INFO-F-302 Informatique Fondamentale Projet : Logique du Premier Ordre et Utilisation de l Outil Z3

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1 UNIVERSITÉ LIBRE DE BRUXELLES (corrected version ) INFO-F-302 Informatique Fondamentale Projet : Logique du Premier Ordre et Utilisation de l Outil Z3 L objectif de ce projet est de modéliser des problèmes en logique du premier ordre, et de les résoudre avec l outil Z3. Cet outil permet de chercher des modèles aux formules du premier ordre. Le principal problème considéré est une énigme de la vie quotidienne des informaticiens. 1 L Outil Z3 L outil Z3 est un outil de démonstration automatique de théorèmes (aussi connu comme solveur du premier ordre) développé chez Microsoft Research. Il est disponible à l adresse suivante pour des plateformes Windows, MacOS, et Linux 1 : Z3 prend en entrée une formule de la logique du premier ordre et en fonction du but spécifié, tentera de trouver un modèle à la formule ou de conclure que la formule n est pas satisfaisable, ou que la formule est un théorème, ou de trouver un modèle qui ne satisfait pas la formule. Dans la suite du projet, on ne s intéressera qu à la fonctionnalité de Z3 qui permet soit de trouver un modèle, soit de conclure que la formule n est pas satisfaisable. On va encoder les formules au format TPTP lisible par Z3 (TPTP est un format qui est utilisé aussi par des autres solveurs). Format TPTP La syntaxe complète du format TPTP est détaillée dans le document à l adresse suivante dans la section The Formulae Section : Nous donnons ici les éléments de syntaxe à utiliser pour le projet. Le language TPTP est plus riche mais on vous demande de seulement utiliser une partie assez puissant pour nos besoins. Une spécification au format TPTP est une suite de déclarations de formules de l ordre premier (fof : first order form) de la forme : fof(<nom de la formule>,<type de la formule>,<formule>). tel que nom de la formule est un nom que vous donnez à la formule, type de la formule est toujours axiom pour ce projet. Finalement, formule est une formule dans la syntaxe TPTP. Commençons par un exemple : 1. Vous pouvez aussi utiliser l outil directement en ligne à l adresse cgi-bin/systemontptp mais nous vous recommandons fortement de l installer sur votre machine.

2 Info-F-302 Projet fof(au_moins_deux, axiom,? [X,Y] : X!= Y). fof(tous_rouges, axiom,! [X] : rouge(x)). Cette spécification est composée de deux formules (n oubliez pas le point après chaque déclaration). Ces deux formules sont prises en conjonction (donc, le solveur regarde internement une formule plus grande). La première formule s appelle au moins deux est correspond à X Y X Y. La deuxième formule correspond à X rouge(x) où rouge est interprété comme un prédicat unaire. Quelques remarques : les variables commencent toujours par une majuscule les prédicats et symboles de fonction commencent toujours par une minuscule les symboles de constantes commencent toujours par une minuscule les espaces n ont pas d importance (sauf pour la lisibilité) les commentaires sont toujours précédés de % (et terminent à la fin de la ligne) Voici une liste de symboles logiques du format TPTP : quantification existentielle? [liste variables] : formule quantification universelle! [liste variables] : formule disjonction conjonction & négation ~ (tilde) égalité = différence!= implication => équivalence <=> Il ne faut pas spécifier le langage utilisé explicitement. Tout mot de la formule qui commence par une majuscule est considéré comme une variable. Tout mot qui commence par une minuscule est considéré comme une constante, un prédicat, ou une fonction. Selon l utilisation qui en ai faite, l outil décide automatiquement si c est une constante, un prédicat, ou une fonction. Par exemple, dans la formule ci-dessus, rouge(x) est utilisé comme une valeur vrai/faux, c est donc nécessairement un prédicat. Remarque importante : toute faute de frappe donnera potentiellement de nouveaux symboles de prédicats/fonctions/constantes. Par exemple, si vous taper rouge(x) et plus loin rrouge(x), alors rrouge sera interprété comme un nouveau symbole de prédicat. Attention donc aux fautes de frappes. Utilisation de l outil En supposant que vous avez écrit votre spécification dans un fichier nomdefichier.tptp, on vous demande de lancer Z3 par la commande suivante qui inclut déjà quelques paramètres adaptés à l usage du format TPTP : z3 PULL NESTED QUANTIFIERS=true MODEL COMPACT=true -m -tptp <nomdefichier> 2

