Séquence III : Représentations numériques des nombres.

Séquence III : Représentations numériques des nombres. Année 2014-2015

Plan Introduction aux systèmes de numération 1 Introduction aux systèmes de numération 2 3 4

La base de numération décimale : notre quotidien Quel sens donne-t-on à l écriture 359? 3 100 =3 10 2 5 10 =5 10 1 9 1 =9 10 0 3 centaines 5 dizaines 9 unités 3 5 9 i=n 1 c nc n 1... c 1 c 0 = c i 10 i : 359 = 3 10 2 + 5 10 1 + 9 10 0 i=0 2 le chiffre le plus à droite (unités) correspond au cœfficient de 10 0 = 1 : 9 ; 3 la multiplication par 10 équivaut à décalage d un chiffre vers la gauche puis ajout un 0 à droite : 3590 ; 4 la division entière par 10 équivaut à supprimer le chiffre le plus à droite ce qui décale tous les chiffres d une position vers la droite : 35.

D autres systèmes usuels? Quelques systèmes de la vie quotidienne 1 Les douzaines d œufs ; 2 le système de numération sexagésimal des babyloniens (dont sont hérités les mesures d angles et nos heures, minutes, secondes) ; 3 les systèmes anglo-saxons hybrides : mesure équivaut à système métrique pouce 25,4 mm pied 12 pouces 30,48 cm yard 3 pieds 0,91 m furlong 220 yards 201,17 m mile 8 furlongs 1609,34 m

Plan Introduction aux systèmes de numération l octet octet et unités de mesure octet et mots mémoire conversion représentation décimale en binaire 1 Introduction aux systèmes de numération 2 3 4

l octet octet et unités de mesure octet et mots mémoire conversion représentation décimale en binaire Ce que les systèmes d information utilisent... La base de numération binaire : 0 ou 1 1 Les processeurs, cerveaux des ordinateurs, sont des objets extrêmement rapides mais ne disposant d aucune intelligence ; 2 la simulation de l intelligence est apportée par l homme (concepteurs, algorithmiciens, développeurs d applications) ; 3 les processeurs se savent manipuler que des chiffres binaires (binary digit, écourté en bit), c est à dire soit un 0, soit un 1 ; 4 un bit doit se comprendre comme la mesure d un courant au travers d un composant électronique : le courant «traverse» (1) ou «ne traverse pas» (0).

l octet octet et unités de mesure octet et mots mémoire conversion représentation décimale en binaire Ce que les systèmes d information utilisent... La base de numération binaire : 0 ou 1 1 Les données numériques, qu elles soient entières (valeurs discrètes) ou réelles (valeurs continues), peuvent être représentées en utilisant uniquement des bits (nous verrons cela plus tard) ; 2 un processeur peut effectuer les opérations de base (+,,, /, %) sur les entiers et les réels... 3...mais pour pouvoir le faire, il doit travailler sur les représentations binaires ; Limitations À chaque type de données, correspond un nombre de bits donné ; l unité de calcul ne peut pas manipuler n importe quel entier ou n importe quel réel : certaines limites sont imposées par le système interne de représentation ou par le langage de programmation utilisé.

l octet octet et unités de mesure octet et mots mémoire conversion représentation décimale en binaire La numération binaire : des séquences de 0 et de 1 Quel sens donne-t-on au nombre 100110 2? nombre binaire = 100110 2 1 0 0 1 1 0 puissance de 2 correspondante 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 c est à dire 32 16 8 4 2 1 équivalent décimal 32 4 2 = 38 i=n 1 c nc n 1... c 1c 0 = c i2 i : i=0 100110 2 = 1 2 5 + 0 2 4 + 0 2 3 + 1 2 2 + 1 2 1 + 0 2 0 ; 2 le chiffre le plus à droite correspond au cœfficient de 2 0 = 1 : ici 0 ; 3 la multiplication par 2 équivaut à décalage d un chiffre vers la gauche puis ajout un 0 à droite : 1001100 2 ; 4 la division entière par 2 équivaut à supprimer le chiffre le plus à droite ce qui décale tous les chiffres d une position vers la droite : 10011 2 ; On appelle bit de poids faible le bit correspondant à la plus petite puissance, c est à dire le plus à droite du nombre binaire. On appelle bit de poids fort le bit correspondant à la plus grande puissance, c est à dire le plus à gauche du nombre binaire.

