1 er SEMESTRE MODULE M1 1 02 : SOLLICITATIONS SIMPLES TRACTION- CISAILLEMENT TRAVAUX PRATIQUES Y.LAFON-JALBY - M.MASSENZIO B.PAYET - S.RONEL IUT LYON1- Gratte-Ciel -GMP-DDS Page 1
SOMMAIRE AVANT PROPOS... 3 TP N 1. ESSAI DE TRACTION D UN ACIER C35 (ex:xc38)... 4 TP N 2. DÉTERMINATION DES CONSTANTES ÉLASTIQUES... 9 D UN ACIER C35 (ex:xc38)... 9 TP N 3. CONCENTRATION DE CONTRAINTE... 11 TP N 4. DÉTERMINATION DU MOMENT FLÉCHISSANT DANS UNE POUTRE (N ) 15 ANNEXES... 19 Rappels du Cours : EFFORT NORMAL... 20 Rappels du Cours : CISAILLEMENT... 25 Rappels du Cours : TORSEUR DE SECTION (COHESION)... 27 CARACTERISTIQUES DES MATERIAUX... 29 CARACTERISTIQUES MECANIQUES SUR BARRES TRAITEES... 30 IUT LYON1- Gratte-Ciel -GMP-DDS Page 2
AVANT PROPOS L étudiant possédant un DUT GMP doit pouvoir intervenir dans tout secteur économique, et doit être capable : De comprendre et d effectuer des calculs de dimensionnement ou de contrôle en rigidité ou résistance, ainsi que des mesures de déformations. En entreprise, de mettre en œuvre des calculs : Au bureau d études Au bureau de calcul Sur une pièce ou une structure simple : utiliser et développer les méthodes numériques et expérimentales de détermination des contraintes en ayant une approche critique de la modélisation et des résultats. Les Travaux pratiques du module F112 ont pour objectifs de vérifier les hypothèses de la résistance des matériaux et des sollicitations simples en utilisant les outils expérimentaux pour le dimensionnement des structures, c'est-à-dire les moyens d essais disponibles en laboratoire (Machine de traction ) ainsi que ceux liés aux mesures effectuées soit en laboratoire ou sur site (Extensométrie ). Les aspects théoriques de ces outils sont exposés en Cours-Travaux Dirigés, et résumés succinctement dans le fascicule Sujets. Les deux premiers TP sont relatifs à la détermination des caractéristiques mécaniques, et élastiques des matériaux, à partir d essais normalisés. Le troisième concerne la détermination expérimentale du facteur de concentration de contrainte et la comparaison avec celui calculé par la théorie. Remarques concernant les comptes rendus. Le premier fascicule est un ebook électronique concernant les sujets de TP. C est ce document que vous êtes entrain de consulter. Le second fascicule concerne les comptes rendus de TP que vous rendrez dûment complété à la fin de la séance. Vous devez vous sensibiliser aux 3 phases d une étude 1) Modélisation 2) Calcul manuel ou numérique 3) Dépouillement des résultats Le sens critique mis en place dans cette discipline est important pour la suite de vos études ou de votre insertion professionnelle. Souvenez vous qu un résultat numérique donné sans unité n a aucune signification, et qu il est directement lié à la précision de la mesure ou du calcul. IUT LYON1- Gratte-Ciel -GMP-DDS Page 3
TP N 1. ESSAI DE TRACTION D UN ACIER C35 (ex: XC38) 1. PRINCIPE Cet essai, décrit en détail dans la norme NF EN 10002-1 (Octobre 2001), consiste à soumettre une éprouvette à un effort de traction, généralement jusqu'à rupture, en vue de déterminer une ou plusieurs caractéristiques. L'essai est effectué à la température ambiante dans des limites comprises entre 10 C et 35 C. Dispositif Expérimental Machine à essai de traction hydraulique : Principe de fonctionnement : Une pompe 2 refoule de l huile sous pression dans le cylindre 1 qui soulève le piston 3. Le piston est solidaire d un châssis 4, qui comporte à sa partie supérieure une mâchoire tenant l éprouvette 5 sollicitée par la traction. Le châssis 10 est immobile. L effort est mesuré au manomètre 7 gradué en unité de force développée sur l éprouvette. Une fois l essai terminé, l huile est refoulé sous l effet du poids du châssis 4 à travers une soupape 8 dans le bac 9. IUT LYON1- Gratte-Ciel -GMP-DDS Page 4
