APPLICATION DE LA GESTION DES FILES D ATTENTE PAR RÈGLES DE PRIORITÉ DANS UN JOB SHOP EN TEMPS RÈEL N. Keddari (1) - A. Hassam (1) 1 keddarinassima@yahoo.fr 1 a_hassam@mail.univ-tlemcen.dz RESUME L ordonnancement a été l objet de plusieurs travaux de recherche, il est un aspect important de la gestion de production. La connaissance des méthodes d ordonnancement permet d éviter des pertes de performance importantes. Le problème d ordonnancement d atelier de type Job Shop est parmi les problèmes d ordonnancement les plus traités dans la littérature, à cause du fait qu il est très utile dans les domaines industrielle. La gestion des files d'attente par des règles de priorité constitue une des approches les plus simples et les plus utilisées pour ordonnancer en temps réel les tâches dans un job shop. Le travail que nous allons réaliser porte sur l étude par simulation d un système flexible de production, cette étude repose sur l utilisation des règles de priorités et de règle de routage. Il convient de préciser que nous avons utilisé le logiciel de simulation ARENA, qui offre une réponse complète pour la simulation et l'optimisation des flux et des processus industriels. MOTS-CLEFS Job shop, Ordonnancement, FMS, les règles de priorités, les règles de routages, Arena. ABSTRACT Scheduling has been the subject of several researches, it is an important aspect of production management. Knowledge of methods of scheduling avoids significant performance losses. The scheduling problem workshop type is Job Shop scheduling problems among the most discussed in the literature, due to the fact that it is very useful in industrial areas. Managing queues per priority rules is one of the simplest approaches and more used to schedule real-time tasks in a job shop. The work we perform is on the simulation study of a flexible production system, this study is based on the use of priority rules and routing rule. It should be noted that we used simulation software ARENA, which offers a complete answer for the simulation and optimization of industrial processes and flow. KEYWORDS Job-shop, Scheduling, FMS, priority rules, routing rules, Arena. D 1. Introduction ans le contexte de compétition internationale actuel, l efficacité, c est-à-dire la capacité de produire un maximum de résultats pour un minimum d efforts fournis, est devenue une donnée critique de l évaluation de la santé d une entreprise, notamment industrielle. L organisation de la production (et plus particulièrement l ordonnancement des activités) figure incontestablement parmi les paramètres les plus importants qui influencent la performance réalisée. [1] 1 L'innovation technologique joue ici un rôle important et peut constituer un élément différenciateur déterminant pour la pénétration et le développement d'un marché. Il faut relever à ce niveau que l'évolution technologique rapide des produits et les exigences de personnalisation de ces produits qu'attendent les marchés conduisent les entreprises à abandonner souvent les productions de masse pour s'orienter vers des productions de petites ou moyennes séries, sinon à la commande. Ceci leur impose donc d'avoir des systèmes de production flexibles et évolutifs, capables de s'adapter aux exigences et aux besoins des marchés rapidement et efficacement. [2] les exigences des marchés soumis à une forte concurrence et les attentes des clients deviennent de plus en plus fortes en termes de qualité, de coût et de délais de mise à disposition. C'est pourquoi il est crucial de disposer de méthodes et d'outils de plus en plus performants pour l' organisation et la conduite de la production. Parmi ces outils est l' ordonnancement qui est un élément indispensable de la planification et s'impose comme l'outil pour la simulation d'alternatives de production. Il permet d'avoir une meilleure vision de l'activité globale de l'entreprise, de construire des planifications optimisées des ressources en tenant compte des différentes contraintes et de fournir des délais fiables aux clients. [2] Dans la terminologie de la recherche opérationnelle, un problème d ordonnancement désigne tout problème dans lequel l objectif est l allocation de ressources au cours du temps, de façon à réaliser un ensemble d activités.de fait, la notion de problème d ordonnancement regroupe une grande variété de problèmes différents selon la nature des opérations à réaliser (morcelables ou non, répétitives, etc.), les caractéristiques des ressources(consommables ou renouvelables, interchangeables, etc.), les contraintes portant sur les opérations(dates de disponibilité, précédence, etc.) et les critères à optimiser (encours, productivité, retard, etc.) [1] Les problèmes liés à la technologie des FMS sont relativement complexes comparés aux systèmes de production traditionnels. C est la raison pour laquelle les problèmes d ordonnancement dans ces systèmes sont généralement NP complet. Les approches traditionnelles pour résoudre ce problème consistent à appliquer de techniques d optimisation à une formulation analytique. Cependant, ces modèles ont montré leurs limites [3].
