TRANSFERTS THERMIQUES

TRANSFERTS THERMIQUES I. RAYONNEMENT 1. Connaissances a. Qu est-ce qui véhicule l énergie thermique par rayonnement? b. Quelle est la propriété du modèle idéal du corps noir? c. Imaginons que vous exposiez un corps noir à une température initiale θ i = 20 C au Soleil. On suppose que le seul moyen d échange thermique entre ce corps noir et l environnement est le rayonnement. Tracer l évolution de la température θ du corps noir en fonction du temps. d. Quelle est la relation entre la température d un corps noir et la longueur d onde pour laquelle l émission de rayonnement électromagnétique est maximale? e. Donner les expressions de la puissance surfacique ou excitance émise par le corps noir et par un corps réel. f. Pourquoi peint-on en noir les dissipateurs thermiques en aluminium des appareils électriques? g. Une caméra thermique peut-elle voir à travers les murs? Justifier. h. Quels sont les gaz qui sont responsables de l effet de serre sur Terre? Expliquer brièvement le principe de l effet de serre. 2. Savoir-faire N 1 Le Soleil On suppose que le rayonnement du Soleil est celui d un corps noir dont le maximal d émission est pour la longueur d onde λ m = 0,5 µm (ce qui correspond à la couleur jaune). Le diamètre du Soleil est d = 14.108 m et sa masse M = 2.1030 kg. On donne la constante de Wien : C = 2 900 µm.k la constante de Stephan : σ = 5,67.10-8 W.m -2.K -4 la vitesse de la lumière : c = 3,0.10 8 m.s -1 1. Déterminer la température de surface du Soleil. 2. Calculer la puissance surfacique rayonnée par le Soleil. En déduire la puissance thermique émise par le Soleil. 3. D où provient cette énergie? En déduire la perte de masse du Soleil par seconde. 4. Calculer la durée de vie du Soleil dans l hypothèse extrême où toute la masse se transformerait en énergie. Sachant que la durée de vie du Soleil est estimée à quelques milliards d années, discuter de la validité de cette hypothèse. 5. Sachant que la distance Soleil-Terre est en moyenne de 150 millions de kilomètres, en déduire la puissance solaire par unité de surface M ext reçue par l extérieur de l atmosphère terrestre située en face du Soleil. 6. Calculer la puissance solaire reçue par unité de surface M sol au niveau du sol. On donne le facteur de transmission de l atmosphère terrestre τ = 0,6. N 2 Capteur solaire On considère un chauffe-eau solaire constituée d un panneau solaire noircie de surface S = 12 m2 de sorte qu elle soit considérée comme un corps noir. Celle-ci est au contact avec un tuyau en forme de serpentin dans lequel circule de l eau. On suppose que le panneau échange de la chaleur uniquement par rayonnement avec l extérieur : réception et émission et par conduction avec l eau circulant dans le tuyau. 1

On donne la puissance solaire surfacique reçue par le panneau : M = 800 W.m -2 et la capacité thermique massique de l eau c eau = 4 180 J.kg -1.K -1. 1. Dans un premier temps, on ne fait pas circuler d eau dans le tuyau (pas de puissance thermique échangée entre le panneau et l eau). En effectuant un bilan énergétique sur la surface noire du panneau solaire, calculer la température d équilibre T S de la surface noire du panneau solaire en régime permanent. 2. Dans un second temps, on fait circuler de l eau en circuit ouvert dans le tuyau. L eau entre avec une température de 17,5 C et ressort à 36 C. On donne le débit massique de l eau mɺ = 50 g.s -1. a. Calculer la puissance thermique reçue par l eau. b. En admettant que la température moyenne du panneau solaire est de 36 C, calculer la puissance réémise par rayonnement par le panneau solaire. c. Vérifier que le bilan énergétique sur le panneau solaire est correct. En déduire le rendement du capteur solaire. 3. Dans un troisième temps, on intercale une vitre entre la surface noire du panneau solaire et le rayonnement solaire. On admet que le verre transmet intégralement la puissance solaire (ni réflexion, ni absorption). On considère la vitre comme un corps noir qui émet dans les deux demiespaces (vers l extérieur et vers la plaque). L eau ne circule pas dans le tuyau (pas de puissance thermique échangée entre le panneau et l eau). Soient T V et T S, les températures respectivement de la vitre et de la surface noire. a. En effectuant deux bilans énergétiques : un sur la surface noire et un sur la vitre, montrer que la température T V est égale à la température T S calculée précédemment sans vitre. b. En déduire la température T S. Comparer les deux températures de la surface noire avec et sans vitre. Comment appelle-t-on ce phénomène? 4. Dans un quatrième temps, on fait circuler à nouveau de l eau en circuit ouvert dans le tuyau. L eau entre avec une température de 17,5 C et ressort à 73 C. On donne le débit massique de l eau mɺ = 20,4 g.s -1. a. Déterminer la puissance thermique reçue par l eau. En déduire le rendement du capteur solaire. b. Calculer la puissance thermique réémise par rayonnement. En déduire les températures de la vitre et de la surface noire. c. On considère que la puissance thermique cédée à l eau par le panneau solaire est constante : P = 4 730 W. Le panneau solaire est relié à un réservoir contenant 200 L d eau. On donne la masse volumique de l eau : ρ eau = 1 000 kg.m -3. Combien de temps faut-il pour faire passer la température de ces 200 L d eau de 17,5 C à 90 C? Activités 2

