Nouvelles propositions pour la résolution exacte du problème de sac à dos bi-objectif unidimensionnel en variables binaires

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1 Nouvelles propositions pour la résolution exacte du problème de sac à dos bi-objectif unidimensionnel en variables binaires Julien Jorge, Xavier Gandibleux Laboratoire d Informatique de Nantes Atlantique février 2007 FRANCORO V / ROADEF 07 Grenoble Julien Jorge, Xavier Gandibleux (LINA) Résolution exacte du problème bi-01kp février / 24

2 Plan 1 Le problème du sac-à-dos Formulation du problème bi-01kp Solutions efficaces et points non dominés 2 Le point de départ Existant pour la résolution de bi-01kp Algorithme en deux phases pour bi-01kp Démarche adoptée utilisation d un ranking en seconde phase 3 Améliorations et nouveaux algorithmes Retour sur le branch and bound en phase 2 k meilleures solutions (ranking) 4 Expérimentations numériques Julien Jorge, Xavier Gandibleux (LINA) Résolution exacte du problème bi-01kp février / 24

3 Plan 1 Le problème du sac-à-dos Formulation du problème bi-01kp Solutions efficaces et points non dominés 2 Le point de départ Existant pour la résolution de bi-01kp Algorithme en deux phases pour bi-01kp Démarche adoptée utilisation d un ranking en seconde phase 3 Améliorations et nouveaux algorithmes Retour sur le branch and bound en phase 2 k meilleures solutions (ranking) 4 Expérimentations numériques Julien Jorge, Xavier Gandibleux (LINA) Résolution exacte du problème bi-01kp février / 24

4 Formalisation du bi-01kp n max. z j (x) = p j i x i j {1, 2} i=1 n s/c w i x i ω i=1 x i {0, 1} i {1,..., n} w i N i {1,..., n} p j i N i {1,..., n}, j {1, 2} Exclusion des cas triviaux : n w i > ω i=1 w i > 0, i (p 1 i > 0) (p 2 i > 0), i Julien Jorge, Xavier Gandibleux (LINA) Résolution exacte du problème bi-01kp février / 24

5 Solutions efficaces et points non dominés Espace de décision X = {x {0, 1} n : Ax b} deux solutions x, x X Espace des objectifs Z = z(x) = {Cx : x X} points z(x), z(x ) X EM : l ensemble complet maximal des solutions efficaces. Toutes les solutions pour chaque point non dominé. X Em : un ensemble complet minimal des solutions efficaces. Une solution par point non dominé. Julien Jorge, Xavier Gandibleux (LINA) Résolution exacte du problème bi-01kp février / 24

6 Plan 1 Le problème du sac-à-dos Formulation du problème bi-01kp Solutions efficaces et points non dominés 2 Le point de départ Existant pour la résolution de bi-01kp Algorithme en deux phases pour bi-01kp Démarche adoptée utilisation d un ranking en seconde phase 3 Améliorations et nouveaux algorithmes Retour sur le branch and bound en phase 2 k meilleures solutions (ranking) 4 Expérimentations numériques Julien Jorge, Xavier Gandibleux (LINA) Résolution exacte du problème bi-01kp février / 24

7 Travaux de référence Méthode en deux phases à base de branch and bound Two-phases Method and Branch and Bound Procedures to Solve the Bi-objective Knapsack Problem, M. Visée et al., Journal of Global Optimization, Méthode dichotomique utilisant un solveur MIP Un retour d expériences sur la résolution de problèmes combinatoires bi-objectifs, F. Degoutin et X. Gandibleux, Journée PM2O, Angers, Transformation de bi-01kp en un problème de plus courts chemins bi-objectif Solving bicriteria 0-1 knapsack problems using a labeling algorithm, M.E. Captivo et al., Computers & Operations Research, Les instances utlisées varient sur différents paramètres pour varier la difficulté de la résolution. Julien Jorge, Xavier Gandibleux (LINA) Résolution exacte du problème bi-01kp février / 24

8 Méthode en deux phases Two-phases Method and Branch and Bound Procedures to Solve the Bi-objective Knapsack Problem, M. Visée et al., Journal of Global Optimization, Principe Constat : il existe de nombreuses méthodes efficaces pour résoudre le problème de sac-à-dos mono-objectif. Idée génerale : profiter de cet existant pour développer une algorithmique pour le problème bi-objectif. phase 1 : recherche des solutions supportées méthode dichotomique phase 2 : recherche des solutions non supportées Julien Jorge, Xavier Gandibleux (LINA) Résolution exacte du problème bi-01kp février / 24