Même des formulations idéalistes et simplifiées peuvent s avérer très difficiles à traiter. Pour trouver un optimum, le seul moyen est souvent de faire une recherche exhaustive sur l ensemble des solutions réalisables. Le développement de la théorie de la complexité des algorithmes a permis de clarifier la difficulté du problème [4]. La plupart des problèmes d ordonnancement sont NPdifficiles [5]. Il s ensuit que la plupart des problèmes de taille industrielle (plusieurs milliers de tâches, ressources complexes et contraintes spécifiques) sont impossibles à résoudre de manière exacte. [6] L approche par simulation est de loin la plus répandue dans les logiciels industriels. Elle repose sur l utilisation de règles de priorité sur les tâches, appelées aussi «règles d ordonnancement» (par exemple: priorité aux tâches les plus courtes, aux tâches les plus en retard ). La littérature relative à ces règles est particulièrement riche. [7]. Le potentiel de la simulation est très vaste, car elle est applicable à tous les flux de l industrie et même des services, à tous les niveaux hiérarchiques et à toutes les phases du cycle de vie d un système de production [8]. Le plus souvent, le logiciel de simulation est utilisé en phase de conception ou d amélioration des ateliers pour dimensionner les capacités des stocks et files d attente, pour tester des règles de fonctionnement, pour identifier les goulots d étranglement, pour mesurer l influence des perturbations, etc. [9]. La simulation de flux peut également être utilisée en phase d exploitation, en complément d outils de planification ou d ordonnancement pour, par exemple, estimer des délais. Elle permet aussi de déterminer les valeurs optimales des paramètres de pilotage à appliquer au système de production avant de lancer l exécution en couplant au modèle de simulation un algorithme d optimisation [10]. Nous proposons dans ce travail une approche visant à améliorer les performances d un atelier flexible de type job shop en intervenant au niveau de son routage. L idée que nous développons ici est d utiliser la gestion des files d attente pour optimiser des critères basées sur le taux d utilisation des ressources (machine et système de transport) en absence et en présence des perturbations internes liées aux pannes des machines. Cet article s articule autour de trois sections. Dans la première partie on positionne le problème dans son contexte, en présentant une revue de littérature sur l environnement du travail. Dans la deuxième nous définissons l environnement du travail présenté. La troisième partie, fait appel à une démarche expérimentale ; nous traitons par simulation, des cas d application afin de valider la faisabilité des concepts proposés. Les résultats obtenus sont discutés et analysés afin de ressortir certaines conclusions importantes. 2. Etat de l art Pour clarifier le concept de flexibilité, la majorité des recherches entreprises jusqu à présent ont eu pour objectif de comprendre ce que la flexibilité pouvait apporter aux systèmes manufacturiers, de faire le tri entre ce qui est de 2 la flexibilité et ce qui ne l est pas. A partir des observations sur le terrain et de l étude de la littérature, ils se sont intéressés à l analyse de la flexibilité des systèmes manufacturiers. Elle a été étudiée en trois grandes étapes : Définition du concept, Décomposition du concept en dimensions structurées au sein d une classification, Conception d outils de mesure de la flexibilité permettant de guider l introduction de la flexibilité dans des entreprises ou d analyser l utilisation, par l entreprise, de la flexibilité dont elle dispose. Dans les années 1980, la production industrielle a subi une profonde mutation pour s adapter aux évolutions des marchés. De nouveaux concepts sont apparus tels que le Juste-à- Temps (JIT), OPT, les ateliers flexibles (FMS), la logistique, etc. qui ont entraîné la disparition progressive des méthodes tayloriennes. Parallèlement, l informatique a aussi connu une profonde évolution avec l apparition des ordinateurs personnels, ce qui a permis un essor considérable des outils de simulation pour l ingénierie. De nombreux