Avant de commencer Trois statisticiens partent à la chasse au gros gibier munis d arcs et de flèches. A la vue d un cerf, deux d entre eux se mettent en position de tir. La flèche du premier passe trois mètre à droite de l animal, celle du second passe trois mètres à gauche. Fou de joie, le troisième statisticien se met à sauter sur place en hurlant : «On l a eu! on l a eu!». Moyenne et étendue d une série statistique Voici les températures mensuelles moyennes relevées à Paris et à New York durant une année. Définition : «l étendue d une série statistique est un indicateur de dispersion des données. Il s agit de la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de la série statistique.» Définition : «la moyenne d une série statistique est un indicateur de position des données. Il s agit du quotient de la somme de toutes les données de la série statistique par l effectif total.» Déterminer l étendue de la série des températures mensuelles moyennes relevées à Paris. Déterminer l étendue de la série des températures mensuelles moyennes relevées à New York. Calculer la moyenne annuelle des températures à Paris. Calculer la moyenne annuelle des températures à New York. Diagramme en bâtons Monsieur J et Monsieur K sont professeurs et comparent les séries de notes obtenues par les 20 élèves d une classe de troisième au dernier contrôle effectué. Construire les diagrammes en bâtons des deux séries. Monsieur J Monsieur K Activités Page 1
Avant de continuer L origine du mot «statistique» est multiple, il peut provenir du latin «status» signifiant «état» ou encore de l allemand «staadskunde» signifiant «science des états». On comprendra alors qu un premier objectif des statistiques fut d observer des faits, de rendre compte de l état d une situation. Au commencement, la statistique se contente donc de rassembler, de compter, parfois de classer les données. Il ne s agit pas encore de les traiter. On appellera cela «la statistique descriptive». On résume ainsi la série de nombres appelée série statistique par un ensemble de nombres tels que l étendue, la moyenne, la médiane, les quartiles Médiane d une série statistique Deux groupes d élèves d une classe de troisième ont été évalués lors d un contrôle. Voici les deux séries de notes : Définition : «la médiane d une série statistique est un nombre qui partage cette série en deux séries de même effectif. La médiane permet de préciser la position des autres données de la série statistique.» 1. Déterminer la médiane de la série de notes du groupe 1. 2. Déterminer la médiane de la série de notes du groupe 2. 3. Calculer la moyenne de chaque groupe. Effectuer un commentaire. Quartiles d une série statistique Le premier quartile noté Q 1 est la plus petite donnée de la série telle qu au moins 25% des données luis soient inférieures ou égales. Le troisième quartile noté Q 3 est la plus petite donnée de la série telle qu au moins 75% des données luis soient inférieures ou égales. Définition : «les quartiles sont des indicateurs de position des données. Ces indicateurs partagent la série statistique en quatre parties à peu près de même effectif.». Pourquoi ne parle-ton pas de deuxième quartile? Définition : «l écart interquartile est un indicateur de dispersion des données. Il s agit de la différence entre le troisième quartile et le premier quartile.» 1. Quelle est la population étudiée? Quel est le caractère étudié? 2. Calculer la moyenne arrondie au centimètre près de cette série statistique. 3. Déterminer la médiane de cette série statistique. 4. Déterminer le premier et le troisième quartile de cette série statistique. Activités Page 2
Résumé : le diagramme en boîte La médiane, les quartiles et l étendue d une série statistique peuvent être représentées sur un diagramme appelé «diagramme en boîte». La moyenne, la médiane et les quartiles sont des indicateurs de position. L étendue et l écart interquartile sont des indicateurs de dispersion. Comparaison de séries statistiques On considère une série de 17 notes représentées ci-contre par un diagramme en bâtons. Déterminer la moyenne, la médiane, le 1 er et le 3 e quartile de cette série de référence. Déterminer l étendue et l écart interquartile. Vrai ou faux? En observant les deux diagrammes en boîte, préciser si les affirmations sont vraies ou fausses : «En 3 e B, le quart des élèves ont moins de 4». «En 3 e A, la moitié des élèves a entre 8 et 14». «En 3 e B, le niveau des élèves est plus homogène». «En 3 e A, il y a à peu près autant d élèves qui ont entre 1 et 8 que d élèves qui ont entre 14 et 16». «En 3 e B, il y a à peu près autant d élèves qui ont entre 4 et 11 que d élèves qui ont entre 11 et 16». «Si il y a 28 élèves en classe de 3 e A, combien d élèves ont la moyenne? Combien d élèves ont au moins 14?». Activités Page 3
