Plan. Codage d information d Codage de l informationl. Les informations traitées par les ordinateurs sont de différentes natures :

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1 Plan Introduction Systèmes de numération et représentation des nombres Systèmes de numération Système de numération décimaled Représentation dans une base b Représentation binaire, Octale et Hexadécimale Transcodage ou changement de base Codage des nombres Codage des entiers positifs (binaire pur ) Codage des entiers relatifs (complément ment à 2 ) Codage des nombres réelsr ( virgule flottante) Codage des caractères res : ASCII et ASCII étendu, Unicode, Codage du son et des images 2 Codage d informationd Les informations traitées par les ordinateurs sont de différentes natures : nombres, texte, images, sons, vidéo, programmes, Codage d information d : -Définition- Codage de l informationl : permet d éd établir une correspondance qui permet sans ambiguïté de passer d une d représentation (dite externe) d une information à une autre représentation (dite interne : sous forme binaire) de la même information, suivant un ensemble de règle précise cise. Dans un ordinateur, elles sont toujours représent sentées es sous forme binaire (BIT( : une suite de et de BIT : Binary digit IT) 3 Exemple : * Le nombre 35 : 35 est la représentation externe du nombre trente cinq * La représentation interne de 35 sera une suite de et ( ) 4

2 En informatique, Le codage de l information l s effectue principalement en trois étapes : L information sera exprimée e par une suite de nombres (Numérisation) Chaque nombre est codé sous forme binaire (suite de et ) Codage d information d (suite) Chaque élément binaire est représent senté par un état physique 5 (Elément binaire Etat physique) Codage de l élément binaire par un état physique Charge électrique (RAM : Condensateur-transistor transistor) ) : Chargé (bit ) ) ou non chargé (bit ) Magnétisation (Disque dur, disquette) : polarisation Nord (bit ) ) ou Sud (bit ) Alvéoles (CDROM):( réflexion (bit ) ) ou pas de réflexion r (bit ) Fréquences (Modem) : dans un signal sinusoïdal Fréquence f (bit ) ) : s(t) = a sin ( 2πf2 t + ψ ) Fréquence f 2 (bit ) ) : s(t) = a sin ( 2πf2 2 t + ψ ). 6 Système de numération Système de numération décrit la façon avec laquelle les nombres sont représent sentés. Exemples de Système de numération () Numération Romaine Un système de numération est défini d par : Un alphabeta : ensemble de symboles ou chiffres, Des règles d écritures des nombres : Juxtaposition de symboles 7 Lorsqu un un symbole est placé à la droite d un symbole plus fort que lui, sa valeur s ajoute : CCLXXI 27 Lorsqu un un symbole est placé à la gauche d un symbole plus fort que lui, on retranche sa valeur : CCXLIII 243 On ne place jamais 4 symboles identique à la suite : 9 s és écrit IX et non VIIII La plus grand nombre exprimable est : 3999 ( MMMCMXCIX ) Système inadapté au calcul 8

3 Exemples de Système de numération (2) Exemples de Système de numération (3) Numération babylonienne Chez les Babyloniens ( environ 2 ans av.j.c. ), les symboles utilisés s sont le clou pour l unitl unité et le chevron pour les dizaines. C est C un système de position. A partir de 6, la position des symboles entre en jeu : 24 : 7392 : Le nombre 6 constitue la base de ce système. Numération décimale : C est le système de numération le plus pratiqué actuellement. L alphabet est composé de dix chiffres : A = {,,2,3,4,5,6,7,8,9} Le nombre est la base de cette numération C est un système positionnel.. Chaque position possède un poids. Par exemple, le nombre 434 s és écrit comme : 434 = 4 x 3 + x x + 4 x me. 9 Système de numération positionnel pondéré à base b Un système de numérotation positionnel pondéré à base b est défini sur un alphabet de b chiffres : A = {c,c,,c,c b- } avec c i < b Soit N = a n- a n-2...a a (b) : représentation en base b sur n chiffres a i : est un chiffre de l alphabet l de poids i (position i). a : chiffre de poids appelé le chiffre de poids faible a n- : chiffre de poids n- appelé le chiffre de poids fort Bases de numération (Binaire, Octale et Hexadécimale) Système binaire (b=2)) utilise deux chiffres : {,} C est avec ce système que fonctionnent les ordinateurs Système Octale (b=8)) utilise huit chiffres :{,,2,3,4,5,6,7} Utilisé il y a un certain temps en Informatique. Elle permet de coder 3 bits par un seul symbole. La valeur de N en base est donnée e par : N = a n-.b n- + a n-2.b n a.b () = n i = a i b i Système Hexadécimale (b=6)) utilise 6 chiffres : {,,2,3,4,5,6,7,8,9,A= (),B= (),C=2 (),D=3 (),E=4 (),F=5 () Cette base est très s utilisée e dans le monde de la micro informatique. Elle permet de coder 4 bits par un seul symbole. () } 2