logiciels ont vu le jour et la plupart existent encore aujourd hui, sous une version plus évoluée : Witness, Hocus, Genetik, Siman, Promodel, etc. Les règles d ordonnancement procurent en général des temps de réponse acceptables, il est difficile de choisir une règle en fonction de la satisfaction d un ensemble d objectifs donné. Celle-ci varie en effet en fonction du cas traité (nombre de machines, nombre de tâches dans les gammes, durées des tâches, etc.). Plusieurs études ont été menées pour identifier la meilleure règle d ordonnancement en fonction de la configuration de l atelier et des conditions d exploitation [11, 12, 13, 14]. De telles études se sont, à notre connaissance, cantonnées à des problèmes d ordonnancement simples et n ont pas été généralisées dans un contexte industriel. Dans [15] les auteurs ont démontré l effet de variation des niveaux de flexibilité de routages (le nombre de routages alternatifs pris par un type de pièce) sur les performances d un FMS jugées par le makespan, ils ont proposé dans [16] une stratégie d ordonnancement prenant en considération la flexibilité de routages basée sur la logique floue dans un FMS. L environnement de «Job Shop» (JS) est un système de production où les équipements sont regroupés par types d opérations, l aménagement d usine est habituellement divisé en plusieurs ateliers, chacun se composant de machines de types semblables pour exécuter une fonction. L avantage d un tel aménagement est l utilisation maximale du parc machine. De plus, il permet : l achat d un équipement à usages multiples, peut supporter une variété de requis de procédé, flexible dans l allocation du personnel et des équipements et moins vulnérables aux arrêts causés par un bris mécanique ou une absence. Le type job-shop flexible est une extension du modèle job-shop classique. Sa particularité essentielle réside dans le fait que plusieurs machines sont potentiellement capables de réaliser un sous-ensemble d opérations. Plus précisément, une opération est associée à un ensemble contenant toutes les machines pouvant effectuer cette opération. [2]
Une grande partie de la théorie d ordonnancement suppose que les machines sont disponibles à tout instant. Cette supposition peut être justifiée dans certain cas, mais elle ne peut pas être appliquée lorsque les machines sont susceptibles d être indisponible pendant certaines périodes. En effet, la réalité industrielle prévoit des périodes d indisponibilité des machines pour la maintenance par exemple, ou tout simplement à cause des pannes. [17] De nos jours, les simulateurs utilisent une interface graphique sophistiquée permettant facilement de décrire les ressources d un système productif, les produits faisant l objet d opérations de production et leurs gammes. L interface graphique élimine la nécessité d un apprentissage préalable d un langage de programmation qui n est nécessaire que dans la description d actions sophistiquées liées à certains événements. La simulation demandée provoque la «projection d un film» décrivant le fonctionnement dynamique du système (flux de production, circulation de ressources mobiles) ce qui lui confère un fort pouvoir descriptif du comportement d un système productif piloté par certaines règles et soumis à une certaine demande. On peut citer les travaux de [18] qui ont étudié par simulation l impact de la flexibilité des machines et de routages en variant différentes conditions de l atelier sur le temps de cycle moyen des pièces, on trouve aussi les travaux de [19] qui ont étudié l effet des règles de priorité et des niveaux de flexibilité de routage sur les différentes performances d un FMS. Le problème majeur abordé dans ce travail est : - Quelle-est La règle de priorité la plus performante pour ordonnancer les opérations et atteindre l optimum pour les critères de performances proposés. Etape 5 : Si la condition précédente n est pas vérifiée, la pièce va dans une file d attente jusqu'à ce que la condition soit vérifiée. Etape 6 : Si la condition de l étape 4 est vérifiée alors on calcule la somme : S(j)=Tj+ NQ (m 1 ) Etape 7 : Trouver le minimum de S(j). Etape 8 : Le routage j