Découvrir le nombre à l école maternelle : Préparer au calcul réfléchi.

I.U.F.M. Académie de Montpellier Site de Montpellier Claudie Rousson Découvrir le nombre à l école maternelle : Préparer au calcul réfléchi. Contexte du mémoire : Discipline concernée : Mathématiques Classes concernées : maternelles Etablissements : Ecole Pauline Kergomard (Montpellier) ; Ecole Charlie Chaplin (Montpellier) ; Ecole Jean Moulin (Servian) Tuteur du mémoire : Michèle Chaumontet Assesseur : Christine Dazat Année universitaire : 2002.2003

I.U.F.M. Académie de Montpellier Site de Montpellier Claudie Rousson Découvrir le nombre à l école maternelle : Préparer au calcul réfléchi. Contexte du mémoire : Discipline concernée : Mathématiques Classes concernées : maternelles Etablissements : Ecole Pauline Kergomard (Montpellier) ; Ecole Charlie Chaplin (Montpellier) ; Ecole Jean Moulin (Servian) Tuteur du mémoire : Michèle Chaumontet Assesseur : Christine Dazat Année universitaire : 2002.2003

Résumé : En débutant la rédaction de ce mémoire je me posais la question de savoir : Quelles activités proposer à l école maternelle pour découvrir le nombre et préparer au calcul réfléchi? Un travail bibliographique suivi d une phase de pratique dans les classes, m ont permis de mettre en évidence, en réponse à cette question, la nécessité de proposer en parallèle des activités rituelles et des situations problèmes construites par l enseignant. Summary: On starting writing this thesis, I was wandering what activities should be proposed (at nursery school) in order to get to know the number and to prepare for rational calculus. A bibliographical work, followed by a phase of practical experience in classes, have be enabled me to give prominence to, the necessity to propose in parallel ritual activities and problem situations built by the teacher. Mots clés :?? Ecole maternelle.?? Mathématiques.?? Nombres.?? Calcul réfléchi.?? Résolution de problèmes?? Rituels.?? Jeux.

Sommaire. Introduction. 2 I. Présentation générale (Théorie). 4 1.1 Bref rappel historique de l enseignement du nombre à la maternelle. 4 1.2 Apprendre par la résolution de problèmes. 6 1.3 L importance du calcul réfléchi. 8 1.4 Quels sont les différents modes de quantification chez le jeune enfant? 10 II. Pratiques de classe. 12 2.1 Des situations rituelles et fonctionnelles. 12 2.2 Des situations construites. 15 Conclusion 25 Bibliographie 27 Annexes 28 1

Introduction Au cours de mon stage de pratique accompagnée, j ai pu observer une classe de CP travailler en mathématique. Nous étions à la veille des vacances de Toussaint. Les enfants travaillaient sur un fichier, et l enseignante donnait oralement le numéro de la page sur laquelle se trouvaient les exercices. Ce jour là l enseignante a demandé aux enfants d ouvrir leur fichier à la page 21. Devant l hésitation de certains, la maîtresse a invité un élève à dire comment s écrivait le nombre 21 : «Avec un 2 et puis un 1». J ai alors été énormément surprise de constater qu environ un tiers des enfants qui ne savaient pas écrire 21 avaient ouvert leur fichier à la page 12 après l explication de leur camarade. De toute évidence l ordre d énonciation des nombres n était pas un critère pertinent pour eux. Partant de cette constatation, j ai voulu m intéresser plus globalement au «problème» de la numération. En comparant les nouvelles instructions officielles avec celles de 1995 je me suis rendue compte que dans ce domaine une place de plus en plus importante était donnée au calcul réfléchi. Que ce soit dans le domaine «Exploitation de données numériques» ou dans le domaine «calcul» ; au cycle deux le calcul réfléchi est LA priorité. Ayant obtenu un premier stage en responsabilité en maternelle (classe de petite et moyenne section) ma réflexion s est alors centrée sur la question : Quelles activités proposer dès l école maternelle pour découvrir le nombre et préparer au calcul réfléchi? Mon travail s est alors articulé en deux temps. 2

?? Tout d abord une partie plutôt bibliographique où j ai voulu me documenter et recueillir les différents points de vue sur le sujet.?? Puis une seconde partie où j ai cherché à mettre en place et à analyser diverses situations de classe. A travers ce mémoire j ai voulu rendre compte de ce travail. C est pourquoi j ai choisi de le présenter en suivant le même «cheminement» (théorie puis pratiques de classe). Toutefois, il ne s agit pas d un compte rendu exhaustif de mes travaux. En particulier, j ai fait le choix de ne pas présenter ici toutes les séances préliminaires de travail sur la construction des collections. 3

