Une modélisation de la mécanique des mousses

Une modélisation de la mécanique des mousses S. Bénito C.-H. Bruneau Cyprien Gay (MSC Matière et Systèmes omplexes T. Colin UMR 7057 CNRS Univerité Paris 7, Paris Diderot) F. Molino C. Gay P. Rognon C. Derec F. Élias M.-A. Guedeau-Boudeville D. Osmani

Réponse mécanique d'un milieu mou (wikipédia : rhéologie) Faibles contraintes Élastique vs. visqueux Liquide vs. solide Fortes contraintes Écoulement d'un solide : plasticité

Une mousse processus T1

Une mousse élasticité plasticité processus T1

Plan Mémoire du matériau et système de coordonnées Élasticité : définitions de la déformation lois admissibles d'évolution de la contrainte Plasticité, viscosité, modèle complet Dilatance

Grandes déformations Contrainte nominale Contrainte vraie

Grandes déformations Contrainte nominale Approche lagrangienne Contrainte vraie Approche eulérienne

Grandes déformations Élasticité mémoire de l'état initial

Grandes déformations Élasticité mémoire de l'état initial Approche lagrangienne Approche eulérienne (Landau)

Grandes déformations Élasticité mémoire de l'état initial Approche lagrangienne Approche eulérienne (Landau) Mécanique des fuides matériau sans mémoire Approche eulérienne (Navier-Stokes)

Grandes déformations Et les mousses?

Grandes déformations Et les mousses? sans mémoire T1 Approche eulérienne

Matériau sans mémoire : fuide newtonien Approche lagrangienne! mousses temps t

Matériau sans mémoire : fuide newtonien Approche eulérienne! mousses temps t

State - deformation - stress at rest no stress stretched physics (intrinsic)

State - deformation - stress at rest no stress stretched physics (intrinsic) description (conventional: many deformations)

Many deformations All deformations coincide at small deformations An elastic law is a relation : Many possible choices for the deformation : simple elastic law simple kinematics...

Cinématique simple

Evolution kinematics

Evolution elastic law kinematics

Evolution elastic law kinematics Bénito et al. Eur. Phys. J. E 2008

Evolution Which deformation should we choose? elastic law kinematics

Choice Choice 1 : simple elastic law kinematics

Choice elastic law Choice 2 : simple kinematics

Is my favourite rheological law valid? my favourite rheological law intrinsic!

Is my favourite rheological law valid? for any choice of deformation my favourite rheological law intrinsic!

Is my favourite rheological law valid? for any choice of deformation Is this consistent with kinematics? my favourite rheological law intrinsic!

Évolution d'un tenseur Vitesse n o i t rota n o i t a g n o él d n o i t a ilat Comment évolue un tenseur symétrique?

Évolution d'un tenseur dérivée particulaire dérivée convective autre... équations constitutives...

Équations constitutives Maxwell Jeffrey / Oldroyd Élasticité :

Kinematic validity of some classical rheological laws upper-convected used for some materials lower-convected used for some other materials corotational used for yet other materials

Loi élastique? cisaillement permanent : contrainte oscillante!?

Loi élastique?

Loi élastique? la contrainte finale dépend du chemin emprunté!?

Kinematic validity of some classical rheological laws small elastic large elastic deformations deformations valid valid valid valid Gordon, Schowalter, 1972 valid other derivatives upper-convected (a=+1) lower-convected (a=-1) corotational (a=0) other interpolated (-1<a<+1) valid valid not valid not valid?

Chemin emprunté (groupes de Lie) Condition :

Évolutions imaginables

Évolutions admissibles signification mécanique?

Évolutions admissibles rotation sur-convecté / sous-convecté élasticité linéaire compressibilité effets non linéaires Valable pour les mousses et pour tout système très déformable élastiquement!

Effets linéaires compression traction Effets non linéaires hyper-traction traction normale compression résistance normale résistance hyper-compression

Modules élastiques Cisaillement / élongation

Origine de la plasticité d'une mousse grandes déformations T1

Origine de la plasticité d'une mousse T1 élasticité

Origine de la plasticité d'une mousse élasticité T1 compression ou traction plasticité, viscosité

Comportement simplifié Bingham

Comportement simplifié Cisaillement quasistatique Bingham

Formulation tensorielle

Formulation tensorielle Déformations élastique et plastique

Déformation plastique Forme tensorielle générale Incompressibilité Deux fonctions indépendantes Dissipation positive Second principe

Système complet d'équations Bénito et al. Eur. Phys. J. E 2008

Autres modèles : modèles scalaires Höhler, Cohen-Addad (2004) fuage à faible contrainte (mûrissement,...) Janiaud, Weaire, Hutzler (2006) mousse 2D entre deux plaques, vitesse radiale

Autres modèles : modèles tensoriels Marmottant, Graner (2007) Takeshi, Sekimoto (2005) linéaire linéaire Bénito et al. (2008) non-linéaire (générique) Saramito (2007) linéaire

Cisaillement homogène constant permanent transitoire plastique élastique

Cisaillement homogène constant permanent quasistatique

Cisaillement homogène constant

Dilatance déformation

Dilatance liquide déformation

Dilatance liquide déformation liquide déformation

Dilatance liquide liquide dilatance déformation déformation

Dilatance pression de liquide plus basse? volume de liquide plus grand? S. Marze, A. Saint-Jalmes, D. Langevin, 2005 importance : bandes de cisaillement,...

Dilatance statique D. Weaire, S. Hutzler, F. Rioual, 2003, 2005 Dilatance dans une mousse 2D (explication thermodynamique)

Dilatance = géométrie? P. Rognon F. Molino

Dilatance = géométrie?

Dilatance = géométrie? volume = périmètre x section

Test expériental C. Derec, F. Élias, M.-A. Guedeau-Boudeville, D. Osmani Effet attendu : 1,15 Mesurer la fraction liquide S. Marze, A. Saint-Jalmes, D. Langevin, 2005

Bandes de cisaillement visqueux viscoélastique seuil plastique propagation désordre simulation Cates, Ajdari, Aradian, Olmsted, Lu dilatance élasticité

Micelles géantes F. Molino S. Lerouge S. Lerouge liquide viscoélastique bandes de cisaillement alignement fluide S. Lerouge cisaillement S. Lerouge

Phases cubiques de copolymères bandes de cisaillement polycristal 2000 1500 E. Eiser, F. Molino, G. Porte, O. Diat, 2000 1000 stress [ Pa ] 500 alignement glissement entre couches cisaillement 0-4 10 10-3 10-2 10-1 100 101 102 shear rate [-1s] polycristal

Granulaire solide plastique bandes de cisaillement P. Snabre, B. Pouligny densité contacts lubrifiés dilatance? fluide cisaillement M. Lenoble, B. Pouligny

Mousse solide visco-élasto-plastique bandes de cisaillement? fluide G. Debrégeas, H. Tabuteau, J.-M. Di Meglio, 2001? cisaillement propagation désordre dilatance

Conclusion S. Bénito, C.-H. Bruneau, T. Colin, F. Molino S. Bénito Exp : C. Derec, F. Élias, M.-A. Guedeau-Boudeville, D. Osmani Théorie : F. Molino, P. Rognon