Chapitre 24 Application des premier et second principes à la conversion d énergie Les machines thermiques Table des matières 1 La thermodynamique, la science des machines 3 1.1 Naissance de la thermodynamique.............................. 3 1.2 Convertir de l énergie : la machine.............................. 3 1.3 Fournir du travail ou fournir de la chaleur : le moteur et le récepteur thermique...... 3 2 Bilans énergétiques et entropiques d une machine thermique 3 2.1 De l impossibilité d un moteur monotherme......................... 3 2.2 Bilans énergétique et entropique d une machine ditherme.................. 4 2.3 Le diagramme de Raveau : les différents types de fonctionnement de la machine ditherme 4 2.4 Le moteur thermique ditherme : fonction et rendement................... 4 2.5 Le récepteur thermique ditherme : fonction et efficacité.................. 5 3 Quelques exemples de machines thermiques 6 3.1 Le moteur ditherme idéal : le cycle de Carnot........................ 6 3.2 Un moteur ditherme réel : le moteur à explosion et le cycle de Beau de Rochas...... 8
Les prérequis du lycée Énergie interne Les prérequis de la prépa Système thermochimique, système ouvert, fermé, isolé Énergie cinétique, énergie potentielle Interactions de Van der Waals Énergie interne, capacité thermique. Corps pur diphasé, diagramme PT, diagramme de Clapeyron Premier principe Enthalpie ; enthalpie de changement de phase. Second principe, entropie échangée, entropie créée. 2/16 21 avril 2016
1 La thermodynamique, la science des machines 1.1 Naissance de la thermodynamique (Prise de notes) 1.2 Convertir de l énergie : la machine Définition : Une machine est un système permettant la conversion d énergie. Définition : Une machine thermique permet de convertir un travail en transfert thermique ou inversement. C est un système dans lequel un fluide, appelé agent thermique ou fluide caloporteur, subit une transformation cyclique, ce qui permet une conversion d énergie. (Prise de notes) 1.3 Fournir du travail ou fournir de la chaleur : le moteur et le récepteur thermique Définition : Un moteur thermique est une machine qui fournit globalement, c est-à-dire sur un cycle complet, du travail au milieu extérieur. Moteur thermique W cycle < 0 Définition : Un récepteur thermique est une machine qui consomme globalement, c est-à-dire sur un cycle complet, du travail du milieu extérieur. Il fournira, en échange, de la chaleur. Recepteur thermique W cycle > 0 2 Bilans énergétiques et entropiques d une machine thermique 2.1 De l impossibilité d un moteur monotherme (Démo à savoir refaire) 3/16 21 avril 2016
Énoncé historique du second principe par Kelvin Un système fonctionnant décrivant un cycle monotherme ne peut que recevoir du travail et fournir du transfert thermique. machine monotherme W 0 et Q 0 2.2 Bilans énergétique et entropique d une machine ditherme (Démo à savoir refaire par coeur) 2.3 Le diagramme de Raveau : les différents types de fonctionnement de la machine ditherme (Prise de notes) 2.4 Le moteur thermique ditherme : fonction et rendement Principe de Carnot (1824) Pour qu un système décrive un cycle moteur, il doit nécessairement échanger de l énergie thermique avec au moins deux sources à des températures différentes, en prélevant de l énergie à la source chaude et en la restituant à la source froide. 4/16 21 avril 2016
Définition : On définit un rendement (ou une efficacité) comme étant le rapport de la quantité utile sur la quantité qui nous coûte η = quantité utile quantité coûteuse Définition : Le rendement d un moteur thermique est le rapport du travail utile W, fournit au milieu extérieur, sur le transfert thermique Q c prélevé à la source chaude. (Démo à savoir refaire par coeur) η = W Q c Théorème de Carnot Le rendement d un moteur thermique ditherme est inférieur à une valeur limite, appelée rendement de Carnot, fonction de la température des deux sources η 1 T f T c. Le rendement de Carnot est obtenu pour le cas limite du cycle moteur réversible. (Prise de notes) 2.5 Le récepteur thermique ditherme : fonction et efficacité (Prise de notes) 5/16 21 avril 2016
