Glossaire de définitions L objet de la physique statistique est l étude de systèmes avec un grand nombre de degrés de liberté. Le calcul de valeurs moyennes de grandeurs physiques dans le cadre de modèles microscopiques permet d en déduire le comportement macroscopique d un système. Constantes : Constante de Planck : h=6,62 *10-34 J.s Energie d ionisation de l atome H : 13,6eV Energie thermique: E=k B *T k B = 1,38*10-23 J.K -23 Nombre d Avogadro: N A =6,02.10 23 mol -1 Energie de formation de H 2 O : 288 kj.mol -1 Formulaire : Formule de Stirling : pour N >> 1 N! ln(n!) Intégrales: pour a>0 I(n) dx I (0) = I (1) = I (2) = I (3) = I (4) = I (5) = Fonction Γ : pour z > 0 Γ(z)= Γ(z+1)=zΓ(z) Γ= Γ(n+1)=n! Pour n entier >0 Ω(X)= C N X Multiplicité du macro-état X
Chapitre I Un micro-état est un état du système caractérisé à l échelle microscopique par la donnée de tous ses degrés de liberté (gaz : positions et vitesses de chacune des particules). C est l objet de la physique statistique. Un état macroscopique est un état du système caractérisé seulement par la donnée de variables macroscopiques (gaz : température, pression ). A un macro-état correspond plusieurs micro-états La mesure macroscopique est le résultat d une moyenne sur tous les microétats. Conclusion Etat d équilibre thermodynamique macroscopique Macro-état le plus probable = Celui qui possède le plus grand nombre de micro-états associés La probabilité de s écarter de ce macro-état est infime Entropie : L entropie chiffre le désordre c est-à-dire elle mesure l information manquante sur le système étudié. Soit un processus ayant N résultats possibles {e i } 1 i N avec des probabilités {p i } 1 i N On a 0 p i 1 et =1 L entropie du processus est définie par S= -λ λ est une constante de normalisation qui dépend du domaine d application. On a toujours S 0. Elle est maximale lorsque tous les résultats sont équiprobables. Un évènement impossible ou certain ne contribue pas à l entropie. L entropie est additive pour des évènements indépendants. En physique statistique λ=k B
Chapitre II Un système micro-canonique est un système s sans échange d énergie ni de matière avec l extérieur. C est un système isolé. L énergie U est un paramètre fixe Seul le macro-état réalisant les paramètres extérieurs existe. Les micro-états réalisant ca macro-état sont les micro-état accessibles. Ils définissent l ensemble micro-canonique. Postulat fondamental : Pour un système isolé, tous les micro-états accessibles sont équiprobables. Soit Ω le nombre de micro-états accessibles. La probabilité de chaque micro-état est : P= L entropie micro-canonique est : S * = Second principe de la thermodynamique : L évolution spontanée d un système isolé se traduit par une augmentation du nombre d états accessibles qui s accompagne nécessairement une augmentation de l entropie micro-canonique. Cette évolution est irréversible. Propriété : La probabilité d une variable interne Y est une gaussienne centrée sur sa valeur la plus probable Y m et de largeur relative proportionnelle à avec N le nombre de particules du système.
Chapitre III Un système canonique est un système fermé réalisant avec l extérieur un échange d énergie mais pas de matière. Le système que l on étudie est en contact thermique avec un grand système (R) qui joue le rôle de thermostat pour le petit système et impose sa température à (S). Distribution de Boltzmann : P l = d énergie E l Probabilité que (S) soit dans le micro-état l Z(T) = Soit g(e l ) le nombre de micro-états de (S) d énergie E l (multiplicité de E l ), la probabilité de trouver (S) avec une énergie E l est : P(E l ) = g(e l )* P l On définit F=- Soient N particules identiques et indépendantes qui peuvent être dans des états différents, appelés états individuels. On permute 2 particules : Soit les 2 micro-états avant et après la permutation sont différents => les particules sont discernables. Soit les 2 micro-états avant et après la permutation sont identiques => les particules sont indiscernables.
Chapitre IV Un système grand-canonique est un système avec échange d énergie et de matière avec l extérieur. Pour illustrer la variation du nombre de particule, on introduit une nouvelle variable conjuguée à la variation du nombre de particules : c est le potentiel chimique μ. μ= F(T, V, N+1)-F(T, V, N)= La variation en énergie libre définit le potentiel chimique. L équilibre de 2 sous-systèmes pouvant échanger de l énergie et des particules se caractérise par l uniformité de la température et du potentiel chimique. On considère une fonction de partition différente que l on appelle grande fonction de partition qui prend en compte la variation du nombre de particules. Ξ = ( La probabilité de trouver le système (S) dans le micro-état l d énergie E l à N l est : P l =
Chapitre V On s intéresse dans ce chapitre au gaz parfait. C est un gaz de particules identiques et indépendantes. Les particules sont indiscernables. L énergie est purement cinétique. Les gaz de particules neutres peuvent être considérés comme parfaits car la durée des chocs entre particules est petite devant le temps de vol entre chocs. La méthode correcte pour étudier les systèmes microscopiques est la mécanique quantique mais dans certain cas, on peut utiliser une méthode classique plus simple. Pour cela il faut pouvoir négliger les effets quantiques. Pour savoir dans quel cas on se trouve, on introduit la longueur d onde de l onde de matière associée à la particule quantique. On compare cette longueur d onde à la distance moyenne entre les particules. Ainsi on néglige les effets quantiques quand la distance entre les particules est bien supérieure à la longueur d onde associée à la particule quantique. L air peut être traité de manière classique mais le gaz d électron devra être traité par la mécanique quantique. Le gaz parfait : On se place dans l espace des phases (espace des variables indépendantes du système). Un micro état dans l espace des phases est représenté par un volume de dimension finie autour d un point. Pour N particules, le volume occupé par un état est : h 3N Le nombre de micro-état dans un volume Δv entre E tot et E tot + ΔE est donc Δŋ = Principe d incertitude d Heisenberg : xδp = ђ Donc plus on connait avec précision la position de la particule moins on connait son impulsion. Le gaz d électrons : On traite le gaz d électron avec la mécanique quantique donc l équation de Schrödinger. En utilisant les conditions aux limites, on trouve : E (n x, n y, n z ) = l énergie est quantifiée Ѳ est le volume d un micro-état dans l espace des points k : Ѳ = L dimension de la boite
Chapitre VI Dans ce chapitre, on s intéresse aux particules quantiques. Elles se classent en 2 familles. Les fermions : particules de moments magnétiques interne (spin) demi-entier en unité ђ et fonction d onde antisymétrique. (ex : électron, proton, neutron) Les bosons : particules de moment magnétique interne (spin) entier en unité ђ et fonction d onde symétrique. (photon, nombre pair de fermions fortement couplés) Principe d exclusion de Pauli : Deux fermions de même nature ne peuvent occuper le même état quantique (défini par une fonction d onde et un spin) On est dans le cas où λ Ʌ Pour les fermions, on utilise la statistique de Fermi-Dirac. Le nombre d occupation N λ est soit 0 soit 1. Pour les bosons, on utilise la statistique de Bose-Einstein. Le nombre d occupation N λ d un état quantique peut prendre toutes les valeurs entières possibles. Dans les métaux, on étudie un gaz d électrons libres. Dons on utilise la statistique de Fermi-Dirac. Pour le corps noir, on utilise la statistique de Planck qui est la statistique de Bose-Einstein avec μ=0.