Chapitre 4 Solutions des problèmes

Chapitre 4 Solutions des problèmes 1. Résolution d'un modèle PLTE à deux variables. (a) La région issible de la relaxation continue ( ) est le polygone ABC représenté à la figure cidessous. La solution optimale de ( ) correspond au sommet B = (4,5; 5); en ce point, z atteint sa valeur maximale z = 33. (b) La solution optimale de (P) est le point x* = (4; 4). La valeur maximale du modèle (P) en nombres entiers est z* = 24. (c) La figure de la page suivante décrit les séparations successives lorsque le modèle (P) est résolu à l'aide de la méthode SÉP. Elle donne également l'arbre d'énumération résultant de ces séparations. La première séparation correspond à enlever la bande la seconde, à enlever la bande 4 < x 1 < 5 et x 2 ; 4 < x 2 < 5 et x 1 5.

2 Chapitre 4 La programmation linéaire en nombres entiers 4-1. Résolution d'un modèle PLTE à deux variables - Séquence des séparations et arbre d'énumération Nœud Contraintes Valeurs optimales z = 33 z * 33 x 1 4 z 1 = 24 x 1 x 1 5 z 2 = 26 24 z * 26 x 2 4 x 2 5 z 3 = 18 x 3 z * = 24 : z = 33 x 1 = 4,5 x 2 = 5 x 1 4 x 1 5 P 1 : z 1 = 24 : z 2 = 26 x 1 = 4 x 2 = 4 x 1 = 5 x 2 = 4,667 x 2 4 x 2 5 P 3 : z 3 = 18 P 4 x 1 = 5 x 2 = 4 e solution issible

Solutions des problèmes 3 2. Modèle à deux variables et critères de choix de la variable de séparation. (a) La région issible de la relaxation continue ( ) est le polygone OABCD représenté à la figure cidessous. La solution optimale de ( ) correspond au sommet C = (7,23; 2,31); en ce point, z atteint sa valeur maximale z = 62,15. (b) La solution optimale de (P) est le point x* = (7; 2). La valeur maximale du modèle (P) en nombres entiers est z* = 59. (c) Le tableau ci-dessous décrit les séparations successives lorsque le modèle (P) est résolu par la méthode SÉP selon le critère du meilleur c j. La première séparation correspond à enlever la bande 7 < x 1 < 8 et x 2 ; la seconde, à enlever la bande 2 < x 2 < 3 et x 1 7. Solution optimale Nœud Contraintes x 2 x 3 z 7,23 2,31 z = 62,15 z * 62,15 x 1 7 7 2,4 z 1 = 61 x 1 8 8 z 2 = 56 x 2 56 z * 61 P 1 P 1 x 2 2 x 2 3 7 5,5 2 3 z 3 = 59 z 4 = 53,5 x 3 z 4 z 3 z * = 59

4 Chapitre 4 La programmation linéaire en nombres entiers (d) Le tableau suivant décrit les séparations successives lorsque le critère de la variable la plus distante est utilisé. La première séparation correspond à enlever la bande 2 < x 2 < 3 et x 1 ; la seconde, à enlever la bande 7 < x 1 < 8 et x 2 2. Solution optimale Nœud Contraintes x 2 x 3 z 7,23 2,31 z = 62,15 z * 62,15 x 2 2 x 2 3 7,33 5,5 2 3 z 1 = 61,33 z 2 = 53,5 z * 61,33 P 1 P 1 x 1 7 x 1 8 7 8 2 z 3 = 59 z 4 = 56 x 3 x 4 z * = 59 3. Résolution d'un modèle PLTE de minimisation comportant deux variables. (a) La région issible de la relaxation continue ( ) est le polygone ABCD représenté à la figure ci-dessous. La solution optimale de ( ) correspond au sommet A = (3,3; 2,8); en ce point, z atteint sa valeur minimale z = 37,1.

Solutions des problèmes 5 (b) La solution optimale de (P) est le point x* = (4; 3). La valeur minimale du modèle (P) en nombres entiers est z* = 43. (c) Le tableau ci-dessous décrit les séparations successives lorsque le modèle (P) est résolu par la méthode SÉP selon le critère du meilleur c j. La première séparation correspond à enlever la bande 2 < x 2 < 3 et x 1 ; la seconde, à enlever la bande 3 < x 1 < 4 et x 2 3. Solution optimale Nœud Contraintes x 1 x 2 z 3,3 2,8 z = 37,1 37,1 z * x 2 2 x 2 3 5,167 3,5 2 3 z 1 = 46,167 z 2 = 39,5 39,5 z * P 1 x 1 3 x 1 4 4 3 z 4 = 43 x 4 z * = 43 (d) Le tableau ci-dessous décrit les séparations successives lorsque le modèle (P) est résolu par la méthode SÉP selon le critère de la variable la plus distante. La première séparation correspond à enlever la bande la seconde, à enlever la bande 3 < x 1 < 4 et x 2 ; 2 < x 2 < 3 et x 1 4. Solution optimale Nœud Contraintes x 1 x 2 z 3,3 2,8 z = 37,1 37,1 z * x 1 3 x 1 4 4 2,5 z 2 = 4,5 4,5 z * x 2 2 x 2 3 5,167 4 2 3 z 3 = 46,167 z 4 = 43 z 3 z 4 x 4 z * = 43

