Notion de modèle - Processus d analyse Application à la méthode des Eléments finis La présentation est animée, avancez à votre vitesse par un simple clic Chapitres 1 et 6 du polycopié de cours. Bonne lecture
Qu est-ce qu un modèle? Point de départ : Problème physique Questions : Quelles grandeurs veut-on calculer? Avec quelle précision? Quels sont les moyens disponibles? Le modèle défini le cadre mathématique dans lequel sera effectué l étude L écart avec le réel engendré par le modèle peut être très important Un bon choix doit donner une réponse acceptable pour des efforts de mise en œuvre non prohibitifs.
Choix du modèle mathématique Le cadre est défini par des hypothèses de modélisation Idéalisation de la réalité Compromis Hypothèses fortes Modèle simple facile à résoudre (solutions analytiques) Moins d hypothèses Modèle plus complexe solutions numériques Objectifs / Coûts (temps, moyens) Un cadre mal défini ne permet pas à l arrivée d analyser les résultats de l étude.
Exemple : un support d étagère Objectifs de l étude : vérifier le dimensionnement & optimiser la forme Cadre général : Géométrie supposée connue Analyse statique Comportement du matériau élastique linéaire Hypothèses simplificatrices sur Conditions aux Limites? Choix des modèles mathématiques?
Hypothèses générales sur les CL Rail : supposé infiniment rigide contact parfait avec le support L étagère sera modélisée par une charge dans le plan du support objectif : être en sécurité / dimensionnement & optimisation de forme Modèle 1D : hypothèse poutre Hypothèse forte «section uniforme» équation simple solution analytique (rapide) EI v, x 4 = 0 v( o) = 0 CL : v, x ( o) = 0 et v, x EI v 2, x ( ) = 0 3 ( ) = F
Analyse des résultats Pour une section (20 x 2) et une charge de 20 kg à 300 mm Flèche en bout de poutre : Contrainte maxi dans la section A-A 3 F l δ = = 6, 43mm 3 E I F( x) σ max = y = 412 MPa I Loin de la réalité poutre à section variable ou modèle 2D
Modèle 2D : contraintes planes Équations : = 0 u σ y = P y σ x. y u. x = = 0 0 div( σ ) = 0 = 0 n σ Pas de solution analytique Modèle éléments finis Pour effectuer l étude il faut préciser les choix dans les zones de conditions aux limites et sur la géométrie à mailler Modèle numérique fiable et performant optimisation de la pièce sur ce modèle
Résultats pour un modèle simplifié Maillage fin en Q4 Flèche : 3,81 mm Contrainte max : 508 MPa Pouvez valider ces résultats? Non vous n avez pas d informations sur Convergence du modèle numérique? Influence des CL sur les valeurs numériques obtenues? Répondre à ces questions vous permettra de définir la précision de votre modèle Étude proposée en TP
Bilan : Processus d analyse Problème physique Procédure éléments finis hypothèses de modélisation Modèle mathématique hypothèses de discrétisation Modèle numérique - Vérification des hyp. de discrétisation - Estimation de la précision du modèle évolution du modèle numérique évolution du modèle mathématique - Interprétation des résultats - Vérification des hyp. de modélisation Réponse obtenue Nouveau modèle physique
Modélisation Analyse Questions essentielles Quels sont les phénomènes physiques les + importants? Quel modèle mathématique utiliser? Moins il y a d hypothèses + on est proche de la réalité + le modèle mathématique est complexe + le coût de résolution est élevé Quelle est l erreur d approximation commise? Quelle est l erreur numérique? Peut-on améliorer le modèle numérique? compromis f ct des objectifs fixés Veiller à la cohérence de l ensemble