1/81 M1107 : Initiation à la mesure du signal T_MesSig Frédéric PAYAN IUT Nice Côte d Azur - Département R&T Université de Nice Sophia Antipolis frederic.payan@unice.fr 15 octobre 2014
2/81 Curriculum vitae : Frédéric Payan Maitre de conférences à l Université de Nice Sophia Antipolis Recherche : Laboratoire CNRS-I3S, Sophia Antipolis Enseignement : Département RT M1107, M1108, M2107, M2108. Responsabilités en RT : Direction Etudes 2ème année Responsable Poursuite d Etudes email : frederic.payan@unice.fr page web : http ://www.i3s.unice.fr/ fpayan
3/81 Plan du cours : 4 séances 1 Chapitre 0 : Introduction aux signaux (FP, T_MesSig) 2 Chapitre 1 : Notion de puissance dans les transmissions (FP, T_MesSig) 3 Chapitre 2 : Analyse Fréquentielle (FP, T_MesSig) 4 Chapitre 3 : (NF, E_MesSig) 5 Chapitre 4 : (NF, E_MesSig)
4/81 Chapitre 0 : Introduction aux signaux Schéma de transmission numérique simple Information originale Emission Signal Emis Codage (de) source Codage (de) canal Codage (de) ligne Canal Bruit Information Reçue Décodage source Décodage canal Réception Décodage ligne Signal Reçu
5/81 Chapitre 0 : Introduction aux signaux Schéma de transmission numérique simple Source : tout système en évolution (physique, biologique...) peut être considéré comme source ou émetteur d une information (communément appelée message). Signal : c est le véhicule de l information. Il peut être : le courant électrique (réseaux filaires), une onde électromagnétique (radio FM, TNT), etc. Canal : c est le milieu ou le support physique qu emprunte le signal (câbles coaxiaux, fibre optique, atmosphère, etc.). Bruit : signaux parasites qui se superposent au signal.
6/81 Chapitre 0 : Introduction aux signaux Signal et bruit... Données à transmettre Signal transmis Bruit Signal reçu (bruité) Données reçues (données transmises)
7/81 Chapitre 0 : Introduction aux signaux Un signal : c est quoi? Définition Le signal est une grandeur de nature physique quelconque (électrique, optique...) variable au cours du temps (en télécommunications : parole, vidéo, données, etc.). Voix d une femme : Notation : Un signal est généralement noté e(t) (entrée d un système), s(t) (sortie d un système), x(t),...
8/81 Chapitre 1 : La notion de puissance dans les transmissions Notions liées à la puissance Plan du cours 1 Chapitre 0 : Introduction aux signaux 2 Chapitre 1 : La notion de puissance dans les transmissions Notions liées à la puissance Puisance et systèmes Les décibels Les décibels relatifs Bilan de liaison Définitions mathématiques 3 Introduction Rappel sur les harmoniques Représentation fréquentielle d une harmonique Représentation fréquentielle d un signal périodique Représentation fréquentielle d un signal non périodique
9/81 Chapitre 1 : La notion de puissance dans les transmissions Notions liées à la puissance Les ressources fondamentales Ressources fondamentales Dans un système de télécommunications, il existe deux ressources fondamentales : la puissance d émission et la bande passante. Selon les systèmes, une des ressources peut être plus importante : systèmes limités en puissance, systèmes limités en bande passante. Canal Puissance d émission Ressources fondamentales Bande passante
10/81 Chapitre 1 : La notion de puissance dans les transmissions Notions liées à la puissance Les ressources fondamentales A vos clickers! Parmi les systèmes ci-dessous, lesquels sont limités en puissance lors d une transmission de données? 1 Un téléphone portable 2 Un satellite 3 Un émetteur de télédiffusion ou de radiodiffusion 4 Un autoradio 5 Une station de base (émetteurs-récepteurs pour la téléphonie mobile) 6 Combiné DECT (téléphone sans fil de maison) 7 Base DECT (téléphone sans fil de maison)
Chapitre 1 : La notion de puissance dans les transmissions Notions liées à la puissance La puissance d émission : une ressource fondamentale. Ms1 Ms2 Ms1 Ms2 => Mécanismes de contrôle de puissance d émission. 11/81
12/81 Chapitre 1 : La notion de puissance dans les transmissions Notions liées à la puissance La notion d atténuation Tout canal (cable coaxial, paires cuivrées, fibres optiques, atmosphère terrestre,...) atténue la puissance du signal transmis. Cable réseau Prise murale Signal émis Signal reçu Mais tout canal a aussi une puissance maximum à ne pas dépasser. => Attention aux phénomènes d atténuation et d amplification des systèmes!
