Chapitre 9 Section 9.1 Test d indépendance du khi-deux (c 2 ) page 154 Ariane Robitaille (Modifications par Eric T., A14, Joanie L., H14 et Marc-Élie Lapointe H15)
8.1 Relations entre les variables Ex.1 Un psychologue essaie de montrer que la privation de sommeil a un effet sur la capacité d accomplir une tâche intellectuelle. Ex.2 Une chercheure a mené une expérience en vue de vérifier si l habitude de consommation de tabac chez les adolescents est liée à l habitude de consommation chez le parent de même sexe. Ex.3 Un chercheur s est demandé s il y a une relation entre l âge d une personne et la fréquence d utilisation de sacs réutilisables à l épicerie. Ex.4 Est-ce qu il y a un lien entre les notes et la couleur des yeux?
8.1 Relations entre les variables - Indépendance - Corrélation Causalité Interdépendance Concomitance Test pour déterminer s il existe un lien entre 2 variables qualitatives (ou quantitatives groupées par classes) : -Test du Khi-deux 2 variables quantitatives (non groupées en classes) : -Corrélation
Étapes d un test d indépendance (p. 154) 1. Formuler les hypothèses du test et donner le seuil de signification 2. Calculer les effectifs théoriques selon l hypothèse nulle et vérifier les conditions d application 3. Calculer le khi deux 4. Définir la règle de décision 5. Prendre la décision et interpréter dans le contexte
Mise en situation (p. 157) Lors d une étude sur les résultats scolaires des garçons et des filles dans le cours de méthodes quantitatives dans les cégeps du Québec, nous avons pris un échantillon de 120 étudiants. Est-ce que les résultats suivants nous permettent de conclure qu il existe un lien entre le sexe d un étudiant collégial et ses résultats dans le cours? Vérifier avec un seuil de 2,5 %.
Les hypothèses H 0 : hypothèse nulle C est l hypothèse qu on veut tester H 0 : Il n'existe pas de lien de dépendance entre le sexe d'un étudiant et sa note dans le cours de MQH
Les hypothèses H 1 : hypothèse alternative Si H 0 est fausse, alors H 1 : Il existe un lien de dépendance entre le sexe d'un étudiant et sa note dans le cours de MQH
Le seuil de signification On le note α Ici α = 2,5% Représente la probabilité de rejeter H 0 alors que H 0 est VRAIE. H 0 vraie H 0 fausse Accepte H 0 Bonne décision β Rejette H 0 α Bonne décision
Étapes d un test d indépendance 1. Formuler les hypothèses du test et donner le seuil de signification 2. Calculer les effectifs théoriques selon l hypothèse nulle et vérifier les conditions d application 3. Calculer le khi deux 4. Définir la règle de décision 5. Prendre la décision et interpréter dans le contexte
Effectifs théoriques (page suivante) Si indépendant, alors Résultat dans le cours de MQH (%) Sexe Moins de 60 [60,80[ 80 et plus Total Femmes 33,33% 50,00% 16,67% 75 Hommes 33,33% 50,00% 16,67% 45 Total (%) 40 ( 33,33% ) 60 ( 50,00% ) 20 ( 16,67% ) 120 (100%)
Effectifs théoriques 33,33% Si indépendant, alors (40 120 ) 75 Obs. Théo. Résultat dans le cours de MQH (%) Sexe Moins de 60 [60,80[ 80 et plus Total Femmes 15 25 48 37,5 12 12,5 75 Hommes 25 15 12 22,5 8 7,5 45 Total (%) 40 (33,33%) 60 (50%) 20 (16,67%) 120 (100%)
Conditions d application n 30 n =120 30 Tous les T 5 Tous les effectifs théoriques sont plus grands ou égaux à 5. (Ceux qu on a calculés)
Étapes d un test d indépendance 1. Formuler les hypothèses du test et donner le seuil de signification 2. Calculer les effectifs théoriques selon l hypothèse nulle et vérifier les conditions d application 3. Calculer le khi deux 4. Définir la règle de décision 5. Prendre la décision et interpréter dans le contexte
