Filtrage Le terme filtrage englobe une multitude d algorithmes qui visent l un ou l autre des objectifs suivants : a) La localisation des pixels où un changement plus ou moins abrupt des valeurs numériques de l image est observable; ces pixels sont associés à la présence d objets ponctuels, linéaires ou aux frontières d objets surfaciques. Nous parlons des spots, des lignes ou d arêtes, des lignes, ou des, tel que défini dans la figure, et de filtres de détection de spots, de lignes ou d arêtes; b) L élimination des variations spatiales non significatives des valeurs numériques de l image; ces variations sont dues au bruit radiométrique ou sont associées à la présence d objets sans importance pour l analyse subséquente. Nous parlons alors des filtres de lissage; c) La restauration du contenu radiométrique d une image en éliminant les effets de floue, des traînées et d autres phénomènes introduits lors de l acquisition des images. Nous parlons alors des filtres de restauration d images; d) L accentuation des arêtes afin de faciliter la perception visuelle des objets. Nous parlons alors des filtres de rehaussement d arêtes. a) spot b) ligne c) arête d) ligne + arête Figure : Exemples de profiles -D des valeurs numériques d une image, associés à : a) un spot, b) une ligne, c) une arête, et d) un changement complexe où il y a superposition d une ligne et d une arête. Le filtrage est une opération fondamentale en traitement d images et une littérature volumineuse existe sur le sujet. Brièvement, les techniques de filtrage peuvent se diviser en deux grandes catégories : les filtres espace-image et les filtres espace-transformé. Dans le premier cas les filtres agissent directement sur les valeurs numériques des pixels de l image. L image filtrée est de la même taille que l image d entrée avec les valeurs des pixels altérées par l action du filtre. Dans le second cas il y a trois étapes pour générer l image filtrée : a) un traitement spécifique s applique aux valeurs de l image permettant de les représenter selon un nouvel espace (par exemple espace des fréquences spatiales), b) le filtre est appliqué dans ce nouvel espace, c) un traitement spécifique permet de représenter les valeurs altérées par l action du filtre selon l espace d origine (colonne, ligne). Les paragraphes qui suivent présentent un aperçu de la première catégorie de filtres tel qu appliqués au lissage des images ainsi qu à la détection des arêtes et des lignes, ce qui nous servira par après comme référence à notre discussion sur les méthodes d analyse d images. Les filtres espace transformé sont généralement moins utilisés et leur présentation même sommaire nécessiterait des développements mathématiques importants qui dépassent largement les objectifs de ce cours. Les filtres espace image altèrent la valeur numérique de chaque pixel de l image tenant compte des valeurs des pixels dans son voisinage immédiat. Ce voisinage est défini par une fenêtre de petite taille de forme le plus souvent carrée (par exemple x, x, x pixels). Les filtres espace image se distinguent en plusieurs catégories : a) filtres (ou masques) de convolution
spatiale, b) filtres non-linéaires, c) filtres adaptatifs, et d) filtres (ou masques) morphologiques. Pour la discussion qui suit nous adoptons comme système de notation de la position d un pixel : i ou x = numéro de colonne/j ou y = numéro de ligne. Les masques de convolution : Un masque de convolution c est une matrice carrée dont les éléments ou poids sont spécifiés en fonction de l un ou l autre des objectifs cités plus haut. La façon que le filtrage opère est illustrée par la figure. La valeur d un pixel de l image filtrée B à la position (i,j) est la somme des valeurs des pixels de l image A à l intérieur du masque M centré sur le pixel A (i,j), multipliées par les poids du masque. Nous parlons aussi des filtres linéaires dans le sens que les valeurs des pixels de l image filtrée sont le résultat de la combinaison linéaire des valeurs de l image d origine. Nous pouvons utiliser des masques pour effectuer la détection d arêtes, de lignes ou de spots; le lissage des images ou encore le rehaussement d arêtes. a * m a * m a * m b a * m a * m a * m a * m a * m a * m Masque M ( x ) Image A X Image B m m m m m m m m m X a * m a * m a * m 4 b4 a * m a * m a * m 4 a7 * m a * m a * m 47 7 Figure : Modus operandi d un filtre de convolution Les filtres non-linéaires : Un voisinage d un pixel (i,j) de