Plan Introduction aux systèmes de numération l octet octet et unités de mesure octet et mots mémoire conversion représentation décimale en binaire 1 Introduction aux systèmes de numération 2 l octet octet et unités de mesure octet et mots mémoire conversion représentation décimale en binaire 3 4

l octet octet et unités de mesure octet et mots mémoire conversion représentation décimale en binaire Qu est-ce qu un octet? Un octet est un nombre binaire comportant 8 bits : octet bit puissance correspondante valeur décimale correspondante 0 0 1 0 1 1 0 1 b 7 b 6 b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 b 0 2 7 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 128 64 32 16 8 4 2 1 0 + 0 + 32+ 0 + 8 + 4 + 0 + 1= 45 la plus petite valeur possible est 00000000 2 = 0 ; la plus grande valeur possible est 11111111 2 = 255 ; de manière générale : pour n bits, valeur entre 0 et 2 n 1. Et ça sert à quoi, un octet? Il permet de stocker : un caractère d Europe occidentale ; un entier positif court (suivant le langage de programmation utilisé).

l octet octet et unités de mesure octet et mots mémoire conversion représentation décimale en binaire Mémoires et unités de mesure Un ordinateur dispose de plusieurs (types de) mémoires ; elles permettent le stockage d informations à ré-utiliser, de programmes à exécuter... différents niveaux de mémoires (des plus rapides aux plus lentes) : mémoires des processeurs : registres et caches L1, L2 (et L3) ; mémoires internes : mémoire morte et vive de la carte mère (DDR3, future DDR4) ; mémoire auxiliaire : carte graphique par exemple (GDDR3) ; mémoires externes : DD, CD/DVD, clé USB... mêmes unités de grandeur pour le stockage : octet : 8 bits, valeur de 0 à 255 (niveau de gris dans une image basse définition) ; kilo-octet (ko) : 2 10 = 1024 octets (image basse définition) ; méga-octet (Mo) : 2 20 = 1.048 10 6 octets (cache processeur, image haute définition, morceau de musique) ; giga-octet (Go) : 2 30 = 1.074 10 9 octets (film, DD, CD/DVD, clé USB...) ; tera-octet (To) : 2 40 = 1.01 10 12 octets (DD, bases de données).

l octet octet et unités de mesure octet et mots mémoire conversion représentation décimale en binaire Mots mémoire Les informations sont rarement gérées de façon complètement individuelle par le processeur ; un processeur ne traite pas un bit ou un octet à la fois, il traite un ensemble d octets ; le nombre d octets traités simultanément dépend de la taille des registres des processeurs ; la taille d un mot dans les processeurs actuels est généralement de 32 bits (quatre octets) ou 64 bits (huit octets) ; certaines applications sont optimisées pour utiliser au mieux ce paramètre.

l octet octet et unités de mesure octet et mots mémoire conversion représentation décimale en binaire Conversion décimale binaire conversion_décimale_binaire(d) Entrée : La représentation décimale d d un nombre Sortie : La représentation binaire b de ce nombre Début b tantque d > 0 faire q quotient(d/2) r reste(d/2) d q b chaine(r).b fin tantque retourner b Fin Conversion de 38 division q r 38 / 2 19 0 19 / 2 9 1 9 / 2 4 1 4 / 2 2 0 2 / 2 1 0 1 / 2 0 1 38 = 100110 2

Plan Introduction aux systèmes de numération du binaire à l hexadécimal représentation des entiers positifs, somme et produit représentation des entiers négatifs représentation des nombres réels la norme IEEE 574 1 Introduction aux systèmes de numération 2 3 4