6 Chapitre 4 La programmation linéaire en nombres entiers 4. La solution arrondie et la solution optimale. (a) La solution optimale de la relaxation continue ( ) est : x 1 = 5,4545 x 2 = 9,4545 z = 4 12. (b) Ici, toutes les contraintes technologiques sont du type et les coefficients en sont non négatifs. Il suffit donc d'arrondir par le bas. La solution arrondie suivante est solution issible de (P) : x 1 = 5 x 2 = 9 z = 3 87. (c) Le tableau de la page suivante donne la séquence des séparations lorsque le modèle est résolu à l'aide de la méthode SÉP. La solution optimale du modèle (P) est : x 1 = x 2 = 14 z * = 3 92. (d) La figure ci-dessous donne la région issible de la relaxation ( ). La solution optimale de ( ) est le sommet B de cette région, tandis que la solution optimale du modèle (P) correspond au point A. On constate que ces points sont éloignés l'un de l'autre. Cela est dû au quasi-parallélisme entre les courbes de niveaux de z et le segment [A; B], lequel segment fait partie de la frontière de la région issible.

Solutions des problèmes 7 4-4. La solution arrondie et la solution optimale Séquence des séparations Noeud Contraintes P h z h x 1 x 2 z z z 4 12 5,45 9,45 z 4 12 P 1 P 6 P 3 P 1 P 7 P 11 P 14 P 16 P 19 P 17 2 5 4 9 x 2 9 x 2 1 x 1 4 x 1 5 x 1 5 x 1 6 x 2 8 x 2 9 x 2 1 x 2 11 x 1 3 x 1 4 x 1 6 x 1 7 x 2 11 x 2 12 x 2 7 x 2 8 x 1 2 x 1 3 x 2 12 x 2 13 x 1 7 x 1 8 x 1 1 x 1 2 x 2 13 x 2 14 x 2 6 x 2 7 x 1 8 x 1 9 P 1 P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 P 8 P 9 P 1 P 11 P 12 P 13 P 14 P 15 P 16 P 17 P 18 P 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P 3 P 31 P 32 4 95 4 96 5,83 4,8 9 1 4 66,7 4 1,67 3 87 5 9 4 84 6 8,8 4 4 6,67 8 3 88 4 52 4 3,6 1 11 4 3 3 11,5 3 86 6 8 4 18 7 7,6 3 89 3 11 4 8 2,4 12 3 985 7,5 7 3 993,3 12 12,33 3 9 3 964 2 1,2 12 13 3 85 7 7 3 952 8 6,4 3 956,7 1 13,167 3 91 1 13 3 92 14 3 93 8,33 6 3 84 8 6 3 886 9 5,2 x 5 x 9 z 13 z 9 x 15 x 21 z 23 z 21 z 27 z 28 x 28 z 31 z 28 z 32 z 28 z 4 96 P 1 z 4 95 P 1 P 3 3 87 z 4 84 P 3 P 6 3 87 z 4 66,7 P 3 P 7 3 88 z 4 52 P 7 P 1 3 88 z 4 4 P 7 P 11 3 88 z 4 3 P 11 P 14 3 89 z 4 18 P 14 P 16 3 89 z 4 8 P 16 P 17 3 89 z 3 993,3 P 17 P 19 3 9 z 3 985 P 17 2 3 9 z 3 964 2 4 3 9 z 3 956,7 4 5 3 92 z 3 952 4 3 92 z 3 93 9 z = 3 92

8 Chapitre 4 La programmation linéaire en nombres entiers 5. L'impact des contraintes d'intégrité sur la solution optimale La séquence des séparations ainsi que l'arbre d'énumération sont donnés à la page suivante. La solution optimale de (P) est : tandis que celle de ( ) est : x 1 = 4 x 2 = 3 z * = 14. x 1 = 6 x 2 = 4,33 z = 2,67. La relaxation ( ) et comme région issible le triangle ABC de la figure ci-dessous et son optimum correspond au sommet C = (6; 13/3) à l'extrémité droite du triangle. Ce sommet C ne satisfait pas à la contrainte d'intégrité imposée à x 2 ; et, comme l'indique le graphique, c'est à gauche de C qu'il faut rechercher l'optimum de (P). Les premiers candidats à considérer sont les points tels que x 1 = 5; mais on observe que, dans le triangle ABC, tous les points de la forme (5; x 2 ) ont une 2 e coordonnée non entière. Enfin, lorsque x 1 = 4, il est possible de trouver une solution issible dont la 2 e coordonnée est entière : il s'agit du point E = (4; 3), qui est l'optimum de (P). C'est l'étroitesse de la région issible ABC qui explique l'obligation de s'éloigner ainsi de C pour obtenir l'optimum E de (P). En effet, on a considéré l'intersection du triangle ABC et de la droite verticale «x 1 = c», où l'on a posé successivement c = 5, puis c = 4. Cette intersection est un court segment vertical dont la longueur est bien inférieure à 1 et qui contient au plus un point dont la 2 e coordonnée est entière. Dans l'exemple numérique traité ici, on a trouvé une solution issible dès le 2 e essai, celui où c = 4. Dans des cas similaires, un seul essai pourrait suffire; dans d'autres, plus de deux essais pourraient être nécessaires; il pourrait même arriver, comme dans l'exemple (P3) de la section 4.2.5, que le modèle (P) n'ette aucune solution issible.