Chapitre 1 : La notion de puissance dans les transmissions Notions liées à la puissance La notion d atténuation I A vos clickers! J Classez les canaux de transmission suivants du plus au moins atténuant : (a) cable coaxial (b) fibre optique (c) sans fil dans (d) sans fil dans une zone rurale une ville 1 2 3 4 5 a-b-d-c b-a-d-c d-c-a-b d-c-b-a On ne peut pas conclure 13/81
14/81 Chapitre 1 : La notion de puissance dans les transmissions Notions liées à la puissance Comparaison du niveau d atténuation de différents canaux (e) Atténuation en fonction du type de canal. (f) Atténuation en fonction de l environnement (pour un signal à 950 Mhz).
15/81 Chapitre 1 : La notion de puissance dans les transmissions Notions liées à la puissance La notion de puissance au niveau du récepteur Le niveau de puissance du signal reçu doit être supérieur à un seuil minimum, appelée Sensibilité. Ms2 Ms1 Bien qu étant dans la zone de couverture, Ms2 ne capte pas car sa sensibilité est supérieure au niveau de puissance reçu. La sensibilité est liée, entre autres, au RSB (rapport entre les puissances du signal et du bruit) qui évalue la capacité à retrouver le signal original.
16/81 Chapitre 1 : La notion de puissance dans les transmissions Puisance et systèmes Plan du cours 1 Chapitre 0 : Introduction aux signaux 2 Chapitre 1 : La notion de puissance dans les transmissions Notions liées à la puissance Puisance et systèmes Les décibels Les décibels relatifs Bilan de liaison Définitions mathématiques 3 Introduction Rappel sur les harmoniques Représentation fréquentielle d une harmonique Représentation fréquentielle d un signal périodique Représentation fréquentielle d un signal non périodique
17/81 Chapitre 1 : La notion de puissance dans les transmissions Puisance et systèmes Gain d un système e(t) Système s(t) Pe Ps Définition On considère un système qui reçoit en entrée un signal de puissance P e en Watts (noté W ) et qui renvoie en sortie un signal de puissance P s. Le gain G du système est donné par la formule On parle d amplification si G > 1. on parle d affaiblissement ou atténuation si G < 1.
18/81 Chapitre 1 : La notion de puissance dans les transmissions Puisance et systèmes Gain d un système : exemple d atténuation un signal est émis depuis une station de base vers un mobile à la puissance de 0, 1W. Le mobile reçoit ce signal à une puissance de 5mW. Pem = 0,1W Prec = 5mW Le gain de la transmission est donc de G = 0,005 0,1 = 0, 05. G < 1 => Le signal subit donc une atténuation.
19/81 Chapitre 1 : La notion de puissance dans les transmissions Puisance et systèmes Gain d un système : exemple d amplification La couverture d un émetteur peut être augmenté grace à une antenne relais. BTS BTS Pe = 2,5 mw Relais Ps = 2,5 W Le gain du relais est de G = 2,5 2,5 10 3 = 1000. G > 1 => Ceci est donc une amplification.
20/81 Chapitre 1 : La notion de puissance dans les transmissions Puisance et systèmes Exemple plus complexe A vos clickers! Quel est le niveau de puissance reçue par la TV? Gain(air) = 0,01 Gain(ampli) = 10 Amplificateur Ptv =??? Pem = 50 Watts 1 Le signal reçu par la TV a une puissance de 5W. 2 Le signal reçu par la TV a une puissance de 50W. 3 Le signal reçu par la TV a une puissance de 59, 99W. 4 Nous n avons pas toutes les informations pour conclure. 5 Nous ne pouvons pas calculer cela aussi rapidement.
21/81 Chapitre 1 : La notion de puissance dans les transmissions Puisance et systèmes Exemple plus complexe Gain(air) = 0,01 Gain(ampli) = 10 Amplificateur Ptv =??? Pem = 50 Watts Explication :
22/81 Chapitre 1 : La notion de puissance dans les transmissions Puisance et systèmes Résumé sur les gains des systèmes Gain d une transmission les gains de systèmes lors d une transmission sont liées par des multiplications ou des divisions : Sauf que... G total = G 1 G 2 G 3... les valeurs de gain peuvent parfois être très grands. En pratique, pas toujours facile à manipuler, ni à calculer. => Donc on utilise plutôt les décibels!
23/81 Chapitre 1 : La notion de puissance dans les transmissions Les décibels Plan du cours 1 Chapitre 0 : Introduction aux signaux 2 Chapitre 1 : La notion de puissance dans les transmissions Notions liées à la puissance Puisance et systèmes Les décibels Les décibels relatifs Bilan de liaison Définitions mathématiques 3 Introduction Rappel sur les harmoniques Représentation fréquentielle d une harmonique Représentation fréquentielle d un signal périodique Représentation fréquentielle d un signal non périodique
24/81 Chapitre 1 : La notion de puissance dans les transmissions Les décibels Le Décibel le Décibel (db) est une manière d exprimer des rapports entre 2 valeurs (nombre sans unité). Gain en décibels Un gain en décibels G [db] est donné par la formule suivante : e(t) Système s(t) Pe Ps
25/81 Chapitre 1 : La notion de puissance dans les transmissions Les décibels Revenons à nos exemples Pem = 0,1W Prec = 5mW Le gain en décibels de cette transmission est de ( ) 0, 005 G [db] = 10 log 10 = 10 log 0, 1 10 (0, 05) = 13dB.