I. Présentation générale (théorie) 1.1 Bref rappel historique de l enseignement du nombre à la maternelle. Depuis environ un siècle les conceptions sur l enseignement des mathématiques à l école maternelle ont énormément évolué, loin d être linéaire, cette évolution a été jalonnée par trois grandes périodes aux objectifs bien différents. En effet avant 1970, on ne parle pas de mathématique mais de calcul, le but à atteindre étant que les enfants «sachent bien le peu qu ils sauront» (programmes de 1887). Les objectifs sont alors très ambitieux, puisqu un enfant de grande section doit connaître la formation, et la représentation des nombres de 1 à 100, ainsi que leur représentation par les chiffres (dans une brochure de 1954 reprenant les textes officiels antérieurs, les nombres sont limités à 50 en grande section). De plus, les quatre opérations sont abordées, et appliquées, à des nombres de deux chiffres. Toutefois, si les objectifs en terme de connaissance de la file numérique, sont importants, les aspects ludiques et pratiques des activités de calcul sont privilégiés. Les textes officiels précisent clairement que ces activités doivent procurer un réel plaisir aux enfants («qu ils aiment leurs tâches, leurs jeux»). De même, les activités de calcul sont en permanence reliées à la manipulation de collections d objets. 4

En 1970 sous l influence des idées de Piaget arrive la réforme dite «des mathématiques modernes». Pendant pratiquement 15 ans, les apprentissages logiques vont prendre le dessus sur les activités de découverte du nombre, les activités pré-numériques sont privilégiées. Deux cadres théoriques, ont servi de référence aux programmes de 1977:?? Les travaux de Piaget sur la genèse du nombre chez l enfant (en particulier en ce qui concerne les activités de sériation).?? La théorie mathématique des ensembles (dans laquelle les nombres sont définis à partir des ensembles) pour ce qui est des activités de classement et de rangement. Prenant pour prétexte une utilisation abusive des travaux de Piaget, le rôle du comptage et de la suite ordinale sont alors dépréciés. Partant du principe que l usage de la comptine numérique n a aucune utilité avant la construction mathématique du nombre, son utilisation est supprimée de l école maternelle et du cours préparatoire au profit d activités symboliques, de classification, de sériation, et de correspondance terme à terme... Enfin, nouveau bouleversement, la circulaire n 86046 du 30 janvier 1986 recommande, à nouveau, de faire apprendre et exercer à l école maternelle, la pratique du nombre. Sous l influence de divers travaux de recherche (dont ceux de l équipe de didactique des mathématiques de l INRP: l équipe ERMEL) le nombre et la file numérique retrouvent une place importante dans les apprentissages. " Progressivement, l enfant découvre et construit la notion du nombre, il apprend et récite la comptine numérique " (circulaire de 1986). Cette orientation sera confirmée dans les instructions officielles de 1995. Cependant, il est indispensable de ne pas «élémentariser» l école maternelle et si les nombres doivent être abordés dès le cycle 1, l aspect ludique doit être privilégié (ce ne doit en aucun cas, être dans le but de systématiser précocement des procédures). Enfin, si les 5

instructions officielles insistent sur la connaissance des nombres en eux-mêmes, elles accordent toujours, une grande importance aux manipulations de collections. 1.2 Apprendre par la résolution de problèmes. «La résolution de problème est l enjeu principal de l apprentissage des mathématiques. Rien ne sert de stocker des connaissances chez les élèves si ces mêmes élèves ne sont pas capables de les utiliser pour en faire quelque chose.» C est par ces phrases que Roland Charnay a entamé son allocution sur les nouveaux programmes de mathématique de l école primaire au cours de sa conférence à l IUFM de Montpellier le 27/11/2002. Il en est pour une bonne part le rédacteur et c est dans cette logique que les programmes de mathématique à l école maternelle ont été écrits. Leur objectif n est pas de définir la notion de nombre, mais de faire en sorte que les nombres aient du sens, que leur utilité soit explicite pour les enfants. En maternelle le nombre doit être vu essentiellement comme un outil, grâce auquel les enfants peuvent agir efficacement sur les objets et les collections. Selon G Vergnaud : «Le savoir se forme à partir de problèmes à résoudre, c'est-à-dire de situations à maîtriser» («Psychologie du développement cognitif et didactique des mathématiques», Grand N, n 38). Partant de là, on peut affirmer que les «problèmes» concrets de classe doivent occuper une place importante dans les activités numériques car ils ont du sens pour les enfants. En particulier, toutes les activités de préparation du matériel sont intéressantes car récurrentes et porteuses de sens pour les enfants. On peut, par exemple, demander à un enfant d aller chercher les feutres pour les enfants de son groupe ; un feutre par enfant, pas plus, pas moins. 6

