INSTITUT SUPERIEUR D INFORMATIQUE DE MODELISATION ET DE LEURS APPLICATIONS COMPLEXE DES CEZEAUX BP 125-63173 AUBIERE CEDEX Rapport de projet 3 ème année filière 4 RELAXATION LAGRANGIENNE DE PROBLÈMES DE PLANIFICATION DE PRODUCTION D ÉNERGIE Présenté par : Mohamed BOUSSAÏD et Skander BOURAOUI Responsable ISIMA: Philippe MAHEY Mars 2006
INSTITUT SUPERIEUR D INFORMATIQUE DE MODELISATION ET DE LEURS APPLICATIONS COMPLEXE DES CEZEAUX BP 125-63173 AUBIERE CEDEX Rapport de projet 3 ème année filière 4 RELAXATION LAGRANGIENNE DE PROBLÈMES DE PLANIFICATION DE PRODUCTION D ÉNERGIE Présenté par : Mohamed BOUSSAÏD et Skander BOURAOUI Responsable ISIMA: Philippe MAHEY Mars 2006
Remerciements Nous voudrions remercier Mr Philippe Mahey, professeur à l ISIMA, pour l investissement très important qu il a mis dans l encadrement de notre projet. Son perfectionnisme et ses vastes connaissances ont permis de baliser l avancée de ce travail jusqu à son aboutissement.
Résumé Les problèmes de gestion de la production des centrales électriques chez EDF sont modélisés dans ce sujet par des problèmes convexes de grande taille possédant des contraintes couplantes. Nous allons nous restreindre au cours de cette étude à la forme linéaire des ces problèmes sur lesquels nous allons appliquer un ensemble de méthodes de résolution, basés sur la méthode de relaxation Lagrangienne et dont nous comparerons les rendements pour en utiliser la méthode dont le coût en temps de calcul et le nombre d itérations ne sera pas trop élevé. mots-clés : Relaxation lagrangienne, problèmes convexes, algorithme du volume, algorithme du sous-gradient. Abstract The energy production in EDF can be sometimes modeled by a large scale convex problem with coupling constraints. Those problems can be solved by some algorithms which are based on the LAGRANGIAN relaxation method. This study deals with the numerical aspect of the application of the LAGRANGIAN relaxation method. It debates the convergence problems, the different ways of solving the sub-problems spawned by this method and the accomplishment of the original problem decomposition. key-words : Lagrangean relaxation, sub-gradient algorithm, volume algorithm.
TABLE DES MATIÈRES 3 Table des matières Remerciements 1 Résumé 2 Table des figures 4 1 Introduction 5 2 Problématique 6 3 Méthodes de résolution 7 3.1 Méthodes de sous-gradient............................ 7 3.2 Méthode de Shor................................. 7 3.3 Méthode de Held et Karp............................. 7 3.4 Algorithme du volume.............................. 8 3.5 Exemple d application pour les méthodes du gradient.............. 8 3.5.1 Exemple de la fonction losange..................... 8 3.5.2 Comparaison............................... 9 3.5.3 Résultats................................. 9 3.6 Exemple d application pour l algorithme du volume............... 10 3.6.1 Exemple d un problème d optimisation avec contraintes linéaires... 10 3.6.2 Résultats................................. 13 4 Modèle de gestion de production chez EDF 14 4.1 Modélisation................................... 14 4.1.1 Centrales thermiques........................... 14 4.1.2 Centrales hydrauliques.......................... 14 4.1.3 Formulation du problème de gestion de production........... 15 4.2 Résolution du problème et résultats........................ 15 5 Conclusion 17
TABLE DES FIGURES 4 Table des figures 3.1 Évolution de la méthode Held et Karp...................... 9 3.2 Évolution de la méthode de Shor......................... 10 3.3 Évolution du nombre d itération avec la méthode de Held et Karp....... 11 3.4 Évolution du nombre d itération avec la méthode de Shor............ 11 3.5 Évolution du temps CPU avec la méthode de Held et Karp........... 12 3.6 Évolution du temps CPU avec la méthode de shor................ 12
1 Introduction 5 1 Introduction L essentiel des grandes entreprises nationales et internationales possèdent des départements de recherches dont le principal rôle est de rechercher des méthodes permettant de maximiser le rendement de celles-ci et de minimiser les pertes. EDF se pose le problème de la gestion des centrales électriques qui se composent des centrales nucléaires, hydrauliques et les centrales thermiques au charbon et au fuel. Chacune de ces centrales fonctionne différemment et donc impose des contraintes d utilisation différentes et des rendements différents. Le but donc de la recherche au sein d EDF est l optimisation du fonctionnement de l ensemble du système production-consommation. Ces problèmes seront, dans le sujet du projet traité, modélisés par des problèmes convexes de grande dimension possédant des contraintes couplantes. Nous nous baserons dans cette étude sur l algorithme du sous-gradient pour la résolution de ces problèmes. Nous allons dans un premier temps comparer trois algorithmes différents, «la relaxation de Held et Karp», «la série convergente de Shor», et enfin «l algorithme de volume», que nous programmerons en C++ et Ilog Cplex, et que nous appliquerons sur un modèle simpliste pour avoir une idée sur les rendements de chacun d entre eux. Nous appliquerons le meilleur de ces algorithmes au modèle du système production chez EDF. Nous présentons dans la première partie de ce documents la problématique posée par le sujet, nous définirons ensuite l ensemble des algorithmes utilisés, puis nous les comparerons suivant un ensemble de critère et enfin nous appliquerons le meilleur algorithme au problème posé.