Machine d essai de traction du laboratoire de DDS Capteur inductif placé sur l éprouvette mesurant les déformations longitudinales et transversales IUT LYON1- Gratte-Ciel -GMP-DDS Page 5
2. MATERIAU Le matériau est un acier C35 (barres brutes rondes de diamètre 20 mm) traité (les caractéristiques R 0.002 minimum, R m et A% minimum sont données dans la norme qui figure en annexes. R 0.002 > < R m < A% > 3. ÉPROUVETTE L'éprouvette, de diamètre 10 mm (aire A 0 =78.5 mm 2 ), est une "éprouvette proportionnelle" usinée à partir d'un rond de diamètre 20 mm. La longueur initiale L 0 entre repères fixés par la norme est de 50 mm. ΦD 0 L 0 Que signifie le terme "éprouvette proportionnelle"? 4. ESSAI DE TRACTION Quelle doit être la vitesse de mise en charge de la machine de traction? < V < 5. TRAVAIL A FAIRE 1 ) Complétez le tableau suivant (arrondissez à l'entier le plus proche). Les cotes sont mesurées sur l'éprouvette. Utilisez le diagramme de traction "charge-allongement" fourni à la fin du TP pour déterminer la valeur des charges. Désignation Symbole Unité Valeur IUT LYON1- Gratte-Ciel -GMP-DDS Page 6
Allongement pour cent après rupture Limite supérieure d'écoulement Limite inférieure d'écoulement Résistance à la traction 2 ) Mesurez, sur l éprouvette rompue, son diamètre correspondant à la charge maximale et son diamètre lors de la rupture. Eprouvette après rupture : Calculez les contraintes vraies en MPa (arrondissez à l'entier le plus proche) correspondant à la charge maximale et à la rupture σ m = σ u = 6. CONCLUSIONS IUT LYON1- Gratte-Ciel -GMP-DDS Page 7
7. DIAGRAMME ENREGISTRE Charge 10 000 N Charge unitaire 127.4 MPa 15 mm 10 mm Allongement pour cent 2 % Allongement 1 mm IUT-LYON1- Site Gratte-Ciel-GMP-DDS Page 8
TP N 2. DÉTERMINATION DES CONSTANTES ÉLASTIQUES D UN ACIER C35 (ex: XC38) Lorsqu un matériau est homogène et isotrope, les relations contraintes-déformations dans le domaine élastique sont des lois linéaires à deux constantes indépendantes : les lois de HOOKE. Les deux constantes indépendantes sont le module d élasticité longitudinal E (ou module de YOUNG) et le module d élasticité transversal G (ou module de COULOMB). Ces modules se déterminent expérimentalement. Le module de YOUNG s obtient à l aide d un essai de traction dans le domaine élastique, celui de COULOMB à l aide d un essai de torsion (Voir module F213) dans le domaine élastique. On montre, d autre part, que ces deux modules sont liés par une relation dans laquelle intervient le coefficient de POISSON ν. Ce coefficient se détermine expérimentalement à l aide d un essai de traction dans le domaine élastique. Le but du TP est de mesurer E, ν et d en déduire la valeur de G pour un acier C35 identique à celui qui a été utilisé pour l essai de traction. 1. DÉTERMINATION DU MODULE DE YOUNG E ET DU COEFFICIENT DE POISSON ν 1.1. Principe Lorsqu'on soumet, dans le domaine élastique, une éprouvette à un effort de traction croissant : 1 ) la contrainte normale de traction σ et la déformation longitudinale ε L sont liées par une relation linéaire : la loi de HOOKE en traction : 2 ) la déformation transversale ε T est liée à la déformation longitudinale ε L par une relation linéaire : la loi de POISSON : La manipulation consiste à déterminer le module de YOUNG et le coefficient de POISSON de l acier XC38 lors d un essai de traction dans le domaine élastique en mesurant les déformations longitudinales et transversales. IUT-LYON1- Site Gratte-Ciel-GMP-DDS Page 9
