P.C.S.I. 2 D.S. N o DE PHYSIQUE Les problèmes sont indépendants, vous les traiterez dans l ordre de votre choix sur des copies séparées. I. Constructions Cette partie est à rédiger entièrement sur la feuille fournie en annexe. II. Etude d une fibre optique Une fibre optique à saut d indice est formée d un coeur cylindrique en verre d axe (Ox), de diamètre 2a et d indice n entouré d une gaine optique d indice n légèrement inférieur à n. Les deux milieux sont supposés homogènes, isotropes et transparents. Un rayon situé dans le plan (Oxy) entre dans la fibre au point O avec un angle d incidence θ. Oy air d indice +a gaine d indice n i O r θ Ox -a coeur d indice n gaine d indice n Les rayons lumineux sont supposés issus d une radiation monochromatique de fréquence f, de pulsation ω et de longueur d onde λ dans le milieu constituant le coeur.. Les différents angles utiles sont représentés sur la figure. A quelle condition sur i, angle d incidence à l interface coeur/gaine, le rayon reste-t-il confiné à l intérieur du coeur? On note i l l angle d incidence limite. 2. Montrer que la condition précédente est vérifiée si l angle d incidence θ est inférieur à un angle limite θ l dont on exprimera le sinus en fonction de n et i l. En déduire l expression de l ouverture numérique ON = sinθ l de la fibre en fonction de n et n uniquement (on rappelle que sin( π x) = cosx). Calculer 2 ON et θ l pour n =,50 et n =,47. 3. Représenter sur votre copie un schéma de la fibre avec trois rayons incidents arrivant en O: le rayon > sous l angle θ l, le rayon >> tel que θ < θ l et le rayon >>> tel que θ > θ l. Tracer qualitativement le devenir de ces rayons lumineux dans la fibre optique, et placer sur le schéma les angles r l et i l. On considère une fibre optique de longueur L. Le rayon entre dans la fibre avec un angle d incidence θ variable compris entre 0 et θ l. On note c la vitesse de la lumière dans le vide. 4. 4.a. Pour quelle valeur de l angle θ, le temps de parcours de la lumière dans la fibre est-il minimal? maximal? Exprimer alors l intervalle de temps δt entre le temps de parcours minimal et maximal en fonction de L, c, n et n. 4.b. On pose n n = + ou <<. Exprimer δt en fonction de L, c, n et. 5. On injecte à l entrée de la fibre deux impulsions lumineuses très brèves et distantes de T représentées sur la figure suivante.
A T ta tb t Reproduire sur votre copie le schéma en ajoutant l allure du signal lumineux à la sortie de la fibre en distinguant les deux cas où il y a recouvrement ou non-recouvrement des impulsions en sortie de la fibre. Comparer dans chacun des cas les intervalles de temps δt et T. 6. Le codage binaire de l information consiste à envoyer des impulsions lumineuses(appelées bits) périodiquement avec une fréquence d émission F. 6.a. En supposant t 0 négligeable devant δt, quelle condition portant sur la fréquence d émission F, exprime le non-recouvrement des impulsions à la sortie de la fibre optique? 6.b. Pour une fréquence F donnée, on définit la longueur maximale L max de la fibre optique permettant d éviter le phénomène de recouvrement des impulsions. On appelle bande passante de la fibre le produit B = L max.f. Exprimer la bande passante B en fonction de c, n et. 6.c. Calculer la valeur numérique de et de la bande passante B (exprimée en MHz.km) avec n =,50 et n =,47. Pour un débit d information de F = 00 Mbits = 00 MHz, quelle longueur maximaledefibreoptiquepeut-onutiliserpourtransmettrelesignal? Commenterlavaleurde L max obtenue. III. Télescope de cassegrain On étudie un modèle de l objectif du télescope de type Schmidt-Cassegrain utilisé dans les satellites SPOT. Modèle: le télescope comprend deux miroirs sphériques en regard, associés de la manière suivante: - Un miroir sphérique concave M appelé miroir primaire, de sommet S, de centre C, de foyer F et de rayon R = C S. - Un miroir sphérique convexe M 2 appelé miroir