ÉCOLE POLYECHNIQUE DE MONRÉAL DÉPAREMEN DE GÉNIE ÉLECRIQUE AUOMNE 211 COURS ELE27 ANALYSE DES SIGNAUX SÉANCE #2 (P1) ANALYSE SPECRALE section #1 section #2 OBJECIF : Étude des contenus fréquentiels de deux phonèmes prononcés par une voix humaine. Pour un rappel théorique, voir Annexe. ABLE DES MAIÈRES 1 Série de Fourier 1.1 héorie de base... 2 1.2 Programmation avec MALAB 1.2.1 Représentation du signal... 2 1.2.2 Commande «fft»... 3 2 ravail à effectuer 2.1 Acquisition d un signal... 3 2.2 Analyse... 6 2.3 Programme de base... 7 2.4 Rapport... 8
1 SÉRIE DE FOURIER 1.1 héorie de base Soit v(t), un signal périodique de période. Ce signal peut être exprimé sous forme de série exponentielle de Fourier : () v t n n 2π nt + j = V e [1.1] Les coefficients V n sont donnés par l expression suivante : V n 2π nt 1 j = v() t e dt [1.2] L évaluation des coefficients V n nous permet de déterminer la composition fréquentielle du signal périodique v(t). 1.2 Programmation avec MALAB 1.2.1 Représentation du signal L évaluation de l expression [1.2] par ordinateur implique l évaluation numérique d une intégrale à partir d une représentation numérique du signal v(t). Cette représentation sera obtenue par la lecture de K valeurs du signal dans un intervalle de seconde : vt () k t=, k=,1, L, K 1 K v(t) K 2 K 3 K 4 K ( K 1) K t - 2 -
1.2.2 Commande «fft» Le logiciel MALAB comporte une commande «fft» qui effectue un calcul correspondant à l évaluation numérique des coefficients de la série exponentielle de Fourier d un signal par la méthode des rectangles. On l utilisera de la façon suivante : Vn=fft(v)/K où v est un vecteur de K points représentant le signal v(t) : 2 ( ) ( ) ( ) v v v v [ K 1] ( ) K K K Le vecteur résultant de la fft contient les K coefficients [ ] V V V 1 K 1 Puisque les indices de Matlab commencent par 1 plutôt que, les coefficients de Matlab sont listés comme [ V(1) V(2) V( K) ] Pour que le coefficient V soit au milieu, avec les fréquences négatives a gauche et celles positives a droite il faudrait réarranger les coefficients dans l ordre [ V V V V V V ] K/2+ 1 K/2+ 2 K 1 1 K/2 ce qui peut se faire manuellement ou en utilisant la fonction «fftshift» de Matlab. Nous allons toutefois afficher les coefficients de seulement 2 fréquences négatives et 2 fréquences positives, outre la fréquence centrale. En fonction des indices de Matalab nous devrions afficher ces coefficients dans l ordre : Ainsi [ V( K 19) V( K 18) V( K) V(1) V(2) V(2) V(21) ] V (1), la composante d-c, se trouve au centre. Nous verrons en ce qui suit que nous allons plutôt afficher les modules des coefficients plutôt que les coefficients complexes eux-mêmes. Rappel des commande utiles de Matlab : ginput(2) save test_1 voix voix1= load test_1-3 -
2. RAVAIL À EFFECUER 2.1 Acquisition du signal Vous aurez à étudier la composition fréquentielle de deux phonèmes que vous enregistrerez vous-même à l aide d un microphone et de l outil Simulink. Accédez à Simulink et reproduisez le schéma suivant : voix.wav butter butter o Wave File 5 From Wave Device Digital IIR Filter Design Slider Gain Digital IIR Filter Design1 voix o Workspace Boîte «From Wave Device» (librairie Signal Processing Blockset/ Signal Processing Sources) Cet élément permet d acquérir un signal capté par le microphone branché à la carte-son. Fixez les paramètres suivants : Fréquence d échantillonnage = (elle vous sera précisée au laboratoire) Précision = 16 bits Ne pas cocher la case «Stereo» Nombre d échantillons par trame («Samples per frame») = 16 Durée de la file = 1 seconde Cocher la case «Use default audio device» - 4 -
1 ère boîte «Digital Filter Design» (librairie Signal Processing Blockset / Filtering / Filter Designs) Ce filtre IIR coupe les hautes fréquences du signal, contribuant ainsi à réduire le bruit. Fixez les paramètres suivants : Méthode de design = Butterworth, IIR ype de filtre = Passe-bas Ordre = 4 Fréquence de coupure normalisée =.25 (correspond à.125 la fréquence d échantillonnage) Boîte «Slider Gain» (librairie Simulink / Math Operations) Cet élément sert à amplifier le signal. Fixez le gain à 5 (à ajuster si vous constatez que cette valeur ne convient pas). 2 e boîte «Digital Filter Design» (librairie Signal Processing Blockset / Filtering / Filter Designs) Ce filtre IIR passe-haut coupe toute composante continue d-c s étant infiltrée dans le système. Fixez les paramètres suivants : Méthode de design = Butterworth, IIR ype de filtre = Passe-haut Ordre = 4 Fréquence de coupure normalisée=.5 (correspond à.25 la fréquence d échantillonnage) Boîte «o Wave File» (librairie: Signal Processing Blockset/ Signal Processing Sinks / o wave file) Cet élément sert à enregistrer le signal dans un fichier «.wav». Fixez les paramètres suivants : Nom du fichier = voix (ou tout autre nom de votre choix) Précision = 16 bits Si le signal comporte des valeurs en dehors de la marge [-1 +1], celles-ci seront écrêtées avant d être enregistrées. Une forte distorsion sera alors présente lorsque le fichier voix.wav sera ouvert. Diminuer adéquatement le gain de la boîte «Slider Gain» permet d éviter ce problème. Boîte «Signal o Workspace» (librairie Simulink / Sinks) - 5 -