II. CONDUCTION 1. Connaissance a. Lorsqu on chauffe une barre métallique, est-ce que les atomes qui constituent la barre se déplacent? Qu est-ce qui est transmis de proche en proche lors d un transfert thermique par conduction? b. Enoncer la loi de Fourier. Que signifie le signe -? c. Qu est-ce que la conductivité thermique? Quelle est son unité? d. Pourquoi les gaz sont-ils moins bons conducteurs thermiques que les solides? e. Pourquoi la fourrure, la laine de verre et le polyuréthane sont-ils de bons isolants thermiques? f. Pourquoi les métaux sont-ils meilleurs conducteurs thermiques que le verre? g. En transfert thermique, on fait une analogie avec l électricité. Ecrire la loi d ohm pour la conduction. h. Donner l expression de la résistance thermique d un matériau d épaisseur e, de surface S et de conductivité thermique λ dans le cas du modèle du mur. i. Donner l expression de la résistance thermique d un matériau de conductivité thermique λ situé entre les rayons R 1 et R 2 sur une longueur L dans le cas du modèle du cylindre creux. 2. Savoir-faire N 3 Mesure de la conductivité thermique de l aluminium On réalise l expérience suivante pour déterminer la conductivité thermique de l aluminium. Tige chauffante Matériau adiabatique Barre d aluminium 450 g d eau 150 g de glaçons La partie supérieure de la barre est chauffée par une tige chauffante. Celle-ci fonctionne par effet Joule et est alimentée par un générateur de tension. La partie inférieure est maintenue à la température de 0 C dans de la glace fondante. A t = 0, on alimente électriquement la tige chauffante. Elle est soumise à une tension U=10 V et est traversée par un courant d intensité I = 2,0 A. On considère que la puissance thermique conduite par la barre est identique à la puissance électrique. On donne les dimensions de la barre d aluminium : Longueur L = 40 cm et diamètre d = 2 cm. On donne les propriétés physiques de l eau : chaleur de fusion L F = 333 kj.kg -1 et capacité thermique massique liquide c eau = 4 180 J.kg -1.K -1. 1. Lorsque le régime permanent est atteint, on relève les températures indiquées par huit thermocouples régulièrement disposés le long de la barre. On trace et on modélise θ = f (x). 3