2. 2. Dispositif expérimental L éprouvette est équipée de quatre jauges : 1 ) Deux jauges longitudinales, une sur la face avant de l éprouvette, une autre sur la face arrière de l éprouvette pour compenser l effet parasite d une flexion possible due à l excentration des efforts. La déformation longitudinale est obtenue en faisant la moyenne des valeurs des déformations sur les deux jauges. 2 ) Deux jauges transversales disposées comme précédemment. La déformation transversale est obtenue en faisant la moyenne des valeurs des déformations sur les deux jauges. Les valeurs des déformations exprimées en microdéformations (1μd=10-6 m/m) sont lues sur le pont d'extensométrie. 3. 3. Travail à faire L éprouvette de diamètre 9.8 mm n étant pas chargée, mettre le pont de mesure sous tension et régler le facteur de jauge K à 2.01. Équilibrer chaque voie utilisée. 1 ) Appliquer les charges par valeurs croissantes de 0 à 9000 N. Tous les 1500 N, relever les déformations longitudinales ε L sur les deux voies correspondantes et les déformations transversales ε T sur les deux autres voies. Compléter le tableau suivant en calculant la contrainte de traction en MPa (2 chiffres après la virgule). P (en N) σ (en MPa) ε L (en µm/m) -ε T (en µm/m) 1500 3000 4500 6000 7500 9000 2 ) A l'aide du logiciel mis à votre disposition sur le réseau (TP1A) tracez d une part les variations de la contrainte de traction en fonction de la déformation longitudinale et d autre part les variations de la déformation transversale en fonction de la déformation longitudinale. Relever les valeurs du module de YOUNG d une part, et du coefficient de POISSON d autre part. E= GPa ; ν = En déduire le module de COULOMB de cet acier à l'aide de la relation liant E, G et ν (arrondissez à l'entier le plus proche). G= = GPa 2. CONCLUSION IUT-LYON1- Site Gratte-Ciel-GMP-DDS Page 10
TP N 3. CONCENTRATION DE CONTRAINTE 1. PRINCIPE Le but de la manipulation est de déterminer expérimentalement le facteur de concentration de contrainte dû à la présence d un trou circulaire dans une plaque mince de dimensions finies, soumise à de la traction. On compare ensuite avec le facteur de concentration théorique calculé par une formule fournie par le CETIM (Centre Technique des Industries Mécaniques) pour une plaque mince semi infinie soumise à de la traction. 2. ÉTUDE THÉORIQUE Étude théorique N 1 : y σ 0 Dans une plaque infinie percée d'un trou de diamètre 2r et chargée à l'infini avec une contrainte σ 0, la contrainte σ yy le long de y=0 est donnée par: σ yy Max i σ yy σ 0 x σ yy 2 4 σ 0 r r = + + 2 4 2 ( 2 3 x x ) 2r x Maxi Calculer la contrainte σ yy au bord du trou. En déduire le facteur de concentration de contrainte. σ 0 K t = Étude théorique N 2: Dans une plaque semi infinie percée d'un trou excentré de diamètre 2r et chargée à l'infini avec une contrainte σ 0, le facteur théorique de concentration de contrainte d'après la formule du CETIM est donnée par: K t + + + r b a a b a = (. 0 8093 0 8551 (( 1. 6215 )( 1 ) ( 1 9291 0 00097 + 3. 04 ) + 1 b a a. r.. )) σ 0 σ 0 c 2r b a IUT-LYON1- Site Gratte-Ciel-GMP-DDS Page 11
IUT-LYON1- Site Gratte-Ciel-GMP-DDS Page 12