2 Problématique 6 2 Problématique On s intéresse à la planification de la production de centrales thermiques à flamme et hydrauliques sur un horizon moyen terme (deux à cinq années). Les centrales nucléaires sont mises de côté. Fonctionnement des centrales Une centrale thermique brûle plusieurs milliers de tonnes par jour d un fossile (charbon, pétrole, gaz) afin de produire de la vapeur d eau qui entraîne des turbo-alternateurs et produit ainsi de l électricité. Leur utilisation doit être limitée à cause du prix important du combustible et de la pollution engendrée. Les centrales hydrauliques quant à elles utilisent l énergie cinétique de l eau contenue dans un reservoir. Elles sont de deux types : Les centrales moyennes et hautes chutes : Elles disposent d un réservoir d eau (des lacs la plupart du temps) que l on peut vider partiellement en ouvrant une vanne. L écoulement de l eau permet alors d actionner un turbo-alternateur qui produit de l électricité. Les centrales à réserve pompée : Dans leur phase productive, elles fonctionnent comme une centrale moyenne/haute chûte. Elles ont cependant la particularité de pouvoir récupérer l eau écoulée dans un réservoir inférieur, et à tout moment de pomper depuis ce réservoir pour pouvoir reconstituer le stock de leur réservoir supérieur. La gestion de production annuelle est cruciale pour assurer l utilisation optimale des ressources hydrauliques. Elle consiste à valoriser l eau disponible dans les barrages, ressource dont la valeur provient de la rareté et à minimiser l utilisation des combustibles fossiles. Le but est de prévoir une utilisation des centrales permettant de réaliser deux objectifs antagonistes : d une part produire assez d électricité pour satisfaire la demande et d autre part minimiser les dépenses liées aux achats de combustibles. Il faut trouver l équilibre entre «produire assez pour satisfaire la demande»et «produire le moins possible afin de réduire les dépenses».
3 Méthodes de résolution 7 3 Méthodes de résolution 3.1 Méthodes de sous-gradient Les méthodes de sous-gradients sont proposées pour maximiser des fonctions concaves (ou minimiser des fonctions convexes) non nécessairement différentiables pour lesquelles il est relativement aisé de déterminer un sous-gradient en un point. La méthode générique initialement étudiée par l école de Kiev dans les années 60 consiste à effectuer des petits pas dans les directions du sous-gradient : Soit h une fonction concave. On définit la suite de points {u k } suivante : u k+1 = u k + λ k g k g k (SG) où g k h(u k ) et λ k > 0. Dans un premier temps, on remarque que la direction g k n est pas toujours une direction de montée pour la fonction concave h. On veut dire par là que, contrairement au cas différentiable, la dérivée directionnelle h (u k ;g k ) peut être négative en certains points où h n est pas différentiable. Dans un second temps, le résultat de convergence pour la suite générée par (SG) a été obtenu par Polyak. En effet, Si on suppose que l ensemble des maxima de h, H, est borné, alors, si la suite des pas λ k associée à l algorithme (SG) satisfait : λ k 0 et λ k + la suite u k converge vers un point de H. Il suffit donc d imposer a priori à la suite λ k la condition ci-dessus, dite de la suite divergente, pour garantir la convergence (par exemple λ k = 1 ). L inconvénient principal est que cette k condition implique une convergence sous-linéaire des itérés vers une solution. En pratique, on implémente l algorithme (SG) avec une suite λ k convergente qui permet d obtenir une convergence linéaire. Cette convergence est d autant meilleure que l angle α, entre le sous-gradient et la direction optimale, est plus petit. 3.2 Méthode de Shor On appelle condition ξ de la fonction h, le cosinus du plus grand angle α (donc le pire des cas) quand u parcourt l espace : < u u,g(u) > ξ = In f u u u. g(u) Plus cette condition est proche de 0, plus la fonction est mal conditionnée et la convergence lente. Pour la série convergente de Shor, le choix le plus courant pour le pas λ k est décrit ci-dessus : Soit d k la distance à l optimum en u k. Le pas optimal correspond à projeter u sur la direction du sous-gradient g k. On a alors d k+1 = d k sinα k, où α k est l angle entre g k et la direction optimale. si on dispose d une estimation ξ de la condition de la fonction h, on peut alors choisir : λ k = λ 0 ρ k (SH) avec λ 0 = d 0 ξ où d 0 est une estimation de la distance initiale à l optimum, ρ = (1 ξ 2 ) 1/2 3.3 Méthode de Held et Karp Dans (Mathematical Programming, vol. 1, 1971), Held et Karp on proposé une relaxation lagrangienne du problème du voyageur de commerce avec une méthode de sous-gradient où le