26/81 Chapitre 1 : La notion de puissance dans les transmissions Les décibels Revenons à nos exemples BTS BTS Pe = 2,5 mw Relais Ps = 2,5 W Le gain en décibels du relais est de ( ) 2, 5 G [db] = 10 log 10 = 10 log 0, 0025 10 (1000) = +30dB. Que remarque-t-on?
27/81 Chapitre 1 : La notion de puissance dans les transmissions Les décibels Amplification et affaiblissement en décibels Gain d un système en décibels Amplification => le gain en décibels G [db] est positif. Atténuation => le gain en décibels G [db] est négatif. e(t) Système s(t) Pe Ps
28/81 Chapitre 1 : La notion de puissance dans les transmissions Les décibels Gain total en décibels d une transmission Revenons à notre exemple. Gain(air) = 0,01 Gain(air) [db] = 20dB. Gain(ampli) = 10 Amplificateur Ptv =??? Gain(ampli) [db] + 10dB. Pem = 50 Watts A vos clickers! D après vous, quel est le gain en décibels de cette transmission? 1 +200dB 2 +10dB 3 10dB 4 +40dB 5 Nous n avons pas toutes les informations pour conclure.
29/81 Chapitre 1 : La notion de puissance dans les transmissions Les décibels relatifs Plan du cours 1 Chapitre 0 : Introduction aux signaux 2 Chapitre 1 : La notion de puissance dans les transmissions Notions liées à la puissance Puisance et systèmes Les décibels Les décibels relatifs Bilan de liaison Définitions mathématiques 3 Introduction Rappel sur les harmoniques Représentation fréquentielle d une harmonique Représentation fréquentielle d un signal périodique Représentation fréquentielle d un signal non périodique
30/81 Chapitre 1 : La notion de puissance dans les transmissions Les décibels relatifs Comment exprimer un signal en décibels? Soit un signal téléphonique de puissance 2 Watts. Question : peut-on calculer la puissance de ce signal en décibels? Selon l équation page 25, ( ) 2 P signal[db] = 10 log 10.??? solution? on choisit une puissance de référence P ref, que tout le monde utilise. ( ) Psignal (W ) P signal[db/pref] = 10 log 10. P ref (W)
31/81 Chapitre 1 : La notion de puissance dans les transmissions Les décibels relatifs Les Puissances en décibels relatifs En téléphonie, on utilise P ref = 1mW = 0, 001W. Puissance en db/1mw P signal[dbm] = 10 log 10 ( Psignal (W ) 0, 001W ). L unité s écrit généralement dbm (parfois dbmw ou db/mw ). En "télévision", on utilise une tension de référence : V ref = 1µV. Puissance en db/1µv P signal[dbµv ] = 20 log 10 ( Vsignal (V ) 10 6 V L unité s écrit généralement dbµv (parfois db/µv ). ).
32/81 Chapitre 1 : La notion de puissance dans les transmissions Les décibels relatifs Revenons à notre exemple Pem = 0,1W Prec = 5mW ( ) Signal émis : P em[dbm] = 10 log 0,1 10 0,001 = 20dBm. ( ) Signal reçu : P rec[dbm] = 10 log 0,005 10 0,001 = +7dBm. Si on calcule la différence entre P rec[dbm] et P em[dbm], que remarque-t-on?
33/81 Chapitre 1 : La notion de puissance dans les transmissions Bilan de liaison Plan du cours 1 Chapitre 0 : Introduction aux signaux 2 Chapitre 1 : La notion de puissance dans les transmissions Notions liées à la puissance Puisance et systèmes Les décibels Les décibels relatifs Bilan de liaison Définitions mathématiques 3 Introduction Rappel sur les harmoniques Représentation fréquentielle d une harmonique Représentation fréquentielle d un signal périodique Représentation fréquentielle d un signal non périodique
34/81 Chapitre 1 : La notion de puissance dans les transmissions Bilan de liaison Bilan de liaison Définition Un bilan de liaison revient à exprimer la puissance du signal reçu en fonction du signal émis et de tous les gains. Pour un bilan de liaison donné, les puissances des signaux doivent toutes s exprimer soit en dbm, soit en dbµv. Bilan de liaison En téléphonie cela donne : P rec[dbm] = P em[dbm] + G 1[dB] + G 2[dB] + G 3[dB] +... En "télévision", cela donne : P rec[dbµv ] = P em[dbµv ] + G 1[dB] + G 2[dB] + G 3[dB] +...
