OPTIQUE GEOMETRIQUE I Lunette de Galilée Une lunette de Galilée est constitué d'une première lentille mince convergente (L1) de distance focale f'1 = 0,3 m (objectif) et d'une seconde lentille mince divergente (L2) de distance focale f'2 = -0,12 m (oculaire). Ces lentilles sont distantes de 0,22 m. Au moyen de cette lunette, on observe un objet très éloigné vu sous le diamètre apparent 1. Déterminer les caractéristiques de l'image donnée par la lunette. Réponse : O 2 A' = 24 cm; A'B' = 1,57 cm. II Œil myope Un œil myope a son punctum proximum à 12 cm et son punctum remotum à 1,2 m. Le centre optique de la lentille équivalente est à 15,2 mm de la rétine. 1) Entre quelles limites la distance focale de cet œil varie-t-elle? 2) Déterminer la vergence de la lentille cornéenne qu'il faut lui adjoindre pour lui permettre une bonne vision de loin. Indication : les vergences de lentilles accolées s ajoutent. 3) Où le punctum proximum de l'œil corrigé est-il alors situé? Réponse : 1,35 cm et 1,5 cm; -0,877 δ; 13,41 cm. III Interposition d une lentille Une lentille convergente de distance focale f' = 20 cm est placée à 20 cm devant un écran. Un objet est placé à 30 cm en avant de la lentille. Entre la lentille et l'écran, on place une deuxième lentille, la distance entre les deux lentilles étant 10 cm, de manière à obtenir une image définitive nette sur l'écran. Déterminer par le calcul la nature et la distance focale image de la lentille interposée. Vérifier le résultat par une construction géométrique. Réponse : f' = 12,5 cm. IV On considère un système de trois lentilles minces L1, L2 et L3, de centres optiques O1, O2 et O3 et de distances focales images respectives f1, f2 et f3. Les lentilles L1 et L2 sont divergentes. La lentille L3 est convergente. On pose a = O 1 O 2 et b = O 2 O 3. Les distances a et b sont réglées de façon à ce qu'un faisceau cylindrique de rayon R1 dont l'axe est l'axe optique du système donne en sortie un faisceau cylindrique de même axe et de rayon R2 > R1. 1) Un tel système est-il convergent, divergent, afocal ou catadioptrique? 2) Pour que le système ait la propriété demandée, quelle proposition ci-dessous doit-il vérifier? a) L'image donnée par L2 du foyer objet de L1 est au foyer image de L3. b) L'image donnée par L3 du foyer image de L2 est au foyer image de L1. c) L'image donnée par L2 du foyer image de L1 est au foyer objet de L3. d) L'image donnée par L3 du foyer objet de L2 est au foyer objet de L1. 3) Déduire, de l'application de la relation de conjugaison de Descartes, une relation entre a, b, f1, f2 et f3. 4) Exprimer, à l'aide de considérations géométriques simples sur le schéma de la figure ci-dessus, le rapport R2/R1 en fonction de a, b, f1 et f3. 5) Déduire la valeur de a en fonction de R1, R2, f1, f2 et f3. 6) Déduire la valeur de b en fonction de R1, R2, f1, f2 et f3. 7) On donne : f 1 = 20 mm; f 2 = 20 mm; f 3 = 200 mm; R2/R1 = 20. Calculer l'encombrement d = O 1 O 3 du système. 2017 2018 1/10
Réponse : 1 1 = 1 ; R 2 = f 3 f 1 a b f 3 a + f 1 f 2 R 1 f 3 b f 1 ( ) ( ) ; a = f 1 + f2 ( 1 + R 2 f 1 ); b = f3 + f2 ( 1 + R 1 f 3 ); d = 19 cm. R 1 f 3 R 2 f 1 V Un microscope est constitué d'un objectif et d'un oculaire que l'on peut assimiler à deux lentilles minces convergentes L 1 et L 2. Le foyer image F ' 1 de L 1 et le foyer objet F 2 de L 2 sont séparés par une distance Δ = 16 cm. L'objectif L 1 a une distance focale image f ' 1 = 4 mm. Un observateur dont l'œil est normal et accommode à l'infini, regarde un objet AoBo à travers l'instrument (cf. figure ci-contre). B o A o Δ O 1 O 2 F1 F F 1' 2 F ' 2 1) Calculer numériquement, dans ces conditions, la L1 L 2 distance do = O 1 A 0 de l'objet au centre optique de L 1 pour qu'une image nette se forme sur la rétine. 