OPTIMISATION D ÉCOULEMENT DES PUISSANCES PAR ALGORITHMES INTELLIGENTS

Électrotechnique et électroénergétique OPTIMISATION D ÉCOULEMENT DES PUISSANCES PAR ALGORITHMES INTELLIGENTS MIMOUN YOUNES 1, MOSTEFA RAHLI 2, MOHAMED ABID 1, MALIKA KANDOUCI 1. Mots-clé : Algorithmes génétiques (AG), Algorithmes colonies des fourmis (ACF), Algorithme de D.F.P, Répartition imale des puissances. L imisation d écoulement des puissances (imal power flow ou OPF en anglais) est l une des fonctions principales de l'opération de production et du contrôle d'énergie électrique. L'objectif général est la détermination imale de production des unités afin de réduire au minimum le coût de production tandis que le système actionne dans sa limite de sécurité. Cet article présente une approche de l'algorithme de recherche de colonie de fourmi pour ce problème. Cette méthode a été appliquée sur la partie ouest du réseau algérien (220kV). 1. INTRODUCTION L imisation d écoulement des puissances (OPF), est un problème de programmation non linéaire. Elle est employé pour déterminer les sorties imales du générateur dans le système d'alimentation, avec un objectif pour réduire au minimum le coût de production total, tandis que le système fonctionne dans sa limite de sécurité [1 3]. On a utilisé la méthode classique, élaborée par Davidon Fletcher-Powel (D.F.P) [2 6]. Cette méthode est parmi celles qui ont été utilisées dans le dispatching économique. En effet, cette méthode consiste en une généralisation de la formule itérative de Newton [4]. Pour résoudre ce problème, malheureusement cette méthode comme les méthodes déterministes souffrent de trois problèmes principaux. Premièrement, ils peuvent ne pas pouvoir fournir la solution imale et se coincer habituellement à un imal local, toutes ces méthodes sont basées sur l'acceptation de la continuité de la fonction objective qui n'est pas toujours réalisable dans la pratique. Ces méthodes ne peuvent pas être appliquées avec les variables discrètes. Or l'algorithme génétique (AG) et l'algorithme de recherche de colonie de fourmis 1 Laboratoire IRECOM, Université Sidi Bel Abbés Faculté d ingénieur Département d électrotechnique, Sidi Bel Abbés, 22000 Algérie, IRECOM_younesmi@yahoo.fr 2 Laboratoire ORE, USTO, BP 1505, Oran El M naouer, 33000 Algerie Rev. Roum. Sci. Techn. Électrotechn. et Énerg., 52, 1, p. 3 12, Bucarest, 2007

4 Mimoun Younes et al. 2 (ACF) sont des méthodes appropriées pour résoudre ce problème, qui éliminent les inconvénients ci-dessus. Ces méthodes ont été appliquées sur la partie ouest du réseau algérien (220 kv). Dans cet article, on présente le problème posé par l industriel et comment on le modélise, et on lui donne une forme mathématique (un polynôme du deuxième degré), en tenant compte des contraintes. Après, on développe l algorithme à colonie de fourmis, sans oublier de donner un bref aperçu sur l algorithme génétique. Enfin, nous simulons le fonctionnement de notre réseau avec les trois méthodes, puis nous faisons une comparaison entre les trois méthodes. 2. MODÈLE MATHÉMATIQUE La fonction du coût pour le ième générateur (unité de production) se présente le plus souvent sous la forme d un polynôme du deuxième degré [2, 3]: 2 0 1 Gi 2 Gi f ( P) = a + a P + a P. (1) i Les coefficients a 0, a 1, a 2, sont propres à chaque unité de production, on les détermine à l aide des méthodes d'interpolation comme par exemple celles de Lagrange, de Newton ou des Moindres Carrés. Afin de minimiser le coût de production total d un réseau interconnecté, on doit minimiser la somme des fonctions de coût des unités de production et poser la formule globale sous la forme suivante : ng Min f( PG) = fi( PGi). (2) i= 1 En prenant en considération les contraintes d égalité suivantes: ng nc P P P = 0, Gi chj L i= 1 j= 1 ng nc Q Q Q = 0; Gi chj L i= 1 j= 1 (3) ainsi que les contraintes d inégalité: min max Gi Gi Gi P P P min max Gi Gi Gi Q Q Q,, (4)

