λ 0,693 0,693 T 1/ (5730)(3,156 10 7 ) 3,83 10 1 s 1 On calcule le taux initial de désintégration avec l équation 1.7 : R 0 λn 0 3,83 10 1 5, 10 1 0,00 Bq Au moyen du taux actuel de désintégration R 0,75 Bq, on calcule l âge de l échantillon d os, compte tenu de la décroissance exponentielle : R R 0 e λt λt ln RR0 t ln µ R 0,75 ln R 0 0,00 λ 3,83 10 1 1 a 3,156 10 7 s,71 10 4 a E6. La série de l uranium est un ensemble de processus de désintégration α et β qui agissent successivement sur les nuclides intermédiaires de la chaîne à partir de 38 9U. En fonction de chaque désintégration, on identifie les éléments de la série : 38 9 U 34 α 90 Th 34 91 Pa 34 9 U 30 β β α 90 Th E7. Une série est un ensemble de processus de désintégration α et β. Elle peut s écrire A A0 ZX Z Y, où A 0 <Aet Z 0 <Z.Pour la série de l actinium, on a 35 0 9U 07 8Pb, où A A 0 35 07 8, ce qui implique l émission de n α particules α avec la diminution correspondante de charge : n α A A0 4 8 4 7et Z α n α 14 Comme la charge finale Z 0 8diffère de Z + Z α 9 14 78, il faut qu intervienne un nombre n β de désintégrations β : n β Z 0 (Z + Z α )8 78 4 Il y a donc au total émission de 7 particules α et de 4 électrons. E8. Le taux initial de désintégration d un échantillon de 131 53 I, de demi-vie T 1/ 8,0 jours, s élève à R 0 0, Ci. (a) En fonction du taux initial de désintégration, on calcule le nombre initial d atomes : λ 0,693 T 1/ 0,693 (8,0)(86400) 1,000 10 6 s 1 µ 3,7 10 (0, Ci) 10 Bq 1 Ci R 0 λn 0 N 0 R 0 λ 7,400 10 1,000 10 15 atomes 6 On calcule finalement la masse de l échantillon en utilisant la relation établie à l exemple 1.5 : N 0 mn A M m MN 0 N A (131 g/mol)(7,400 1015 atomes) (6,0 10 3 atomes/mol) 1,61 µg 8 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre 1 : La physique nucléaire v3
(b)le nombre de noyaux présents après 10 jours s obtient au moyen de la décroissance exponentielle : N N 0 e λt 7,400 10 15 e (1,000 10 6 )(10)(86400) 3,1 10 15 atomes E9. La diminution dans le temps du taux de désintégration d un échantillon de radionuclide obéit à la décroissance exponentielle de sorte que pour t h R R 0 e λt λ ln RR0 t µ 30 coups/min ln 500 coups/min h On calcule ensuite la demi-vie du nuclide : 0,31 h 1 T 1/ 0,693 λ 0,693 3,11 h 0,31 h 1 E30. La demi-vie du tritium 3 1 HestT 1/ 1,3 a. On calcule ensuite la fraction restante après t 10a d un échantillon en considérant la décroissance exponentielle : N N 0 e λt N N 0 e λt e 0,693t (0,693)(10 a) T 1/ e (1.3 a) 56,9 % E31. La variation du nombre de noyaux de rubidium pendant la désintégration β, de demi-vie T 1/ 4,88 10 10 a, obéit à la décroissance exponentielle. Pour une diminution initiale de 1, %de ce nombre, le temps écoulé correspondant est de N N 0 e λt N N 0 e λt e 0,693t T 1/ t ln N T1/ N0 0,693 t ln(1 0,01) (4,88 1010 a) 0,693 8,50 10 8 a E3. On cherche le taux de désintégration par gramme d un échantillon de 14 6C, de demivie T 1/ 5730 a, vieux de 15000 a. Le rapport en nombre des isotopes 14 6 C/1 6 Cest f 1,3 10 1, et on suppose qu il est resté constant dans l atmosphère. On calcule d abord le nombre N 0 d atomes de 14 6 