Ondes non linéaires et dynamique lente dans les solides endommagés

Ondes non linéaires et dynamique lente dans les solides endommagés Bruno Lombard Laboratoire de Mécanique et d Acoustique, Marseille 4 novembre 2016

Contexte : imagerie de milieux complexes 2 Exemple : subsurface mécanique des sols : stabilité des constructions, effet de site énergie : hydrocarbures risque : diffusion de polluants, stockage CO2

Problèmes inverses 3 Techniques envisageables forage : coûteux, parcimonieux ondes électromagnétiques (Ground Penetrating Radar) : atténuation ondes mécaniques : sismique-réflexion Problématiques voisines milieux manufacturés : béton milieux biologiques : os modèles physiques décrivant la propagation d ondes

Ondes dans les milieux continus 4 Modélisation physique principes de la mécanique et de la thermodynamique lois de comportement σ(ε) : efforts déformations choix du modèle : expériences Exemple : élastodynamique 1D milieux standards (Plexiglass, acier, etc) vitesse du son c = σ (ε) / ρ c(t) c(ε) c constant : loi de comportement linéaire σ = E ε

Ondes dans les milieux continus Modélisation physique principes de la mécanique et de la thermodynamique lois de comportement σ(ε) : efforts déformations choix du modèle : expériences Exemple : élastodynamique 1D milieux standards (Plexiglass, acier, etc) vitesse du son c = σ (ε) / ρ c(t) c(ε) c variable : loi de comportement quadratique σ = E (ε β ε 2 ) 4

Ondes dans les solides endommagés 5 Béton, roches endommagement : thermique, mécanique expériences ultrasonores 1 - mise en vibration : diminution de la vitesse c (softening) 2 - extinction : retour à la vitesse d origine (recovery) 3 - phénomène de relaxation avec τ T : dynamique lente 4 - augmentation non linéaire avec le forçage plot vibrant c(t) c(ε)

Travaux existants 1/2 6 Travaux expérimentaux très nombreux résultats depuis 1995 : USA : Los Alamos National Laboratory Europe : Politecnico di Turino France : Laboratoire d Imagerie Biomédicale omniprésence de la dynamique lente (béton, roches, os cortical,...) grès de Berea

Travaux existants 2/2 7 Travaux théoriques (phénoménologiques) modèle de Preisach-Mayergoyz Guyer, McCall (1995) modèle discret à N paramètres pas de fondement physique (temps caractéristique?) pas de cadre théorique modèle de soft-ratchet Vakhnenko et al (2005) variable interne g (concentration de défauts) c(g) loi d évolution de g avec les efforts appliqués dimension d espace > 1? viol du second principe de la thermodynamique

Objectif Thèse d Harold Berjamin 1 1 modélisation physique simple (peu de paramètres) satisfaisant les principes fondamentaux 2 analyse mathématique existence de solutions comportement qualitatif des solutions (chocs,...) 3 modélisation numérique conception et validation de schémas numériques insertion dans code de propagation d ondes Prospero http://prospero-software.science/ 4 comparaisons théorie / expériences imagerie de milieux endommagés (retournement temporel) 1. (2015 -) Direction : B. Lombard, G. Chiavassa, N. Favrie

Inphyniti 9 Harold Berjamin Bruno Lombard Nicolas Favrie Cédric Payan Guillaume Chiavassa Stéphane Junca Guillaume Renaud Sylvain Haupert INSIS INSMI INSB acoustique acoustique mécanique des solides contrôle non destructif calcul scientifique EDP biomédical biomédical = nouvelle collaboration

1 ers résultats : modèle physique 10 Nouveau modèle (1D + petites déformations) Propriétés variables d état : déformation ε, variable interne g énergie interne e = (1 g) w(ε) + φ(g) second principe de la thermodynamique : loi de comportement σ = (1 g) w ε loi d évolution ġ = (w(ε) φ (g)) / τ principes de la thermodynamique satisfaits généralisation naturelle 3D + déformations finies : w(ff T ) τ 0 : effet Mullins (élastomères)

1 ers résultats : analyse mathématique Système étudié relation constitutive + équation de Newton + modèle de dynamique lente t U + x F (U ) = R(U ), U = (v, ε, g)t R 3 système hyperbolique non linéaire avec relaxation mécanique des fluides compressibles (shallow water) analyse difficile (existence, stabilité,...) pour R d, d 2 Théorème (existence globale en temps) Loi de comportement σ = (1 g) σ 0 (ε), avec σ 0 (ε) = w ε σ 0 (ε) linéaire : existence pour toutes données σ 0 (ε) convexe : existence pour petites données σ 0 (ε) non convexe : problème ouvert

1 ers résultats : modélisation numérique (1/2) 12 t U + x F (U ) = R(U ), U = (v, ε, g)t R 3 pas de solution analytique construction de schémas numériques (mécanique des fluides) : solutions discontinues, non uniques et composites ordre élevé en temps (RK4) et espace (WENO5) exemple : élasticité non convexe + dynamique lente

1 ers résultats : modélisation numérique (2/2) modèles linéaire, non linéaire et à variable interne c(t) c(ε) amplitude croissante du forçage V : modèle à variable interne c(t) c(ε) 0 10 2 0 0.5 10 2 V = 10 5 V = 1.2 10 5 V = 1.4 10 5 0.5 1 1 g 1.5 2 2.5 V = 10 5 V = 1.2 10 5 V = 1.4 10 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t (ms) g 1.5 2 2.5 1 0 1

Conclusion (1/2) 14 Inphyniti 2016 1 structuration d un groupe pluridisciplinaire : mécanique et ondes / mathématiques / biomédical théorique / numérique / expérimentale 2 aide pratique : réunions de travail formation d Harold Berjamin à Los Alamos National Laboratory (3 semaines) 3 résultats préliminaires : construction de modèles physiques et numériques (1D) analyse mathématique en cours

Conclusion (2/2) Inphyniti 2017 1 mod elisation num erique 2D / 3D 3 code de propagation d ondes Prospero 3 calcul haute-performance (parall elisation) 2 comparaisons th eorie / exp eriences 3 exp erimentations sur mat eriaux r eels et biologiques 3 reproduction des observables (softening versus amplitude, fr equence, etc) 3 estimation des param` etres 3 imagerie de milieux endommag es 3 m ethode adjointe (retournement temporel) b eton os 15