Travaux pratiques en classe de Seconde

ANNÉE SCOLAIRE 2010-2011 Travaux pratiques en classe de Seconde DIDIER PIHOUÉ

Table des matières TP n 1 : Conjecture et preuve..................................... 2 TP n 2 : Équations de droites..................................... 4 TP n 3 : Introduction à l algorithmique............................... 6 TP n 4 : Algorithmique, suite!..................................... 8

TP n 1 : Conjecture et preuve Dans la figure ci-contre, ODEF et OABC sont deux carrés construits dans un repère d origine O. On a de plus A(0;1), C( 1;0) et D(a;0) où a est un nombre strictement positif. Il s agit d établir une conjecture non triviale liant les deux droites d 1 et d 2 à l aide d un logiciel de géométrie dynamique puis de la prouver. Partie 1 : réaliser la figure avec GeoGebra Créer un curseur a variant de 0 à 10 ; Dans la fenêtre de saisie, créer le point O par la commande «O=(0,0)». Procéder de la même manière pour créer les points A, C et D puis E, F et B. Construire alors les deux carrés par l icône Polygone en pointant les quatre sommets successivement. Construire la droite d 1 par la commande «d 1 : Droite[C,F]» puis la droite d 2 de la même manière. Appeler l enseignant pour valider la construction. Partie 2 : établir une conjecture Déplacer le curseur a pour renforcer vos observations. Avec un clic droit sur le curseur, choisir Animer. Trouver l icône Relation entre deux objets puis sélectionner d 1 et d 2. Rédiger la conjecture. Appeler l enseignant pour valider la conjecture. Partie 3 : chercher une preuve Quelques repères pour engager cette démonstration : Compléter la figure si nécessaire ; Mobiliser des propriétés du carré ; Penser aussi aux droites remarquables d un triangle. Appeler l enseignant pour valider les étapes. Partie 4 : rédiger la démonstration à deux et la rendre mardi 14 septembre. Partie 5 : explorer plus avant la situation. Appeler l enseignant pour valider les conjectures.

Éléments pour l enseignant Partie 4 COAD est un carré, donc COA est un triangle rectangle isocèle en O d où OCA = 45. De la même manière, DOE est un triangle rectangle isocèle en D et DOE = 45. Comme les points D, O et C sont alignés, on en déduit que (CA) (OE). Les diagonales d un carré se coupent perpendiculairement en leur milieu, d où (DF) (OE) dans le carré ODEF. Comme (CA) (OE) et (DF) (OE) on en déduit que (CA) (DF). Par ailleurs, on a aussi (FO) (OD) puisque FODE est un carré. Ainsi, dans le triangle CFD, (FO) est la hauteur issue de F et (CA) est la hauteur issue de C puisque (CA) (DF). Or A (FO) et donc A est l orthocentre de CFD puisqu il est le point d intersection de deux hauteurs. On en conclut que (DA) est la troisième hauteur d où d 2 = (DA) (CF)=d 1.

TP n 2 : Équations de droites On a vu en cours qu une droite non parallèle à l axe des ordonnées avait une équation y = mx+ p dans un repère (O, I, J). Ce TP a pour objectif de parvenir à une interprétation graphique des nombres m et p. Partie 1 : avec le logiciel GeoGebra Créer les curseurs m et p variant entre 5 et 5 avec un pas de 1. Créer la droite d d équation y = mx + p par la commande d:y=m*x+p. Créer le point P(0; p) par la commande P=(0,p). Questions 1. Le nombre m étant fixe, faire varier p. Écrire les conjectures. 2. Le nombre p étant fixe, faire varier m,. Écrire les conjectures. Appeler l enseignant pour valider les conjectures. Créer le point A(1;m+ p) par la commande A=(1,m+p). Créer le curseur t variant de 5 à 5 avec un pas de 1. Créer le point B(t; mt + p) par la commande B=(t,m*t+p). Questions 3. Faire varier t. Où sont situés les points A et B? Le démontrer. 4. Pour m et p fixés, calculer le quotient y B y A x B x A pour différentes valeurs de t. Écrire la conjecture. Partie 2 : des exercices avec Wims. Appeler l enseignant pour valider les preuves et la conjecture. Avec le navigateur Firefox, aller à la page : puis cliquer sur le lien WIMS : accueil 2nde 4. http ://www.netvibes.com/dpihoue#classes Le login est le même que celui du lycée mais écrit en majuscules et le mot de passe par défaut est SD04. A changer lors de la première connexion.