Cdansungrammede1 6 C: N 0 f mna M 1,3 10 1 (1 g)(6,0 10 3 atomes/mol) 1 g/mol 6,5 10 10 atomes Puis, on calcule le taux initial de désintégration : R 0 λn 0 0,693N 0 T 1/ 0,693(6,5 10 10 ) µ 3,156 10 (5730 a) 7 s 1 a 0,50 Bq Le taux de désintégration après t 15000 a correspond donc à R R 0 e λt R 0 e 0,693t 0,693(15000 a) T 1/ (0,50 Bq) e 5730 a 60 s 1 min,44 min 1 E33. Les deux principaux isotopes de l uranium, 35 9Uet 38 9U, que l on distingue ici par les indices 1 et, possèdent les demi-vies respectives suivantes : T1/ 1 7,04 108 aet T 1/ 4,46 109 a. L abondance relative 35 U étant actuellement de 0,7 %, on cherche quel était ce 9 U/38 9 rapport il y a t 10 9 a. Pour ce faire, on divise les équations respectives de décroissances v3 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre 1 : La physique nucléaire 9
exponentielles : N 1 N N 1 N N 10e λ 1 t N N 0 e λ t 10 µ 0,693 7,04 10 8 a + 0,693 4,46 10 9 a (0,007) e N 0 e λ 1 t+λ t N 10 N 0 e ( λ 1+λ ) t N 10 (10 9 a) 0,0160 N 0 e à 0,693 (T 1/ ) 1 + 0,693 (T 1/ ) E34. L isotope radioactif 40 19 K, de demi-vie T 1/ 1,6 10 9 a, sert à la datation des roches. Le taux de désintégration d un échantillon de masse m 1µg se calcule au moyen du nombre d atomes, que l on obtient ainsi N 0 mn A M (1 10 6 g)(6,0 10 3 atomes/mol) 40 g/mol 1,506 10 16 atomes R 0 λn 0 0,693N 0 T 0,693(1,506 1016 ) 0,6 Bq 1/ (1,6 10 9 )(3,156 10 7 ) E35. On calcule l énergie libérée dans la réaction de capture électronique qui fait suite à une désintégration β + comme 7 4 Be(e,ν) 7 3Li, au moyen de l équation 1.9. Les masses des isotopes sont données à l annexe E. On obtient ainsi Q m73 Li ((7,01699 u) (7,016003 u)) m74 Be Q (0,00096 u) (0,00096) 0,863 MeV E36. La désintégration α du radionuclide 10 84Po donne le produit suivant : 10 84 Po α 06 8 Pb + 4 He L énergie libérée dans cette réaction correspond à He Q m10 84 Po m06 8 Pb m4 Q ((09,98857 u) (05,974440 u) (4,00603 u)) Q (0,005814 u) (0,005814) 5,4 MeV E37. La série du thorium comprend un ensemble de processus de désintégration α et β, 3 90 Th 08 8 Pb, où A A0 3 08 4, ce qui implique l émission de n α particules α avec la diminution correspondante de charge : n α A A0 4 4 4 6et Z α n α 1 Comme la charge finale Z 0 8diffère de Z + Z α 90 1 78, il faut qu intervienne un nombre n β de désintégrations β : n β Z 0 (Z + Z α )8 78 4 Il y a donc au total émission de 6 particules α et de 4 électrons E38. L énergie libérée dans la désintégration du neutron libre est calculée au moyen de l équation 1.3, des données fournies à l annexe E et de m p 1,6763 10 7 kg 1,00777 u 1 u 1,660540 10 7 kg! t 10 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre 1 : La physique nucléaire v3
