P a g e 1 TS Physique Exercice résolu Enoncé Remarque : les deux premières parties sont indépendantes. A. Première partie : temps de demi-vie Le thorium 23 Th est utilisé dans la datation des coraux et concrétions carbonatées ainsi que dans la datation des sédiments marins et lacustres. Dans un échantillon de «thorium 23», on appelle (t) le nombre de noyaux de thorium présents à chaque date t et celui des noyaux (t) présents à la date t = an. On a représenté ci-dessous la courbe donnant le rapport en fonction (t) du temps : (t) 1. Le noyau 23 Th est un émetteur α et se désintègre pour donner du 88 Ra. Indiquer ce que représente α et écrire l équation de la réaction nucléaire correspondante, en précisant les lois utilisées (le noyau de radium est obtenu dans un état non excité). 2. Donner la définition du temps de demi-vie et vérifiez graphiquement que sa valeur est de 7,5 1 4 années. 3. Donner l expression mathématique de la loi de décroissance radioactive et calculer la constante radioactive λ en année 1. 4. Parmi ces grandeurs : - l âge de l échantillon de noyaux, - la quantité initiale de noyaux, - la température, - la nature des noyaux, quelle est la seule grandeur qui fait varier le temps de demi-vie?
P a g e 2 5. Le thorium 23 Th fait partie de la famille radioactive de l uranium U. Une famille radioactive est composée d un ensemble de noyaux radioactifs, tous issus d un noyau initial instable qui, de père en fils, par désintégrations successives conduisent à un noyau stable, ici le «plomb 26». L «uranium», dissous à l état de traces dans l eau de mer, produit des atomes de «thorium 23» suivant les réactions nucléaires suivantes : 234 234 234 23 92U 9Th 91Pa Z U 4 Z Th 5 Donner les valeurs de Z 4 et Z 5 et indiquez le type de radioactivité pour les deux premières transformations. 6. Au début de leur formation, les concrétions carbonatées des coraux contiennent de l «uranium» et pas de «thorium 23». La méthode de datation de ces carbonates repose sur le rapport des nombres de noyaux : 23 ( Th) ( U). Ce rapport augmente au cours du temps jusqu à «l équilibre séculaire». Celui-ci correspond à l état où les deux populations des noyaux d «uranium» et de «thorium 23» ont même activité. d(t) a) L activité A(t) d une population de noyaux identiques est définie ici par : A(t) =. dt Montrer que, pour une population de noyaux donnée, A(t) = λ.(t). b) En déduire qu à l équilibre séculaire le rapport B. Deuxième partie : temps de demi-réaction 23 ( Th) ( U) est constant. On étudie maintenant la décomposition chimique au cours du temps, en présence d un catalyseur, d une solution aqueuse de peroxyde d hydrogène ou eau oxygénée, de concentration molaire initiale [H 2 O 2 ] = 9, 1 2 mol.l 1 en soluté apporté. Le peroxyde d hydrogène se décompose à température ambiante suivant la réaction d équation : 2 H 2 O 2 (aq) = O 2 (g) + 2 H 2 O La courbe 1 de l annexe n 1 donne l évolution de la concentration de la solution aqueuse d eau oxygénée en fonction du temps. 1. L eau oxygénée est le réducteur du couple O 2 (g) /H 2 O 2 (aq). En utilisant l équation associée à la réaction précédente, donner le second couple auquel appartient l eau oxygénée, en précisant le rôle de celle-ci. 2. Justifier, en exploitant la courbe et sans calcul, le fait que l on peut considérer la décomposition du peroxyde d hydrogène comme une transformation chimique lente et totale. 3. Définir le temps de demi-réaction. Déterminer sa valeur approximative à partir de la courbe 1. 4. Effet de la concentration initiale La courbe 2 en annexe n 1 donne l évolution de la concentration de la solution d eau oxygénée en fonction du temps, avec [H 2 O 2 ] = 1,8 1 1 mol.l -1. En utilisant les courbes 1 et 2, dire quelle est l influence de la concentration molaire initiale sur le temps de demi-réaction? 5. Effet de la température Sur la figure en annexe tracer l allure de la courbe donnant, pour une température plus faible, l évolution de la concentration de la solution d eau oxygénée en fonction du temps, avec [H 2 O 2 ] = 9, 1 2 mol.l -1.