3 Optimisation d écoulement des puissances par algorithmes intelligents 5 où : f (P G ) fonction du coût total, ng nombre de générateurs, nc nombre de nœuds consommateurs, P G i puissance active générée au nœud i, Q Gi puissance réactive générée au nœud i, P ch j puissance active consommée au nœud j, Q ch j max puissance réactive consommée au nœud j, P L pertes totales dans le réseau, P GI max min puissance active maximale, Q Gi puissance réactive maximale, P Gi min puissance active minimale, Q Gi puissance réactive minimale. 3. LES ALGORITHMES À COLONIE DE FOURMIS Les techniques d imisation issues des colonies de fourmis (Ant Colony Optimization en anglais) ont été appliquées à divers problèmes d imisation comme la coloration de graphes [9] et le problème du voyageur de commerce [10]. La figure 1 montre comment les fourmis arrivent à trouver le chemin le plus court. Fig. 1 Contournement d un obstacle par une colonie de fourmis. L apparition d un obstacle sur un chemin entre la source de nourriture et le nid. Sur la Fig. 1, la présence d un obstacle sur le chemin contraint les fourmis à en faire le tour par l un des deux chemins (A ou B). Quand les fourmis commencent à arriver par la gauche du dessin, en moyenne, la moitié des fourmis choisissent le plus long chemin (B) et l autre moitié le plus court (A). Les fourmis déposant des phéromones, le chemin A sera plus marqué que B pour un temps donné. Comme les fourmis suivent en probabilité le chemin le plus marqué, le phéromone s amplifie et le chemin A devient majoritairement suivi par les ouvrières. Enfin, l aspect probabiliste du déplacement des fourmis assure qu elles seront toujours à la recherche d une meilleure solution puisque même quand les fourmis choisissent majoritairement le chemin A, la probabilité de choisir B ne devient pas nulle. De plus, les phéromones étant des substances chimiques volatiles, elles s évaporent avec le temps, ce qui permet aux fourmis de continuer l exploration de leur environnement. Dans une itération d algorithme ACF, f agents (fourmis) construisent chacune une solution d'après des décisions basées sur des critères heuristiques et sur des

6 Mimoun Younes et al. 4 traces de phéromone. Les traces sont mises à jour en examinant les solutions obtenues pour notre cas (OPF) le coût minimal de la production d énergie électrique représenté par la formule globale (2) du réseau interconnecté. Elles sont renforcées pour les décisions ayant donné de meilleures solutions et diminuées pour les autres. Ce mécanisme permet d'améliorer progressivement les solutions au cours des itérations [10]. En pratique, on construit f solutions initiales, puis on répète l'itération générale suivante jusqu à la réalisation d un critère d arrêt comme un nombre maximum d itérations ou un écart donné par rapport à une borne inférieure : 1. mise à jour des traces de phéromone dans le réseau ; 2. génération de f nouvelles solutions par les fourmis, en exploitant les traces de phéromone; 3.1. MISE À JOUR DES TRACES DE PHÉROMONE Au début, pour tout couple d arêtes à traiter (i, j), la quantité de phéromoneτ ij est nulle [12]. On la met à jour au début de chaque itération selon la formule (5), qui comprend un terme pour l évaporation et un pour le renforcement. f ij ij τij = 1 τ ρτ +, avec τ F ij =. (5) L Une idée simple est d affecter des poids égaux F = 1 aux fourmis, mais alors on ne tient pas compte de la qualité des solutions dans cette pondération supplémentaire des solutions. Les f solutions étant triées par coûts décroissants, une meilleure ion est d utiliser le rang de la fourmi en posant F =. Nous utilisons en fait des poids plus fins qui tiennent compte de la distance maximale G d entre deux arêtes à traiter : la formule (6) définit ainsi une fonction affine du rang m (entre 1 et f), prenant ses valeurs entre 1 et G d. Gd 1 f Gd F = +. (6) f 1 f 1 3.2. CONSTRUCTION DE NOUVELLES SOLUTIONS La règle de déplacement des fourmis est donnée suivant la formule (8), où α, β sont deux paramètres contrôlant l importance relative de l intensité de la piste τ ij et de la visibilité V ij, avec α = 0 seule la visibilité de j est prise en compte; le j le plus proche parmi les arcs est choisi à chaque pas. Au contraire, avec β = 0, seules les pistes des phéromones jouent. Pour éviter une sélection trop rapide d un trajet, un compromis entre ces deux paramètres, jouant sur les comportements de diversification et d intensification, est nécessaire. Après un tour complet, chaque