On peut faire de même avec la préparation du goûter, le matériel de motricité, les gommettes Toutefois selon l équipe ERMEL les activités numériques à l école maternelle ne sauraient se restreindre à ce genre de situations. Ils distinguent ainsi trois caractéristiques possibles pour mettre en place des situations d apprentissage variées: «elles peuvent être fonctionnelles ou non, rituelles ou non et enfin construites ou non.?? Une situation est dite «fonctionnelle» si elle se développe à partir de problèmes qui se posent dans la réalité de la classe ou de son environnement et que les élèves ont à résoudre. Répondre aux questions posées est alors nécessaire à la vie de la classe. [ ] C est le cas de la préparation du goûter, de la mise au point d une sortie?? Une situation est dite «rituelle» si elle se répète quasi quotidiennement (pendant une période assez longue) par nécessité, par convention sociale ou par jeu proposé par les enfants ou par le maître.?? Une situation est dite «construite» si elle est élaborée par l enseignant à des fins d apprentissage précises, et si le scénario prévu par l enseignant permet de placer le savoir visé dans un certain contexte et demande à l élève : o d agir dans une situation qui prend du sens pour lui ; o d expliciter les procédures utilisées (ou les savoirs construits) ; o de vérifier la validité de son action ainsi que l exactitude et la pertinence de sa procédure de résolution.» (ERMEL/I.N.R.P, «Apprentissages numériques, grande section de maternelle.») Les situations construites, contrairement aux situations fonctionnelles, permettent ainsi à l enseignant de «jouer» sur les variables didactiques en fonction du niveau des enfants et des 7

objectifs poursuivis. Autre intérêt de ces situations, rien ne garanti que les situations fonctionnelles permettront aux enfants de se poser les bonnes questions au bon moment pour provoquer un changement de procédure par exemple. Pour ces raisons, j ai fait le choix dans la seconde partie de ce mémoire de présenter deux types de situations :?? des situations rituelles et fonctionnelles (car elles ont un sens évident pour l enfant) ;?? des situations construites (car elle permettent de proposer des situations plus ciblées aux niveau des apprentissages). 1.3 L importance du calcul réfléchi. En comparant les instructions officielles de 1995 et de 2002, concernant les mathématiques, on peut constater une évolution significative de la place accordée au calcul réfléchi. En effet, le calcul raisonné est clairement présenté comme une des priorités des nouveaux programmes. Je vais tenter de répondre ici, brièvement, à la question : «Pourquoi faut-il faire à l école primaire du calcul réfléchi?». On peut rapidement donner trois grands arguments pour répondre à cette question:?? Parce que c est utile dans la vie quotidienne.?? Parce que cela permet une meilleure compréhension de la numération de position et donne du sens aux opérations.?? Parce que cela permet un travail sur les procédures personnelles (en particulier lors des activités de résolution de problèmes). 8

Parce que c est utile dans la vie quotidienne : C est bien évidemment l argument essentiel justifiant son apprentissage à l école. Je vais me contenter de donner ici un exemple d utilisation du calcul réfléchi dans la vie quotidienne : Pour connaître, en francs, le prix d un article en euros, un moyen de calcul approché relativement simple est de multiplier le prix en euros par six, puis par sept, et de prendre de prix moyen entre les deux. Faire ces opérations c est faire du calcul réfléchi! Il faut savoir que multiplier par 6,55957 reviens approximativement à multiplier par 6,5, et que multiplier par 6,5 équivaut à prendre la moyenne entre le résultat de la multiplication par 6 et le résultat de la multiplication par 7 (X*6,5= X*13/2=X*(6+7)/2= (X*6+X*7)/2). Bon nombre d entre nous font ainsi énormément de calcul réfléchi en faisant leurs courses Parce que cela permet une meilleure compréhension de la numération de position et donne du sens aux opérations : lors des activités de calcul réfléchi les enfants peuvent être amenés à effectuer des décompositions des nombres, à travers ces activités ils travaillent la compréhension de la numération de position (par exemple : 300+210=3*100+2*100+10= 100+100+100+100+100+10=5*100+10=510). Ces activités de décomposition mettent en avant la différence de signification des chiffres suivant leur place dans le nombre (numération de position). De même, la pratique du calcul réfléchi permet aux enfants de résoudre grâce à des procédures personnelles des problèmes pour lesquels ils ignorent encore la solution experte ou les techniques opératoires (en grande section de maternelle on peut par exemple demander à des enfants «Sachant qu il y a 8 enfants qui mangent à la cantine aujourd hui, et qu il y a autant de filles que de garçons, combien de filles mangent à la cantine aujourd hui?». Les 9