2) Calculer numériquement le grandissement transversal γob de l'objectif. 3) On désigne par dm = 25 cm la distance minimale de vision distincte d'un œil normal. On définit le grossissement commercial G d'un instrument optique par le rapport G = α i α 0 où αi est l'angle sous lequel un œil normal accommodant à l'infini voit l'objet à travers l'instrument et αo l'angle sous lequel l'objet est vu à l'œil nu lorsqu'il est placé à la distance minimale de vision distincte. Déterminer le grossissement commercial Goc de l'oculaire en fonction de f ' 2 et dm. 4) Sachant que le grossissement commercial de l'oculaire vaut Goc = 10, calculer numériquement le grossissement commercial Gm du microscope. 5) On définit la puissance P du microscope par le rapport P = de la dimension angulaire αi de l'objet vu à travers A 0 B 0 l'instrument par un œil normal accommodant à l'infini sur la dimension réelle A 0 B 0 de cet objet. Calculer numériquement P en prenant soin de préciser son unité. Réponse : do = - 4,1 mm; γob = - 40; Goc = dm/f'2; Gm = - 400; P = 1600 δ. α i VI Doublet On étudie un doublet comportant deux lentilles L 1 et L 2, de centres O 1 et O 2 représenté sur la feuille 1. Sur la gauche un rayon incident pénètre dans le système et émerge sur la partie droite, comme indiqué sur la figure. Un carreau correspond à un centimètre. 1) Compléter sur la feuille 1 le trajet du rayon lumineux. 2) En déduire la nature de chacune des deux lentilles (convergente ou divergente?). 3) Soient F 1 et F 1 les foyers objet et image de la lentille L 1, F 2 et F 2 les foyers objet et image de la lentille L 2. Trouver graphiquement la position de ces foyers. Préciser les valeurs algébriques O 1 F' 1 et O 2 F' 2. 4) Qu appellent-on foyer objet F, foyer image F d un système optique? Trouver graphiquement la position des ces foyers. Préciser les valeurs algébriques O 1 F et O 1 F'. On choisira une couleur pour chaque trajet réel des rayons lumineux. 5) Si O 1 F' 1 = + 4 cm, O 2 F' 2 = - 2 cm et O 1 O 2 = + 7 cm, déterminer par le calcul les valeurs algébriques O 1 F et O 1 F'. 2017 2018 2/10
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Réponse : L 1 convergente ; L 2 divergente ; O 1 F' 1 = + 3,8 cm ; O 2 F' 2 = - 2 cm ; O 1 F = - 6,7 cm ; O 2 F' = - 1,2 cm ; O 1 F = - 7,2 cm ; O 1 F' = + 5,8 cm. VII Lunette de Galilée On désigne respectivement par f et f ' les distances focales objet et image d une lentille mince L de centre optique O et de foyers principaux objet F et image F'. Un objet AB est disposé dans un plan de front de la lentille qui en donne une image A' B'. 1) Etablir la relation de conjugaison de Newton dans laquelle les positions sur l axe optique A et A' des plans de front contenant l objet et l image sont respectivement repérées par rapport aux foyers objet F et image F'. A' B' 2) Exprimer la relation de Newton donnant le grandissement transversal G t = de la lentille en fonction de la position FA de AB l objet par rapport au foyer objet F et de la distance focale image f '. 3) Une lunette de Galilée destinée à observer les objets terrestres est constituée d un objectif convergent assimilable à une lentille mince L 1 de centre optique O 1, de distance focale image f ' 1 = 25cm et d un oculaire divergent que l on peut également assimiler à une lentille mince L 2 de centre optique O 2 et de distance focale image f ' 2 = 5cm. Les axes optiques des deux lentilles sont confondus et définissent l axe optique de l instrument. Calculer numériquement la distance e = O 1 O 2 entre les centres optiques des lentilles pour que le système soit afocal, c est-à-dire pour qu un observateur dont l œil est normal puisse voir en accommodant à l infini l image que donne la lunette d un objet situé à l infini. 