m e 9,1094 10 31 kg Ainsi, Q (m n m p m e ) 1 u 1,660540 10 7 kg 5,486 10 4 u Q (1,008665 u) (1,00777 u) 5,486 10 4 u Q (0,000839 u) (0,000839) 0,78 MeV E39. L équation de la désintégration β du radionuclide 40 19 Kest 40 19 K 40 0 Ca + e + ν β L énergie libérée dans la désintégration correspond donc à Q Ca m40 19 K m40 0 ((39,963999 u) (39,96591 u)) Q (0,001408 u) (0,001408) 1,31 MeV E40. On considère deux mécanismes de désintégration de l isotope 18 84 Po. (a) La désintégration α donne du 14 8Pb avec l énergie de réaction suivante : He Q m18 84 Po m14 8 Pb m4 Q ((18,008965 u) (13,999801 u) (4,00603 u)) Q (0,006561 u) (0,006561) 6,11 MeV (b) La désintégration β donne du 18 85At avec l énergie de réaction suivante : Q At m18 84 Po m18 85 Q ((18,008965 u) (18,00868 u)) Q (0,00085 u) (0,00085) 0,65 MeV E41. On considère que la transformation s opère sans modification de la charge, c est pourquoi on remplace le proton par un atome d hydrogène. (a) L équation de la réaction est 14 7 N + α 17 8 O + 1 1 H L énergie de cette réaction est Q + m4 He m178 O m11 H m147 N Q ((14,003074 u)+(4,00603 u) (16,999131 u) (1,00785 u)) Q ( 0,00179 u) ( 0,00179) 1,19 MeV (b) L équation de la réaction est 7 3 Li + p 4 He + 4 He L énergie de cette réaction équivaut à v3 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre 1 : La physique nucléaire 11
Q m73 Li + m11 H m4 He Q ((7,016003 u)+(1,00785 u) (4,00603 u)) Q (0,0186 u) (0,0186) 17,3 MeV E4. (a) L équation de la réaction est 9 4 Be + α 1 6 C + n L énergie de cette réaction s élève à Q m9 4 Be + m4 He m1 6 C m n Q ((9,0118 u)+(4,00603 u) (1 u) (1,008665 u)) Q (0,00610 u) (0,00610) 5,70 MeV (b) L équation de la réaction est 7 13Al + α 30 15 P + n L énergie de cette réaction équivaut à Q m7 13 Al + m4 He m30 15 P m n Q ((6,981539 u)+(4,00603 u) (9,978314 u) (1,008665 u)) Q ( 0,00837 u) ( 0,00837),64 MeV E43. On considère que la transformation s opère sans modification de la charge, c est pourquoi on remplace le proton par un atome d hydrogène. Ainsi, l équation de la réaction est 9 4 Be + 1 1 H 6 3 Li + α L énergie de cette réaction s élève à Q + m11 H m63 Li m4 He m94 Be Q ((9,0118 u)+(1,00785 u) (6,01511 u) (4,00603 u)) Q (0,0083 u) (0,0083),13 MeV E44. Dans chaque cas, la réaction est complétée en considérant que A 0 A et Z 0 Z. (a) 10 5 B + n 7 3 Li + (b) 6 3 Li + p 4 He + (c) 18 8 O + p 18 9 F + 4 He 3 He n E45. Dans chaque cas, la réaction est complétée en considérant que A 0 A et Z 0 Z. (a) 3 16S + n p + 3 15 P (b) 19 9 F + p 4 He + 16 8 O (c) 9 4Be + n γ + 10 4 Be 1 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre 1 : La physique nucléaire v3
(d) 14 7 N + n p + 14 6 C E46. On considère que la transformation s opère sans modification de la charge, c est pourquoi on remplace le proton par un atome d hydrogène. Ainsi, l équation de la réaction est 14 7 N + n 1 1 H + 1 6 C L énergie de cette réaction s élève à Q m147 N + m n m11 H m146 C Q ((14,003074 u)+(1,008665 u) (1,00785 u) (14,00341 u)) Q (0,000673 u) (0,000673) 0,67 MeV E47. L équation pour l énergie de la réaction est Q m18 8 O + m1 1 H m18 8 F m n m18 8 O + m1 1 H m18 8 F m n Q m18 8 F m18 8 O + m1 1 H m n Q m18 8 F m18 8 F (17,999160 u)+(1,00785 u) (1,008665 u) (,45 MeV) 18,00095 u (u) () E48. (a) Pour connaître l énergie libérée par la fission d une masse m 1kg de 35 9U, on cherche d abord le nombre d atomes : N 0 mn A M (1 103 g)(6,0 10 3 atomes/mol) 35 g/mol,563 10 4 atomes On multiplie ensuite le nombre d atomes par l énergie libérée pour chaque désintégration, ce qui donne E N 