enfants peuvent répondre en faisant du calcul réfléchi (4+4=8) alors qu ils ignorent le sens de la division 8/2). Enfin, parce que cela permet un travail sur les procédures personnelles (en particulier lors des activités de résolution de problèmes). Lors des activités de calcul réfléchi les enfants sont amenés à utiliser des procédures personnelles (par exemple : 29+31= 29 +30+1=59+1=60 mais aussi 29+31= 29+1+30=30+30=60). Pour un même résultat il existe souvent une multitude de raisonnements possibles. Cette diversité peut être exploitée en demandant aux enfants d expliciter leurs procédures. Cette mise en commun des différentes méthodes peut favoriser l évolution des stratégies de résolution des élèves. 1.4 Quels sont les différents modes de quantification chez le jeune enfant? Dénombrer, c est associer à une collection, son nombre d éléments. Contrairement à ce que l on pourrait croire, le dénombrement d une quantité n implique pas, nécessairement, le recours à la comptine numérique. En effet on peut percevoir chez le jeune enfant deux modes différents de quantification des collections: le mode analogique et le mode conventionnel. Le mode analogique, consiste à faire correspondre à la collection que l on cherche à dénombrer, une collection témoin plus facile à représenter, à manipuler (doigts de la main, chaises autour d une table, traits,...). L enfant utilise alors, une correspondance terme à terme (visuelle ou manuelle) pour faire le dénombrement. Ce mode de quantification 10

n implique, ni le recours à la file numérique, ni même une dénomination de la quantité (par exemple: l enfant montre ses doigts en disant «il y en a comme ça»). Le mode conventionnel, consiste à utiliser une suite de mots nombres, à partir de laquelle il est possible de désigner des quantités, par comptage. Le dénombrement aboutit alors à l énonciation d un mot nombre, ayant uniquement une signification numérique (contrairement aux collections de référence du comptage analogique qui ont d autres utilisations). On peut distinguer trois grands types de procédures de dénombrement:??la vision globale: elle ne concerne que les petites quantités (en général inférieures à 4). L enfant dénombre par vision globale, quand il reconnaît directement la quantité et cela quel que soit le positionnement des objets.??la perception visuelle: elle se rapproche de la vision globale, par le fait que le nombre d éléments, est directement reconnu, mais elle s appuie sur une disposition particulière de la collection (par exemple une collection de quatre éléments présentés en carré).??le comptage: c est mettre en correspondance, la suite des objets, et la suite des mots nombres de la comptine numérique (le résultat du comptage étant le dernier mot nombre prononcé). Chez le jeune enfant ces deux modes de quantification peuvent coexister. Toutefois, le mode conventionnel prend généralement rapidement le dessus en raison de son omniprésence sociale, et des possibilités de dénombrement, beaucoup plus grandes, qu il offre (le mode analogique est surtout utilisé par les enfants de petite section). 11

II. Pratiques de classe. 2.1 Des situations rituelles et fonctionnelles. Plutôt que de présenter un rituel complet je présente ici diverses activités de calcul réfléchi que l on peut mettre en place au moment des rituels. Certaines peuvent avoir lieu tous les jours ; d autres, exploitent des situations de classe un peu moins récurrentes. Avec les étiquettes : Remarque : pour faciliter la compréhension de la situation j ai retranscrit ces activités sous forme de dialogue avec un exemple. Situation 1 L enseignante : «Combien y a-t-il d absents ce matin? Les enfants : Un Combien reste-t-il d étiquettes? Trois Sachant qu il y a un absent, combien d enfants ont oublié de mettre leur étiquette? Deux Comment tu as fait? 12