Calculer le facteur théorique de concentration de contrainte (2 chiffres après la virgule), d'après la formule du CETIM, pour une telle plaque, le trou circulaire de diamètre d=20 mm étant centré sur l axe. La largeur de la plaque est c= 50 mm. K t = 3. MESURES La plaque (de dimensions finies) a un trou circulaire de diamètre d=20 mm centré sur l axe. La largeur de la plaque est c= 50 mm et son épaisseur est e= 5 mm. La figure ci-dessous montre l'emplacement des jauges de déformation. 5000N d=20 50 jauges 13,20 jauge 1 jauge 5 400 5000 N L éprouvette est munie de deux jauges au bord du trou (jauges 1 et 5) pour mesurer les déformations maximales ε max. Pour tenir compte d un possible excentration des efforts de traction, la déformation maximale est obtenue en faisant la moyenne des deux valeurs. L éprouvette est également munie de deux jauges (jauges 13 et 20) dans l axe longitudinal sur les faces avant et arrière pour compenser l effet parasite d une flexion possible. La déformation longitudinale nominale ε nom est obtenue en faisant la moyenne des deux valeurs obtenues. La plaque n étant pas chargée, mettre le pont de mesure sous tension et régler le facteur de jauge K à 2,09. Équilibrer chaque voie utilisée du pont de mesure (montage quart de pont trois fils). Charger la plaque sous une force de traction de 5000 N et relever les valeurs des déformations nominales et au bord du trou (le facteur K pour ces deux dernières jauges est égal à 2,04). Le facteur expérimental de concentration de contrainte, en tenant compte des lois de HOOKE σ= Eε, est donné par: σ ε K = max = max t σ nom ε nom Compléter le tableau suivant : IUT-LYON1- Site Gratte-Ciel-GMP-DDS Page 13
ε max (K=2.04) ε nom (K=2.09) Déformations (en µd) En déduire la valeur du facteur de concentration de contrainte (2 chiffres après la virgule) et comparez-la les valeurs théoriques obtenues pour une plaque infinie et une plaque semi infinie Consigner les résultats dans le tableau ci-dessous. K t plaque infinie K t plaque semi infinie K t plaque finie 4. CONCLUSION IUT-LYON1- Site Gratte-Ciel-GMP-DDS Page 14
TP N 4. DÉTERMINATION DU MOMENT FLÉCHISSANT DANS UNE POUTRE (N ) 1 ) ÉTUDE THEORIQUE : a) Calculez ci dessous pour la poutre qui vous a été désignée les réactions (en Newtons) dans le repère x,y. b) Déterminez les équations traduisant les variations du moment fléchissant Mz (dans le repère G,x,y,z et en Nm) le long de la poutre en fonction de x (sous la forme d un polynôme réduit en x). c) Tracer et coter (en Nm) le graphe représentant les variations du moment fléchissant. a) Calcul des réactions: b) Moment fléchissant Mz. Rassembler les résultats dans le tableau suivant: A<G<B B G<C C G<D M z (Nm) c) Diagramme des moments fléchissants: Mz (Nm) X (m) IUT-LYON1- Site Gratte-Ciel-GMP-DDS Page 15
2 ) ÉTUDE NUMERIQUE : RDM6-Flexion est un logiciel destiné au calcul des structures par la méthode des éléments finis. Ce module disponible sur le réseau du laboratoire, permet l'analyse statique des poutres droites sollicitées en flexion simple. 1) Conventions et Hypothèses: L'axe X est la fibre moyenne de la poutre. Le plan XY est un plan de symétrie de la poutre. L'axe Z forme avec X et Y un trièdre direct. Les axes Y et Z sont les axes centraux principaux. Le matériau est homogène et isotrope. Son comportement est linéaire et élastique. Les déplacements sont petits.ainsi que les déformations. Au cours de la mise en charge, les sections droites restent planes et normales à la fibre moyenne (hypothèse de Navier-Bernoulli). 