3 Projet Info-F-302 Sortie générée par l outil Par défaut, Z3 dit si la formule est satisfaisable. Dans le cas contraire, il se peut qu il ne termine pas et continue à chercher des modèles. Parfois, il est capable de conclure que la formule n est pas satisfaisable. Dans le cas où elle est satisfaisable, l option -m permet d afficher un modèle. Prenons la sortie de Z3 pour l exemple ci-dessus : sortie de Z3 SZS status Satisfiable for example.tptp Y!0 -> $i!val!2 X!1 -> $i!val!1 rouge -> { true La première ligne donne le résultat de Z3 : notre exemple est Satisfaisable. En suite, Z3 donne un modèle qui satisfait la formule. Notez que le modèle trouvé n est pas nécessairement le modèle le plus compact il contient des constantes, et fonctions que Z3 a introduites pour faciliter son raisonnement automatique (même si elles semblent superflues d un point de vue de l utilisateur). Le modèle est donné dans un format fonctionnel qu il faut lire de la manière suivante : il y a une constante y 0 (écrit Y!0) interprétée (->) par l entier 2 ($i!val!2 : int value 2) il y a une constante x 1 interprétée par 1 il y a une fonction rouge qui retourne toujours la valeur true Notez : Les modèles de Z3 représentent des prédicats et relations par des fonctions. Donc, un prédicat rouge est vu comme une fonction caractéristique qui dit pour tous les éléments dans mon modèle (fini) si le prédicat est vrai ou faux pour cet élément. Dans l exemple, pour tout élément du domaine, le prédicat rouge est vrai. Dans ce cas Z3 représente le prédicat rouge comme une fonction qui retourne toujours la valeur vrai. De manière plus générale, lorsqu un prédicat n est pas vrai partout, Z3 devra spécifier pour quels paramètres la prédicat est vrai ou pas. Par exemple, sur les formules fof(au_moins_deux, axiom,? [X,Y] : X!= Y). fof(tous_rouges, axiom, (? [X] : rouge(x)) & (? [X] : ~rouge(x))). Z3 retourne le modèle représenté par X!6 -> $i!val!2 Y!4 -> $i!val!1 X!7 -> $i!val!3 X!5 -> $i!val!0 rouge -> { $i!val!2 -> true $i!val!3 -> false else -> false sortie de Z3 3

4 Info-F-302 Projet qui comprend au moins quatre éléments différents 0, 1, 2, 3, et le prédicat unaire rouge, est vrai pour 2, mais par pour 3, ni pour les autres éléments. Avant de passer aux questions, prenons un exemple plus compliqué : % l élément special n est pas rouge fof(element_special, axiom, ~rouge(special)). % il existe un élément différent de special fof(element_diff_special, axiom,? [X] : X!= special). % la fonction f retourne toujours l élément special sauf s il est l entrée fof(fonction_f, axiom,! [X]: (X!=special <=> f(x)=special)). Le modèle retourné par le système est : special -> $i!val!0 X!0 -> $i!val!1 k!5 -> { $i!val!0 -> $i!val!0 else -> $i!val!1 f!6 -> { $i!val!1 -> $i!val!0 else -> $i!val!2 rouge -> { false f -> { (f!6 (k!5 #0)) sortie de Z3 Donc, la constante special est interprétée par 0, la constante x 0 par 1, et donc il y a un élément différent de special. Le prédicat rouge est toujours faux (donc, en particuliar il est faux pour special). Maintenant il faut regarder les autres fonctions : la fonction k 5 que Z3 a introduite retourne special si l input est special et autrement x 0 ; la fonction f 6 retourne 0 (donc special) pour x 0 et 2 autrement ; la fonction f compose les deux fonctions tel que f(n) = f 6 (k 5 (n)) pour tout élément n du domaine du modèle (#0 représente le premier paramètre (et dans ce cas l unique) de la fonction f). Donc finalement, f(special) = 2 et f retourne special autrement. 4