35/81 Chapitre 1 : La notion de puissance dans les transmissions Bilan de liaison Bilan de liaison Exemple : soit la chaine de transmission ci-dessous : Emetteur Ampli Canal Ampli Récepteur P em G1= +10 db A1= -10dB G2= +5 db P rec A vos clickers! Déterminez le bilan de liaison 1 On ne peut pas combiner dbm et db 2 P rec[dbm] = P em[dbm] + 5dB 3 P rec[db] = P em[db] + 5dB 4 P rec[dbm] = P em[dbm] 500dB 5 P rec[dbm] = P em[dbm] + 5dBm 6 On ne peut pas conclure.
36/81 Chapitre 1 : La notion de puissance dans les transmissions Bilan de liaison Bilan de liaison Hypsogramme L hypsogramme est le schéma qui représente l évolution de la puissance au cours de la transmission. Emetteur Ampli Canal Ampli Récepteur P em G1= +10 db A1= -10dB G2= +5 db P rec Niveau de Puissance (db) Pem +10-10 +5 Em G1 A1 G2 Rec
37/81 Chapitre 1 : La notion de puissance dans les transmissions Bilan de liaison Bilan de liaison d une transmission sans fil Lors d une transmission sans fil, l atténuation dépend de la fréquence f du signal émis, de la distance d, mais aussi de l environnement! Pertes de propagation dans l air Cette atténuation est souvent appelée pertes de propagation : p propa[db] = 32, 45 + 20 log 10 ( f[mhz] ) + 10 α log10 ( d[km] ), avec α dépendant de l environnement : Environnement Valeur de α Espace libre 2 Urbain 2,7 à 3,5 Urbain dense 3 à 5 Intérieur de bâtiment 1,6 à 6
38/81 Chapitre 1 : La notion de puissance dans les transmissions Définitions mathématiques Plan du cours 1 Chapitre 0 : Introduction aux signaux 2 Chapitre 1 : La notion de puissance dans les transmissions Notions liées à la puissance Puisance et systèmes Les décibels Les décibels relatifs Bilan de liaison Définitions mathématiques 3 Introduction Rappel sur les harmoniques Représentation fréquentielle d une harmonique Représentation fréquentielle d un signal périodique Représentation fréquentielle d un signal non périodique
39/81 Chapitre 1 : La notion de puissance dans les transmissions Définitions mathématiques Puissance Puissance instantanée d un signal p(t) = s 2 (t) exprimée en Watts (W ). Définition La puissance d un signal est liée à l énergie dissipée sur une certaine durée. La puissance moyenne d un signal s(t) est donnée par : 1 P s = lim s 2 (t)dt t + t Cela correspond à la puissance dissipée dans une résistance de 1Ω. t
40/81 Chapitre 1 : La notion de puissance dans les transmissions Définitions mathématiques Puissance Cas particuliers : signaux périodiques La puissance totale d un signal périodique est égale à la puissance du signal sur une période. P s = 1 T 0 T 0 s 2 (t)dt
41/81 Introduction Plan du cours 1 Chapitre 0 : Introduction aux signaux 2 Chapitre 1 : La notion de puissance dans les transmissions Notions liées à la puissance Puisance et systèmes Les décibels Les décibels relatifs Bilan de liaison Définitions mathématiques 3 Introduction Rappel sur les harmoniques Représentation fréquentielle d une harmonique Représentation fréquentielle d un signal périodique Représentation fréquentielle d un signal non périodique
42/81 Introduction La notion de fréquences est fondamentale en RT Tout système (canal, récepteur, oreille...) a une bande passante limitée, et ne laisse passer que certaines fréquences. Oreille humaine : [20 ; 20000] Hz Oreille d un chat : [50 ; 40000] Hz Téléphonie fixe : [0 ; 4000] Hz, etc. Tout signal occupe une certaine gamme de fréquences. La voix par exemple occupe la gamme [30; 3400] Hz (variable).
43/81 Introduction La notion de fréquences est fondamentale en RT Exemple : voix transmise dans un canal limité à [0; 400] Hz. 0.15 2.5 x 10 3 Amplitude Amplitude Amplitude Amplitude 0.1 0.15 0.05 0.1 0 0.05 0.05 0 0.1 0.05 0.15 0.1 0.2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.15 Temps (secondes) 0.1 0.15 0.05 0.1 0 0.05 0.05 0 0.1 0.05 0.15 0.1 0.2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.15 Temps (secondes) Amplitude Amplitude Amplitude Amplitude 2 2.5 x 10 3 1.5 2 1 1.5 0.5 1 0 0.5 1000 500 0 500 1000 Fréquence (Hertz) 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 1000 Signal reçu0.15 Temps (secondes) subit des pertes d informations. 2.5 x 500 0 500 1000 10 3 Fréquence (Hertz) 0.2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Temps (secondes) 2 2.5 x 10 3 1.5 2 1 1.5 0.5 1 0 0.5 1000 500 0 500 1000 Fréquence (Hertz) 0 1000 500 0 500 1000 Fréquence (Hertz)
44/81 Introduction La notion de fréquences est fondamentale en RT Toutes les transmission sans fil sont faites dans les hautes fréquences (via une étape de modulation). les fréquences exploitables n étant pas illimitées, les canaux lors d une transmission sans fil ont aussi une bande passante limitée. largeur d un canal radio AM : 9 khz largeur d un canal GSM : 200 khz largeur d un canal UMTS (3G) : 5 MHz largeur d une Multiplex TNT : 8 MHz. Savoir représenter un signal en fonction des fréquences qui le composent est donc indispensable.