Plan Introduction aux systèmes de numération du binaire à l hexadécimal représentation des entiers positifs, somme et produit représentation des entiers négatifs représentation des nombres réels la norme IEEE 574 1 Introduction aux systèmes de numération 2 3 du binaire à l hexadécimal représentation des entiers positifs, somme et produit représentation des entiers négatifs représentation des nombres réels la norme IEEE 574 4

Numération hexadécimale du binaire à l hexadécimal représentation des entiers positifs, somme et produit représentation des entiers négatifs représentation des nombres réels la norme IEEE 574 Une alternative au binaire : la numération hexadécimale ou en base 16 un octet est un ensemble de huit bits, donc deux blocs de quatre bits ; un bloc de quatre bits représente une valeur de 0000 2 = 0 à 1111 2 = 15 ; le bloc de quatre bits de droite représente les unités en base 16 ; le bloc de quatre bits de gauche représente les seizaines en base 16 ; l octet 01001101 2 vaut donc 0100 2 seizaines et 1101 2 unités, soit 4 16 + 13 = 77. La notation en base 16 : 14 h le système binaire utilise les chiffres de 0 à 1, le système décimal de 0 à 9 ; 10 h vaut 16, il faut utiliser d autres chiffres pour les valeurs décimales de 10 à 15 : décimal hexadécimal binaire 10 A 1010 11 B 1011 12 C 1100 13 D 1101 14 E 1110 15 F 1111

Utilisation de la numération hexadécimale du binaire à l hexadécimal représentation des entiers positifs, somme et produit représentation des entiers négatifs représentation des nombres réels la norme IEEE 574 Les codes couleurs dans les pages www par exemple Il est possible de choisir une couleur dans une palette en indiquant ses composantes RVB (Rouge, Vert, Bleu) RGB en anglais au format hexadécimal, un octet par composante, comme indiqué ci-dessous : Notez que 52ae9b h = 52 h.ae h.9b h correspond à (82,174,155) en composantes RVB. Autres utilisations : adresses mémoire, identifiant de carte réseau.

du binaire à l hexadécimal représentation des entiers positifs, somme et produit représentation des entiers négatifs représentation des nombres réels la norme IEEE 574 Représentation des entiers positifs, somme et produit Les nombres entiers positifs peuvent facilement être représentés en utilisant la numération binaire, quelque soit la valeur ; La somme de deux nombres binaires : 256 128 64 32 16 8 4 2 1 équiv. décimale val1 1 0 1 0 1 1 0 1 173 val2 1 0 0 0 0 1 1 0 134 val1 + val2 1 0 0 1 1 0 0 1 1 307 Le produit de deux nombres binaires : 256 128 64 32 16 8 4 2 1 équiv. décimale val1 1 1 0 0 1 25 val2 1 1 1 0 14 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 val1 val2 1 0 1 0 1 1 1 1 0 350

Représentation des entiers négatifs du binaire à l hexadécimal représentation des entiers positifs, somme et produit représentation des entiers négatifs représentation des nombres réels la norme IEEE 574 Première possibilité : la représentation signe/valeur octet 0 0 1 0 1 1 0 1 signe valeur le bit de poids fort correspond au signe (1 pour négatif, 0 pour positif) ; le reste des bits correspond à la valeur (de 0 à 127 pour un octet) ; par exemple 13 = 00001101 2 et 13 = 10001101 2 ; cela permet la représentation des entiers relatifs de -127 à 127 ; Problèmes avec la représentation signe/valeur Considérons 1 = 00000001 2 et 1 = 10000001 2 1 + ( 1) = 00000001 2 + 10000001 2 = 10000010 2 = 2! 0 = 00000000 2 et 0 = 10000000 2.

Représentation des entiers négatifs du binaire à l hexadécimal représentation des entiers positifs, somme et produit représentation des entiers négatifs représentation des nombres réels la norme IEEE 574 Deuxième possibilité : la représentation en complément à 1 Qu est-ce que le complément à 1? si b i est égal à 0 alors son complément à 1 est égal à 1 ; si b i est égal à 1 alors son complément à 1 est égal à 0 ; le bit de poids fort correspond au signe (1 pour négatif, 0 pour positif) ; le reste des bits correspond au complément à 1 de la valeur (de 0 à 127 pour un octet) ; par exemple 13 = 00001101 2 et 13 = 11110010 2 ; cela permet la représentation des entiers relatifs de -127 à 127 ; Problème avec la représentation en complément à 1 0 = 00000000 2 et 0 = 11111111 2.