2) Le logiciel prend en compte : les charges ponctuelles et nodales : les charges réparties uniformément et linéairement. le poids propre de la poutre. les déplacements d'appui. les appuis élastiques. Y Discrétisation : 3 noeuds-2 éléments L 2L 1 1 P 2 C 3 X 2 Noeud Elément 3) Modélisation Le calcul d'une structure par la méthode des éléments finis implique sa discrétisation. Dans le cas d'une poutre droite, cette opération se réduit à la création des noeuds. a) Un noeud sert à localiser : les extrémités de la poutre. un changement de section droite. le point d'application d'une charge ponctuelle. les extrémités d'une charge répartie. une liaison intérieure (articulation). une liaison extérieure : noeuds. b) Sections droites : La première section droite définie est attribuée à toute la poutre. Pour les suivantes, désigner le noeud origine et le noeud extrémité du tronçon de poutre concerné. c) Matériau : Par défaut, la structure est en acier. Pointer la case menu Matériau du menu Modéliser. Entrer les attributs du matériau : IUT-LYON1- Site Gratte-Ciel-GMP-DDS Page 16
d) Liaisons: Chaque noeud possède deux degrés de liberté: la flèche ( dy ) et la pente ( rotz ). Les liaisons de la structure avec l'extérieur peuvent être du type : appui simple : dy = 0. pente nulle : rotz = 0. Encastrement : dy = rotz = 0. Flèche imposée. pente imposée. appui simple élastique. La poutre peut être en plusieurs morceaux, reliés entre eux par une articulation. Il s'agit pour la poutre d'une liaison intérieure. En ce noeud : le moment fléchissant est nul. la flèche est continue et la pente est discontinue. e) Charges : Les sollicitations prises en compte sont les suivantes : force ponctuelle et nodale. La force est définie par sa composante FY ( unité : dan ). couple ponctuel et nodal. Le couple est défini par sa composante MZ ( unité : dan.m ). force répartie uniformément entre deux noeuds. La force est définie par sa composante py par unité de longueur. L'unité utilisée est le dan/m. force répartie linéairement entre deux noeuds. La force est définie par sa composante py par unité de longueur, à l'origine et à l'extrémité. L'unité utilisée est le dan/m. le poids propre de la poutre. f) Résultats-Courbes : Les graphes suivants sont disponibles : Déformée Pente en degrés. Pente en radians. Effort tranchant. Moment fléchissant. Contrainte normale : fibre supérieure et fibre inférieure. 3 ) TRAVAIL A FAIRE : a. Discrétisez la poutre qui vous a été désignée, à l aide du logiciel RDM6-Flexion. Le matériau est un acier. La poutre est à section circulaire de diamètre 100 mm. b. Vérifiez le graphe représentant les variations du moment fléchissant le long de la poutre que vous avez déterminé en 1)c). Qu en déduisez vous? c. En visualisant le graphe des efforts tranchants indiquez les valeurs maximums en précisant les sections où elles s exercent. IUT-LYON1- Site Gratte-Ciel-GMP-DDS Page 17
TP-1A-S1-F112 Y CHOIX DE LA POUTR N? Y POUTRE N 1 POUTRE N 2 0.2 m 0.2 m 0.2 m 0.5 m 0.5 m 0.5 m A X y G x B C D X A X y G x B 2000 N C D 1000 N X 200 Nm 100 Nm Y Y A X 0.25 m y G x B POUTRE N 3 0.25 m 1000 N C 0.25 m D 750 Nm X A X 0.25 m y G x B POUTRE N 4 0.25 m C 0.25 m D X 125 Nm 50 Nm Y Y POUTRE N 5 POUTRE N 6 0.25 m 0.25 m 0.25 m 0.3 m 0.3 m 0.3 m A X y G x B C D X A X y G x B C 40 Nm D X 100 Nm 50 Nm 160 Nm IUTB-LYON1-GMP-DDS Page 18
TP-1A-S1-F112 ANNEXES IUTB-LYON1-GMP-DDS Page 19
TP-1A-S1-F112 Rappels du Cours : EFFORT NORMAL TRACTION- COMPRESSION Si, pour une poutre droite à section constante, le torseur de section se réduit à N x, quelle que soit la section droite, la poutre est soumise : ο à de la traction si N x >0. ο à de la compression si N x <0. 1. CONTRAINTE NORMALE EN UN POINT P APPARTENANT A UNE SECTION DROITE : l L G N x x P P P l σ x L Chaque section droite S subit une translation Δl proportionnelle à l. Il en résulte que σ est constante en tout point de la section droite : D où l expression de la contrainte de traction : σ = N x A IUTB-LYON1-GMP-DDS Page 20
