Processus dynamiques aux interfaces Sol-atmosphère et Océan-atmosphère. Philippe Bougeault Valéry Masson Fleur Couvreux

Processus dynamiques aux interfaces Sol-atmosphère et Océan-atmosphère Philippe Bougeault Valéry Masson Fleur Couvreux

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Table des matières 1 Présentation générale 9 1.1 Caractéristiques de la surface terrestre et rôle sur la CLA........... 9 1.2 Caractéristiques de la Couche Limite Atmosphérique.............. 11 1.2.1 hauteur de la CLA............................. 12 1.2.2 phénomènes importants.......................... 12 1.2.3 Le rôle de la turbulence.......................... 12 1.2.4 Autres phénomènes importants...................... 12 1.2.5 Notion de Couche Limite Planétaire (CLP)............... 14 1.3 Caractéristiques de la CMO............................ 14 1.4 Pourquoi étudier la CLA et la CMO....................... 15 1.4.1 Raisons pratiques.............................. 15 1.4.2 Raisons énergétiques............................ 15 1.4.3 Raisons scientifiques............................ 16 1.5 Quelques références bibliographiques....................... 17 2 Introduction à la turbulence 19 2.1 Les propriétés de la turbulence.......................... 19 2.1.1 Caractère diffusif.............................. 19 2.1.2 Caractère dissipatif............................. 21 2.1.3 Imprévisible................................. 21 2.2 L origine de la turbulence............................. 21 2.2.1 L instabilité hydrodynamique....................... 22 2.2.2 L instabilité thermique........................... 25 2.3 Observation de la CLA et la CMO........................ 26 2.3.1 Mesures in-situ depuis le sol........................ 26 2.3.2 Mesures in situ de la CMO........................ 27 2.3.3 Mesures de télédétection.......................... 29 2.3.4 Moyens aéroportés............................. 30 2.4 Conclusions..................................... 32 3 Dérivation du système de Boussinesq 33 3.1 Le système de Boussinesq pour la CLA sèche.................. 33 3.1.1 Construction d un état de référence.................... 34 3.1.2 Linéarisation................................ 34 3.1.3 Equation thermodynamique........................ 35 3.1.4 Equation d état et définition de θ..................... 35 3

4 TABLE DES MATIÈRES 3.1.5 Equation de continuité........................... 36 3.1.6 Equation du mouvement.......................... 36 3.1.7 Système de Boussinesq........................... 37 3.1.8 Remarques................................. 38 3.2 Généralisation à l air humide........................... 38 3.2.1 L humidité spécifique............................ 38 3.2.2 Equation d état du mélange........................ 39 3.2.3 Equation thermodynamique du mélange................. 39 3.2.4 Système d équations général pour l air humide (sans nuage)...... 39 3.2.5 Système de Boussinesq pour l air humide (sans nuage)......... 40 3.3 Système de Boussinesq pour l océan....................... 41 3.3.1 Equations générales pour l océan (eau salée)............... 41 3.3.2 Etat de référence.............................. 42 3.3.3 Equation de la thermodynamique..................... 42 3.3.4 Equation d état............................... 42 3.3.5 Equation de continuité........................... 43 3.3.6 Equation du mouvement.......................... 43 3.3.7 Equations de Boussinesq pour l océan salé................ 43 3.4 Notations...................................... 44 4 L opérateur de moyenne 45 4.1 Valeur moyenne et fluctuation........................... 45 4.2 Axiomes de Reynolds................................ 45 4.2.1 linéarité................................... 45 4.2.2 Commutativité avec la dérivation et l intégration............ 46 4.2.3 Idempotence généralisée.......................... 46 4.3 Choix de l opérateur de moyenne......................... 46 4.4 Le théorème ergodique............................... 48 4.5 Temps de moyenne nécessaire pour un paramètre moyen............ 49 4.6 Temps de moyenne nécessaire pour un moment d ordre 2............ 50 4.7 Généralisation au cas d un processus non stationnaire............. 51 4.8 Transposition aux processus dépendant de l espace............... 51 4.9 Lien entre mesures spatiales et temporelle : l hypothèse de Taylor....... 52 5 Equations d évolution des paramètres moyens de la CLA 55 5.1 Objectif....................................... 55 5.2 Notations...................................... 55 5.3 Système de Boussinesq en cartésien........................ 56 5.4 Méthodologie pour dériver les équations moyennes............... 56 5.5 Equations de Reynolds (1895)........................... 57 5.6 Flux turbulents................................... 57 5.6.1 Interprétation physique.......................... 57 5.6.2 Dimensions et unités des flux turbulents................. 58 5.7 Comparaison des flux turbulents et moléculaires................. 58 5.8 Les conditions à la limite des équations de Reynolds.............. 59

TABLE DES MATIÈRES 5 6 Les équations de la CLA homogène horizontalement 61 6.1 Hypothèse d homogénéité horizontale....................... 61 6.2 Equations de la CLA barotrope......................... 61 6.2.1 Equation de continuité........................... 61 6.2.2 Equations du mouvement......................... 62 6.2.3 La CLA barotrope............................. 62 6.3 Exemple....................................... 63 6.4 Assouplissement de l hypothèse d homogénéité horizontale........... 63 6.5 Le problème de fermeture............................. 64 7 Analyse dimensionnelle et similitude 65 7.1 Contexte....................................... 65 7.2 De l utilisation de maquettes........................... 65 7.3 Notion de dimension physique........................... 66 7.4 Théorème Π de Vaschy-Buckingham....................... 66 7.5 Exemple : période du pendule........................... 67 7.6 Mise en œuvre pratique du théorème Π dans le cas général........... 68 7.7 Exercice : vidange d une cuve........................... 68 8 Les modèles conceptuels historiques de la CLA 71 8.1 La méthode des coefficients d échange turbulent................. 71 8.2 Propriétés des coefficients d échanges turbulents................. 71 8.3 La longueur de mélange de Prandtl (1925).................... 72 8.4 La couche limite de surface (CLS) neutre.................... 73 8.4.1 Phénoménologie physique......................... 73 8.4.2 Application du modèle de Prandtl.................... 73 8.5 La couche d Ekman dans la CLA (1905)..................... 75 8.5.1 Description................................. 75 8.5.2 Résolution analytique avec un modèle simple de turbulence...... 75 8.5.3 Forme du profil de vent.......................... 77 8.6 La couche d Ekman dans l océan......................... 78 8.6.1 Courant de surface............................. 78 8.7 Interaction dérive d Ekman - courant géostrophique.............. 78 8.8 Couplage entre couches d Ekman dans la CLA et la CMO........... 79 9 Equations pour les moments d ordre 2 et l énergie cinétique turbulente 81 9.1 Méthodologie.................................... 81 9.2 Construction de l équation pour u i u j....................... 81 9.3 Equations pour les moments d ordre 2 pour température et humidité..... 83 9.4 Equation d évolution de l énergie cinétique turbulente............. 84 9.5 Les différents régimes de turbulence....................... 85 9.5.1 Si R f = 0.................................. 86 9.5.2 Si R f << 1................................ 86 9.5.3 Si R f < 0.................................. 86 9.5.4 Si R f > 0.................................. 86 9.6 Le nombre de Richardson de gradient...................... 86 9.7 Influence de l humidité sur le flux de flottabilité................. 87

6 TABLE DES MATIÈRES 10 Approche spectrale de la turbulence 89 10.1 Définition d un spectre d énergie cinétique turbulente.............. 89 10.2 Equation d évolution de E(k)........................... 89 10.3 La cascade d énergie vers les petites échelles................... 90 10.4 Forme universelle du spectre d énergie...................... 91 10.5 La zone inertielle.................................. 91 10.6 Cas particulier du grand nombre de Reynolds.................. 92 10.7 Nombre de Reynolds de l écoulement aux grandes échelles........... 92 10.8 Estimation pratique de la dissipation....................... 93 10.9 Le spectre en k 1.................................. 94 11 La couche limite de surface 95 11.1 Phénoménologie................................... 95 11.2 La théorie de similitude de Monin-Obuhkov................... 96 11.2.1 Forme universelle du gradient de vent.................. 96 11.2.2 Forme universelle du gradient de température.............. 97 11.2.3 Généralisation aux autres grandeurs................... 97 11.3 Détermination théorique des fonction φ u et φ θ.................. 97 11.3.1 Régime neutre............................... 97 11.3.2 Régime quasi-neutre............................ 98 11.3.3 Régime très instable............................ 99 11.3.4 Régime très stable............................. 99 11.4 Détermination expérimentale des fonctions φ u et φ θ.............. 100 11.5 Utilisation d un modèle numérique pour déterminer φ u et φ θ......... 101 11.6 Prise en compte de l humidité........................... 101 11.7 Application pratiques des fonctions universelles................. 101 11.7.1 Mesure indirecte des flux dans la CLS.................. 101 11.7.2 Paramétrisation des flux dans les modèles numériques......... 102 11.7.3 Conclusion................................. 103 12 Les flux de surface et leur détermination 105 12.1 La rugosité..................................... 105 12.1.1 Mesure de la rugosité........................... 105 12.1.2 Hauteur de déplacement.......................... 106 12.1.3 Paysages complexes et régions de collines................ 106 12.1.4 Rugosité sur mer.............................. 107 12.2 Bilan d énergie en surface............................. 107 12.2.1 Formalisation du bilan d énergie en surface............... 108 12.2.2 Les flux radiatifs.............................. 109 12.2.3 Flux d énergie et caractéristiques dans le sol............... 110 12.3 Les flux turbulents vers l atmosphère....................... 112 12.3.1 Partition flux de chaleur sensible/ flux de chaleur latente....... 112 12.3.2 Du rôle de la végétation.......................... 112 12.4 Le bilan hydrique de surface............................ 113

TABLE DES MATIÈRES 7 13 Les couches convectives dans la CLA 115 13.1 Evolution diurne du profil de température potentielle virtuelle......... 115 13.2 Profils d humidité et de vent............................ 118 13.3 Phénoménologie de la couche convective..................... 118 13.3.1 Dans la CLS................................ 118 13.3.2 Les thermiques dans la couche mélangée................. 119 13.3.3 La zone d entraînement.......................... 121 13.3.4 Rouleaux et cellules............................ 121 13.4 Propriétés de la turbulence dans les couches convectives............ 123 13.4.1 La normalisation convective........................ 123 13.4.2 Modélisation du fonctionnement de la couche convective........ 123 13.4.3 Bilan de l énergie cinétique turbulente dans une couche convective.. 125 13.4.4 Bilan da la variance de température θ 2 dans une couche convective.. 126 13.5 La vitesse d entraînement............................. 127 13.5.1 Définition.................................. 127 13.5.2 Paramétrisation de la vitesse d entrainement (couches convectives).. 128 13.5.3 Applications................................ 131 13.6 Retour au problème atmosphérique général................... 132 14 Couche limite nuageuse 133 14.1 Nouvelles variables................................. 133 14.2 les stratocumulus.................................. 135 14.3 les cumulus..................................... 137 15 Couches limites nocturnes 139 15.1 Paramètres thermodynamiques moyens...................... 139 15.1.1 Profil de température........................... 139 15.1.2 Profil d humidité.............................. 141 15.1.3 Profil de vent moyen............................ 141 15.2 Le profil de turbulence............................... 143 15.2.1 Origine de la turbulence.......................... 143 15.2.2 Par vent fort................................ 144 15.2.3 Par vent faible............................... 144 15.2.4 Interaction avec les ondes de gravité................... 144 15.3 Problème de la hauteur de la couche limite nocturne.............. 145 16 La couche active de l océan 147 16.1 Phénoménologie................................... 147 16.1.1 Cycle saisonnier de la profondeur de la CMO.............. 147 16.1.2 Profils typiques dans la CMO....................... 148 16.2 Intérêt de la CMO................................. 149 16.2.1 Impact sur l atmosphère.......................... 149 16.2.2 Impact sur l océan............................. 149 16.3 Mise en équations du problème océanique.................... 149 16.3.1 La CMO homogène horizontalement................... 149 16.3.2 L énergie cinétique turbulente....................... 150 16.4 Echanges entre l atmosphère et l océan...................... 150

8 TABLE DES MATIÈRES 16.4.1 Le flux solaire................................ 150 16.4.2 Bilan d énergie de surface......................... 151 16.4.3 Bilan de sel................................. 152 16.4.4 Bilan de quantité de mouvement..................... 152 16.5 Les modèles de numériques de la CMO...................... 152 16.6 Les modèles de intégraux de la CMO....................... 153

Chapitre 1 Présentation générale On définit la Couche Limite Atmosphérique (CLA) comme la partie de l atmosphère où la présence de la surface terrestre (continentale ou océanique) est directement sensible. En fait, la totalité de l atmosphère est influencée par la surface, mais il apparaît clairement (par l observation) que l on peut dégager une zone où cette influence est rapide. Cela veut dire que l atmosphère réagit avec des constantes de temps courtes (de l ordre de la journée au maximum) aux sollicitations de la surface. Le reste de l atmosphère (la troposphère libre, la stratosphère et au dessus) réagit avec des temps beaucoup plus longs (figure 1.1). Cette couche limite atmosphérique est en quelque sorte l analogue pour l atmosphère des couches limites en mécanique des fluides classique ; cependant, cette analogie est assez faible. De même, la Couche de Mélange Océanique (CMO) est la couche superficielle de l océan qui répond rapidement aux sollicitations de l atmosphère sus-jacente. Les temps de réponses caractéristiques sont de l ordre de la semaine au mois. L océan profond, par la circulation générale océanique, a un temps de réponse bien plus long. 1.1 Caractéristiques de la surface terrestre et rôle sur la CLA De part le rôle primordial de la surface dans la définition même de la CLA, il est nécessaire de se pencher sur les caractéristiques de cette surface, et en quoi elle va avoir un impact sur l atmosphère. 1. Elle est immobile (évident pour les continents, pour la mer, vis à vis du vent, on peut négliger la vitesse des courants). Ainsi, par condition d adhérence, elle va produire un ralentissement du vent près de la surface, et donc un gradient de vent dans les basses couches. Ce ralentissement est lié à une dissipation d énergie cinétique. 2. Elle est le lieu d échanges énergétiques importants : elle absorbe le rayonnement solaire la journée et se refroidit par émission infra-rouge la nuit. Si ce cycle est négligeable pour les surfaces maritimes, il est très important pour les surfaces solides, qui conduit à un cycle diurne très fort de la température du sol. Ce cycle diurne prononcé se propage alors à l air dans la CLA. Par opposition, au dessus, le cycle diurne du reste de l atmosphère est très faible. Cette transmission de température par conduction des surfaces vers l air est une des principales caractéristiques de la CLA. 9

10 CHAPITRE 1. PRÉSENTATION GÉNÉRALE Fig. 1.1 Variations sur 4 jours de la température observée à 250m et 1500m en Oklahoma. Les variations sont plus rapides à 250m qu à 1500m.

1.2. CARACTÉRISTIQUES DE LA COUCHE LIMITE ATMOSPHÉRIQUE 11 3. Elle est source d humidité. C est évident pour la mer, mais c est aussi vrai pour les surfaces continentales, du fait du stockage d eau dans le sol. Cette eau est évaporée vers l atmosphère, ou éventuellement transpirée par les plantes présentes (via leurs stomates au niveau des feuilles en ayant puisé l eau dans le sol par leur système racinaire). Par conséquent la CLA est souvent très humide comparée à la troposphère libre au dessus, avec une forte discontinuité entre les deux. De fait, il y a aussi beaucoup de nuages dans la couche limite (cumulus, strato-cumulus, stratus, brouillard). Ces nuages ont ensuite un rôle radiatif important (par exemple via les zones persistantes de stratocumulus au dessus des océans). 4. Elle est source de pollution (et de composés minoritaires). L essentiel de la pollution est émis en surface ou dans la CLA (cheminées) : pollution gazeuse, aérosols, poussières. Deux exceptions notables : les volcans et les avions. La majeure partie de la pollution se retrouve ainsi piégée dans la CLA, et les concentrations observées en surface dépendent principalement de la hauteur de la CLA, hauteur sur laquelle sont répartis les polluants. On peut voir la CLA à sa couleur. 1.2 Caractéristiques de la Couche Limite Atmosphérique Fig. 1.2 Couche Limite Atmosphérique (CLA) et de Couche de Mélange Océanique (CMO)

12 CHAPITRE 1. PRÉSENTATION GÉNÉRALE 1.2.1 hauteur de la CLA Elle est très variable, avec une forte influence du cycle diurne. de jour, elle varie de 1 à 2km, en fonction de l ensoleillement et de la saison. Elle est plus basse en hiver qu en été. Exceptionnellement elle peut atteindre 4 à 5km (Sahara) (figure 1.3). de nuit, elle varie entre 100 et 300m, en fonction du vent et du refroidissement en surface. au dessus de l océan, elle est plus régulière, sans cycle diurne prononcé, en général épaisse de 500m et 1000m, en fonction de la position des premiers nuages. On considère qu en moyenne sur la globe, elle fait environ 1000m. De plus, il n y a pas de loi générale quant à la transition entre CLA et troposphère libre. Elle est parfois brutale, parfois graduelle. 1.2.2 phénomènes importants Comme mentionnées précédemment, ils sont le reflet des caractéristiques de la surface terrestre (figure 1.2) : vent en général plus faible qu en altitude, tendant vers zéro en surface fort cycle diurne de température et d humidité fort cycle diurne de la concentration en polluants et espèces minoritaires, en fonction des sources (figure 1.4) présence fréquente de nuages présence permanente de turbulence 1.2.3 Le rôle de la turbulence C est en fait la turbulence de l air dans la CLA qui permet de répercuter rapidement dans cette zone de l atmosphère les caractéristiques variables de la surface terrestre. On pourrait donner une définition alternative de la CLA : zone où l écoulement est turbulent. C est une définition pratique, qu on constate en avion lors de l atterrissage. le cours va être essentiellement axé sur la description de la turbulence dans la CLA. Cet aspect est aussi celui qui rend l étude de la CLA difficile : la turbulence fluide est un des grands problèmes physiques mal maîtrisés à l heure actuelle. Les mouvements turbulents dans la CLA sont de l ordre de quelques mètres par seconde. 1.2.4 Autres phénomènes importants Il peut exister des circulations induites par la variabilité des surfaces sous-jacentes. Ces phénomènes ne seront guère étudiés dans ce cours. contraste océan/continent : phénomènes de brise de mer, de terre contraste zone sèche/ zone humide : phénomènes de brises vallées et montagnes : vents de pentes, circulations particulières contrastes de rugosité îlot de chaleur urbains, etc...

1.2. CARACTÉRISTIQUES DE LA COUCHE LIMITE ATMOSPHÉRIQUE 13 Fig. 1.3 Mesures de la hauteur de couche limite par un satellite CALIPSO sur l océan (Sud-est du Pacifique) et sur le désert (péninsule arabique).

14 CHAPITRE 1. PRÉSENTATION GÉNÉRALE Fig. 1.4 Exemple de CLA hivernale. La majeure partie de la pollution reste piégée dans la CLA en basses couches, sauf le panache principal qui parvient, ce qui est rare, à traverser le couvercle thermique au sommet de la CLA. 1.2.5 Notion de Couche Limite Planétaire (CLP) En fait, on remarque que très souvent, les variations verticales sont très supérieures aux échelles de variations sur horizontale. On fera donc l hypothèse d homogénéité horizontale des phénomènes. C est pratique pour saisir l essentiel du rôle météorologique de la CLA et faciliter son étude. Apparaît ainsi la notion de couche Limite Planétaire (CLP), qui est définie comme une CLA homogène horizontalement. On se limitera à cela. Toutefois, un grand nombre de concepts qui seront abordés pourront se généraliser à des cas plus complexes. Enfin, on peut noter que dans certains cas, il est impossible de définir une CLA, la surface intéragissant directement avec la troposphère libre ou même la stratosphère : cas de cumulonimbus (jusqu à la tropopause) et cas d ondes de relief déferlante (déferlant en général dans la stratosphère). 1.3 Caractéristiques de la CMO La Couche de Mélange Océanique est influencée par la CLA, tout comme la CLA est influencée par les surfaces sous-jacentes. Ainsi : Elle est le siège de courants importants, certains étant dus aux ondes de marées, mais d autres étant dus au vent dans la CLA. Sa structure verticale (thermocline saisonnière) et sa température varient en fonction

1.4. POURQUOI ÉTUDIER LA CLA ET LA CMO 15 des échanges d énergie avec l atmosphère et du rayonnement solaire. La profondeur de la CMO varie : de quelque dizaines de mètres en été à environ 100m en hiver. Elle est soumise à des variations de salinité, suite aux précipitations, apports d eau douce par les fleuves et à l évaporation. Elle est, tout comme la CLA, soumise à des phénomènes turbulents (de l ordre de 10 cm/s au maximum) importants, qui permettent de véhiculer rapidement les perturbations auxquelles la surface de l océan est soumise. Elle est source de composés organiques et riche en poissons, du fait de l apport par les fleuves et le contact avec les côtes. 1.4 Pourquoi étudier la CLA et la CMO Il y a trois raisons principales pour cette étude. On tentera dans ce cours d aborder ces trois aspects de manière équilibrée. On se donnera des outils de travail, en insistant sur les raisonnements et le sens physique, afin de fournir une introduction à la recherche. 1.4.1 Raisons pratiques La raison la plus évidente est que ces zones sont le lieu des activités humaines. Des connaissances sur la CLA sont nécessaires pour répondre à de nombreuses questions pratiques : Prévision de la température, de l humidité, du vent, du brouillard, du verglas, des gelées, etc... Effet mécanique du vent sur les structures (dépend non seulement de la force du vent mais aussi des rafales et de leur périodicité). Problèmes de dispersion des polluants Problèmes de prévision de consommation énergétique (nuages de basses couches et température) Sécurité des moyens de transport (avions, bateaux) Propagation des signaux acoustiques et Hertziens La CMO joue aussi un rôle important dans certaines activités humaines. Sa connaissance est nécessaire par exemple pour : la pêche (fonction des courants, du plancton) la discrétion des sous-marins (fonction de la structure thermique) la prévision des trajectoires des cyclones (température de surface de la mer et son évolution) 1.4.2 Raisons énergétiques La CLA et la CMO jouent un rôle clé dans les machines énergétiques atmosphérique et océanique. Les surfaces sont en effet à la source des échanges d énergie de l atmosphère et de l océan, puisqu une majorité du rayonnement solaire est piégée en surface (figure 1.5). Cette énergie solaire est de plus interceptée sur des épaisseurs relativement faibles (quelques mètres dans la CMO), quelques millimètres seulement sur les continents. Dans ce dernier cas, l énergie est très rapidement transférée à l atmosphère.

16 CHAPITRE 1. PRÉSENTATION GÉNÉRALE Fig. 1.5 Devenir du rayonnement solaire reçu au sommet de l atmosphère. De par les contrastes en surface et les différences d exposition au rayonnement solaire, il y a formation de vents, et donc transformation d énergie potentielle en énergie cinétique. Celle-ci est ensuite dissipée, à hauteur de 50% rien que dans la CLA, du fait du frottement et de la dissipation visqueuse associée. De plus, le couplage entre océan et atmosphère est essentiel pour comprendre les grands équilibres de la planète, et leurs paramétrisations sont actuellement le maillon le plus important de la physique des modèles de prévision et de climat. 1.4.3 Raisons scientifiques La CLA est un laboratoire naturel pour la recherche en turbulence (qui a attiré un certain nombre de grands savants). La micrométéorologie est l autre nom souvent donné à la météorologie de la CLA. En effet, elle se concentre sur les phénomènes de micro-échelle (inférieur au kilomètre en gros). C est essentiellement une science pratique : description statistique de la turbulence de basses couches, méthodes pratiques de détermination des flux de chaleur, quantité de mouvement et humidité entre la surface et la CLA, règle pratique de dispersion des polluants...