Représentation des entiers négatifs du binaire à l hexadécimal représentation des entiers positifs, somme et produit représentation des entiers négatifs représentation des nombres réels la norme IEEE 574 Troisième possibilité : la représentation en complément à 2 Qu est-ce que le complément à 2? dans un premier temps, effectuer un complément à 1 ; dans un second temps, ajouter 1. par exemple 13 = 00001101 2 et 13 = 11110011 2 ; 0 = 00000000 2 (le 0 négatif vaut 11111111 2 + 1 2 = 00000000 2) ; cela permet la représentation des entiers relatifs de -128 à 127 ; par exemple 24 = 00011000 2 et 13 = 11110011 2, la somme vaut : 128 64 32 16 8 4 2 1 24 0 0 0 1 1 0 0 0-13 1 1 1 1 0 0 1 1 24 + (-13) 0 0 0 0 1 0 1 1 = 11 Conclusion C est LA représentation utilisée pour stocker les entiers négatifs.

du binaire à l hexadécimal représentation des entiers positifs, somme et produit représentation des entiers négatifs représentation des nombres réels la norme IEEE 574 Convertir un nombre binaire signé en nombre décimal Un exemple : conversion de 11011000 2 le bit de poids fort est égal à 1, c est un nombre négatif ; le reste de l octet vaut 1011000 2 ; rechercher, de la droite vers la gauche la position du premier bit égal à 1 : 6 5 4 3 2 1 0 1 0 1 1 0 0 0 2 complémenter tout ce qui se trouve à gauche de cette position : convertir en décimal : 0101000 2 = 40 ; 6 5 4 3 2 1 0 0 1 0 1 0 0 0 2 nous obtenons finalement 11011000 2 = 40. Vérification 40 00101000 2 40 1 et 1010111 2 + 1 2 1 et 1011000 2 11011000

du binaire à l hexadécimal représentation des entiers positifs, somme et produit représentation des entiers négatifs représentation des nombres réels la norme IEEE 574 Considérons le nombre binaire 1011.1101 2 (notation autorisant le.) Représentation de la partie entière 1011 2 la partie entière du réel est représentée à partir des puissances positives de 2 ; nombre binaire = 1011 2 1 0 1 1 puissance de 2 correspondante 2 3 2 2 2 1 2 0 8 4 2 1 8 2 1 = 11 Représentation de la partie fractionnaire 1101 2 la partie fractionnaire du réel est représentée à partir des puissances négatives de 2 ; nombre binaire = 1101 2 1 1 0 1 puissance de 2 correspondante 2 1 2 2 2 3 2 4 0,5 0,25 0,125 0,0625 0,5 0,25 0,0625 = 0, 8125 Conclusion 1011.1101 2 = 11, 8125

du binaire à l hexadécimal représentation des entiers positifs, somme et produit représentation des entiers négatifs représentation des nombres réels la norme IEEE 574 Représentation binaire de la partie fractionnaire : un algorithme représentation_binaire_partie_fractionnaire(d) Entrée : La représentation décimale de la partie fractionnaire d d un nombre Sortie : La représentation binaire b correspondante Début b tantque partie_fractionnaire(d) 0 faire p d 2 pe partie_entière(p) d partie_fractionnaire(p) b b.chaine(pe) fin tantque retourner b Fin Représentation binaire de 0,8125 0, 8125 2 = 1, 625 ; 0, 625 2 = 1, 25 ; 0, 25 2 = 0, 50 ; 0, 5 2 = 1, 0 1101 2