Solutions des problèmes 9 4-5. L impact des contraintes d intégrité sur la solution optimale s et arbre Nœud Contraintes Valeurs optimales z = 2,67 z * 2,67 x 2 4 z 1 = 19 x 2 5 z * 19 P 1 x 1 5 z 3 = 17,43 P 1 P 3 x 1 6 x 2 3 x 2 4 z 5 = 14 x 5 z * 17,43 P 3 z * = 14 : z = 2,67 x 1 = 6 x 2 = 4,33 x 2 4 x 2 5 P 1 : z 1 = 19 x 1 = 5,5 x 2 = 4 e solution issible x 1 5 x 1 6 P 3 : z 3 = 17,43 P 4 x 1 = 5 x 2 = 3,71 e solution issible x 2 3 x 2 4 P 5 : z 5 = 14 P 6 x 1 = 4 x 2 = 3 e solution issible

1 Chapitre 4 La programmation linéaire en nombres entiers 6. Le critère du meilleur c j et les problèmes de maximisation. (a) Noter que les variables n'apparaissant pas explicitement dans les colonnes sous «Solution optimale» prennent la valeur dans toutes les solutions optimales x : par exemple, la variable x 4 est nulle dans les solutions optimales des nœuds ( ), (P 1 ) et ( ). La solution optimale de (P) correspond au nœud (P 3 ) : x 2 = 5 x 5 = 1 x 1 = x 3 = x 4 = z * = 47. Solution optimale Nœud Contraintes x 1 x 2 x 5 z 7,1 9,4 z = 47,6 z * 47,6 x 5 9 7,5 9 z 1 = 459 x 5 1,27 5 1 z 2 = 47,27 z * 47,27 P 1 x 1 = x 1 1 1 5 1 11 z 3 = 47 z 4 = 452 x 3 x 4 z * = 47 (b) L'arbre d'énumération est reproduit à la page suivante. La solution optimale correspond au nœud (P 8 ) : x 1 = 1 x 2 = 1 x 4 = 1 x 3 = x 5 = z * = 8. Nœud Contraintes Valeurs optimales z = 12 z * 12 x 5 1 z 1 = 11,77 x 5 2 z * 11,77 P 1 x 4 = z 3 = x 3 P 1 x 4 1 z 4 = 8,54 z * 8,54 P 4 x 5 = z 5 = 8 z * 8 P 5 P 4 x 5 1 x 1 = z 7 = 7,43 z 7 z 8 z * = 8 P 5 x 1 1 z 8 = 8 x 8

Solutions des problèmes 11 4-6b. Le critère du meilleur c j et les problèmes de maximisation - Arbre d'énumération : z = 12 x 4 =,2857 x 5 = 1,1429 x 5 1 x 5 2 P 1 : z 1 = 11,77 x 1 =,238 x 4 =,377 x 5 = 1 e solution issible x 4 = x 4 1 P 3 : z 3 = P 4 : z 4 = 8,5385 x j = pour tout j x 2 = 1,1538 x 4 = 1 x 5 =,5385 x 5 = x 5 1 P 5 : z 5 = 8 P 6 x 1 =,5 x 4 = 1 e solution issible x 1 = x 1 1 P 7 : z 7 = 7,4286 P 8 : z 8 = 8 x 3 =,1429 x 4 = 1 x 1 = 1 x 2 = 1 x 4 = 1

12 Chapitre 4 La programmation linéaire en nombres entiers 7. Le critère de la variable la plus distante et les problèmes de maximisation (a) Pour ce modèle, la suite des séparations est la même, qu'on utilise le critère de la variable la plus distante ou celui du meilleur c j. On se reportera donc à la question (a) du problème 6 pour la solution optimale et le tableau résumant la séquence des séparations. (b) Pour ce modèle, la suite des séparations dépend du critère retenu, mais la solution optimale obtenue est la même, qu'on utilise le critère de la variable la plus distante ou celui du meilleur c j. Elle correspond, dans le cas du critère de la variable la plus distante, au nœud (P 6 ) : x 1 = 1 x 2 = 1 x 4 = 1 x 3 = x 5 = z * = 8. L'arbre d'énumération est reproduit à la page suivante; le tableau résumant la séquence des séparations est donné ci-dessous. Nœud Contraintes Valeurs optimales z = 12 z * 12 x 4 = z 1 = x 1 x 4 1 z 2 = 8,54 z * 8,54 x 5 = z 3 = 8 x 5 1 z * 8 P 3 P 3 x 1 = x 1 1 z 5 = 7,43 z 6 = 8 z 5 z 6 x 6 z * = 8

Solutions des problèmes 13 4-7b. Le critère de la variable la plus distante et les problèmes de maximisation - Arbre : z = 12 x 4 =,2857 x 5 = 1,1429 x 4 = x 4 1 P 1 : z 1 = : z 2 = 8,5385 x j = pour tout j x 2 = 1,1538 x 4 = 1 x 5 =,5385 x 5 = x 5 1 P 3 : z 3 = 8 P 4 x 1 =,5 x 4 = 1 e solution issible x 1 = x 1 1 P 5 : z 5 = 7,4286 P 6 : z 6 = 8 x 3 =,1429 x 4 = 1 x 1 = 1 x 2 = 1 x 4 = 1