4 Transcodage (ou conversion de base) Le transcodage (ou conversion de base) est l opération qui permet de passer de la représentation d un d nombre exprimé dans une base à la représentation du même nombre mais exprimé dans une autre base. Par la suite, on verra les conversions suivantes: Décimale vers Binaire, Octale et Hexadécimale Binaire vers Décimale, D Octale et Hexadécimale Changement de base de la base vers une base b La règle r à suivre est la division successive : On divise le nombre par la base b Puis le quotient par la base b Ainsi de suite jusqu à l obtention d un d quotient nul La suite des restes correspond aux symboles de la base visée. On obtient en premier le chiffre de poids faible et en dernier le chiffre de poids fort. 3 4 Exemple : décimale vers binaire Exemple : décimale d vers octale Soit N le nombre d éd étudiants d une d classe représent senté en base décimale d par : N = 73 () Représentation en Binaire? () Vérification () = (2) 5 Soit N le nombre d éd étudiants d une d classe représent senté en base décimale d par : N = 73 () Représentation en Octale? () = (8) Vérification 6

5 Exemple : décimale d vers Hexadécimale Soit N le nombre d éd étudiants d une d classe représent senté en base décimale d par : N = 73 () Représentation en Hexadécimale? () = 49 (6) Vérification de la base binaire vers une base b -Solution - Première solution : convertir le nombre en base binaire vers la base décimale puis convertir ce nombre en base vers la base b. b Exemple : (2) =? (8) (2) = () =8 () =2*8 +2*8 () =22 (8) 7 8 de la base binaire vers une base b -Solution 2-2 Deuxième solution : n i = i Binaire vers décimale d : par définition d ( a i b ) Binaire vers octale : regroupement des bit en des sous ensemble de trois bits puis remplacé chaque groupe par le symbole correspondant dans la base 8.(Table Table) Binaire vers Hexadécimale : regroupement des bit en des sous ensemble de quatre bits puis remplacé chaque groupe par le symbole correspondant dans la base 6.(Table Table) 9 Correspondance Octale \Binaire Symbole Octale suite binaire Retour 2

6 Correspondance Hexadécimale \Binaire Hexadécimale\Binaire S. Hexad. suite binaire S. Hexad. suite binaire A 3 B 4 C 5 D 6 E 7 F Exemple : binaire vers décimaled Soit N un nombre représent senté en binaire par : N = (2) Représentation Décimale? D N= = =669 () (2) =669 () Retour 2 22 Exemple : binaire vers octale Soit N un nombre représent senté en base binaire par : N = (2) Représentation Octale? Exemple : binaire vers Hexadécimale Soit N un nombre représent senté en base binaire par : N = (2) Représentation Hexadécimale? N = (2) = (8) (2) = 235 (8) N = (2) = 2 9 D (6) (2) = 29D (6) (8) (6) 23 24