100,00 90,00 80,00 θ = -273,4.x + 95,63 R 2 = 0,9996 70,00 60,00 θ ( C) 50,00 40,00 30,00 20,00 10,00 0,00 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 x (m) a. Calculer la puissance thermique conduite par la barre d aluminium. b. En déduire la conductivité thermique de l aluminium. 2. L expérience dure une heure. On néglige la capacité thermique du vase qui contient l eau. a. La température de l eau est-elle toujours égale à 0 C à la fin de l expérience? Sinon quelle est la température finale de l eau? b. A quel moment doit-on ajouter des glaçons afin de maintenir la température constante et égale à 0 C? N 4 Double vitrage 1. Une vitre en verre de surface S = 1 m 2 et d épaisseur e = 4 mm sépare une pièce dont la température θ int = 20 C, de l extérieur où règne une température θ ext = 0 C. On donne la conductivité thermique du verre λ v = 1,15 W.K -1.m -1. a. Calculer la résistance thermique de cette vitre. b. Calculer la puissance thermique échangée à travers cette vitre. 2. On remplace l ancienne vitre par une vitre à double vitrage formée d une plaque de verre d épaisseur e 1 = 1 mm, d une épaisseur e 2 = 2 mm d air sec et d une autre plaque de verre d épaisseur e 1. On donne la conductivité thermique de l air sec λ a = 0,024 W.K -1.m -1. a. Calculer la résistance thermique de cette vitre à double vitrage. b. Calculer la puissance thermique échangée à travers cette vitre. c. Commenter les résultats obtenus. N 5 Cabane On désire étudier les pertes thermiques d une cabane cubique de 1 000 m3 constituée d une seule pièce. On considère que le sol est un très bon isolant et qu aucun flux thermique ne passe à travers. Le toit est plat et est constitué de planches en bois d épaisseur e = 5 cm. Les quatre murs sont en briques d épaisseur e = 5 cm. Une porte en bois de 2 m de haut et de 1 m de large et d épaisseur e = 5 cm se trouve dans l un des murs. Les trois autres murs sont munis chacun d une fenêtre en vitre à double vitrage identique à celle de l exercice précédent. Les températures des façades intérieures et extérieures sont les suivantes, θ int = 20 C et θ ext = 5 C. On donne les conductivités thermiques : λ brique = 0,84 W.K -1.m -1 et λ bois = 0,23 W.K -1.m -1. 4

1. a. Faire un schéma équivalent de la cabane en faisant apparaître les différentes résistances. b. Calculer les résistances thermiques des fenêtres, des murs en brique et des parties en bois. En déduire la résistance totale. c. Calculer la puissance thermique perdue par la cabane. d. Où doit-on agir pour limiter les pertes thermiques? 2. Pour chauffer la cabane on utilise un convecteur électrique branché sur le secteur (220 V). a. Quelle doit être la valeur de la résistance électrique du convecteur pour compenser exactement les pertes thermiques. b. Que se passe-t-il si la résistance électrique du convecteur est légèrement supérieure ou inférieure à cette valeur? N 6 Isolation thermique d une conduite cylindrique On considère une conduite d eau chaude constituée par un tube cylindrique en cuivre de rayon r = 10 mm. On néglige l épaisseur du tube. Ce tube est séparé de l extérieur par une gaine cylindrique d épaisseur e = 4,0 cm, constituée d un matériau de conductivité thermique λ = 1,0 W.m -1.K -1. Le régime permanent étant établi, on considère que la température de la paroi intérieure du tube en cuivre est constante tout le long du tube θ 1 = 80 C et que la température extérieure est θ ext = 20 C. 1. Calculer la puissance thermique perdue par unité de longueur. 2. On augmente l isolation du tube en ajoutant une couche supplémentaire cylindrique, d épaisseur e, constituée d un matériau isolant de conductivité thermique λ = 0,030 W.m -1.K -1. Quelle doit être la valeur de l épaisseur e pour que les pertes thermiques soient divisées par 10? N 7 Géothermie La géothermie est la science qui étudie les phénomènes thermiques internes du globe terrestre. La Terre d un rayon de 6 400 km est constituée des couches suivantes dans l ordre croissant à partir du centre : noyau interne : sphère solide de 1 275 km de rayon, noyau externe : couche concentrique liquide d épaisseur 2 225 km, manteau : couche concentrique solide d épaisseur 1 920 km, croûte : écorce solide d épaisseur 980 km. Une chaleur intense issue du noyau interne, est émise en permanence vers les différentes couches qui forment la planète. L origine de cette chaleur est la désintégration radioactive de l uranium et d autres éléments radioactifs. La puissance géothermique de la Terre est estimée à 3,0 milliards de kilowatts. 1. On considère une coque de forme sphérique, de rayon intérieur R i et de rayon extérieur R e. Soient θ i la température de la paroi intérieure de la coque et θ e la température de la paroi extérieure (θ i > θ e ). a. Faire un schéma de la coque en faisant apparaître le sens du flux thermique. b. Que peut-on dire du flux thermique lorsque le régime permanent est atteint? En déduire à partir de la loi de Fourier, l équation différentielle reliant la température θ au rayon r de la coque. c. Intégrer cette équation afin d en déduire l expression de la température en fonction du rayon. Tracer l allure de cette courbe. e. Établir l expression de la résistance thermique de la coque. 2. On applique la théorie de la coque à la Terre. On considère que le noyau externe, le manteau et la croûte ne génèrent aucune puissance thermique et on les assimile à un matériau homogène de conductivité moyenne λ = 23 W.m -1.K -1. On prend θ e = 20 C. Calculer la température du noyau interne que l on considérera constante. Activités 5