Effectifs théoriques Si indépendant, alors O T Résultat dans le cours de MQH (%) Sexe Moins de 60 [60,80[ 80 et plus Total Femmes 15 25 48 37,5 12 12,5 75 Hommes 25 15 12 22,5 8 7,5 45 Total (%) 40 (33,33%) 60 (50%) 20 (16,67%) 120 (100%)
Calcul 2 calc 2 O T T Pas obligatoires O T O T (O T) 2 (O T) 2 T 15 25-10 100 4 25 15 10 100 6,67 48 37,5 10,5 110,25 2,94 Somme de la dernière colonne 2 calc 18,56
Étapes d un test d indépendance 1. Formuler les hypothèses du test et donner le seuil de signification 2. Calculer les effectifs théoriques selon l hypothèse nulle et vérifier les conditions d application 3. Calculer le khi deux 4. Définir la règle de décision 5. Prendre la décision et interpréter dans le contexte
Règle de décision : loi du chi-2 Accepter H 0 Rejeter H 0 Définitions : 1. Seuil de signification (noté α ) : correspond au risque de se tromper si on rejette H 0 2. Nombre de degré de liberté (noté dl ) : dl=(nombre de catégorie de X-1)(nombre de catégorie de Y-1)
Règle de décision On rejette H 0 si 2 2 calc crit Calculé à l étape précédente Voir la table du khi-deux, derrière la table de la loi normale.
Déterminer le khi deux critique On doit avoir le degré de liberté ainsi que le seuil de signification. Formule: dl Nombre de catégories de X 1 Nombre de catégories de Y 1 Dans la table dl = (3-1) (2-1) = 2 α = 2,5% 2 crit 7, 4
Règle de décision On rejette H 0 si 2 2 calc crit Dans notre exemple, cette valeur vaut 7,4 On rejette H 0 si 2 7,4 calc
Étapes d un test d indépendance 1. Formuler les hypothèses du test et donner le seuil de signification 2. Calculer les effectifs théoriques selon l hypothèse nulle et vérifier les conditions d application 3. Calculer le khi deux 4. Définir la règle de décision 5. Prendre la décision et interpréter dans le contexte
Décision 2 calc Nous rejetons H 0, car =18,56 > 7,4. Conclusion Avec 2,5% de chances de se tromper, nous pouvons affirmer qu il existe donc un lien de dépendance entre le sexe de l étudiant et le résultat obtenu dans le cours de méthodes quantitatives. Mentionner seulement quand on rejette H 0
9.1.2 Coefficient de contingence Le coefficient de contingence permet de mesurer la force du lien entre les deux variables lorsqu on réalise un test du khi deux. Il se calcule ainsi : C 2 calc 2 calc n Ce dernier se situe entre 0 et 1. Plus le résultat est élevé, plus le lien est fort.
Retour sur l exemple 9.1.1 Dans l exemple précédent, nous avions : n 120 2 calc 18,56 Donc 18,56 C 0,3660 18,56 120
Nous utiliserons ce coefficient afin de comparer l effet qu une variable X a sur une variable Y et l effet qu une variable Z a sur cette même variable. Nous avons que le coefficient de contingence entre le résultat d un étudiant dans le cours de MQH et son sexe est de 0,3360. Voyons maintenant si le fait qu un étudiant occupe un emploi influence davantage son résultat.
O T Occupe un emploi Résultat dans le cours de MQH (%) Moins de 60 [60,80[ 80 et plus Total Non 5 10 15 15 10 5 30 Oui 35 30 45 45 10 15 90 Total (%) 40 (33,33 %) 60 (50 %) 20 (16,67 %) 120 (100 %) n 120 2 calc 10 10 C 0, 2774 10 120 Nous avions C = 0,366 Conclusion: Il semble y avoir un lien plus fort entre le sexe et le résultat qu entre le résultat et le fait d occuper un emploi.
À votre tour! Exercice 9.1.1
Devoir Terminer l exercice 9.1.1 Exercices 9.1 au complet