3.4 Algorithme du volume 8 pas correspond à : h h(u k ) λ k = ω k g k (HK) où 0 < ω k < 2 et h est une estimation par défaut de la valeur optimale h. 3.4 Algorithme du volume Considérons le programme linéaire suivant : minimize cx Ax b (PL 1 ) Dx e x 0 L algorithme du volume est une extension de l algorithme du sous-gradient. En effet, cette méthode produit non seulement une borne inférieure à la solution duale du problème (PL), mais aussi une approximation de la solution primale du programme linéaire (PL). Et afin de simplifier le problème (PL), on élimine certaines contraintes, (par exemple les contraintes Ax b dans le problème (PL)), en utilisant la relaxation lagrangienne. Dans ce cas, on a à résoudre le problème (PL 2 ) suivant : (PL 2 ) minimize L(π) = (cx + πa)x πb Dx e x 0 où π est le multiplicateur de lagrange. Afin de maximiser la fonction L(.), on applique l algorithme du volume décrit ci-dessous : Algorithme du volume : t 1 On ititialise π 0 Résoudre (PL 2 ) avec π = π pour obtenir x = x 0 et z = L( π). Tant que nouvelle itération faire v t = b A x et π = π + sv t où s est donné par : s = λ T z v t 2 π i t max(0;π i ) Résoudre (PL 2 ) avec π = π t pour obtenir x t et z t = L(π t ). x αx t + (1 α) x, où 0 < α < 1. si z t > z alors π π t, z z t t t + 1. 3.5 Exemple d application pour les méthodes du gradient 3.5.1 Exemple de la fonction losange Dans R 2, h(u) = u 1 k u 2 avec k 0. h peut s écrire h(u) = min{u 1 + ku 2,u 1 ku 2, u 1 + ku 2, u 1 ku 2 }.
3.5 Exemple d application pour les méthodes du gradient 9 3.5.2 Comparaison La méthode du sous-gradient sans amélioration converge très lentement vers la solution qui est le vecteur (00) T. On va donc comparer les deux méthodes : la relaxation de Held et Karp et la série convergente de Shor, qui sont évidemment deux méthodes améliorées du sous-gradient. Afin de comparer entre ces deux méthodes, on a choisi trois critères de comparaison, à savoir : L évolution de la méthode, i.e, le calcul de u t u t 1 pendant chaque itération. Ce critère nous donne une idée sur la vitesse de convergence de la méthode. Le nombre d itération pour obtenir la solution en faisant évoluer le coefficient de la fonction losange k. Ce critère nous donne une idée sur la robustesse de la méthode. Et enfin, le temps CPU mis pour obtenir la solution en faisant évoluer le coefficient de la fonction losange k. 3.5.3 Résultats La relaxation de Held et Karp contient un paramètre ω, dit paramètre de relaxation, qui est compris entre 0 et 2. On a donc testé l algorithme sur la fonction losange en choisissant trois paramètres ω distincts : 2.5 Convergence de la methode Held et Karp (k=50) 0<Omega<1 Omega=1 1<Omega<2 2 Critere de convergence 1.5 1 0.5 0 0 5000 10000 15000 20000 25000 Iterations FIG. 3.1 Évolution de la méthode Held et Karp Comme indiqué sur la figure Fig. 3.1, on a trois plages pour ω : un graphe pour lequel 0 < ω < 1, un autre pour ω = 1 et un dernier pour 1 < ω < 2. Le coefficient de la fonction losange k a été pris égal à 50. On voit bien que quand le paramètre ω augmente, la méthode de Held et Karp converge plus rapidement vers la solution optimale. En ce qui concerne la méthode de Shor, on prend le coefficient de la fonction losange égal à 50, et on obtient la figure Fig. 3.2. Sur cette figure, on remarque que l évolution de la méthode de Shor est assez différente de celle de la méthode de Held et Karp. Toutefois, elle converge plus rapidement vers la solutions optimale.