Définition : On définit toujours le rendement, appelée efficacité dans le cas des récepteurs, ou coefficient de performance (COP) dans le cas des pompes à chaleur, comme étant le rapport de la quantité utile sur la quantité coûteuse e = tansfert thermique utile travail fournit (Démo à savoir refaire par coeur) L efficacité d un récepteur thermique ditherme est inférieure à une valeur limite, appelée efficacité de Carnot, fonction de la température des deux sources e frigo T f T c T f e PAC T c T c T f. L efficacité de Carnot est obtenue pour le cas limite du cycle récepteur réversible. (Prise de notes) Application 1 : Fonctionnement d un réfrigérateur On considère le fluide caloporteur d un réfrigérateur qui reçoit un travail W et un transfert thermique Q 1 de la part de la source froide (l intérieur du réfrigérateur) à la température T 1. Il cède la chaleur Q 2 à la source chaude (la cuisine) à la température T 2. 1 Faire un schéma où vous représenterez les sources et les échanges d énergie. 2 Calculer l efficacité dans le cas où le cycle est réversible. ( ) Q2 3 Calculer l efficacité réelle sachant que = k Q 1 réel ( Q2 4 En déduire la consommation électrique du réfrigérateur, sachant que le rendement du compresseur est ρ = W W elec 5 Application numérique : T 1 = 4 C, T 2 = 19 C, k = 15 Q 1 ). rev 3 Quelques exemples de machines thermiques 3.1 Le moteur ditherme idéal : le cycle de Carnot (Prise de notes) Cas d un gaz parfait Diagramme de Clapeyron (P, v) Diagramme entropique (T, s) 6/16 21 avril 2016
Isotherme P v = RT P = RT 1 v C est une hyperbole Isentropique P v γ = cste P = cste 1 v γ C est une courbe plus raide qu une hyperbole Isotherme C est une horizontal Isentropique C est une verticale or comme W + Q = 0, les aires sont égales Cas d un corps pur diphasé Diagramme de Clapeyron (P, v) Diagramme entropique (T, s) Isotherme C est isotherme d Andrews Isentropique C est une isentropique Isotherme C est une horizontal Isentropique C est une verticale or comme W + Q = 0, les aires sont égales 7/16 21 avril 2016
Conclusion : Cycle de Carnot 1. Compression isentropique (adiabatique réversible) 2. Chauffage isotherme 3. Détente isentropique 4. Refroidissement isotherme η Carnot = 1 T f T c 3.2 Un moteur ditherme réel : le moteur à explosion et le cycle de Beau de Rochas L inconvénient majeur du cycle de Carnot est que le cycle doit être très lent pour se rapprocher de la réversibilité. L amélioration du rendement se fait au détriment de la puissance. De plus il est très difficile à réaliser techniquement. Une solution, proposé par Beau de Rochas, en 1862, est de remplacer les isothermes par deux isochores : une combustion interne rapide et isochore ; un refroidissement rapide et isochore (par évacuation des gaz) Une solution technique pour se rapprocher du cycle de Beau de Rochas est le moteur à explosion dit quatre temps. Description du cycle réel du moteur quatre temps : Admission : Le cycle commence au point mort haut (A), quand le piston est à son point le plus élevé. Pendant le premier temps le piston descend jusqu à son point le plus bas (B). C est l admission, un mélange d air et de carburant venant du carburateur ou de l injection est aspiré dans le cylindre via la soupape d admission. Compression : La soupape d admission se referme, le piston remonte comprimant le mélange admis. Combustion-Détente : Le mélange aircarburant est alors enflammé, habituellement par une bougie d allumage, aux environs du deuxième point mort haut (remontée complète du piston (C)). La pression des gaz portés à haute température produit une explosion lors de la combustion et force le piston à descendre pour le troisième temps (combustion-détente (CDE)). Ce mouvement est le seul temps moteur (produisant de l énergie directement utilisable). Échappement : Lors du quatrième et dernier temps la soupape d échappement s ouvre (E) pour évacuer les gaz brulés poussés par la remontée du piston (A). 8/16 21 avril 2016
