Processus de modélisation Application à la Méthode des Éléments Finis Questionnement Qu est-ce qu un modèle? Comment estimer l erreur commise?
Qu est-ce qu un modèle? Définir les objectifs de l étude Quelle méthodologie adopter? Évaluer le niveau de complexité Identification des problèmes physiques Existe-t-il des interactions? Détermination du domaine d'étude. Identification des difficultés à traiter Outils Expérience acquise Etude bibliographique Recherche documentaire Phénomènes physiques les plus importants Modèles mathématiques correspondants
Qu est-ce qu un modèle? Fixer les objectifs et conditions des simulations Plusieurs choix à faire Facteurs d influence? et de leurs niveaux possibles. Grandeurs à observer? et nature des observations. Faisabilité pratique Outils disponibles Informations générales sur L analyse des résultats Organiser les expériences Combinaisons des facteurs d influence Interactions des facteurs? plan factoriel complet Ordre de priorité Lourd en temps Perte d information
Qu est-ce qu un modèle? Élaborer les modèles Avec un objectif : interprétation «simple» Attribuer la causalité des résultats observés Il faudra : S assurer de la pertinence des choix effectués Contrôler les facteurs non étudiés L ordre des tests (ordre de priorité) Dicté par l efficacité Il faudra : S assurer de la robustesse de la démarche Notamment vis à vis des interactions entre les facteurs
Qu est-ce qu un modèle? Le domaine d'étude Bilan Compromis Défini le cadre mathématique des modèles objectifs / coût Un cadre mal défini ne permet pas d analyser les résultats Hypothèses fortes Moins d hypothèses Modèles simples Plus faciles à traiter données calculs analyses Modèles plus complexes Plus proche de la réalité(àpriori) Les modèles ne sont pas la réalité L écart entre les modèles doit être analysé Un bon modèle doit donner une réponse acceptable pour des efforts de mise en œuvre non prohibitifs.
Qu est-ce qu un modèle? p y o A B x o D Domaine d étude? C Etude de cas Facteurs de modélisation à étudier? Synthèse du travail effectué en TP Objectif : Dimensionnement de la pièce Etude 2D en statique (contraintes planes) Géométrie et matériau connu Cadre Comportement élastique linéaire mathématique F1 : Conditions de chargement en A F2 : Conditions aux limites en B et C F3 : Prise en compte d un congéen D
Qu est-ce qu un modèle? Grandeurs à observer? x G1 : Flèche maximale sur BC Critère / portée o G2 : Le déplacements du point A Comparer àla rotation en B G3 : Comportement en flexion de la poutre BC G4 : Comportement en Flexion de la partie verticale G5 : Contrainte maximale de Von Mises Critère sur Re p y o A B D C Modèles possibles? p y o B A x o D Modèle 2D complet C On peut étudier les 3 facteurs On peut observer toutes les grandeurs d intérêt
Qu est-ce qu un modèle? F p h Modèle portique l validité du modèle travail à longueurs équivalentes charge équivalente poutre équivalente en ( hl, ) eb 12 Ne permet pas de prendre en compte le congé Observation des contraintes que sur la zone de validité 3 Modèle poutre M=Fh validité du modèle l Néglige la flexion de la partie verticale Observation des contraintes que sur la zone de validité
Qu est-ce qu un modèle? Au moins 3 modèles Démarche possible Modèle poutre donne une solution de référence analytique flèche maximale, déplacement du point A estimation de la contrainte en D (congé) Modèle portique qu apporte-t-il / modèle poutre? Modèle 2D permet de calculer la contrainte dans le congé il faudra valider le modèle numérique Analyse comparative Modèle poutre / Modèle portique la flexion de la partie supérieure est négligeable Modèle poutre / Modèle 2D la partie horizontale se comporte comme une poutre
Etude de cas p y o Flèche v(x) v anal = 0,222 mm V num = 0,218 mm A B x o D C Analyse des résultats obtenus Résultats comparatifs En bleu la solution analytique poutre Le modèle 2D tient compte d un congéde 2mm Sl Le modèle poutre est validé = 2700 I en déplacement en contrainte sur les zones de validités «avant» le congé 2 max σ xx sur la ligne infde B àc σ xx sur la ligne sup vers le congé Le modèle 2D La contrainte maximale permet de calculer l état de contrainte dans le congé Dépend du rayon de congé si convergence numérique Comment estimer l erreur commise?
Comment estimer l erreur commise? Erreurs de modélisation Erreur de discrétisation Relatives aux hypothèses du modèle Il faut comparer les résultats de différents modèles Analyse des résultats modèle adapté aux objectifs de l étude qualité du modèle / aux grandeurs d intérêts Relative à la discrétisation des équations Il faut comparer différents maillages Assurer la convergence sur les grandeurs d intérêts Il peut être nécessaire de modifier le modèle
Processus d analyse Comment estimer l erreur commise? Problème physique hypothèses de modélisation Modèle mathématique hypothèses de discrétisation Procédure EF Modèle numérique Erreur de discrétisation (évaluation) précision sur les grandeurs d intérêt Analyse des résultats Vérification des hyp. de modélisation évolution du modèle numérique évolution du modèle mathématique Réponse obtenue Evolution modèle physique
Etude de cas p y o A B x o D C Comment estimer l erreur commise? Erreur de discrétisation? Analyse des résultats (gradients & discontinuités) Analyse de convergence Image caractéristique d une singularité Fort gradient de contrainte Discontinuités entre les éléments Non convergence locale Modèle sans congé Résultats : Visualisation lissée trompeuse Maillage Q4 avec 4 points de Gauss Flèche de 0,218 mm Contrainte C est une erreur de démarche convergence Comportement de poutre Impossible de déterminer la contrainte maximale 2 images différentes Valeurs différentes Non convergence
Comment estimer l erreur commise? Modèle avec congé de 2 mm Maillage Q4 avec 4 points de Gauss Résultats : Flèche de 0,218 mm inchangée Contrainte Il est possible de calculer la contrainte maximale 2 images semblables convergence Valeurs différentes précision? Discontinuités entre les éléments Relativement faible ~ 14MPa Gradient de contrainte Fort ~ 60 MPa σ = 150 ± 20 MAX MPa Visualisation lissée trompeuse Visualisation non lissée Ne pas tenir compte des valeurs sur cet élément
Comment estimer l erreur commise? Le tracer de l évolution de la contrainte de Von Mises dans le congédonne : mauve : valeurs nodales discontinues rouge : valeurs nodales moyennes bleu : valeurs moyennes sur le bord des éléments Contrainte maximale < 170 MPa On reste dans le domaine élastique Un calcul avec des éléments de degrédeux confirme ce résultat σ = 167 ± 3 MPa MAX La solution «RDM» poutre prévoyait une contrainte de 64,8 MPaau niveau du congé. Evolution dans la pièce Un coefficient de majoration de 3 «classique» permettait donc d avoir une estimation conservative de cette valeur. Maillage «optimisé» Pour une précision de 10 Mpa sur la contrainte dans le congé
Comment estimer l erreur commise? On dispose d un modèle Fiable Simple Est-il robuste? Deux facteurs de modélisation n ont pas été étudiés Pour aller plus loin Vérifier que Les conditions de chargement ne modifient pas les grandeurs d intérêt à charge équivalente Les conditions de frottement en B et C modifient les grandeurs d intérêt Quels modèles proposez-vous? en B en C Fin du processus de modélisation