45/81 Rappel sur les harmoniques Plan du cours 1 Chapitre 0 : Introduction aux signaux 2 Chapitre 1 : La notion de puissance dans les transmissions Notions liées à la puissance Puisance et systèmes Les décibels Les décibels relatifs Bilan de liaison Définitions mathématiques 3 Introduction Rappel sur les harmoniques Représentation fréquentielle d une harmonique Représentation fréquentielle d un signal périodique Représentation fréquentielle d un signal non périodique
46/81 Rappel sur les harmoniques Qu est-ce qu une harmonique? Définition Une harmonique est un signal sinusoidal s(t) = A cos(2 π f 0 t + φ), avec f 0 représentant la fréquence de l harmonique ; A > 0 représentant l amplitude de l harmonique ; φ représentant la phase de l harmonique.
47/81 Rappel sur les harmoniques Vérification des acquis A vos clickers! Que se passe-t-il si j augmente l amplitude crête à crête d une harmonique? 1 le signal va se déplacer verticalement 2 le signal va osciller plus rapidement 3 le signal va translater vers la gauche ou la droite 4 le signal va s étirer verticalement.
48/81 Rappel sur les harmoniques Vérification des acquis A vos clickers! Que se passe-t-il si j augmente la fréquence d une harmonique? 1 le signal va se déplacer verticalement 2 le signal va osciller plus rapidement 3 le signal va translater vers la gauche ou la droite 4 le signal va s étirer verticalement.
49/81 Rappel sur les harmoniques Vérification des acquis A vos clickers! Que se passe-t-il si j ajoute une constante à la variable temps d une harmonique? 1 le signal va se déplacer verticalement 2 le signal va osciller plus rapidement 3 le signal va translater vers la gauche ou la droite 4 le signal va s étirer verticalement.
50/81 Rappel sur les harmoniques Comment représenter graphiquement un signal? Représentation la plus "naturelle" : Espace Temps (évolution du signal au cours du temps). Amplitude 0 Par exemple s(t) = 10 cos (2 π 20 t) : 15 t(sss) 10 5 Amplitude 0 5 10 15 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Temps (secondes)
51/81 Rappel sur les harmoniques Comment représenter graphiquement un signal? Autre représentation très pratique : Espace Fréquence. dans ce cas, on exprime les principales caractéristiques d une harmonique en fonction de la fréquence.
52/81 Représentation fréquentielle d une harmonique Plan du cours 1 Chapitre 0 : Introduction aux signaux 2 Chapitre 1 : La notion de puissance dans les transmissions Notions liées à la puissance Puisance et systèmes Les décibels Les décibels relatifs Bilan de liaison Définitions mathématiques 3 Introduction Rappel sur les harmoniques Représentation fréquentielle d une harmonique Représentation fréquentielle d un signal périodique Représentation fréquentielle d un signal non périodique
53/81 Représentation fréquentielle d une harmonique Une harmonique dans l espace Fréquence Une harmonique <=> 3 caractéristiques (amplitude, fréquence et phase) Exprimer une harmonique dans l espace fréquence revient donc à exprimer l amplitude et la phase de l harmonique en fonction de la fréquence de l harmonique. Pour cela on utilise deux graphiques appelés respectivement Spectre d amplitude Spectre de phase Amplitude Phase 0 f(hh) 0 f(hh)
54/81 Représentation fréquentielle d une harmonique Comment utilise-t-on ces graphiques? f 0 Soit une harmonique définie par A cos (2.π.f 0.t + φ). Les spectres d amplitude et de phase correspondants sont les suivants A 2 0 Amplitude f 0 f(hh) f 0 φ 0 Phase φ Les "batons" verticaux s appellent diracs (ou parfois composantes fréquentielles. Un spectre d amplitude est toujours symétrique par rapport à l axe des ordonnées. Un spectre de phase est toujours symétrique par rapport à l origine du repère. f 0 f(hh)
55/81 Représentation fréquentielle d une harmonique Exemple soit s 1 (t) défini par s 1 (t) = 10. cos(2.π.100.t + π 2 ). A vos clickers! A quoi va ressembler le spectre d amplitude? 1 deux diracs d amplitude +10 placés à 100 Hz et -100Hz. 2 deux diracs d amplitude respective +5 et -5 placés à -100 Hz et +100Hz. 3 deux diracs d amplitude +5 placés à 100 Hz et -100Hz. 4 deux diracs d amplitude + π 2 placés à -10 Hz et +10 Hz. 5 deux diracs d amplitude respective + π 2 et π 2 placés à -100 Hz et +100Hz. 6 je ne peux pas répondre.