Modélisation : On considerera Que le cycle AB BA est sans hystérésis : on ne le comptabilisera pas. On considérera comme système le mélange inclus dans le cylindre entre la fermeture de la soupape d admission et l ouverture de la soupape d échappement. On considerera que, malgré la combustion (et donc la réaction chimique), la composition du mélange ne varie pas : l essence vaporisée et les gaz résultants de la combustion sont négligeables devant la quantité d air introduite dans le piston. Bref, la quantité de matière sera considérée comme constante au cours du cycle. On modélisera le mélange par un gaz parfait. Le cycle est alors modélisé par un cycle de Beau de Rochas BC : Compression rapide, modélisée par une adiabatique réversible ; CD : Transformation isochore : l énergie libérée par la combustion est modélisé par le transfert thermique Q c reçu de la part d une source chaude à T c ; DE Détente rapide, modélisée par une adiabatique réversible ; EB L ouverture de la soupape se traduit par une chute brutale, isochore, de la pression. Calcul du rendement théorique du moteur à explosion (Exercice classique à savoir refaire) 9/16 21 avril 2016
Le programme : ce qu il faut savoir faire Notions et contenus 5. Machines thermiques. Application du premier principe et du deuxième principe aux machines thermiques cycliques dithermes : rendement, efficacité, théorème de Carnot. Capacités exigibles Donner le sens des échanges énergétiques pour un moteur ou un récepteur thermique ditherme (Paragraphes 2.2, 2.3, 2.4, 2.5 ; application 1 et 2 ; exercices 1,3,5,6). Analyser un dispositif concret et le modéliser par une machine cyclique ditherme (Paragraphe 3.2 ; exercices 2,4). Définir un rendement ou une efficacité et la relier aux énergies échangées au cours d un cycle. Justifier et utiliser le théorème de Carnot (Paragraphes 2.4, 2.5 ; application 1 et 2 ; exercices 1,3,4,6). Citer quelques ordres de grandeur des rendements des machines thermiques réelles actuelles (Paragraphes 2.4, 2.5, 3.2 ; exercices 2,4). 10/16 21 avril 2016
TD n 24 - Machine thermique Exercice 1 : Couplage moteur-climatiseur On souhaite réguler la température d un bungalow (c est-à-dire la maintenir constante) à T 2 = 293 K en utilisant le site où on se trouve : air extérieur chaud à T 1 = 310 K (c est les tropiques!) et eau froide d un lac T 3 = 285 K. On utilise à cet effet un moteur ditherme supposé réversible fonctionnant entre l air et le lac, fournissant l énergie nécessaire à une pompe à chaleur réversible fonctionnant entre le bungalow et le lac. 1 En notant Q 1 le transfert thermique reçu par le moteur de la part de l air extérieur, et Q 2 le transfert thermique reçu par le bungalow, déterminer l efficacité thermique du dispositif e = Q 2 Q 1. Solutions : 1) e = T ( ) 2 T1 T 3. T 1 T 1 T 2 Exercice 2 : Moteur Diesel Ce moteur, inventé par Rudolf Diesel en 1893, est un moteur à quatre temps 1 er temps : admission Cette phase est semblable à celle du moteur à essence, mais seul de l air est aspiré. 2ème temps : compression Cette phase est identique à celle du moteur à essence, les soupapes sont fermées. 3ème temps : combustion-détente Le combustible (en général du gazole, moins raffiné que l essence) est injecté sous pression en haut du cylindre. À la température élevée de l air comprimé, l inflammation se produit spontanément (absence de bougie). La combustion progressive produit des gaz qui repoussent le piston ; quand la combustion s arrête, les gaz se détendent. Ce temps constitue la phase motrice. 4ème temps : échappement Cette phase est identique à celle du moteur à essence. On adopte le modèle du moteur Diesel suivant : une même quantité d un gaz supposé parfait de coefficient de Laplace constant γ = 1, 4 décrit de manière supposé réversible un cycle d Otto ABCD. Les évolutions AB et CD sont adiabatiques. L évolution BC modélise la phase de combustion, provoquée par l inflammation spontanée du mélange, par une évolution isobare au cours de laquelle le gaz reçoit un transfert thermique Q c en provenance d une source chaude fictive de température T c. L évolution DA est modélisée par une évolution isochore au contact de l atmosphère jouant le rôle d une source froide de température T A. Le tableau suivant résume les données concernant les différents états du gaz.