0 Q,563 10 4 (190 MeV) 4,87 10 3 ev (b) Si cette énergie totale E est disponible avec un rendement de 3 %, elle peut alimenter une ville qui consomme une puissanceµ P 500MW pendant un temps de 1,6 10 t (0,3) E P (0,3) (4,87 103 ev) 19 J 1 ev 13,9 h 500 10 6 J/s E49. On sait qu il faut une énergie thermique Q th 1cal 4,186 J pour augmenter de 1 C la température de 1 gd eau.ondéduitdirectementlenombredefissions requises avec ce calcul : N Q th Q 4,186 µ J 1,6 10 (190 10 6 ev) 19 J 1 ev 1,38 10 11 atomes E50. On calcule d abord le nombre initial N 0 d atomes dans une masse m 1gde 35 9 Udont la demi-vie pour la fission est T 1/ 3 10 17 a: N 0 mn A M (1 g)(6,0 103 atomes/mol) 35 g/mol,563 10 1 atomes v3 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre 1 : La physique nucléaire 13
On calcule ensuite la constante de désintégration : λ 0,693 0,693 T 1/ (3 10 17 )(3,156 10 7 ) 7,319 10 6 s 1 On calcule enfin le taux initial de désintégration avec l équation 1.7 : R 0 λn 0 7,319 10 6 s 1,563 10 1 86400 Bq 16, fissions/jour 1 jour 1 E51. L énergie de cette réaction équivaut à Q m35 9 U + m n m144 56 Ba m89 36 Kr 3m n Q m35 9 U m144 56Ba m89 36 Kr m n Q ((35,04394 u) (143,994 u) (88,91764 u) (1,008665 u)) Q (0,18601 u) (0,18601) 173 MeV E5. On obtient la variation de masse au repos due à la libération de 0 kilotonnes d énergie par l équivalence masse-énergie, en considérant que 1 kilotonne de TNT libère 4, 10 1 : E m 0 m 0 E µ 4, 10 (0 kilotonnes) 1 J 1 kilotonne (3 10 8 m/s) 0,933 g E53. Le rapport des énergies cinétiques après une collision est 1. Après deux collisions, il tombe à 1 4 et ainsi de suite. Après n collisions, il est de E n E 0 collisions au moyen de la relation générale suivante : En 0,05 ev 1 MeV. On trouve le nombre de E n 1 E n 0 n E 1 0 E n E 0 µ n ln En 0,05 ev E 0 ln() ln 1 MeV ln() 5,3 collisions E54. On obtient la longueur d onde de Broglie du neutron thermique d énergie cinétique K 0,04 ev au moyen de l équation établie à l exercice 1 du chapitre 10 : λ h mk E55. L équation de la réaction est 1 H + 1 H 3 He + n s 6,66 10 34 J s µ 1,6 10 (1,675 10 7 kg)(0,04 ev) 19 J 1 ev L énergie de cette réaction équivaut à Q m 1 H m3 He m n 0,143 nm Q ((,01410 u) (3,01609 u) (1,008665 u)) Q (0,003510 u) (0,003510) 3,7 MeV CQFD E56. L équation de la réaction est 3 1 H + 1 H 4 He + n L énergie de cette réaction s élève à 14 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre 1 : La physique nucléaire v3
Q m3 1 H + m 1 H m4 He m n Q ((3,016049 u)+(,01410 u) (4,00603 u) (1,008665 u)) Q (0,018883 u) (0,018883) 17,6 MeV CQFD E57. L équation de la réaction est 1 H + 1 H 3 1 H + 1 1 H L énergie de cette réaction équivaut à Q m1 H m31 H m11 H Q ((,01410 u) (3,016049 u) (1,00785 u)) Q (0,004330 u) (0,004330) 4,03 MeV CQFD E58. Selon l équation 1.11, chaque réaction de fusion D T produit une énergie E 17,6 MeV. Le nombre N de ces réactions de fission par seconde nécessaires au maintien d une puissance P 40MW est donné par N P t E (40 10 6 J/s)(1 s) µ 1,6 10 (17,6 10 6 ev) 19 J 1 ev 1,4 10 19 fissions E59. Le nombre N de molécules d eau dans un kilogramme d eau de mer