J en ai trois, j en enlève un, il en reste deux.» Situation 2 : Sachant qu il y a un absent ce matin, combien y a-t-il d enfants dans la classe ce matin? Vingt sept Comment tu as fait? Je suis partie de 26 quand il y a tout le monde et j enlève Antoine. Ca fait 25. On vérifie en mettant l étiquette d Antoine derrière le 26. Situation 3 : Sachant qu il y a 8 enfants qui mangent à la cantine aujourd hui, et qu il y a autant de filles que de garçons, combien de filles mangent à la cantine aujourd hui? 4 Comment tu as fait? Parce que 8 ça fait 4 et 4 et qu il y en a pareil. Avec les mains :?? Demander à un enfant de montrer sur ses doigts le nombre d enfants présents ce matin (en fermant plusieurs fois ses deux mains pour représenter à chaque fois dix).?? Demander à deux ou trois enfants de montrer avec les mains le nombre d enfants présents (absents) en se mettant côte à côte au tableau. Un autre enfant recompte le tout.?? Lors de la situation précédente on peut demander aux enfants de modifier chacun le nombre de doigts montré mais de sorte que le total reste inchangé. Cette activité vise à 13

travailler la commutativité de l addition avec les grands nombres (10+10+2=10+2+10) et les différentes décompositions d un même nombre avec les petite quantités (5+0=1+4=2+3) Avec un boulier : Pour cette activité il est nécessaire d avoir dans la classe un boulier possédant sur chaque ligne dix boules (cinq boules doivent être d une même couleur, les cinq autres étant d une autre couleur). Ici aussi pour faciliter la lecture je retranscris l activité sous forme de dialogue. Il y a ce matin dans la classe vingt sept enfants. Un élève a déplacé sur la droite du boulier vingt sept boules (dix, dix et sept sur la troisième ligne). «Comment tu as su que c était 7? Parce que 7 c est 5 et 2 et une ligne ça fait 10. On est 27, est-ce qu on va réussir à se mettre tous 2 par 2? Est ce que c est un nombre pair ou impair 27? Impair. Comment tu as fait? Sur le boulier 7 ça fait 2+2+2+1, alors l en reste 1. Mais pourquoi les 2 premières lignes tu ne t en sers pas? Parce que 10 on peut les mettre 2 par 2. Avec le calendrier. 14

?? Demander aux enfants la date du jour et leur faire expliciter leurs procédures (par exemple : «On est le 18 parce que hier on était le 17.»)?? Travailler sur l anticipation (par exemple : «Sachant qu on est le six et que l on va au cinéma le douze, dans combien de jours va-t-on au cinéma?»). 2.2 Des situations construites. Le choix des séances : Pour pouvoir proposer à des enfants des activités utilisant explicitement le calcul réfléchi, tout un travail sur la construction du nombre doit être fait auparavant. Je présente ici quatre situations construites. Les séances trois et quatre font intervenir de façon explicite le calcul réfléchi. Ce n est pas le cas des deux premières situations. J ai choisi d inclure ces deux premières séances dans mon mémoire car il me semble important de rendre compte (même rapidement) de tout le travail à faire avant d arriver au calcul réfléchi. Les bateaux (correspondance constellation/quantité et chiffre/quantité). Niveau : Moyenne section au mois de Décembre. Effectif: 6 enfants (Travail en ateliers dans une classe double niveau petits/moyens. Je travaille avec un des groupes). Objectifs : À travers un jeu permettre aux enfants de travailler sur le dénombrement et la correspondance quantité /constellation. 15

Matériel:?? 10 «bateaux» de couleur pour chaque enfant.?? 1 boite «port» par enfant.?? 1 dé avec uniquement des faces 1, 2, 3, 4 et 5 (la face 2 est en double). Durée: 15 minutes Contexte de classe :?? Stage en responsabilité. Déroulement de l activité : Phase collective: Tous les bateaux sont disposés au centre de la table. A son tour, chaque enfant lance le dé et fait entrer dans son «port» autant de bateaux de sa couleur que l indique le dé. Le gagnant est le premier à avoir ramené au port tous ses bateaux. Variante : Même jeu mais en utilisant un dé présentant les chiffres de un à six et non plus les constellations «classiques». Analyse: Au cours de ma première visite dans la classe, l enseignante m avait dit avoir engagé un travail sur les chiffres et avait affiché dans la classe une double frise numérique de 1 à 5 présentant de façon superposée les chiffres et les constellations du dé correspondantes. Dans l optique de poursuivre cette découverte des chiffres j ai préparé pour les enfants de moyenne section une activité de dominos. Il s agissait de dominos doubles présentant sur une partie du domino un chiffre de 1 à 5 et sur l autre une constellation du dé. Les enfants devaient associer la constellation au chiffre correspondant. 16