III. IV. CONVECTION 1. Connaissances a. Quelle est l effet d une augmentation de température sur un fluide? b. Qu est-ce qui véhicule l énergie thermique par convection? c. Quelle est l expression de la puissance thermique échangée par convection entre un solide et un fluide (loi de Newton)? d. Un particulier hésite pour son système de chauffage entre des radiateurs et un plancher chauffant. Pour la même puissance thermique apportée par le chauffage, la température de l eau circulant dans les radiateurs est en moyenne de 60 C tandis que celle circulant dans un plancher chauffant est de 30 C. Comment peut-on justifier cet écart de température entre les deux systèmes? e. Un objet métallique dont la température est à 100 C est placé dans l air ambiant à la température de 20 C. Que peut-on faire pour refroidir rapidement l objet sans le déplacer? Cours TRANSFERTS THERMIQUES 1. Connaissances a. Donner l expression de la résistance thermique entre un solide et un fluide. b. Le coefficient global d échange h prend en compte quels types de transferts thermiques? 2. Savoir-faire N 8 Plancher chauffant La figure ci-dessous représente la coupe transversale d un plancher dans lequel on a incorporé un système de chauffage qui est constitué d un tube dans lequel circule de l eau chauffée. On assimile ce système de chauffage à un plan horizontal à la température uniforme θc = 40 C. Soient θa = 20 C et θf = 7,0 C respectivement la température du local et la température du sol de fondation. On note h = 10 W.m-2.K-1 le coefficient global d échange entre la surface du revêtement du plancher à la température θs et le milieu ambiant à la température θa. Les caractéristiques des matériaux constituants le plancher sont les suivantes : Matériel Indice λ (W.m (.K -1 ) Épaisseur (cm) Revêtement 1 2,50 1 Mortier 2 1,15 5 Isolant 3 0,02 2 Béton 4 1,40 10 6

1. On raisonne pour un mètre carré de plancher chauffant. a. Déterminer la puissance thermique reçue par le local. En déduire les températures θ s et θ 1. b. Déterminer la puissance thermique reçue par le sol. En déduire las températures θ 3. c. En déduire la puissance thermique cédée par le chauffage. 2. a. Calculer le pourcentage de puissance perdue par le sol de fondation. b. Calculer l épaisseur d isolant e 3 à placer pour que ces pertes n excédent pas 1 %. On considère que la température du sol de fondation garde la même température. N 9 Canalisation calorifugée On considère une conduite d eau chaude constituée par un tube en cuivre de longueur L = 1 m, de conductivité λ 1 = 380 W.m -1.K -1, de rayon intérieur R 1 = 6 mm et de rayon extérieur R 2 = 7 mm. On réalise à l aide d un matériau isolant de conductivité thermique λ 2 = 0,1 W.m -1.K -1, une gaine coaxiale de rayon intérieur R 2 et de rayon extérieur R 3 = r. Le régime permanent étant établi, on considère que la température de la paroi intérieure du tube est constante le long du tube est égale à θ 1 = 80 C. La température de l air ambiant loin du tube est θ 2 = 20 C. On donne le coefficient global d échange entre l air et la surface extérieure de l isolant (ou du tube en cuivre en l absence d isolant), h = 5 W.m -2.K -1. 1. 2. a. Exprimer la résistance thermique totale R th uniquement en fonction de l épaisseur r d isolant. b. Que peut-on dire de la résistance thermique due à l épaisseur du tube en cuivre? a. Calculer la puissance thermique perdue Q ɺ 1 si la conduite n est pas isolée. b. Calculer la puissance thermique perdue Q ɺ 2 si la conduite est isolée en prenant R 3 = 15 mm. Que remarquez-vous? Comment peut-on expliquer cela? c. Déterminer l épaisseur d isolant R 0 pour laquelle le flux thermique perdu est maximal? Calculer cette puissance thermique : Q ɺ 3. d. Calculer la puissance thermique perdue Q ɺ 4 pour R 3 = 200 mm. N 10 Détermination de la conductivité thermique du laiton On chauffe une barre d aluminium de diamètre d = 8 mm avec une tige chauffante. Lorsque le régime permanent est atteint, on relève les températures données par dix thermocouples disposés le long de la barre. On donne l expression de la température θ en fonction de la position x : 4h θ = θ a + ( θ0 θa ) exp.x λ.d où θ 0 correspond à la température pour x = 0 et θ a correspond à la température lorsque x On donne la conductivité thermique de l aluminium λ alu = 230 W.m -1.K -1. 7