est N mn A M (1000 g)(6,0 103 atomes/mol) 18 g/mol 3,346 10 5 atomes On donne une fraction de 1 6500 pour le rapport en nombre d isotopes de deutérium par rapport à l hydrogène. Comme chaque molécule d eau contient atomes d hydrogène, le nombre N 0 d isotopes de deutérium dans un kilogramme d eau s élève à N 0 6500 N0 6500 3,346 10 5 1,09 10 atomes L énergie libérée par la fusion D D estq 4,03 MeV, mais elle nécessite isotopes à chaque fois. L énergie disponible est donc E N 0 Q 1,09 10 (4,03 MeV) 1,6 10 19 J 1 ev E60. m1 6 C + m n m13 6 C 0,005310 u Q 4,95 MeV 3,3 10 9 J E61. On calcule, pour les éléments qui constituent séparément l isotope neutre de 14 84Po, une masse 84m1 1 H + 130m n 15,78375 u. Si l énergie de liaison par nucléon est de 7,785 MeV, pour tout l atome elle est égale à Q 14 (7,785 MeV) 1666 MeV et correspond à un défaut de masse de m Q 1,78851 u 1666 MeV (u) () La masse de l isotope est donc de m14 84 Po 15,78375 u 1,78851 u 13,995 u E6. La transformation s opère sans modification de la charge, c est pourquoi on ajoute deux v3 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre 1 : La physique nucléaire 15
électrons de masse : m e 9,1094 10 31 kg 1 u 1,660540 10 7 kg 5,486 10 4 u Ainsi, l équation pour l énergie de la réaction est Q m1 7 N m1 6 C m e m1 7 N m1 6 C m e Q m1 7 N m1 6 C +m e + Q m1 7 N (1u)+ 5,486 10 4 u + (16,316 MeV) (u) () 1,018613 u E63. N 0 R 0 λ 4,18 10 7 atomes. Entre t 1 T 1/ et t 3T 1/, le nombre de désintégrations est de N 0 8 5,7 10 6 désintégrations. E64. (a) On compte N 0 9,786 10 11 atomes de 14 6 C R 0 λn 0 3,75 Bq (b) R R 0 e λt,77 Bq E65. (a) 15 7 N (b) R 0 7,4 10 3 Bq λn 0 N 0 1,30 10 6 noyaux E66. e λt 0,097 t 1,93 10 4 a E67. (a) m R 0M λn A 4,35 10 10 kg par litre (b) t T 1/ 16,0 jours E68. La transformation s opère sans modification de la charge, c est pourquoi on ajoute deux électrons de masse : m e 9,1094 10 31 kg 1 u 1,660540 10 7 kg Ainsi, l énergie de la réaction équivaut à Q m13 7 N m13 6 C m e 5,486 10 4 u Q (13,005739 u) (13,003355 u) 5,486 10 4 u Q (0,00187 u) (0,00187) 1,0 MeV E69. e λt 0, t,93 10 9 a E70. N R λ RT 1/ 0,693 4,145 1013 atomes m N (3,01 u) 4,145 10 13 (3,01) 1,661 10 7,07 10 13 kg E71. (a) 10 Ne (b) La transformation s opère sans modification de la charge, c est pourquoi on ajoute deux électrons de masse : m e 9,1094 10 31 kg 1 u 1,660540 10 7 kg Ainsi, l énergie de la réaction équivaut à 5,486 10 4 u 16 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre 1 : La physique nucléaire v3
Q m 11 Na m 10 Ne m e 1,8 MeV E7. (a) On compte N 6,53 10 10 atomes de 14 6 C R λn 0,50 Bq 15,0 désintégrations/min (b) Dans m 0,4 g, on a R 0 6désintégrations/min, alors que R 1,35 désintégrations/min. On calcule ainsi l âge du fragment : R R 0 e λt t 1,3 10 4 a E73. (a) R 0 λn 0 0,693N 0 T N 1/ 0 3,10 10 7 noyaux (b) R R 0 e λt t 1, 10 6 s E74. On considère que la transformation s opère sans modification de la charge, c est pourquoi on remplace le proton par un atome d hydrogène. Ainsi, l énergie de la réaction est Q m7 3 Li + m1 1 H m7 4 Be m n Q ((7,016003 u)+(1,00785 u) (7,01699 u) (1,008665 u)) Q ( 0,001766 u) ( 0,001766) 1,65 MeV Ce processus est impossible. E75. On considère que la transformation s opère sans modification de la charge, c est pourquoi on remplace le proton par un atome d hydrogène. (a) L énergie de la réaction s élève à Q + m11 H m16 C m4 He m157 N Q ((15,000109 u)+(1,00785 u) (1 u) (4,00603 u)) Q (0,005331 u) (0,005331) 4,97 MeV (b) L énergie de la réaction s élève à Q + m11 H m147 N E76. 