Robustesse des indicateurs moyenne et médiane On cherche à savoir, suivant les situations, lequel des indicateurs est le plus robuste, c'est-à-dire le moins sensible à de petits changements des valeurs de la série. On prendra comme exemple deux villes, Joli-Bois et Ville-Belle. Dans ces deux villes, on a relevé l évolution de la valeur de 40 appartements, entre 2008 et 2010. On exprime cette valeur en dizaine de milliers d euros. Indicateurs pour le premier échantillon Dans le cas de Ville-belle, compléter le tableau. Déterminer la moyenne et la médiane en 2008 et en 2010. Lequel de ces deux indicateurs vous semble être, dans cette situation, le plus robuste? Valeur en k Effectifs en 2008 Effectifs en 2010 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 Indicateurs pour le deuxième échantillon Dans le cas de Bois-Joli, compléter le tableau. Déterminer la moyenne et la médiane en 2008 et en 2010. Lequel de ces deux indicateurs vous semble être, dans cette situation, le plus robuste? Valeur en k Effectifs en 2008 Effectifs en 2010 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 Activités Page 4
Etude d un caractère quantitatif continu On propose la répartition des accidents corporels de la route selon les heures de la journée : Tranche horaire Nombre d accidents Fréquences exprimées en % Fréquences cumulées croissantes [0 ;3] [3 ;6] [6 ;9] [9 ;12] [12 ;15] [15 ;18] [18 ;21] [21 ;24] 8155 6528 15284 18006 23703 29759 29172 13002 Représenter la répartition des fréquences cumulées par un histogramme. Tracer la courbe de répartition qui joint les sommets «en haut à droite» des rectangles de l histogramme. Déterminer les abscisses des points A, B et C de la courbe de répartition qui ont pour ordonnées respectivement 25%, 50% et 75%. A quels indicateurs ces trois abscisses correspondent-elles? Compléter la phrase suivante : «le premier quart des accidents corporels sur la route a lieu, le deuxième quart a lieu, le troisième quart a lieu, le dernier quart a lieu». Quelle est la phase de la journée la plus dangereuse sur la route? Justifier votre réponse. Activités Page 5
Définition de la moyenne n x n x n x x N 1 1 2 2... p p x 1, x 2,, x p sont les différentes valeurs prises par la série statistique. Application directe des définitions On considère deux séries statistiques constituées des notes obtenues par une classe de 17 élèves à deux devoirs : Deux séries statistiques n 1, n 2,, n p sont les effectifs respectifs de chacune de ces valeurs. N est l effectif total. Définition de la variance La variance d une série statistique est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. Diagramme en bâtons série 1 Définition de l écart type L écart type d une série statistique est la racine carrée de la variance. L écart type mesure la dispersion des valeurs de la série autour de la moyenne. Exercice d application Diagramme en bâtons série 2 Xavier et Yves s affrontent en vue d une sélection lors d une épreuve comportant 20 tirs sur cible. Xavier : 50 20 20 30 10 20 30 10 50 30 0 20 30 50 10 50 20 30 30 10 Yves : 50 20 20 50 10 20 30 10 50 30 0 20 0 50 10 50 20 50 30 0 Partie A Calcul de moyenne Calculer la moyenne des points obtenus par Xavier. Calculer la moyenne des points obtenus par Yves. La moyenne permet-elle de départager les deux concurrents? 30 20 10 0 Partie B Calcul d écart type 50 Calculer l écart type de la série des points obtenus par Xavier. Calculer l écart type des points obtenus par Yves. On désire récompenser le tireur le plus régulier. Qui récompensera-t-on? Justifier votre réponse. Activités Page 6