A B C D P en bar 1,00 T en K 323 954 V en L 2,40 0,24 1 Compléter le tableau et tracer l allure du cycle dans un diagramme de Watt. 2 Calculer les travaux et les transferts thermiques reçus par le gaz au cours de chacune des évolutions. 3 Définir et calculer le rendement. Le comparer au rendement de Carnot. Solutions : 1) P B = 44, 3 bar, V B = 0, 16 L, T C = 1, 45.10 3 K, V C = 0, 24 L, P D = 1, 76 bar, T D = 570 K ; 2) W AB = 1, 17 kj, Q AB = 0 kj, W BC = 0, 35 kj, Q BC = 1, 24 kj, W CD = 1, 60 kj, Q CD = 0 kj, W DA = 0 kj, Q DA = 0, 46 kj, 3) η = 63% =, η Carnot = 77%. Exercice 3 : Un dispositif thermodynamiquement avantageux La température extérieure étant T 1 = 23 C, on veut maintenir dans une serre une température constante de T 2 = 26 C. Par un système de chauffage central ordinaire, on brûle une masse m de charbon par jour, ce qui fournit la quantité de chaleur q nécessaire pour compenser les déperditions journalières. Les gaz brûlés sont encore, en sortant de la cheminée, à plus de 300 C. Un ingénieur (ancien élève de Benjam ) vient proposer un dispositif thermodynamiquement plus avantageux, où sont toujours extraits q Joules de gaz chauds pour m kg de charbons brûlés, mais sur un temps plus long. La combustion du charbon assure d abord l entretien de la vapeur d eau dans une chaudière à T 3 = 227 C. Deux machines de Carnot sont ensuite placées entre les températures T 1 et T 2 et entre les températures T 2 et T 3. En régime permanent, les températures sont constantes. 1 Dessiner l organigramme du dispositif proposé. 2 Préciser la nature motrice ou réceptrice des cycles de Carnot. 3 Expliciter, en fonction de q, les quantités d énergie échangées par les deux machines pour une masse m de charbons brûlés. 4 En déduire la quantité d énergie reçue par la serre pour une masse m de charbons brûlés. 5 Donner la durée t durant laquelle le chauffage est assuré par ce dispositif pour une masse m de charbons brûlés. Commenter. Solutions : 1) W = mq ( 1 T ) 2 ; 2) Q 2 = mq T 2 T 3 T 3 ( T3 T 1 T 2 T 1 ) ; 3) t = 3 jours. Exercice 4 : Fonctionnement d une machine à vapeur 12/16 21 avril 2016
Dans une machine à vapeur, une mole d eau contenue dans un cylindre fermé décrit, de manière suffisamment lente pour pouvoir définir, à tout instant, les grandeurs thermodynamiques P et T, le cycle ABCD représenté dans le diagramme de Clapeyron de la figure ci-contre (traits pleins). On a tracé en outre, la courbe de saturation (traits pointillés). L évolution AB est adiabatique. L évolution CD a lieu le long de la courbe de saturation. Au cours de l évolution CD, on néglige le travail W CD et la chaleur Q CD reçus par l eau. Les évolutions BC et DA sont isobares. Au cours de l évolution BC, l eau reçoit algébriquement une chaleur Q BC d une source froide dont la température est égale à T = 373 K. Au cours de l évolution DA, l eau reçoit algébriquement une chaleur Q DA d une source chaude dont la température est égale à T = T A. Données : NB : l arc CD est commun au cycle ABCD et à la courbe de saturation. État A B C D P (bar) 20 1 1 20 T (K)? 