98 40 Zr m136 C Q ((13,003355 u)+(1,00785 u) (14,003074 u)) Q (0,008106 u) (0,008106) 7,55 MeV E77. (a) 00 MeV 3, 10 11 J, 0 kilotonnes 8,36 10 13 J. Le nombre de fissions est donc de N,61 10 4 (b) m N (35 u),61 10 4 (35) 1,661 10 7 1,0 kg v3 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre 1 : La physique nucléaire 17
Problèmes P1. On considère le radioisotope 90 38 Sr de demi-vie T 1/ 8,8 a. On soustrait de la population initiale la population restante après un an afin de trouver le nombre de noyaux qui se désintègrent durant cette première année, à l aide de la loi de la décroissance exponentielle : µ 3,7 10 10 Bq 1 Ci (8,8 a) µ 3,156 10 7 s 1 a N 0 R 0 λ R (4 µci) 0T 1/ 0,693 0,693 1,1647 10 15 atomes N N 0 e λt N 0 e 0,693t T 1/ 1,164 10 15 0,693(1 a) e (8,8 a) 1,1370 10 15 atomes N 0 N 1,1647 10 15 1,1370 10 15,77 10 13 P. On établit l équation différentielle qui régit l apparition du nuclide résultant en notant que le taux d accroissement de cette population N est proportionnel à la présence du nuclide radioactif de population N 1 N 10 e λt.ainsi, dn dt λn 1 dn dt λn 10 e λt dn λn 10 e λt dt On intègre cette équation en posant que N 0à t 0, ce qui donne R N 0 dn tr tr λn 10 e λt dt N λn 10 0 0 e λt dt λn 10 h e λt λ N N 10 e λt 1 N N 10 1 e λt CQFD P3. L expression du taux d accroissement de la population du radionuclide résultant, dn dt, contient deux termes, un premier terme de création proportionnel à N 1, la population du nuclide parent de constante λ 1, et un second terme de destruction proportionnel à N de constante λ : dn dt λ 1 N 1 N λ t 0 Pour que le nombre de nuclide N nevariepas,ilfautque dn dt 0;donc dn dt λ 1 N 1 N λ 0 λ 1 N 1 N λ P4. On sait que la diminution du taux d accroissement de la population du radionuclide est proportionnelle à sa propre population : dn dt λn N N 0 e λt dn λndt dn λn 0 e λt dt (i) Dans cette population qui diminue, chaque radionuclide possède une durée de vie moyenne dont la valeur est obtenue par l équation qui suit, dans laquelle on fait usage de l équation (i) pour trouver une valeur à τ : 18 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre 1 : La physique nucléaire v3
τ 0R N 0 tdn 0R N 0 dn 0R N 0 t( λn 0 )e λt dt N 0 λ R te λt dt 0 Les bornes de cette nouvelle intégrale découlent du changement de variable. En effet, N N 0 à t 0,etN 0 avec t. On applique la méthode d intégration par partie et on obtient τ te λt 0 + R h e λt dt 1 λ e λt 0 1 0 0 λ τ 1 λ CQFD P5. (a) Dans une désintégration α, la conservation de la quantité de mouvement exige que chacun des fragments résultant de la désintégration emporte la même quantité de mouvement dans des directions opposées. L énergie de désintégration se