3.6 Exemple d application pour l algorithme du volume 10 3 Convergence de la methode de Shor (k=50) 2.5 Critere de convergence 2 1.5 1 0.5 0 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 Iteration FIG. 3.2 Évolution de la méthode de Shor Regardons maintenant ce que donne le graphe représentant le nombre d itérations pour obtenir la solution en faisant évoluer le coefficient de la fonction losange de 0 à 100. Avec la méthode de Held et Karp (Fig. 3.3), le nombre d itérations diminue quand ω augmente, sauf pour 1 < ω < 2, dont la courbe est très instable. Avec la méthode de Shor (Fig. 3.4), le nombre d itérations augmente presque linéairement avec le coefficient k de la fonction losange, ce qui montre une certaine stabilité de la méthode. En outre, le nombre d itérations avec la méthode de Shor ne dépasse pas les 4000, alors qu avec la méthode de Held et Karp, le nombre d itérations les dépasse largement. Enfin, regardons ce que donnent les graphes représentant le temps CPU mis pour obtenir la solution optimale, en faisant évoluer le coefficient k de la fonction losange de 0 à 100. En ce qui concerne la méthode de Held et Karp (Fig. 3.5), on obtient des courbes similaires à celles représentant l évolution du nombre d itérations. En effet, on a un temps CPU qui augmente quand ω diminue sauf pour 1 < ω < 2 qui est assez instable. Et pour la méthode de Shor (Fig. 3.6), on obtient une courbe sous forme de zigzag. Toutefois, il faut souligner que le temps CPU avec cette méthode ne dépasse pas les 0.02s, alors qu avec la méthode de Held et Karp, on arrive vers les 2s. Conclusion, la méthode de Shor est plus robuste, et plus stable que la méthode de Held et Karp. On pourrait cependant jouer sur le paramètre ω de la méthode de Held et Karp afin d améliorer ses performances, mais on risque de privilégier un critère d optimisation sur un autre. 3.6 Exemple d application pour l algorithme du volume 3.6.1 Exemple d un problème d optimisation avec contraintes linéaires Considérons le programme linéaire suivant :
3.6 Exemple d application pour l algorithme du volume 11 1.4e+06 1.2e+06 Evolution du nombre d iterations pour chaque fonction avec la methode Held et Karp 0<Omega<1 Omega=1 1<Omega<2 1e+06 Nombre d iterations 800000 600000 400000 200000 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Coefficient de la fonction losange FIG. 3.3 Évolution du nombre d itération avec la méthode de Held et Karp 4500 Evolution du nombre d iterations pour chaque fonction losange avec la methode de Shor 4000 3500 3000 Nombre d iterations 2500 2000 1500 1000 500 0 0 20 40 60 80 100 coefficient de la fonction losange k FIG. 3.4 Évolution du nombre d itération avec la méthode de Shor
3.6 Exemple d application pour l algorithme du volume 12 1.8 1.6 Temps d execution de la fonction losange avec la methode Held et Karp pour k entre 0 et 100 0<Omega<1 Omega=1 1<Omega<2 1.4 1.2 Temps d execution 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Coefficient de la fonction losange k FIG. 3.5 Évolution du temps CPU avec la méthode de Held et Karp 0.02 Temps d execution de la fonction losange avec la methode de Shor pour k entre 0 et 100 0.015 Temps d execution 0.01 0.005 0 0 20 40 60 80 100 coefficient de la fonction losange k FIG. 3.6 Évolution du temps CPU avec la méthode de shor