TP-1A-S1-F112 2. INFLUENCE DE LA VARIATION BRUTALE DE LA SECTION DROITE. CONCENTRATION DE CONTRAINTES: On constate que dans la section la plus faible (au voisinage du raccordement pour le congé), la contrainte réelle de traction subit une forte majoration par rapport à la valeur nominale P/A fournie par la théorie des poutres. La σ maxi contrainte maximum réelle σ maxi de σ nom traction se calcule à partir de la contrainte nominale P/A fournie par la P théorie des poutres par la relation: P σ max i = K A K est le facteur de concentration de contraintes. 3. DEFORMATIONS : On constate expérimentalement que l'allongement axial sous un effort de traction entraîne L=L 0 + L L 0 Φ 0 P Φ P L une contraction des dimensions transversales. IUTB-LYON1-GMP-DDS Page 21
TP-1A-S1-F112 3. 1. Déformation longitudinale: La quantité sans dimension: ε L = L L 0 est la déformation longitudinale (>0 dans le cas de la traction) si le contrainte est constante le long de la poutre. 3. 2. Déformations transversales: La quantité sans dimension : ε T = DD D D = D D 0 0 0 est la déformation transversale (<0 dans le cas de la traction) de la poutre. 4. ESSAI DE TRACTION STATIQUE: Charge Essai de traction d un acier doux Réponse de l éprouvette Limite d'élasticité Striction Rupture Domaine des déformations irréversibles Déplacement Domaine de déformations élastiques Cet essai est décrit en détail dans la norme NF EN 10002. Il s'effectue sur des éprouvettes normalisées, généralement à section circulaire, que l'on soumet à une charge croissant lentement jusqu'à rupture. On enregistre le diagramme force/allongement que l'on rend intrinsèque (indépendant de la géométrie de l'éprouvette) en divisant la charge par l'aire initiale S 0 de la section droite, et l'allongement par la longueur initiale entre repère L 0. IUTB-LYON1-GMP-DDS Page 22
TP-1A-S1-F112 Le diagramme est généralement composé d'une partie OA linéaire et réversible: la zone élastique, et d'une partie courbe AB: la zone plastique où l'éprouvette subit des déformations irréversibles. On constate qu'il y a deux comportements très différents suivant que le matériau est ductile ou fragile P Dans σ = la zone élastique la loi de proportionnalité entre la A contrainte de traction σ=p/s 0 et la déformation longitudinale ε L = L/L 0 est la loi de HOOKE en traction. Elle s'écrit: E : Module de YOUNG ε = l l 0 σ = Eε L E est le module d'élasticité longitudinale ou module de YOUNG du matériau. Il s'exprime en MPa ou en GPa (1GPa = 10 9 Pa = 10 3 MPa). C'est une caractéristique du matériau. Le module de YOUNG E vaut sensiblement 200 GPa pour les aciers et 70 GPa pour les alliages d'aluminium. La contrainte à la fin de la zone élastique est la limite élastique en traction du matériau. Elle se note σ e. Elle s'exprime en MPa. Elle est comprise par exemple pour les aciers entre 235 MPa (pour l'acier 235,ex E24) et 1500 MPa (pour l'acier 35NCD16). IUTB-LYON1-GMP-DDS Page 23