l image d origine est défini comme d habitude par une fenêtre de petite taille. Les valeurs des pixels à l intérieur de la fenêtre sont extraites et soumises à un traitement quelconque selon l un ou l autre des objectifs mentionnés plus haut. Le résultat du traitement est une nouvelle valeur numérique qui est attribuée au pixel (i,j) de l image filtrée. Ces filtres sont appliqués dans le domaine du lissage ou de la détection d arêtes. Une catégorie spéciale des ces filtres sont ceux dits filtres adaptatifs. Leur opération s ajuste localement suivant des critères pré-établis. Les masques morphologiques : comme dans le cas des filtres de convolution, un masque est défini et le résultat final provient d une opération entre les valeurs des pixels inclus à l intérieur de la fenêtre et les valeurs des éléments du masque. Cependant autant les valeurs des ces éléments que le type d opération sont définis en fonction des principes d une théorie particulière celle de la morphologie mathématique. Grossièrement c est une application de la théorie des ensembles et des opérations entre ensembles (opérateurs logiques) dans le cas des figures géométriques sur le plan. Elle s applique aisément avec des images binaires (deux niveaux de gris) pour effectuer des opérations classiques comme la squelettisation d une ligne ou l établissement du contour d une figure. Elle peut s étendre dans le cas des images à plusieurs niveaux de gris avec certaines contraintes et, dans une certaine mesure, aux images multi-bandes. Les deux opérations de base sont celles de l érosion et de dilatation d une forme géométrique. Dans le cas qui nous préoccupe ici avec des images à niveaux de gris la façon que ces filtres agissent sur les valeurs de l image est illustrée à la figure. Les éléments du masque M peuvent prendre des valeurs entre et pour l érosion et entre et pour la dilatation. Les valeurs du masque sont ajoutées aux valeurs des pixels correspondants, et le minimum (cas d érosion) ou le maximum (cas de dilatation) des résultats de cette addition constitue la valeur de l image «érodée» ou «dilatée».
Il est à noter qu un élément peut être marqué avec l état «sans signification» pour indiquer que la valeur du pixel de l image qui correspond à cet élément ne participe pas à l opération, quelque chose d analogue avec un élément zéro d un masque de convolution. L érosion réduit les arêtes tandis que l effet contraire est obtenu par la dilatation. C est par la combinaison des opérations d érosion et de dilatation que des résultats similaires à ceux des filtres standards sont obtenus. Souvent les valeurs du masque autant pour l érosion que la dilatation sont fixées à zéro. a m; a m; a m; b max a m; a m; a m; a m; a m; a m a m; a m ; a m; b min a m; a m ; a m; a m; a m ; a m Masque M ( x ) Image A X Image B m m m m m m m m m X a m; a4 m; a b4 max a m; a4 m; a a7 m; a74 m; a a m; a4 m; a b4 min a m; a4 m; a a7 m; a74 m; a 7 7 m; m; m ; m; m; m Figure : Modus operandi d un masque morphologique pour les opérations de dilatation (maximum) et d érosion (minimum) dans le cas d une image à plusieurs niveaux de gris.. LISAGE L idée de base ici est de remplacer les valeurs d origine de l image par une mesure de tendance centrale de la distribution des valeurs numériques dans le voisinage de chaque pixel tel que spécifié par la fenêtre du filtre. La moyenne ou la médiane sont de telles mesures. Le tableau présente des exemples des filtres linéaires standards de lissage : le filtre moyenneur ainsi que le filtre gaussien. Dans ce dernier cas l influence des valeurs de pixels dans le calcul de la moyenne est pondérée en fonction de la distance de chaque élément du masque par rapport à son pixel central. Les poids diminuent ainsi du centre vers les extrémités du masque suivant une fonction gaussienne (normale) : i j m i j exp, i,,.. N; j,.. N où N est la dimension du masque, est l écart type mesuré en pixels et i, j sont les écarts respectivement en colonnes et en lignes de chacun des éléments du masque par rapport à son pixel central. Habituellement, la dimension du masque est fixée en fonction de l écart type comme N=arrondi (*σ +). Ainsi pour un écart type de,7 pixels le masque serait de 7x7 pixels et les poids tel que montré au tableau. Les facteurs de normalisation associés à ces filtres sont fixés comme l inverse de la somme des poids du masque dans le but d éviter un biais dans l amplitude des valeurs de l image filtrée.