14 Chapitre 4 La programmation linéaire en nombres entiers 8. Le critère du meilleur c j et les problèmes de minimisation (a) La solution optimale correspond au nœud (P 6 ) : x 3 = 8; x 4 = 1; x 1 = x 2 = ; z * = 33. Solution optimale Nœud Contraintes x 1 x 3 x 4 z 4,3 1,4 z = 18,6 18,6 z * x 4 1 7,5 1 z 1 = 31 31 z * 54 P 1 x 4 2 13 2 z 2 = 54 x 2 x 3 7 1 7 1 z 3 = 34 x 3 P 1 x 3 8 8,94 z 4 = 32,94 32,94 z * 34 P 4 P 4 x 4 = 15,5 z 5 = 62 z 5 z 6 z * = 33 x 4 1 8 1 z 6 = 33 x 6 (b) La séquence des séparations est décrite dans le tableau ci-dessous. L arbre d énumération est reproduit à la page suivante. La solution optimale correspond au nœud (P 6 ) : x 3 = x 6 = 2; x 1 = x 2 = x 4 = x 5 = ; z * = 14. Nœud Contraintes Valeurs optimales z = 1,44 1,44 z * x 3 1 z 1 = 11,33 x 3 2 z 2 = 12 11,33 z * P 1 x 6 1 z 3 = 19 P 1 x 6 2 z 4 = 15,36 12 z * P 3 P 4 x 6 1 x 6 2 z 5 = 14,5 z 6 = 14 z 5 z 6 x 6 z * = 14

Solutions des problèmes 15 4-8b. Le critère du meilleur c j et les problèmes de minimisation - Arbre d'énumération : z = 1,44 x 3 = 1,6 x 6 = 1,81 x 3 1 x 3 2 P 1 : z 1 = 11,33 : z 2 = 12 x 1 =,33 x 3 = 1 x 6 = 1,67 x 3 = 2 x 6 = 1,5 x 6 1 x 6 2 x 6 1 x 6 2 P 3 : z 3 = 19 P 4 : z 4 = 15,36 P 5 : z 5 = 14,5 P 6 : z 6 = 14 x 1 = 1,5 x 3 = 1 x 5 =,5 x 6 = 1 x 2 =,36 x 3 = 1 x 4 =,45 x 6 = 2 x 3 = 3,5 x 6 = 1 x 3 = 2 x 6 = 2

16 Chapitre 4 La programmation linéaire en nombres entiers 9. Le critère de la variable la plus distante et les problèmes de minimisation (a) Pour ce modèle, la suite des séparations est la même, qu'on utilise le critère de la variable la plus distante ou celui du meilleur c j. On se reportera donc à la question (a) du problème précédent pour la solution optimale et le tableau résumant la séquence des séparations. (b) La séquence des séparations et l arbre d énumération sont donnés ci-dessous. La solution optimale correspond au nœud (P 4 ) : x 3 = x 6 = 2; x 1 = x 2 = x 4 = x 6 = ; z = 14. Nœud Contraintes Valeurs optimales z = 1,44 1,44 z * x 6 1 z 1 = 14,5 x 6 2 z 2 = 12,2 12,2 z * P 1 x 3 1 x 3 2 z 3 = 15,36 z 4 = 14 z 3 z 4 x 4 z * = 14 : z = 1,44 x 3 = 1,6 x 6 = 1,81 x 6 1 x 6 2 P 1 : z 1 = 14,5 : z 2 = 12,2 x 3 = 3,5 x 6 = 1 x 3 = 1,4 x 6 = 2 x 3 1 x 3 2 P 3 : z 3 = 15,36 P 4 : z 4 = 14 x 2 =,36 x 3 = 1 x 4 =,45 x 6 = 2 x 3 = 2 x 6 = 2

Solutions des problèmes 17 1. Un modèle mixte La solution optimale correspond au nœud (P 3 ) qui satisfait à toutes les contraintes d intégrité du modèle (P) même si les variables x 3 et x 4 y prennent des valeurs non entières. Nœud Contraintes Valeurs optimales z = 5,73 z * 5,73 x 2 4 z 1 = 5,533 x 2 5 z * 5,533 P 1 P 1 x 1 = x 1 1 z 3 = 5,28 z 4 = 48,13 x 3 z 4 z 3 z * = 5,28 : z = 5,73 x 2 = 4,61 x 3 = 3,357 x 4 = 1,191 x 2 4 x 2 5 P 1 : z 1 = 5,533 x 1 =,76 x 2 = 4 x 3 = 3,326 x 4 = 1,27 e solution issible x 1 = x 1 1 P 3 : z 3 = 5,28 P 4 : z 4 = 48,13 x 2 = 4 x 3 = 3,32 x 4 = 1,24 x 1 = 1 x 2 = 3,261 x 3 = 2,957 x 4 = 1,391

18 Chapitre 4 La programmation linéaire en nombres entiers 11. Modèle PLTE et arbre d énumération (a) Les nœuds ( ), (P 3 ) et (P 6 ) doivent être. (b) 942 z* 97. (c) La prochaine séparation s'effectue à partir du nœud (P 5 ), selon la variable x 5. Les contraintes à ajouter sur chacune des branches sont : x 5 14 et x 5 15. 12. Un arbre d'énumération partiel (a) Les nœuds (P 4 ), (P 7 ), (P 9 ) et (P 1 ) doivent être. (b) 5 z* 51,5. (c) La prochaine séparation s'effectue à partir du nœud (P 6 ), selon la variable x 2 : en effet, selon la convention mentionnée au début de l'énoncé, on retient ici, en cas d'égalité entre plusieurs variables, celle de ces variables dont l'indice est le plus faible. Les contraintes à ajouter sur chacune des branches sont : x 2 2 et x 2 3. 13. Arbre d'énumération partiel et problème de minimisation (a) Le nœud (P 4 ) doit être éliminé, car sa solution optimale x 4 est entière. Les nœuds (P 3 ), (P 5 ) et (P 6 ) sont. (b) 4 697,75 z* 4 729. (c) La prochaine séparation s'effectue à partir du nœud (P 5 ), selon la variable x 2. Les contraintes à ajouter sur chacune des branches sont : x 2 17 et x 2 18. (d) Il ne reste aucun nœud après cette 4 e séparation. Et les inégalités relatives à z* s'écrivent : 4 698 z* 4 698. Note. La solution optimale x 8 de (P 8 ) est donc une solution optimale du modèle (P). Et z* = 4 698. 14. Un arbre dont les nœuds ne sont pas numérotés (a) z = (8 2,444) + (14 ) + (4 5,111) + (6 ) + (22 7,778) = 2 111,1 (b) Le tableau suivant décrit la séquence des séparations. Après la séparation de (P 3 ), le nœud (P 5 ) n'est plus, car la solution optimale x 7 de (P 7 ) est entière et donne à la fonction-objectif une valeur z 7 telle que z 5 z 7.