56/81 Représentation fréquentielle d une harmonique Exemple soit s 1 (t) défini par s 1 (t) = 10. cos(2.π.100.t + π 2 ). A vos clickers! A quoi va ressembler le spectre de phase? 1 deux diracs d amplitude π 4 placés à 100 Hz et -100Hz. 2 deux diracs d amplitude 5 placés à 100 Hz et -100Hz. 3 deux diracs d amplitude respective π 2 et π 2 placés à 100 Hz et -100Hz. 4 deux diracs d amplitude respective π 2 et π 2 placés à 2 Hz et -2 Hz. 5 deux diracs d amplitude π 2 placés à 100 Hz et -100Hz. 6 je ne peux pas répondre.
57/81 Représentation fréquentielle d une harmonique Exemple : soluce soit l harmonique s 1 (t) = 10. cos(2.π.100.t + π 2 ) Spectre d amplitude Spectre de phase
58/81 Représentation fréquentielle d une harmonique Exercices A vos clickers! Comment vont varier les spectres d amplitude et de phase d une harmonique si je réduis sa fréquence? 1 les diracs vont se rapprocher de l axe des ordonnées sur les deux spectres, sans varier verticalement 2 les diracs vont se rapprocher de l axe des ordonnées uniquement sur le spectre d amplitude 3 la hauteur des diracs va diminuer sur les deux spectres 4 il ne va rien se passer 5 je ne peux pas répondre.
59/81 Représentation fréquentielle d une harmonique Exercices A vos clickers! Comment vont varier les spectres d amplitude et de phase d une harmonique si je divise l amplitude par 3? 1 la hauteur des diracs va être 3 fois plus petite sur les deux spectres 2 la hauteur des diracs va être 3 fois plus petite uniquement sur le spectre d amplitude 3 la hauteur des diracs va être 3 fois plus petite uniquement sur le spectre de phase 4 il ne va rien se passer 5 je ne peux pas répondre.
60/81 Représentation fréquentielle d une harmonique Spectre d une signal continu Soit un signal continu, définie par s(t) = 5. A vos clickers! D après vous, à quoi va ressembler son spectre d amplitude? 1 des diracs d amplitude 2,5 à toutes les fréquences 2 des diracs d amplitude 5 à toutes les fréquences 3 un dirac d amplitude 2,5 positionné en 0 Hz 4 un dirac d amplitude 5 positionné en 0 Hz 5 nous n avons pas assez d informations pour répondre.
61/81 Représentation fréquentielle d une harmonique A quoi ressemble le spectre d une somme d harmoniques? s 1 (t) = 5. cos(2.π.200.t) s 2 (t) = 10. cos(2.π.20.t) s(t) = s 1 (t) + s 2 (t) Amplitude Amplitude Amplitude 20 10 0 10 20 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 Temps (secondes) 20 10 0 10 20 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 Temps (secondes) 20 10 0 10 signal 1 signal 2 signal 1 + signal 2 Amplitude Amplitude Amplitude 6 4 2 0 400 200 0 200 400 Fréquence (Hertz) 6 4 2 0 400 200 0 200 400 Fréquence (Hertz) 6 4 2 spectre du signal 1 spectre du signal 2 spectre du signal 1 + signal 2 20 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 Temps (secondes) 0 400 200 0 200 400 Fréquence (Hertz)
62/81 Représentation fréquentielle d une harmonique Spectre d une somme d harmoniques Propriété très importante! D une manière générale, si un signal s(t) est défini par une somme de signaux s(t) = s 1 (t) + s 2 (t) + s 3 (t)..., alors son spectre est aussi défini comme la somme des spectres de ces signaux S(f) = S 1 (f) + S 2 (f) + S 3 (f)...
63/81 Représentation fréquentielle d une harmonique Comment écrire mathématiquement le spectre d une harmonique? I Spectre d une harmonique Dans l espace temps, une harmonique s écrit s(t) = A. cos (2.π.f 0.t + φ). Dans l espace fréquence, son spectre s écrit S(f ) = A 2.e+jφ.δ (f f 0 ) + A 2.e jφ.δ (f + f 0 ). Le spectre S(f ) étant une fonction complexe, il faut deux graphiques pour le représenter en fonction de f. un premier graphique obtenu en calculant S(f ). un deuxième graphique obtenu en calculant arg(s(f )).