5 Optimisation d écoulement des puissances par algorithmes intelligents 7 fourmi laisse une certaine quantité de phéromones τ ij sur l ensemble de son parcours, quantité qui dépend de la qualité de la solution trouvée. La fourmi aveugle ne prend pas en considération les traces de phéromone choisi au hasard j parmi les K arcs les plus proches qui lui restent à traiter formule (7), avec une probabilité P a Avec la probabilité 1 P a, elle tient compte des phéromones et choisit j avec la formule (8). En prenant en considération les visibilités V ij et les tracesτ ij, pondérées par des puissances choisies α et β. ij 1 P ij = K si α β [ Vij ] [ τij ] α [ Vij ] [ τiq ] q ψ i t P = si j Ω sinon P = 0, (7) β i ij j ψ sinon P = 0, où : f nombre de fourmis. On identifie dans la suite les fourmis et leurs solutions, stockées dans une table triée par coût total décroissant. La meilleure solution est donc la dernière (indice f). G d la plus grande distance dans le graphe, V ij mesure de visibilité de l arc j depuis l arc i V ij = 1/d ij, τ ij taux de persistance des traces de phéromone 0 τ ij 1, F poids constant affecté à la fourmi n, P a probabilité de déplacement aveugle, ignorant les traces de phéromone, K nombre d'arcs les plus proches considérés lors d'un déplacement aveugle,τ ij quantité de phéromone sur le chemin de l arc i à l arc j, τ ij ajout de phéromone par la fourmi sur le chemin de l arc i vers l'arc j, L coût total de la solution trouvée par la fourmi, T liste "tabou" de la fourmi (ensemble des arcs déjà traités par la fourmi), Ω t ensemble des K arcs les plus proches de l'arc i (en terme de V ij ), non encore traités par, Ψ t ensemble des K meilleurs arcs (en terme de traceτ ij ), non encore traités par, P ij probabilité pour une fourmi de se déplacer de l arc i à l'arc j. ij (8) 3.3. STRUCTURE DE L'ALGORITHME La population des f fourmis comprend en fait f e fourmis "élitistes" et f f e fourmis "non-élitistes". Les élitistes assurent la convergence de l algorithme, tandis que les non élitistes explorent l espace de recherche pour maintenir la diversité des solutions et prévenir une convergence prématurée [12]. On remplace la dernière solution d'une fourmi élitiste par la nouvelle seulement en cas d'amélioration. Par contre, on remplace toujours la dernière solution d'une fourmi non élitiste par sa nouvelle solution, qu'il y ait amélioration ou dégradation. La Fig. 2 nous montre le principe de l algorithme de fourmis.

