Epidémiologie et réseaux d interaction : modélisation spatio-temporelle pour l analyse et la gestion des dynamiques épidémiques N. Peyrard (INRA MIA Toulouse) A. Franc (INRA BioGeCo Bordeaux) R. Sabbadin (INRA MIA Toulouse) A L I M E N T A T I O N A G R I C U L T U R E Evaluation de l unité E N V BIA I R O N Mars N E M 2007 E N T
Plan de la présentation I. Exemples de réseaux d interactions en épidémiologie II. III. IV. Les graphes comme objets mathématiques pour représenter le réseau Une famille de modèles pour représenter la propagation sur le réseau Analyse de l influence de la géométrie du réseau sur l émergence d une épidémie V. Recherche de stratégies optimales de contrôle de maladies
I. Exemples de réseaux d interaction en épidémiologie Parcellaire d un bassin de production sommets = parcelles arêtes = entre deux parcelles proches géographiquement application = phoma du colza
Exemples de réseaux d interaction en épidémiologie Réseaux des fermes d élevage sommets = fermes d élevage arêtes = réseaux routiers, marchés, vétérinaire application = maladies contagieuses des animaux d élevage from Ferguson et al, Science 2001
II. Le réseau d un point de vue mathématique Réseau = graphe nœuds, arêtes, notion de voisinage Distribution des degrés degré = nombre de voisins d un nœud Mélange d Erdos-Rényi Mélange de lois de Poisson Degré constant Distribution en loi Puissance
Le réseau d un point de vue mathématique Coefficient de clustering C = proportion de triplets fermés notion de redondance des chemins Autres paramètres importants?
III. Modèles de dynamiques sur graphe Caractéristiques temporel (discret ou continu) spatialement explicite support spatial = graphe espace d état discret (SIS,SIR, ) stochastique propagation par contact (voisinage) système contrôlé ou non (actions, coûts, critère) action t t t+1
IV. Influence de la géométrie du réseau sur l émergence d une épidémie Dynamiques épidémiques= combinaison de (au moins) deux effets : propriétés intrinsèques de la maladie propriétés du réseau d interaction entre hôtes Questions ouvertes? Quelles sont les caractéristiques du graphe influentes? Comment quantifier cette influence? Application Amélioration des stratégies de contrôle
Le processus de contact Taux de transmission Temps continu : résolution du système d équa. diff. par approximation et résolution numérique
Emergence Proportion de sites infectés à l équilibre extinction installation 1 Emergence: valeur critique Taux de transmission
Influence de la distribution des degrés Proportion de sites infectés à l équilibre Erdos-Rényi Les hubs, nœuds stratégiques pour la propagation Taux de transmission
Un grand coefficient de clustering limite le nombre d infectés Proportion de sites infectés à l équilibre Coefficient de clustering i k j Taux de transmission La redondance des chemins limite la propagation
Influence de patterns d ordre supérieur Proportion de sites infectés à l équilibre ici encore redondance des chemins
V. Recherche de stratégies optimales pour le contrôle de maladies Transitions locales X i : état du nœud i X 4 t A 4 X 4 t 1 A i : action au nœud i R i : récompense/coût au nœud i, fonction de l état de i et ses voisins et de l action choisie R = Σ R i : récompense globale t t+1 R 4
Un exemple naïf R 1 R 2 R 4 R 3 noeud = parcelle cultivée arête = flux potentiel de dissémination de spores X 1 X 2 X 4 A 1 A 2 A 3 X 3 A 4 état = parcelle saine, peu infectée, très infectée action = traitement par fongicide / jachère / rien récompense = vente récolte coût traitement
Processus Décisionnels de Markov sur Graphe Un cadre et des outils algorithmiques pour la décision séquentielle dans l incertain Objectif trouver une politique : quelle action globale pour un état global donné? π : (X 1, X 2, X 3, X 4 ) (A 1, A 2, A 3, A 4 ) qui maximise l espérance de la somme des récompenses globales E [ r t ]
Application : phoma du colza Objectif : maximisation dans le temps du revenu des producteurs de manière collective, en prenant en compte la durabilité des résistances spécifiques (projet ADD CEDRE, collaboration en cours avec J.N. Aubertot, INRA EA Toulouse) Rotation des cultures colza blé orge propagation depuis les parcelles de blé voisines Interaction hôtes-patho résistant susceptible virulent + + avirulant - + t, semi t+1, semi récolte travail du sol
pas de temps = année Modélisation PDMG état d une parcelle = (classes d )indice de sévérité de l attaque + (classes de) structure génétique de la pop de pathogènes (si blé) action = choix variétal + seuil de sévérité pour travail du sol récompense = f(rendement de la variété, prix de vente du colza, perte de récolte due au phoma, coût de l itinéraire technique) probabilités de transition : estimées à partir d un modèle agronomique (production d inoculum, dispersion, sévérité de l infection, efficacité du travail du sol)
En conclusion Importance de la prise en compte de l aspect réseau diversité des individus contacts rarement homogènes Des modèles sur réseau d interaction pour comprendre pour simuler et comparer des stratégies de lutte pour le contrôle optimal