correspondant à la valeur de S(j) trouvée dans l étape précédente est occupé donc : X(j)=1 (Le routage j contient une seule pièce à la fois). Etape 9 : Traitement de la pièce selon le routage sélectionné j. Etape 10 : A la fin du traitement, le routage devient de nouveau disponible X(j)=0. Etape 11 : Sortie de la pièce du système. Remarque : Ce cycle va se répéter de l étape 3 à l étape 11 à chaque de pièce, jusqu'à la fin du temps de simulation. Les règles de priorités choisies sont : FIFO-SPT-LPT- LIFO, leurs principaux avantages sont, en général, leur simplicité et surtout leur rapidité. Nous proposons que les machines ne soient plus disponibles pendant une période définie. Dans ce travail nous se limiterons au cas où les périodes d indisponibilité sont dues aux pannes et sont connus à l avance. Le système modélisé comprend : - Deux fraiseuses verticales (FV1 et FV2) ; - Deux fraiseuses horizontales (FH1 et FH2) ; - Deux tours (T1 et T2) ; - Une toupie (TP) ; - Une station de chargement (SC) ; - Une station de déchargement (SD). La disposition de ces machines dans le système est illustrée dans la figure suivante : Figure 1. Configuration du modèle FMS étudié. 3. Présentation du modèle FMS étudié Le cadre de ce travail porte sur l application de la gestion des files d attente par règles de priorités avec une règle de sélection de routages alternatifs en temps réel. Le système est un modèle d atelier Job Shop proposé par C.Saygin [15], il se compose de sept machines (m=7) chaque tâche j doit réaliser un certain nombre d opérations Pj et possède un nombre limité de routages Xj sélectionnés selon une règle de routage basée sur le temps moyen d utilisation des ressources plus le nombre de pièces en attente dans la file d attente de la première machine de chaque routage son algorithme est présenté comme suit : Etape 1 : Tous les routages sont libres (disponible) donc X(j) = 0. Etape 2 : Calcul du temps moyen des ressources (m(i)), Tj + nombre de pièce dans la file d attente de la première machine, NQ (m 1 ). Etape 3 : Création des pièces. Etape 4 : Selon le type de la pièce testée s il y a au moins un routage libre et au moins une place libre dans la file d attente de la station de chargement. 4. Hypothèses de fonctionnement Les opérations sur le modèle étudié sont basées sur les suppositions suivantes : Chaque machine comporte une file d attente d entrée et une file d attente de sortie, la station de chargement contient aussi une file d attente d entrée d une capacité variable ; les routages alternatifs de chaque type de pièce sont connus avant le début de la production ; le temps de traitement est déterminé et il comprend le temps de changement des outils et le temps d exécution de la machine ; chaque machine ne peut traiter qu une seule pièce à la fois ; les périodes 3
d indisponibilité sont dues aux pannes et sont connus à l avance. Type de pièces Tableau 1. Les Routages alternatifs et temps de traitement des pièces. Taux d arrivée A 17% B 17% C 17% D 21% E 20% F 8% Routages & temps de traitement (min) SC T1 (30) FV1 (20) SD SC T1 (30) FV2 (20) SD SC T2 (30) FV1 (20) SD SC T2 (30) FV2 (20) SD SC T1 (20) TP (1) FV1 (15) SD SC T1 (20) TP (1) FV2 (15) SD SC T2 (20) TP (1) FV1 (15) SD SC T2 (20) TP (1) FV2 (15) SD SC T1 (40) FV1 (25) SD SC T1 (40) FV2 (25) SD SC T2 (40) FV1 (25) SD SC T2 (40) FV2 (25) SD SC T1 (40) TP (1) T1 (20) FH1 (35) SD SC T1 (40) TP (1) T1 (20) FH2 (35) SD SC T1 (40) TP (1) T2 (20) FH1 (35) SD SC T1 (40) TP (1) T2 (20) FH2 (35) SD SC T2 (40) TP (1) T1 (20) FH1 (35) SD SC T2 (40) TP (1) T1 (20) FH2 (35) SD SC T2 (40) TP (1) T2 (20) FH1 (35) SD SC T2 (40) TP (1) T2 (20) FH2 (35) SD SC T1 (25) TP (1) T1 (35) FH1 (50) SD SC T1 (25) TP (1) T1 (35) FH2 (50) SD SC T1 (25) TP (1) T2 (35) FH1 (50) SD SC T1 (25) TP (1) T2 (35) FH2 (50) SD SC T2 (25) TP (1) T1 (35) FH1 (50) SD SC T2 (25) TP (1) T1 (35) FH2 (50) SD SC T2 (25) TP (1) T2 (35) FH1 (50) SD SC T2 (25) TP (1) T2 (35) FH2 (50) SD SC FH1 (40) SD SC FH2 (40) SD 5. Analyse et interprétation des résultats Ce papier a pour but de présenter une synthèse des résultats obtenus sur le modèle d atelier Job shop défini précédemment. Nous