du binaire à l hexadécimal représentation des entiers positifs, somme et produit représentation des entiers négatifs représentation des nombres réels la norme IEEE 574 Problèmes avec cette représentation Le caractère. n est pas accepté, seuls les 0 et les 1 sont compris par le système ; si on retire le. comment savoir si 10111101 2 correspond à 1.0111101 2, 10.111101 2, 101.11101 2...? La solution : normalisation de la représentation Le caractère le plus à gauche sera nécessairement un 1 ; le caractère suivant sera un., même s il n est pas matérialisé ; les caractères suivant seront composites entre la partie entière et la partie fractionnaire ; mémoriser le décalage nécessaire pour retrouver où était placé le. à l origine ; Représentation normalisée de 1011.1101 2 et de 0.010111 2 La représentation de 1011.1101 2 est 10111101 2 avec un décalage de 3 ; la représentation de 0.010111 2 est 10111 2 avec un décalage de -2.

Représentation binaire des nombres réels du binaire à l hexadécimal représentation des entiers positifs, somme et produit représentation des entiers négatifs représentation des nombres réels la norme IEEE 574 La norme IEE 574 Représentation sur 32 bits (simple précision) ou 64 bits (double précision). 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 signe exposant mantisse signe (s) : 1 bit dans les deux cas ; exposant (e) : 8 bits pour la simple précision, 11 bits pour la double ; mantisse (m) : 23 bits pour la simple précision, 52 bits pour la double. Nombre binaire correspondant Le nombre binaire correspond est ( 1) s 2 e 127 1.m pour la simple précision. Le nombre binaire correspond est ( 1) s 2 e 1023 1.m pour la double précision.

du binaire à l hexadécimal représentation des entiers positifs, somme et produit représentation des entiers négatifs représentation des nombres réels la norme IEEE 574 Réel représenté par 0 10000100 01100110000000000000000 2 s = 0 ; e = 10000100 2 ; m = 01100110000000000000000 2 ; nombre binaire correspondant : ( 1) 0 2 132 127 1.0110011 2, c est à dire 2 5 1.0110011 2 = 101100.11 2 ; 101100 2 = 32 + 8 + 4 = 44.11 2 = 2 1 + 2 2 = 0, 5 + 0, 25 = 0, 75 Conclusion : 01000010001100110000000000000000 2 = 44, 75

du binaire à l hexadécimal représentation des entiers positifs, somme et produit représentation des entiers négatifs représentation des nombres réels la norme IEEE 574 Représentation binaire de 164,716 en simple précision. nombre positif, le bit de poids fort sera donc égal à 0 : s = 0 164 = 10100100 2 et.716 = 1011011101001011110001101010011111101111100111011011 2 nous conservons 23 bits après le premier 1 : m = 01001001011011101001011 2 le décalage est de 7 : e = 127 + 7 = 134 = 10000110 2 Conclusion : 164, 716 = 01000011001001001011011101001011 2 Réel représenté par 01000011001001001011011101001011 2 s = 0 ; e = 10000110 2 = 134 ; m = 01001001011011101001011 2 ; nombre binaire correspondant : ( 1) 0 2 134 127 1.01001001011011101001011 2, c est à dire 2 7 1.01001001011011101001011 2 = 10100100.1011011101001011 2 ; 10100100 2 = 128 + 32 + 4 = 164.1011011101001011 2 = 2 1 + 2 3 + 2 4... = 0, 5 + 0, 125 + 0, 0625... = 0.71598815918 Conclusion : 01000011001001001011011101001011 2 = 164, 71598815918