9 Algorithme en deux phases phase 2 Julien Jorge, Xavier Gandibleux (LINA) Résolution exacte du problème bi-01kp février / 24

10 Démarche adoptée Le travail effectué suit la démarche adoptée par A. Przybylski pour le problème d affectation bi-objectif. Two phases algorithms for the bi-objective assignment problem, A. Przybylski, X. Gandibleux and M. Ehrgott. Accepted in European Journal of Operational Research. Julien Jorge, Xavier Gandibleux (LINA) Résolution exacte du problème bi-01kp février / 24

11 Plan 1 Le problème du sac-à-dos Formulation du problème bi-01kp Solutions efficaces et points non dominés 2 Le point de départ Existant pour la résolution de bi-01kp Algorithme en deux phases pour bi-01kp Démarche adoptée utilisation d un ranking en seconde phase 3 Améliorations et nouveaux algorithmes Retour sur le branch and bound en phase 2 k meilleures solutions (ranking) 4 Expérimentations numériques Julien Jorge, Xavier Gandibleux (LINA) Résolution exacte du problème bi-01kp février / 24

12 Retour sur le branch and bound en phase 2 Première amélioration La borne utilisée par Visée et al. est améliorée (Przybylski et al. 2005). Julien Jorge, Xavier Gandibleux (LINA) Résolution exacte du problème bi-01kp février / 24

13 Retour sur le branch and bound en phase 2 Première amélioration La borne utilisée par Visée et al. est améliorée (Przybylski et al. 2005). Julien Jorge, Xavier Gandibleux (LINA) Résolution exacte du problème bi-01kp février / 24

14 Retour sur le branch and bound en phase 2 Première amélioration La borne utilisée par Visée et al. est améliorée (Przybylski et al. 2005). Julien Jorge, Xavier Gandibleux (LINA) Résolution exacte du problème bi-01kp février / 24

15 Retour sur le branch and bound en phase 2 Première amélioration La borne utilisée par Visée et al. est améliorée (Przybylski et al. 2005). Julien Jorge, Xavier Gandibleux (LINA) Résolution exacte du problème bi-01kp février / 24

16 Retour sur le branch and bound en phase 2 Première amélioration La borne utilisée par Visée et al. est améliorée (Przybylski et al. 2005). Julien Jorge, Xavier Gandibleux (LINA) Résolution exacte du problème bi-01kp février / 24

17 Retour sur le branch and bound en phase 2 Seconde amélioration Des solution situées dans les zones grisées vont être construites. Julien Jorge, Xavier Gandibleux (LINA) Résolution exacte du problème bi-01kp février / 24

18 Retour sur le branch and bound en phase 2 Seconde amélioration Des solution situées dans les zones grisées vont être construites. Julien Jorge, Xavier Gandibleux (LINA) Résolution exacte du problème bi-01kp février / 24

19 Retour sur le branch and bound en phase 2 Seconde amélioration Des solution situées dans les zones grisées vont être construites. Julien Jorge, Xavier Gandibleux (LINA) Résolution exacte du problème bi-01kp février / 24

20 Retour sur le branch and bound en phase 2 Seconde amélioration dominance sur le point obtenu par RL (Gandibleux et Fréville 2000). Julien Jorge, Xavier Gandibleux (LINA) Résolution exacte du problème bi-01kp février / 24

21 k meilleures solutions (ranking) Finding the k Shortest Paths, D. Eppstein. 35th IEEE Symp. Foundations of Comp. Sci., Santa Fe, 1994, pp Tech. Rep , ICS, UCI, SIAM J. Computing 28(2) : , Idée générale Génération les solutions dans l ordre décroissant d optimalité la borne inférieure se serre plus rapidement toute solution ajoutée l est définitivement Condition d arrêt : première solution qui tombe sous la borne Motivation : de très bons résultats sur le problème d affectation (Przybylski et al. 2005) Julien Jorge, Xavier Gandibleux (LINA) Résolution exacte du problème bi-01kp février / 24

22 Illustration Julien Jorge, Xavier Gandibleux (LINA) Résolution exacte du problème bi-01kp février / 24

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24 Illustration Julien Jorge, Xavier Gandibleux (LINA) Résolution exacte du problème bi-01kp février / 24