1.5. QUELQUES RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES 17 1.5 Quelques références bibliographiques Malardel, S., 2005 : Fondamentaux de Météorologie, Editions Cépaduès. Dans cet ouvrage général, les rappels mathématiques et physiques nécessaires à ce cours sont développés. Stull, R., 1988 : An introduction to boundary layer meteorology, Kluwer Academic. Garratt, J. R., 1992 : The atmospheric boundary layer, Cambridge Atmospheric and Space science series. Ces deux derniers ouvrages font référence dans l étude de la couche limite. Ils permettent d approfondir les différents chapitres abordés en cours.

18 CHAPITRE 1. PRÉSENTATION GÉNÉRALE

Chapitre 2 Introduction à la turbulence Supposons que l on observe en un point d un système fluide un des paramètres qui décrivent l état du fluide (par exemple température, pression, vitesse, etc...). Il y a 3 possibilités (figure 2.1) : (a) Fig. 2.1 Types d écoulement 1. l écoulement est laminaire 2. l écoulement est ondulatoire 3. l écoulement est turbulent Ce qui distingue la turbulence, c est la variation rapide dans le temps, mais aussi le caractère irrégulier et surtout aléatoire. On n arrive pas à relier les fluctuations à des causes au niveau des forçages extérieurs exercés sur le fluide. En cela, la turbulence diffère d autres phénomènes rapides, comme les ondes. Le fluide turbulent génère par lui-même un écoulement chaotique. Il paraît totalement impossible de décrire le détail de ces fluctuations. On aura recours à une description statistique : on représentera les fluctuations par leurs moyennes, leurs variances, leurs corrélations, etc... 2.1 Les propriétés de la turbulence 2.1.1 Caractère diffusif La turbulence aboutit rapidement à l homogénéisation d un milieu. en ceci, elle s oppose aux ondes, qui laissent le milieu identique après leur passage. Ce caractère diffusif est 19

20 CHAPITRE 2. INTRODUCTION À LA TURBULENCE entièrement lié au transport des quantités par l air turbulent (notion de brassage). On peut mettre en évidence la caractère diffusif de la turbulence par l exemple suivant : Exemple du radiateur : on veut chauffer une pièce avec un radiateur dont la température est de 10K supérieure à celle de la pièce. Combien de temps cela prendra t il? (a) Air immobile : chauffage moléculaire (b) Air en mouvement : chauffage turbulent Fig. 2.2 Problème du radiateur premier cas : l air ne peut pas se déplacer (figure 2.2(a)). Le chauffage se fait par conduction moléculaire. L équation de la chaleur s écrit : T t = ν θ 2 T. x 2 Donc, en ordre de grandeur : T τ = ν θ T L 2 τ = L2 ν θ La diffusivité moléculaire thermique de l air ν θ τ = 52 m 2 2 10 5 m 2 /s 106 s 10 jours. est très faible (2 10 5 m 2 /s), donc Ce qui montre que l air est un bon isolant quand on l empêche de se déplacer. D ailleurs, on réalise l isolation thermique des fenêtres en maintenant une couche d air entre deux vitres. La couche d air est suffisamment fine de telle sorte que des mouvements ne peuvent pas s y déclencher facilement. deuxième cas : l air peut se déplacer librement (figure 2.2(b)). La vitesse de déplacement va être déterminée par l échauffement de l air au contact du radiateur. La circulation dans toute la pièce peut être considérée comme un modèle très simple de turbulence. L équation du mouvement vertical s écrit : ρ dw dt = p ρg. On suppose que l air juste à côté du radiateur est immobile et a les caractéristiques de l air dans la pièce (température T, densité ρ, pression P ). Par contre, l air dans le radiateur est chauffé, et subit donc une accélération vers le haut. Ses caractéristiques thermodynamiques sont modifiées (température T + T, densité ρ + ρ, pression P + P ). De plus, on suppose que la pression s équilibre instantanément ( P = 0). En comparant ces deux particules à côté et dans le radiateur, on a donc :

2.2. L ORIGINE DE LA TURBULENCE 21 0 = P ρg et (ρ + ρ) dw dt = (P + P ) (ρ + ρ)g. Donc, par soustraction et utilisation de la relation des gaz parfait (via P P = ρ ρ + T T ) : dw dt = ρ ρ + ρ g ρ ρ g T T g Et ceci sur toute la hauteur du radiateur. On intègre de bas en haut du radiateur, en supposant la vitesse négligeable en bas et l état stationnaire : D où Donc w 2 10 10 300 1 = 0.8m/s. dw dt = w t + w w w w = T T g w 2 = 2g T T H On peut écrire une équation de continuité globale pour la pièce : U(L D) UL = W D (U étant la vitesse moyenne dans la pièce). Donc U = W D/L = 0.8 0.1/5 = 1.6 10 2 m/s (soit 1.6 cm/s ce qui est plausible). Le temps pour l air pour traverser toute la pièce est donc : τ = L U = 5 1.3 10 2 = 300s, soit 5 minutes, ce qui est beaucoup plus réaliste que le résultat précédent. D ailleurs, si on veut chauffer une pièce encore plus vite, on met un ventilateur qui accélère le mélange de l air. C est ce que fait, en substance, la turbulence. 2.1.2 Caractère dissipatif La turbulence consomme de l énergie cinétique, car elle favorise l existence de gradients élevés (à toute petite échelle spatiale), sur lesquels s exerce la dissipation visqueuse. Si l on communique à un fluide enfermé dans une enceinte une certaine quantité d énergie cinétique, le fluide mettra d autant plus de temps à arriver au repos total que l écoulement n est pas turbulent. 2.1.3 Imprévisible Bien sûr, l écoulement suit les équations déterministes de Navier-Stockes. Il faut comprendre imprévisible ici au sens de l effet papillon. C est à dire, que même si dans l absolu on pourrait connaître le devenir de fluide, le problème vient du fait que l on ne connait pas assez bien l état initial du fluide pour le faire. Ainsi, de petites perturbations s amplifient rapidement avec le temps, ce qui rend l écoulement imprévisible de manière pratique. 2.2 L origine de la turbulence Il y a deux causes classiques de turbulence : l instabilité hydrodynamique et l instabilité thermique.

22 CHAPITRE 2. INTRODUCTION À LA TURBULENCE 2.2.1 L instabilité hydrodynamique C est l instabilité la plus fondamentale. On constate que dans un écoulement, faiblement visqueux, des zones où la vitesse varie rapidement dans la direction transverse à l écoulement (cisaillement) ne peuvent se maintenir dans le temps : elles sont sujettes à des instabilités. Les petites perturbations y croissent rapidement, donnant lieu à une géométrie différente de l écoulement, qui est elle-même instable, et ainsi de suite. On peut imaginer un écoulement turbulent comme une succession d instabilités hydrodynamiques se développant les unes sur les autres (figures 2.3 et 2.4). (a) (b) Fig. 2.3 Instabilité hydrodynamique de Kelvin-Helmholtz visible par les nuages au sommet de la CLA. (a) Fig. 2.4 Instabilité hydrodynamique provoquée dans la CLA par le fort cisaillement sous des ondes de reliefs. La turbulence dans les rotors (nom donné à ce phénomène) est visibles dans les nuages. Comme ce mécanisme est entièrement contenu dans les équations de Navier-Stockes incompressibles, on peut faire une analyse dimensionnelle de ces équations, pour rechercher le

2.2. L ORIGINE DE LA TURBULENCE 23 facteur qui va contrôler ce phénomène. Soit le système :.u = 0 u t = u.u 1 ρ p + ν u Où p est la pression hydrodynamique, ρ la masse volumique (supposée constante), ν la viscosité du fluide et u le vecteur vitesse. Supposons que l échelle caractéristique des variations spatiales dans l écoulement soit L, et U l échelle caractéristique des variations de vitesse associée. Alors : u.u U 2 L ν u νu L 2 Dans un tel système, la pression se trouve à partir de( l équation ) de continuité (propriété des fluides incompressibles)..u = 0 t.u = 0. u t = 0. Donc. u.u 1 U 2 ρ p = 0. en analysant l ordre de grandeur des termes, l on a : p L 2 ρl 2 p ρu 2. Donc, dans l équation du mouvement, on obtient : 1 ρ p U 2 L u.u On regroupe les termes d advection et de pression dans la même catégorie, dite termes d inertie. Ces termes ont tendance à créer des inhomogénéités de petite échelle, car ils sont non linéaires (une onde de longueur d onde donnée engendre des ondes de longueur d onde deux fois plus courtes par un terme non linéaire). Ce sont des termes déstabilisateurs, créateurs de turbulence. Le terme de viscosité, au contraire, correspond par nature à un lissage des inhomogénéités de petite échelle par les échanges moléculaires. Il a un effet stabilisateur. Le rapport de ces deux termes est un nombre sans dimension qui va caractériser la plus ou moins grande tendance de l écoulement à évoluer vers la turbulence. C est le nombre de Reynolds. R e = U 2 /L νu/l 2 = UL ν C est par ailleurs une quantité fondamentale en mécanique des fluides à bien des égards. Pour toute famille d écoulements, on peut définir un nombre de Reynolds approprié (en choisissant bien U, L et ν). On peut alors affirmer avec certitude qu il existe une valeur critique du R e au delà de laquelle l écoulement sera turbulent. Expérience de Reynolds (1883) : Reynolds a mis en évidence cette valeur critique expérimentalement, en étudiant la vidange d une cuve par une conduite horizontale (figure 2.5). Le diamètre du tube de vidange est d, la viscosité du fluide ν, la vitesse le long de l axe U. On obtient divers régimes en faisant varier

24 CHAPITRE 2. INTRODUCTION À LA TURBULENCE le débit (U). Le caractère laminaire ou turbulent est visualisé par du colorant émis dans la partie centrale du tube. L écoulement est toujours turbulent si Re = Ud ν > 10 5, et dans la plupart des cas si il est supérieur à 3000. D où Fig. 2.5 Expérience de Reynolds (1883) R ecr 3000 Interprétation : il y a instabilité hydrodynamique de l écoulement cisaillé qui se développe dans la conduite. Reynolds de la CLA Dans un fluide de viscosité très faible comme l air, tout champ de vitesse montrant un cisaillement significatif est intrinsèquement instable (en dehors de tout effet thermique éventuellement stabilisateur), si le nombre de Reynolds du problème est supérieur à quelques milliers. On peut calculer une valeur du Reynolds représentatif de la CLA : U 10m/s (variation entre le vent au sommet de la CLA et le vent au sol) ; h 1000m (hauteur de la CLA) et ν = 10 5 m 2 /s (viscosité de l air). Donc R ecla = Uh ν 10 1000 10 5 = 10 9 Il est donc inévitable que la CLA soit turbulente.

2.2. L ORIGINE DE LA TURBULENCE 25 2.2.2 L instabilité thermique On peut trouver dans la nature de la turbulence même dans des écoulements où la vitesse moyenne est nulle, si il existe des contrastes thermiques. On en fait l expérience chaque matin en chauffant l eau pour son café. La quantité de mouvement moyenne dans la casserole est nulle (principe de conservation de la quantité de mouvement), mais une turbulence vigoureuse se développe avant même que l eau ne s évapore. L expérience classique en mécanique des fluides est l expérience de Bénard. Expérience de Bénard : On soumet un fluide au repos, maintenu entre deux plaques séparées d une distance h, à un contraste de chaleur T entre ces deux plaques, en présence de la gravité g (figure 2.6). Fig. 2.6 Expérience de Reynolds (1883) Si la plaque supérieure est plus chaude, le fluide se dilate vers la haut. Le fluide est donc stable, et il n y a pas de mouvement. Le flux de chaleur vers le bas est de nature moléculaire, égal à ρc p ν θ T h. Si la plaque du bas est chauffée, au contraire, des instabilités se déclenchent dès que la différence température dépasse une température critique ( T > T cr ). Il y a création de mouvement. L existence d un gradient de densité positif, en présence de la gravité, crée une situation intrinsèquement instable. Les phénomènes observés dépendent alors à nouveau d un nombre sans dimension formé à partir des paramètres du problème, le nombre de Rayleigh.

26 CHAPITRE 2. INTRODUCTION À LA TURBULENCE R a = αgh3 T νν θ α étant le coefficient de dilatation thermique du fluide. On peut aussi noter que les phénomènes dépendent aussi du nombre de Prandtl, P r = ν ν θ, qui est une caractéristique du fluide utilisé, et non de l écoulement. On constate les régimes suivants : R a positif : cas stable, pas de mouvement, flux moléculaire seulement R a compris entre 0 et -1700 : pas de mouvement, flux moléculaire seulement R a compris entre -1700 et -50000 : mouvements convectifs réguliers (rouleaux puis cellules hexagonales) R a inférieur à -50000 : mouvements convectifs turbulents, nommés thermiques Ces résultats expérimentaux ont été retrouvés par la théorie. Rayleigh de la CLA On peut caractériser une valeur du nombre de Rayleigh caractéristique de la CLA. Admettons que la surface ait une température supérieure de 1K à l air dans la CLA (ce qui sousestime la réalité observée en journée). On a : ν = 10 5 m 2 /s ; ν θ = 2 10 5 m 2 /s ; g = 10m/s 2 ; α = 1 T = 3 10 3 K 1 (gaz parfait) ; h = 10 3 m. Donc : R acla = 3 10 3 10 (10 3 ) 3 1 10 5 2 10 5 = 1.5 10 17 On est, là encore, dans le régime pleinement turbulent. 2.3 Observation de la CLA et la CMO Du fait de la nature complexe, et en particulier turbulente, de la CLA, de nombreux moyens de mesures expérimentaux ont été développés pour mesurer expérimentalement ses caractéristiques. Ces moyens sont fréquemment déployés lors de campagnes de mesures, allant de l initiative locale à de grandes campagnes internationales, afin toujours de mieux comprendre la physique et la phénoménologie de ces couches. On peut noter 4 grandes catégories d instruments. 2.3.1 Mesures in-situ depuis le sol Ces mesures sont d une part les plus anciennes, d autre part les plus précises et souvent les moins coûteuses. Par contre, elles sont limitées dans l espace. On peut noter, en ce qui concerne l étude de la CLA, on peut noter en particulier : la station météo classique : elle mesure, parfois depuis plus d un siècle, les paramètres près de la surface : température et humidité à 2m, le vent à 10 m de haut, la pluviométrie... le mât instrumenté : afin d étendre les mesures de la surface en altitude, il est commun d utiliser des mâts de mesures (figure 2.7) sur lesquels sont fixés des instruments à différents niveaux. De tels mâts ont été installés à partir des années 20 afin de mesurer

2.3. OBSERVATION DE LA CLA ET LA CMO 27 (a) Mât de mesures (b) Mât sur bateau (c) Mât de mesures en ville Fig. 2.7 Mâts de mesures le profil de vent dans la basse CLA. Les champs observés dépendent de l instrumentation (cela va de l instrumentation opérationnelle classique à des moyens de recherche pour la turbulence ou la chimie). Les plus hautes tours météorologiques instrumentées sont situées à Pékin et Moscou, et font plus de 300 m de haut. les stations chimiques : déployées en routine autour des agglomérations pour quantifier la qualité de l air, certaines sont ajoutées ou complétées lors de campagnes de mesures ponctuelles. les stations de flux turbulents : ces stations sont dédiées à la mesure de la turbulence, et en particulier des échanges turbulents entre la surface (surchauffée en journée) et l atmosphère (qui reçoit cette chaleur). Les flux sont de nature turbulente, et différentes méthodes existent pour les estimer : les stations de flux à partir des profils moyens (figure 2.8(a)) : ces stations mesurent les échanges radiatifs et les gradients de température (et éventuellement humidité) au dessus de la surface (entre 2 et 5m typiquement), afin de déterminer, par des lois classiques, les flux turbulents donnant naissance à de tels profils (méthode indirecte). Elle a l avantage d être peu coûteuse. les stations par corrélations turbulentes (figure 2.8(b)) : ces stations mesurent directement avec des appareils à temps de réponse très rapides les fluctuations turbulentes. connaissant ainsi avec précision la turbulence locale en ce point, on en déduit les flux turbulents qui y transitent. Pour le vent, on utilise des anémomètres soniques, qui permettent d avoir accès à la fois au vent 3D et à la température (en mesurant la vitesse du son). Pour mesurer la turbulence en vapeur d eau, on peut utiliser des krypton (mesure par laser dans la bande lyman-α de l hydrogène, signature dans l atmoshère d eau) ou des analyseurs chimiques déportés (l air étant pompé près de l anémomètre sonique). 2.3.2 Mesures in situ de la CMO Ces mesures sont le pendant des mesures au sol pour la CLA.

28 CHAPITRE 2. INTRODUCTION À LA TURBULENCE (a) Station de mesures de flux turbulents par (b) Anémomètre sonique (haut gauche), krypton méthode des gradients (à droite) (haut droit) et tuyau de prélèvement de l air et analyseur rapide (au centre) Fig. 2.8 Mesures de flux turbulents (a) Bouée ancrée (b) Localisation de bouées ancrées Fig. 2.9 Bouée ancrée Elles sont effectuées le plus couramment par des bouées ou des bateaux. Les bouées sont de deux types : fixes (figure 2.9) ou dérivantes (figure 2.10). Ces instruments mesurent le plus souvent quelques paramètres atmosphériques (pression, température, vent, humidité), et des paramètres de la CMO : houle, température de surface, courant. Les bouées dérivantes permettent un suivi lagrangien de la particule d eau échantillonnée, alors que les bouées fixes

2.3. OBSERVATION DE LA CLA ET LA CMO 29 donnent une vision eulérienne, en un point fixe, au cours du temps. En plus de ces divers paramètres près de l interface océan/atmosphère, les bouées sont souvent équipées d un câble sur lequel sont fixés des capteurs de température et éventuellement salinité, afin de mesurer les profils verticaux de ces paramètres au sein de la CMO (figure 2.10(c)). Il existe aussi des sondes dérivantes automatiques, qui effectuent des mesures à une profondeur fixée en suivant le courant à ce niveau, et qui remontent à la surface périodiquement afin d envoyer leurs données par satellite. (a) Bouée dérivante (b) Principe de la bouée (c) Câble de capteurs sous la bouée Fig. 2.10 Bouée dérivante 2.3.3 Mesures de télédétection Les moyens de télédétections ont un avantage énorme sur les instruments in-situ au sol : ils permettent d observer la structure verticale de tout ou partie de la CLA. De plus, ces mesures sont en général continues dans le temps, en particuliers pour les profileurs les plus simples. Evidement, ces moyens de mesures sont en général moins précis que les moyens in-situ équivalents, et sont plus complexes à mettre en œuvre. On peut noter : les radars profileurs de vent (VHF, UHF, figures 2.11(a) et 2.12 respectivement). Ces radars donnent une vision en continu du profil de vent au dessus (dans la CLA pour l UHF, avec une résolution verticale d environ 100m, sur toute la troposphère pour le VHF). les sodars (figure 2.11(a)). Ces appareils sont similaires à des radars, sauf qu il envoient une onde acoustique au lieu d une onde électromagnétique. Ils permettent de mesurer en continu (dans la limite de la gêne sonore) le profil de vent dans la basse CLA (environ 1km). le RASS : système couplant UHF et sodar, permettant, en mesurant la vitesse du son, d en déduire le profil de température. le lidar : similaire au radar, mais en onde lumineuse (laser en général) au lieu d onde radio. Ils permettent de mesurer divers paramètres, suivant la longueur d onde utilisée :

30 CHAPITRE 2. INTRODUCTION À LA TURBULENCE (a) Profileurs : radar VHF (câbles ; arrière plan) et Sodar Fig. 2.11 Radars, sodars (b) Radar Doppler vent (par effet doppler), vapeur d eau, aérosols, ozone. le radar doppler (figure 2.11(b)) : ces radars permettent de mesurer la vitesse radiale vers le radar. Associés en couple, ils permettent de retrouver le champ de vent 3D. Certains permettent aussi de caractériser les hydrométéores (pluies, neige, grêle, etc...). le télémètre à nuages : moyen de télédétection spécialisé dans la détection de la base des nuages. Modifié, il permet aussi de mesurer la hauteur de la CLA (en détectant les intenses inhomogénéités dans les aérosols au sommet de la CLA). le radar micro-onde : il permet de mesurer des profils de température en continu, jusqu à environ 1km. les scintillomètres : ces instruments à visée horizontale, quelques dizaines de mètres au dessus du sol, mesurent les flux (turbulent) de chaleur (et pour certains d humidité) en provenance de la surface vers l atmosphère. 2.3.4 Moyens aéroportés Les mesures aéroportées sont bien sûr de première importance pour l étude de la CLA, car elles permettent d avoir accès à des quantités et une précision non accessibles par les moyens de télédétection. Par contre, elles sont limités dans l espace et dans le temps, et sont très coûteuses. Un moyen d étendre la zone spatiale couverte par les observations est d embarquer un moyen de télédétection à bord d un avion (lidar, radar). Le vecteur le plus connu pour les mesures aéroportées est l avion, mais il n est pas le seul : montgolfière et ballon habité (juste pour l histoire, ce furent les premiers moyens de mesure aéroporté de l atmosphère). ballons de radio-sondages (figure 2.12) : ce sont les mesures aéroportées de référence. Le ballon et la sonde montent jusqu à ce que le ballon éclate, en général dans la stratosphère. Sont mesurés température, pression, humidité, vent (par suivi GPS de la trajectoire), éventuellement ozone. les ballons plafonnants (figure 2.13) : ces ballons sont lestés de manière à voler à une altitude donnée, par exemple au milieu de la CLA. Ils fournissent alors un suivi lagrangien de la masse d air, en mesurant les mêmes paramètres que les radio-sondages (les sondes sont identiques).

2.3. OBSERVATION DE LA CLA ET LA CMO 31 (a) Fig. 2.12 Radar UHF (à droite) et lâcher de radiosondage (a) Ballon plafonnant avec sa sonde (b) Ballon plafonnant en vol (c) Ballon plafonnant en vol Fig. 2.13 Ballon plafonnant les ballons captifs (figure 2.14(a)) : ces ballons sont retenus au sol par un câble, et permettent des mesures de profils entre le sol et quelques centaines de mètres. Les sondes et le ballon étant récupérés après usage, des mesures plus pointues peuvent être envisagées (par exemple taux de dissipation de la turbulence). Des charges jusqu à 100 kg ou plus peuvent être utilisées (en fonction du ballon). Le ballon captif ne peut cependant être utilisé que par vent faible.