7 Exercice 25 Plan Introduction Systèmes de numérotation et Codage des nombres Systèmes de numérotation Système de numération décimaled Représentation dans une base b Représentation binaire, Octale et Hexadécimale Transcodage ou changement de base Codage des nombres Codage des entiers positifs (binaire pur ) Codage des entiers relatifs (complément ment à 2 ) Codage des nombres réels r ( virgule flottante) Codage des caractères res : ASCII et ASCII étendu, Unicode, Codage du son et des images 26 Codage des entiers naturels () Codage des entiers positifs (2) Utilisation du code binaire pur : Etendu du codage binaire pur : L entier naturel (positif ou nul) est représenté en base 2, Les bits sont rangés selon leur poids, on complète à gauche par des. Exemple : sur un octet, () se code en binaire pur? Codage sur n bits : représentation des nombres de à 2 n sur octet (8 bits): codage des nombres de à = 255 sur 2 octets (6 bits): codage des nombres de à = sur 4 octets (32 bits) : codage des nombres de à = (2) 27 28

8 Arithmétique tique en base 2 Les opérations sur les entiers s appuient s sur des tables d addition et de multiplication : Addition () Retenu Multiplication 29 Exemple (Addition) Addition binaire (8 bits) + Addition binaire (8( 8 bits) ) avec (d + overflow (débordement ou overflow) : 3 Exemples Codage des entiers relatifs Multiplication binaire (4( 4 bits) * (4( 4 bits)... Sur 4 bits le résultat est faux Sur 7 bits le résultat est juste Sur 8 bits on complète à gauche par un 3 Il existe au moins trois façons pour coder : code binaire signé (par signe et valeur absolue) code complément à code complément à 2 (Utilisé sur ordinateur) 32

9 Codage des nombres relatifs -Binaire signé- Le bit le plus significatif est utilisé pour représenter le signe du nombre : si le bit le plus fort = alors nombre négatif si le bit le plus fort = alors nombre positif Les autres bits codent la valeur absolue du nombre Exemple : Sur 8 bits, codage des nombres -24 et -28 en (bs) -24 est codé en binaire signé par : (bs) Codage des nombres relatifs -Binaire signé- (suite) Etendu de codage : Avec n bits, on code tous les nombres entre Avec 4 bits : -7 et +7 -(2 n- -) et (2 n- -) Limitations du binaire signé: Deux représentations du zéro : + et - Sur 4 bits : + = (bs), - = (bs) Multiplication et l addition sont moins évidentes. -28 hors limite nécessite 9 bits au minimum Binaire signé (Exercices) Coder et - en binaire signé sur 8 bits () = () (bs) - () = () (bs) Décoder en décimal () (bs) et () (bs) () (bs) = - 7 () () (bs) = 5 () Calculer : 2 en binaire signé sur 8 bits 35 Codage des entiers relatifs (code complément ment à ) Aussi appelé Complément Logique (CL) ou Complément Restreint (CR) : les nombres positifs sont codés de la même façon qu en binaire pure. un nombre négatif est codé en inversant chaque bit de la représentation de sa valeur absolue Le bit le plus significatif est utilisé pour représenter le signe du nombre : si le bit le plus fort = alors nombre négatif si le bit le plus fort = alors nombre positif 36

10 Codage des entiers relatifs -code complément ment à - (suite) Exemple : -24 en complément à sur 8 bits -24 en binaire pur (2) puis on inverse les bits (cà) Limitation : deux codages différents pour (+ et -) Sur 8 bits : += (cà) et -= (cà) Multiplication et l addition sont moins évidentes. 37 Code Complément ment à (Exercices) Coder et - par complément à (cà) sur 8 bits () = () (cà) - () = () (cà) Décoder en décimal () (cà) et () (cà) () (cà) = -56 () () (cà) = 5 () Calculer : 2 en complément à sur 8 bits 38 Codage des entiers relatifs -code complément ment à 2- () Aussi appelé Complément Vrai (CV) : les nombres positifs sont codés de la même manière qu en binaire pure. un nombre négatif est codé en ajoutant la valeur à son complément à Codage des entiers relatifs -code complément ment à 2- (2) Un seul codage pour. Par exemple sur 8 bits : + est codé par (cà2) - est codé par (cà) Donc - sera représenté par (cà2) Le bit le plus significatif est utilisé pour représenter le signe du nombre Exemple : -24 en complément à 2 sur 8 bits 24 est codé par (2) -24 (cà) Etendu de codage : Avec n bits, on peut coder de -(2 n- ) à (2 n- -) Sur octet (8 bits), codage des nombres de -28 à 27 + = -= + = -= +27= -28= donc -24 est codé par (cà2) 39 4