Cet élément sert à copier le signal dans MALAB. Fixez les paramètres suivants : Nom de la variable = voix (ou tout autre nom de votre choix) Nombre maximum de rangées = inf (pour infini ; tous les échantillons seront conservés) Facteur de décimation = 1 emps d échantillonnage = -1 Format de sauvegarde = Array Pour enregistrer le phonème à analyser, nous vous proposons la procédure suivante : Branchez le microphone à l entrée appropriée de l ordinateur. Fixez la durée de la simulation à une seconde (onglet Simulation / Parameters / Solver : Stop time = 1). Juste avant de démarrer l enregistrement (en déclenchant la simulation dans Simulink), commencez à prononcer un phonème voisé d une façon continue (exemple : «haaaaaaaaaaa») en le maintenant jusqu à la fin de l enregistrement (dont la durée a été fixée à une seconde). Vous pouvez vous amuser à «forcer» votre voix pour la rendre plus aiguë ou plus grave que sa tonalité habituelle. (Pour les voix très aiguës, il serait préférable d augmenter la fréquence de coupure du filtre passe-bas à.4 ou.5, par exemple). Vous pouvez écouter votre enregistrement en faisant jouer le fichier voix.wav que Simulink a produit (si la distorsion est trop forte, c est que le gain de la boîte «Slider Gain» est trop élevé). La qualité du signal n apparaîtra pas très élevée car le filtre passe-bas ne laisse passer que les basses fréquences du signal (elles sont toutefois suffisantes pour l analyse). 2.2 Analyse Dans MALAB, vous pouvez récupérer la version numérisée de votre phonème dans le vecteur «voix». Attention! Ce vecteur contient plusieurs milliers de points (la liste des variables actives et leurs dimensions sont données par la commande «whos»). Vous devrez isoler une partie du signal. Pour simplifier le traitement on choisira K comme étant le nombre de points dans une seule période du signal. Commencez par afficher quelques centaines de points (avec - 6 -
plot(voix(2:28)), par exemple) pour visualiser les détails du signal et en extraire visuellement une seule période. Déduire la valeur de K. Générez le vecteur signal (avec v=voix(6:6+k-1), par exemple) qui sera analysé. Le premier but de ce travail est une comparaison temporelle de trois signaux, à savoir, deux enregistrements successifs de la voyelle «a», et un enregistrement de la voyelle «i». Les deux premiers doivent se ressembler. Le troisième devrait avoir une forme distincte, différente des deux premiers. Le deuxième but est d évaluer la fréquence fondamentale de chacun de ces mêmes trois signaux. On devrait obtenir la même valeur, ou presque, des deux premiers signaux, et une différente pour le troisième. Le troisième but de ce travail est d effectuer une analyse spectrale du premier signal, ainsi observant le spectre discret du premier enregistrement de la voyelle «a». Dans cette partie d analyse spectrale, il est conseillé de n afficher qu un nombre restreint de coefficients (V -2 à V +2, par exemple). 2.3 Programme de base (à compléter) I. Deux enregistrements de la voyelle «a» plus un enregistrement de «i» : i) % Nombre de points du premier enregistrement de «a» K= ; Période en seconde de «a» Fréquence fondamentale de «a» en Hz. ii) - 7 -
% Nombre de points du deuxième enregistrement de «a» K= ; Période en seconde de «a» Fréquence fondamentale de «a» en Hz. iii) % Nombre de points de l enregistrement de «i» K= ; Période en seconde de «i» Fréquence fondamentale de «i» en Hz. II. Analyse spectrale d u premier enregistrements de la voyelle «a» : % CONSRUCION DU VECEUR SIGNAL v v= ; % ÉVALUAION DES COEFFICIENS DE FOURIER DU SIGNAL Vn=fft(v)/K; % AFFICHAGE DU MODULE DES COEFFICIENS DE FOURIER n= -2:2; % On peut maintenant utiliser la commande fftshift suivie par % abs, ou autrement, procéder ainsi : % -------------------- Vn_mod= Abs(Vn); V1=Vn_mod(1:21); V2=Vn_mod(K-19:K); X=[V2;V1]; % -------------------- stem(n,x) - 8 -