32 CHAPITRE 2. INTRODUCTION À LA TURBULENCE les planeurs : ce sont les premiers avions à avoir été utilisés dans l observation de l atmosphère, dans les années 20. Ils sont parfois utilisés aujourd hui, en complément d autre avions. Leur avantage principal est le faible coût, mais ils ne sont pas maître de leurs trajectoires et la charge utile est limitée. les avions de recherche (figure 2.14(b)) : les avions sont les seuls vecteurs permettent des mesures in-situ de quasiment n importe quel paramètre (description fine des gouttelettes de nuage, chimie complexe, nombreux paramètres turbulents, etc...), car certains sont de véritables laboratoires volants. les avions de ligne : certains avions de ligne sont équipés de capteurs de vent, pression et température, permettant, au dessus des aéroports importants, de connaître la structure de la CLA. (a) Ballon captif (b) Vol avion en basses couches Fig. 2.14 Ballon captif, avion 2.4 Conclusions On va être obligé de se donner les moyens théoriques d étudier ces écoulements turbulents de la CLA. la technique de l analyse dimensionnelle, générale en physique mais particulièrement utile dans le cas de la turbulence pour simplifier le problème (peu d équations) la méthode statistique, pour étudier des valeurs moyennes. C est ce que l on fera dans les prochains chapitres. Dans un premier temps, on simplifiera le système qui gouverne les fluides géophysiques afin d obtenir un système qui suffit pour la physique de la CLA ou la CMO (système de Boussinesq).

Chapitre 3 Dérivation du système de Boussinesq L objectif est ici de simplifier le système d équations des fluides géophysiques. En effet, ce système peut décrire des écoulements dans de très grandes gammes d échelles, des vents violents dans la haute atmosphère aux écoulements à très forte pression au fond des océans. Que ce soit pour l étude de la CLA et la CMO, une telle généralité n est pas de mise, ces couches étant relativement fines comparées aux épaisseurs totales de l atmosphère et de l océan. Une simplification physiquement raisonnable de ces équations va permettre d aboutir à un système plus simple : le système de Boussinesq. 3.1 Le système de Boussinesq pour la CLA sèche On va d abord travailler sur l air sec, sans vapeur d eau, afin de simplifier l approche. On part des équations générales pour l atmosphère sèche : dρ dt = ρ.u du dt = 1 ρ p + g +ν u 2Ω u dθ dt = ν θ θ + θ T Q p = ρrt T = θ (p/p 0 ) R/Cp Où θ est la température potentielle (i.e. la température corrigée des effets de dilatation ou compression dus à la pression). 33

34 CHAPITRE 3. DÉRIVATION DU SYSTÈME DE BOUSSINESQ 3.1.1 Construction d un état de référence On veut tenir compte du fait que les variations de p, T, θ et ρ sont beaucoup plus faibles que ce qui est permis par ces équations. On va donc linéariser les variations de ces quantités thermodynamiques autour d un état de référence supposé au repos (u = 0), hydrostatique, en équilibre adiabatique (θ = C ste ), sans source externe de chauffage ( Q = 0). L état de référence est indicé r. Il ne dépend que de l altitude z. Il doit vérifier les équations : 0 = 1 ρ r p + g p = ρrt T = θ (p/p 0 ) R/Cp On trouve facilement : { } T r (z) = θ r 1 g C pθ r (z h 0 ) θ r = Constante arbitraire { } Cp p r (z) = p 0 1 g R C pθ r (z h 0 ) { } Cv ρ r (z) = ρ 0 1 g R C pθ r (z h 0 ) p 0 est une pression de référence arbitraire (on peut prendre 1000 hpa), h 0 est l altitude correspondante à p 0, T 0 = θ r et ρ 0 est définit { par p 0 = ρ 0 RT 0. } On peut déja remarquer que le facteur 1 g C pθ r (z h 0 ) varie très peu sur la profondeur { de la CLA. } Par exemple, si z varie de 0 m à 1000 m, ce facteur varie de 1 à 10 1 1000 300 1000 = 0.97. Donc, entre le sol et le sommet de la CLA : la température diminue de 3% (10K), la pression diminue de Cp R 3% = 7 2 3% = 10% (100hpa) la densité diminue de Cv R 3% = 5 2 3% = 7% (0.08 kg/m3 ) 3.1.2 Linéarisation On développe en perturbations par rapport à l état de référence. T = T r (z) + T 1, θ = θ r + θ 1, p = p r (z) + p 1, ρ = ρ r (z) + ρ 1. Les perturbations par rapport à l état de référence, T 1, θ 1, ρ 1 et p 1 dépendent de x, y, z et t. On négligera les termes d ordre 2 faisant entrer en jeu ces quantités. Les composantes du vent seront notées u, v, w. Les termes d advection n étant pas négligeables, ceux-ci seront conservés.

3.1. LE SYSTÈME DE BOUSSINESQ POUR LA CLA SÈCHE 35 3.1.3 Equation thermodynamique dθ dt = ν θ θ devient, du fait que l état de base en température potentielle est uniforme (en fait les deux formulations sont strictement équivalentes) : dθ 1 dt = ν θ θ 1 Le cas échéant, on ajoute le terme de chauffage diabatique ( Q), qui est d ordre 1 par définition de l état de base, et donc le coefficient en θ T est pris à l ordre zéro, i.e. égal à θ r T r = 1.Finalement : dθ 1 dt = ν θ θ 1 + Q 3.1.4 Equation d état et définition de θ p = ρrt devient, par différenciation logarithmique : De même, T = θ (p/p 0 ) R/Cp devient : p 1 p r = ρ 1 ρ r + T 1 T r T 1 T r = θ 1 θ r + R C p p 1 p r On combine les deux équations pour éliminer la température du système d équations (en utilisant la relation de Mayer R = C p C v ) : ρ 1 ρ r = θ 1 θ r + C v C p p 1 p r Hypothèse supplémentaire : l hypothèse anélastique On va faire l hypothèse que les fluctuations relatives de pression sont bien plus faibles que celles de température : p 1 p r << θ 1 θ r. Ceci rend compte du rééquilibrage très rapide de la pression. Cette hypothèse est difficile à justifier simplement de manière rigoureuse, mais est bien vérifiée dans les conditions suivantes : 1. basse atmosphère, 2. vitesse faibles (nombre de Mach faible, i.e. vitesse bien inférieure à celle du son), 3. on ne s intéresse pas aux ondes acoustiques (de peu d intérêt météorologique) Cette dernière hypothèse est importante, et se nomme hypothèse anélastique. De fait, les ondes acoustiques seront filtrées du système d équations simplifié que nous allons dériver (ce qui a un impact ici pour l équation d état mais bien plus encore dans l équation de continuité, comme on le verra ci-après). On en déduit de ces hypothèses que l équation d état se résume au fait que les fluctuations de densité sont déterminées par les fluctuations de température : ρ 1 ρ r θ 1 θ r

36 CHAPITRE 3. DÉRIVATION DU SYSTÈME DE BOUSSINESQ 3.1.5 Equation de continuité dρ dt = ρ.u se développe au premier ordre en : ρ 1 t +u ρ 1 x +v ρ 1 y +w ρ 1 ρr +w = ρ r.u ou encore dρ 1 ρr dt +w = ρ r.u. On va montrer que le contenu de cette équation est équivalent à.u = 0. Pour cela, évaluons les ordres de grandeur des différents termes :.u = 1 [ dρ1 ρ r dt + w ρ ] r ρ 1 ρ r θ 1 θ r 10K 300K 3 10 2. On considère que les variations de température potentielle dans la CLA sont d environ 10K, ce qui est on ne peut plus raisonnable. Pour ce qui est de l échelle de temps de variation de densité, et du fait de lhypothèse anélastique visant à négliger les ondes sonores, on peut considérer un temps de l ordre de la minute comme caractéristique des changements de température d une particule (que l on suivrait dans son mouvement). Donc dt 10 2 s, et 1 dρ 1 ρ r dt 3 10 4 s 1. Quant au terme d advection verticale de l état de base, on a typiquement w 1m/s, et la variation relative de densité de l état de base est de l ordre de 7% sur une épaisseur de 1000m, d où dρr dz 0.07 10 3 ρ r m 1 1 et finalement : ρ r w ρr 10 4 s 1. D où.u 4 10 4 s 1. Or les composantes u, v et w des mouvements turbulents sont de l ordre de 1 m/s sur des distances de l ordre de 10 m. Donc chaque terme de la divergence ( u x, v y, w ) est typiquement d environ 10 1 s 1. Hypothèse supplémentaire : première hypothèse de Boussinesq On déduit de ce qui précède que chaque terme de la divergence est grand, mais que leur somme est de 3 ordres de grandeur plus petite que chacun d eux. C est bien équivalent à dire que la somme (i.e. la divergence) est presque nulle. C est la première hypothèse de Boussinesq : on peut négliger les variations de densité dans l équation de continuité..u = 0 3.1.6 Equation du mouvement Seul le terme 1 ρ p est concerné par la linéarisation. 1 p Dans les directions x et y (horizontales) on obtient : 1 ρ r+ρ 1 x pr (car x ) en : 1 ρ r (1 ρ 1 p1 ρ r x 1 p 1 ρ r x. C est une bonne approximation. = 0), qui se développe Dans la direction z, il faut tenir compte du fait que la pression de référence varie selon

3.1. LE SYSTÈME DE BOUSSINESQ POUR LA CLA SÈCHE 37 l altitude (stratification hydrostatique de l état de référence). 1 [ p ρ g = 1 pr ) ρ r (1 + ρ 1 + p ] ( 1 g 1ρr 1 ρ ) [ 1 pr ρ r + p ] 1 g ρ r = 1 p r ρ r g 1 p 1 ρ } {{ } r + ρ1 ρ 2 r =0 p r } {{ } = ρ 1 ρr g p 1 ρ 2 r } {{ } 0 (ordre2) + ρ 1 Le terme d ordre 2 est clairement négligeable devant le terme 1 p 1 ρ r. Il faut toutefois montrer que ce dernier est bien d ordre 1 (dire que p 1 est d ordre 1 ne signifie pas forcément que son gradient est d ordre 1. En fait, on suppose, encore grâce à l hypothèse anélastique, que les perturbations de pression sont suffisamment petites pour rester négligeables par rapport au gradient hydrostatique. Dans les ondes sonores, ce n est plus vrai, et la pression peut localement croître avec l altitude. On utilise finalement l équation d état ρ 1 ρ r θ 1 θ r Vectoriellement, ceci peut se résumer en : 1 ρ p = 1 ρ r p 1 + g θ r θ 1 k et il vient : 1 p ρ g = 1 p 1 ρ r + θ 1 θ r g. Par commodité, on remplace maintenant θ 1 par sa définition θ θ r et g par gk, et on définit un coefficient de flottabilité β = g/θ r. Hypothèse supplémentaire : deuxième hypothèse de Boussinesq On considère, étant donné la faible variation de la densité de l état de base sur l épaisseur de la CLA, que le terme en 1 ρ r devant le gradient de pression peut être remplacé par l inverse de la densité au sol. Cette hypothèse n est pas aussi fondamentale que les autres, mais permet de simplifier la résolution du système. On en tire le système de Boussinesq : 3.1.7 Système de Boussinesq.u = 0 du dt = 1 ρ 0 p 1 + β(θ θ r )k +ν u 2Ω u dθ 1 dt = ν θ θ 1 + Q Avec : ρ 1 ρ 0 = θ 1 θ r T 1 T r = θ 1 θ r β = g/θ r

38 CHAPITRE 3. DÉRIVATION DU SYSTÈME DE BOUSSINESQ Etat de référence : adiabatique, hydrostatique, stationnaire, au repos, sans source externe de chauffage ( Q = 0) Conditions aux limites : θ, u sur les frontières du domaine d intérêt. 3.1.8 Remarques Les seules variables scalaires sont θ et p 1. Il n y a plus d équation explicite pour p 1, mais on peut la trouver (à une constante près) en résolvant l équation de Poisson obtenue en appliquant l opérateur divergence à l équation du mouvement. Ce système s apparente aux équations de Navier-Stockes incompressible. Il n en diffère que par le terme de flottabilité, qui exprime la poussée d Archimède. La force est dirigée vers le haut pour les particules plus chaudes que leur environnement, en raison de la dilatation du fluide. Supposons une particule plus chaude que l environnement de 10K, l ordre de grandeur de ce terme sera β(θ θ r ) 10m/s2 300K 10K 0.3m/s2. Toutefois, cette accélération sera largement compensée par le terme de pression, et l accélération réelle de la particule sera plus faible. D autre part, si à l instant initial θ = θ r partout et qu il n y a pas de source de chaleur extérieure, les équations deviennent identiques à celle d un fluide incompressible. L écoulement reste à θ r partout. On peut donc prévoir que l écoulement dans une CLA neutre (i.e. sans effet thermique) ressemblera beaucoup à celui d un fluide incompressible. On n a pas trop justifié les approximations. Ceci est difficile sur le plan mathématique, mais parfaitement vérifié au plan physique. Il n y a aucun doute à l heure actuelle que ce système est suffisant pour décrire les phénomènes rencontrés dans la CLA. 3.2 Généralisation à l air humide On appelle air humide un mélange d air sec et de vapeur d eau. On exclut pour l instant la présence de nuages (i.e. de gouttelettes d eau liquide). 3.2.1 L humidité spécifique On mesure la quantité d eau existant dans une masse d air humide donné par l humidité spécifique, q. Par définition, q = ρ v masse volumique de la vapeur = ρ a + ρ v masse volumique du melange L équation d évolution de l humidité, qui se rajoute au système d équations pour l air sec, est : dq dt = ν q q

3.2. GÉNÉRALISATION À L AIR HUMIDE 39 3.2.2 Equation d état du mélange On considère qu il s agit d un mélange idéal de deux gaz parfaits, de constantes de gaz R a et R v. La pression du mélange est égale à la somme des pressions partielles des deux composants : p = p a + p v = ρ a R a T + ρ v R v T On utilise la définition de l humidité spécifique (q = ρv ρ et 1 q = ρa ρ, avec ρ = ρ a + ρ v ) pour écrire : [ p = ρ a R a T + ρ v R v T = ρ [(1 q)r a + qr v ] T = ρr a T 1 + R ] v R a q R a L équation d état s écrit donc : p = ρr a T v Où T v = T (1 + δq) est la température virtuelle (δ = Rv Ra R a 0.608). C est la température que devrait avoir une particule d air sec pour avoir la même densité que la particule considérée dans des conditions de pression identique. Conclusion : La prise en compte de l humidité dans l équation d état du mélange revient à remplacer la température par la température virtuelle. 3.2.3 Equation thermodynamique du mélange Il s agit d un gaz parfait de constantes R = (1 q)r a + qr v et de chaleur massique C p = (1 q)c pa + qc pv. Les raisonnements effectués plus haut dans le cas de l air sec s appliquent, avec ces modifications. On est amené à considérer que la conservation de l énergie se traduit par : Avec dθ dt = ν θ θ T = θ (p/p 0 ) R/Cp Mais avec R et C p du mélange et non plus de l air sec. 3.2.4 Système d équations général pour l air humide (sans nuage) On obtient finalement le système suivant :

40 CHAPITRE 3. DÉRIVATION DU SYSTÈME DE BOUSSINESQ dρ dt = ρ.u du dt = 1 ρ p + g +ν u 2Ω u dθ dt = ν θ θ + θ T Q dq dt = ν q q p = ρr a T v T = θ (p/p 0 ) R/Cp T v = T (1 + δq) Avec : q = ρ v ρ a+ρ v δ = Rv Ra R a 0.608 3.2.5 Système de Boussinesq pour l air humide (sans nuage) On va effectuer une approximation supplémentaire en remarquant que R C p Ra C pa. En pratique, par simplicité, on va donc utiliser la même définition de la température potentielle que pour l air sec. D autre part, toutes les hypothèses et linéarisations effectuées dans la dérivation du système de Boussinesq se généralisent à l air humide, en remplaçant dans l équation d état la température par la température virtuelle. Enfin, on remarque que pour l équation du mouvement, le développement de 1 p ρ est identique, à ceci près (puisque l on avait utilisé l équation d état) que l on remplace la température potentielle θ par la température potentielle virtuelle θ v = θ(1 + δq). Cette notion de température potentielle virtuelle est fondamentale. Elle exprime la densité locale d une particule (en unité de température : K), et donc les accélérations verticales auxquelles cette particule sera soumise du fait de la force d Archimède. En ordre de grandeur, l effet de l humidité est en général faible : pour une fluctuation de 10 g/kg (grand), le terme correctif sur la température potentielle virtuelle est de : 10 10 3 0.608 300 = 1.8K. A noter qu en cas de condensation (non traité ici) l effet de l humidité sur la flottabilité devient primordial du fait de libération de chaleur latente. Finalement, le système de Boussinesq pour l air humide (sans nuage) s écrit :

3.3. SYSTÈME DE BOUSSINESQ POUR L OCÉAN 41.u = 0 du dt = 1 ρ 0 p 1 + β(θ v θ r )k +ν u 2Ω u dθ 1 dt = ν θ θ 1 + Q dq 1 dt = ν q q ρ 1 ρ 0 = θv1 θ r θ v = θ(1 + δq) T 1 T r = θ 1 θ r Avec : { β = g/θr δ = Rv Ra R a 0.608 Etat de référence : adiabatique, hydrostatique, stationnaire, au repos, sans source externe de chauffage ( Q = 0), sec Conditions aux limites : θ, q, u sur les frontières du domaine d intérêt. 3.3 Système de Boussinesq pour l océan On va effectuer des hypothèses similaires au cas atmosphérique pour la CMO. On part du système général pour l océan : 3.3.1 Equations générales pour l océan (eau salée) dρ dt = ρ.u du dt = 1 ρ p gk + ν u 2Ω u dt dt = ν T T + 1 R(z) ρc ds dt = ν s s ρ = ρ(t, s, p) Où la nouvelle variable s est la salinité de l eau (i.e. son contenu spécifique en sel). Le terme 1 R(z) ρc est un terme de chauffage diabatique, qui dans le cas de l océan, se réduit à l interception du flux solaire R(z). C est la capacité calorifique de l eau. u désigne le courant.

42 CHAPITRE 3. DÉRIVATION DU SYSTÈME DE BOUSSINESQ 3.3.2 Etat de référence Comme pour la CLA, on va linéariser ces équations autour d un état de référence. Ceci est pleinement justifié par le fait que la CMO est une couche relativement fine en regard de la profondeur totale de l océan. On prend l état de référence le plus simple possible : au repos (u = 0), hydrostatique, isotherme (T = C ste ), salinité constante (s 0 = 3.5%), de nuit (pas de chauffage solaire). Dans l atmosphère, on avait considéré un état de référence sec, c est à dire sans mélange. Toutefois, dans l océan, la salinité n est jamais nulle, et varie peu autour d une valeur moyenne. C est donc celle-ci qui est prise comme référence. 3.3.3 Equation de la thermodynamique Cette équation ne pose pas plus de problème que dans le cas atmosphérique. On prend juste en compte le terme radiatif solaire, considéré d ordre 1 : dt 1 dt = ν T T 1 + 1 R(z) ρ 0 C 3.3.4 Equation d état On considère que l eau est incompressible, i.e. que la pression n intervient pas dans l équation de la densité. C est vrai pour la CMO, mais ne l est pas, par exemple, pour les grandes fosses océaniques où la pression est telle qu elle impacte sur la densité. D autre part, on va se donner une forme de l équation d état (non explicitée dans la cas général, car pas aussi simple qu une loi des gaz parfaits). On choisit une forme linéarisée par rapport aux deux quantités qui peuvent modifier la densité de l eau : la température et la salinité. ρ = ρ 00 (1 α T (T T 00 ) + α s (s s 00 )) Avec ρ 00 1024(kg/m 3 ), T 00 = 273.15 + 13.5(K), s 00 = 0.035(kg/kg), α T = 0.2 10 3 et α s = 0.8. Cette forme indique qu une eau plus chaude est plus légère (ce qui est intuitif, et toujours vrai pour l eau salée). A noter que pour l eau pure est la plus lourde à 4 C et non à 0 C. En ce qui concerne la salinité, plus l eau est douce, plus elle est légère. Par exemple, lorsqu il pleut, il se forme ce que l on appelle des barrières de sel : l eau en surface devient plus légère, et reste en surface par effet de la stratification verticale stable de densité qui en résulte. La couche d eu douce se retrouve alors découplée du reste de la CMO sous-jacente.

3.3. SYSTÈME DE BOUSSINESQ POUR L OCÉAN 43 3.3.5 Equation de continuité Toujours en suivant la même démarche que précédemment, on va chercher par analyse des ordres de grandeur à montrer que la divergence du courant est nulle. On repart de :.u = 1 [ dρ1 ρ r dt + w ρ ] r Or l état de référence est isotherme et à salinité uniforme, donc à densité uniforme, et le deuxième terme est nul. Pour évaluer l ordre de grandeur du premier terme, considérons des variations typiques rencontrés dans la CMO : s 1 = 0.001kg/kg et T 1 = 1K. Ces écarts conduisent respectivement, d après l équation d état, à des écarts de densité ρ 1 de 0.0008ρ r et 0.0002ρ r kg/kg, soit au total environ 10 3 ρ r. Le temps de variation typique de la densité dans la CMO (avec l hypothèse anélastique pour filtrer les ondes sonores) est de un jour, soit environ 10 5 s. Un refroidissement de 1K/jour est typiquement ce qui peut s observer lors d un fort coup de vent en mer (Mistral, cyclone). Donc dρ 1/ρ r dt 10 8 s 1. D où.u 10 8 s 1. Or les composantes u, v et w des mouvements turbulents sont de l ordre de 1 mm/s sur des distances de l ordre de 1 m. Donc chaque terme de la divergence du courant ( u x, v y, w ) est typiquement d environ 10 3 s 1. Donc, comme pour l atmosphère, on peut considérer que la divergence du champs de courant est nulle (hypothèse de Boussinesq). 3.3.6 Equation du mouvement Le traitement est exactement similaire au cas atmosphérique, à par la notation du terme de flottabilité que l on préfère écrire en écart à la densité. 3.3.7 Equations de Boussinesq pour l océan salé On déduit de toutes ces hypothèses le système de Boussinesq pour la CMO :.u = 0 du dt = 1 ρ 0 p 1 g ρ 0 (ρ ρ 0 )k + ν u 2Ω u dt 1 dt = ν T T 1 + 1 I(z) ρ 0 C p ds 1 dt = ν s s 1 ρ = ρ 00 (1 α T (T T 00 ) + α s (s s 00 ))

44 CHAPITRE 3. DÉRIVATION DU SYSTÈME DE BOUSSINESQ Avec : ρ 00 1024(kg/m 3 ) T 00 = 273.15 + 13.5(K) s 00 = 0.035(kg/kg) α T 0.2 10 3 α s 0.8 Etat de référence : isotherme, hydrostatique, stationnaire, au repos, sans source externe de chauffage (de nuit, I(z) = 0), salinité uniforme Conditions aux limites : θ, s, u sur les frontières du domaine d intérêt. 3.4 Notations Dans la suite du cours, par soucis de lisibilité, les indices 1 décrivant les perturbations par rapport à l état de base ne seront plus indiqués. Il ne faut pour autant pas oublier que ce seront toujours ces perturbations que l on traitera. En particulier, la forme du terme de flottabilité (écart de flottabilité au lieu du terme ρg complet) n est valide qu en travaillant en perturbations par rapport à l hydrostatisme.