du binaire à l hexadécimal représentation des entiers positifs, somme et produit représentation des entiers négatifs représentation des nombres réels la norme IEEE 574 Représentation binaire de 164,716 en double précision. nombre positif, le bit de poids fort sera donc égal à 0 : s = 0 164 = 10100100 2 et.716 = 1011011101001011110001101010011111101111100111011011 2 nous conservons 52 bits après le premier 1 : m = 0100100101101110100101111000110101001111110111110011 2 le décalage est de 7 : e = 1023 + 7 = 1030 = 10000000110 2 Conclusion : 164, 716 = 0100000001100100100101101110100101111000110101001111110111110011 2 Réel représenté par 0100000001100100100101101110100101111000110101001111110111110011 2 s = 0 ; e = 10000000110 2 = 1030 ; m = 0100100101101110100101111000110101001111110111110011 2 ; ( 1) 0 2 1030 1023 1.0100100101101110100101111000110101001111110111110011 2 = 2 7 1.0100100101101110100101111000110101001111110111110011 2 = 10100100.101101110100101111000110101001111110111110011 2 ; 10100100 2 = 128 + 32 + 4 = 164.101101110100101111000110101001111110111110011 2 = 0, 5 + 0, 125 + 0, 0625... = 0.716 Conclusion : 0100000001100100100101101110100101111000110101001111110111110011 2 = 164, 716

Plan Introduction aux systèmes de numération Introduction Les portes booléennes L additionneur 1 Introduction aux systèmes de numération 2 3 4

Plan Introduction aux systèmes de numération Introduction Les portes booléennes L additionneur 1 Introduction aux systèmes de numération 2 3 4 Introduction Les portes booléennes L additionneur

Introduction Les portes booléennes L additionneur Simuler des portes booléennes Les machines numériques fonctionnent avec uniquement deux symboles (schématisé 0 ou 1). Ces deux symboles sont physiquement des transistors qui laissent passer ou bloquent le courant. En combinant ces transistors on obtient des circuits logiques constitués de portes booléennes et de bascules. Nous utiliserons le logiciel Logisim afin de simuler ces circuits lors de cette formation.

Introduction Les portes booléennes L additionneur La porte ET Schéma Notation Table de vérité Chronogramme s = a.b a b s 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 a 0 1 b 0 1 s 0 1

Introduction Les portes booléennes L additionneur La porte OU Schéma Notation Table de vérité Chronogramme s = a + b a b s 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 a 0 1 b 0 1 s 0 1

Introduction Les portes booléennes L additionneur La porte NON Schéma Notation Table de vérité Chronogramme s = ā a s 0 1 1 0 a 0 1 s 0 1

Introduction Les portes booléennes L additionneur Propriétés : Théorème de De Morgan. On a les propriétés suivantes : a.b = ā + b et a + b = ā. b Remarque : Les propriétés algébriques booléennes sont légions, commutativité, associativité, distributivité, éléments neutres, complémentaires,... On en trouve une liste détaillée sur http://fr.wikipedia.org/wiki/algèbre_de_boole(logique)

Introduction Les portes booléennes L additionneur La porte OUX, (Ou exclusif) Schéma Notation Table de vérité Chronogramme s = a b a b s 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 a 0 1 b 0 1 s 0 1

Introduction Les portes booléennes L additionneur La porte ET-bis Les portes logiques les plus simples à concevoir sont les portes OU et NON, grâce au théorème de De Morgan, construisons une porte ET avec ces deux portes. La porte OUX-bis Construisons de même un OUX en utilisant les portes OU, ET, NON.

Introduction Les portes booléennes L additionneur Sur un bit, le demi-additionneur On peut représenter l addition de deux nombres 0 ou 1 par le tableau suivant : a b unité de a + b retenue 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 On reconnaît dans la colonne des unités le tableau d un OUX et dans la colonne de la retenue le tableau d un ET. On peut donc construire le schéma d un demi-additionneur, qui prend en entrée les bits a et b et rend en sortie la somme s (sur un bit) et la retenue r ext :

Introduction Les portes booléennes L additionneur Avec la retenue, l additionneur Cette structure du demi-additionneur ne fonctionne que sur le premier bit, dès le deuxième, la retenue extérieur doit être réintégré dans le calcul comme une retenue intérieur, nous disposons donc de trois entrées (a, b, r int ) pour obtenir deux sorties (s, r ext). On obtient donc le tableau suivant : a b r int unité de a + b r temp unité de a + b + r int r ext 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1

Introduction Les portes booléennes L additionneur L additionneur : le schéma Ce qui correspond au schéma suivant : où la boite carrée est le demi-additionneur de la première partie.