4) Un rayon lumineux entre dans l instrument en faisant un angle α 1 avec l axe optique. Exprimer l angle α 2 que fait avec l axe optique, le rayon qui émerge de la lunette. 5) On définit le grossissement G d un instrument par le rapport G = α i α o de l angle α i sous lequel un observateur voit un objet à travers l instrument sur l angle α o sous lequel il voit le même objet à l œil nu. Calculer le grossissement G de la lunette dans le cas de l observation d un objet à l infini par un œil normal qui n accommode pas. 6) La lunette étant toujours afocale, un objet de dimension AB est disposé dans le plan de front orthogonal à l axe optique à une distance finie O 1 A de l objectif de la lunette. L objectif en donne une image intermédiaire A' B' reprise par l oculaire qui en donne une image définitive A" B" observable par un œil qui doit maintenant accommoder. Calculer dans ces conditions le grandissement A" B" transversal de la lunette défini par le rapport γ = AB. Réponse : FA.F' A' = f ' 2 ; G t = f ' FA ; e = 20 cm ; α 2 = 5.α 1 ; G = 5 ; γ = 0,2. VIII Appareil photographique Un appareil photographique est constitué d'un objectif assimilé à une lentille mince convergente L o de centre O et de distance focale image f = 50 mm, mobile par rapport à un photodétecteur CCD fixé sur le boîtier de l'appareil. On donne la relation de conjugaison de Descartes, de Newton et le grandissement transversal G pour une lentille mince : 1 p' 1 p = 1 f ' σ.σ'= f ' 2 G = p' p = σ' f ' où p = OAet p'= OA' sont les distances algébriques de l'objet A et de l'image A au centre optique O de la lentille, f '= OF' la distance focale image, σ = FA et σ'= F' A' les distances algébriques de l'objet A et de l image A respectivement aux foyers principaux objet F et image F de la lentille. 1) Où se formera l'image d'un objet situé à l'infini (c'est à dire très éloigné de l'objectif relativement à sa distance focale)? Calculer l'amplitude Δ de déplacement de L o sachant que l'appareil est aussi bien capable de faire la mise au point sur un paysage (à l infini) que sur un objet situé à une distance de 55 cm de L o. On choisira la formule de conjugaison la plus adaptée. 2) Quelle est la taille a, sur le photodétecteur, de l'image d'un objet transversal de 1,5 cm de hauteur situé à 55 cm de L o? Quelle serait la taille de l'image du même objet mais situé à 10 m du centre optique de la lentille objectif? 2017 2018 4/10
3) À l'aide d'une bague extérieure, on ajoute sur l'objectif (en avant de L o ), une deuxième lentille convergente L b de centre O b et de distance focale image f b = 30 cm (figure ci-dessous). La distance entre L o et L b est fixe, de valeur O b O = 5,0 cm. La lentille L b donne de l objet AB une image intermédiaire A i B i. Cette dernière sert d objet pour la lentille L o qui en donne alors une image définitive A B. À quelle distance minimale d l de L b peut-on photographier un objet (l'objectif est alors éloigné du photodétecteur à sa distance maximale)? Lumière B L b L o A O b O Photodétecteur 4) Quelle est alors, sur le photodétecteur, la taille a l de l'image d'un objet transversal de 1,5 cm de hauteur? 5) À quelle distance maximale d 2 de O b peut-on photographier un objet (l'objectif est alors à sa distance minimale du photodétecteur)? 