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27 Illustration Julien Jorge, Xavier Gandibleux (LINA) Résolution exacte du problème bi-01kp février / 24

28 Quelques mots sur la résolution Exploration d une bande et non plus d un triangle solutions générées dans les triangles proches Ces solutions permettront de calculer une borne inférieure plus serrée pour réduire la taille du graphe des plus longs chemins fixer plus de variables en pré-traitement L exploration d un triangle dépend des explorations précédentes. Julien Jorge, Xavier Gandibleux (LINA) Résolution exacte du problème bi-01kp février / 24

29 Quelques mots sur la résolution Exploration d une bande et non plus d un triangle solutions générées dans les triangles proches Ces solutions permettront de calculer une borne inférieure plus serrée pour réduire la taille du graphe des plus longs chemins fixer plus de variables en pré-traitement L exploration d un triangle dépend des explorations précédentes. Heuristique : Les triangles sont explorés par ordre croissant de taille. Hypothèses : les triangles petits s explorent rapidement les solutions générées en dehors facilitent la résolution des plus gros Julien Jorge, Xavier Gandibleux (LINA) Résolution exacte du problème bi-01kp février / 24

30 Plan 1 Le problème du sac-à-dos Formulation du problème bi-01kp Solutions efficaces et points non dominés 2 Le point de départ Existant pour la résolution de bi-01kp Algorithme en deux phases pour bi-01kp Démarche adoptée utilisation d un ranking en seconde phase 3 Améliorations et nouveaux algorithmes Retour sur le branch and bound en phase 2 k meilleures solutions (ranking) 4 Expérimentations numériques Julien Jorge, Xavier Gandibleux (LINA) Résolution exacte du problème bi-01kp février / 24

31 Instances numériques Classe Nombre Tailles (vars.) Notes 1A 5 50 à 500 «tightness ratio» 1B à 500 A/B/C/D 2/UNCOR non correllées 2/WEAK à 1000 faiblement correllées 2/STRONG à 1000 fortement correllées Instances de la MCDMLib : http :// Julien Jorge, Xavier Gandibleux (LINA) Résolution exacte du problème bi-01kp février / 24

32 Gains obtenus (CPU) avec les améliorations du BB Amélioration de la borne instances résolues en au moins une demie seconde avec la modif : moyen : 45 % max : 70 % min : 25 % Test de dominance instances résolues en au moins une demie seconde avec la modif rapport aux temps obtenus avec la modif précédente moyen : 70 % max : 80 % min : 52 % Julien Jorge, Xavier Gandibleux (LINA) Résolution exacte du problème bi-01kp février / 24

33 Amélioration du branch & bound limite de temps = 1 heure Julien Jorge, Xavier Gandibleux (LINA) Résolution exacte du problème bi-01kp février / 24

34 Algorithmes de ranking limite de temps = 1 heure Julien Jorge, Xavier Gandibleux (LINA) Résolution exacte du problème bi-01kp février / 24

35 Conclusions Améliorations de la 2 phases B&B existante plus rapide, les temps rejoignent PCC Algorithme de ranking pour la seconde phase gains importants, jusqu à 99.8 % de la version B&B ne résout pas les instances difficiles Julien Jorge, Xavier Gandibleux (LINA) Résolution exacte du problème bi-01kp février / 24

36 Perspectives Réduire la taille du graphe et le temps d exploration utiliser de nouvelles coupes tirer de l information de la structure du problème (Gandibleux & Klamroth 2005) Généraliser les méthodes de résolution à 3, p objectifs à 2, 3, q dimensions Julien Jorge, Xavier Gandibleux (LINA) Résolution exacte du problème bi-01kp février / 24

37 Nouvelles propositions pour la résolution exacte du problème de sac à dos bi-objectif unidimensionnel en variables binaires Julien Jorge, Xavier Gandibleux Laboratoire d Informatique de Nantes Atlantique février 2007 FRANCORO V / ROADEF 07 Grenoble Algorithme pour la résolution exacte d un 01-IP bi-objectif. J. Jorge, Master Thesis, Laboratoire d Informatique de Nantes Atlantique, Université de Nantes, sept Julien Jorge, Xavier Gandibleux (LINA) Résolution exacte du problème bi-01kp février / 24