Lorsque j ai mis cette activité en place je me suis très rapidement rendue compte que j avais surévalué le niveau des enfants. Non seulement les enfants ne comprenaient pas la signification des chiffres. Ils n avaient pas conscience que le chiffre représentait une quantité. Mais j ai pu constater que les enfants de la classe avaient encore des difficultés concernant le dénombrement. Même les enfants les plus «dégourdis» n avaient pas un comptage sur de 1 à 5, ils se trompaient régulièrement. C est à partir de cet «échec» que j ai imaginé l activité des bateaux. Mon objectif dans cette activité était double. Tout d abord, travailler le dénombrement en faisant construire aux enfants des collections. Mais aussi donner du sens aux constellations et aux chiffres en leur associant les quantités correspondantes. Du point de vue de la réalisation de l activité les enfants n ont connu qu une seule vraie difficulté. Je vais tenter de l expliquer à partir d un exemple :?? Au premier tour de jeu Lauriane a obtenu 2 bateaux.?? Lorsqu elle lance le dé au second tour elle obtient un 5.?? Elle commence alors à prendre un bateau dans «la mer», puis un autre mais s arrête là. Lauriane : «Combien il m en faut d autres? Moi : Combien tu devais en prendre? Cinq! Et combien tu en as pris? Je sais plus Comment ça se fait? Ils se sont mélangés avec ceux d avant. La grande majorité des enfants ont eu dans un premier temps la même difficulté que Lauriane. Ils mettaient directement les nouveaux bateaux dans le port et ne les séparaient pas des autres. 17

Suite à ce problème j ai demandé aux enfants : «Comment on pourrait faire pour ne pas se tromper?». Ils ont proposé deux solutions :?? Ne pas mettre directement les nouveaux bateaux gagnés dans le port mais les regrouper dans un «coin de la mer».?? Bien séparer, dans le «port», les anciens bateaux des nouveaux (en les éloignant le plus possible). Du point de vue des compétences à acquérir cette erreur m a paru intéressante à exploiter car lors des activités de comptage de grandes quantités, bon nombre d enfants rencontrent ce genre de difficultés. Je souhaitais ici saisir l occasion de faire évoluer leurs procédures. Les dominos : correspondance quantité/quantité. Niveau : Moyenne section au mois de Décembre. Effectif: 6 enfants (Travail en ateliers dans une classe double niveau petits/moyens. Je travaille avec un des groupes de moyens) (remarque : j ai inclus dans un des groupes une enfant de petite section particulièrement à l aise concernant le dénombrement) Objectifs : À travers des manipulations permettre aux enfants de travailler sur le dénombrement d objets fixes et la correspondance quantité /quantité. Matériel: Un jeu de dominos présentant sur chaque partie du domino deux quantités différentes (quantités comprises entre 1 et 5). Durée: 15 minutes Contexte de classe :?? Stage en responsabilité.?? Les enfants ont l habitude de jouer aux dominos en particulier avec des dominos sur les couleurs. 18

?? Les groupes d enfants qui travaillent sur cette activité sont des groupes hétérogènes du point de vue des compétences numériques. Par contre, suivant son niveau, je donne en début de partie à chaque enfant des dominos comportant des constellations plus ou moins grandes. Déroulement de l activité : Phase collective: Chaque enfant a à sa disposition 4 dominos. Je dispose le premier domino puis, à tour de rôle chaque enfant essaye de placer un de ses dominos sur la table en associant deux dominos représentant des quantités égales. Le «gagnant» est celui qui, le premier, a placé tous ses dominos sur la table. Analyse: Comme je l avais remarqué lors de l activité avec les dominos chiffre/constellation les enfants de la classe ont des difficultés pour dénombrer une collection fixe de 1 à 5 éléments. Aucun enfant n a un dénombrement sûr (les enfants les plus à l aise se trompent quasiment 2 fois sur 4 lorsqu ils dénombrent une collection fixe à 5 éléments). Pourtant lors de diverses activités j ai pu remarquer que certains enfants étaient assez à l aise lorsqu il s agissait de dénombrer des objets mobiles. Suite au travail avec les bateaux, j ai pu observer que lorsque ces enfants comptaient des objets mobiles ils séparaient souvent les objets déjà comptés des autres. La difficulté vient ici pour eux de l impossibilité de bouger les objets, de trier ceux déjà comptés, de ceux encore à compter. C est avec l objectif de faire travailler cette compétence que j ai proposé cette activité. Un défaut du jeu de domino que j ai pu constater est qu il s agit d un jeu collectif. Je trouvais intéressant de faire jouer les enfants à des jeux collectifs car il n y en avait pas dans la classe habituellement et cela permettait de travailler des compétences liées au domaine : «vivre 19