Solutions des problèmes 19 Nœud Contraintes Valeurs optimales z = 2111,1 z * 2111,1 x 1 2 z 1 = 218,8 x 1 3 z 2 = 211 z * 211 P 1 x 5 7 z 3 = 218 x 5 8 z * 218,8 P 1 P 3 x 3 4 z 5 = 21 P 1 x 3 5 z 6 = 214 z * 218 P 3 P 5 P 6 x 3 6 z 7 = 21 x 7 21 z * 214 P 3 x 3 7 z 8 = 294,3 z 8 z 7 P 6 (c) La prochaine séparation s'effectue à partir du nœud (P 6 ), selon la variable x 5 : en effet, puisque x 2 et x 5 sont à égale distance de l'entier le plus près, on recourt temporairement au critère du meilleur c j ; or, dans la fonction-objectif, le coefficient c 5 de x 5 est plus élevé que celui de x 2. Les contraintes ajoutées sur chacune des branches sont x 5 7 et x 5 8. (d) Le nœud (P 6 ) est obtenu par l'ajout de l'inéquation «x 3 5» au nœud (P 1 ), lequel est la relaxation ( ) plus la contrainte «x 1 2». Le modèle linéaire (P 6 ) s'écrit donc ainsi : Max z = 8 x 1 + 14 x 2 + 4 x 3 + 6 x 4 + 22 x 5 sous les contraintes : x 1 + 2 x 2 + x 4 + 2 x 5 18 4 x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 + x 5 18 x 1 + x 2 + x 3 12 2 x 2 + 5 x 3 + 5 x 4 + 7 x 5 8 x 1 2 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5. x 3 5 Note. Il ne faut pas inclure de contrainte d intégrité, car (P 6 ), comme d ailleurs tous les (P h ) de l arbre, est un modèle linéaire continu.

2 Chapitre 4 La programmation linéaire en nombres entiers 15. La méthode SÉP et les cas d égalité (a) La séquence des séparations est décrite au tableau ci-dessous; et l'arbre d'énumération associé est reproduit à la page suivante. Lors de la séparation de (P 1 ), il y a égalité entre les variables x 1 et x 3, car leurs coefficients dans la fonction-objectif sont égaux. On recourt donc temporairement au critère de la variable la plus distante et la séparation se fait selon x 3. La solution optimale du modèle correspond au nœud (P 4 ). Nœud Contraintes Valeurs optimales z = 1353,75 1353,75 z * x 2 17 z 1 = 1354,44 x 2 18 z 2 = 1361,33 1354,44 z * P 1 x 3 44 z 3 = 1355,58 P 1 x 3 45 z 4 = 136 x 4 1355,58 z * 136 P 3 x 2 16 z 5 = 1361,818 z 5 z 4 P 3 x 2 17 z 6 = 1355,714 1355,71 z * 136 P 6 P 6 x 1 14 x 1 15 z 7 = 137 z 8 = 1367,143 x 7 z 8 z 4 z * = 136 (b) La séquence des séparations est décrite au tableau ci-dessous; et l'arbre d'énumération associé est reproduit à la page 22. Lors de la séparation du nœud (P 3 ), il y a égalité entre les variables x 3 et x 4, qui sont à la même distance de l'entier le plus près. On recourt donc temporairement au critère du meilleur c j : c'est la variable x 4 qui sera retenue, car son coefficient dans la fonction-objectif est plus élevé et l'on cherche à maximiser. La solution optimale du modèle correspond au nœud (P 5 ). Nœud Contraintes Valeurs optimales z = 615,27 z * 615,27 x 2 18 z 1 = 66,86 x 2 19 z * 66,86 P 1 x 5 3 z 3 = 595,5 P 1 x 5 4 z 4 = 576 z * 595,5 P 3 P 4 P 3 x 4 = x 4 1 z 5 = 588 z 6 = 572,36 x 5 z 6 z 5 z * = 588

Solutions des problèmes 21 4-15a. La méthode SÉP et les cas d égalité - Arbre d'énumération : z = 1353,75 x 1 = 14,625 x 2 = 17,125 x 3 = 44,5 x 2 17 x 2 18 P 1 : z 1 = 1354,44 : z 2 = 1361,33 x 1 = 14,667 x 2 = 17 x 3 = 44,556 x 1 = 14,8 x 2 = 18 x 3 = 44,2667 x 3 44 x 3 45 P 3 : z 3 = 1355,58 P 4 : z 4 = 136 x 1 = 14,5962 x 2 = 16,988 x 3 = 44 x 5 =,238 x 1 = 15 x 2 = 16 x 3 = 45 x 2 16 x 2 17 P 5 : z 5 = 1361,818 P 6 : z 6 = 1355,714 x 1 = 14,8636 x 2 = 16 x 3 = 44 x 5 =,491 x 1 = 14,6 x 2 = 17 x 3 = 44 x 5 =,2286 x 1 14 x 1 15 P 7 : z 7 = 137 P 8 : z 8 = 1367,143 x 1 = 14 x 2 = 17 x 3 = 43 x 4 = 1 x 1 = 15 x 2 = 17 x 3 = 44 x 5 =,2857

