Architecture Matérielle des Systèmes Informatiques. S BTS Informatique de Gestion ère année THEME : L ORDINATEUR ET SON ENVIRONNEMENT Dossier 2 Les systèmes de numération : la base 2. Objectifs Maîtriser le binaire et le lien entre le binaire et le décimal. Plan de la séquence. Définition des systèmes de numération.. Définition d'un système de numération..2. Le système décimal..3. Le système binaire. 2. Changement de base. 2.. Passage de la base 2 vers la base 0. 2.2. Passage de la base 0 vers la base 2. 3. Opérations en binaire. 3.. Savoir compter. 3.2. Savoir additionner. 4. Exercices. TD2. Les systèmes de numération : la base 2
Les hommes (ou les femmes), les Hommes en tous les cas, utilisent presque tous le système décimal. Pourquoi? Tout simplement parce que les hommes (et les femmes) ont 0 doigts. L'ordinateur, lui, n'a pas dix doigt mais simplement de l'électricité. Alors il ne connaît que deux types d'informations : il y a du courant, il n'y a pas de courant. On dit qu'il travaille dans un système binaire, ou en base deux.. Définition des systèmes de numération... Définition d'un système de numération. Un système de numération n se définit au moins par deux notions : Il doit avoir n éléments qui composent sa base, Chaque groupe doit être n fois plus grand que le groupe immédiatement plus petit...2. Le système décimal. Les dix éléments qui composent la base 0, sont les dix chiffres : 0 2 3 4 5 6 7 8 9 Ainsi, tout nombre écrit dans la base 0 est composé de ces chiffres. La valeur de chaque chiffre dépend alors du chiffre lui-même et de sa place. Ainsi, le 2 de 924 et celui de 2004 n'ont pas la même valeur : Le premier vaut 20, alors que le second vaut 2000. Pour connaître la valeur de chaque chiffre qui compose un nombre, il faut décomposer ce nombre pour identifier chaque chiffre et son coefficient : on parle de forme canonique. Les nombres de la base 0 sont décomposés en plusieurs niveaux : Niveau Nom Coefficient 0 les unités 0 0 = les dizaines 0 = 0 2 les centaines 0 2 = 00 3 les milliers 0 3 = 000 etc. Par exemple : décomposons le nombre 3528 : 8 unités. 2 dizaines 5 centaines 3 milliers Sa forme canonique est 3 * 0 3 + 5 * 0 2 + 2 * 0 + 8 * 0 0 On peut alors vérifier que le nombre 3528 est bien dans la base 0, car tous ces chiffres appartiennent à la base 0. Les nombres de la base 0 ou du système décimal sont des nombres décimaux. TD2. Les systèmes de numération : la base 2 2
.3. Le système binaire. Il n'y a donc que 2 chiffres qui composent cette base. Ces chiffres sont : 0 et Les nombres de la base 2 sont décomposés en plusieurs niveaux : Niveau Nom Coefficient 0 les unités car... 2 0 = les "deuzènes" car... 2 = 2 2 les "quatrènes" car... 2 2 = 4 3 les "huitènes" car... 2 3 = 8 4 les "seizène" car... 2 4 = 6 5... 2 5 = 32 6... 2 6 = 64 7... 2 7 = 28 8... 2 8 = 256 etc. Pour composer un nombre binaire, il faut un certain nombre (0 ou ) d'unités (niveau 0), un certain nombre (0 ou ) de deuzènes (niveau ), un certain nombre (0 ou ) de quatrènes (niveau 2), etc. Exercice : donnez la décomposition et la forme canonique du nombre 0. Le nombre est-il de la base 2? Pourquoi? 0 au niveau 0 au niveau 0 = * 2 3 + * 2 2 + * 2 + 0 * 2 0 au niveau 2 au niveau 3 0 est bien un nombre de la base 2, car tous ses chiffres appartiennent à la base 2. Les nombres de la base 2 ou du système binaire sont des nombres binaires. 2. Changement de base. 2.. Passage de la base 2 vers la base 0. L'intérêt est de connaître la valeur (dans notre système de numération) d'un nombre binaire rencontré sur une donnée technique par exemple. La méthode est on ne peut plus simple : il suffit de calculer le résultat de la forme canonique du nombre binaire. Par exemple : 0 (2) = * 2 3 + * 2 2 + * 2 + 0 * 2 0 = 8 + 4 + 2 = 4 (0) TD2. Les systèmes de numération : la base 2 3