θ θ a On trace ensuite y = ln = f (x) θ0 θa On répète la même expérience d abord en ventilant l air, ensuite en peignant la barre d aluminium en noir et enfin en remplaçant la barre d aluminium par une barre en laiton peinte en noir. x (m) 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9-1 y = -6,37.x R 2 = 0,978-2 Aluminium y ( C) -3-4 y = -9,90.x R 2 = 0,997 y = -6,63.x R 2 = 0,993 Aluminium noir -5 Laiton noir y = -9,16.x R 2 = 0,967-6 Aluminium ventilé Laiton noir Aluminium Aluminium ventilé Aluminium noir 1. 2. 3. θ θ a a. Pour quelle raison trace-t-on ln = f (x) et non θ = f (x)? θ0 θa A quoi est égale l opposé du coefficient directeur des différents modèles? b. Calculer le coefficient global moyen d échange thermique entre la barre d aluminium et l air. a. Calculer le coefficient global moyen d échange thermique entre la barre d aluminium et l air lorsqu il est ventilé. b. Sachant que h = h C + h R, quelle composante de h a-t-on modifié? c. Quel est l effet de la ventilation sur ce coefficient d échange? Comment peut-on l interpréter? a. Calculer le coefficient global moyen d échange thermique entre la barre d aluminium peinte en noir et l air. b. Sachant que h = h C + h R, quelle composante de h a-t-on modifié? c. Quel est l effet de la couleur sur ce coefficient d échange? Comment peut-on l interpréter? 4. En considèrent que le coefficient global moyen d échange entre la barre de laiton et l air est identique à celui déterminé précédemment avec la barre d aluminium dans les mêmes conditions, déterminer la conductivité thermique du laiton. Cours 8

V. ECHANGEUR THERMIQUE 1. Connaissances B.T.S. T.P.I.L. \ Mécanique et Thermodynamique \ Transferts thermiques \ Objectifs a. Quel est le rôle d un échangeur thermique? Q b. Exprimer la puissance thermique perdue ɺ C par l eau chaude en fonction des températures, de la m capacité thermique massique de l eau c eau et du débit d eau chaude ɺ C. Q c. Exprimer la puissance thermique gagnée ɺ F par l eau froide en fonction des températures, de la m capacité thermique massique de l eau c eau et du débit d eau froide ɺ F. Q Q d. Quel est le lien entre ɺ C et ɺ Fsi l échangeur est bien isolé thermiquement? e. La relation suivante relie Q la puissance K.S. thermique échangée à la différente de température moyenne entre les deux fluides : ɺ = θ moy. Que représentent S et K? Exprimer en fonction des différentes températures la différence de température moyenne entre les deux fluides : θ moy. 2. Savoir-faire N 11 Echangeur On utilise un échangeur à tubes coaxiaux de longueur L = 5,0 m pour refroidir de 66 C à 39 C, 50 tonnes par heure d une solution. On dispose pour cela d un débit d eau de 71 m 3.h -1 à la température de 10 C. On donne la masse volumique de l eau ρ eau = 1 000 kg.m -3, les capacités thermiques massiques de la solution c s = 3 280 J.kg -1.K -1 et celle de l eau c eau = 4 180 J.kg -1.K -1. 1. a. Faire un schéma de l échangeur. b. Déterminez la puissance thermique échangée entre les deux fluides. c. En déduire la température de sortie de l eau de refroidissement. 2. On considère que le coefficient global d échange K = 1 950 W.m -2.K -1 de l échangeur est constant quel que soit le type d écoulement co-courant ou contre-courant. L On donne les températures des deux fluides au milieu de l échangeur x = : 2 A co-courant : θ eau = 13,3 C θ solution = 48,0 C A contre-courant : θ eau = 10,3 C θ solution = 52,5 C a. Tracer les courbes θ eau et θ solution en fonction de la position le long de l échangeur pour les deux types d écoulement. b. Déterminez la surface d échange de l échangeur nécessaire pour réaliser ce transfert thermique pour un écoulement à co-courant puis à contre-courant. Conclusion. 9