répartit entre les fragments. Si les fragments se déplacent parallèlement à l axe des x, et qu on utilise les modules de vitesse, on écrit P Pxavant P P xaprès 0m α v α M R v R m α v α M R v R (i) Q K α + K R Q 1 m αv α + 1 M Rv R (ii) De l équation (i), on note que (m α v α ) (M R v R ) 1 m αv α mα M R 1 M Rv R Si on insère ce résultat dans l équation (ii), on obtient Q 1 m αv α + 1 m αv α mα M R 1 m αv α K α M R Q M R +m α CQFD (b) L équation de la réaction est 1+ m α M R K MR +m α α M R 6 88 Ra 86 Rn + α L énergie de cette réaction équivaut à He Q m6 88 Ra m 86 Rn m4 Q ((6,0540 u) (,017570 u) (4,00603 u)) Q (0,0059 u) (0,0059) 4,871 MeV On calcule ensuite l énergie cinétique de la particule α avec l équation utilisée en (a) : K α M R Q M R +m α (,017570 u)(4,871 MeV) (,017570 u)+(4,00603 u) 4,78 MeV P6. Dans la désintégration β +, un positon (e + ) est émis à partir du noyau, et l équation de la réaction s écrit comme suit : A Z D A Z 1 R + β+ + ν Si on désigne par M D et M R la masse des noyaux de départ (D) et résultant (R), etque v3 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre 1 : La physique nucléaire 19
la masse du positon est la même que celle d un électron, l équation qui définit l énergie de cette réaction est Q (M D M R m e ) La masse du neutrino ν est négligeable. Dans la désintégration, le noyau perd une charge positive, ce qui implique que, pour rester neutre, l atome doit aussi perdre un électron. La relation entre la masse m de l atome neutre, avant ou après la désintégration, et son noyau M, s établit de la manière suivante : m D M D + Zm e M D m D Zm e m R M R +(Z 1) m e M R m R (Z 1) m e Si on remplace par ces valeurs la masse des noyaux dans l expression établie plus haut on arrive à Q (m D m R m e ) CQFD La masse de chaque électron (ou positon) est m e 9,1094 10 31 kg 5,486 10 4 u 1 u 1,660540 10 7 kg Et l énergie de la réaction proposée est Q m64 9 Cu m64 8 Ni m e Q (63,99768 u) (63,97969 u) 5,486 10 4 u Q (0,007018 u) (0,007018) 654 kev P7. Avec la décroissance exponentielle, la diminution de 40 % en 3,5 h du taux de désintégration d un échantillon radioactif permet de calculer sa demi-vie : R R 0 e λt R 0 e 0,693t T 1/ ln RR0 0,693t T 1/ T 1/ 0,693t RR0 ln 0,693(3,5 h) T 1/ ln(0,6) 4,75 h P8. On donne l expression de l énergie potentielle électrique d une sphère chargée de rayon R, U E 3kQ 5R, dans laquelle Q Ze correspond à la charge du noyau et non à l énergie de désintégration. On sait que le rayon R (en mètre) du noyau est associé au nombre de masse par R 1, 10 15 A 1/3 ; la variation d énergie potentielle électrique au cours de la réaction de fissiondépenddoncdunombredemassea et de la charge Q sur les noyaux de départ : U E 3kQ 5R 3kQ k Q ke Z 5(1, 10 15 )A 1/3,00 10 15 A 1/3,00 10 15 A 1/3 On analyse la réaction de fission suivante : 0 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre 1 : La physique nucléaire v3