Chapitre 4 L opérateur de moyenne 4.1 Valeur moyenne et fluctuation Il est nécessaire de traiter statistiquement un écoulement turbulent. Le détail des fluctuations est trop compliqué, et n a aucun intérêt pratique. On va décrire un écoulement turbulent par un ensemble de quantités : moyennes, variances, covariances, etc... qui apportent de l information sur sa structure. Par exemple, le champ de vitesse u a trois composantes u, v, w. Pour chacune on peut décomposer les valeurs instantanées en une valeur moyenne plus une fluctuation : u = u + u ) La quantité 1 2 (u 2 + v 2 + w 2, nommée l énergie cinétique turbulente, permet de quantifier l intensité de cette turbulence. On va considérer que les fluctuations (u ) sont des variables aléatoires. on pourra appliquer les résultats mathématiques généraux sur les variables aléatoires. Le problème est que l on ne peut pas choisir l opérateur de moyenne (servant à définir la valeur moyenne) n importe comment. Sinon on ne pourra pas manipuler les équations. On constate que pour que ça marche bien, il faut que cet opérateur vérifie les axiomes de Reynolds. 4.2 Axiomes de Reynolds 4.2.1 linéarité Pour toutes fonctions f, g et réel a on a : f + g = f + g af = a f Donc, en particulier, pour tout réel a, a = a. 45

46 CHAPITRE 4. L OPÉRATEUR DE MOYENNE 4.2.2 Commutativité avec la dérivation et l intégration L opérateur de moyenne doit être commutatif avec la dérivation et l intégration par rapport à l espace ou le temps. Pour toute fonction f et variable s (s étant x, y, z ou t) : ( ) f s = s (f) fds = fds 4.2.3 Idempotence généralisée Pour toutes fonctions f, g, on a : f. g = f. g En particulier, cela conduit à (ce qui n a rien d évident) ce que pour toute fonction f, f = f L idempotence généralisée est fondamentale, car elle implique : f = (f f) = f f = 0 f g = f. g = 0 f. g = f. g f. g = (f + f )(g + g ) = f. g + f g Cette dernière propriété est utilisée constamment. 4.3 Choix de l opérateur de moyenne L opérateur de moyenne idéal est la moyenne d ensemble. On répète une expérience un grand nombre de fois, en maintenant identiques tous les paramètres de contrôle. On calcule ensuite l espérance mathématique attachée à l ensemble des réalisations. Soit f (i) (x, t) la valeur d un paramètre mesuré en x et t dans la réalisation numéro i : f(x, t) = lim N 1 N N f (i) (x, t) On vérifie facilement que cet opérateur vérifie les opérateurs de Reynolds, car les différentes réalisations sont totalement indépendantes les unes des autres. Cette méthode idéale est déja lourde sur un expérience de laboratoire. elle est totalement irréalisable dans la CLA : il est impossible de répéter deux fois la même expérience, puisque i=1

4.3. CHOIX DE L OPÉRATEUR DE MOYENNE 47 c est l atmosphère qui décide ce qu elle fait. En pratique, on a recours à des moyennes spatio-temporelles : + f(x, t) = f(x ζ, t τ)φ(ζ, τ)dζdτ Avec Φ une fonction de poids qui vérifie : + Φ(ζ, τ)dζdτ = 1. On peut prendre par exemple un créneau, une moyenne glissante. Le problème est qu un tel opérateur ne vérifie pas a priori l axiome d idempotence. Si on répète la moyenne, on modifie le résultat. Ce problème fondamental se résout par l hypothèse ergodique. L hypothèse ergodique postule que pour certains processus aléatoires, on peut identifier des moyennes spatiotemporelles bien choisies et une moyenne d ensemble. Approche intuitive du problème On se limite au cas d une fonction aléatoire du temps seul. On part du constat qu une fonction aléatoire a une mémoire de ses réalisations limitée à son temps d autocorrélation τ. Si t 2 > t 1 + τ, les réalisations à t 1 et t 2 peuvent être considérées comme des expériences indépendantes. Donc si on fait la moyenne temporelle sur un certain nombre de τ, on obtient plusieurs séquences indépendantes, qui simulent la réalisation de N expériences indépendantes dans la moyenne d ensemble. On peut déjà voir que pour que cela puisse marcher, il faut que les temps caractéristiques d évolution de la valeur moyenne f et celui des fluctuations turbulentes soient très différents. Si T est le temps caractéristique du phénomène lent que l on souhaite étudier (par exemple le cycle diurne de la température), il faut que le temps caractéristique de la turbulence, τ, vérifie τ << T de telle sorte que Nτ avec N grand reste petit devant T. Ceci revient à dire qu il y a deux phénomènes très différents en interaction, avec rien entre les deux. On suppose qu il y a un trou dans le spectre (figure 4.1). Si on fait une transformée de Fourier dans le temps, on obtient un spectre d énergie des tourbillons en fonction de la fréquence. Ce spectre montre deux domaines séparés par un trou. Il existe effectivement une vérification expérimentale de l existence de ce trou dans le cas de la CLA (figure 4.1) : les phénomènes dans la CLA ont principalement des temps caractéristiques de quelques jours (perturbations synoptiques), 12h (cycle diurne) et quelques minutes (turbulence). Ainsi, moyenner sur 1 heure permet d échantillonner plusieurs phénomènes turbulents indépendant tout en gardant intacte la variation lente propre au cycle diurne. En fait, ce beau tableau n est pas systématique. Il peut exister des mouvements de méso-échelle qui compliquent le problème. Ici, on ignorera ces difficultés. On supposera T suffisamment grand pour qu on puisse considérer la fonction aléatoire comme stationnaire. On peut ainsi estimer, grâce au théorème ergodique,l erreur commise en supposant que la moyenne spatiotemporelle choisie est une moyenne d ensemble.

48 CHAPITRE 4. L OPÉRATEUR DE MOYENNE (a) Fig. 4.1 Spectre d énergie du vent près de la surface 4.4 Le théorème ergodique Soient : () un opérateur de moyenne d ensemble (donc vérifiant les axiomes de Reynolds) f T = 1 T/2 T T/2 f(t + τ)dτ un opérateur de moyenne spatio-temporelle (ici une fonction créneau temporelle) ρ f (τ) = f (t)f (t+τ) la fonction d autocorrélation de f pour un décalage τ (indépendante f 2 (t) de t si la fonction aléatoire est stationnaire) σ 2 f (T ) = ( ft f) 2 l erreur commise en assimilant ft à f. Le théorème ergodique affirme que : { } { lim lim T σ2 f(t ) = 0 = T ( 1 T T 0 ) } ρ f (τ)dτ = 0 Démonstration pour une fonction aléatoire stationnaire :

4.5. TEMPS DE MOYENNE NÉCESSAIRE POUR UN PARAMÈTRE MOYEN 49 σf 2 (T ) = ( ) 2 ft f = { } 2 1 T/2 ( ) f(t) f dt T T/2 = 1 T/2 T/2 ( ) ( ) f(t) f f(s) f dtds T 2 = 1 T 2 = 1 T 2 = f 2 T 2 T/2 T/2 T/2 T/2 T/2 T/2 T/2 T/2 T/2 T/2 T/2 T/2 T/2 T/2 dtds ( f(t) f ) ( f(s) f ) (permutation de () avec dtdsf 2 ρ f (t s) dtdsρ f (t s) (definition de ρ f (t s)) ) On change de variable : t + s = τ 1 t s = τ ( (τ 1, τ) 1 1 (s, t) = 1 1 ) = 2 Donc dsdt = 1 2 dτ 1dτ et le domaine décrit va de T à T pour τ 1, et de T à T pour τ. Finalement : σ 2 f (T ) = f 2 T 2 = 2f 2 T 2 = 2f 2 T T T T T T 0 T 0 1 2 dτ 1dτρ f (τ) T dτ 1 dτ ρ f (τ) 0 dτ ρ f (τ) (parite de ρ f (τ)) CQF D 4.5 Temps de moyenne nécessaire pour un paramètre moyen En pratique évidement, on ne sait pas calculer ρ f (τ) = f (t)f (t+τ) puisqu on ne sait pas f 2 (t) calculer de moyenne d ensemble! On fait l approximation qu on peut calculer ρ f (τ) par une moyenne temporelle. Au besoin, on itère le choix de cette moyenne temporelle. ( La condition d ergodisme, 1 ) T T 0 ρ f (τ)dτ tendant vers zéro quand T tend vers l infini, est en général vérifiée par les processus turbulents. Elle est équivalente à ρ f (τ) tendant vers zéro quand T tend vers l infini. C est à dire une décorrélation rapide entre événements éloignés dans le temps, ce qui est intuitif pour les écoulements turbulents.

50 CHAPITRE 4. L OPÉRATEUR DE MOYENNE On trouve fréquemment une condition plus contraignante encore, qui est l existence de l intégrale : 0 ρ f (τ)dτ = I f I f est l échelle intégrale de temps du processus f. Cette notion est importante, car elle permet de déterminer de manière pratique le temps de moyenne nécessaire pour que f T soit une bonne approximation de f. I f intuitivement est le temps au bout duquel f est décorrélée d elle-même.on a d après les calculs précédents : fini σ 2 f (T ) T 2f 2 I f T Soit ɛ l erreur relative sur f que l on admet. ɛ = σ f (T ). Il vient ɛ 2 = 2I f f 2 f T. f 2 Donc il faut que T soit au moins égal à : T 2 f 2 I f f 2 ɛ 2 Là encore il faut pratiquer par approximation successives puisqu au départ f 2 et f 2 ne sont pas connus, et seuls f 2 et f 2 sont accessibles. Mesure du vent moyen Supposons que l on veuille déterminer le vent moyen à 1% près. Sachant qu une première estimation a donné ũ 5 m/s et u 2 1m 2 /s 2 et I f 1 s. T 2 1 1 5 2 (10 2 = 800s = 13min ) 2 C est à peu près le temps de moyenne qui est recommandé par l Organisation Météorologique Mondiale (OMM) pour le vent à 10m. 4.6 Temps de moyenne nécessaire pour un moment d ordre 2 On voudrait maintenant mesurer la moyenne de la variance de f : f 2. On peut admettre que puisque f 2 est directement fonction de f, l échelle intégrale de temps du processus f 2 est la même que celle de f, soit I f. On applique alors la formule, en remplaçant : f par la moyenne du processus considéré (f 2 ), f 2 par la variance de f 2 ( (f 2 f 2 ) 2 ).

4.7. GÉNÉRALISATION AU CAS D UN PROCESSUS NON STATIONNAIRE 51 ) L idempotence nous donne ((f 2 f 2 ) 2 = f 4 2f 2 f 2 + f 22 = f 4 f 22. Pour mener les calculs au bout, on va supposer que f est une variable aléatoire gaussienne. Alors f 4 = 3f 22 et la variance de f 2 est 2(f 22 ). D où : T 2 2(f 22 ) I f f 22 ɛ 2 = 4I f ɛ 2 Pour un moment d ordre 4, on trouverait T 64 I f 3. Le temps d obtention d une précision ɛ 2 ɛ augmente avec l ordre du moment considéré! Ceci s explique par la nécessité d attendre plus longtemps pour avoir un nombre suffisant de valeurs extrêmes, qui prennent une grande importance dans le calcul des moments d ordre élevé. Mesure des rafales On veut mesure la variance du vent u 2 dans les mêmes conditions que pour le vent moyen de l exercice précédent. Si on veut une précision de 1%, il faudrait T 4. 10 4 s, soit une demi journée. C est évidement prohibitif, puisque le cycle diurne va interagir avec le problème étudier (le vent moyen a même toutes les chances de changer). On est donc amené à reduire la precision souhaiter. Pour ɛ = 10 1 (10%), on obtient : T 4. 10 2 s = 7min ce qui est acceptable. On se limite en pratique à quelques centaines d échelles intégrales. Il y a donc un problème insurmontable de détermination expérimentale des moments d ordre élevé avec précision. C est sans doute une des raisons pour lesquelles la théorie de la turbulence avance lentement. 4.7 Généralisation au cas d un processus non stationnaire Il est clair que pour pouvoir faire des déterminations un peu précises, il faut pouvoir trouver un temps de moyenne à la fois grand devant I f et petit devant le temps caractéristique de variation lente des processus. On admettra que ceci est possible pour nos applications. D après l exemple précédent c est vraisemblable (10 min << quelques heures, temps caractéristiques des variations diurnes et synoptiques). 4.8 Transposition aux processus dépendant de l espace On suppose maintenant que l on souhaite déterminer la moyenne spatiale et la variance d un processus dépendant de l espace. Par exemple la température potentielle moyenne θ et sa variance au dessus d une certaine région de l espace, à un instant donné. On cherche à mesurer cela à l aide d un avion instrumenté, capable de mesurer des températures potentielles locales. On suppose en outre que l avion se déplace suffisamment rapidement pour que la mesure soit considérée comme instantanée.

52 CHAPITRE 4. L OPÉRATEUR DE MOYENNE On peut transposer au cadre spatial tout ce qui a été établi dans le cadre temporel. On définit une fonction d autocorrélation spatiale ρ f (x), on établit dans la plupart des cas l ergodicité spatiale du processus (i.e. le fait que des tourbillons éloignés les uns des autres sont indépendants). On peut définir une échelle intégrale d espace en intégrant ρ f (x). Cette échelle représente plus ou moins la taille des tourbillons. Soit λ cette échelle. On trouve en transposant le résultat précédent que la longueur sur laquelle il faut voler pour trouver θ avec une précision ɛ est : L 2 θ 2 θ 2 λ ɛ 2 Par exemple, pour trouver θ à 0.1K près (1ä), si λ = 100m (taille horizontale des tourbillons dans la basse CLA) et θ 2 = 1K 2, il vient L 2 1 100 25km. Pour effectuer une 300 2 0.0003 2 mesure avec la même précision au milieu de la CLA (où λ 1000m), il faudrait voler 250km, ce qui est trop long. Pour les moments d ordre 2, il faut : L 4λ ɛ 2. D où le tableau suivant pour mesurer une variance (par exemple θ 2 ) dans les très basses couches et le milieu de la CLA respectivement : ɛ = 10% ɛ = 30% ɛ = 100% λ = 100m 40 km 4 km 400 m λ = 1000m 400 km 40 km 4 km On voit que l on pourra assez facilement estimer cette valeur dans les très basses couches, mais plus difficilement en altitude, où les tourbillons sont plus gros. Il faut des paliers longs, mais on se heurte aux variations causées par l hétérogénéité de la surface, et aussi au fait que les mesures ne sont plus quasi-instantanées. Les vols durent plusieurs heures et il faut corriger en fonction du cycle diurne. Le seul remède possible consiste à utiliser des mesures télédétectées (radar ou lidar) qui permettent un balayage volumique rapide. Ceci permet d échantillonner plus rapidement un grand nombre de tourbillons. 4.9 Lien entre mesures spatiales et temporelle : l hypothèse de Taylor Il est plus facile d effectuer des mesures temporelles en un point fixe que de se déplacer avec un avion dans la CLA. Peut-on avoir accès à la structure spatiale des tourbillons à partir de mesures en un point? Taylor, un grand mécanicien des fluides, s est penché sur le problème en 1938. Il a suggéré que dans certains cas on pouvait faire l hypothèse que la turbulence défilait au dessus d un capteur fixe comme si elle était gelée, les tourbillons ne se déformant pas pendant le temps de leur passage.

4.9. LIEN ENTRE MESURES SPATIALES ET TEMPORELLE : L HYPOTHÈSE DE TAYLOR53 On peut alors reconstituer leur taille à partir du temps de passage et du vent moyen : si un tourbillon de taille λ est advecté par le vent moyen au dessus d un point fixe, on y observera une fluctuation temporelle de période P avec P = λ/u. Plus généralement, cette hypothèse équivaut à considérer que pour toute caractéristique c du fluide dc dt = 0 c = U c c U }{{} t x x observe Ceci permet de reconstituer c x si le vent moyen U est connu. Il est clair que cela ne donne des résultats acceptables que si U << U, i.e. si la turbulence est à un niveau faible par rapport au vent moyen. On admet qu une condition généralement suffisante est : (u 2 +v 2 ) 1 2 < U 2.

54 CHAPITRE 4. L OPÉRATEUR DE MOYENNE

Chapitre 5 Equations d évolution des paramètres moyens de la CLA 5.1 Objectif Nous sommes maintenant en mesure d écrire les équations d évolution qui représentent les grandeurs moyennes principales de la CLA, puisque nous disposons : 1. des équations de base (le système de Boussinesq) 2. d un opérateur de moyenne (vérifiant les axiomes de Reynolds) 5.2 Notations Auparavant, on introduit quelques notations tensorielles : on se place dans un repère cartésien e i, i = 1, 2, 3, avec 1 et 2 selon deux axes horizontaux orthogonaux et 3 selon l axe vertical. On peut aussi assimiler 1 et 2 à x et y, et 3 à z. Les vecteurs ont des composantes : x = x i e i = x i e i car le repère est orthonormé. La vitesse est notée u = u i e i. On utilise aussi souvent u, v, w à la place des u 1, u 2 et u 3. On définit trois notations utiles : le tenseur de Kronecker : δ ij = 1 si i = j ; 0 sinon. le tenseur alternatif ɛ ijk ɛ ijk = 0 si i = j, i = k ou j = k ɛ ijk = 1 si i, j, k est une permutation paire de 1, 2, 3 ɛ ijk = 1 si i, j, k est une permutation impaire de 1, 2, 3 la convention de sommation d Einstein : tout indice muet répété correspond à une sommation sur 1, 2, 3. Par exemple : =.u d dt = t + u i x i = t + u 1 u i x i = u 1 x 1 + u 2 x 2 + u 3 x 3 x 1 + u 2 x 2 + u 3 55 x 3

56CHAPITRE 5. EQUATIONS D ÉVOLUTION DES PARAMÈTRES MOYENS DE LA CLA 5.3 Système de Boussinesq en cartésien En projection dans le repère cartésien, le système de Boussinesq humide (sans nuage) s écrit : u = u j e j u j x j = 0 u i t + u j u i x j = 1 ρ 0 p x i + β(θ v θ r )δ 3i +ν 2 u i x j x j 2ɛ ijk Ω j u k θ t + u j θ x j = ν 2 θ θ x j x j + θ 0 T 0 Q q t + u j q x j = ν 2 q q x j x j ρ ρ 0 = θv θ r θ v = θ(1 + δq) T T r = θ θ r Avec : { β = g/θr δ = Rv Ra R a 0.608 Etat de référence : adiabatique, hydrostatique, stationnaire, au repos, sans source externe de chauffage ( Q = 0), sec Conditions aux limites : θ, q, u sur les frontières du domaine d intérêt. On utilise l équation de continuité sous la forme u i x i = 0 pour mettre les équations sous forme flux (manipulation classique en mécanique des fluides). Ainsi, pour toute quantité a, l advection de a s écrit sous la forme : u i a x i = u i a x i + a u i x i = (u ia) x i 5.4 Méthodologie pour dériver les équations moyennes L objectif est de trouver l équation d évolution des grandeurs moyennes (tempéraure, humidité, les 3 composantes du vent), ainsi que l équation diagnostique pour la pression moyenne. Pour ce faire, on applique l opérateur de moyenne à chaque équation du système de Boussinesq, en utilisant la propriété de commutativité de l opérateur de moyenne avec la dérivation : a t = a t. Les seuls termes non linéaires viennent des termes d advection (que l on a écrit sous forme flux par commodité) :

5.5. EQUATIONS DE REYNOLDS (1895) 57 u i a x i = u ia x i = u i a x i + u i a x i 5.5 Equations de Reynolds (1895) On parvient donc aux équations pour les grandeurs moyennes, appelée équations de Reynolds : u j x j = 0 u i t + u j u i x j = 1 ρ 0 p x i + β(θ v θ r )δ 3i + ν 2 u i x j x j 2ɛ ijk Ω j u k x j u i u j θ t + u j θ x j = ν 2 θ θ x j x j + θ 0 T r Q x j u j θ q t + u j q x j = ν q 2 q x j x j x j u j q ρ ρ 0 = θv θ r θ v θ + θ r δq T T r = θ θ 0 Avec : { β = g/θr δ = Rv Ra R a 0.608 Etat de référence : adiabatique, hydrostatique, stationnaire, au repos, sans source externe de chauffage ( Q = 0), sec Conditions aux limites : A préciser. On trouve un résultat remarquable : les équations pour les quantités moyennes sont les mêmes que les équations de base, sauf un terme ayant la forme de la divergence d un flux turbulent. 5.6 Flux turbulents 5.6.1 Interprétation physique Les flux turbulents u i θ, u i q, u i u j représentent le transport de la quantité en question à travers un plan perpendiculaire à la direction i, par les fluctuations des vitesses dues à la turbulence dans la direction i.