3.6 Exemple d application pour l algorithme du volume 13 (PL 1 ) minimize z = x 1 x 2 2y 1 y 2 x 1 + 2x 2 + 2y 1 + y 2 40 x 1 + 3x 2 30 2x 1 + x 2 20 y 1 10 y 2 10 y 1 + y 2 15 x 0 y 0 Comme la première contrainte est couplée avec les deux variables x = (x 1 x 2 ) T et y = (y 1 y 2 ) T, on va donc la relaxer. Le problème à optimiser devient donc : (PL 2 ) minimize L(π) = (cx + πa)x πb x 1 + 3x 2 30 2x 1 + x 2 20 y 1 10 y 2 10 y 1 + y 2 15 x 0 y 0 où π est le multiplicateur de lagrange, c = ( 1 1 2 1), A = (1,2,2,1), b = 40, et x = (x 1,x 2,y 1,y 2 ) T. On applique alors au (PL 2 ) l algorithme du volume. 3.6.2 Résultats La difficulté principale de l agorithme du volume est la calibration du paramètre α. En effet, pour qu on obtienne la solution optimale, qui est dans ce cas, les vecteurs x = ( 25 3, 8 3 ) et y = (10,5), α devra tendre vers 0 à la fin des itérations. Toutefois, si α tend rapidement vers 0, la convergence vers la solution optimale risque d être très lente, voire impossible, et si α tend lentement vers 0, la convergence risque aussi de ne pas avoir lieu. Il est donc indispensable de bien calibrer ce paramètre. Aussi, la condition d arrêt de l algorithme est indispensable et doit donc être bien choisie, car c est elle qui déterminera si l algorithme a bien convergé vers la bonne solution ou, dans le cas échéant, n a pas convergé. Dans ce problème, après beaucoup de calibrage, on a choisit au départ α = 1, et dans l algorithme du volume, on a inclut la condition suivante 2 : si α k > 10 3 alors α k+1 = αk 5 Ensuite, on a choisit deux conditions d arrêt qui doivent être vérifiées simultanément, à savoir : Tant que v t < 5.10 3 et z t z < 10 6 faire tourner l algorithme du volume. z t Après 70 itérations, notre algorithme a bien convergé vers la bonne solution, à savoir, x = (8.3334,3.6664), y = (10,5) et π = 1 3.
4 Modèle de gestion de production chez EDF 14 Et afin de bien tester la robustesse de l algorithme du volume, on va donc le tester sur un grand problème de planification de chez EDF. 4 Modèle de gestion de production chez EDF 4.1 Modélisation Les aspects géographiques sont mis de côté : on considère que l électricité peut être dispatchée sur tout le territoire sans perte. On discrétise l horizon moyen terme en T périodes de durée δ 1,...,δ T et on suppose connue la demande en électricité D 1,...,D T sur chacune de ces périodes. 4.1.1 Centrales thermiques Les centrales thermiques sont indexées dans l ensemble N th. Leur fonctionnement est le suivant : Pendant la période t {1,...,T }, fournit une puissance électrique p i,t, exprimée en MW, qui doit être comprise entre Pi,t min et Pi,t max. Son coût de fonctionnement par unité d énergie produite est noté c i (exprimé en e/mwh). Sur la période t, elle coûte donc c i δ t p i,t. L ensemble réalisable pour la production de la centrale i N th est : ξ i = {p i R T /P min i,t p i,t P max i,t } (1) Dans ce qui suit, on note : δ = (δ t=1,...,δ t=t ) T,D = (D t=1,...,d t=t ) T, p i = (p i,t=1,..., p i,t=t ) T etp min/max i = (P min/max i,t=1,...,p min/max i,t=t ) T i = 1,...,N th. 4.1.2 Centrales hydrauliques Une centrale hydraulique ne coûte rien. Sa production est limitée et son rôle est de gérer une réserve de façon à couvrir les périodes de pointes. Elles sont indexées dans l ensemble N hy et suivent les règles suivantes : À la fin de la période t {1,...,T }, la centrale j N hy possède un niveau de réserve en eau s i, j qui doit être inférieurà la valeur maximale S max j. On considère une réserve d eau comme une réserve d énergie et on exprime par conséquent le stock en MWh plutôt qu en litre. Le stock initial est noté s j,0. Cette réserve est approvisionnée au début de chaque période t avec la quantité a i, j correspondant aux apports naturels (précipitations, fonte des neiges) exprimée aussi en MWh. Pendant la période t, la centrale j fournit une puissance p + j,t inférieure à la puissance limite P max+ j,t. Le stock diminue alors de la quantité δ t p + j,t. Une centrale à réserve pompée peut aussi consommer une puissance p j,t Pmax j,t pour augmenter son stock de la quantité ρδ t p j,t où ρ est un coefficient de rendement compris entre 0 et 1. On prendra P max j = 0, pour les centrales classiques. Les vecteurs p j et p + j sont en fait les parties négatives et positives d un même vecteur p j correspond à la production en valeur absolue. La composante p j,t est positive en cas de production effective et négative en cas de pompage.