5 Projet Info-F-302 Question 1 Simplifier le modèle retourné par Z3 sur cet exemple en gardant le format de sortie utilisé par Z3 pour représenter les modèles. Parenthésage des quantifications Attention,! [X]: p(x) & q(x) est équivalent à (! [X]: p(x)) & q(x). La variable X apparaît donc libre dans la deuxième partie. Ceci est valable avec la quantification existentielle et les autres connecteurs logiques (ou, implique, etc.). N hésitez donc pas à parenthéser pour lever toute ambiguité! 2 Prise en Main de Z3 Question 2 Écrire une formule au format TPTP telle que tout modèle de cette formule possède au moins quatre éléments. Vérifier que Z3 retourne bien un modèle qui contient au moins quatre éléments. En théorie des langages, un mot est une suite de caractères sur un alphabet fini. Par exemple, sur l alphabet {0, 1, est un mot. Un mot sur {0, 1 peut être représenté par une structure sur le langage {pluspetit, zero, un, où pluspetit est un prédicat binaire représentant une relation d ordre stricte et totale (toute paire d élements est comparable). zero et un sont des prédicats unaires qui représentent les éléments dont les lettres sont 0 et 1 respectivement. Par exemple, le mot 011 est représentée par la structure M qui a trois éléments {e 1, e 2, e 3 et les relations suivantes : pluspetit M = {(e 1, e 2 ), (e 1, e 3 ), (e 2, e 3 ) zero M = {e 1 un M = {e 2, e 3 Question 3 Écrire une formule au format TPTP telle que tout modèle de cette formule est un mot de longueur au moins 4 sur l alphabet {0, 1. Donner un mot satisfiant cette formule trouvé par Z3. Attention : chaque élément du domaine n est assigné qu à une et une seule lettre. Une relation successeur pour l ordre pluspetit fait correspondre chaque élément à son élément suivant dans l ordre. Nous noterons succ le prédicat binaire représentant la fonction successeur. Par exemple, pour le mot 011, ce prédicat est interprété dans M par : succ M = {(e 1, e 2 ), (e 2, e 3 ) Question 4 Écrire une formule au format TPTP définissant le prédicat successeur, à partir de la relation d ordre. 5

6 Info-F-302 Projet 3 Résoudre des Énigmes avec Z3 Dans cette section, l objectif est de formaliser une énigme en logique du premier ordre, d utiliser Z3 pour trouver un modèle s il existe, et si oui d interpréter ce modèle pour résoudre l énigme. Énigme du local serveur Le nouvel apprenti de l équipe système doit changer l ancien disque dur de 20GB d une machine du local serveur pour un disque de 1.5TB. En arrivant dans le local, il trouve cinq machines alignées les unes à côté des autres. Ses collègues logiciens, en guise d initiation, ne lui ont pas indiqué de quelle machine il s agissait, mais lui ont donné plusieurs indices. Il y a une séquence linéaire de cinq ordinateurs, chaque machine a les propriétés suivantes : chaque serveur appartient à une et seulement une équipe de l ULB, et chacune offre un et seulement un service. En plus, chaque machine utilise un processeur d une plateforme différente, un système d exploitation différent et il y a un et seulement un disque dur par machine, tous de tailles différentes. Les possibilités sont les suivantes : équipes : mathématique, informatique, physique, économie, géographie. systèmes d exploitation : Linux, MacOS, Windows, Solaris, OpenBSD. plateformes : Sparc, Itanium, x86-64, PowerPC, x86-32 services offerts : serveur www, une base de données, un serveur smtp, un serveur svn, une machine pour des simulations numériques taille des disque durs : 2TB, 20GB, 1TB, 350GB, 500GB On lui a donné les indices suivants : 1. la machine avec le disque dur de 500GB est voisin du serveur smtp 2. la plateforme de la base de données est Itanium 3. la machine svn est voisine de la machine avec platerforme Sparc 4. la machine des physiciens a un disque dur de 2TB 5. la machine placé au centre des cinq est un PowerPC 6. les mathématiciens utilisent Linux 7. les économistes font des simulations sur leur serveur 8. le processeur du serveur des informaticiens est un x le premier serveur appartient à la géographie 10. la machine à côté du serveur svn a un disque de 1TB 11. le Windows est installé sur un machine x la machine de la géographie est à côté d une avec MacOS 13. le serveur www a un disque dur de 350GB 14. la machine Windows est à gauche de la machine avec Solaris 15. on utilise OpenBSD pour le serveur smtp. 6

