1 Mines Deuxième année Physique de la matière condensée et des nano-objets TD8-2011 Puits quantiques et super-réseaux semi-conducteurs 1 Résumé Dans ce TD nous allons aborder la physique des puits quantiques et des super-réseaux de semi-conducteurs, dont les applications en électronique et en optique sont multiples. 1 Puits quantiques et super-réseaux 1.1 Définition et fabrication es puits quantiques et super-réseaux sont des empilements de couches cristallines alternées, pouvant être aussi minces que quelques monocouches atomiques, de semi-conducteurs de compositions chimiques différentes. a fabrication de ces structures se fait à l aide de technique d épitaxie par jet moléculaire (Molecular Beam Epitaxy : MBE comme illustré ci-dessous FIGURE 1 Principe d une expérience d épitaxie par jets moléculaires. es conditions de croissance de ce type de structure sont assez strictes. Il faut notamment que les paramètres de maille et structures cristallines soient relativement proches. Mais lorsque les couches sont "compatibles" on peut faire varier à volonté leur épaisseur. Un système très répandu est GaAs/Al x Ga 1 x As pour lequel le désaccord de maille est faible comme on le voit sur la figure suivante : 1.2 Propriété physique paradoxale es deux matériaux étant différents ils n ont pas la même valeur de bande interdite. Par exemple dans GaAs le gap vaut 1,42eV alors que dans Al 0,4 Ga 0,6 As il est de 2eV. De telles structures possèdent une propriété physique paradoxale : on s attendrait à ce que le seuil d adsorption soit celui du matériau à plus faible bande interdite, autrement dit qu un puits quantique soit moins transparent que chacun de ses constituant. expérience montre qu il n en est rien. 1. Inspiré de l ouvrage de B. Sapoval et C. Hermann "Physique des semi-condcuteurs"
2 FIGURE 2 Relation entre matériaux, structure atomique, paramètre de maille et gap électronique. 1.3 Modélisation e potentiel agissant sur un électron d une telle structure est différent dans les deux matériaux et l on s attend à ce que la structure de bandes et notamment le bas de la bande de conduction et le haut de la bande de valence soient situées à des énergie différentes comme illustré sur le schéma ci-dessous : FIGURE 3 Puits quantique a modélisation d une telle structure utilise la théorie de la masse effective qui consiste à décrire les électrons du bas de la bande conduction (et symétriquement les trous du haut de la bande de valence comme des particules de masse effective m comme indiquãl sur le schéma de la figure 3. Dans cette théorie la fonction d onde de l électron peut s écrire approximativement : ( Ψ(r = Ψ k0 (rφ(r 2 2m +V (z φ(r = εφ(r m est la masse effective (et rend compte de la courbure à l extremum des électrons de conduction. Elle dépend en principe du matériau mais nous négligerons sa variation. V (z est un potentiel de confinement qui ne dépend que de z :
3 FIGURE 4 Electrons et trous de masse effective m c, m v FIGURE 5 Potentiel de confinement V (z 2 Puit quantique 2.1 Forme des fonctions d ondes Question no 1 : Montrer que les solutions de l équation de Schrödinger peuvent s écrire Avec φ(r = φ k,n (r = 1 S e ik.ρ χ n (z ε = ε k,n = 2 k 2 2m + ε n k = (k x,k y ; ρ = (ρ x,ρ y ; S = x y Et χ n (z est solution de l équation de Schrödinger unidimensionnelle : d 2 2m +V (z χ dz2 n (z = ε n χ n (z ( 2 Question no 2 : En utilisant la parité du potentiel montrer que les solutions unidimensionnelles χ n (z sont soient paires, soient impaires et s écrivent : χ n (z = Asin(k n z ou χ n (z = A cos(k n z pour z < /2
4 Question no 3 : Quelle est la forme des solutions pour z > /2. Quelles sont les conditions de raccordement? Montrer que ces conditions conduisent à des solutions discrètes du vecteur d onde k n qui s obtiennent par une construction géométrique simple. 2.2 Solution générale Dans le cas général il y a un nombre fini d état liés de fonction d onde alternativement paire et impaire. On 2m peut en fait montrer que le nombre d état lié est donné par n( = 1 + E[ V π 2 2 0 2 ], E étant la partie entière. Question no 4 : Discuter du nombre d états liés en fonction des paramètres du problème. Que se passe-t-il dans la cas extrème d un puits infini de largeur infiniment petite tel que V 0 reste constant? A quel genre de potentiel cela correspond-il? Question no 5 : Dans le cas du puits infini (V 0 = montrer qu il existe un nombre infini (dénombrable de solutions données par : χ n (z = χ n (z = ε n = 2 2m ( nπ 2 sin( nπz 2 cos( nπz 2 n = 2p + 2 n = 2p + 1 p IN p IN 2.3 Discussion physique Dans le cas de GaAs la masse effective des électrons de conduction est m = 0.067m 0. Question no 6 : Evaluer l énergie du premier niveau occupé pour un puits quantique de barrière infinie et d épaisseur = 100Å. Question no 7 : Expliquer pourquoi le puits quantique de GaAs/AlGaAs est plus transparent que GaAs tout seul. On rappelle que dans un modèle d électrons libres le vecteur d onde de Fermi k F et la densité électronique n sont reliés par la relation : n = k3 F 3π 2 Question no 8 : Montrer que la longueur d onde de Fermi λ F pour un semiconducteur de densité électronique 10 25 m 3, est de l ordre de la centaine d Angstrom. Expliquer pourquoi il est plus facile de voir des effets de confinements sur un semiconducteur que sur un métal. 3 Super réseau Il est possible d effectuer des multicouches alternées de semi-conducteurs pour former des super-réseaux avec une périodicité ; donnée comme sur la figure 6 : Question no 9 : Comment se comporte à votre avis les niveaux énergétiques des différents états liés? Montrer comment utiliser le modèle des liaisons fortes pour ce type de structure.
5 FIGURE 6 Super réseau FIGURE 7 minibandes d un super réseau Nous avons illustré ci-dessous la notion de mini-bande es puits quantiques et super-réseaux ont de nombreuses applications en électronique (diode tunnel résonnante.. et en optique (lasers, détection ou émission infra-rouge.. car on peut ajuster presque "à la la demande" les propriétés physiques de ces matériaux. On appelle cela de "l ingénierie de structure de bandes" ou plus communément du "band gap engineering".