373 373 485 Chaleur latente molaire de vaporisation (ou enthalpie molaire de vaporisation) de l eau : L vm (373 K) = 46, 8 kj.mol 1 à la température T = 373 K 1 Indiquer sous quelle forme (liquide, vapeur,...) se trouve l eau dans chacun des états A, B, C, D. 2 Indiquer, en justifiant la réponse, le signe du travail W reçu par l eau au cours d un cycle ABCD. 3 On définit le rendement thermodynamique de la machine par r = W Q DA. Montrer que r est inférieur à un rendement maximum r C (théorème de Carnot) et exprimer le rendement de Carnot r C en fonction des températures T et T. 4 L évolution AB est une transformation adiabatique et réversible. Au cours de cette évolution, la vapeur d eau est assimilée à un gaz parfait de capacité calorifique molaire à volume constant C vm = 41, 40 J.K 1.mol 1 et de coefficient isentropique γ = C pm /C vm = 1, 20. 5 Calculer la température T A et le travail W AB reçu par l eau au cours de l évolution AB. Quelle est la signification du signe de W AB? 6 Calculer le travail W BC et la chaleur Q BC reçus par l eau au cours de l évolution BC. On négligera le volume molaire de l eau dans l état C devant sa valeur dans l état B où l eau est assimilée à un gaz parfait. 13/16 21 avril 2016
7 Calculer le travail W DA reçu par l eau au cours de l évolution DA. On négligera de même le volume molaire de l eau dans l état D devant sa valeur dans l état A. 88.1 Le travail W CD est supposé négligeable. À l aide du diagramme de Clapeyron, justifier brièvement et qualitativement cette hypothèse. 8.2 Calculer le travail total W reçu par l eau pour un cycle ABCD, puis la chaleur Q DA. Calculer les rendements thermodynamiques r et r C définis à la question 3. Les comparer et commenter. Solutions : 2) W < 0 ; 3) r 1 T ( ) 1γ T ; 4) T PB γ A = TB = 615 K, W AB = nr P (T γ 1 B T A ) = 10 kj ; A 5) U BC = nl vm = 46, 8 kj, W BC = nrt B = 3, 1 kj, Q BC = nrt B nl vm = 43, 7 kj ; 6) W DA = nrt A = 5, 1 kj ; 7) W T ot = 12 kj, Q DA = nl vm + nr γ 1 (T A T D ) = 50 kj, r = 24 < r C = 39%. 14/16 21 avril 2016
Questions de cours Pour s entraîner seul(e) - 24. Machine thermique 1 Définir les termes : machines thermiques, moteur thermique, récepteur thermique. 2 Définir les termes : cycle moteur, cycle récepteur ; distinguer toutes ces notions d un travail moteur et récepteur. 3 Montrer qu il ne peut exister de cycle monotherme moteur. 4 Donner et établir l inégalité de Clausius. Dans quel cas a-t-on égalité? 5 Établir puis présenter le diagramme de Raveau. 6 Énoncer le principe de Carnot. 7 Définir le rendement d un moteur ditherme. Donner son expression. 8 ÉNoncer le théorème de Carnot. 9 Définir l efficacité d un recepteur ditherme. Expliquer en quoi elle diffère d un rendement et pourquoi elle peut être supérieure à 1. 10 Définir l efficacité de Carnot. 11 Présenter le cycle moteur ditherme de Carnot. Donner deux exemples dans un diagramme de Clapeyron. Pourquoi ce cycle n est-il pas efficace? 