6GEI500 Signaux et systèmes Laboratoire #2 Analyse en fréquences avec MATLAB Automne 2009. Objectifs Se familiariser avec l analyse en fréquences avec MATLAB Explorer le phénomène de Gibbs Faire une analyse en fréquences d une chanson 2. Méthodologie Dans ce laboratoire, vous allez explorer les fonctions d analyse en frequences avec MATLAB. Vous allez apprendre à convertir les signaux entre le domaine temporel et frequentiel et apprendre à les visualiser. En meme temps, vous allez aussi explorer le phenomene de Gibbs et faire une experience pour l observer. Ça vous permettra de vous familiariser avec la programmation avec MATLAB. Finalement, vous allez faire une analyse en frequences et une manipulation des fréquences d une chanson. 3. Théorie MATLAB est un environnement où les signaux sont en temps-discret. Étant un système à temps-discret, certaines manipulations mathématiques produisent des résultats sont différents de ce qu on obtiendrait avec un système à temps continu. Bien que nous n ayons pas encore exploré les systèmes à temps-discret dans le cours, nous pouvons en glisser quelques mots pour s assurer nos manipulations aient un certain sens. Nous savons que la transformée de Fourier est utilisée pour transformer un signal du domaine temporel au domaine fréquentiel. Dans un système à temps-discret, on utilise souvent la transformée de Fourier discrète (discrete Fourier transform, ou DFT). Puisque le temps de calcul est souvent long, certains chercheurs ont proposé un autre algorithme appelé la transformée de Fourier rapide (fast Fourier transform, ou FFT). Dans ce
laboratoire, c est la FFT que vous allez utiliser et, pour obtenir les résultats voulus, il faut faire quelques manipulations supplémentaires. Une des choses à savoir dans les systèmes à temps-discret, c est que la description en fréquences est périodique. C est un phénomène qu on va examiner plus tard dans le cours. Pour l instant, c est mieux de simplement accepter le fait sans trop se poser de questions. Imaginez que votre signal (dans le domaine continu) ait une description en fréquence qui ressemble à ceci : Quand il est échantillonné (amené du monde continu dans le monde discret), son spectre sera répété à chaque f s, qui est la fréquence à laquelle le signal est échantillonné. Puisque toutes ces descriptions en fréquences se ressemblent, MATLAB trouve que c est un gaspillage de temps et d espace et donc, il ne se sert que d UNE SEULE répétition. Alors, quand on fait la FFT, ce qu on observe dans MATLAB, ce sont les fréquences de 0 à f s. Une autre chose à savoir est que l amplitude calculée pour les composantes spectrales est proportionnelle au nombre d échantillons (nombre de points). C est-à-dire que MATLAB pourrait penser que votre signal contient un sinus avec une amplitude de 30000 mais qu en réalité, sa vraie amplitude est de 3. Le problème est que MATLAB multiplie l'amplitude par le nombre d échantillon (0000 dans ce cas-ci). Pour avoir la vraie valeur, il faut diviser le résultat obtenu par le nombre d échantillons. 2
De plus, puisque la réponse en fréquences contient des composantes avec fréquences positives et négatives qui sont identiques, on pourrait simplement combiner les 2 éléments pour n en former qu un seul. Par exemple, imaginez un signal qui a une composante spectrale à 0Hz ayant une taille de 3. Ce signal aura aussi une composante spectrale à -0Hz ayant la même taille. Pour faciliter la compréhension, on peut simplement doubler la taille de la fréquence positive et ignorer la fréquence négative. Dans notre exemple, on se retrouverait avec une composante fréquentielle à 0Hz ayant une amplitude de 6. 