ensemble» (accepter et respecter les règles du jeu, attendre son tour pour jouer ). Ici cela a été problématique car cela était gênant par rapport à l objectif de séance que je m étais fixé. En effet j ai remarqué qu un enfant prenait systématiquement en main le dernier domino joué et le plaçait juste devant lui pour dénombrer la collection de référence. En y réfléchissant par la suite je me suis rendue compte que les enfants n avaient pas sous les yeux tous les dominos mais qu ils étaient au centre de la table. Je ne m étais pas rendue compte que cette disposition ajoutait une difficulté au dénombrement. Pratique de classe: le sur-comptage. Niveau : Grande section. Effectif: environs 6 enfants (Travail en ateliers). Objectifs :?? Permettre à l enfant de construire au fur et à mesure de l année la procédure de comptage et de calcul la plus experte (comptage mental à partir de la collection ayant le plus grand nombre d éléments).?? Favoriser la mémorisation de résultats additifs simples. Matériel:?? Un plateau de jeu avec un train et une trentaine de wagons.?? Deux dés «classiques» (constellations).?? Deux dés avec les chiffres de 1 à 6. Déroulement de l activité : 20

Règle du jeu : Même type de jeu que le jeu de l oie. Chaque enfant a en début de jeu un pion placé au fond du train. A son tour il lance les dés et avance son pion d autant de cases que le résultat des deux dés. L objectif est d être le premier à rejoindre la locomotive. Phase n 1: le jeu se joue avec les deux dés «classiques». Les enfants sont libres de recompter le tout pour trouver le résultat de la somme des deux dés. Phase n 2: le jeu se joue avec un dé classique et un dé «chiffré». Travail sur les procédures de sur comptage : reconnaître le chiffre et sur compter en utilisant les points sur le second dé. Phase n 3: le jeu se joue avec deux dés «chiffrés». Travail sur les procédures de sur comptage :?? reconnaître un chiffre et sur compter en utilisant ses doigts pour «traduire» le second dé.?? reconnaître le chiffre le plus grand et sur compter à partir de lui. A ce stade du jeu on espère que la répétition des additions favorisera la mémorisation des résultats additifs. Commentaire : Je n ai malheureusement pas pu tester cette progression dans une classe tout au long de l année. Pratique de classe: correspondance chiffre/quantité. Niveau : Grande section au mois de janvier. Effectif: 8 enfants (Travail en ateliers, 2 sont menés par l enseignante, 1 par une autre stagiaire, je travaille avec le dernier groupe). Objectifs : 21

?? Reconnaître l écriture chiffrée des nombres de 5 à 10.?? Utiliser des repères (décompositions) pour reconnaître un nombre sans sur compter (calcul réfléchi).?? Reconnaître globalement des petites quantités organisées en configurations connues (doigts de la main, constellations du dé) (I.O. p35). Matériel:?? 1 jeu de dominos doubles associant nombres et doigts de la main (5 à 10).?? 1 jeu de dominos doubles associant nombres et constellations du dé (6 à 10). Durée: 25 minutes Contexte de classe :?? Journée GAP. Déroulement de l activité : Phase collective n 1: Découverte du jeu de dominos avec les mains : «Qui sait jouer aux dominos? Comment on y joue?». Chaque enfant choisit 3 dominos. A tour de rôle les enfants essayent de compléter le jeu. But pour les enfants : être le premier a avoir posé tous ses dominos. Phase collective n 2: Même jeu mais cette fois avec les dominos présentant les constellations du dé. Phase collective n 3: Même jeu mais cette fois les enfants peuvent choisir leurs dominos de départ parmi les deux jeux (mains et constellations). Observation du choix des enfants. Relevés d échanges au niveau du groupe : (transcription textuelle) Moi: «Qui a un domino avec 9 doigts levés ou 9 points?» Florian : «Moi! Et j ai même pas compté!» 22

«Comment tu as fait alors pour savoir qu il y avait 9 points? Explique moi.»? Tarik : «C est parce qu il a compté dans sa tête.» «Non j ai même pas compté dans ma tête.» «Tu n a pas compté même dans ta tête, alors comment tu as fais?» «Je sais pas» «Tu l as reconnu de suite?» «Oui.» Analyse: Du point de vue de la compréhension du jeu les enfants n ont eu absolument aucun problème. J avais peur que le fait d associer des chiffres et «des mains» les perturbe un peu, ça n a pas été le cas. Ils se sont très rapidement attachés uniquement à l aspect numérique des représentations, tant pour les constellations du dé que pour les mains. Du point de vue des techniques employées pour dénombrer j ai pu remarquer une aisance plus grande avec les dominos représentants les mains. Tous les enfants arrivaient à reconnaître directement le nombre 5 représenté par la main entière et environ la moitié des enfants reconnaissaient globalement le six et le sept. A l inverse seul un enfant a réussi à dénombrer globalement une quantité présentée sous la forme d une constellation. J ai retranscrit cidessus le dialogue qui a suivi cette reconnaissance. Vu le peu d informations qu apporte l enfant sur sa démarche il est difficile de savoir s il a procédé par calcul réfléchi (6+3=9) ou par reconnaissance globale de la constellation. Toutefois, étant donné qu il a compté a plusieurs reprises pour dénombrer la constellation 7 (6+1) je fais l hypothèse qu il a procédé par reconnaissance globale. 23