22 Chapitre 4 La programmation linéaire en nombres entiers 4-15b. La méthode SÉP et les cas d égalité - Arbre d'énumération : z = 615,27 x 2 = 18,5455 x 3 = 2,1818 x 5 = 3,2727 x 2 18 x 2 19 P 1 : z 1 = 66,86 x 2 = 18 x 3 = 2 x 5 = 3,4286 e solution issible x 5 3 x 5 4 P 3 : z 3 = 595,5 P 4 : z 4 = 576 x 2 = 18 x 3 = 2,375 x 4 =,375 x 5 = 3 x 2 = 16 x 3 = 1,333 x 5 = 4 x 4 = x 4 1 P 5 : z 5 = 588 P 6 : z 6 = 572,36 x 2 = 18 x 3 = 3 x 5 = 3 x 2 = 17,7273 x 3 = 2,991 x 4 = 1 x 5 = 2,3636

Solutions des problèmes 23 (c) La séquence des séparations est décrite au tableau ci-dessous. Lors de la séparation du nœud ( ), il y a égalité entre les variables x 2 et x 5, car leurs coefficients dans la fonction-objectif sont égaux. De plus, dans la solution optimale x de ( ), ces deux variables sont à la même distance de l'entier le plus près. Il serait correct de retenir l'une ou l'autre de ces variables candidates. Cependant, au lieu de choisir au hasard, nous avons préféré les départager à l'aide du critère du plus petit indice : on retiendra donc x 2 comme variable selon laquelle séparer. La solution optimale du modèle correspond au nœud (P 1 ). Solution optimale Nœud Contraintes x 2 x 5 z 8,75 8,25 z = 24 z * 24 x 2 8 x 2 9 8 9 z 1 = 24 x 1 z * = 24 (d) La séquence des séparations est décrite au tableau ci-dessous. Lors de la 2 e séparation, il y a égalité entre les nœuds (P 1 ) et ( ), car z 1 = z 2 = 45. Il serait correct de retenir l'un ou l'autre de ces nœuds candidats. Cependant, au lieu de choisir au hasard, nous avons préféré les départager à l'aide de la remarque suivante : parmi les coordonnées des solutions optimales x 1 et x 2 associées aux deux nœuds candidats, la variable la plus distante de l'entier le plus près apparaît dans le nœud (P 1 ) : il s'agit en effet de x 1 qui, dans (P 1 ), prend la valeur 2,85. Nous avons donc décidé de séparer le nœud (P 1 ). La solution optimale du modèle correspond au nœud (P 7 ). Solution optimale Nœud Contraintes x 1 x 2 x 4 z 2,4 6,45 z = 35,1 35,1 z * x 4 6 2,85 6 z 1 = 45 x 4 7 2,95 7 z 2 = 45 45 z * P 1 x 1 2 2,57 6 z 3 = 66,67 z 3 z 4 P 1 x 1 3 3 6 z 4 = 48 x 4 45 z * 48 x 1 2 2 1,9 7 z 5 = 159 z 5 z 4 45,9 z * 48 P 6 x 1 3 3 7,5 z 6 = 45,9 P 6 x 4 7 x 4 8 3 3,95 7 8 z 7 = 46 z 8 = 63 x 7 z 8 z 7 z * = 46

24 Chapitre 4 La programmation linéaire en nombres entiers 16. Un problème d embauche (a) Définition des variables de décision : x ij = nombre de candidats de la spécialité i affectés à la production de J y ij = nombre de jours de travail des employés de spécialité i consacrés à la production de J. Le modèle s'écrit : Min z = 15(x 1A + x 1B ) + 2(x 2A + x 2B ) + 2(y 1A + y 1B ) + 21(y 2A + y 2B ) sous les contraintes : DISP S1 x 1A + x 1B 12 DISP S2 x 2A + x 2B 8 CONTRAT A 6 y 1A + 48 y 2A 8 CONTRAT B 48 y 1B + 64 y 2B 12 MAXJ 1A 2 x 1A + y 1A MAXJ 1B 2 x 1B + y 1B MAXJ 2A 25 x 2A + y 2A MAXJ 2B 25 x 2B + y 2B x ij et entier y ij. (b) Le tableau de la page suivante décrit les séparations successives lorsque le modèle (P) est résolu selon le critère de la variable la plus distante. La figure donne l'arbre d'énumération résultant de ces séparations. Une solution optimale donne : x 1A = 7 y 1A = 133,333 x 2B = 8 y 2B = 187,5 z = 68 691,67.