7 Projet Info-F-302 Après quelques minutes de reflexion, l apprenti a trouvé dans quelle machine il faut changer le disque dur. Vous aussi? Question 5 Si vous deviez tester toutes les possibilités, combien y en aurait-il? Justifier. (Attention pour cette question l ordre des ordinateurs a de l importance.) Question 6 Écrire un ensemble de formules du premier ordre au format TPTPdans un fichier enigme.tptp qui modélise le problème posé ci-dessus. Exécuter Z3 pour qu il trouve un modèle et donner la réponse à l énigme. Le but principal de cette question est d écrire une formalisation correcte du problème en logique du premier ordre. Le modèle trouvé doit vous indiquer exactement, pour chacune des cinq machines, sa position par rapport aux autres, sa plateforme, son système d exploitation, la taille du disque dur et l équipe à laquelle il appartient. Vous êtes libres d utiliser le langage de prédicats que vous voulez, mais choisissez-les de telle sorte que votre spécification soit lisible. Commentez dans le fichier toutes les formules que vous écrivez en donnant leur signification intuitive. Par exemple, si vous écrivez une formule fof(f,axiom,? [X,Y]: X!=Y)., ajoutez audessus le commentaire il existe deux éléments dans la structure. La clarté et la lisibilité de votre fichier sera prise en compte dans l évaluation. Il est conseillé de représenter les modèles du problème comme des structures à cinq éléments ordonnés, chaque élément représentant un ordinateur. Les autres informations (plateforme, équipe, etc.) seront représentées par des prédicats unaires. Question 7 L apprenti veut vérifier qu on ne lui a pas tendu un piège. Utiliser Z3 pour montrer qu il existe une unique solution à l énigme. Autrement dit, montrer qu il n existe pas d autre propriétaire possédant le disque dur de 20GB. Question 8 L apprenti aimerait bien se venger et donner une petite leçon de logique aux logiciens. Est-ce que tous les indices sont nécessaires pour résoudre l énigme? Expliquer comment répondre à cette question avec Z3. Donner les indices inutiles s il en existe. Modalités Le projet se fait en binôme, il est à rendre au bureau de Maryka Peetroons au plus tard pour le 27 Avril 2012 midi 12h (fuseau horaire de Bruxelles). Il doit comprendre un rapport papier qui répond aux questions dans ce énoncé (mettre aussi le contenu des fichiers TPTP générés dans le rapport). Envoyez également les fichiers TPTP dans un dossier compressé (zip) portant les noms de famille des deux étudiants du binôme par à Alexander Heußner et avec la ligne de sujet de courrier Projet Logique 7

8 Info-F-302 Projet 2012: nom de famille1-nom de famille2. Le fichier est à envoyer pour la même date que la version papier. Si l évaluation n est pas possible sur base du rapport seul (et du fichier.tptp), on vous demandera de défendre vos solutions dans une présentation orale. Quelques astuces Utiliser des commentaires dans vos fichiers TPTP pour donner la sémantique intuitive de toutes vos formules. Cela permet d argumenter sur la nécessité d une formule. Rappelez vous le principe KISS ( keep it simple stupid! ). Donc, essayez de ne pas ajouter des constantes, prédicats, relations, formules,... superflus dans vos fichiers TPTP. Le format TPTP est utilisé aussi par d autres solveurs du premier ordre. Il y a une interface web commune à un ensemble de solveurs qui est accessible ici : N hésitez pas à essayer votre spécification TPTP avec un autre solveur pour comparer le résultat avec Z3 (attention : le format de modèle trouvé sera possiblement différent de celui de Z3!). 8