4.2 Résolution du problème et résultats 15 P max j Les vecteurs p + j, p j et s j sont soumis à des contraintes de boîtes 0 p + P max+ j et0 s S max j. La loi de conservation des réserves s écrit :,0 p s j,t s j,t 1 + a j,t + ρδ t p j,t δ t p + j,t (2) pour t = 1,...,T. Si le second membre, qui correspond à la réserve à la fin de la période t 1, est supérieur à la limite S max j, alors le surplus sera déversé et on aura s j,t = S max j. Dans le cas contraire, on aura toujours l égalité. Pour résumer, l ensemble de réalisabilité de la production de la centrale hydraulique j N hy s écrit : avec p R T, p = p + p, s R T ξ j = 1 (0) 1 1 B =...... et a = (0) 1 1 4.1.3 Formulation du problème de gestion de production 0 p + P max+ j 0 p P max j 0 s S max j Bs + p + ρp a s 0 + a 1 a 2 Le problème de minimisation des coûts de production sous la contrainte de satisfaire la demande s écrit comme le programme linéaire : Minimiser (GP1) 4.2 Résolution du problème et résultats. a T c i δ T p i i N th p i = D i N th N hy p i ξ i Ce modèle de planification de EDF a été implémenté avec l algorithme du volume, puisqu il est le seul qui a pu nous donner un résultat. Avec l algorithme de Held et Karp, (en prenant α = 1 dans l algorithme du volume), la solution obtenue n est pas optimale, et il semble que l algorithme stagne sur cette valeur. Dans l algorithme du volume, et après beaucoup de tâtonnement, on a choisit pour valeur initiale de α = 1 2, et pour chaque dix itérations et tant que α est supérieur à 10 3 on divise α par 2. Pour λ le coefficient de s, on l initialise à 1 et on le divise par 10 pour chaque 10 itérations. Quant à la valeur maximale de la solution UB, on l initialise à une certaine valeur assez grande, et au cours des itérations, si z 0.95UB alors, UB = 1.1 z. Sinon, pour les conditions d arrêt, l algorithme du volume tourne tant que v t < 10 1 et z t z z t < 10 6. Avec ce calibrage, on a remarqué que l algorithme du volume converge lentement vers la solution optimale. Toutefois, on n a pas réussi à le faire converger totalement vu le quota.
4.2 Résolution du problème et résultats 16 imposé sur le temps CPU. En effet, en une heure et demi, et après 1545 itérations, l algorithme se termine, sans pour autant converger totalement, et on trouve pour solution optimale z = 1,4125.10 9.
5 Conclusion 17 5 Conclusion Dans ce projet, on a pu comparer différentes versions ou améliorations de l algorithme du sous-gradient, à savoir, la relaxation de Shor, la méthode de Held et Karp et enfin l algorithme du volume. Sur un exemple simpliste, on a pu tester les deux premières améliorations de l algorithme du sous-gradient, et on les a comparé selon différents critères : le temps CPU, le nombre d itérations, et la vitesse de convergence de la méthode. Un autre exemple a été testé sur l algorithme du volume, et les résultats étaient très satisfaisants puisque l algorithme du volume fait le couplage entre l algorithme de Held et Karp et celui du sous-gradient, à un constant multiplicatif près. Toutefois, l algorithme du volume présente quelques difficultés, à savoir le calibrage des différents paramètres qui entrent en jeu dans l algorithme : Le coefficient α doit converger vers 0, mais il ne doit pas le faire rapidement pour que l algorithme ne bloque pas sur une solution non optimale, et il ne doit pas le faire lentement afin que l algorithme converge assez rapidement vers la solution optimale. Le coefficient ω dans le calcul de s doit aussi tendre vers 0 après plusieurs itérations afin que l algorithme converge assez rapidement vers la solution optimale. Enfin, il faut faire évoluer la borne maximale de la solution optimale afin que l algorithme ne bloque pas sur une solution non optimale. En somme, il faut faire un compromis entre la vitesse de convergence des différents paramètres de l algorithme du volume, et celle de l algorithme proprement dit.