12 Présenter le cycle de Beau de Rochas ainsi que sa modélisation. Exercice 5 : Un congélateur Une machine frigorifique fonctionne réversiblement entre deux sources à 0 C et 20 C. La source chaude représente l atmosphère et la source froide une salle parfaitement calorifugée dans laquelle est stockée de la glace qui est maintenue à 0 C grâce à la machine frigorifique. Calculer le prix de revient de 1 tonne de glace sachant que l eau est introduite dans la salle frigorifique à la température de 20 C. Données : c peau liq = à connaitre par coeur ; l fus = 330 J.kg 1 ; prix du kw.h = 0, 13 euros. Solutions : 1) 2,8 centimes. Exercice 6 : Utilisation d un moteur DS 300405 et CNED 05/06 Un moteur, de rendement ρ = 0, 68, sert à faire fonctionner le compresseur d une pompe à chaleur, qui fonctionne réversiblement (suivant un cycle de Carnot) entre une source froide (rivière) et une source chaude dont les températures respectives sont T 2 = 268 K et T 1 = 300 K. On suppose les rendements mécaniques du moteur et du compresseur égaux à 1. 1 On appelle Q 1 la quantité de chaleur apportée à la source chaude. Exprimer le travail que doit fournir le moteur en fonction de Q 1, T 1, et T 2. 2 Exprimer puis calculer l efficacité thermique de la pompe à chaleur. 3 Le volume à chauffer est V = 300 m 3 et ne contient que de l air assimilé à un gaz parfait. On désire augmenter la température de cet espace de 5 C. Combien de temps doit on faire fonctionner le moteur si sa puissance mécanique est P = 18, 4 kw? (la pression atmosphérique est P 0 = 10 5 Pa ; γ air = 1, 4).
4 Si on avait brûlé directement le carburant nécessaire au moteur, quelle serait l augmentation de température de cet habitacle? Conclure. Solutions : ( 1) W = Q 1 1 T ) 2 T 1 3) t = P 0V γ T 1 γ 1 1 P 65 s. ; 2) e PC = 1 = 13, 8 ; 1 T 2 ( T 1 T T 2 ln T ) 1 + T T 1 = 7, 7 s ; 4) t = P 0V T 1 γ γ 1 ρ P T = Exercice 7 : Cycle réversible Un fluide décrit le cycle réversible décrit ci-dessous dans le sens (1,2,3,4,1) ou dans le sens (1,4,3,2,1). Les transformations 1 2 et 3 4 sont des isochores et les transformations 2 3 et 4 1 sont des isothermes. Les pression, volume, température sont notés respectivement P, V, T. Toute grandeur affectée d un indice i {1, 2, 3, 4} se rapportera respectivement aux points 1,2,3,4 du diagramme. 1 Représenter le cycle dans un diagramme de Watt. 2 Donner la signification de l aire intérieure du cycle. Dans quel sens sera parcouru le cycle s il est moteur? 3 On note Q ij et W ij les chaleur et travail échangés par le fluide lors d une transformation i j. Le fluide se comportant comme un gaz parfait, comparer : Q 23 et W 23, Q 41 et W 41, W 12 et W 34, Q 12 et W 34. 4 On étudie le cycle dans le sens moteur. En raison de la technologie du moteur, la seule chaleur réellement dépensée est celle qu on fournit au fluide sur l isotherme T 2. Écrire le rendement du moteur en fonction des Q ij. 5 Le coefficient isentropique du gaz parfait est γ = 7 5. On donne par ailleurs V 4 = 2V 1, T 1 = 300 K, T 2 = 400 K et R = 8, 314 J.K 1.mol 1. Le cycle est parcouru par une mole de gaz parfait. Calculer Q 12, Q 23 et Q 41. 6 Exprimer le rendement en fonction de T 1 et T 2 et le calculer numériquement. Solutions : 4) ρ = 1 + Q 41 Q 23 ; 5) Q 12 = 2, 08 kj = Q 34, Q 23 = 22, 3 kj, Q 41 = 1, 73 kj. 16/16 21 avril 2016