4. Travail demandé a) Traçage de courbe et le domaine fréquentiel Dans la première partie, on ne va s occuper que de dessiner les courbes dans MATLAB. On va prendre une onde carrée et on va voir comment MATLAB la représente dans le domaine temporel et fréquentiel. Commençons par IMAGINER une onde carrée de 4Hz. Ça voudrait dire qu en s, l onde va se répéter 4 fois. Si on décidait d échantillonner ce signal à 00KHz, ca voudrait dire qu on aurait 00000 échantillons par secondes et donc, 25000 échantillons à chaque période de l onde carrée. Pour ceux qui ne sont pas familiers avec le terme, quand on dit 25000 échantillons par période, ca veut dire que, pour chaque période, on utilise 25000 valeurs différentes pour tracer l onde carrée. Imaginons que cette onde dure 3 secondes : ça voudrait dire qu on aura un total de 300000 échantillons de cette onde. Entrons tout ça dans MATLAB : >> t=0:e-5:3-e-5; >> carre=square(4*2*pi*t); Dans la première ligne, on définit l axe du temps : nous voulons que ça aille de 0 à 3s (non-inclusivement) et nous voulons que ça se fasse par incrément de /00000 (t sera 0, 0.0000, 0.00002,... jusqu à 3s). Dans la deuxième ligne, nous avons mis les valeurs de l onde carrée dans un vecteur qu on appelle carre. Traçons ce signal à l écran pour s assurer que c est bon : >> plot(t, carre) Regardez votre dessin et assurez-vous que l échelle en X va de 0 à 3s et que la période de l onde carrée soit autour de 0.25s.. Répétez la commande sans le t : plot(carre). Que se passe-t-il de différent quand t n est pas là? Pourquoi? 3
On va maintenant examiner ce signal dans le domaine fréquentiel. Pour ce faire, on va prendre la transformée de Fourier du signal. >> fft(carre) Le résultat de la transformée de Fourier nous donne des valeurs complexes. Ces valeurs s expriment aussi en coordonnées polaires où il y a l amplitude et la phase. Dans ce casci, nous allons nous intéresser à l amplitude et donc, on utilise la commande abs. >> freq=abs(fft(carre)); Traçons ça à l écran : >> plot(freq) Regardez l axe des X. En théorie, l axe des X devrait représenter les fréquences. 2. Est-ce que l axe des X représente réellement les fréquences? Pourquoi ces chiffres sont-ils si bizarres? Dans la première partie, nous avons créé un vecteur t qui contient le temps associé à chacune des valeurs de carre. 3. En utilisant une technique semblable, trouvez la commande MATLAB nécessaire pour générer un vecteur f qui contient toutes les fréquences auxquelles on veut associer notre FFT. 4. Tracez le vecteur freq avec le vecteur de fréquences trouve dans la question 3 (inclure cette figure dans le rapport). Vous devriez voir un pic qui se trouve à 4Hz qui représente la fréquence fondamentale de l onde carrée. Vous devriez aussi voir les harmoniques a 2Hz, a 20Hz, qui ont des amplitudes de plus en plus faibles. Puisqu on sait que l amplitude est plus grande d un facteur égal au nombre d échantillons, on peut diviser freq par 300000. >> freq=freq/300000; >> plot(f, freq) Pour le mettre dans une forme plus conventionnelle, on pourrait sélectionner seulement la moitie des échantillons mais doubler ses amplitudes pour tenir compte de l effet de la fréquence négative : >> plot(f(:50000), 2*freq(:50000)) 4
b) Phénomène de Gibbs Nous allons maintenant générer une onde carrée avec la série de Fourier. Nous allons ajouter les éléments un après l autre et nous allons observer le phénomène de Gibbs. Nous savons que l allure générale de la série de Fourier d une onde carrée ressemble à ceci : k sin ( ω t) + k sin( 3ωt ) + k sin( 5ωt ) + k sin( 7ωt ) +... 3 5 7 Avec cette formule créez-vous une approximation de l onde carrée avec les 3 premiers éléments non-nuls de la série de Fourier pour avoir une onde carrée allant de - à + avec une fréquence de 4Hz. NOTE : Puisque vous aurez à refaire cette tache plusieurs fois, il serait peut-être pertinent de faire un petit programme MATLAB qui vous génère ces coefficients automatiquement. Surtout parce que je vous demande de me générer une série de 200 sinus un peu plus loin. 5. Quelle est moyenne du carré de l erreur? 6. Le phénomène de Gibbs dit qu il devrait y avoir des dépassements proches des transitions. De combien est-ce que ca dépasse (3 chiffres après la virgule)? Faites maintenant une onde carrée avec 0 éléments non-nuls. 7. Quelle est moyenne du carré de l erreur? 8. Quelle est la valeur du dépassement au moment des transitions? (3 chiffres après la virgule)? Faites maintenant une onde carrée avec 200 éléments non-nuls. 9. Quelle est moyenne du carré de l erreur? 0. Quelle est la valeur du dépassement au moment des transitions? (3 chiffres après la virgule)? c) Analyse en fréquences d une chanson Téléchargez le fichier champion.wav sur ma page web et importez-le dans MATLAB à l aide d une commande semblable à : >> chanson=wavread('c:\users\desktop\champion.wav') 5