Éléments pour l enseignant

TP n 3 : Introduction à l algorithmique Au collège et même avant, vous avez déjà appliqué des algorithmes comme par exemple, pour calculer le PGCD de deux nombres entiers naturels. 1. Calculer le PGCD de 8 136 et de 492. Ecrire une phrase décrivant cet algorithme. 2. Ecrire la série des instructions à exécuter pour calculer le PGCD de deux entiers naturels n et m quelconques. Appeler l enseignant pour valider le résultat. 3. Tester «à la main» l algorithme «mystère» ci-dessous à gauche. Que fait-il? algorithme «mystère» Variable programme Xcas S,n :entiers naturels boucle ( ) : = { Début l o c a l S, n ; S 1 n 1 S : = 1 ; n: = 1 ; TantQue S < 1 000 000 Faire tantque S<1000000 f a i r e n n+ 1 S S+ n FinTantQue Afficher n Fin n: =n+1; S := S+n ; ftantque return n } : ; Appeler l enseignant pour valider le résultat. 4. L exécution d algorithmes par une machine suppose un langage de programmation dans lequel on traduit l algorithme. Nous allons utiliser ici Xcas en ligne en se rendant à l adresse : http ://www.netvibes.com/dpihoue#classes Cliquer sur pour saisir le programme écrit ci-dessus à droite. L exécuter dans la fenêtre située au-dessus par la commande boucle(). Interpréter la réponse. Appeler l enseignant pour valider le résultat. 5. Problème : Charlotte essaie de faire des économies car elle n a plus d argent dans sa tirelire. La première semaine elle met 1 dans sa tirelire et elle décide de mettre chaque semaine 1 de plus que ce qu elle a mis la semaine précédente. Charlotte se demande combien de semaines il lui faudra patienter et économiser pour avoir au moins 220 dans sa tirelire. Que faut-il modifier dans l algorithme «mystère» pour résoudre le problème de Charlotte? Modifier le programme Xcas associé afin d obtenir la réponse. Appeler l enseignant pour valider le résultat. 6. Ecrire maintenant l algorithme du calcul du pgcd de deux nombres entiers naturels n et m puis le traduire en langage Xcas. Vérifier le programme avec l exemple initial. Appeler l enseignant pour valider le résultat.

Éléments pour l enseignant 1. On écrit les divisions euclidiennes successives et on trouve 12. L objectif est d amener les élèves à englober les actions successives en une seule procédure. 2. On clarifie la phase précédente sans pour autant introduire un langage codé. On attend ici un langage naturel. 3. On passe à un exemple d algorithme en langage codé avec une boucle tant que comme dans l algorithme du PGCD. 4. On fait le choix de fournir un premier exemple de programme. Xcas propose une programmation proche de l écriture algorithmique dans cet exemple. Pour autant, l interprétation du résultat ne va pas nécessairement de soit. On trouve n= 1 414. On pourra faire saisir la commande somme(k,k,1,1413);somme(k,k,1,1414) après avoir expliquer sa syntaxe, pour conforter l analyse de l algorithme. On remarquera aussi que cet algorithme permet de résoudre une inéquation non résoluble autrement. 5. Il faut remplacer 1 000 000 par 220 et par<. On trouve n= 21 semaines et S = 231. 6. On obtient par exemple : algorithme PGCD Variable n,m,r :entiers naturels Début r reste de la division de n par m TantQue r 0 Faire n m m r r reste de la division de n par m FinTantQue Afficher m Fin programme Xcas PGCD(n,m) : = { l o c a l r ; r :=n f l o o r (n/m) *m; tantque r!=0 f a i r e n:=m; m:= r ; r :=n f l o o r (n/m) * m; ftantque return "Le PGCD vaut : "+m; } : ; Bien entendu il faut guider les élèves pour le calcul du reste de la division euclidienne. A noter que la commande saisir n est pas disponible avec la version en ligne de Xcas ; il faut donc passer n et m en arguments du programme par PGCD(n,m) en les supprimant des variables locales et en éliminant les deux commandes saisir qui résulteraient de la traduction littérale de l algorithme. En prolongement il peut être envisager de stocker les résultats intermédiaires dans des listes pour reconstituer les divisions successives.