P a g e 3 C. Troisième partie : Conclusion (t) et [H 2O 2 ](t) évoluent dans le temps suivant la même loi mathématique (résultat obtenu dans le cas de la réaction étudiée et non généralisable à toute transformation chimique). Quelle(s) analogie(s) et quelle(s) différence(s) peut-on constater en ce qui concerne les facteurs qui influencent le temps de demi-vie et le temps de demi-réaction dans les exemples étudiés? Répondre à cette question en complétant le tableau de l annexe n 2 par OUI ou O dans chaque case (ne pas justifier).
P a g e 4 Annexe Annexe n 1 [H 2 O 2 ] (mol.l 1 ) 18 1 2 Courbe 2 1 1 2 Courbe 1 1, 1 2 t (min) 1 5
P a g e 5 Annexe n 2 FACTEURS Age de l'échantillon Quantité initiale de noyaux ou de réactifs Température du milieu ature du noyau ou du réactif Temps de demi-vie Temps de demi-réaction
P a g e 6 Corrigé A. Première partie : temps de demi-vie 1. Le noyau 23 Th est un émetteur α et se désintègre pour donner du 88Ra. Indiquez ce que représente α et écrivez l équation de la réaction nucléaire correspondante, en précisant les lois utilisées (le noyau de radium est obtenu dans un état non excité). α est un noyau d'hélium. On applique les lois de conservation de Soddy. On trouve : A = 226 et Z = 9. On obtient l'équation suivante : 23 9 Th 4 2 He + 226 88 Ra 2. Donnez la définition du temps de demi-vie et vérifiez graphiquement que sa valeur est de 7,5 1 4 années. Le temps de demi-vie est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux radioactifs initialement présents dans un échantillon s est désintégrée. Donc à t =, on a ( ) = 2 => (t 1 / 2) 1 =. 2 Graphiquement, pour (t 1 / 2) 1 = on trouve : = 7,5 1 4 années. 2 3. Donnez l expression mathématique de la loi de décroissance radioactive et calculez la constante radioactive λ en année 1..t Loi de décroissance radioactive : (t) =. e λ avec λ : constante radioactive λ = Ln2 t 1 / 2 Ln2 soit λ = 4 7,5 1 = 9,2 1 6 année 1 4. Parmi ces grandeurs : l âge de l échantillon de noyaux, la quantité initiale de noyaux, la température, la nature des noyaux quelle est la seule grandeur qui fait varier le temps de demi-vie? Le temps de demi-vie est caractéristique de la nature des noyaux et est indépendant des autres paramètres. 5. L «uranium», dissous à l état de traces dans l eau de mer, produit des atomes de «thorium 23» 234 234 234 23 suivant les réactions nucléaires suivantes : U Th Pa U Th 92 9 91 Z Z 4 5 Donnez les valeurs de Z 4 et Z 5 et indiquez le type de radioactivité pour les deux premières transformations. On applique les lois de conservation de Soddy: - 1 ère transformation : 92 U 234 9 Th + Z AX : A = 4 et Z = 2 A Z X est donc un noyau d'hélium 4 2 He : la première désintégration est de type α. - 2 nde transformation : 234 9 Th 234 91 Pa + Z A X : A = et Z = -1 A Z X est un électron 1 e : la seconde désintégration est du type β. - Valeurs de Z 4 et Z 5 : Un élément chimique est caractérisé par le nombre de charge Z. Le noyau 234 Z4 U appartient à l'élément uranium, donc Z 4 =92. Le noyau 23 Z Th appartient à l'élément thorium, donc 5 Z 5 = 9.