avons simulé ce système à l aide d un logiciel de simulation de flux ARENA pour une durée de 20 000 heures, les pièces sont crées suivant une loi constante d une façon aléatoire selon les taux d arrivée de chaque type de pièces, tandis que ses temps opératoires sont générés par une loi normale. Dans ce cas de problèmes à plusieurs machines on a besoin de spécifier les machines concernées par les périodes d indisponibilités et sont VTC1 et VTC2, les pannes sont introduites toutes les 100 heures avec une durée de maintenance de 2 heures suivant une loi exponentielle. Afin d avoir des résultats plus ou moins précis, nous choisirons de simuler chaque configuration du système pour dix réplications. En mesurant ses performances selon les deux critères principaux suivants : Le taux de des pièces : veut dire la même chose qu un taux d arrivée où une pièce arrive toute les 5, 10, 15, 20, 25 et 30 minutes. La taille des files d attente d entrée et de sortie des stations: on fait varier la taille (, 6). Le choix d un ordonnancement parmi les ordonnancements réalisables se fait en fonction d un ou plusieurs critères que l on cherche à optimiser, dans ce travail nous allons aborder les résultats relatifs aux taux d utilisations des ressources (machines et système de transport) dans les deux cas extrême, en absence et en présence des perturbations internes liées aux pannes des machines. 5.1Taux d utilisation du système de transport (AGV) Le paragraphe suivant permet de mettre en évidence les résultats relatifs au temps d utilisation de l AGV qui est le système qui transporte les pièces entre les stations. Lors de ce passage les résultats liés au taux d utilisation de l AGV en absence et en présence de pannes, sont illustrés clairement dans les tableaux suivants : la sélection de la règle LPT assure une bonne utilisation de l AGV. Tableau 2. Le taux d utilisation de l AGV sans panne. FIFO 21.76 26.22 30.46 30.47 30.55 30.49 SPT 21.75 26.22 32.02 31.98 32.00 32.00 LPT 21.76 26.24 29.53 28.99 29.52 29.51 LIFO 21.75 26.21 32.34 32.32 32.38 32.34 FIFO 21.76 26.16 31.34 31.34 31.33 31.30 SPT 21.76 26.17 33.74 33.81 33.79 33.81 LPT 21.76 26.15 28.32 28.26 28.29 28.27 LIFO 21.77 26.18 35.13 35.27 35.30 35.29 Tableau 3. Le taux d utilisation de l AGV avec panne. FIFO 03.79 03.49 03.11 02.77 02.56 02.80 SPT 03.38 03.45 03.06 02.73 03.06 02.72 4
LPT 03.53 03.31 02.92 03.08 02.85 02.58 LIFO 03.98 03.63 03.46 03.69 03.65 03.83 FIFO 19.66 12.85 06.19 05.67 05.38 05.46 SPT 21.75 17.20 05.59 04.98 04.64 05.29 LPT 18.08 13.40 05.25 05.51 05.37 05.38 LIFO 20.45 20.74 05.21 04.58 05.26 04.88 Ces tableaux indiquent que la sélection de la règle LIFO assure une bonne utilisation de l AGV, tandis que pour une capacité de 6 avec une intervention de pannes la règle FIFO est prédominante pour le cas de saturation du système c.-à-d pour les taux (1/5, 1/10, 1/15 et 1/20 min). Pour le cas de non saturation du système c.-à-d pour un taux supérieur ou égale à 1/25, nous remarquons que le taux d utilisation de l AGV est similaire pour toutes les règles en absence et en présence de pannes, en revanche nous distinguons des variations pour le cas ou avec présence de pannes et la règle LIFO reste la plus efficace. 5.2Taux d utilisation de Moy (T1, T2) Dans le but d explorer l influence de taux d utilisation des machines, nous avons choisi d étudier les résultats des machines les plus sollicitées (T1, T2). Tableau 4. Le taux d utilisation de Moy (T1, T2) sans panne. FIFO 66.40 79.77 86.42 86.40 86.52 86.46 SPT 66.35 79.81 90.45 90.39 90.42 90.46 LPT 66.47 79.90 83.92 83.90 83.92 83.85 LIFO 66.44 79.80 91.56 91.54 91.55 91.52 FIFO 66.52 79.89 89.38 89.30 89.23 89.22 SPT 66.48 79.77 95.44 95.39 95.35 95.36 LPT 66.51 79.82 81.00 80.78 80.81 80.80 LIFO 66.49 79.76 99.03 99.05 99.05 99.07 Tableau 5. Le taux d utilisation de Moy (T1, T2) avec panne. FIFO 93.72 94.84 93.54 91.68 95.53 93.28 SPT 94.16 94.00 95.80 93.54 92.48 95.76 LPT 91.94 93.02 94.88 93.05 94.80 93.71 LIFO 95.45 96.57 97.29 96.77 96.72 96.45 FIFO 69.35 88.70 80.30 84.56 83.04 84.48 SPT 66.58 81.57 83.48 86.21 85.15 85.09 LPT 69.17 80.45 83.89 84.83 80.02 83.77 LIFO 68.81 83.76 