TRAVAIL PRATIQUE DU COURS DE THEORIE DES VIBRATIONS : ANALYSE MODALE D UN NANOSATELLITE ANNEE ACADEMIQUE 2008-2009
ENONCE Depuis quelques années, des universités, sous l impulsion de l université de Stanford aux Etats-Unis, se sont lancées dans la réalisation de satellites entièrement conçus par des étudiants. Ces satellites portent le nom de CubeSat et doivent répondre à des normes strictes : un CubeSat est un cube de 10cm de côté qui ne peut pas peser plus d un kilogramme. Depuis octobre 2007, des étudiants de l Université de Liège développent le satellite OUFTI-1 dont la mission principale est l utilisation du protocole de télécommunications D-STAR dans l espace. Lors de leur lancement, les satellites doivent résister à des sollicitations vibratoires importantes. Une étape importante de la conception d un satellite est donc de garantir l intégrité structurale de celui-ci, une fois arrivé en orbite. Dans ce contexte, l objectif du travail est d étudier le comportement dynamique de la structure principale d un CubeSat et de vérifier la compatibilité de celui-ci avec les spécifications imposées par la fusée Ariane V. Afin de progresser vers cet objectif, on demande de respecter la procédure suivante : A. Analyse dynamique d une poutre encastrée-libre On demande : A1. D écrire une fonction Matlab qui calcule les matrices de raideur et de masse d une poutre encastrée-libre discrétisée par n éléments finis de poutre tridimensionnels (6 degrés de liberté par noeud) sans déformation à l effort tranchant (cf. Figure 1). L Figure 1 : Poutre encastrée-libre A2. D exploiter cette fonction pour calculer les 5 premiers modes et fréquences propres de la poutre décrite dans le tableau ci-dessous. Longueur L Section Matériau 10 cm Rectangulaire : 4 mm (horiz.) x 3 mm (vert.) Aluminium : E=72000 MPa, ρ=2700 kg/m 3, ν=0.33 A3. De choisir le nombre d éléments pour que les 5 premières fréquences propres aient convergé (i.e., changements inférieurs à 0.5% lorsque le nombre d éléments augmente de 1).
B. Analyse dynamique de la structure principale d un CubeSat On demande : B1. D exploiter les développements réalisés au point A pour calculer les 5 premiers modes et fréquences propres du CubeSat MASTER-1 représenté à la Figure 1 (convergence de 0.5%). Dans ce but, on considérera un modèle simplifié qui ne tiendra compte que des 12 arêtes du cube et des 2 renforts diagonaux. Les dimensions du CubeSat sont fournies à la Figure 3. Comme les satellites sont généralement boulonnés à leur interface avec le lanceur (cf. Figure 2), on supposera la structure principale complètement encastrée sur ses quatre pieds. Une matrice d amortissement proportionnel sera choisie pour avoir un amortissement de l ordre de 0.2% pour les 5 premiers modes. B2. Pour éviter tout couplage dynamique entre la fusée Ariane V et le CubeSat, on demande de vérifier si 1. La fréquence fondamentale du satellite dans la direction longitudinale (z) est supérieure à 90 Hz. 2. La fréquence fondamentale du satellite dans les axes latéraux (x,y) est supérieure à 45 Hz. L amortissement doit être pris en compte dans ce calcul. B3. De réaliser à l aide d un superélément un modèle réduit du satellite avec amortissement. Ce superélément aura pour nœuds d interface les 4 nœuds de votre modèle les plus proches des quatre pieds encastrés. On vous demande de choisir le nombre de modes internes pour avoir une erreur de 0.5% maximum sur les 5 premières fréquences propres et un MAC (modal assurance criterion) de 0.95 sur les 5 premiers modes propres. ( x(1) x(2) ) MAC, = T 2 ( x(1) x(2) ) T T ( x(1) x(1) )( x(2) x(2) ) B4. D écrire une fonction Matlab qui réalise l intégration temporelle des équations du mouvement à l aide de la méthode de Newmark. B5. Lors des tests de qualification d un satellite, une excitation couramment utilisée est un balayage sinus (swept sine ou chirp). On vous demande donc de simuler ce test en utilisant le modèle réduit développé au point B3 et l algorithme de Newmark développé au point B4. L amortissement du satellite sera pris en compte. Un swept sine d amplitude égale à 100N dont la fréquence varie de 100 Hz à 600 Hz en 1 minute sera appliqué aux 4 nœuds d interface du superélément dans la direction x.
CONSIGNES DE TRAVAIL 1. Le travail est à effectuer par groupe de 2. 2. Le travail est à effectuer dans l environnement Matlab. Une modélisation dans le logiciel SAMCEF ne fait pas partie des objectifs du travail. 3. La date limite pour rendre le travail est fixée au 19 décembre 2008. Tout retard devra être justifié. 4. Le rapport écrit sera rédigé de manière claire et concise (le rapport ne devrait pas comporter plus de 30 pages); tous les résultats doivent néanmoins être commentés. Des versions papier et électronique seront fournies. Un programme Matlab qui s appellera CubeSat.m reproduisant les résultats demandés de manière autonome devra également être fourni. 5. Le rapport doit refléter strictement le travail du groupe en question. Tout plagiat ou utilisation de programmes écrits par d autres groupes sera très sévèrement sanctionné. 6. Une présentation orale du travail est prévue lors de l examen oral. 7. L évaluation est basée sur les résultats obtenus ainsi que sur l interprétation qui en est faite. Une attention particulière sera également réservée à la qualité du rapport écrit, à l esprit de synthèse et à la rigueur scientifique des propos.
E z y E E=encastrement x Figure 1 : Structure principale du CubeSat MASTER-1 Figure 2 : ASAP5 Ariane Structure for Auxiliary Payload
Figure 3 : Dimensions du CubeSat MASTER-1