Évidemment, c est à vous de changer le nom du répertoire pour indiquer à MATLAB où chercher ce fichier. Une fois que la commande est exécutée, la chanson dans le fichier champion.wav se retrouve dans votre variable chanson. Vous pouvez écouter la chanson avec la commande sound : >> sound(chanson, 000) NOTE : Si ca ne fonctionne pas, regardez les paramètres de Windows pour savoir si le son est bloque et si le volume est adéquat. Le 000 ici, c est la fréquence d échantillonnage qui est un paramètre que je connais d avance. Affichez le spectre de fréquences de cette chanson. Vous devriez voir qu à basses fréquences, il y a beaucoup de composantes de forte amplitude. À partir d une certaine fréquence, les amplitudes baissent beaucoup.. À partir de quelle fréquence est-ce que les composantes deviennent «moins importantes»? (utilisez votre jugement) Si ces fréquences sont moins importantes, on pourrait les enlever sans trop affecter la qualité du son. Pour vérifier ce point, vous devriez commencer par faire un filtre. Vous allez apprendre à concevoir ces filtres dans votre cours de traitement numérique des signaux. Ici, vous n allez que suivre mes instructions. Vous allez utiliser la commande suivante, en changeant ω n par un certain chiffre que vous allez être capable de calculer. >> filtre=fir(50, w n, low ) Pour votre culture personnelle, 50 c est l ordre du filtre ce qui représente la vitesse à laquelle le gain chute après la fréquence de coupure. Un gros chiffre veut dire que le gain baisse rapidement. Le troisième paramètre indique le type de filtre qu on veut avoir. Ici, on veut un filtre passe bas. Dans la commande précédente, remplacez ω n par ce qu on appelle la fréquence de coupure normalisée. Pour trouver cette valeur, regardez le spectre de fréquences de votre chanson. Divisez la plus grande fréquence (fréquence d échantillonnage) par 2. Maintenant, divisez la fréquence de coupure désirée par cette valeur et vous obtiendrez ω n. Par exemple, imaginez que votre spectre de fréquences allait de à 000. En le divisant par 2, on obtient 5500. Imaginez maintenant que je veuille avoir une fréquence de coupure de 3000 : ma valeur de ω n serait égale à 3000/5500=0.545. La commande fir vous donne la réponse à la percussion h(t) de votre filtre. 2. A quoi ressemble ce h(t)? Quel nom a-t-on donne à cette FORME de signal? (la forme que vous allez voir sera laide... utilisez votre imagination!) 6
Pour utiliser ce filtre, on doit faire la convolution entre le signal et le filtre. >> chanson_filtree=conv(filtre, chanson); Écoutez la chanson filtrée et assurez-vous que ca se ressemble assez. Je vous encourage à jouer avec les différents paramètres pour voir ce que ca vous donne. Et, encore une fois, ce processus sera expliqué en détail dans votre cours de traitement numérique des signaux. 3. Quand vous serez sur de votre choix, dessinez le spectre en fréquences de la chanson originale et de la chanson filtrée. Le résultat de votre convolution (chanson filtrée) aura 50 termes de plus que le signal a l entrée (chanson). Ca veut dire que la description en fréquences aura aussi 50 valeurs de trop. Assurez-vous de vous en débarrasser. 5. Rapport Répondez aux questions qui ont été posées tout au long du document de laboratoire. Ajoutez quelques phrases, au besoin, pour justifier vos réponses. Ajoutez une section intitulée «Conclusions» a la fin de votre rapport. Dans cette section, vous devez expliquer le lien entre les différents aspects que nous avons explore dans le laboratoire. Expliquez la raison d être des expériences qui vous ont été proposes («On nous a demande d ajouter X au circuit pour pouvoir augmenter Y puisque ca affecte Z de telle manière»). Dans la même section, je vous demanderais de me faire part de vos commentaires. N hésitez pas à me faire des reproches : ca ne comptera pas dans la note. 5. Barème 5 Points par question /65 5 Points pour la section «Conclusions» /5 7