6) Tracer un schéma de la situation envisagée à la question 5). Quelle est alors, sur le photodétecteur, la taille a 2 de l'image d'un objet transversal de 1,5 cm de hauteur? Réponse : Δ = 5,0 mm ; a = 1,5 mm puis 75 µm ; d 1 = 19 cm ; a 1 = 0,40 cm ; d 2 = 30 cm ; a 2 = 0,25 cm. IX La taille de Vénus (résolution de problème) Toute démarche constructive, même inachevée, sera prise en compte dans l évaluation. On exposera clairement la modélisation du problème et la démarche suivie. On précisera soigneusement les hypothèses simplificatrices introduites. Le sujet porte sur les conditions d observations d objets astronomiques. L oeil humain a un pouvoir séparateur de l ordre de 1 minute d angle. On peut considérer qu un observateur va identifier une image élaborée s'il voit l'objet observé sous un angle d'au moins 10 minutes d'angle. Planètes telluriques a b Géantes gazeuses Nom Caractéristiques des planètes du Système solaire Diamètre équatorial [a] Masse [b] Demi-grand axe (UA) Période de révolution (années) Mercure 0.382 0.06 0.387 0.24 Vénus 0.949 0.82 0.723 0.62 Terre [b] 1.00 1.00 1.00 1.00 Mars 0.532 0.11 1.523 1.88 Jupiter 11.209 317.8 5.203 11.86 Saturne 9.449 95.2 9.537 29.46 Uranus 4.007 14.6 19.229 84.01 Neptune 3.883 17.2 30.069 164.8 par rapport à la Terre (rayon terrestre R T = 6370 km). par rapport à la Terre (masse terrestre M T = 5,97.10 24 km). Une unité astronomique correspond à la distance moyenne Terre-Soleil : 1 U.A. 1,5.10 8 km. Les orbites de la plupart des planètes peuvent êtres approximativement identifiées à des orbites circulaires dont le rayon est égal au demi grand axe de l orbite réelle. Lorsque l'on observe la planète Vénus comme étoile du matin (ou du soir, ou du berger...), à l'œil nu (on prendra le diamètre moyen de la pupille de l'œil égal à d = 2 mm), Vénus apparaît non ponctuelle. 1) L'œil perçoit-il la dimension apparente de Vénus, ou s'agit-il d'un phénomène optique? 2) Quel doit être le grossissement minimal (grandissement angulaire) d'une lunette astronomique pour observer la dimension apparente de Vénus? 2017 2018 5/10
3) Une lunette astronomique afocale est constituée de l association de deux lentilles convergentes, un objectif de focale f 1 = 600 mm et un oculaire de focale f 2. Comment doivent être disposées ces deux lentilles pour un fonctionnement correct de l instrument? Quelle valeur choisir pour f 2 afin d atteindre un grossissement de valeur absolue G o = 15? 4) La Grande Tache rouge (en anglais : Great Red Spot) est un gigantesque anticyclone de l'atmosphère de Jupiter situé à 22 sud de latitude. Longue d'environ 15 000 kilomètres et large de près de 12 000 kilomètres (2015), elle est actuellement un peu plus grosse que la Terre, même si elle a atteint des dimensions bien supérieures par le passé. La lunette précédente permet-elle d observer cette structure? Réponse : Vénus au plus proche de la Terre est vue sous un angle de 3.10-4 rad du même ordre de grandeur que la tache de diffraction provoquée par la pupille de l œil donc la diffraction va masquer l image géométrique ; il faut au minimum un grossissement de 10 ; f 2 = 40 mm ; on est à la limite de la possibilité de l observation de la tache rouge. X Profondeur d un pont (Résolution de problème). Une photographie d un pont autoroutier a été réalisée au moyen d un appareil photographique avec un objectif de focale f = 35 mm. On distingue sur la photographie l indication de la hauteur du pont h = 4,30 m. A partir des documents fournis : 1. Déterminer la distance d à laquelle le photographe était situé 2. Estimer la profondeur p du pont (largeur totale des chaussées au-dessus du pont). Document 1 : Schéma du pont p h d Document 3 : Relations de conjugaison et de grandissement Document 2 : Modélisation de l appareil photographique Pour une objet (AB), d image (A B )à travers une lentille mince de centre optique O, de foyer objet F et foyer image F, de distance focale image f. Formules de Newton : Formules de grandissement. Formule de conjugaison Formules de Descartes : Formules de grandissement. Formule de Descartes pour la conjugaison. 2017 2018 6/10