58CHAPITRE 5. EQUATIONS D ÉVOLUTION DES PARAMÈTRES MOYENS DE LA CLA Pour la quantité θ par exemple, ce terme crée une tendance supplémentaire, correspondant à l accumulation de chaleur par la divergence du flux. Pour la quantité u j, c est la quantité de mouvement dans la direction j qui est transportée dans la direction i par les fluctuations turbulentes. S il y a accumulation de quantité de mouvement dans une boite, à cause d une divergence, il en résulte une accélération supplémentaire. Ce terme joue le rôle d une tension turbulente. La quantité τ R = ρ o u i u j s appelle le tenseur de Reynolds, par analogie avec le terme des contraintes visqueuses. C est un tenseur d ordre 2 symétrique. On peut le représenter par une matrice 3 3. On constate que ce tenseur est symétrique. Fig. 5.1 Interprétation des flux de chaleur et des flux de quantité de mouvement. u 2 u v u w u v v 2 v w u w v w w 2 5.6.2 Dimensions et unités des flux turbulents Les flux de chaleur et d humidité par exemple w θ et w q sont respectivement en mk/s et ms 1 kg/kg. On dit que ce sont des flux cinématiques. Les transfert d énergie associés sont : pour le flux de température : ρ 0 C p w θ (en kg J mk m 3 kgk s = W/m 2 ). C est le flux de chaleur sensible (C p 1000J/kg/K) pour le flux d humidité : ρ 0 Lw q (en kg J m m 3 kg s = W/m2 ). C est le flux de chaleur latente (L = 2.5 10 6 J/kg). u i u j est le flux cinématique de vitesse (en m2 s 2 ). Par abus de langage, on le nomme souvent flux de quantité de mouvement. Le véritable flux de quantité de mouvement est en fait : ρ 0 u i u kg m j (en 2 = N/m 2 = Pa). On peut cependant remarquer que ρ m 3 s 2 0 1kg/m 3. 5.7 Comparaison des flux turbulents et moléculaires On a vu au début que la turbulence est beaucoup plus efficace que la diffusion moléculaire pour transporter des quantités (problème du radiateur). Ceci est dû au fait que la viscosité de l air est très petite (ν = 10 5 m 2 s 1 ). Donc les flux ν a x i sont négligeables devant les flux u i a, sauf si les gradients a x i sont très grands. Ceci ne peut arriver que si la turbulence est

5.8. LES CONDITIONS À LA LIMITE DES ÉQUATIONS DE REYNOLDS 59 empêchée d agir dans son rôle de mélange, i.e. au voisinage immédiat d obstacles fixes, où u i tend vers zéro à cause de la condition d adhérence. Au voisinage de chaque obstacle, il se développe une couche dite sous-couche visqueuse, où la vitesse est presque nulle, et où les transferts de chaleur, d humidité et de quantité de mouvement se font par les termes de viscosité. Par exemple, concernant le flux de chaleur, si l obstacle est plus chaud que l air, dans une direction perpendiculaire à la surface, le flux total, approximativement conservé, s écrit : ν θ x n + u nθ En règle générale, on pourra négliger les flux moléculaires des quantités, pourvu que l on se restreigne à traiter l écoulement loin des sous-couches visqueuses. Comme celles-ci sont de l ordre de quelques centimètres autour de chaque obstacle, cette restriction n est pas gênante pour l étude de la CLA. 5.8 Les conditions à la limite des équations de Reynolds Pour les équations non moyennées, les conditions à la limite spécifient la distribution des variables u i, θ, q sur les bords du domaine de calcul. Cela résulte, physiquement, de la nécessité de spécifier les entrées et sorties des quantités. Ces entrées/sorties sont de deux types : 1. les flux advectifs u i a ( 2. les flux diffusifs ν a x i ). Ces conditions à la limite expriment donc la nécessité de contrôler ce qui se passe à l intérieur d un domaine spatial fini par des flux aux frontières. Pour les équations de Reynolds (i.e. moyennées) pour l écoulement moyen, le problème est comparable, mais il y a trois types de flux aux limites : 1. advectif moyen, u i a ( ) 2. diffusif moyen, ν a x i 3. turbulent, u i a Il faut donc spécifier aux frontières suffisamment d information pour reconstituer les valeurs de ces trois types de flux. On a déjà vu que les flux diffusifs moyens sont négligeables, sauf dans les sous-couches visqueuses au voisinage immédiat des obstacles. Si l on veut représenter en détail les sous-couches visqueuses, les conditions aux limites doivent donc être : la distribution de θ, q, u i et les flux turbulents u i a sur toutes les frontières où il n y a pas d obstacle fixe. la distribution de θ, q et la donnée u i = 0 tout le long des obstacles (les flux advectifs moyens et turbulents sont nuls). Si l on admet que l on peut ignorer le détail des sous-couches visqueuses, on se débrouille pour que le domaine d intérêt s arrête à une certaine distance des obstacles. Il suffit alors de spécifier

60CHAPITRE 5. EQUATIONS D ÉVOLUTION DES PARAMÈTRES MOYENS DE LA CLA la distribution de θ, q, u i et les flux turbulents u i a sur toutes les frontières où il n y a pas d obstacle fixe. la distribution des flux turbulents u i a sur la frontière proche des obstacles, mais située juste en dehors des sous-couches visqueuses. La distribution des valeurs moyennes le long de l obstacle n est plus nécessaire, les flux advectifs étant toujours proche de zéro (vent moyen négligeable) et les flux diffusifs étant remplacés par les flux turbulents.

Chapitre 6 Les équations de la CLA homogène horizontalement 6.1 Hypothèse d homogénéité horizontale On peut souvent négliger les variations de l écoulement dans la direction horizontale, par rapport aux variations sur la verticale. Ceci est dû à l influence de la gravité et du rayonnement (organisés sur la verticale), et surtout par la présence de la surface, que l on supposera horizontale. Cela se traduit par x ( ) = 0 et y ( ) = 0 pour toutes les quantités moyennées, sauf la pression. Cette dernière condition permet de conserver un vent géostrophique au sommet de la couche limite. Il faut noter que tout ceci n est évidemment pas vrai pour les fluctuations turbulentes, x a 0. La turbulence engendre de fortes fluctuations locales autant sur l horizontale que sur la verticale. L hypothèse d homogénéité horizontale est incompatible avec le traitement détaillé des sous-couches visqueuses. Les équations que l on va dériver ne s étendront vers le bas que jusqu à une couche relativement dégagée des obstacles que l on nomme couche limite de surface. 6.2 Equations de la CLA barotrope On trouve donc, en appliquant ces conditions dans les équations de Reynolds (pour l air humide, sans nuage) : 6.2.1 Equation de continuité w = 0 or w = 0 au sol, donc, w vaut zéro partout. 61

62 CHAPITRE 6. LES ÉQUATIONS DE LA CLA HOMOGÈNE HORIZONTALEMENT 6.2.2 Equations du mouvement La composante ( verticale ) dégénère en l équation hydrostatique, modifiée éventuellement par la turbulence et les termes de Coriolis sur la verticale, ces deux types de termes w 2 étant en général négligeables. L équation sur la verticale n apporte donc plus d information sur les paramètres moyens. Sur l horizontale par contre, l on a : u t = 1 p ρ 0 x fv u w v t = 1 p ρ 0 y fu v w Traditionnellement, on pose : 1 p ρ 0 x = fv g et 1 p ρ 0 y = fu g, ce qui définit le vent géostrophique, que l on substitue dans les équations ci-dessus. On peut noter que, d après l hydrostatisme, on aura ug, v g proportionnels respectivement à θ y, θ x (loi du vent thermique). Or par hypothèse d homogénéité horizontale ces gradient sont nuls. donc u g et v g ne peuvent pas varier avec l altitude. On dit que la CLA homogène horizontalement est barotrope. 6.2.3 La CLA barotrope On obtient finalement, sous les hypothèses suivantes : homogénéité horizontale stricte hors des couches visqueuses un système où il ne reste plus que des flux turbulents verticaux pour caractériser l effet de la turbulence. D autre part, tous les termes d advection sont nuls (sur l horizontale à cause des gradients moyens nuls, sur la verticale à cause de la vitesse verticale nulle). L expérience montre que l effet moyen des termes turbulents verticaux seul permet d expliquer l essentiel du comportement de la CLA. Ces équations sont importantes. u t = f(v v g ) u w v t = f(u u g ) v w θ t = θ 0 T r Q w θ q t = w q Conditions aux limites : u g, v g imposés u, v, θ, q au sommet w u, w v, w θ, w q au sommet (on se place en général au dessus de la CLA, et ces termes sont alors nuls).

6.3. EXEMPLE 63 w u, w v, w θ, w q dans la CLS (couche limite de surface) 6.3 Exemple La figure 6.1 montre l évolution du profil de température potentielle observée au cours d une journée convective. On constate que la température potentielle se réchauffe régulièrement pendant la journée dans la CLA, alors qu au dessus elle évolue peu. Les mesures des flux turbulents sont compatibles avec ce taux de réchauffement. Fig. 6.1 Evolution au cours d une journée des profils verticaux de la température potentielle (à gauche) et du flux de chaleur (à droite). 6.4 Assouplissement de l hypothèse d homogénéité horizontale Il arrive fréquemment que certaines hypothèses du modèle homogène horizontalement soient clairement en contradiction avec la réalité. Les plus fréquentes sont : vent géostrophique variant avec l altitude, par suite de gradient horizontal de température virtuelle. Il y a donc alors aussi advections de chaleur et d humidité. existence d une vitesse verticale non négligeable au sommet de la CLA, par suite de divergence ou convergence horizontale On est donc amené à généraliser les équations en incluant les termes en question. Toutefois, on peut montrer, et cela se constate expérimentalement, que la divergence des flux verticaux turbulents reste un facteur prépondérant, et domine toujours la divergence des flux turbulents horizontaux. D où la formulation couramment utilisée, pratique bien qu elle soit difficile à justifier rigoureusement :

64 CHAPITRE 6. LES ÉQUATIONS DE LA CLA HOMOGÈNE HORIZONTALEMENT u t = f(v v g ) w u u w v t = f(u u g ) w v v w θ t = θ 0 T r Q u θ x v θ y w θ w θ q t = u q x v q y w q w q Conditions aux limites : u g (z), v g (z), w(z), θ x, θ y, q x, q y imposés u, v, θ, q au sommet w u, w v, w θ, w q au sommet (on se place en général au dessus de la CLA, et ces termes sont alors nuls). w u, w v, w θ, w q dans la CLS (couche limite de surface) 6.5 Le problème de fermeture On comprend que le problème de la prescription des flux verticaux turbulents va être le problème principal de la CLA. Ces flux dépendent des forçages au sol (rugosité, énergie disponible) et des profils des paramètres moyens. Mais il n existe pas à l heure actuelle de méthode universellement éprouvée pour les calculer : c est le problème de fermeture. Dans la suite de ce cours, on va passer en revue des méthodes de plus en plus complexes pour traiter ce problème. On commencera par des méthodes semi-empiriques, puis on continuera par les méthodes d ordre élevé qui font intervenir les équations d évolution des flux turbulents moyens eux-mêmes.

Chapitre 7 Analyse dimensionnelle et similitude 7.1 Contexte La difficulté du problème de fermeture des équations de Reynolds nous laisse souvent en l absence d outils mathématiques bien adaptés pour la CLA. C est pourquoi la technique de l analyse dimensionnelle joue un rôle particulièrement important dans cette discipline. Il s agit toutefois d une technique très générale, appliquée dans toutes les branches de la physique, et dont on va donner un rappel très rapide. tout problème de mécanique des fluides est gouverné par un grand nombre de paramètres : les variables indépendantes (x, y, z, t) les propriétés intrinsèques du fluide (masse volumique, viscosité, etc...) les forces extérieures (pesanteur...) les conditions aux limites (vitesse en amont d un obstacle ou au sommet de la CLA, rugosité,...) Lorsqu on cherche la forme générale d une loi physique à partir d expériences, il est en général impossible de faire varier ces paramètres indépendamment les uns des autres. pour obtenir un portrait complet de tous les régimes possibles. On a donc besoin d idées a priori sur la forme des dépendances. 7.2 De l utilisation de maquettes On peut également, particulièrement en mécanique des fluides, avoir recours à des écoulements sur maquette. Dans le domaine de la CLA, l usage de mesures sur maquette en soufflerie ou en veine hydraulique est très répandue. Le problème qui se pose tout naturellement est de savoir 1. s il est possible de déduire des propriétés de l écoulement réel à partir des mesures sur la maquette, 2. comment faire cette déduction. On trouve que la condition de similitude géométrique entre la maquette et la réalité n est pas suffisante. Il faut aussi imposer une similitude dynamique, beaucoup plus contrai- 65

66 CHAPITRE 7. ANALYSE DIMENSIONNELLE ET SIMILITUDE gnante. en général, la similitude dynamique entre deux écoulements équivaut à l identité de certains paramètres adimensionnels (comme le nombre de Reynolds, ou le nombre de Rayleigh). Ces paramètres sont fournis par l analyse dimensionnelle du problème considéré. On peut dire que l analyse dimensionnelle d un problème constitue une étape préalable indispensable, même en l absence de maquette. Elle repose sur le fait que, s il existe une relation physique entre certaines grandeurs, alors cette relation doit être indépendante du système d unités. 7.3 Notion de dimension physique Deux grandeurs physiques ont le même dimension si elles sont comparables entre elles, i.e. si elles peuvent être mesurées dans la même unité. Deux exemples : l accélération du mouvement d une particule, γ, et l accélération de la pesanteur g (en ms 2 ). la pression p et le tenseur de Reynolds ρu i u j, (en Pa). On admet qu il existe un système de dimensions physiques fondamentales, à partir desquelles on peut obtenir la dimension de toutes les autres grandeurs. Le nombre de ces dimensions physiques fondamentales dépend du domaine de la physique considéré. en mécanique non relativiste (faible énergie), on utilise souvent 4 dimensions fondamentales : Longueur L Masse M Durée T Température Θ On est souvent amené, toutefois, à utiliser des dimensions complémentaires, comme l humidité Q (bien que formellement, l humidité soit sans dimension). On admet que la dimension de toute grandeur physique peut se mettre sous la forme d un monôme formé à partir de L, M, T et Θ. Soit G une grandeur quelconque, on notera : [G] = L α M β T γ Θ δ Par exemple, pour une vitesse : [v] = LT 1, pour une accélération [γ] = LT 2, pour une masse volumique [ρ] = ML 3,. 7.4 Théorème Π de Vaschy-Buckingham Supposons donc qu il existe une relation physique entre les grandeurs B 1...B n. Par exemple, B n = f(b 1,..., B n 1 ), ousous forme générique : F (B 1,..., B n ) = 0

7.5. EXEMPLE : PÉRIODE DU PENDULE 67 Alors, le bon sens nous dit que cette relation doit avoir la même forme si on change de système d unités fondamentales ( par exemple si on mesure les longueurs en pieds ou en mètres). Soit [B i ] = L α im β it γ iθ δ i la dimension des B i. On définit la matrice des exposants aux dimensions du système B 1,..., B n : B 1 B 2... B n L α 1 α 2 α n M β 1 β 2 β n T γ 1 γ 2 γ n Θ δ 1 δ 2 δ n Le théorème Π de Vaschy-Buckingham (1890) nous dit : Si r désigne le rang de la matrice des exposants aux dimensions des B i, la relation F (B 1,..., B n ) = 0 peut se mettre sous la forme d une relation entre (n r) groupements sans dimension indépendants formés à partir de B i. G(Π 1,..., Π n r ) = 0 On appelle ces groupements sans dimension les paramètres de similitude du problème. 7.5 Exemple : période du pendule On constate expérimentalement que la période d un pendule dépend de la valeur de l accélération de la gravité g et de sa longueur l. On cherche une relation t = f(l, g) où t est la période du pendule. sous forme générique, cela donne On construit la matrice : F (t, l, g) = 0 t l g L 0 1 1 M 0 0 0 T 1 0 2 Θ 0 0 0 Le rang r vaut 2 car il existe une matrice 2 2 de déterminant non nuls (ou encore il existe deux colonnes indépendantes). Donc la relation se met sous la forme d une relation entre un seul (3-2) groupement sans dimension formé à partir des paramètres du problème. G(Π 1 ) = 0 Cherchons à former ce paramètre sans dimension. C est une combinaison de t, l et g, soit Π 1 = t a l b g c telle que la dimension [t a l b g c ] = 0. On développe cette dimension dans la base des dimensions fondamentales L, M, T, Θ :

68 CHAPITRE 7. ANALYSE DIMENSIONNELLE ET SIMILITUDE t a l b g c L b + c M 0 T a 2c Θ 0 La condition de dimension nulle implique donc : { b + c = 0 a 2c = 0 C est un système à deux équations et 3 inconnues. Il reste donc une variable indéterminée. C est normal, puisque n importe quelle puissance de Π 1 fait l affaire. On fixe donc un des exposants, par exemple c = 1, et il vient b = 1 et a = 2. Donc Π 1 = t2 g l Ou toute puissance de cette quantité (on aurait pu prendre c = 2 par exemple). Donc on peut affirmer, et ceci sans résoudre l équation du mouvement, que la forme générale donnant la période du pendule simple est : ( t 2 ) g G = 0 ou l t 2 g l = C ste i.e. t = C ste La constante (2π) doit être déterminée expérimentalement ou théoriquement (en résolvant les équations du pendule simple...). 7.6 Mise en œuvre pratique du théorème Π dans le cas général 1. On doit faire un raisonnement physique préliminaire pour trouver les quantités liées par une relation pour le problème considéré (c est le plus difficile). 2. On récapitule les grandeurs en jeu, on écrit la matrice, on détermine son rang. l g 3. On fabrique les nombres sans dimension (un peu d expérience est nécessaire). 4. On pose la loi générale. 5. On a recours à l expérience, à la théorie ou à des modèles numériques pour déterminer plus complètement la forme de cette loi. 7.7 Exercice : vidange d une cuve On souhaite évaluer par similitude physique (i.e. à l aide d une maquette) le temps de vidange d une cuve remplie d un liquide de masse volumique ρ et de viscosité cinématique ν. 1. Comment faut-il choisir la taille de la maquette si le fluide utilisé dans la maquette a pour viscosité ν m? 2. Quelle est la relation entre le temps de vidange de la maquette et celui dans la cuve grandeur nature?

7.7. EXERCICE : VIDANGE D UNE CUVE 69 Le temps de vidange t dépend a priori de l échelle de longueur l, de la gravité g, de la masse volumique ρ et de la viscosité ν. On s est ramené à une seule dimension d espace (l) en s assurant de la similitude géométrique entre la cuve réelle et sa maquette (i.e. la maquette est une reproduction fidèle à une certaine échelle).

70 CHAPITRE 7. ANALYSE DIMENSIONNELLE ET SIMILITUDE

Chapitre 8 Les modèles conceptuels historiques de la CLA Dans ce chapitre seront présentées les premières méthodes utilisées pour modéliser les flux turbulents. Il s agit ici de fermetures semi-empiriques des équations de Reynolds. Nous verrons aussi l application de ces modèles à certains écoulements typiques de la CLA et de la CMO. 8.1 La méthode des coefficients d échange turbulent La première approche historique pour la fermeture des équations de Reynolds a consisté à chercher une expression pour les flux turbulents proportionnelle au gradient des quantités moyennes, par analogie avec la diffusion moléculaire : est généralisé par : Φ i (a) = ν a x i u i a = K a x i Cette idée est due à Boussinesq. Elle est surtout pratiquée dans l hypothèse d homogénéité horizontale. On écrit : u w = K u v w = K v w θ = K θ θ w q = K q q K s appelle coefficient d échange turbulent, ou encore viscosité turbulente. Elle est à priori différente pour le vent, la température et l humidité. 8.2 Propriétés des coefficients d échanges turbulents 1. K se mesure en m 2 s 1, comme une viscosité. 2. K > 0. Sinon cela n a pas de sens et l équation est instable. L équation θ t = w θ = K θ θ avec K θ < 0 ne correspond plus à un mélange, 71

72 CHAPITRE 8. LES MODÈLES CONCEPTUELS HISTORIQUES DE LA CLA mais au contraire d un mélange : les gradients croissent de manière exponentielle dans le temps. 3. K est grand comparé à ν. On a pour l air ν = 10 5 m 2 s 1. Les ordres de grandeur de K sont de l ordre de 5m 2 s 1 près du sol et de 50m 2 s 1 dans la CLA, voire plus dans une couche fortement convective. 4. K est une propriété de l écoulement, et non du fluide. K est variable dans l espace et le temps, car il dépend de l intensité locale de la turbulence. On a donc reculé pour mieux sauter : il faut maintenant trouver une bonne méthode pour spécifier le coefficient d échange K. 8.3 La longueur de mélange de Prandtl (1925) La méthode de spécification de K la plus simple repose sur un raisonnement phénoménologique fait par Prandtl en 1925. A noter que cela ne marche que dans le cas 1D. L idée de base est de faire une analogie avec la théorie cinétique des gaz. On suppose que les mouvements turbulents correspondent à des mouvements verticaux de longueur moyenne l. Une particule partant du niveau z et arrivant en moyenne au niveau z + l va y constituer une anomalie turbulente : l environnement est caractérisé par la valeur a(z + l) alors que la particule contient encore a(z). Donc la fluctuation vaut à peu près : D où le flux turbulent : a = a(z) a(z + l) = l a w a = w l a On trouve donc une forme naturelle pour K : K = w l. C est le produit d une échelle caractéristique des tourbillons par une échelle de vitesse caractéristique des tourbillons. On terminera en supposant que les tourbillons sont à peu près isotropes. Dans ce cas : w u l u K l 2 u l est la longueur de mélange de Prandtl. C est l équivalent du libre parcourt moyen de la théorie cinétique des gaz. C est la taille moyenne des mouvements turbulents dans le flux. On peut spécifier l à partir de considérations pratiques (distance au sol, distance à l inversion sommitale), ou climatologiques (si l on n a rien de mieux). Grâce à cette souplesse, cette théorie a eu un succès considérable. Elle est encore à la bse de nombreux modèles actuels. Elle est néanmoins très limitée. Par exemple, si il n y a pas de vent moyen (u = 0) ou surtout si le vent moyen ne varie pas sur la verticale, le modèle de Prandtl donne K = 0, alors qu en couches convectives, K peut être très grand. On peut anticiper sur la suite du cours en mentionnant une expression beaucoup plus générale de K pouvant être tirée de la remarque de Prandtl : K = u l

8.4. LA COUCHE LIMITE DE SURFACE (CLS) NEUTRE 73 Où l est la taille caractéristique des tourbillons et u une échelle de vitesse de la turbulence, u = e où e est l énergie cinétique turbulente e = 1 2 (u 2 + v 2 + w 2 ). D où K = l e. Cette expression est aujourd hui à la base de pratiquement toutes les paramétrisations de la turbulence, vue sa généralité. Elle nécessite néanmoins toujours une expression empirique de l. 8.4 La couche limite de surface (CLS) neutre 8.4.1 Phénoménologie physique Une des raisons de la vitalité de la théorie de Prandtl est qu elle explique particulièrement bien le profil de vent au voisinage immédiat du sol, qui est la donnée d observation la mieux connue de la CLA. Il suffit de réaliser des mesures de vent moyen sur un mât de 10 à 100m de haut pour le vérifier. en se restreignant au cas où le vent est suffisamment fort et le site homogène, on trouve facilement une loi de type universel : u = u kz avec u = u w est la vitesse de friction où u w est le flux cinématique moyen dans cette tranche d altitude (on a supposé un choix d axes parallèle au vent de surface), et k est la constante universelle de Karman k 0.4 (c est l expérience qui montre son universalité). La variation de u en 1 z est facile à mettre en évidence expérimentalement. Elle correspond à une variation de u en lnz, dite loi du vent logarithmique (figure 8.1). u = u ( ) z k ln z 0 z 0 est appelée hauteur de rugosité dynamique. C est une caractéristique du site qui peut être reliée à la taille caractéristique des obstacles. u varie quant à elle en fonction du vent en altitude. Les lois précédentes sont valables dans une gamme d altitude telles que z >> z 0, z > taille des obstacles, et z << sommet de la CLA. Soit typiquement entre 10 et 50m. z 0 varie de 1 mm pour la neige, à10 cm pour du blé, 1m pour de forêts, quelques mètres pour des villes. Ceci ne s applique en toute rigueur que pour des sites plats et homogènes. On verra dans le chapitre?? comment on généralise cette notion de rugosité à des types de surfaces plus complexes. 8.4.2 Application du modèle de Prandtl La force de la longueur de mélange de Prandtl est d expliquer le profil de vent logarithmique. En effet, on peut considérer que dans la couche limite de surface, donc près du sol, la taille des tourbillons est limitée par le sol, donc proportionnelle à z. On prend ici l = kz. On trouve alors : K = l 2 u = k2 z 2 u

74 CHAPITRE 8. LES MODÈLES CONCEPTUELS HISTORIQUES DE LA CLA Fig. 8.1 Exemple de profil vertical du vent dans une couche limite neutre. zo est la hauteur de rugosité.