Exercice d application directe Afin d étudier l efficacité d un médicament contre le stress, 60 patients, ayant environ 16,5 de pression artérielle systolique, ont accepté de participer à un essai clinique. Après un tirage au sort, la moitié des patients ont pris le médicament pendant un mois (groupe médicament), l autre moitié un placebo (groupe placebo). Après un mois d essai, on mesure la pression artérielle des patients des deux groupes. Les mesures sont proposées ci-dessous : On propose ci-dessous les tableaux des effectifs, des écarts à la moyenne et des carrés des écarts à la moyenne pour chaque groupe : Groupe placebo : Groupe médicament : Tension 14 15 15,5 16 16,5 17 17,5 12 13 13,5 14 14,5 15 16 17 18 Effectif Ecarts Carrés 1. Déterminer la moyenne x p et x m arrondie au dixième de chacun des deux groupes. Le médicament a-t-il été en moyenne efficace? 2. Déterminer l écart type p et m arrondi au centième de chacun des deux groupes. Que signifie le fait soit supérieur à p? m 3. A l aide des diagrammes en boîtes représentés ci-dessus recopier et compléter la phrase : «si les trois quarts des personnes du groupe placebo ont encore une tension artérielle supérieure à on remarque que les trois quarts des personnes du groupe médicament ont une tension artérielle inférieure à». Activités Page 7
Etude d un caractère quantitatif continu Pour qu un produit laitier puisse faire figurer sur ses produits «20% de matières grasses», il faut : Que la moyenne x soit comprise entre 19,5 et 20,5 : 19,5 x 20,5 Que l écart type soit strictement inférieur à 1,6 : 1,6 Au moins 90% des pourcentages de matières grasses appartiennent à x2 ; x2. Voici les pourcentages de matières grasses lors de la vérification d un échantillon de 517 produits. Pourcentage de matières grasses [16 ; 17[ [17 ; 18[ [18 ; 19[ [19 ; 20[ [20 ; 21[ [21 ; 22[ [22 ; 23[ Effectifs 21 41 96 198 69 85 7 1. Déterminer le pourcentage moyen de matières grasses de l échantillon. 2. Déterminer l écart type de cette série statistique. 3. Le pourcentage de valeurs comprises dans l intervalle x2 ; x2 est-il supérieur à 90%? Vous utiliserez la courbe de répartition (ligne brisée représentant l évolution des fréquences cumulées croissantes de la série statistique) et ferez apparaître sur le graphique les tracés justifiant votre réponse. 4. Les critères pour faire figurer «20% de matières grasses» sont-ils respectés? 1,00 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0,00 16,00 17,00 18,00 19,00 20,00 21,00 22,00 23,00 Annexe : courbe de répartition de la série statistique Activités Page 8
Un autre caractère quantitatif continu Une société fabrique des machines à café «Expresso». Voici la durée de vie de ces machines sur un échantillon de 14244 machines fabriquées : Durée de vie en années [0 ; 1[ [1 ; 2[ [2 ; 3[ [3 ; 4[ [4 ; 5[ [5 ; 7[ [7 ; 10[ Effectifs 326 821 3845 5842 2670 481 259 1. Calculer la durée de vie moyenne x. 2. Calculer l écart type des machines à café de cet échantillon. 3. Estimer à l aide de la courbe de répartition fournie en annexe (ligne brisée représentant l évolution des fréquences cumulées croissantes de la série statistique) le pourcentage de machines dont la durée de vie est située dans l intervalle x2 ; x2. Vous ferez apparaître ci-dessous les tracés justifiant la réponse. 4. La production est dite stable lorsque plus de 90% des valeurs de la série statistique appartient à l intervalle x2 ; x2. Peut-on dire que cette production est stable? 1,00 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00 Annexe : courbe de répartition de la série statistique Activités Page 9
Etude d un algorithme On rappelle ci-dessous les formules donnant respectivement la moyenne, la variance et l écart type d une série statistique : ni xi m N V 2 ni xi m N V On présente ci-contre l écriture d un algorithme permettant de calculer la moyenne, la variance et l écart type. 1. Que contient la variable «t» lors de son affichage? 2. Les lignes 22 et 24 ont été partiellement effacées. Pouvezvous la compléter? Utilisation directe de l algorithme Un entrepreneur souhaite fabriquer des chaussures pour hommes. Il réalise une étude statistique pour connaître la répartition des pointures. Voici les résultats : Taille 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 Effectif 2 4 7 17 31 56 85 50 33 12 5 1. Calculer la moyenne de cette série statistique arrondie au dixième près. 2. Calculer l écart type de cette série statistique arrondi au dixième près. L entrepreneur décide de ne produire que les tailles comprises dans l intervalle m2 ; m 2. 3. Quelles sont les tailles qu il va fabriquer? 4. Quel pourcentage de l étude cela représente-t-il? Activités Page 10