95.71 96.28 95.39 95.88 D après les tableaux la règle LIFO est considérée comme la meilleure règle pour un système saturé et non saturé, en présence et avec intervention de panne. En effet, la sélection de la règle LPT nous a permis de classer cette dernière comme la mauvaise règle en tous les cas. Les règles FIFO et SPT donnent des taux d utilisations quasiment identiques. Pour le cas de saturation où la capacité des files d attente est faible, les variations des taux d utilisations engendrés par la règle LIFO sont sensibles La règle LPT s isole particulièrement dans ce constat en étant un mauvais choix pour un temps de 5, 10, 15 et 20min sans intervention de panne. 6. Classification des règles de priorités Une classification formelle est nécessaire pour distinguer l intérêt de chacune des règles étudiées selon les critères et même les perturbations internes (panne de machine). 6.1Classification sans intervention de panne Ce tableau met en évidence que l application de la règle LIFO augmentait de manière significative le taux d utilisation de même la règle SPT donne des bons taux d utilisation, cela dû à sa capacité d'accélérer la grande majorité des jobs.. D ailleurs la sélection de la règle LPT engendre de mauvais taux d utilisation car elle favorise les ordres décroissants du temps de traitement. Tableau 6. Classification des règles sans panne. Critère de performances Classement des règles L'AGV Moy (T1, T2) LIFO LIFO LIFO LIFO SPT SPT SPT SPT FIFO FIFO FIFO FIFO LPT LPT LPT LPT 6.2Classification avec intervention de panne : En présence de périodes d indisponibilité des machines sous la contrainte des pannes, des changements apparaissent au niveau de classement des règles. Contrairement au premier cas (sans panne) la LIFO figure comme une mauvaise stratégie pour le taux d utilisation de l AGV pour le cas où. Tableau 7. Classification des règles avec panne. Critère de performances L'AGV Moy (T1, T2) 5
Classement des règles LIFO FIFO LIFO LIFO FIFO SPT SPT SPT SPT LPT LPT FIFO LPT LIFO FIFO LPT IV. CONCLUSION L analyse des différentes règles de priorités dans la gestion des files d attente menée au cours de cet article selon les critères de performances a permis de mettre en relief l importance de chacune de ces règles pour arriver ensuite à la description de leurs applications au modèle de Job Shop. De cette étude un certain nombre de conclusions peuvent être faites. Nous résumons ici, l essentiel: - Ce travail nous a permis de constater que les règles de priorités apportent une amélioration significative pour chaque critère, même pour les testes effectués dans le contexte où les machines nécessaires à l exécution des jobs sont disponibles en permanence permettent d investiguer l influence des différentes paramètres sur le classement des règles. -Les résultats obtenus montrent que la sélection de la règle LIFO a parvenu à des améliorations pratiquement très satisfaisantes pour les deux critères. Les autres règles sont approximativement conformes en tous les choix concernant le cas de non saturation (25 et 30 min) et en absence de panne, contrairement en présence de panne, ces règles perdent leurs efficacités. A l issue du travail présenté, différentes pistes formant les directions futures à cette recherche, sont envisagées : -La résolution d un plus grand nombre de problèmes, mais aussi des problèmes de taille et de natures différentes, serait souhaitable pour compléter cette analyse. Le recours à une telle analyse peut renforcer mieux les résultats obtenus. -Il est envisagé, d implanter d autres règles de sélection de routage pour améliorer d avantage les résultats obtenus. -Pour les problèmes avec périodes d indisponibilité des machines, nous proposons une étude qui prend en compte une incertitude sur la date de maintenance. Nous pouvons ainsi étudier l effet de l emplacement de la maintenance sur le résultat de l ordonnancement. [4] M. Garey, & D. S. Johnson, Computers and Intractability: A guide to the theory of NP-Completeness. San Francisco: W. H. Freeman & Co, 1979. [5] E. L. Lawler, J. K. Lenstra, A. H. G. Rinnooy Kann, & D. B. 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