11 Code Complément ment à 2 -Exercices- Coder () et - () par complément à 2 sur 8 bits () = (Cà2) - () = (Cà2) Décoder en décimal (Cà2) et (Cà2) (Cà2) = -55 () (Cà2) = 9 () Calculer : -2 en complément à 2 sur 8 bits Exercices Quel est l entendu de codage sur 6 et 9 bits : Binaire pur, Binaire signé, complément à 2 Quelle est la valeur décimale des suites binaires (, et ), s elles sont codées en : binaire pur, Binaire signé, Complément à, Complément à 2 Sur 4, 8 et 6 bits, coder les nombres +2 et -5 en : Binaire pur, Binaire signé, Complément à, Complément à 2 Calculer 2-5 sur 8 et 6 bits en : Complément à Codage des nombres réelsr Les formats de représentations des nombres réels sont : Format virgule fixe utilisé par les premières machines possède une partie entière et une partie décimale séparés par une virgule. La position de la virgule est fixe d où le nom. Exemple : 54,25 () ;, (2) ; A,FB (6) Format virgule flottante (utilisé actuellement sur machine ) défini par : ± m. b e un signe + ou une mantisse m (en virgule fixe) un exposant e (un entier relative) une base b (2,8,,6, ) Exemple :, () ;,. 2- (2) ; A,B4.6-2 (6) 44

12 Codage en Virgule Fixe () Etant donné une base b un nombre x est représenté par : x = a n- a n-2 a a,a - a -2 a -p (b) a n- est le chiffre de poids fort a -p est le chiffre de poids faible n est le nombre de chiffre avant la virgule p est le nombre de chiffre après la virgule n p La valeur de x en base est : x = a b i i () Exemple :, (2) = = 5,25 () 45 Codage en Virgule Fixe (2) Changement de base 2 Le passage de la base à la base 2 est défini par : Partie entière est codée sur p bits (division successive par 2) Partie décimale est codée sur q bits en multipliant par 2 successivement jusqu à ce que la partie décimale soit nulle ou le nombre de bits q est atteint. Exemple : 4,25 () =? (2) format virgule fixe 4 () = (2),25 x 2=,5,5 x 2 =, donc 4,25 () =, (2) Exercice : Coder 7,875 () et 5,3 () avec p = 8 et q = 8 46 où Codage en Virgule Flottante x = ± M. 2 E M est la mantisse (virgule fixe) et E l exposant (signé). Le codage en base 2, format virgule flottante, revient à coder le signe, la mantisse et l exposant. Exemple : Codage en base 2, format virgule flottante, de (3,25) 3,25 () =, (2) ( en virgule fixe) =,. 2 (2) =,. 2 - (2) Pb : différentes manières de représenter E et M Normalisation 47 Codage en Virgule Flottante -Normalisation- x = ±,M. 2 Eb Le signe est codé sur bit ayant le poids fort : le signe : bit Le signe + : bit Exposant biaisé (Eb) placé avant la mantisse pour simplifier la comparaison Codé sur p bits et biaisé pour être positif (ajout de 2 p- -) Mantisse normalisé(m) Normalisé : virgule est placé après le bit à ayant le poids fort M est codé sur q bits Exemple :,, donc M = SM Eb M bit p bits q bits 48

13 Standard IEEE 754 (985) Conversion décimale d - IEEE754 (Codage d un d réel) r Simple précision sur 32 bits : bit de signe de la mantisse 8 bits pour l exposant 23 bits pour la mantisse Double précision sur 64 bits : bit de signe de la mantisse bits pour l exposant 52 bits pour la mantisse SM E M bit 8 bits 23 bits SM E M bit bits 52 bits 35,5 () =? (IEEE 754 simple pr (IEEE 754 simple précision) Nombre positif, donc SM = 35,5 () =, (2) (virgule fixe) =,. 2 5 (2) (virgule flottante) Exposant = Eb-27 = 5, donc Eb = 32,M =, donc M =... SM (IEEE 754 SP) Eb M 49 5 Conversion IEEE754 - Décimale (Evaluation d un d réel) r M SM (IEEE 754 SP) Eb Caractéristiques ristiques des nombres flottants au standard IEEE S =, donc nombre positif Eb = 29, donc exposant = Eb-27 = 2,M =, +,. 2 2 (2) =, (2) = 7,5 () Plus grand nombre normalisé environ environ