PCSI 2 Document 4 : Photographie d'un pont permettant le passage sous une route à 2 2 voies séparées par un terre-plein central, avec une voie d accès. Elle a été réalisée avec un appareil photo argentique : - format de l'image sur la pellicule : 24 mm 36 mm ; - distance focale de l'objectif assimilé à une lentille mince convergente : f = 35 mm. 2017 2018 7/10
Réponse : environ 25 m ; entre 20 et 25 m. XI DECOMPOSITION DE LA LUMIERE BLANCHE 1) Généralités a) Rappeler les longueurs d onde typiques dans le vide correspondant aux extrémités du spectre de la lumière visible. b) Quelle relation lie dans le vide la longueur d onde à la fréquence d une onde lumineuse? Application numérique : en déduire les fréquences correspondant aux extrémités du spectre de la lumière visible. On donne c = 2,998.10 8 m.s -1. c) Quel est lien entre la longueur d onde dans un milieu d indice n et la longueur d onde λ 0 dans le vide? Une radiation de fréquence 5,08.10 14 Hz (jaune orangé) traverse du verre, dont l indice vaut pour cette radiation n jo = 1,63. Quelle est alors sa longueur d onde? Que vaudrait-elle dans le vide? d) Qu appelle-t-on spectre d une lumière? Représenter qualitativement celui d une lampe spectrale au mercure par exemple. 2) On considère un dioptre plan entre deux milieux d indices n 1 et n 2. a) Définir le plan d incidence. b) Énoncer les lois de Snell-Descartes pour la réflexion et pour la réfraction. 3) Un rayon de lumière blanche arrive sur une interface verre-air avec un angle d incidence i = 35,0. Les indices du verre pour le rouge et le bleu sont : n rouge = 1,62 et n bleu = 1,65 et l indice de l air est de 1 pour toutes les couleurs de la lumière blanche. a) Observe-t-on une réflexion totale? Justifier. b) En raisonnant sur les rayons bleu et rouge, déterminer celui qui est le plus dévié. Faire un schéma. Réponse : λ = 362 nm ; λ 0 = 590 nm ; pas de réflexion totale ; D r = 33,3 ; D b = 36,2. XII Camera de contrôle des plaques d immatriculation Rappel : Relations de conjugaison et de grandissement Pour une objet (AB), d image (A B )à travers une lentille mince de centre optique O, de foyer objet F et foyer image F, de distance focale image f. Formules de Newton : A' B' AB = γ = f ' F' A' = FA f ' Formules de grandissement. FA.F' A' = f ' Formule de conjugaison Formules de Descartes : γ = A' B' AB = OA' OA Formules de grandissement. 1 OA' 1 OA = 1 OF' Formule de conjugaison. Pour diminuer le nombre de véhicules circulant dans le centre ville et réduire ainsi les embouteillages, la pollution et le bruit qu ils engendrent, plusieurs grandes agglomérations (Londres, Singapour, Stockholm) utilisent un système de péage urbain. Différentes technologies sont mise en œuvre pour détecter les véhicules entrant dans la zone de circulation taxée. Le système londonien, appelé London Congestion Charge (mis en place en 2003) utilise un réseau de 500 caméras installées à chaque point permettant d entrer ou de sortir de la zone payante. Les images obtenues sont ensuite analysées par un algorithme LAPI (lecture automatique des plaques d immatriculation) qui génère une liste des véhicules ayant circulé dans le centre ville, ce qui déclenche la facturation d une taxe. Ces systèmes doivent être robustes, peu coûteux, ne nécessiter aucun réglage et être fonctionnels dans des conditions de luminosité très variées. Le modèle retenu (ci-contre) comporte deux caméras identiques : l une enregistrant dans le domaine visible et l autre dans le proche infrarouge grâce à un filtre stoppant les radiations visibles. Un ensemble de diodes électroluminescentes (DEL) 2017 2018 8/10