Solutions des problèmes 25 4-16. Un problème d embauche - Séquence des séparations et arbre d'énumération Nœud Contraintes Valeurs optimales z = 68 541,67 68 541,67 z * x 2B 7 z 1 = 69 275 x 2B 8 z 2 = 68 641,67 68 641,67 z * P 1 x 1A 6 x 1A 7 z 4 = 68 691,67 x 4 z * = 68 691,67 : z = 68 541,67 x 1A = 6,67 x 2B = 7,5 x 2B 7 x 2B 8 P 1 : z 1 = 69 275 : z 2 = 68 641,67 x 1A = 6,67 x 1B =,83 x 2B = 7 x 1A = 6,67 x 2B = 8 x 1A 6 x 1A 7 P 3 P 4 : z 4 = 68 691,67 e solution issible x 1A = 7 x 2B = 8

26 Chapitre 4 La programmation linéaire en nombres entiers 17. Les panneaux de bois (a) Définition des variables de décision : x J = nombre de rafales confiées à l'équipe J y = nombre total de panneaux produits. Le modèle s'écrit : Max z = y sous les contraintes : FIXATION 6 x A 9 x B 9 x C + y PLACAGE 16 x A 12 x B 12 x C + 2 y 2 5 OKOUMÉ 4 x A + 6 x B + 4 x C 4 RÉSINE 2 x A + 24 x B + 22 x C 16 CLAUSE B x A + x B x C CLAUSE A x A x C 2 x J et entier tout J y. Noter que l'intégrité de y est garantie par celle des variables x J en vertu des deux premières contraintes technologiques et de l'objectif de maximisation. Les séparations seront donc limitées aux variables x J. (b) Le tableau ci-dessous décrit les séparations successives lorsque le modèle (P) est résolu selon le critère de la variable la plus distante. La figure de la page suivante donne l'arbre d'énumération résultant de ces séparations. L'usine peut produire 5 868 panneaux au maximum : elle atteindra ce maximum en confiant 177 rafales à l'équipe A, 356 rafales à B et 178 rafales à C. Nœud Contraintes Valeurs optimales z = 5 869,27 z * 5 869,27 x B 355 z 1 = 5 862 x 1 x B 356 z 2 = 5 868,92 5 862 z * 5 868,92 x A 176 x A 177 z 3 = 5 867,46 z 4 = 5 868 z 3 z 4 x 4 z * = 5 868

Solutions des problèmes 27 4-17. Les panneaux de bois - Arbre d'énumération : z = 5 869,27 x A = 176,61 x B = 355,5 x C = 178,9 x B 355 x B 356 P 1 : z 1 = 5 862 : z 2 = 5 868,92 x A = 176 x B = 355 x C = 179 x A = 176,58 x B = 356 x C = 178,38 x A 176 x A 177 P 3 : z 3 = 5 867,46 P 4 : z 4 = 5 868 x A = 176 x B = 356 x C = 178,91 x A = 177 x B = 356 x C = 178

28 Chapitre 4 La programmation linéaire en nombres entiers 18. Le rapatriement des pélerins. (a) Le tableau de la page suivante décrit les 1 premières séparations lorsqu on résout le modèle (P) selon le critère du meilleur c j. Les valeurs des variables dans les solutions optimales des différents nœuds sont données ci-dessous. N o x 11 x 12 x 13 x 21 x 22 x 23 x 31 x 32 x 33 5,21 4,38 5,62 4,79 3,43 1 4,84 4,74 5,26,33 5,16 3 2 5,21 4,38 5,62 4,28 4 3 5 4,58 5,27,33 5,15 3 4 4 5,56 4,44 1,8 6 2,5 5 5,6 4 5,3,3 4,4,7 3 6 4,57 5,43 4,85,34 5,15 3 7 6 3,61 5,31,28 4 1,7 3 8 5 4,7 5,63 5,38 2,72 9 6,63 3 5,34,26 3,37 1,66 3 1 5,6 4,4 4,93,3 4 1,7 3 11 3,96 5,59 4,41 1,11 6,4 2 12 4 5,56 4,44 1,8 6 3 13 4 5,56 4,41 1,11 6,4 2 14 3 6,53 3,47 1,97 7,91 15 4 5,67 4,96,61 6,4 2 16 3,54 6,46 3,96 1,13 6,4 2 17 7 2,64 5,36,24 3 2 3 18 6 3,73 5,63 4 1,38 2,63 19 7,66 2 5,39,21 2,34 2,61 3 2 6,63 3,37 5,25 3 2 3 (b) Pour rapatrier les 34 pèlerins à destination de New York, il faudra 1 cars dans le meilleur des cas : en effet, c est le transporteur 2 qui offre les cars de plus grande capacité et au moins 34 / 36 = 9,444 véhicules seront requis. Et il faut évidemment arrondir vers le haut, 9 cars pouvant accommoder au maximum 9 36 = 324 passagers. Les membres droits des 3 contraintes additionnelles s obtiennent donc de la façon suivante, où x dénote le plus petit entier qui est x (par exemple, 3,7 = 4 et 3 = 3) : MIN CAR NY 34 / max {35; 36; 3} = 34 / 36 = 9,444 = 1 MIN CAR CH 18 / max {3; 32; 35} = 18 / 35 = 5,143 = 6 MIN CAR SL 195 / max {25; 27; 22} = 195 / 27 = 7,222 = 8.