14 Codage des caractères res Caractères res : Alphabétique (A-Z Z, a-z), a numérique (,,,, 9), ponctuation, spéciaux (&, $, %, ) etc. Données non numérique (addition n a a pas de sens) Comparaison ou tri très s utile Codage revient à créer une Table de correspondance entre les caractères res et des nombres. 53 Codage des caractères res Les Standards () Code (ou Table) ASCII (American Standard Code for Information Interchange) 7 bits pour représenter 28 caractères res ( à 27) 48 à 57 : chiffres dans l ordre l (,,,9),9) 65 à 9 : les alphabets majuscules (A,,Z),Z) 97 à 22 : les alphabets minuscule (a, z) 54 Table ASCII Etendu Codage des caractères res Les Standards (2) 8 bits pour représenter 256 caractères res ( à 255) Code les caractères res accentués : à, è, etc. Compatible avec ASCII Code ASCII Etendu Code Unicode (mis au point en 99) 6 bits pour représenter caractères res ( à ) Compatible avec ASCII Code la plupart des alphabets : Arabe, Chinois,. On en a défini d environ 5 caractères res pour l instantl 55 56

15 Ce ne sont que des bits!!! caractères codés en ASCII Etendu (8 bits) entiers codés en binaire pur sur octets entiers codés en binaire pur sur 2 octets INFORMATIQUE 73 ; 78 ; 7 ; 79 ; 82 ; 77 ; 65 ; 84 ; 73 ; 8 ; 85 ; 69 (base ) 8766 ; 7999 ; 269 ; 6724 ; 8769 ; 2829 (base ) entiers codés en binaire pur sur 4 octets nombres en flottant simple précision (32 bits) ; ; (base ) + (,). 2 9 ; + (,) ; + (,). 2 9 ; 844 9,9375; ; ,325 (base ) Comment coder ce dessin sous forme de suite de nombres? Mon fils, Principe du codage d une d image() Tout commence par découper l image en des petits carrés c est en quelque sorte poser une grille (aussi serrée e que possible) sur l image. l Deux nombres seront important pour décrire d cette grille : le nombre de petits carrés s en largeur et ce même nombre en hauteur 59 Plus ces nombres sont élevés,, plus la surface de chaque petit carré est petite et plus le dessin tramé sera proche de l originalel originale. 6

16 On obtient donc pour toute l image un quadrillage comme celui montré ci-dessous pour une partie Principe du codage d une d image(2) Il ne reste plus qu'à en déduireduire une longue liste d entiers : Le nombre de carré sur la largeur Le nombre de carré sur la hauteur Suite de nombres pour coder l informationl (Couleur)) contenue dans chaque petit carré qu on appelle pixel (PICture ELement) ) : Image en noir et blanc bit pour chaque pixel Image avec 256 couleur octet (8 bits) pour chaque pixel Image en couleur vrai (True( Color : 6 millions de couleurs) 3 octets (24 bits) pour chaque pixel 6 La manière de coder un dessin en série s de nombres s appelle une représentation BITMAP 62 Principe du codage d une d image(3) (Terminologie) Infographie est le domaine de l informatique l concernant la création et la manipulation des images numériques. Principe du codage du son La définition : détermine d le nombre de pixel constituant l image. Une image possédant 8 pixels en largeur et 6 pixels en hauteur aura une définition d notée e 8x6 pixels. La profondeur ou la dynamique d une image est le nombre de bits utilisé pour coder la couleur de chaque pixel. Conversion de l analogique au numérique Suite de et de Disque Dur, CDROM, Conversion du numérique à l analogique Suite de et de Le poids d une d image (exprimé en Ko ou en Mo) ) : est égal à son nombre de pixels (définition)) que multiplie le poids de chacun des pixels (profondeur( profondeur). )