TP-1A-S1-F112 Parallèlement au diagramme force/allongement axial, on peut enregistrer le diagramme allongement axial/contraction transversale que l'on rend intrinsèque (indépendant de la géométrie de l'éprouvette) en divisant l'allongement axial par la longueur initiale entre repère L 0 et la contraction transversale par le diamètre D 0. Comme pour le diagramme force/allongement on constate que le diagramme allongement axial/contraction transversale est Composé d'une partie linéaire et réversible, et d'une partie courbe où l'éprouvette subit des déformations irréversibles. Dans la zone élastique la loi de proportionnalité entre la déformation longitudinale L/L 0 et la déformation transversale D/D 0 est la loi de POISSON. Elle s'écrit: εt = νε L ν est le coefficient de POISSON (sans dimension) du matériau. C'est, comme le module de YOUNG, une caractéristique du matériau. Il vaut sensiblement 0.3 pour la plupart des matériaux. IUTB-LYON1-GMP-DDS Page 24
TP-1A-S1-F112 Rappels du Cours : CISAILLEMENT Le cisaillement est irréalisable expérimentalement pour une poutre tout entière. La définition s'applique donc à une petite portion d'une poutre. Si, pour une poutre à section constante, le torseur de section se réduit à T Y (ou T Z ), dans une section droite, la section est soumise à du cisaillement. Le modèle expérimental est une poutre encastrée à section rectangulaire sur laquelle on applique une force uniformément répartie P située à la verticale d'une section droite S' et à une distance ΔX très petite de la section encastrée S. De cette façon toutes les sections comprises entre S et S' sont sensiblement soumises à un effort tranchant T Y. z P S S' G G' γ y x y x 1. Contrainte moyenne de cisaillement en un point P appartenant à la section droite: Les sections droites comprises entre S et S' subissant un glissement transversal Δy par rapport à S. Rien ne permettant de faire une hypothèse sur la répartition de la contrainte tangentielle τ dans la section droite, on ne peut calculer que sa valeur moyenne de cette contrainte. On peut écrire quel que soit le point de la section droite: τ = P moy S 2. Déformation: La section droite S' glisse transversalement de y par rapport à S. y L'angle très faible γ, en radians, caractérise la déformation de toutes les sections x droites comprises entre S et S'. L'angle γ est la distorsion de l'angle droit x,y. 3. Essai de cisaillement statique: Cet essai n'est pas normalisé. On soumet le modèle expérimental précédent à une charge croissant lentement jusqu'à rupture. IUTB-LYON1-GMP-DDS Page 25
TP-1A-S1-F112 On enregistre le diagramme force/glissement charge par l'aire A de la section droite, et le glissement τ moy =P/A y que l'on rend intrinsèque en divisant la y par x. τ e moy Maτériaux fraγiles B A A Maτériaux ducτiles B γ= y/ x Le diagramme est généralement composé d'une partie OA linéaire et réversible: la zone élastique, et d'une partie courbe AB: la zone plastique où l'éprouvette subit des déformations irréversibles. On constate qu'il y a deux comportements très différents suivant que le matériau est ductile ou fragile. Dans la zone élastique la loi de proportionnalité entre la contrainte moyenne de cisaillement P τ = moy et la distorsion γ est appelée loi de HOOKE en cisaillement. Elle s'écrit: A τ moy = Gγ G est le module d'élasticité transversale ou module de COULOMB (ou encore module de glissement du matériau). Il s'exprime en MPa ou en GPa. C'est une caractéristique du matériau. La contrainte moyenne de cisaillement à la fin de la zone élastique est la limite élastique moyenne au cisaillement du matériau. Elle se note τ moyen e. Elle s'exprime en MPa. ο On montre que le module de YOUNG E, le module de COULOMB G, et le coefficient de POISSON ν sont, lorsque le matériau est isotrope, liés par la relation: G = E 2(1 + ν) ο On constate que pour un matériau fragile les limites élastiques en traction et cisaillement sont sensiblement les mêmes tandis que pour un matériau ductile: τ e σe 2 IUTB-LYON1-GMP-DDS Page 26