TP n 4 : Algorithmique, suite! Consignes Commencer par repérer les variables en les nommant et les décrivant, écrire ensuite sur papier un algorithme répondant au problème. Appeler alors l enseignant pour valider l algorithme. Passer seulement ensuite à la programmation avec Xcas. PROBLÈME 1 Le but de ce problème est de déterminer un algorithme qui, à partir d un nombre d allumettes donné, calcule le nombre d étages complets et le nombre d allumettes utilisées pour réaliser la construction ci-dessous en partant du haut et en la poursuivant vers le bas au maximum et selon les mêmes principes. Pensez à bien identifier les variables à introduire et écrivez l algorithme avant de le traduire en langage Xcas. Combien peut-on réaliser d étages avec 150 allumettes? 10 440? 20 372? PROBLÈME 2 Le but de ce problème est de déterminer un algorithme qui calcule le nombre de segments reliant n points distincts et non alignés 3 par 3. Pour vous aider, réaliser un dessin puis compléter le tableau ci-dessous : nombre de points 2 3 4 5 6 7 8 nombre de segments 1 Combien de segments relient 150 points ainsi disposés? 1 234?

Éléments pour l enseignant Il s agit de faire manipuler des variables par les élèves dont certaines sont cachées dans l énoncé et ne surviennent que par une recherche papier-crayon. On prend appui sur l algorithmique pour travailler cette dimension fondamentale de la notion de fonction. PROBLÈME 1 Il y a un paramètre N pour le nombre d allumettes disponibles, et trois variables n, k et r pour compter le nombre d étages, d allumettes par étage et d allumettes restantes pour éventuellement poursuivre la construction. Il y a trois formules liant les variables n = n+ 1 et k = k+ 4 qui sont directes et r = r k qui est croisée. Une des difficultés est d isoler la variable k dans le problème. Une autre est de ne pas prendre une nouvelle variable à chaque fois pour affecter le résultat d un calcul. Enfin, il faudra passer d un raisonnement sur les allumettes utilisées à la prise en compte des allumettes restantes mais pour cela il faut bien remarquer le risque de dépassement du nombre d allumettes disponibles. Cela peut être traité dans un second temps. Souvent les élèves introduisent un nombre plus important de variables et se perdent alors dans les mises à jour. Il faut alors leur proposer de bien passer en revue les variables introduites et de dire précisément à quoi elles correspondent. On peut ensuite passer à une ré-écriture de l algorithme avec une simplification à la clef et une meilleure compréhension des processus et de l usage des variables en algorithmique. On écrit l algorithme et le programme Xcas correspondant : algorithme allumettes Procédure allumettes( N:entier ) Variable n,k,r :entiers Début n 0 k 3 r N TantQue k r Faire n n+ 1 r r k k k+ 4 FinTantQue Afficher n, N r, r Fin programme Xcas allumettes (N) : = { l o c a l n, k, r ; n: = 0 ; k : = 3 ; r :=N; tantque k<=r f a i r e n: =n+1; r := r k ; k := k+4; ftantque return n,n r, r } : ; PROBLÈME 2 Avec un dessin, on complète le tableau :

nombre de points 2 3 4 5 6 7 8 nombre de segments 1 3 6 10 15 21 28 avec lequel on repère la quantité à ajouter à chaque étape. On peut justifier le résultat en notant qu un point ajouté peut être relié à chacun des points précédemment présent, d où l on déduit un algorithme après avoir à nouveau bien organisé les variables. Il y a un paramètre N qui est le nombre de points disponibles et deux variables s et n pour calculer le nombre de segments et parcourir les points disponibles 1 à 1. Cette fois, on connaît à l avance le nombre d étapes à réaliser, ce qui conduit à choisir une boucle pour qui permettra aussi de traiter le cas de moins de 2 points. Cela peut à nouveau être vu dans un second temps après avoir conçu un algorithme pour N 2. algorithme segments Procédure segments( N:entier ) Variable n,s :entiers Début s 0 programme Xcas segments (N) : = { l o c a l n, s ; s : = 0 ; pour n de 2 jusque N f a i r e s := s +(n 1); Pour n variantde 2 à N Faire fpour s s+ (n 1) return s FinPour Afficher s } : ; Fin A noter qu avec un tant que cet algorithme est très proche de l algorithme mystère. Pour 150 points on trouve 11 175 segments et pour 1 234 points on en obtient 760 761.