8 Mimoun Younes et al. 6 Fig. 2 Organigramme de l algorithme à colonie de fourmis. Notons qu'à toute itération les f e solutions des fourmis élitistes sont les meilleures solutions découvertes depuis le début de l'algorithme. L'algorithme est renforcé par une remise à 0 périodique des traces de phéromone, qui constituent la "mémoire" de l algorithme. Ce nettoyage est effectué chaque fois que I itérations ont été effectuées sans amélioration de la meilleure solution. 4. PRINCIPE DES ALGORITHMES GÉNÉTIQUES Un algorithme génétique est un algorithme itératif, il manipule une population de taille donnée. Cette population est formée de chromosomes. Chaque chromosome représente le codage d'une solution potentielle au problème à résoudre, il est constitué d'un ensemble de gènes [7, 8]. En appliquant les opérateurs génétiques (la sélection, le croissement et la mutation) à la population initiale, on arrive à créer une nouvelle population contenant le même nombre de chromosomes que la précédente mais qui ont des qualités meilleures que les précédentes et ainsi de suite en répétant le même processus on renouvelle à chaque fois la population à chaque génération en améliorant les qualités des chromosomes qui sont mieux adaptées à leur environnement qui est représenté par la fonction objective et de cette manière les chromosomes vont tendre vers l'imum de la fonction. La sélection des meilleurs chromosomes est la première opération dans un algorithme génétique [11]. Au cours de cette opération l'algorithme sélectionne les meilleurs éléments. Le croissement permet de générer deux chromosomes nouveaux "enfants" à partir de

7 Optimisation d écoulement des puissances par algorithmes intelligents 9 deux chromosomes sélectionnés "parents", tandis que la mutation réalise l'inversion d'un ou plusieurs gènes d'un chromosome. 5. APPLICATION ET COMPARAISON DES RÉSULTATS Dans cette dernière étape de notre travail, nous avons effectué la comparaison des résultats obtenus dans les trois approches d imisation après son application sur la partie ouest du réseau algérien (220 kv). Ce réseau est composé de 12 jeux de barres dont deux jeux de barres sont de type PV ayant pour fonction coût les expressions : 2 2 f P ) 0.085P + 150P 2000, f P ) 1.70P + 250P 3000 ; (9) 1 ( G1 = G1 G1 + avec les contraintes : 2 ( G2 = G2 G2 + 30 P G1 510, 10 P G2 70 ; (10) et avec la consommation totale : P Ch = 505 MW. (11) 5.1. CALCUL DES PERTES On a considéré les pertes actives sous deux variantes : 5.1.1. PREMIÈRE VARIANTE Comme une constante au niveau de l équation de bilan dont la valeur est déterminée par l algorithme de Gauss-Seidel. 5.1.2. DEUXIÈME VARIANTE Pour ce cas et pour les deux méthodes AG et ACF, les pertes actives ont été calculées par la méthode des B-Coefficients [2]. 5.1.3. TABLEAUX DES RÉSULTATS Les trois algorithme DFP, AG et ACF ont été programmés dans l environnement Matlab. Les résultats obtenus sont présentés respectivement dans les tableaux 1 et 2. PG 1 Le Tableau 1 présente les valeurs des paramètres et P 2 obtenues dans les trois approches, ainsi que la valeur de la fonction objectif dans le cas de la première variante. G

10 Mimoun Younes et al. 8 Tableau 1 Données Sonelgaz DFP GA ACF PG 1 466,05 460,7594 450,000000 449,824226 PG 2 54,88 59,228181 69,864954 69,999884 L [ MW] P 15,94 14,987 14,865 14,830 Coût [$/h] 278 376,01 275 342,69 270 392,79 270 298,227 Le Tableau 2 présente les valeurs des paramètres P 1 etp 2 obtenues dans les trois approches, ainsi que la valeur de la fonction objectif dans le cas de la deuxième variante. Tableau 2 G G Données Sonelgaz DFP GA ACF PG 1 466,05 460,7594 450,117188 450,000000 PG 2 54,88 59,228181 69,882938 69,983235 P L [ MW] 15,94 14,987 14,987 14,987 Coût [$/h] 278 376,01 275 342,69 270 516,30 270 447,73 6. CONCLUSION Cet article présente un algorithme à colonie de fourmis pour (OFP). Il a la capacité de l amélioration des solutions à la fin de chaque itération. Les résultats trouvés montrent clairement son efficacité, car dans les deux cas étudiés nous avons montré que les valeurs des fonctions coûts sont bonnes par rapport aux données de la Sonelgaz et à la méthode classique (DFP) et même par rapport à la méthode génétique. Cette application sur l OPF est très encourageante, car un nombre assez faible d itérations a été accordé à l algorithme. Le processus de convergence semble être correctement géré puisque sur certaines instances l algorithme améliore encore sa meilleure solution vers la dernière itération. Cela montre que l algorithme ne converge pas prématurément vers des minima locaux dont il ne pourrait plus s extraire. Ce bon comportement est probablement favorisé par la remise à 0 périodique des traces de phéromone. Le principal inconvénient de l'approche réside dans le coût relativement élevé de la génération des solutions. Les temps de calcul pour une itération de