grid title( COEFFICIENS DE FOURIER DE v(t) ) xlabel( AXE n ) ylabel ( MODULE ) 2.3 Rapport Avant la fin de la séance, vous devrez remettre vos réponses à la partie I. En particulier produire : - une figure qui montre une dizaine de cycles du premier enregistrement de «a», - une figure qui montre une seule période de ce même enregistrement, - une figure qui montre une seule période du deuxième enregistrement de «a», - une figure qui montre une seule période de l enregistrement de «i». - Vos calculs de la période en seconde et la fréquence fondamentale en Hz de chacun des trois enregistrements. Vous devriez en suite soumettre vos réponses à la partie II. En particulier, utilisant le premier enregistrement de la voyelle «a», produire : Une figure représentant le module des coefficients de la série exponentielle de Fourier du signal. Le listage des commandes MALAB utilisées. Les conclusions suivantes : Quelle est la valeur absolue (le module) de la composante fondamentale du signal? Quelles sont les valeurs du spectre d amplitude de la composante de fréquence zéro (d-c), de la fondamentale et de la deuxième harmonique du signal? - 9 -
Ref. : Chapitre 7 de Annexe : Rappel pour ce P Évaluation de la série de Fourier par la fft M. Corinthios, "Signals, Systems, ransforms and Digital Signal Processing with MALAB ", Francis and aylor CRC Press 29. Fig.1 Pour évaluer numériquement la série de Fourier d un signal continu périodique vc ( t ) de période τ par la fft, voir Fig. 1, une période est extraite et échantillonnée avec un pas d échantillonnage s e. Ceci produit une séquence vntel [ ] que Voir Fig. 2. v t c( ) [ ] = ( ) vn v n c s... t s =N s vn [ ] 1 N-1 n Fig. 2. - 1 -
Soit N où s le nombre d échantillons dans la période τ. Nous avons les relations = 1/ f f est la fréquence d échantillonnage (en Hz). τ = Ns = N / fs 1 1 fs La fréquence fondamentale f est par définition f = τ = N = N. La transformée en z de vn [ ] est V z s N 1 ( ) [ ] = v n z La transformée de Fourier de vn [ ] est la même transformée en z mais évaluée sur le cercle unitaire, c.a.d. évaluée sur le cercle dans le plan z de rayon r = 1 j j z re Ω Ω = = e Voir Fig. 3. n= s n s r=1 plan z z= re j = 1 e j La transformée de Fourier de vn [ ] est alors Fig.3 N 1 j ( ) [ ] V e = v n e Ω jωn n= Une relation importante existe entre la fréquence ω dans le domaine continu et la fréquence au domaine discret qui est l angle Ω autour du cercle unitaire dans le plan z. En particulier, Ω = ω s. Si par exemple le signal est vc () t = cosωt, où ω = 1π r/s, et si la fréquence d échantillonnage est f s = 4 Hz, alors vn [ ] = cosωns = cos Ω n, ce qui est une sinusoïde de fréquence Ω = ω s = 1 π / 4 = π / 4 Le sommet spectral d une telle sinusoïde paraitra donc a un angle Ω = ω = π /4. s - 11 -
La transformée discrète de Fourier DF de vn [ ] est la discrétisation de la transformée de Fourier. Ceci est fait par l échantillonnage du cercle unitaire uniformément en N remplace alors la variable Ω par un multiple du pas d échantillonnage 2π ΔΩ =, ayant divisé le cercle en N points. Voir Fig. 4 pour le cas N = 16. N 6 5 4 3 N = 16 2 points. On 7 1 8 9 15 1 11 12 13 Fig.4 Nous écrivons alors 2π Ω k = kδω= k N et nous avons ainsi la transformée discrète de Fourier DF (DF), (aussi appelée la Série discrète de Fourier DFS). 2π 2 j k N 1 π j kn N N V[ k] V e = v[ n] e, k =,1,..., N 1 n= v t sont donnés par Rappelons que les coefficients de la série de Fourier du signal continu ( ) - 12-14 2π 1 τ jn τ () c Vn = v t e τ dt qui produit la séquence vn, on notera que la DF remplace Après l échantillonnage de vc () t [ ] simplement l intégration par une somme de rectangles, ce qui donne les coefficients V[ k ]. L instruction fft de Matlab calcule la DF d une séquence efficacement. Il est a noter que le spectre de Fourier V[ k] est la transformée de Fourier échantillonnée, vue en tournant autour du cercle de l angle Ω = a Ω = 2π dans le sens antihoraire. Le début est la valeur k = qui représente la fréquence zéro. La fin est k = N 1 qui représente Ω= 2π ( N 1)/ N 2π, l angle qui correspond a la fréquence dans le domaine continu ω =Ωfs 2π fs ω s, c.a.d. la fréquence d échantillonnage en r/s. Pareillement, le point k = N /2 se trouve sur le cercle a Ω = π et correspond dans le domaine continu a la fréquence ω =Ω f π f ω / 2, c.a.d. la moitié de la fréquence d échantillonnage. s s s On pourrait réafficher les coefficients V[ k ] de la DF pour qu ils correspondent a l échantillonnage du cercle unitaire en allant de fftshift, après avoir appelé fft. M. Corinthios 1 Février 21 Ω = π a Ω =+ π en utilisant l instruction c