TP-1A-S1-F112 Rappels du Cours : TORSEUR DE SECTION (COHESION) DEFINITION : Soit une poutre en équilibre sous l'action d'un torseur extérieur et un point P à l'intérieur de la poutre. Effectuons une coupe, en dehors des points d'application du chargement, suivant une section droite passant par le point P et isolons l'un des deux tronçons résultant de la coupe. F i A i da y df=f x da F j G 0 z P(y,z) G x A j G 1 Tronçon isolé S Le torseur des forces élastiques chaque point P de la section droite est appelé torseur de section. Il peut être réduit au centre de gravité G de la section droite. On obtient en notant d f s'exerçant sur des éléments de surface d'aires da entourant R et M G la résultante et le moment résultant du torseur des forces df : R = d f S M G = S M G (df ) IUTB-LYON1-GMP-DDS Page 27
TP-1A-S1-F112 On obtient en projetant sur les axes xyz du repère lié au centre de gravité G de la section droite, et en notant,t, T M,M, M les composantes de M G. z N x y z les composantes de R, et x y z z T z M z G N x x G M x x T y R G M y M G y y N x est l'effort normal suivant l'axe x. T sont les efforts tranchants suivant les axes y et z. y, T z M x est le moment de torsion suivant l'axe x. M sont les moments fléchissants suivant les axes y et z. y, M z CALCUL DES COMPOSANTES DU TORSEUR DE SECTION EN FONCTION DES EFFORTS EXTERIEURS : Les composantes des d f = Φ xda étant inconnues, les composantes du torseur de section sont calculées à partir des efforts extérieurs en isolant un tronçon de poutre. Le tronçon isolé est en équilibre sous l'action d'une partie du torseur extérieur (les F i ) appliqué à la poutre et du torseur de section. Donc: R F = i M G = (F ) M G i N. B. La poutre étant en équilibre statique, le torseur extérieur est identiquement nul, et par conséquent : Donc: Fi + Fj = 0 R = Fj MG (F i) + MG (F j) = 0 M G = (F ) M G j La résultante et le moment résultant du torseur de section de la section terminale d'un tronçon peuvent donc se calculer soit à partir du torseur des efforts extérieurs s'exerçant sur le tronçon, soit à partir du torseur des efforts extérieurs s'exerçant en dehors du tronçon. IUTB-LYON1-GMP-DDS Page 28
TP-1A-S1-F112 CARACTERISTIQUES DES MATERIAUX Module Coefficient Module de Limite Limite Masse Dilatation d Young de Poisson ν Coulomb G de élastique en volumique 10-6 / C E (Gpa) fatigue traction (1000kg/m 3 ) (Gpa) (Mpa) (Mpa) Acier de 210 0.285 81 20 à 60 7.8 13 Acier 45 SC 220 0.285 85 145 7.8 13 Acier 203 0.29 78 18 à 22 7.9 16.5 Fontes grises 90 à 120 0.29 34 à 46 10 à 15 18 à 25 7.1 à 7.2 9 à 13 Fonte graphite 160 à 0.29 62 à 69 26 à 60 7.1 à 7.3 11 à 12 Fontes 160 à 0.29 62 à 77 16 à 38 20 à 40 7.5 à 7.8 9 à 13 Titane 105.5 0.34 39 20 à 47 4.51 8.9 Alliage titane 109 0.34 40 60 Alliage titane 105 0.34 39 90 4.42 8 Aluminium 70.5 0.34 26 12 Alliage alu 75 0.33 28 12 20 2.8 23.5 Alliage alu 75 0.34 27 10 37 2.8 22 à 24 Alliage alu 70 0.34 26 22 à 26 2.8 23 Zicral AZ8GU 72 0.34 26 55 2.8 23.5 Cuivre 100 0.33 37 18 8.9 17 Laiton 92 0.33 34 20 7.3 18 Bronze 106 0.31 40 24 8.4 17.5 Bronze au 130 0.34 48 20 80 8.25 17 Béryllium 300 0.05 100 30 1.85 12.4 Magnésium 46 0.34 17 1.74 25.6 Marbre 26 0.3 10 50 2.8 8 Béton 14 à 21 0.3 5 à 8 30 1.9 14 Verre 60 0.25 23 à 25 3 à 8 Plexiglas 2.9 0.4 1 8 1.8 80 à 90 IUTB-LYON1-GMP-DDS Page 29
TP-1A-S1-F112 CARACTERISTIQUES MECANIQUES SUR BARRES TRAITEES IUTB-LYON1-GMP-DDS Page 30