,44,,77,,77,,44,,,4,,4,,,77,4,77,84,77,4,77,,,84,,84,, 49,8,77,4,77,84,77,4,77,,,4,,4,,,44,,77,,77,,44 Filtre moyenneur Filtre gaussien (σ =) Tableau : Poids d un filtre moyenneur et d un filtre gaussien, fenêtre 7x7 pixels 4 L application des filtres de lissage est nécessaire lorsque les images contiennent des pixels isolés avec des valeurs aberrantes à cause d un défaut dans la chaîne de production d une image numérique. Leur efficacité dans l élimination du bruit dépend de la distribution statistique de ces valeurs aberrantes. Si par exemple ces valeurs ont tendance à se concentrer dans les extrémités de l échelle de grisé, le filtre médian est plus approprié qu un filtre moyenneur. La figure 4 montre une image optique (orthophotographie) avec la présence d un bruit uniformément distribué, dû possiblement à l opération du scannage des photographies aériennes, et l effet bénéfique d un filtre moyenneur. En contrepartie l image filtrée devient plus floue que l originale car le filtre a tendance à réduire aussi l amplitude des arêtes. Les filtres adaptatifs viennent palier à ce problème. La même figure montre les résultats d un filtre de ce type utilisé souvent avec les images optiques, le filtre des Nagao et Matsuyama (979). Ici la fenêtre du filtre est fixée à x pixels. Les valeurs des pixels sont extraites pour former neuf groupes, tel que montré à la figure. La moyenne et la variance dans chacun des groupes sont par la suite calculées. La valeur du pixel central dans l image filtrée est la moyenne du groupe présentant la plus faible variance. Ce filtre élimine le bruit à la manière d un filtre moyenneur standard tout en renforcissant le contraste entre zones homogènes. Si appliqué d une façon itérative (l image filtrée est filtrée de nouveau) il aide à créer des plages des niveaux de gris similaires facilitant ainsi l opération de classification d images (voir chapitre ).
Image originale Image originale lissée par filtre gaussien Image originale lissée par filtre adaptatif L histogramme de l image montre la présence des valeurs aberrantes avec une distribution uniforme dans l ensemble de l échelle des niveaux de gris. Le filtre gaussien x réduit le bruit mais en même temps baisse l amplitude des arêtes rendant l image «floue». Le filtre a été appliqué fois pour comparer le résultat avec le filtre adaptatif. Le filtre adaptatif des Nagao et Matsuyama après deux itérations. Le bruit est réduit et le contraste entre les objets est bien préservé. Détail (zoom X) Détail (zoom X) Détail (zoom X) Figure 4 : Résultats d application d un filtre gaussien et du filtre adaptatif des Nagao et Matsuyama sur une orthophotographie «bruitée» (filtre gaussien : PCI; filtre adaptatif : programmation). Figure Explications sur le filtre adaptatif des Nagao et Matsuyama, la fenêtre de x pixels est divisée en neuf domaines. Les pixels, parmi les au total qui compte la fenêtre, qui sont pris en considération dans chaque groupe sont indiqués par les.
Pour les images caractérisées par le bruit de chatoiement comme les images radar, le filtre médian agit mieux qu un filtre moyenneur ou gaussien. Un exemple est donné par la figure. Comme précédemment, ce filtre affecte les arêtes mais surtout les spots («cibles dures») qui sont d une grande importance dans l interprétation des images radar. Plusieurs filtres adaptatifs ont été ainsi proposés pour effectuer le lissage du bruit du chatoiement tout en préservant les arêtes et les spots. Comme dans le domaine optique, l application des filtres adaptatifs d une façon itérative facilite les opérations de segmentation d images. Image originale (RADARSAT-, mode fin) Filtre gaussien 7 x 7 Filtre médian 7x7 Détail (couvert forestier) (zoom X), le bruit du chatoiement est évident Détail (zoom X), le filtre ne réduit pas efficacement le bruit. Détail (zoom X) réduction plus efficace du bruit du chatoiement. Figure : Comparaison des résultats d un filtre gaussien et d un filtre médian (logiciel PCI).. DÉTECTION D ARÊTES La détection peut se faire par une grande variété de méthodes. Le plus simple c est de soustraire pixel par pixel des valeurs numériques de l image celles obtenues après l application d un filtre de lissage (figure 7). D une façon analogue nous pouvons soustraire d une image dilatée une image érodée (figure 7). Les techniques le plus couramment appliquées sont cependant celles impliquant des filtres de convolution.