P a g e 7 6. a) Montrez que, pour une population de noyaux donnée, A(t) = λ.(t). d(t) A(t) = avec (t) =. e λ.t dt On dérive la fonction (t) par rapport à la variable t : λ.t λ.t d(t) d(.e ) d(e ).t = =. = -λ.. e λ => A(t) = λ.(t) dt dt dt 23 ( Th) b) En déduire qu à l équilibre séculaire le rapport est constant. ( U) - Soit λ 1 la constante radioactive du noyau 23 Th : A(t) = λ 1.( 23 Th). - Soit λ 2 la constante radioactive du noyau U : A(t) = λ 2.( U). A «l équilibre séculaire», les deux populations des noyaux d «uranium» et de «thorium 23» ont même activité : λ 1.( 23 Th) = λ 2. ( 23 ( Th) λ2 U) => = ( U) λ. Comme λ 1 et λ 2 sont des constantes, alors le rapport B. Deuxième partie : temps de demi-réaction 23 ( Th) ( U) 1 est constant. 1. L eau oxygénée est le réducteur du couple O 2 (g)/h 2O 2 (aq). En utilisant l équation associée à la réaction précédente, donnez le second couple auquel appartient l eau oxygénée, en précisant le rôle de celle-ci. L'équation d'une réaction d'oxydo-réduction s'obtient par l'addition de deux demi-équations. La première, pour le couple indiqué O 2 / H 2 O 2, est l oxydation de l'eau oxygénée qui joue alors le rôle de réducteur : H 2 O 2 = O 2 + 2 e + 2 H + (1) La deuxième, pour le couple H 2 O 2 / H 2 O recherché, est la réduction de l'eau oxygénée qui joue alors le rôle d'oxydant : H 2 O 2 (aq) + 2 e + 2 H + (aq) = 2 H 2 O (aq) (2) En faisant (1) +(2), on retrouve bien : 2 H 2 O 2 (aq) = O 2 (g) + 2H 2 O 2. Justifiez en exploitant la courbe, sans calcul, le fait que l on peut considérer la décomposition du peroxyde d hydrogène comme une transformation chimique lente et totale. Transformation chimique lente car elle dure environ 1h. Transformation chimique totale car en fin de transformation [H 2 O 2 ] = mol.l 1 : le seul réactif (donc limitant) est totalement consommé. 3. Définissez le temps de demi-réaction. Déterminez sa valeur approximative à partir de la courbe 1 en annexe. Le temps de demi-réaction est la durée nécessaire pour que l'avancement x atteigne la moitié de sa valeur finale. x Ici la transformation est totale, soit x final = x max et, pour t =, on a : x = max 2. Donc : [H 2 O 2 ] = x n(h2 O 2) 2 V max où encore : [H 2 O 2 ] = [H 2 O 2 ] x max 2V
P a g e 8 avec : - V : volume réactionnel, - n(h 2 O 2 ) : quantité de matière initialement présente de peroxyde d'hydrogène. L'eau oxygénée est totalement consommée, donc : n(h 2 O 2 ) x max = soit x max = n(h 2 O 2 ) donc x max = [H 2 O 2 ].V => [H 2 O 2 ] = [H 2 O 2 ] [H2 O 2] 2 Graphiquement on trouve : [H 2 O 2 ] = et [H 2 O 2 ] = 9, 1 2 2 [H2 O 2] 2 = 4,5 x 1-2 mol.l -1 pour t = = 5, min. 4. En utilisant les courbes 1 et 2, dites quelle est l influence de la concentration molaire initiale sur le temps de demi-réaction? Pour [H 2 O 2 ] = 1,8 1 1 mol.l 1, la courbe 2 permet de déterminer = 5,5 min Il semble que la concentration molaire initiale n'ait que peu ou pas d'influence sur la valeur du temps de demi-réaction. 5. Sur la figure en annexe tracez l allure de la courbe donnant, pour une température plus faible, l évolution de la concentration de la solution d eau oxygénée en fonction du temps, avec [H 2O 2] = 9, 1 2 mol.l -1. Si la température est plus faible, la réaction est plus lente mais sa limite est la même. L allure de la courbe est donc la même mais le temps de demi-réaction est plus élevé et la concentration [H 2 O 2 ] = mol.l -1 est atteinte après une durée plus importante. C. Troisième partie : conclusion Quelle(s) analogie(s) et quelle(s) différence(s) peut-on constater en ce qui concerne les facteurs qui influencent le temps de demi-vie et le temps de demi-réaction dans les exemples étudiés? Répondez à cette question en complétant le tableau ci-dessous par OUI ou O dans chaque case : FACTEURS Age de l'échantillon Quantité initiale de noyaux ou de réactifs Température du milieu ature du noyau ou du réactif Temps de demi-vie O O O OUI Temps de demi-réaction O O (dans cet exercice) OUI OUI