8.5. LA COUCHE D EKMAN DANS LA CLA (1905) 75 D autre part, par définition, u 2 = u w = K u = k2 z 2 ( ) u 2. D où u = u kz, ce qui permet d expliquer les observations. On peut noter de plus que K = k 2 z 2 u kz = (kz) u. Ainsi, u apparaît comme l échelle typique des tourbillons, ce qui est physiquement satisfaisant. Remarque : tout ceci n est valable que si les fluctuations thermiques n interviennent pas, donc si le vent est assez fort, et aussi si l on se trouve dans une faible gamme d altitude. Au dessus, d autres effets, comme la force de Coriolis, entre en jeu, comme c est le cas pour la couche d Ekman. 8.5 La couche d Ekman dans la CLA (1905) 8.5.1 Description Un autre des grands succès des théories les plus simples est la prédiction de la rotation du vent avec l altitude sur la profondeur de la CLA. Le fait que le vent ne souffle pas dans la même direction près du sol et en altitude est un fait d observation très ancien (les nuages ne vont pas tout à fait dans le même sens que le vent que nous sentons en surface). Ekman, océanographe suédois, a aussi mis en évidence ce phénomène entre la dérive des icebergs, le courant de surface, le vent de surface et le vent d altitude. Il a pu expliquer ces différentes rotations, d abord du courant puis du vent, avec une théorie très simple de la turbulence dans la CMO et la CLA. Traitons d abord le cas atmosphérique. La rotation des vents avec l altitude s effectue à droite dans l hémisphère nord, à gauche dans l hémisphère sud. Au dessus de la couche limite, dans l atmosphère libre, le vent (géostrophique) résulte d un équilibre entre force de pression et force de Coriolis. ceci fait que le vent s oriente parallèlement aux isobares. Par contre, dans la couche limite, le frottement intervient, avec une composante naturellement opposée au mouvement. Il est donc nécessaire qu une des deux autres forces (Coriolis, pression) ait une composante dans le sens du mouvement. Comme la force de pression, liée à la structure de grande échelle des isobares (dépressions, anticyclones) reste identique (à vent géostrophique uniforme sur la verticale), seule la force de Coriolis peut équilibrer le frottement. Ceci est donc, par nature de la force de Coriolis, obtenu grâce à une rotation du vent. Cet effet est évidement systématique. Il est à l origine d un phénomène très important concernant l effet à grande échelle de la CLA : le pompage d Ekman. Puisque la composante du vent vers les basses pressions est systématique (figure 8.2), elle induit une convergence dans les dépressions et une divergence dans les anticyclones. Par conséquent, il se forme des vitesses verticales induites da manière systématique : des subsidences dans les anticyclones et des ascendances dans les dépressions. 8.5.2 Résolution analytique avec un modèle simple de turbulence On peut retrouver et expliquer ce phénomène à partir des équations. Ekman est parti du système de la CLA barotrope (vent géostrophique uniforme) pour le vent :

76 CHAPITRE 8. LES MODÈLES CONCEPTUELS HISTORIQUES DE LA CLA Fig. 8.2 Spirale d Ekman. (a) Hodographe du vent pour les deux hémisphères (nord en haut) et sud (en bas) ; l axe des x correspond à l axe du vent géostrophique. (b) Profils verticaux des deux composantes horizontales du vent.

8.5. LA COUCHE D EKMAN DANS LA CLA (1905) 77 u t = f(v v g ) u w v t = f(u u g ) v w On suppose alors une forme en coefficient d échange pour les flux turbulents, en supposant ce dernier uniforme : u w = K u, v w = K v, avec K = Cste. On cherche la solution stationnaire de ce système. Il vient : K 2 u +f(v v 2 g ) = 0 K 2 v 2 f(u u g ) = 0 Pour résoudre ce système couplé, on a intérêt à poser : U = u + iv et U g = u g + iv g. D où : K 2 U 2 if(u U g) = 0 Posons maintenant V = U U g. On obtient finalement { ( ) 1 } { K 2 V 2 ifv = 0 V = V 1 + i f 2 1 exp z + V 2 exp 1 + i ( ) 1 } f 2 z 2 K 2 K où V 1 et V 2 sont des constantes déterminées par les conditions aux limites. Pour z +, V 0 car U U g, donc V 1 = 0. Pour z 0, V U g car U 0, donc V 2 = U g. Finalement { U U g = U g exp 1 + i ( ) 1 } f 2 z 2 K ( Posons D = 2K f vient : ) 1 2, et choisissons un système d axes parallèles au vent géostrophique, il u = u g (1 e z D cos z D ) v = u g e z D sin z D 8.5.3 Forme du profil de vent L hodographe du vent avec l altitude est (figure 8.2) est une spirale reliant le vent au sol (nul) au vent géostrophique. en altitude. Au voisinage du sol, cos z D 1, sin z D z D et e z D u u g z D v u g z D 1 z D, donc

78 CHAPITRE 8. LES MODÈLES CONCEPTUELS HISTORIQUES DE LA CLA Donc u v. Le vent fait un angle de 45 avec le vent géostrophique (dans ce modèle simple, dans la réalité, c est plutôt 20 ). En altitude, v devient nul pour la première fois en z = πd. On a alors e z D = e π = 0.04 et u = 1.04u g. Au delà, le facteur e z D est quasiment nul. On peut donc considérer que le vent est alors égal au vent géostrophique, et que le sommet pratique de la CLA prévu par cette théorie est h = πd. Pour obtenir un ordre de grandeur réaliste de h 1000 m, on doit donc prendre K = fd 2 2 5m 2 s 1. Ceci devrait correspondre à une valeur moyenne des valeurs de K sur toute la profondeur de la CLA. En fait, il s agit d une valeur assez faible. On touche là les limites du modèle d Ekman. Dans la réalité K a un profil vertical tel que : le mélange est faible près du sol (en ku z dans la CLS, comme vu précédemment). le vent change en force, mais peu en direction. le mélange est fort dans le milieu de la CLA, les gradients verticaux de vent y seront faibles, étant donné la forte homogénéisation due à la turbulence, le mélange est faible vers le sommet de la CLA. Le gradient de vent y est fort, avec une transition relativement brutale entre le vent dans la CLA et le vent géostrophique, qui ont comme on l a expliqué une direction différente. 8.6 La couche d Ekman dans l océan Cette couche d Ekman dans l océan a été découverte avant celle dans l atmosphère, par Ekman, en étudiant la dérive des icebergs. 8.6.1 Courant de surface Pour traiter analytiquement comment réagit le courant à un forçage par le vent en surface, on utilise un système d équations en tout point similaire à celui pour la CLA. On part des équations de Boussinesq pour l océan, on établit les équations de Reynolds correspondantes grâce à l opérateur de moyenne, et on suppose l homogénéité horizontale. On suppose que le courant géostrophique négligeable (ce qui est souvent le cas). 8.7 Interaction dérive d Ekman - courant géostrophique Le courant observé peut être différent de la dérive d Ekman si il y a présence d un courant géostrophique. Les équations étant linéaires en u et v, on peut considérer qu il y a superposition des deux solutions (ce n est valable que pour les courants permanents) : u = u g + u E v = v g + v E p Où u g et v g sont solution de v g = 1 ρ x et u g = 1 ρ y, alors que u E et v E sont solution de fv E + K 2 u 2 E = 0 et fu E + K 2 v 2 E = 0. p

8.8. COUPLAGE ENTRE COUCHES D EKMAN DANS LA CLA ET LA CMO 79 Il peut y avoir interaction entre courant géostrophique (permanent) et dérive d Ekma via des upwelling côtiers (remontées d eaux froides des profondeurs). Ce phénomène est extrêmement important, car 90% des pêches mondiales ont lieu sur 3% de la surface des océans, correspondants à des upwellings côtiers. Le processus prend naissance en présence de vents permanents (typiquement les Alizés), soufflant le long des côtes du nord vers le sud sur le bord ouest des continents (hémisphère nord, tout est inversé dans l hémisphère sud). 1. Ce vent produit une dérive d Ekman, qui pousse l eau vers le large. 2. Cette eau poussée vers le large conduit à un surface de l océan en pente, plus haute au large 3. Cette pente crée un gradient de pression dans la CMO, et donc un courant géostrophique de nord important (bien plus important que la dérive d Ekman qui lui a donné naissance). Enfin, on peut noter un autre cas de couplage similaire au niveau de l équateur : l upwelling équatorial. Les alizés soufflent à peu près parallèlement à l équateur de part et d autre de celuici. Il en résulte un transport d Ekman divergent de part et d autre, ce qui fait remonter des eaux froides au niveau de l équateur. 8.8 Couplage entre couches d Ekman dans la CLA et la CMO On a montré précédemment que le vent de surface est (dans l hémisphère nord) dévié à gauche du vent d altitude, produisant un pompage d Ekman dans le cas d anticyclones ou de dépressions. Cependant, le courant de surface est lui situé à droite du vent de surface, soit grosso-modo sous le vent d altitude, et le transport d Ekman dans la CMO est encore à droite de celui-ci. Ainsi, si le pompage d Ekman crée une convergence en basses couches dans la CLA (et donc une ascendance, cas d une dépression), alors le transport d Ekman dans la CMO créera lui une divergence près de la surface, et donc aussi une ascendance. Les mouvements verticaux dans les deux fluides sont couplés. Il se passe le contraire dans le cas d un anticyclone. Il faut noter que ce phénomène est très important pour expliquer l atténuation des cyclones tropicaux : le pompage d Ekman crée une acendance dans la CMO, liée à la dépression en altitude. Cette ascendance va donc entraîner des eaux profondes vers la surface. Ces eaux sont plus froides que l eau de la CMO en surface, surchauffée en fin d été. Et donc la température de surface de la mer se refroidit, ce qui affaiblit le cyclone, car celui-ci puise la majeure partie de son énergie des eaux chaudes en surface.

80 CHAPITRE 8. LES MODÈLES CONCEPTUELS HISTORIQUES DE LA CLA

Chapitre 9 Equations pour les moments d ordre 2 et l énergie cinétique turbulente 9.1 Méthodologie Les méthodes les plus simples pour exprimer les flux turbulents sont limitées dans leurs performances. Une méthode plus puissante consiste à écrire les équations d évolution des flux turbulents moyens, à partir des équations de base. On trouve que les équations pour les flux font intervenir aussi les variances, donc il faut aussi écrire les équations pour les variances et covariances. Au total, il faut 15 équations : u i u j : 6 équations u i θ et u i q : 6 équations θ 2, θ q et q 2 : 3 équations. Toutefois, le jeu en vaut la chandelle, car cela peut être fait assez systématiquement. On va apprendre beaucoup de choses sur la turbulence grâce à ces équations. Mais nous ne serons pas au bout de nos peines, car les équations pour les moments d ordre 2 contiennent des termes inconnus, et le problème de la fermeture se pose toujours. Il est inhérent au traitement statistique de la turbulence que l on a décidé d effectuer. 9.2 Construction de l équation pour u i u j 1. On écrit l équation pour la fluctuation u i. Ceci est fait à partir d une part de l équation de Boussinesq (pour le champ de vitesse total), et d autre part de l équation de Reynolds (pour la partie moyenne seulement). On utilise aussi naturellement la définition de le fluctuation de vitesse : u i = u i u i. 81

82CHAPITRE 9. EQUATIONS POUR LES MOMENTS D ORDRE 2 ET L ÉNERGIE CINÉTIQUE TURBU u i t = u iu α+u i u α +u i uα+u i u α x α 1 ρ 0 p x i + β(θ v θ r )δ 3i +ν 2 u i x α x α 2ɛ iαβ Ω α u β u i t = u iu α+u i u α x α 1 ρ 0 p x i + β(θ v θ r )δ 3i +ν 2 u i x α x α 2ɛ iαβ Ω α u β u i t = u iu α +u i uα+u i u α u i u α x α 1 ρ 0 p x i + βθ vδ 3i +ν 2 u i x α x α 2ɛ iαβ Ω α u β 2. On multiplie par u j et on symétrise : ( ) u u i j t + u u j i t = t u i u j t u i u j = x α (u i u j u α) x α (u i u j u α) u j u α u i x α u i u α x α + u j x α u i u α + u i u j x α u j u α p p ) 1 ρ 0 (u j x i + u i x j + βu j θ vδ 3i + βu i θ vδ 3j +u j ν 2 u i x α x α + u i ν 2 u j x α x α 2ɛ iαβ Ω α u β u j 2ɛ jαβω α u β u i 3. On transforme un peu le terme de viscosité : Ceci est fait par commodité, afin ensuite de dégager un terme de diffusion visqueuse, et un terme de dissipation visqueuse. ν ( u j 2 u i + u 2 u j i x α x α x α x α ) = ν 2 u i u j x α x α 2ν u i x α 4. On fait la moyenne et on applique les axiomes de Reynolds : u j x α t u i u j = u α x α u i u j x α u i u j u α u j u α u i x α u i u α ) ) 1 ρ 0 (u p j x i + u p i x j + β (u j θ vδ 3i + u i θ vδ 3j u j x α +ν 2 u i u j x α x α 2ν u i x α u j x α 2ɛ iαβ Ω α u β u j 2ɛ jαβω α u β u i Cette équation fait apparaître différents types de termes. Certains apportent de l information et ne posent pas de problème. D autres apportent de l information qualitative et posent un problème quantitatif de fermeture : ils sont inconnus. 1. transport moyen : terme trivial

9.3. EQUATIONS POUR LES MOMENTS D ORDRE 2 POUR TEMPÉRATURE ET HUMIDITÉ83 2. transport turbulent : c est la généralisation des flux turbulents à des quantités du deuxième ordre. Physiquement, leur signification est claire, mais ce terme pose un problème car il est quantitativement inconnu : c est le problème de fermeture principal. Il vient de la non-linéarité des équations et n est pas prêt de disparaître. 3. terme de production par cisaillement : ces termes traduisent l instabilité hydrodynamique de l écoulement moyen. Ils apportent une information fondamentale sur la nature de la turbulence. Ils ne posent pas de problème de fermeture. 4. terme de production par flottabilité : ce terme traduit l instabilité de type thermique de l écoulement moyen. Il apporte de l information fondamentale sur la nature de la turbulence et est facile à prendre en compte, car il n y a pas de problème de fermeture. 5. Presso-corrélations : redistribution de l énergie entre les différentes composantes du tenseur de Reynolds. Il est de forme inconnu : c est le problème de fermeture secondaire. 6. diffusion moléculaire : ce terme est trivial, et négligeable, sauf dans les sous-couches visqueuses. 7. dissipation visqueuse : ce terme est important. Il traduit la fuite de l énergie des grandes échelles vers les petites échelles (cf chapitre 10), jusqu aux échelles moléculaires, où l énergie est dissipée. Ce terme est inconnu, et pose un problème de fermeture. 8. termes de Coriolis : ces termes sont triviaux, mais d importance physique faible, car ce sont des termes lents (par rapport aux échelles de temps de la turbulence). 9.3 Equations pour les moments d ordre 2 pour température et humidité Pour ces termes, la démarche est exactement la même que pour les flux et variances de vent. t u i θ = u α x α u i θ x α u i θ u α θ u α u i x α u i u α θ x α 1 ρ 0 θ p x i + βθ θ vδ 3i 2 θ 2 u i +ν θ u i x α x α + ν θ x α x α 2ɛ iαβ Ω α u β θ t θ 2 = u α x α θ 2 x α θ 2 u α 2u αθ θ x α + ν 2 θ 2 θ θ x α x α 2ν θ θ x α x α

84CHAPITRE 9. EQUATIONS POUR LES MOMENTS D ORDRE 2 ET L ÉNERGIE CINÉTIQUE TURBU t u i q = u α x α u i q x α u i q u α q u α u i x α u i u α q x α 1 ρ 0 q p x i + βq θ vδ 3i 2 q 2 u i +ν q u i x α x α + ν q x α x α 2ɛ iαβ Ω α u β q t q 2 = u α x α q 2 x α q 2 u α 2u αq q x α + ν 2 q 2 q q x α x α 2ν q q x α x α t θ q = u α x α θ q x α θ q u α u αq θ x α u αθ q x α + ν θ q 2 θ x α x α + ν q θ 2 q x α x α Pour chaque équation, on peut retrouver les différents types de termes, comme pour l équations des u i u j. En conclusion, on a un système qui n est pas fermé, car comportant des termes inconnus. Cependant, il permet d incorporer de l information sur la manière dont les profils moyens influencent les flux turbulents. Celà permet de travailler et d avancer dans la compréhension physique du problème. Garder ces équations et se donner une forme empirique pour les termes inconnus s appelle fermer à l ordre 2. On peut aussi fermer à l ordre 3, en écrivant les équations d évolution pour les moments d ordre 3, mais c est encore plus compliqué, et apparaîtront des termes inconnus d ordre 4, de presso-corrélations et de dissipation. 9.4 Equation d évolution de l énergie cinétique turbulente On va maintenant se concentrer sur l énergie cinétique turbulente : e = 1 2 (u 2 + v 2 + w 2 ) Cette quantité donne directement une mesure de la quantité de turbulence dans l écoulement. Son équation d évolution peut directement être obtenue à partir des 3 équations d évolution de t u i u i. On obtient : ( t e = u α p 1 2 e ) x α e + x α u αe + 1 ρ 0 u α x α ν x α x α u αu β x α + βw θ v 2ν u β u β x α u β x α

9.5. LES DIFFÉRENTS RÉGIMES DE TURBULENCE 85 Cette équation fait à nouveau intervenir des termes au sens physique très clairs : 1. Quatre termes de transport (moyen, turbulent, par les fluctuations de pression, diffusif). 2. Deux termes source : la production dynamique par cisaillement (toujours positive : le cisaillement crée de la turbulence) et la production thermique (positive en cas instable ; négative, en cas stable, la stabilité détruisant la turbulence) : P d = P θ = u αu u β β x α βw θ v 3. Un terme de destruction par les effets visqueux ɛ = 2ν u β x α u β x α > 0 On peut démontrer que ɛ est toujours positif, et décrit donc un terme puit dans l équation de l énergie cinétique turbulente (où apparaît ɛ). On peut démontrer que ce terme correspond à un terme de chauffage dans l équation de la thermodynamique qui est généralement négligé (il représente un transfert d énergie cinétique en énergie potentielle). Ici, ce terme ne peut être négligé, car il joue un rôle fondamental. 9.5 Les différents régimes de turbulence En appliquant l hypothèse d homogénéité horizontale à l équation de e, on obtient : t e = ( ) w e + 1 ρ 0 p w ν e + P d + P θ ɛ avec P d = P θ = ( w u u + ) w v v βw θ v Cette équation complète les autres équations de la CLA. Elle comporte trois termes inconnus : 1 ρ 0 p w (qui est faible), w e et ɛ. Elle permet de caractériser différents régimes de turbulence, à partir de nombres sans dimension qui comparent les différents termes. Ainsi, on définit le nombre de Richardson de flux, comparant productions thermique et dynamique : R f = P θ P d = βw θ v w u u + w v v

86CHAPITRE 9. EQUATIONS POUR LES MOMENTS D ORDRE 2 ET L ÉNERGIE CINÉTIQUE TURBU 9.5.1 Si R f = 0 Le flux de flottabilité w θ v est nul. Cela définit le régime de turbulence neutre. Il n y a pas d effet thermique. On dit alors que la CLA est en stratification neutre. La turbulence est alors due entièrement au cisaillement (comme c était le cas lors de l étude du profil de vent dans la CLS ou dans la CLA d Ekman, cf chapitre précédent). 9.5.2 Si R f << 1 On est proche de la neutralité. On appelle ce régime : convection forcée. Il y a des effets thermiques, mais l effet dynamique dû au vent est dominant. 9.5.3 Si R f < 0 Comme la production dynapique P d est positive, ceci implique P θ > 0, et donc un flux de chaleur virtuelle positif : w θ v > 0. C est le régime instable. R f correspond à une turbulence dominée par les effets thermiques. On appelle ce régime convection libre. Il n y a plus d effet du vent sur la turbulence (éventuellement juste une simple translation du système). Ce régime se rencontre pendant la journée. 9.5.4 Si R f > 0 C est le régime stable. Le flux w θ v est négatif. La CLA est en stratification stable, en particulier on a dans ce cas : θv > 0. Les forces de flottabilité ne constituent plus une source mais un puit. Ce régime se rencontre : pendant la nuit si une couche est advectée au dessus d une surface plus froide dans l atmosphère libre (où l effet de stratification est tel que la turbulence est très faible voire inexistante). Il est clair que la turbulence ne peut se maintenir pour n importe quelle valeur de R f, puisque si R f +, les sources sont largement inférieures aux puits. Il existe donc une valeur critique du nombre de Richardson, R fcr au delà de laquelle la turbulence s effondre. Une borne supérieure pour R fcr est 1 ( P θ < P d ). Toutefois les déterminations expérimentales de R fcr ne sont pas en accord. Elles varient de 0.25 à 1 selon les auteurs. 9.6 Le nombre de Richardson de gradient Le nombre de Richardson de flux R fcr est souvent difficile à évaluer (il faut avoir accès à w θ v, u w et v w ). Si, par commodité, on admet que l hypothèse des coefficients d échange turbulents est vérifiée pour relier les flux aux gradients verticaux des paramètres moyens, on peut écrire : w θ θ v = K v θ u w u = K u v w = K u v

9.7. INFLUENCE DE L HUMIDITÉ SUR LE FLUX DE FLOTTABILITÉ 87 K u et K θ dépendent des caractéristiques de la turbulence, mais on peut supposer que leur rapport K θ K u = α θ (l inverse du nombre de Prandtl turbulent) est moins variable. Alors R f = K θ β θv [ ( K u ) 2 ( u + v ) 2 ] = α θ R i avec R i = [ ( u β θv ) 2 + ( v R i est le nombre de Richardson de gradient. Il est beaucoup plus facile à évaluer. α θ est de l ordre de 1, et assez peu variable. Donc R i contient la même information physique que R f : R i = 0 : neutralité R i < 0 : instable R i > 0 : stable, turbulence faible Il existe aussi un R icr au delà duquel la turbulence disparaît complètement. Sa valeur est assez controversée. La seule chose dont on soit sûr (expérimentalement et théoriquement) est que si R icr < 0.25, il y a formation d ondes de Kelvin-Helmholtz qui dégénèrent rapidement en turbulence. Donc R icr > 0.25. Par ailleurs, il semble y avoir peu d exemples d écoulements turbulents pour R i > 1. On peut donc admettre que R icr < 1. Stull suggère qu il y a un hystérésis : 1. Un écoulement laminaire devient turbulent si R icr < 0.25 2. Un écoulement turbulent devient laminaire si R icr > 1 Le caractère turbulent ou non dépendrait donc largement des conditions initiales. La question reste controversée pour deux raisons : la plupart des mesures disponibles sont faites près du sol (en couche limite nocturne) et donc les observations sont contaminées par la présence du sol. le R i ne peut être évalué de manière vraiment locale. On a plus souvent des estimations intégrées sur une couche assez épaisse (nombre de Richardson global : R ig = β(θ 1 θ 2 ) z (u 1 u 2. ) 2 Dans ces conditions, on observe des couches turbulents même avec de fortes valeurs de R ig (largement supérieures à 1). En effet, il peut y avoir des zones de gradient de vent plus fort non résolues par les deux points du système de mesures. 9.7 Influence de l humidité sur le flux de flottabilité Cette influence a été prise en compte de manière très simple (et réaliste) par l utilisation de la température potentielle virtuelle θ v, qui est une mesure de la densité de l air. En pratique, on linéarise l expression de θ v = θ(1 + δq) en θ v = θ + θ r δq (où θ r est uniforme). On en déduit que le flux de flottabilité peut s écrire comme : w θ v = w θ + θ r δw q Cette expression est en général dominée par la partie température, mais l humidité apporte parfois une correction non négligeable. En effet, le rapport entre les flux w θ et w q est souvent déterminé par le degré d humidité des surfaces sous-jacentes. Les flux de chaleur sensible et latent, ρc p w θ et ρlw q respectivement, sont en général du même ordre de grandeur si les surfaces ne sont pas très sèches. Donc w q Cp L w θ (mais avec un coefficient très variable). ) 2 ]

88CHAPITRE 9. EQUATIONS POUR LES MOMENTS D ORDRE 2 ET L ÉNERGIE CINÉTIQUE TURBU Alors, θ r δw q θ r δ Cp L w θ = 300 0.608 1000 w 2.5 10 θ 0.07w θ, soit une correction de 7%. sur 6 mer, le rapport entre flux de chaleur latente et sensible peut atteindre 10 (w q 10 Cp L w θ ), et l effet de l humidité peut atteindre 70% de celui de la chaleur sensible.