7 Image originale (orthophoto, pixel de m) Image dilatée (masque x). L élément du masque a été fixé à zéro Image érodée (masque x). L élément du masque a été fixé à zéro Image lissée (filtre gaussien 9x9) Détection des arêtes : soustraction image dilatée-image érodée (gradient morphologique) Détection des arêtes : soustraction : image originale-image lissée Figure 7 : Détection des arêtes par des techniques simples (logiciel PCI; gradient morphologique : programmation) Les masques du gradient, les masques directionnels, et les masques laplaciens sont des exemples de filtres de convolution de détection d arêtes. La somme des poids des masques est égale à zéro pour que leur application dans les zones d images homogènes donne des valeurs filtrées presque zéro. Comme leur nom l indique, les filtres du gradient estiment le gradient de la fonction-image z = f(i,j). Ils le font en établissent à un pixel donné les deux composantes du gradient selon la direction des colonnes et des lignes de l image. À partir des ces deux composantes nous pouvons par la suite calculer la magnitude ainsi que la direction du gradient. La valeur du gradient est maximisée lorsque nous sommes en présence des arêtes. Parmi ces masques celui de Sobel est couramment utilisé (Tableau a). La figure 8 montre un exemple. Au lieu de calculer la magnitude et l angle du gradient, les filtres directionnels permettent de calculer les composantes du gradient selon plusieurs orientations : E, NE, N, NW, W, SW, S, SE. Nous pouvons ainsi isoler les arêtes selon leur orientation. Ils créent donc autant d images filtrées que les orientations prises en considération. Un exemple des tels masques est donné au tableau b. Le gradient d une fonction f(x,y) à un point quelconque x,y c est un vecteur qui nous montre la direction autour de ce point où le taux de changement de la valeur de la fonction est le plus fort par unité de distance. Sa magnitude dépend de ce taux. Dans le cas où la fonction représente les altitudes de terrain nous parlons de la normale au sol.
8 Nous pouvons également combiner les résultats pour créer une seule image d arêtes, en prenant comme valeur pour chaque pixel, celle du maximum de l ensemble des images individuelles. Contrairement aux filtres du gradient qui localisent, en principe, une arête par un pixel à mi-chemin dans la zone de transition entre les deux régions homogènes là où la différence des niveaux de gris de par et d autre est maximale (dérivée première de la fonction image), les filtres laplaciens nous indiquent deux pixels où la fonction image infléchit à cause de la présence de l arête (dérivée seconde) (figure 9). La figure montre un exemple d application d un masque laplacien (Tableau c). Comme nous le montre la figure 9 un tel filtre pour chaque arête donne un pixel d inflexion avec une valeur numérique négative et un deuxième avec une valeur numérique positive. Si les images filtrées sont créées en 8 bits nous ne verrons que le point avec une valeur positive. Nous pouvons dans ce cas inverser les signes du masque pour que l on puisse visualiser aussi le second point. Ce qui a été fait dans la figure. Si le logiciel permet la création d images en bits (avec signe) ou bits (réels) le signe est conservé. Il est à noter que l application d un filtre laplacien est suivie de l application d une opération qui s appelle détection des points de passage à zéro afin de détecter les arêtes (figure 9). 4 x S 4 y S Magnitude du gradient : S x S y G Orientation du gradient : x y S S A tan a) Masques de Sobel Nord Est Sud Ouest Nord-Est Sud-Est Sud-uest Nord-Ouest Le facteur de normalisation de chacun des masques est / b) Masques directionnels de Kirsch 4 4 8 8 4 8 c) Divers masques laplaciens Tableau : Exemples de masques de convolution pour la détection d arêtes. Les coefficients de normalisation sont l inverse de la somme des poids avec le signe plus et sont utilisés pour ne pas que la magnitude des arêtes ne dépasse la valeur (images filtrées exprimées en 8 bits.