2.2. Passage de la base 0 vers la base 2. Règle générale : Pour coder un nombre décimal dans la base 2, il faut :. Diviser le nombre par 2. 2. Si le résultat n'est pas nul, 3. Il faut diviser le résultat de la dernière division par 2. 4. Reprendre à l'étape 3, tant que le résultat de la division n'est pas nul. Il suffit alors de récupérer les restes de ces divisions et de les écrire dans l'ordre inverse pour reconstituer le nombre codé dans la base 2. Exemple : Convertissez 4 (0) en binaire. 4 2 7 2 3 2 2 0 7 3 0 0 Le résultat est donc 0 (2) 3. Opérations en binaire. 3.. Savoir compter. Vous savez compter en décimal. Le fonctionnement est le même en binaire : On augmente les unités (le chiffre le plus à droite) de. Sauf lorsque celui-ci est le plus grand de la base, alors on le remet à 0 et on augmente de le chiffre à sa gauche. Tout chiffre, quelle que soit sa place, réagit de la même façon. Ainsi 0 -- -- 2 -- -- 9 -- 0 -- -- 99 -- 0 0 -- En binaire, cela donne (jusqu'à 000 (2) ) : 0 0 0 0 0 0 0 0 TD2. Les systèmes de numération : la base 2 4
3.2. Savoir additionner. Une fois encore le principe est le même que dans le système décimal. Effectuez l'addition décimale ci-contre : 5 8 2 4 + 3 5 8 8 = 4 0 2 Ceci n'est possible que parce que vous connaissez les tables d'addition par cœur. Pour compter en binaire, on fait de même, sauf que les tables d'addition sont terriblement plus simples : Exemples d'addition : + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + 0 + + 0 0 = 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 4. Exercices. Tous les exercices sont réalisés sans l'aide d'aucune calculatrice. 4.. Comptons ensemble. Comptez jusqu'à 32 en binaire. 4.2. Conversions. Donnez les conversions décimales des nombres binaires suivants : 0 00 000 0000 0 0000 00 0000 00 00000 Donnez les conversions décimales ou binaires des nombres suivants en réfléchissant avant de calculer : 56 (0) 00 (2) 00000 (2) 96 (0) 256 (0) (2) 24 (0) 02 (2) 4.3. Calculs. Effectuez les additions suivantes : 0 + 0 0000 + 000000 + 0 TD2. Les systèmes de numération : la base 2 5
4.4. Un peu de réflexion. Une collection d'éléments rassemble des éléments qui se distinguent pas 4 caractéristiques : Couleur des yeux (bleu, vert, noir ou marron), couleur des cheveux (clair ou foncé), taille (très grand, grand, normal ou petit), sexe (homme ou femme). Comment cela peut-il être codé en binaire? Qu'est-ce que cela donne en décimal : donnez quelques valeurs avec leur sens. Donnez le code binaire qui correspond à votre description. TD2. Les systèmes de numération : la base 2 6
Correction des exercices 4.. Comptons ensembles Comptez jusqu'à 32 en binaire. 0 000 0000 000 00 000 00 0 00 000 00 0 00 0 00 00 000 00 0 0 00 0 0 0 00 0 0 00000 4.2. Conversions. Donnez les conversions décimales des nombres binaires suivants : 0 00 000 0000 0 000 00 0000 00 00000 2 4 8 6 32 64 28 Donnez les conversions décimales ou binaires des nombres suivants : 56 (0) = 00 00 (2) 256 (0) = 0000 0000 (2) 00 (2) = 09 (0) (2) = 63 (0) 00000 (2) = 93 (0) 24 (0) = 00 (2) 96 (0) = 0 0000 (2) 02 (2) n'est pas un nombre binaire! 4.3. Calculs. Effectuez les calculs binaires suivants : 0 + 0 = 000000 0000 + = 000 000000 + 0 = 000000 4.4. Un peu de réflexions. Une collection d'éléments rassemble des éléments qui se distinguent pas 4 caractéristiques : Couleur des yeux (bleu, vert, noir ou marron), couleur des cheveux (clair ou foncé), taille (très grand, grand, normal ou petit), sexe (homme ou femme). Comment cela peut-il être codé en binaire? Par exemple : Bit 8 Bit 7 Bit 6 Bit 5 Bit 4 Bit 3 Bit 2 Bit Inutilisés sexe taille cheveux yeux 0 0 0 : homme : femme 00 : très grand 0 : grand 0 : normal : petit 0 : clairs : foncés Qu'est-ce que cela donne en décimal : donnez quelques valeurs avec leur sens. 0 00 0 00 : homme, petit, cheveux clairs, yeux bleus 0 0 0 : femme, moyenne, cheveux clairs, yeux verts 0 0 0 : homme, moyen, cheveux clairs, yeux marron : femme, grande, cheveux foncés, yeux marron Donnez le code binaire qui correspond à votre description : 000 0000 (2) = 6 (0) 00 : bleu 0 : vert 0 : noir : marron TD2. Les systèmes de numération : la base 2 7