émettant des flashes de longueur d onde respective 810 nm et 950 nm entoure les caméras et permet d illuminer la plaque d immatriculation. Les spécifications du constructeur sont les suivantes : Le capteur CCD (Charge Coupled Device) de ces caméras est un rectangle de diagonale 1/4" (0,635 cm) et est découpé en 752 582 pixels (largeur hauteur) ; les pixels sont des carrés tous identiques, de côté a. Pour réduire le coût, les risques de panne et les réglages lors de l installation, ces caméras ont une distance focale image f fixe. Le constructeur propose différents modèles destinés à enregistrer les plaques d immatriculation à une distance de mesure déterminée L. Le tableau suivant résume les modèles disponibles : Tableau 1 Modèle de caméra 1 2 3 4 5 Focale f 35,0 mm 25,0 mm 16,0 mm 12,0 mm 8,0 mm Distance de mesure L 20,0 m 14,5 m 9,0 m 7,0 m 4,5 m La norme britannique concernant les plaques d immatriculation est la suivante : Les plaques doivent mesurer 110 mm de hauteur et 520 mm de largeur. Les caractères doivent avoir une hauteur de 79 mm et une largeur de 50 mm, l épaisseur du trait étant fixée à 14 mm. A / DIMENSIONNEMENT DES CAMERAS Les caméras sont identiques et constituées d une lentille d objectif de distance focale image f qui forme sur le capteur CCD une image de la plaque d immatriculation. La figure 1 illustre cette configuration (les échelles relatives ne sont pas respectées). A1. Donner la condition que doivent vérifier f (distance focale image de la lentille) et PC (distance entre l objet réel et son image réelle) pour que cette opération soit possible. On ne demande pas de justifier. Comment s appelle la réalisation de l image réelle d un objet réel? A2. Exprimer la distance OC en fonction de L = PO et f '= OF'. Justifier pourquoi la lentille doit nécessairement être convergente. A3. Ecrire le grandissement γ en fonction de L et f '. A4. En tenant compte des valeurs numériques du Tableau 1, simplifier l expression de OC obtenue à la question A2. Commenter. A5. Simplifier de même l expression de γ. Calculer la valeur numérique du grandissement γ pour ces cinq modèles de caméras (répondre avec 3 chiffres significatifs). Commenter. Pour les questions suivantes, γ sera pris égal à la moyenne de ces cinq valeurs. A6. Déterminer la valeur numérique de la longueur a du côté d un pixel de ce capteur (données en début de sujet). En déduire la largeur et la hauteur du capteur CCD en millimètres. A7. En déduire les dimensions du champ de vue dans le plan d observation. Est-il suffisant d installer une caméra par rue permettant d accéder au centre ville? A8. Déterminer la taille de l image d un des caractères de la plaque d immatriculation sur le capteur CCD en micromètres, puis en pixels. A9. Le dimensionnement de la caméra est imposé par une valeur optimale de γ qui repose sur un compromis entre deux contraintes antagonistes : préciser lesquelles. A10. Quels problèmes se poseraient si le dispositif ne filmait que dans le domaine visible? Quels sont les avantages à filmer une seconde image en infrarouge? 2017 2018 9/10