J ai discuté avec l enseignante de la plus grande habileté des enfants avec les dominos représentant les mains. Celle-ci m a expliqué qu elle avait fait un travail plus systématique avec les mains qu avec les constellations du dé et que cette plus grande facilité des enfants provenait sûrement de là. Enfin, concernant la dernière phase de jeu, je pensais que le choix des enfants pour leurs dominos serait guidé par leur facilité plus ou moins grande à dénombrer les quantités avec les mains ou avec les constellations. En réalité ça n a pas du tout été le cas. Les enfants ont choisi les dominos quasiment uniquement en fonction des chiffres. Je fais l hypothèse qu ils ont choisi les dominos par rapport aux chiffres parce qu ils les reconnaissaient plus facilement que les mains ou les constellations. Ils associaient immédiatement au chiffre le mot nombre correspondant alors qu il leur fallait compter pour reconnaître la quantité (et donc le mot nombre) sur les mains ou avec les constellations. Je pense que c est un indice montrant une bonne maîtrise de la signification des chiffres. 24

Conclusion Au début de ce mémoire j évoquais l importance du calcul réfléchi dans les nouveaux programmes de mathématiques de l école primaire. Je dois avouer qu au début de ma réflexion, les justifications de cette place privilégiée accordée au calcul raisonné n étaient, pour moi, pas toutes évidentes. A l issu de ce mémoire je ne prétends pas être devenue une experte en la matière mais grâce à ce travail, ma réflexion a avancé et mes pratiques de classe ont évoluées. D un point de vue «théorique», ces travaux m ont permis tout d abord de mieux percevoir l enjeu des activités de résolution de problèmes. Les mathématiques à l école primaire doivent permettre aux enfants d agir sur le réel et les situations de résolution de problème sont le lieu privilégié de cette action. D autre part, j ai pu me rendre compte de l importance dans la vie quotidienne comme à l école du calcul réfléchi ; des aides considérables qu il fournit pour construire des connaissances numériques et calculatoires. D un point de vue pratique, j ai cherché à appliquer ces grands «principes» dans des séances de classe. Toutes ces séances n ont pas été des réussites mais j en ai dégagé des enseignements. Deux grands types d activités peuvent être mise en place à la maternelle. D une part, des activités rituelles à l arrivée des enfants le matin. Les rituels sont des occasions quotidiennes de réaliser des activités numériques porteuses de sens pour les enfants. D autre part, des situations construites par l enseignant où grâce au jeu l enfant s investit dans l activité. 25

L école maternelle est un premier moment de l aventure mathématique de l élève. Les mathématiques n y sont pas encore constituées en discipline indépendante. Mais déjà à travers les premières connaissances qu il acquiert sur les nombres, mais aussi sur l espace et les formes, l enfant développe une pensée mathématique. Ces connaissances sont évidemment inachevées en fin de grande section mais, elles n en sont pas moins fondamentales, pour la suite de la scolarité. Non seulement elles constituent une base pour les apprentissages mathématiques ultérieurs, mais elles sont, également, un outil pluridisciplinaire (sciences, technologie, arts plastiques...). Enfin, il semble indispensable, de ne pas oublier le plaisir de l enfant: plaisir de jouer, plaisir de faire, plaisir d apprendre; ainsi, les activités mathématiques à l école maternelle, permettront réellement à l enfant de «découvrir le monde». 26

Bibliographie?? Bulletin officiel du Ministère de l Education Nationale et de la Recherche, «Numéro hors série : horaires et programmes d enseignement de l école primaire», n 1, 14 février 2002.??? Brissiaud R, «Comment les enfants apprennent à calculer.», Retz, 1989.??? ERMEL/I.N.R.P, «Apprentissages numériques, grande section de maternelle.», Hâtier enseignants, 1992.??? I.R.E.M de Grenoble, «Grand N spécial maternelle. Tome 1: Approche du nombre», 2000. 27

Annexes. Pratiques de classe : Des situations construites. Les bateaux : 28

Situation 2, les dominos : 29

Situation 4, les dominos : 30