secondaire, de sommet S 2, de centre C 2, de foyer F 2 et de rayon R 2 = C 2 S 2. M F F2 S2 S Le miroir M comprend une petite ouverture centrée en S pour permettre le passage de la lumière après réflexion sur M puis sur M 2. Le miroir M 2 est de petite dimension, afin de ne pas obstruer le passage de la lumière tombant sur le miroir primaire. Les miroirs sont utilisés dans les conditions de Gauss.. Constructions :.a. Sur l annexe, l objet A émet des rayons parallèles à l axe optique. Il a pour images successives A par M et A 2 par M 2. On note A M > A M 2 > A 2. Compléter les tracés des rayons lumineux et en déduire les positions de A et A 2..b. Sur l annexe 2, l objet B émet des rayons parallèles entre eux et inclinés par rapport à l axe optique. Il a pour images successives B par M et B 2 par M 2. On note B M > B M 2 > B 2. Compléter les tracés des rayons lumineux et en déduire les positions de B et B 2..c. Que dire des points A et B? Comparer les positions de A 2 et B 2. Comment s appelle le 2
point A 2 pour le système optique M M 2? Onobserveàtraverscetélescopeun objet AB situésurterreàla distanceh = 800kmdu miroirm. L objet est très éloigné. L objet étant très éloigné, les rayons issus de B qui atteignent le miroir M sont quasiment parallèles et forment avec l axe optique un angle α. Après réflexion sur M, ces rayons se réflechissent sur M 2 et forment une image finale située derrière M. 2. Préciser la position de l image intermédiaire A B de AB par M. Exprimer le grandissement γ en fonction de R et h. 3. Exprimer la distance D = S 2 A 2 en fonction de R 2, R et d = S 2 S. Exprimer le grandissement γ 2 en fonction de R, d et D. R.D 4. Montrerque le grandissementdu télescopeainsi forméest γ = 2h(d R 2 ). Calculerγ pour R = 2,0 m, R 2 = 25 m et d = 4 cm. L image finale est-elle droite ou renversée? 5. Quel est l intérêt d utiliser un télescope comme celui-ci qui comprend des miroirs, plutôt qu un télescope utilisant des lentilles? 6. La résolution d un satellite d observation est la taille du plus petit objet détectable sur Terre. Celle-ci est liée à la puissance du télescope mais aussi et surtout à la taille du capteur CCD. Le capteur CCD de SPOT 4 est une barette de 6000 pixels, chaque pixel ayant une largeur de δ = 3 µm. pixel capteur CCD δ 6.a. Où faut-il placer le capteur? 6.b. Déterminer la résolution du satellite SPOT 4. 6.c. Calculer le champ de vision du satellite, soit la distance balayée sur Terre à chaque passage du satellite. 6.d. Un télescope peut être modélisé par une lentille unique de focale f L = m limitée par un cercle de diamètre a de l ordre du mètre. Le capteur est alors placé dans le plan focal image. La résolution angulaire du télescope correspond au rayon angulaire de la tâche d Airy (diffraction), soit,22 λ a. Estimer la limite de résolution du télescope liée à la diffraction. Commenter. 3
NOM: I- Constructions - On étudie une lame à faces parallèles (milieu d indice n) constituée de deux dioptres. Soit un objet A qui émet trois rayons lumineux. n A H H2 Poursuivre avec rigueur les rayons lumineux >, >> et >>>. En déduire la position des images successives A et A 2 de A par les deux dioptres. Mesurer H A et H A et en déduire la valeur numérique de n. Mesurer H 2 A et H 2 A 2 et en déduire la valeur numérique de n. 2- Construire le champ du miroir sphérique pour l oeil placé en O. O C 4
3- Construire le rayon lumineux allant de l émetteur E au récepteur R après une réflexion sur M puis une réflexion sur M 2. E R M Construire le rayon lumineux allant de l émetteur E au récepteur R après une réflexion sur M 2 puis une réflexion sur M. E R M 5
4- Dans les deux cas suivants, compléter le tracé du rayon lumineux jusqu à sa sortie des prismes, en utilisant la méthode de Descartes (compas et règle). A C,5 M0 B,4 D. A C,5 M0 B,7 D 6
III - Télescope de Cassegrain Annexe : C C2 S2 S M ao 7
Annexe 2: C C2 S2 S M ao 8