- VN + VN - VN - VN + 9 +4 VN - g x = 8 VN + + VN g y = -7 VN a) La somme des différences dans la direction des colonnes nous donne la composante gx du gradient. Le signe de la différence est utilisé pour calculer l angle d orientation du gradient (schéma c). Dans cet exemple cette somme équivaut à +8VN b) La somme des différences dans la direction des lignes nous donne la composante gy du gradient. Le signe de la différence est utilisé pour calculer l angle d orientation du gradient (schéma c). Dans cet exemple cette somme équivaut à 7VN a) - g ~ VN c) Magnitude et angle d orientation du gradient g( i, j) g x g y g y ( i, j) tan gx Dans cet exemple la magnitude est égale à environ VN. Compte tenu des signes des composantes le gradient est orienté sud-est. L angle est environ Image SPOT-MSP (bande PIR) Magnitude du gradient selon les masques de Sobel Angle d orientation du gradient, plus la valeur est brillante plus l angle approche les b) Figure 8 : a) Calcul du gradient dans une fenêtre x; b) Applications du filtre du gradient de Sobel (Programmation) Tous les filtres de détection d arêtes sont sensibles au bruit radiométrique particulièrement les laplaciens. Le souci d éliminer les fausses arêtes dues au bruit a amené à la conception des algorithmes qui combinent un filtre de lissage et un filtre de détection d arêtes. Un tel algorithme est celui connu par l acronyme LoG (Laplacian of the Gaussian). Il est à noter que des filtres de détection d arêtes non linéaires ont été aussi proposés spécialement pour les images radar afin de minimiser l incidence du bruit du chatoiement.
Points d'inflexion (a) une arête en échelon (b) dérivée première de la fonction image Passage par zéro (c) dérivée seconde de la fonction image Figure 9 : Différence entre les filtres du gradient et les filtres laplaciens. Image originale Points d inflexion des arêtes après application d un filtre laplacien (voir texte); la brillance varie en fonction de l amplitude des arêtes Figure : Application d un filtre laplacien (logiciel PCI). L application de toutes des techniques est suivie d une série d autres traitements visant à localiser les arêtes qui ont une signification des frontières des objets comme nous le verrons dans les prochains modules.. DÉTECTION DE LIGNES Les filtres le plus couramment employés sont ici aussi les masques de convolution. Leurs poids ne sont pas tout à fait pareils à ceux des masques de détection d'arêtes, car leur but est de détecter deux arêtes à la fois avec une grande proximité physique, ce qui constitue une ligne. Un exemple des filtres directionnels pour la détection des lignes est donné à la figure. Comme dans le cas des arêtes une série de traitements s ensuit de la détection des lignes afin de ne retenir que celles qui ont une signification pour le projet en main, par exemple celles qui sont connectées en formant des réseaux comme le réseau routier.
Le facteur de normalisation est /4. Image originale Détection des lignes Figure : Application des masques de détection des lignes (voir texte) sur une orthoimage panchromatique IRS (pixel de m) (programmation). 4. DÉTECTION DE SPOTS Comme auparavant avec les lignes nous pouvons définir des masques qui permettent la détection des pixels d une brillance singulière, ou le contour des petits objets de différentes formes (carrées, rectangulaires, circulaires). La figure montre un exemple d application d un tel filtre pour la détection des objets de petite taille de forme circulaire. Le masque appliqué a été défini comme suit :,,,,,,,, Figure : Application d un masque de détection des spots de forme circulaire (ici réservoirs d hydrocarbures) sur une orthoimage panchromatique IRS (pixel de m) (logiciel PCI)
. REHAUSSEMENT D ARÊTES Deux types d opérations sont souvent utilisés pour obtenir le rehaussement d arêtes : les masques de convolution et la méthode du masquage non-accentué ( unsharp masking ). Les masques de convolution sont des laplaciens dont le résultat est ajouté à l image originale. Cette opération peut être représentée par un seul masque de convolution, par exemple : Masque Masque 9 Masque : Nous observons que contrairement aux masques de détection d arêtes, la somme des poids d un masque de rehaussement est égale à car nous voulons maintenir les valeurs numériques des pixels à l intérieur des zones homogènes. L action du masquage non-accentué peut être représentée sous forme mathématique comme suit : c ( c ) G (i, j ) F(i, j ) FL (i, j ) c c où F(i,j) est la valeur numérique de l image originale au pixel (i,j), F L (i,j) est la valeur numérique du pixel (i,j) dans l image lissée F(i,j). Le coefficient c est une constante de pondération. La figure montre un exemple de rehaussement d arêtes avec cette technique Dans cette figure, la constante de pondération c de l équation précédente a été fixée à,. Image originale Image lissée filtre gaussien 9 x 9 pixels Résultat du masquage non-accentué. Figure : Rehaussement d arêtes avec la méthode du masquage sans accentuation (logiciel PCI)