Les lentilles de ces caméras ont un diamètre D = 1,00cm. Elles se comportent donc comme un pupille circulaire qui diffracte la lumière. L image d une source ponctuelle n est donc pas un point mais présente ne certaine étendue spatiale due à la diffraction. A11. Calculer, pour la caméra 1, l ordre de grandeur de la largeur de la tache de diffraction de l image d un point sur le capteur CCD pour le rayonnement infrarouge utilisé, sachant que le rayon angulaire de la tache de diffraction est 1,22 λ où λ est la D longueur d onde de la lumière utilisée. Comparer ce phénomène à la pixellisation de l image. Limite-t-il la résolution? B / PROFONDEUR DE CHAMP Bien que ces caméras ne disposent pas de dispositif de mise au point (la distance focale est fixe), il est néanmoins possible de visualiser des plaques d immatriculation qui ne sont pas rigoureusement situées à la distance L spécifiée par le constructeur (cf. Tableau 1). Le but de cette partie est de déterminer la profondeur de champ Z, c est-à-dire la longueur de la zone de l espace où l objet peut être placé afin que la caméra en fournisse une image considérée comme nette. Le document réponse en annexe page 5/5, à rendre avec la copie, comporte différentes figures sur lesquelles un objet ponctuel est situé sur l axe optique (les constructions ne sont pas à l échelle et ont pour seul but d illustrer le phénomène). Le diamètre de la lentille est D = 1,00cm. Sur la première figure, l objet est situé en P 0, à la distance L spécifiée par le constructeur. B1. Compléter cette figure en représentant le trajet des deux rayons lumineux issus de P 0 et frappant la lentille en deux points extérieurs diamétralement opposés. Représenter la position de l image C 0 de ce point P 0 par la lentille objectif. Un soin particulier est attendu dans la réalisation de la construction dont la démarche doit être rigoureusement justifiée. Le capteur CCD est positionné dans le plan perpendiculaire à l axe optique et passant par C 0. L objet ponctuel P 1 est maintenant placé à une distance Δ 1 = P 0 P 1 > 0 de P 0. B2. Compléter la seconde figure du document - réponse en y représentant : a) le plan du capteur CCD (en reportant le point C 0 de la construction de la question B1) b) le trajet des deux rayons lumineux issus de P 1 et frappant la lentille en deux points diamétralement opposés. Son image est notée C 1. Ce faisceau ne forme pas une image ponctuelle sur le capteur mais un disque de diamètre d 1 > 0 qui doit être inférieur à la taille a d un pixel pour que l image soit nette : 0 < d 1 < a. B3. Montrer que le diamètre de la tache image, notée d 1, peut s exprimer sous la forme : f ' Δ d 1 = β 1, où β est un facteur à expliciter. L f ' ( )( L Δ 1 ) Pour cela, on écrira les relations de conjugaison pour les couples de points conjugués P 0,C 0 géométrique (triangles semblables ou théorème de Thalès) sur la figure précédente. B4. Compléter la troisième figure, dans le cas où P 0 P 2 = Δ 2 < 0 ( Δ 2 > 0 est une distance). ( ) et ( P 1,C 1 ), ainsi qu une relation f ' Δ Le diamètre de la tache image peut alors s exprimer sous la forme d 2 = β 2 L f ' d établir). ( )( L + Δ 2 ) (résultat fourni que l on ne demande pas B5. Simplifier les expressions de d 1 et d 2 sachant que f '<< L. B6. Exprimer, en fonction de a, L, D et f ', les distances Δ 1lim et Δ 2 lim telles que la tache image sur le capteur ait un diamètre égal à la taille d un pixel. B7. Calculer les valeurs numériques des distances Δ 1lim et Δ 2 lim pour la caméra 3, en prenant a = 7,00µm. B8. Déterminer l expression de la profondeur de champ Z en fonction de f ', D, a et L. B9. Simplifier cette expression en tenant compte des valeurs numériques de l énoncé. B10. Commenter le choix d une lentille de petit diamètre pour réaliser cette caméra. Réponse : OC = Lf ' f ' ; γ = L f ' largeur tache diffraction a ; β = D ; Δ 1lim = f ' f ' L f ' L = 1,75.10 3 ; a = 6,68µm ; 5,02mm 3,89mm ; 2,87m 2,22m ; 13 21pixels ; al 2 Df '+al ; Δ 2 lim = al 2 Df ' al ; Z = al2 + 2Df ' D 2 f ' 2 a 2 L 2 2aL2. Df ' 2017 2018 10/10