Chapitre 10 Approche spectrale de la turbulence 10.1 Définition d un spectre d énergie cinétique turbulente On a établi un système d équations qui décrit l évolution dans le temps des moments d ordre élevé de la turbulence. Ce système contient de nouveaux termes inconnus et on va chercher des idées générales sur le rôle et l ordre de grandeur de ces termes dans la dynamique de la turbulence pour en proposer des approximations. Jusqu à maintenant, on a définit une mesure de la quantité de turbulence, l énergie cinétique turbulente, comme e = 1 2 u i u i, mais sans s occuper de savoir comment la turbulence se répartit entre des tourbillons de différentes tailles. C est ce que l on va faire ici, en se restreignant au cas de la turbulence homogène, isotrope et incompressible. Pour cela, il faut introduire une décomposition spectrale de la turbulence. L objectif est donc de connaître comment l énergie totale de la turbulence va se répartir pour chaque bande spectrale, de nombre d onde entre k et k + dk, où k = 2π L. L est ainsi la taille caractéristique du tourbillon de nombre d onde k. Plus k est petit, plus la longueur d onde L est grande. On peut montrer, qu en partant de la transformée de Fourier du tenseur de corrélation des vitesses (Ψ ij (x, ξ, t) = u i (x, t) u j (ξ, t), et en supposant l écoulement incompressible et la turbulence isotrope et homogène, qu on peut définir la quantitée(k) ; telle que : e = 0 E(k)dk E(k) est le spectre tridimensionnel d énergie. Il décrit pour chaque longueur d onde L = 2π k la densité d énergie contenue dans tous les tourbillons de taille L, quelle que soit leur orientation. 10.2 Equation d évolution de E(k) A partir des équations d évolution des transformées de Fourier des vitesses, et sans production dynamique moyenne (u i = 0), on parvient à l équation d évolution pour E(k) : 89

90 CHAPITRE 10. APPROCHE SPECTRALE DE LA TURBULENCE ( ) t + 2νk2 E(k) = T (k) Ainsi, le spectre d énergie cinétique turbulente évolue en fonction de : 1. de la dissipation visqueuse. C est toujours une diminution. 2. d une terme de transfert spectral T (k). Ce terme est un terme triadique, qui représente les interactions d ondes entre tourbillons de tailles différentes. Les tourbillons interagissent 3 par 3, avec la condition que leurs nombres d onde k, p et q soient tels que k + p + q = 0. C est ce résultat qui est essentiel. 10.3 La cascade d énergie vers les petites échelles A partir de cette constatation sur la forme de l équation te(k), on peut établir par le raisonnement la forme nécessaire du spectre dans certains cas. Supposons que l énergie soit injectée à une échelle relativement grande (de nombre d onde k e = 2π L e, L e étant la taille des tourbillons les plus énergétiques). Ces tourbillons de taille L e sont en fait les plus grands, typiquement d une taille définie par : la hauteur de la CLA si on s intéresse aux tourbillons au milieu de la CLA, la distance au sol (pour les tourbillons près du sol). Le mécanisme d injection d énergie peut être l instabilité dynamique ou thermique. Puisque les tourbillons ne peuvent interagir que 3 par 3, 1. Deux tourbillons de taille k e vont donner naissance à un tourbillon plus petit de taille 2k e. 2. le tourbillon de taille 2k e ainsi crée va interagir avec un tourbillon de taille k e, afin de donner naissance à un tourbillon de taille 3k e. 3. Et ainsi de suite, des tourbillons de taille de plus en plus petite (nombre d onde plus grand) vont être formés... L énergie va donc aller très progressivement vers des échelles de plus en plus petites. On peut exprimer cette idée en disant qu elle cascade. Elle ne peut aller directement des échelles les plus grandes (k e ) aux échelles très petites. Elle doit passer par toutes les échelles intermédiaires. Comme cette cascade met en jeu de très nombreuses interactions successives, la turbulence à une certaine échelle va avoir oublié les conditions initiales. En effet, plus les échelles atteintes sont petites, plus la turbulence est homogène et isotrope, ayant oublié ce qui présidait à la formation des grands tourbillons (de nombre d onde k e ) ; en particulier la nature de l instabilité. C est pourquoi le modèle de turbulence isotrope et homogène est relativement universel. D autre part, l énergie va être détruite à une certaine échelle, où les processus visqueux deviennent très actifs. On appelle cette échelle l échelle de dissipation (k d ). L énergie va donc cascader entre k e et k d. Les mouvements dans chaque tranche de nombre d onde k vont se maintenir, car ils reçoivent de l énergie des échelles plus grandes et en cèdent aux échelles plus petites, par instabilité dynamique des tourbillons. A la stationnarité, le

10.4. FORME UNIVERSELLE DU SPECTRE D ÉNERGIE 91 flux d énergie reçu des grandes échelles est exactement égal à celui transmis vers les petites échelles. Il y a donc un flux spectral d énergie entre les échelles, qui est indépendant de k. Comme le mouvement se maintient, en dernier recours, aux plus petites échelles, intervient la dissipation d énergie turbulente. A la stationnarité, le flux spectral d énergie est donc nécessairement égal à la dissipation, ɛ. ɛ est aussi nécessairement égal au taux d alimentation par l instabilité dynamique et/ou thermique aux grandes échelles. 10.4 Forme universelle du spectre d énergie On peut alors faire un raisonnement de similitude pour trouver la forme du spectre. Les paramètres pertinents, pour trouver quelle est la valeur du spectre d énergie E(k) pour un certain nombre d onde, sont a priori (i.e. en analysant les termes intervenant dans l équation d évolution de E(k)) : k, le nombre d onde ν la viscosité ɛ le flux spectral d énergie transitant entre les échelles La matrice des exposants aux dimensions s écrit : E(k) k ν ɛ L 3 1 2 2 M 0 0 0 0 T 2 0 1 3 Le rang de la matrice vaut 2, il y a 4 variables, donc deux (4-2) nombres sans dimension en relation. On peut trouver : Π 1 = Eɛ 2 3 k 5 3 Π 2 = kɛ 1 4 ν 3 4 La forme générale recherchée est donc : ( ) Eɛ 2 5 3 k 3 = F kɛ 1 3 4 ν 4 Elle exprime la forme universelle du spectre (en dehors de la zone de production) d une turbulence homogène, isotrope et incompressible. 10.5 La zone inertielle Si on s intéresse maintenant à la zone du spectre où la dissipation n est pas encore active, E(k) ne doit pas dépendre de la viscosité ν dans cette zone. Ceci n est possible que si la fonction F est une constante. On trouve alors : E(k) = C K ɛ 2 3 k 5 3 Cette forme simplifiée est la loi de Kolmogorov (1941). Elle n est valable que dans le sous-domaine inertiel (i.e. assez loin spectralement des zones de production k e et de celles de dissipation k d ). La constante de Kolmogorov C K a été mesurée expérimentalement et vaut environ 1.5. Cette loi est très bien vérifiée par l expérience.

92 CHAPITRE 10. APPROCHE SPECTRALE DE LA TURBULENCE 10.6 Cas particulier du grand nombre de Reynolds C est le cas atmosphérique ou océanique. R e grand signifie que ν est très petit pour une valeur donnée typique de k e. La dissipation ne joue qu à très petite échelle, là où la turbulence réussit enfin à créer des gradients assez importants pour que les forces moléculaires interviennent. Ainsi, les nombre d onde dissipatif (k d ) sont très élevés, et la forme simplifiée du spectre de Kolmogorov est valable sur une grande partie du spectre. On va rechercher l extension maximale du spectre vers les petites échelles, ou en d autres termes, k d. Par analyse dimensionnelle, k d ne peut dépendre que de la viscosité ν et du terme de transfert d énergie ɛ. Donc k d α ɛ 1 4 ν 3 4 On trouve bien que le nombre d onde dissipatif augmente quand ν tend vers zéro. On introduit l échelle de longueur associée l K = 1 k d = ν 3 4 /ɛ 1 4. C est l échelle de Kolmogorov, c est à dire celle où la dissipation visqueuse est active. En pratique, ce sera la plus petite échelle présente dans un écoulement turbulent. On voit que l K dépend non seulement de ν, mais aussi de ɛ, qui mesure alors la production d énergie (en amont du spectre inertiel). Plus la production d énergie sera importante, plus la dissipation doit être importante, et donc plus petite sera l échelle l K atteinte par les mouvements turbulents. Calculons le nombre de Reynolds caractéristique de cette échelle dissipative : R e = V L ν. Pour l échelle caractéristique de longueur, on choisit donc l K = k 1. L échelle de vitesse est donnée par (ke(k)) 1 2. Donc : On remarque que k d = ɛ 1 4 ν 3 4 R edis = (k de(k d )) 1 2 νk d d et on approxime E(k d ) en poussant jusqu aux échelles dissipatives la loi simplifiée de Kolmogorov (que l on considère donc approximativement valable) : E(k d ) = C K ɛ 2 3 k 5 3 d. Donc R edis = CK ɛ 1 3 k 1 3 d CK ɛ 1 3 CK ɛ 1 3 = = νk d νk 4 3 d ν ɛ 1 3 ν = C K 1 En effet, à cette échelle, le fluide est très visqueux. La viscosité n a d importance que rapportée à une certaine échelle. 10.7 Nombre de Reynolds de l écoulement aux grandes échelles On cherche maintenant à savoir quel est le nombre de Reynolds de l écoulement dans son ensemble, c est à dire à l échelle des plus gros tourbillons k e. On remplace k d par k e dans les expressions ci-dessus et on remplace ν en fonction de k d et ɛ, il vient : R e = ( ke k d ) 4 3

10.8. ESTIMATION PRATIQUE DE LA DISSIPATION 93 Ceci donne une nouvelle interprétation du nombre de Reynolds. R e est la séparation relative entre les échelles d injection et de dissipation visqueuse de la turbulence. En conséquence, plus le Reynolds est grand, et mieux la théorie de Kolmogorov est vérifiée (du fait de l existence d un vaste sous-domaine inertiel). 10.8 Estimation pratique de la dissipation Ceci peut être fait pour les écoulements à grand nombre de Reynolds, car on va utiliser la loi de Kolmogorov. On repart de la définition de la dissipation, en terme spectral, qui est l intégrale sur tous les nombres d onde k de l écoulement de la dissipation associée à chaque nombre d onde k (cf équation d évolution de E(k)) : ɛ = 2ν kd k e k 2 E(k)dk Si le nombre de Reynolds est grand, k d tend vers + d où : ɛ 2ν + k e k 2 E(k)dk Le spectre inertiel s étend aussi vs des nombres d ondes infinis E(k) C K ɛ 2 3 k 5 3, donc ɛ 2ν + k e C K ɛ 2 3 k 1 3 dk ɛ 1 3 2C K ν + k e k 1 3 dk Or, l intégrale + k e k 1 3 dk diverge. Donc même si ν tend vers zéro, on ne peut rien conclure quant à la dissipation, pourtant d origine visqueuse. Ceci est une propriété remarquable des écoulements trubulents. Si on fait tendre la viscosité vers zéro, la dissipation (bien qu elle soit gouvernée par la viscosité) ne tend pas vers zéro, car des échelles de plus en plus petites s agitent. Ceci permet ainsi toujours à la dissipation de trouver une échelle où elle est active. On repart donc plutôt du spectre d énergie, en supposant encore que E(k) a partout la forme de Kolmogorov : D où e = + k e E(k)dk = + k e C K ɛ 2 5 3 k 3 dk = [ 3 ] + 2 C Kɛ 2 3 k 2 3 = 3 k e 2 C Kɛ 2 3 k 2 3 e ( ) 3 2 2 3 ɛ = k e e 2 3C K On pose k e = 2π l e, l e étant la taille caractéristique des plus gros tourbillons, i.e. ceux contenant l énergie initialement. Finalement :

94 CHAPITRE 10. APPROCHE SPECTRALE DE LA TURBULENCE ɛ α e 3 2 l e La dissipation ne dépend ainsi que de la partie grande échelle du spectre. Elle est indépendante de la viscosité (à grand Reynolds). En fait, elle dépend directement de l énergie injectée dans le fluide, par instabilité dynamique ou thermique. Puis cette énergie cascade vers les petites échelles à un taux de transfert spectral ɛ indépendant de l échelle (et qui est donc toujours égal au taux de production d énergie turbulente de la grande échelle). En final, les petites échelles s adaptent pour fabriquer des tourbillons suffisamment petits pour que cette énergie puisse être dissipée par les forces moléculaires. Si la viscosité n est pas trop petite, ces tourbillons dissipatifs seront relativement gros, sinon, ils seront très petits. 10.9 Le spectre en k 1 Des études très récentes montrent que l on ne trouve pas partout dans le spectre en k 5 3 de Kolmogorov. Ce dernier est caractéristique de la turbulence développée, homogène et isotrope. Cependant, près du sol, dans la couche limite de surface (CLS), les tourbillons ne sont plus isotropes, du fait de la présence du sol. Ils sont généralement allongés plus ou moins dans le sens de l écoulement moyen. Des mesures effectuées avec des anémomètres soniques ont montré que sur une large partie du spectre, celui-ci est en k 1. C est seulement vers les plus petites longueurs d ondes (i.e. après de très nombreuses cascades d échelles) que l on trouve enfin le spectre de Kolmogorov. En fait, de tels spectres en k 1 existaient déjà dans les mesures des années 1970, mais les auteurs préféraient filtrer leur données afin de trouver le sacro-saint spectre en k 5 3!

Chapitre 11 La couche limite de surface 11.1 Phénoménologie On a vu que la connaissance des flux turbulents w θ, w q, u w, v w représente l une des principales préoccupation pour les études de couche limite, puisque ces flux déterminent l évolution des profils des paramètres moyens. Ces flux représentent les transports verticaux de chaleur, d humidité et de quantité de mouvement dês aux tourbillons turbulents. La valeur de ces flux au voisinage immédiat de la surface est évidemment extrêmement importante, puisqu elle mesure l intensité globale de ces transports entre la surface et l atmosphère. On se pose donc de manière constante la question de déterminer ces valeurs, soit au niveau expérimental, soit au niveau théorique ou dans les modèles numériques. De manière générale, il est évident que ces flux sont déterminés par une interaction entre les valeurs caractéristiques de la surface (température, humidité, rugosité), et celles de l écoulement d altitude (disons au dessus du sommet de la CLA). Cependant, il apparaît qu il n est pas possible de trouver des lois simples décrivant cette interaction, en raison de l instationnarité de l écoulement. Les problèmes se simplifient beaucoup si on considère que la valeur des flux résulte d une interaction entre les caractéristiques de la surface, et celles de l écoulement au voisinage de la surface (ces dernières résultant d une interaction complexe entre l écoulement près de la surface et plus haut). En particulier, on peut montrer qu il doit exister une relation assez simple entre les gradients verticaux des paramètres moyens et le valeur des flux turbulents. Une des manières de le montrer est d examiner les équations pour les flux que nous avons établies au chapitre 9. Ces équations apparaissent comme un ensemble de relations liant d un côté ( ) u, v, θ, q et de l autre (u 2, v 2, w 2, u v, u w, v w, w θ, w q, etc... ). Au voisinage immédiat de la surface, il existe une zone où les tourbillons ont une taille proportionnelle à la hauteur z au dessus du sol. Ils sont donc petits, et leur temps de retournement τ est très petit devant les temps de moyenne couramment utilisés (environ 10 min). On peut donc accepter l idée que les paramètres moyens se mettent en équilibre quasistationnaire avec la valeur des flux, de manière quasi-permanente. Ainsi, la relation cherchée doit être indépendante du temps, c est à dire diagnostique. 95

96 CHAPITRE 11. LA COUCHE LIMITE DE SURFACE La zone dans laquelle ce qui précède est vrai s appelle la couche Limite de Surface (CLS). En pratique, elle s étend d environ 1m au dessus de la surface à 30m au dessus. C est donc une couche très fine. On l appelle quelquefois couche à flux constants. Il s agit d un abus de langage. Les flux turbulents ne sont pas constants dans cette couche. Ce que l on entend par là, c est que la variation des flux sur la verticale représente une faible partie de leur valeur totale, et comme telle, n est pas pertinente dans la recherche de la relation flux/gradients des paramètres moyens. On va maintenant chercher la forme générale de cette relation. On pourrait résoudre les équations après hypothèse de fermeture. Il est plus commode, compte tenu de la nature du problème posé, de faire un raisonnement d analyse dimensionnelle. Cette théorie, qui a été très bien vérifiée expérimentalement, s appelle théorie de similitude de Monin-Obuhkov. 11.2 La théorie de similitude de Monin-Obuhkov Cette théorie joue un grand rôle en micro-météorologie. 11.2.1 Forme universelle du gradient de vent On se place dans un système d axes où Ox est parallèle au vent de surface, de telle sorte que : u w = u 2 représente la totalité du flux cinématique de vitesse, v w = 0. Le flux de chaleur w θ est baptisé Q 0. On néglige l influence de l humidité dans un premier temps. Il suffirait de modifier θ par θ v dans tout ce chapitre pour le faire. On cherche de quoi peuvent dépendre les gradients u θ et. D après les équations aux moments, les quantités qui peuvent intervenir sont u, Q 0, β et z (la taille des tourbillons). La matrice aux exposants s écrit, pour ce qui est du gradient de vent moyen : u u Q 0 β z L 0 1 1 1 1 T 1 1 1 2 0 Θ 0 0 1 1 0 Le rang de la matrice est 3, donc il existe 2 paramètres sans dimension. On peut choisir, sans restreindre la généralité : u z u et zβq 0. Pour des raisons historiques, la relation universelle qui existe entre ces deux nombres sans dimension s écrit de manière un peu différente. u 3 C est le profil universel de vent de Monin-Obukhov : u = u kz φ u(ζ) avec L MO = u3 kβq 0, la longueur de Monin et Obukhov ζ = z L MO, l indice de stabilité de Monin et Obukhov

11.3. DÉTERMINATION THÉORIQUE DES FONCTION φ U ET φ θ 97 En effet, on peut vérifier que ζ = R f kz, qui se comporte en gros comme le nombre de Richardson R f. L idée est la même : comparer les effets de production dynamique et thermique de la turbulence. Pour ζ << 1, la prodction dynamique domine. Pour ζ >> 1, c est la production thermique qui domine. u u On a déjà rencontré un cas particulier de cette loi : le profil de vent au voisinage du sol dans le cas neutre (pas d effet thermique). On sait qu alors, u = u kz. On peut donc dire que la théorie de Monin-Obuhkov généralise la précédente, et que φ u (0) = 1 (ζ = 0 correspond en effet au cas neutre Q 0 = 0). 11.2.2 Forme universelle du gradient de température On aurait de même θ = F (u, Q 0, β, z). L analyse conduit à introduire l échelle caractéristique des fluctuations turbulentes dans la CLS : θ = Q 0 u Il vient θ = θ kz φ θ(ζ) 11.2.3 Généralisation aux autres grandeurs On peut étendre cette analyse aux autres caractéristiques de l écoulement, i.e. les moments d ordres plus élevés. Ainsi : u 2 = u 2 f u 2(ζ), u θ = u θ f uθ (ζ), etc... Toutes les fonctions apparaissant étant universelles. On va à présent tenter de déterminer la forme des fonctions universelles de la CLS pour les gradients de vent et de température, par trois méthodes : théorique, expérimentale et numérique. 11.3 Détermination théorique des fonction φ u et φ θ Les arguments théoriques reposent sur l examen des régimes de stabilité extrême : neutre, quasi-neutre, stable, instable. 11.3.1 Régime neutre On a déjà vu que nécessairement, φ u (0) = 1. Pour le profil de température potentielle, on ne peut utiliser directement l équation universelle (qui donnerait 0 = 0). Par contre, si on travaille en coefficient d échange, et qu on définit α θ (0) comme l inverse du nombre de Prandtl turbulent à la neutralité, il vient : α θ = K θ = w θ K u θ u = Q 0 u w θ u u 2 = θ θ u u = φ u φ θ

98 CHAPITRE 11. LA COUCHE LIMITE DE SURFACE Donc φ θ = φu α θ, et en particulier φ θ (0) = 1 α θ (0) La quantité α θ (0) peut être déterminée expérimentalement. 11.3.2 Régime quasi-neutre Q 0 est très faible, mais non nul, ce qui conduit à ζ << 1. On doit pouvoir faire un développement linéaire de φ u et φ θ au voisinage de zéro. φ u (ζ) 1 + β u ζ, d où u = u ( ) z 1 + β u kz L MO Et donc : u(z) = u k ( ln z ) z z 0 + β u z 0 L MO C est la loi log+linéaire du vent aux faibles stabilités. De même, on a θ = θ ( ) 1 z 1 + β θ kz α θ (0) L MO θ(z) = θ k ( 1 ln z α θ (0) z 0T + β θ z z 0T L MO Le profil de θ aux faibles stabilités doit aussi avoir une forme log+linéaire. La constante d intégration z 0T n a aucune raison d être égale au z 0 du vent. L expérience montre qu elle est beaucoup plus petite (un facteur 10 au moins). Ces lois aux faibles stabilités sont valables pour ζ << 1. Ceci peut s obtenir en faisant tendre z vers zéro ou L MO vers +. Ceci montre qu il y a toujours un domaine de hauteur où ces lois sont valables, sauf si u = 0 rigoureusement (pas de vent moyen). Cela peut donner une interprétation physique plus claire à L MO. C est la hauteur en dessous de laquelle les sources de turbulence sont essentiellement mécaniques (la production dynamique prédomine), et au dessus de laquelle la production thermique prédomine. Le fait que P d domine dans les basses couches vient du cisaillement de vent plus fort à la surface. On y retrouve alors le profil logarithmique (plus une petite part de linéaire). Application numérique : si u = 1ms 1, ρc p Q 0 = 200Wm 2, alors, Q 0 0.2Kms 1 et donc L MO = u3 1 = kβq 0 0.4 10 = 375m 3000.2 Donc pour z 30m, ζ 0.1 et l approximation log+linéaire sera très bien vérifiée à cette altitude. L MO est une quantité très variable, de quelques mètres à quelques kilomètres. Il y a une grande variété de régimes possibles, en fonction du vent et de la température du sol. )