Solutions des problèmes 29 MOG4-18. Séquence des séparations pour le modèle sans les contraintes additionnelles Nœud Contraintes Valeurs optimales z = 26 648,21 26 648,21 z * x 33 3 z 1 = 26 651,33 x 33 4 z 2 = 26 673,5 26 651,33 z * P 1 x 31 5 z 3 = 26 652,22 P 1 x 31 6 z 4 = 26 658,33 26 652,22 z * P 3 P 4 x 12 4 z 5 = 26 655,56 P 3 x 12 5 z 6 = 26 664,37 26 655,56 z * P 4 P 5 P 6 x 31 4 z 7 = 26 657,78 P 5 x 31 5 z 8 = 26 725,63 26 657,78 z * P 4 P 6 P 7 P 8 x 12 3 z 9 = 26 661,27 P 7 x 12 4 z 1 = 26 669,11 26 658,33 z * P 4 P 6 P 8 P 9 P 1 P 4 x 33 2 x 33 3 z 11 = 26 658,67 z 12 = 26 645,33 26 658,67 z * P 6 P 8 P 9 P 1 P 11 P 12 P 11 x 31 6 x 31 7 z 13 = 26 658,89 z 14 = 26 666,67 26 658,89 z * P 6 P 8 P 9 P 1 P 12 P 13 P 14 P 13 x 12 5 x 12 6 z 15 = 26 725,56 z 16 = 26 671,84 26 661,27 z * P 6 P 8 P 9 P 1 P 12 P 14 P 15 P 16 P 9 x 31 3 x 31 4 z 17 = 26 663,33 z 18 = 26 735,63 26 663,33 z * P 6 P 8 P 1 P 12 P 14 P 15 P 16 P 17 P 18 P 17 x 12 2 x 33 3 z 19 = 26 666,98 z 2 = 26 673,86 26 664,37 z * P 6 P 8 P 1 P 12 P 14 P 15 P 16 P 18 P 19

3 Chapitre 4 La programmation linéaire en nombres entiers (c) La résolution du modèle avec les contraintes additionnelles exige seulement 2 séparations! Les tableaux ci-dessous décrivent, l un la séquence des séparations, l autre les valeurs des variables dans les solutions optimales des différents nœuds. Nœud Contraintes Valeurs optimales z = 27 351,6 27 351,6 z * x 33 2 z 1 = 27 37,5 x 33 3 z 2 = 27 353 27 353 z * P 1 x 13 3 x 13 4 z 3 = 27 357 z 4 = 27 473 x 3 z 4 z 3 z * = 27 357 N o x 11 x 12 x 13 x 21 x 22 x 23 x 31 x 32 x 33 6,67 3,33 6 4 1,4 2,6 1 6,67 3,33 4,5 1,5 5,5,5 2 2 6,67 3,33 6 3 2 3 3 7 3 6 3 2 3 4 6,11 4 6 3 2 3 (d) Seule la 2 e des contraintes additionnelles est affectée par le changement de données. Le nouveau membre droit se calcule ainsi : 16 / max {3; 32; 35} = 16 / 35 = 4,571 = 5. Enfin, le tableau de la page suivante décrit les séparations, tandis que les valeurs des variables x ij sont données ci-dessous. N o x 11 x 12 x 13 x 21 x 22 x 23 x 31 x 32 x 33 5,43 2,14 2,43 5 1,57 2,86 3,57 1 3,6 3,67 2,73,4 4,33,27 3 2 3 2 6,2 1,5 2,3 5,5 3,5 4 3 6,56 1,2 2,24 5 3,8 4,2 4 5,64 1,96 2,39 5 1 3,4 4 5 6,8 1 2,2 5 4 4 6 6,15 1,85 2 5 3,15 5 7 6 2 2 5 1 3 4,5 8 2 5 3 5 4,28 4 9 5,94 2,6 2,6 4,91,4 1 3,4 4 1 5,22 2,78 2 5 1 2,22 5 11 6 2 2 4,96,4 1 3,4 4 12 5 3 2,15 4,75,1 1,85 2,25 4 13 6 2 2 4 1 1 3,4 4 14 6 2 2 5 1 3 4 15 7 1 2 5 4 4 16 6,11 1 3 5 4 4 17 2,5 5,5 2 1,5 2,5 1 3 2 3 18 2 5 3,2 4,67,13 4,8,33 3

Solutions des problèmes 31 MOG4-18. s avec les données modifiées et les contraintes additionnelles Nœud Contraintes Valeurs optimales z = 26 282,14 26 282,14 z * x 33 3 z 1 = 26 323 x 33 4 z 2 = 26 287,5 26 287,5 z * P 1 x 31 = z 3 = 26 29 x 31 1 z 4 = 26 297,22 26 29 z * P 1 P 3 P 4 x 33 4 z 5 = 26 322 P 3 x 33 5 z 6 = 26 344,44 26 297,22 z * P 1 P 4 P 5 P 6 x 13 2 z 7 = 26 36 P 4 x 13 3 z 8 = 26 361 26 36 z * P 1 P 5 P 6 P 7 P 8 x 33 4 z 9 = 26 31,6 P 7 x 33 5 z 1 = 26 366,67 26 31,6 z * P 1 P 5 P 6 P 8 P 9 P 1 x 12 3 z 11 = 26 311 P 9 x 12 4 z 12 = 26 34,75 26 311 z * P 1 P 5 P 6 P 8 P 1 P 11 P 12 P 11 x 22 4 x 22 5 z 13 = 26 519 z 14 = 26 42 26 322 z * P 1 P 5 P 6 P 8 P 1 P 12 P 13 P 14 x 13 2 z 15 = 26 325 x 15 P 5 x 13 3 z 16 = 26 442 26 323 z * 26 325 P 1 P 1 x 13 2 x 13 3 z 17 = 26 471,5 z 18 = 26 334 z * = 26 325 La solution optimale correspond au nœud (P 15 ) : x 11 = 7 et x 12 = 1 et x 13 = 2 et x 22 = 5 et x 32 = x 33 = 4 et x 21 = x 23 = x 31 = z = 26 325.