36 9 U 141 56 Ba + 9Ba + 3n 36 pour laquelle on a U i (9 109 )(1,6 10 19 ) (9) 1,578 10 10 J,00 10 15 (36) 1/3 U f (9 109 )(1,6 10 19 ) (56) + (36) 1,048 10,00 10 10 J 15 (141) 1/3 (9) 1/3 U U f U i 1,048 10 10 J 1,578 10 10 J 1 ev 1,6 10 19 J 346 MeV P9. (a)danscetypederéaction,onam R A 4 et M R + m α (A 4) + 4 A, de sorte que le rapport M R M R +m α A 4 A, et le résultat du problème 5(a) peut être réécrit comme suit K α M R Q M R +m α K α (A 4)Q A CQFD (b) L énergie de la réaction proposée est He Q m36 9 U m3 90 Th m4 Q ((36,045561 u) (3,038054 u) (4,00603 u)) Q (0,004904 u) (0,004904) 4,568 MeV On calcule ensuite l énergie cinétique finale de la particule α avec l équation utilisée en (a) : K α (A 4)Q A (36 4)(4,568 MeV) 36 4,49 MeV P10. (a) Pour que la réaction endothermique (Q <0) ait lieu, il faut que l énergie de réaction soit fournie par la variation de l énergie cinétique totale K CM calculée dans le repère du centre de masse (CM) de la collision entre les réactifs, K CM Q. Cette variation d énergie cinétique doit ensuite être associée à l énergie cinétique de la particule incidente K a 1 m av a. Cette dernière est l énergie seuil E S qu il faut fournir pour que la réaction ait lieu, K a E S. Onconsidèrelaconservationdelaquantitédemouvementselonunaxedesx parallèle au mouvement de la particule incidente et des produits de réaction : P Pxavant P P xaprès m a v a m b v b M Y v Y (i) On calcule la vitesse du centre de masse en fonction des vitesses avant la collision : v CM m a v a +M X (0) m a +M X m a v a m a +M X et après la collision (ii) v CM m b v b M Y v Y m b +M Y (iii) Comme on le voit dans ces équations, la particule «a» est absorbé par le noyau «X» afin de former le noyau «Y» et libérer la particule «b». Si on cherche la valeur «seuil» v3 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre 1 : La physique nucléaire 1
de l énergie nécessaire, on peut supposer que la particule «b» ne récupère qu une faible fraction de l énergie cinétique et que le mouvement des particules «Y» et «b» après la collision est négligeable, par rapport au centre de masse. La variation de l énergie cinétique, dans le repère du centre de masse, correspond alors à K CM 1 m a (v a v CM ) 1 M XvCM Si on fait appel à l équation (ii), ce dernier résultat devient m a M X K CM 1 (m a +M X ) v a M X (m a +M X ) K a Q K CM M X (m a +M X ) K a E S m a +M X M X Q CQFD (b) L énergie de la réaction pour cette transformation a déjà été calculée à l exercice 41(a), Q 1,19 MeV. Avec m4 He 4,00603 uetm14 7N 14,003074 u, on calcule ainsi l énergie seuil : E S m 4 He +m 14 7 N m 147 N (4,00603 u)+(14,003074 u) Q (14,003074 u) ( 1,19 MeV) 1,53 MeV Dans ce calcul, l effet de la masse des électrons est annulé. P11. On considère que la transformation s opère sans modification de la charge, c est pourquoi on remplace le proton par un atome d hydrogène. Ainsi, l énergie de la réaction est Q m13 6 C + m1 1 H m13 7 N m n Q ((13,003355 u)+(1,00785 u) (13,005739 u) (1,008665 u)) Q ( 0,0034 u) ( 0,0034) 3,003 MeV On calcule l énergie seuil au moyen du résultat du problème 10 : E S m 1 1 H +m 13 6 C m 136 Q C (1,00785 u)+(13,003355 u) E S (13,003355 u) ( 3,003 MeV) 3,3 MeV CQFD Dans ce calcul, l effet de la masse des électrons est annulé. Ondes, optique et physique moderne, Chapitre 1 : La physique nucléaire v3