64/81 Représentation fréquentielle d une harmonique Comment écrire mathématiquement le spectre d une harmonique? II S(f ) = A 2 δ (f f 0) + A 2 δ (f + f 0) => Spectre d amplitude arg(s(f )) = φδ (f f 0 ) φδ (f + f 0 ) => Spectre de phase Ceci explique le résultat présenté au début de ce cours. f 0 Phase φ Amplitude A 2 f(hh) f 0 0 f 0 f(hh) φ 0 f 0
65/81 Représentation fréquentielle d un signal périodique Plan du cours 1 Chapitre 0 : Introduction aux signaux 2 Chapitre 1 : La notion de puissance dans les transmissions Notions liées à la puissance Puisance et systèmes Les décibels Les décibels relatifs Bilan de liaison Définitions mathématiques 3 Introduction Rappel sur les harmoniques Représentation fréquentielle d une harmonique Représentation fréquentielle d un signal périodique Représentation fréquentielle d un signal non périodique
66/81 Représentation fréquentielle d un signal périodique Relation temps-fréquence d un signal périodique Propriété très importante! Tout signal périodique s(t) de période T 0 (f 0 = 1/T 0 ) peut se décomposer en une somme d harmoniques. Les fréquences de ces harmoniques sont toutes des multiples de la fréquence fondamentale (k.f 0 ). Décomposition en série de Fourier (DSF) s(t) = A 0 + + k=1 A k. cos(2.π.k.f 0.t + φ k ) A 0 représente la composante continue (ou valeur moyenne) ; A k représente l amplitude de l harmonique de rang k ; φ k représente la phase de l harmonique de rang k.
67/81 Représentation fréquentielle d un signal périodique Exemple de décomposition en harmoniques On considère un signal rectangulaire s(t) (à gauche) signal rectangulaire original signal rectangulaire reconstruit 1.2 1.2 1 1 Amplitude 0.8 0.6 0.4 Amplitude 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0 0 0.2 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 Temps (secondes) 0.2 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Temps (secondes) On peut montrer que ce signal est décomposable en une somme d harmoniques (à droite) s(t) = 1 2 + 2 π cos(2πf 0t)+ 2 3π cos(2π3f 0t +π)+ 2 5π cos(2π5f 0t)+...
68/81 Représentation fréquentielle d un signal périodique Spectre d un signal périodique quelconque Propriété très importante Le spectre d un signal périodique de fréquence f 0 est la somme des spectres des harmoniques qui le composent. Définition mathématique Le spectre d un signal périodique de fréquence f 0 s écrit : S(f ) = A 0.δ (f ) + + k=1 [ Ak 2.e+jφ k.δ (f k.f 0 ) + A ] k 2.e jφ k.δ (f + k.f 0 ).
69/81 Représentation fréquentielle d un signal périodique Exemple de spectre d un signal périodique On considère de nouveau le signal rectangulaire s(t) qui est décomposable en une somme d harmoniques s(t) = 1 2 + 2 π cos(2πf 0t)+ 2 3π cos(2π3f 0t +π)+ 2 5π cos(2π5f 0t)+... Par conséquent, le spectre d amplitude de ce signal est facile à trouver : il suffit de mettre, pour chaque harmonique, un dirac situé à la fréquence de l harmonique, et de hauteur l amplitude de l harmonique divisée par deux. le même raisonnement est possible avec le spectre de phase.
70/81 Représentation fréquentielle d un signal périodique Exemple de spectre d un signal périodique Soit le signal périodique rectangulaire précédent avec f 0 = 100Hz : s(t) = 1 2 + 2 π cos(2πf 0t) +... 1.2 1 0.6 0.5 Spectre d amplitude 0.8 0.4 Amplitude 0.6 0.4 Amplitude 0.3 0.2 0.2 0 0.1 0.2 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 Temps (secondes) 0 1000 500 0 500 1000 Fréquence (Hertz)
71/81 Représentation fréquentielle d un signal périodique Exemple de spectre d un signal périodique Soit le signal périodique rectangulaire précédent : s(t) = 1 2 + 2 π cos(2πf 0t) + 2 3π cos(2π3f 0t + π) +... 1.2 1 0.6 0.5 Spectre d amplitude 0.8 0.4 Amplitude 0.6 0.4 Amplitude 0.3 0.2 0.2 0 0.1 0.2 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 Temps (secondes) 0 1000 500 0 500 1000 Fréquence (Hertz)
72/81 Représentation fréquentielle d un signal périodique Exemple de spectre d un signal périodique Soit le signal périodique rectangulaire précédent : s(t) = 1 2 + 2 π cos(2πf 0t) + 2 3π cos(2π3f 0t + π) + 2 5π cos(2π5f 0t) +... 1.2 1 0.6 0.5 Spectre d amplitude 0.8 0.4 Amplitude 0.6 0.4 Amplitude 0.3 0.2 0.2 0 0.1 0.2 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 Temps (secondes) 0 1000 500 0 500 1000 Fréquence (Hertz)