9 Optimisation d écoulement des puissances par algorithmes intelligents 11 l'algorithme à fourmis nous ont conduit à réaliser un très faible nombre d'itérations par rapport au nombre d'itérations réalisées par l'algorithme génétique. APPENDIX Choix des paramètres de l AG : la taille de population = 110, probabilité de croissement = 0,9, probabilité de mutation = 0,01, itération maximum (nombre de génération) = 350. Choix des paramètres de l ACF : f = 40 fourmis, α = 0,5, β = 0,08 pondération pour la formule (8), ρ = 0,9, p taux de persistance de la phéromone, K = 10, taille des ensembles Ψ t et Ω t, P a = 0,1, probabilité de déplacement aveugle, f e = 5 fourmis elitilistes, I max = 300 itérations. Reçu le 1 juillet, 2005 REFERENCES 1. M.Rahli, P.Pirotte, Dispatching économique par une nouvelle méthode de programmation non linéaire à la répartition économique des puissances actives dans un réseau d énergie électrique, CIMASI 96, Casablanca, Maroc, 14-16 novembre 1996, pp. 325-330. 2. M.Rahli, Contribution à l étude de la répartition imale des puissances actives dans un réseau d énergie électrique, Thèse de doctorat, 06 janvier 1996, USTO, Algérie. 3. M. Younes, M. Rahli, R. Ouiddir, H. Koridak, La répartition imal des puissances en utilisant l algorithme génétique, ICEEE 2004, Laghouat, 24-25-26 april, 2004, pp. 354-358. 4. M.Minoux, Programmation mathématique théorie et algorithmes, Tome I, Dunod, 1983. 5. G.W. Stagg et Ahmed H. El Abiadh,Computer methods in power systems analysis, Edition Mc Graw-Hill International Book Company, 1968. 6. D. Himmelblau, Applied non linear programming, Mc Graw-Hill, 1972. 7. David E. Goldberg, Algorithmes génétiques, Addison Wesley, France, SA, 1994. 8. J. Holand, Adaptation in natural and Artificial Systems, The university of Michigan press, Ann Arbor, USA, 1975. 9. D. Costa, A. Hertz, Ants can colour graphs, JORS, 48, 3, pp. 295-305, 1997. 10. M. Dorigo, L.M. Gambardella, Ant colony system: a cooperative leaning approach to the Travelling Salesman Problem, IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 1, 1, pp. 53-66, 1997.

12 Mimoun Younes et al. 10 11. G. Fleury, Méthodes stochastiques et déterministes pour les problèmes NP-difficiles, Thèse de l Université Blaise Pascal, 1993. 12. Nicolas Monmarché, Algorithmes de fourmis artificielles applications à la classification et à l imisation, Thèse de l Université François Rabelais Tours, 2000. 13. P. Lacomme, C. Prins, W. Ramdane-Chérif, Competitive genetic algorithms for the Capacitated Arc Routing Problem and its extensions, dans E.J.W. Boers et al. (éd.), Applications of evolutionary computing, pp. 473-483, Lecture Notes in Computer Science 2037, Springer, 2001. OPTIMAL POWER FLOW BY INTELLIGENT ALGORITHMS MIMOUN YOUNES, MOSTEFA RAHLI, MOHAMED ABID, MALIKA KANDOUCI Key words: Genetic algorithm, Ant algorithm, DFP algorithm, Optimal power flow. The imal power flow is one of the principal functions of the operation of production and the power electric control. The general objective is the imal determination of production of the units in order to reduce the production cost to the minimum while the system actuates within its safety limit. This article presents an approach of the Ant Colony Optimization (ACO) for this problem. This method was applied to the western part of the network Algeria (220 kv).