73/81 Représentation fréquentielle d un signal périodique Exemple de spectre d un signal périodique Soit le signal périodique rectangulaire précédent : s(t) = 1 2 + 2 π cos(2πf 0t) + 2 3π cos(2π3f 0t + π) + 2 5π cos(2π5f 0t) +... 1.2 1 0.6 0.5 Spectre d amplitude 0.8 0.4 Amplitude 0.6 0.4 Amplitude 0.3 0.2 0.2 0 0.1 0.2 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 Temps (secondes) 0 1000 500 0 500 1000 Fréquence (Hertz)
74/81 Représentation fréquentielle d un signal périodique Exemple de spectre d un signal périodique Soit le signal périodique rectangulaire précédent : s(t) = 1 2 + 2 π cos(2πf 0t) + 2 3π cos(2π3f 0t + π) + 2 5π cos(2π5f 0t) +... 1.2 1 0.6 0.5 Spectre d amplitude 0.8 0.4 Amplitude 0.6 0.4 Amplitude 0.3 0.2 0.2 0 0.1 0.2 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 Temps (secondes) Etc etc. 0 1000 500 0 500 1000 Fréquence (Hertz)
75/81 Représentation fréquentielle d un signal périodique Exemple de spectre d un signal périodique Soit le signal périodique rectangulaire précédent : s(t) = 1 2 + 2 π cos(2πf 0t) + 2 3π cos(2π3f 0t + π) + 2 5π cos(2π5f 0t) +... signal rectangulaire reconstruit 0.6 Spectre d amplitude 1.2 0.5 1 0.8 0.4 Amplitude 0.6 0.4 Amplitude 0.3 0.2 0.2 0 0.1 0.2 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Temps (secondes) Etc etc. 0 2000 1500 1000 500 0 500 1000 1500 2000 Fréquence (Hertz)
76/81 Représentation fréquentielle d un signal périodique Propriétés importantes Théorème du retard Un retard ne modifie pas le spectre d amplitude (seulement le spectre de phase. Théorème de Parseval La puissance d un signal (en Watts) est égale à la somme des puissances des harmoniques. la somme des amplitudes au carré de tous les diracs du spectre d amplitude est égale à la puissance du signal.
77/81 Représentation fréquentielle d un signal non périodique Plan du cours 1 Chapitre 0 : Introduction aux signaux 2 Chapitre 1 : La notion de puissance dans les transmissions Notions liées à la puissance Puisance et systèmes Les décibels Les décibels relatifs Bilan de liaison Définitions mathématiques 3 Introduction Rappel sur les harmoniques Représentation fréquentielle d une harmonique Représentation fréquentielle d un signal périodique Représentation fréquentielle d un signal non périodique
78/81 Représentation fréquentielle d un signal non périodique Analyse fréquentielle des signaux non périodiques Analyse des signaux périodiques => Décomposition en Série de Fourier (DSF) Signaux non périodiques => DSF impossible. Comment faire? Signal non périodique <=> signal périodique avec une période T 0 qui tend vers l infini. Distance entre deux raies des spectres : 1/T 0 (Hz). Si T 0, la distance entre deux raies tend vers zéro. Le spectre devient continue. Pour calculer S(f ), on utilise la Transformée de Fourier.
79/81 Représentation fréquentielle d un signal non périodique Analyse de signaux non périodiques Transformée de Fourier La transformée de Fourier (TF) d un signal s(t) permet d obtenir le spectre S(f ) : S(f ) = + représentation graphique : S(f ) => spectre d amplitude arg(s(f )) => spectre de phase Transformée de Fourier inverse s(t).e ( j2πft) dt. On peut synthétiser le signal à l aide de la transformée inverse : s(t) = + S(f ).e (j2πft) df
80/81 Représentation fréquentielle d un signal non périodique Exemples Soit le signal porte s(t) = Porte(t) <=> S(f ) = sinc(πf ) Signal porte Spectre d amplitude 1 0.9 Signal porte 0.14 Spectre d amplitude 0.8 0.12 0.7 0.1 Amplitude 0.6 0.5 0.4 Amplitude 0.08 0.06 0.3 0.2 0.1 0.04 0.02 0 4 3 2 1 0 1 2 3 4 Temps (secondes) 0 15 10 5 0 5 10 15 Fréquence (Hertz)
Représentation fréquentielle d un signal non périodique Exemples Voix masculine : 0.15 2.5 x 10 3 0.1 0.05 2 Amplitude 0 0.05 Amplitude 1.5 1 0.1 0.15 0.5 0.2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Temps (secondes) 0 1000 500 0 500 1000 Fréquence (Hertz) On retrouve 0.15 le résultat du début de2.5cours x! 10 3 0.1 2 0.05 Amplitude 0 0.05 Amplitude 1.5 1 0.1 0.15 0.5 0.2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 1000 500 0 500 1000 81/81