11.3. DÉTERMINATION THÉORIQUE DES FONCTION φ U ET φ θ 99 11.3.3 Régime très instable Dans ce cas, ζ. Ceci arrive si u tend vers zéro pour un flux de chaleur Q 0 positif. Ce régime s appelle le régime de convection libre (purement thermique). On peut faire un petit retour sur l analyse dimensionnelle du problème. On suppose que la friction due au vent moyen, u, est tellement faible que ce n est plus un paramètre pertinent. Les gradients ne dépendent donc plus que de β, Q 0 et z. Ainsi, pour le profil moyen de température, la matrice aux exposants s écrit : θ Q 0 β z L 1 1 1 1 T 0 1 2 0 Θ 1 1 1 0 Le rang de la matrice est 3, le nombre de paramètres 4, donc il n y a qu un nombre sans dimension. Celui-ci conduit à (où C θ est une constante universelle) : θ = C θq 2 3 0 β 1 3 z 4 3 Le profil de température est obtenu par intégration de la loi précédente : ( ) θ(z) = θ(z 1 ) + C θ Q 2 3 0 β 1 3 z 1 3 z 1 3 1 z 1 est une constante d intégration, qui est supérieure à z 0T. En effet, sauf cas très particulier, cette loi ne sera pas valable quand z 0 (l hypothèse ζ >> 1 étant contredite). On a obtenu un profil moyen de température en z 1 3, très caractéristique de la convection libre. On veut donc que la limite de φ θ (ζ) quand ζ tend vers donne le même comportement. On forme l identité de ( θ = C θq 2 3 0 β 1 3 z 4 Q 0 3 = φ θ zkβq ) 0 kzu u 3 D où φ θ (ζ) ζ C θ ζ 1 3 Si l on admet que, même en régime de convection libre, on puisse être en présence d un vent très faible, on peut développer une analyse similaire et trouver un profil de vent en z 1 3. 11.3.4 Régime très stable ζ + correspond à u 0 avec un flux de chaleur négatif (Q 0 < 0). Ceci arrive dans le cas d inversion thermique très marquées, par exemple par nuit avec un ciel sans nuage et un vent faible. La stabilité thermique inhibe la turbulence, et les tourbillons ont des tailles très petites. Ceci fait qu il y a absence de communication d information (via la turbulence)

100 CHAPITRE 11. LA COUCHE LIMITE DE SURFACE sur la structure verticale de l écoulement. Par conséquent, les tourbillons ne voient plus la présence du sol, ce qui fait que z n est plus un paramètre pertinent. La seule échelle de longueur pertinente est la longueur de Monin-Obukhov, L MO. On doit donc imposer que z disparaisse ( des formulations des gradients moyens de vent et de température. Or u = u kz φ z u L MO ), donc φ u (ζ) c u ζ. Il en est de même pour la température, et donc u = c u u kl MO et θ = c θ θ kl MO Les constantes numériques c u et c θ doivent être déterminées expérimentalement. On peut les rattacher à des notions plus physiques. en effet, l inverse du nombre de Prandtl turbulent des régimes très stables, α θ (+ ), y est reliée : α θ (+ ) = φ u(= ) φ θ (+ ) = c u c θ D autre part, dans les régimes très stables, R f = βq 0 u 2 u = βq 0kL MO u 3 c u = 1 c u On sait que R f est une fonction de ζ, R f (ζ). Dans la limite ζ +, R f (+ ) est une constante universelle, qui ne peut être que R fcr si la turbulence existe (pour R f plus grand, il n y a plus de turbulence, et on traite ici le cas d écoulement turbulents). Donc u = u 1 kl MO R fcr et θ = θ 1 kl MO α θ (+ )R fcr R fcr est compris entre 0.25 et 1 (cf chapitre 9), et α θ (+ ) << 1 (la stabilité inhibe surtout les échanges de chaleur, moins ceux de quantité de mouvement). En intégrant, on trouve que les profils doivent être linéaires : u(z) = u(z 1 ) + u 1 θ 1 (z z 1 ) et θ(z) = θ(z 1 ) (z z 1 ) kl MO R fcr kl MO α θ (+ )R fcr 11.4 Détermination expérimentale des fonctions φ u et φ θ Pour déterminer φ u et φ θ, il faut faire des mesures simultanées des profils u, θ, et des flux u et Q 0 dans la CLS (entre le sol et 30m environ). Cela nécessite un mât de mesures de paramètres moyens à différents niveaux, et des mesures rapides des fluctuations turbulentes pour calculer les corrélations. Ces dernières nécessitent l utilisation d anémomètres soniques et de capteur de température et d humidité rapides, instruments chers et de maintenance délicate. Il y a eu de nombreuses campagnes de mesures des φ u et φ θ, et leur caractère universel a été bien confirmé par l expérience.

11.5. UTILISATION D UN MODÈLE NUMÉRIQUE POUR DÉTERMINER φ U ET φ θ 101 φ u et φ θ sont grands quand ζ + : les zones stables correspondent à des gradients importants et des flux faibles. φ u et φ θ sont petits quand ζ : les zones instables ont des gradients faibles et des flux forts (la turbulence mélange). A partir de ces nuages de points, on établit des paramétrisations des fonction φ u et φ θ (Businger 1972). On remarque que l on retrouve toutes les caractéristiques prévues par l analyse théorique précédente, sauf la limite en ζ 1 3 dans les cas très instables. On ne sait pas encore pourquoi. 11.5 Utilisation d un modèle numérique pour déterminer φ u et φ θ On peut aussi tirer φ u et φ θ des modèles. Par exemple, dans l étude de Mellor (1973) ou de Lewellen et Teske (1973). Les modèles utilisés étaient des modèles 1D (verticaux) à fermeture d ordre 2, avec une résolution spatiale très forte ( z 1m). Les tourbillons énergétiques étaient supposés de taille kz près du sol. Les résultats étaient excellents, et ont constitué en leur temps un test extrêmement convaincant des possibilités de tels modèles. 11.6 Prise en compte de l humidité elle est facile au niveau du principe. Q 0 doit être remplacé par le flux de température virtuelle Q 0v = w θ + δθ r w q. La longueur de Monin-Obuhkov est construite avec Q 0v : L MO = u3 kβq 0v. Les formules précédentes restent valables avec le nouveau ζ = z L MO (humide). Le gradient d humidité moyenne s obtient par analyse dimensionnelle comparable à celle de la température, en utilisant une dimension humidité spécifique. On trouve par analogie : q = q kz φ q(ζ) avec q = E 0 u ; E 0 = w q s On considère souvent que φ q et φ θ sont identiques (ce sont des scalaires conservés dans les mouvements adiabatiques). φ q est néanmoins moins bien connu expérimentalement que φ θ, en raison de la difficulté de mesurer des fluctuations rapides de l humidité. 11.7 Application pratiques des fonctions universelles 11.7.1 Mesure indirecte des flux dans la CLS On a vu que la mesure directe des flux par la méthode des corrélations nécessite des instruments coûteux et de maintenance difficile. On a donc intérêt à mesurer plutôt les gradients des paramètres moyens et en déduire les flux par les fonctions φ u,φ θ et φ q, connues une fois pour toutes. 1. On mesure u, θ, q le long d un mât. 2. on admet que Q 0 et E 0 sont proportionnels avec le même rapport à θ d identité de φ θ et φ q ). et q (hypothèse

102 CHAPITRE 11. LA COUCHE LIMITE DE SURFACE 3. On inverse les formules Les résultats sont assez imprécis, car les erreurs de mesure s amplifient dans l inversion, et il faut aussi tenir compte du fait que la paramétrisation des fonctions φ u et φ θ contient une certaine erreur. On admet les précisions suivantes, à condition de suivre des procédures assez strictes sur la plan numérique pour éviter d amplifier les erreurs : Q 0 : 15 à 35 %, E 0 : 15 à 100%, u 2 : 10 à 40%, L MO : 15 à 60% et z 0 : 25 à 100%. Pour améliorer la précision, on a intérêt chaque fois que possible à avoir une mesure complémentaire, celle du rayonnement net. Elle représente l énergie disponible, une fois fait le bilan des gains et des pertes par rayonnement (cf chapitre 12). Si on suppose que toute cette énergie est rendue à l atmosphère, alors le rayonnement net est égal à la somme ρc p Q 0 + ρl v E 0. Cela donne une contrainte supplémentaire, et on suppose que le rapport de Bowen C pq 0 L ve 0 θ est identique à (C p ). Cela donne donc une détermination indépendante de Q 0 et E 0 (mais toujours en utilisant les gradients moyens), qui réduit beaucoup l incertitude totale. Seule demeure l inversion de la vitesse de friction u. C est la méthode dite du rapport de Bowen, qui est beaucoup utilisée. )/(L v q 11.7.2 Paramétrisation des flux dans les modèles numériques Dans les modèles numériques, on ne dispose pas d une information sur les gradients u θ q et dans la CLS, mais d une valeur de u, θ et q au point de grille le plus bas, qui peut être situé dans la CLS si on le décide ainsi. On dispose également d une information sur la température et l humidité de la surface (cf chapitre 12), et on sait bien sûr que le vent est nul à la surface. La seule formulation possible est alors une formulation en coefficients de transfert globaux (en anglais bulk coefficients ). Soit z l le niveau le plus bas du modèle, situé dans la CLS obligatoirement : u w = C D U(z l ) u(z l ) v w = C D U(z l ) v(z ( l ) ) w θ = C H U(z l ) θ(zl ) θ s w q = C H U(z l ) (q(z l ) q s ) Où U(z l ) = u 2 (z l ) + v 2 (z l ) est la norme du vent moyen au niveau le plus bas du modèle, et où C D, C H, C Q sont des coefficients globaux qui ont un ordre de grandeur comparable. On admet souvent l identité C H = C Q, par analogie avec φ θ = φ q. Ces coefficients dépendent, par ordre d importance : 1. de la hauteur du niveau de calcul z l, 2. de la rugosité (dynamique ou thermique) z 0 et z 0T, 3. de la stabilité. Considérons pour commencer le cas neutre : u = u kz,

11.7. APPLICATION PRATIQUES DES FONCTIONS UNIVERSELLES 103 peut s intégrer en Donc u(z l ) = u k ln z l z 0 ( ) 2 u w = u 2 k = ln z u 2 (z l l ) z 0 D où le coefficient de traînée C DN (C D à la neutralité) égal à ( k C DN = ln z l z 0 C DN diminue si z l augmente, et si z 0 diminue. Pour comparer deux sites, il faut se ramener à une même hauteur z l. On prend généralement z l = 10m, puisque toutes les mesures OMM du vent moyen sont faites à 10 m au dessus de la surface. On a alors le C D10m. Des valeurs classiques de C DN10m (i.e. à la neutralité) sont : 1 à 2 10 3 au dessus de la mer, 3 à 5 10 3 au dessus de la terre (plus rugueux). Pour évaluer la dépendance par rapport à la stabilité, il faut intégrer verticalement les formules u = u kz φ uζ., avec une expression précise de φ u et φ θ. Pour la formulation de Businger, ceci a été fait par Paulson (1970). Ces formules représentent deux équations implicites couplées pour u et θ. On peut les résoudre numériquement (par itérations), ou bien paramétrer les résultats une fois pour toutes. Louis et al (1979) a réalisé cette paramétrisation de la prise en compte de la stabilité sous la forme : ) 2 C D = C DN f(r is ) où R is est le Richarson de surface, défini comme : 11.7.3 Conclusion R is = β(θ(z l) θ s )z l u 2 (z l ) en conséquence, on voit qu indépendamment du problème considéré par la dynamique de la turbulence, traité par la théorie de Monin-Obuhkov, il faut aussi des informations précises sur trois caractéristiques de la surface terrestre pour déterminer les flux : sa rugosité sa température son humidité C est à la détermination de ces paramètres que l on va s intéresser maintenant (en commençant par la rugosité, qui ne varie pas dans le temps).

104 CHAPITRE 11. LA COUCHE LIMITE DE SURFACE

Chapitre 12 Les flux de surface et leur détermination On a vu que dans bien des cas, les caractéristiques de la CLA sont déterminées par les flux de surface u w s, v w s, w θ s, w q s. Ces flux quantifient respectivement le freinage et les apports ou pertes en chaleur et humidité causés par la surface. La valeur instantanée de ces flux est évidement le paramètre le plus important. Elle est déterminée par une interaction entre les caractéristiques de l air dans la CLA, et les caractéristiques de la surface elle-même. 12.1 La rugosité 12.1.1 Mesure de la rugosité L intensité du freinage et sa direction sont déterminés par le vent dans la CLS, la rugosité z 0 de la surface sous-jacente, et les conditions de stabilité qui règnent dans la CLS (dépendantes de la température et de l humidité de surface). Il y a eu de très nombreuses mesures de la rugosité sur différents types de surface. Toutefois, certaines mesures conduisent à des valeurs de z 0 erronées, principalement pour deux raisons : (i) les mesures sont effectuées trop bas, en dessous de 20 z 0, où la loi logarithmique n est pas vérifiée (même en conditions neutres), ou (ii) les mesures sont effectuées à proximité d un terrain de caractéristiques différentes. La rugosité affecte le profil de vent au dessus du site de mesure. Il existe des conditions dites de fetch, qui définissent l étendue minimale de terrain de caractéristiques semblables (i.e. homogène) à celui que l on veut mesurer, en amont du point de mesure. Pour comprendre cela, il faut examiner l écoulement au voisinage d un changement de type de terrain. Il se développe, à partir du changement de rugosité (i.e. du changement de type de terrain), une couche limite interne, dont l altitude croît avec la distance (figure 12.1). à l intérieur de cette couche limite interne, le profil de vent a eu le temps de se mettre en équilibre avec les nouvelles conditions de surface. Par contre, au-dessus, le profil de vent représente toujours ce qu il y a en amont. Ainsi, il ne faut pas faire les mesures trop bas, pour être au dessus de vingt fois la rugosité, 105

106 CHAPITRE 12. LES FLUX DE SURFACE ET LEUR DÉTERMINATION mais il ne faut pas être trop haut si il y a un changement de rugosité dans le voisinage, car on risque alors de mesure la rugosité de la surface d à côté et non d en dessous. On dit que le fetch doit être grand. Il y a des cas où ces deux conditions ne peuvent être remplies simultanément (par exemple pour mesurer des sites de très fortes rugosités comme dans les villes). La règle communément admise pour avoir une condition de fetch suffisante est que la distance à la plus proche discontinuité de rugosité en amont (le fetch, F ), est relié à la hauteur de mesures z par : F 100z. Fig. 12.1 Exemple de développement de deux couches limites en fonction des caractéristiques sous-jacentes de la surface. 12.1.2 Hauteur de déplacement Il apparaît que lorsque les obstacles sont relativement hauts et denses (typiquement des forêts), le profil de vent ne peut plus être décrit (en conditions neutres) par : u(z) = u k ln z z 0 Dans cette formule z décrit la distance au sol. En fait, le profil logarithmique est décalé vers le haut, d une distance appelée hauteur de déplacement. Ceci revient à peu près à dire que la surface ne se trouve pas au sol, mais plutôt vers le sommet des arbres, qui forment, vu de dessus, une sorte de surface continue. La hauteur de déplacement d vaut ainsi environ 3 4 de la taille des obstacles. Et le profil, au dessus de plusieurs z 0 au dessus de d, peut alors être régi (toujours en conditions neutres) par : u(z) = u k lnz d z 0 12.1.3 Paysages complexes et régions de collines Lorsque le terrain n est pas homogène dans chaque maille, on est parfois amené à représenter la rugosité moyenne. Celle-ci doit permettre de modéliser avec une seule rugosité l effet de plusieurs rugosités différentes présentes côte à côte dans le paysage étudié. Ainsi, il faut être capable de produire le même frottement que celui exercé en réalité par l ensemble des surfaces hétérogènes. Souvent, on moyenne en fonction de leurs surfaces respectives non pas les

12.2. BILAN D ÉNERGIE EN SURFACE 107 rugosités elle-même, mais les coefficients de traînée C D, présentés au chapitre précédent. Lorsque l on est en présence de petits reliefs, comme des collines, leurs présences produisent un effet de freinage sur la vent, et modifient le profil de vent moyen. Si on considère des distances horizontales s étendant sur plusieurs collines, celles-ci peuvent être considérée comme des obstacles placés sur une surface plane. On parle de relief sous-maille. On peut associer une rugosité à ces obstacles. Des mesures effectuées dans le pays de Galles et les pré-alpes conduisent à des rugosités d environ 10m (pour des collines de 300m de haut). Il est tentant d extrapoler ces estimations de rugosité de relief à des reliefs beaucoup plus importants, comme les Alpes. On trouve alors, par le calcul, des rugosités de l ordre de 100m ou même plus. Une telle pratique est très courante dans les modèles météorologiques. Mais je défie quiconque d y associer un profil de vent logarithmique au-dessus. C est utile pour générer un fort frottement sur de tels reliefs, mais ça n a plus aucun sens physique. 12.1.4 Rugosité sur mer Sur mer, il y a interaction entre le vent et la taille de obstacles (les vagues). La rugosite est donc variable. On trouve qu en moyenne, la rugosité est donnée par la formule de Charnock (1955) : avec α = 0.016 ± 0.004. z 0 = α u2 g Toutefois cette formule est assez imprécise. La rugosité dépend de la forme des vagues et de leur hauteur, qui peut-être dépendante du vent (dans le cas de mer du vent ), mais aussi par d autres paramètres : leur âge, leur fetch (désignant ici la distance depuis laquelle ces vagues sont formés, souvent la distance à la côte en amont), la profondeur du chenal d eau considéré, l existence de houle (i.e. des vagues créées à distances par d autres conditions de vents)... On préfère parfois travailler avec les coefficients de traînée C D plutôt que directement avec les rugosités. Il existe de nombreuses mesures montrant comment C D (sur mer) varie en fonction de la vitesse du vent. On a tendance à noter une saturation, qui serait due au déferlement des vagues. 12.2 Bilan d énergie en surface La détermination des flux turbulents de chaleur et d humidité de la surface vers l atmosphère sont naturellement dépendants des caractéristiques de la surface en question, en particulier sa température (pour le flux de chaleur) et son humidité (pour le flux d humidité). L évaporation sera plus forte sur une pelouse bien irriguée que sur un désert. La détermination de la température est intuitivement reliée à l énergie disponible en surface, qui peut alors être redirigée vers l atmosphère. L évaporation elle dépendra naturellement

108 CHAPITRE 12. LES FLUX DE SURFACE ET LEUR DÉTERMINATION du bilan en eau du sol, qui permettra de savoir combien d eau est disponible (voir section suivante). Cependant, l évaporation demande aussi de l énergie. en effet, l eau dans le sol est sous forme liquide, alors que celle relachée dans l atmosphère l est sous forme vapeur. Il faut donc évaporer l eau, et cela demande de la chaleur latente! Ainsi, les deux quantités température et humidité de surface θ s et q s sont contraintes conjointement par le bilan d énergie disponible en surface. Comme on le verra, il y a même compétition entre les deux effets. Fig. 12.2 Schéma du bilan d énergie à la surface, K correspond aux composantes du flux solaire, I aux composantes du flux infrarouge, H est le flux de chaleur sensible, LE le flux de chaleur latente et G le flux dans le sol (tiré de Malardel, 2005). 12.2.1 Formalisation du bilan d énergie en surface On considère une fine tranche comprenant la partie superficielle du sol et les premiers mètres de l atmosphère (de façon à contenir tous les obstacles). On écrit son bilan d énergie :

12.2. BILAN D ÉNERGIE EN SURFACE 109 Q s = Q s ρl v w q ρc p w θ + R S R S + R L R L La variation de chaleur Q est égale à la somme des flux entrants et sortants. Par convention, les flux turbulents seront positifs quand ils vont de la surface vers l atmosphère. En fait, la capacité thermique d un couche aussi fine est souvent négligeable, et la quantité d énergie emmagasinée très faible devant les flux qui y transitent. On peut admettre Q s 0. L équation traduit donc un équilibre instantané entre les différents flux, et on peut considérer que la température moyenne de surface θ s s adapte instantanément pour permettre un tel équilibre (s il y a excès d énergie, θ s augmente, sinon il diminue jusqu à l équilibre). On va maintenant examiner les différents flux intervenant dans cette équation. 12.2.2 Les flux radiatifs Le flux solaire descendant, R S C est le moteur du système. Il est nul la nuit et a une variation caractéristique le jour, atteignant en général un maximum à midi locale. Quand il n y a aucun nuage, le maximum est facile à déterminer : il ne dépend pratiquement que de la hauteur du soleil sur l horizon. En été, ce terme atteint 900W m 2 sous nos latitudes. R S diminue fortement en présence de nuages (il ne fait plus environ que 150W m 2 pour une journée couverte par des stratocumulus par exemple). La variabilité de R S à toutes les échelles de temps (diurne, synoptique, annuelle) est la principale raison de la variabilité de la CLA, et le facteur premier qui empêche l existence d une structure universelle de la CLA. Il est mesuré à l aide d un pyranomètre. C est un Capteur de flux thermique utilisé pour la mesure de la quantité d énergie solaire en lumière naturelle. Le flux solaire réfléchi R S = A R S Le flux solaire réfléchi dépend donc du flux solaire incident et de l albédo A. Celui-ci représente en quelque sorte la clarté de la surface : albédo faible, surface sombre ; albédo fort, surface claire. Il est déterminé par de nombreux facteurs : type de sol, type de végétation, humidité du sol, élévation du soleil sur l horizon. La variabilité de l albédo est une autre raison qui empêche l existence de lois universelle. Des valeurs typiques vont de 0.03-0.25 pour la mer, 0.10 pour les forêts de conifères, 0.15 pour les feuillus, 0.20 pour la végétation basse, 0.30-0.50 pour les déserts, 0.80 pour la neige fraîche. Le flux infra-rouge descendant, R L C est le rayonnement de grandes longueurs d onde, encore appelé rayonnement atmosphérique. Sa valeur dépend essentiellement du profil de température moyenne de l atmosphère au dessus du point considéré. Il est donc peu variable. Il est affecté par la présence de nuages, mais bien moins que le rayonnement solaire. Il varie en général entre 300W m 2 (ciel clair) et 400W m 2 (ciel nuageux). Il est mesuré à l aide d un pyrgéomètre, c est à dire d un radiomètre hémisphérique qui sert à mesurer le flux radiatif infrarouge incident à la surface de la Terre dans toutes les directions. Cet appareil permet aussi de mesurer le flux infra-rouge

110 CHAPITRE 12. LES FLUX DE SURFACE ET LEUR DÉTERMINATION montant. La coupelle du capteur est transparente au rayonnement infra-rouge mais opaque au rayonnement solaire. Le flux infra-rouge montant, R L C est le rayonnement émis par la surface. D après la loi de Stefan-Boltzmann, il est donné par : R L = ɛσt 4 s + (1 ɛ)r L Où ɛ est l émissivité de la surface dans l infrarouge. Elle est très peu variable (contrairement à l albédo), de 0.94 (désert) à 0.99 (végétation, neige). Elle augmente en présence d eau dans le sol, mais sans bien sûr jamais dépasser 1. σ est la constante de Stefan-Boltzmann (5.67 10 8 Wm 2 K 4 ) et T s est la température de surface. Le rayonnement net C est simplement la somme des quatre flux radiatifs R n = R S R S +R L R L. Il représente l énergie disponible une fois tous les échanges radiatifs effectués. 12.2.3 Flux d énergie et caractéristiques dans le sol Le flux de chaleur dans le sol Q s C est le flux de chaleur qui transite de la fine tranche de surface considérée (quelques millimètres) vers le sol plus profond. En première approximation, on peut considérer le sol comme un milieu homogène sur l horizontale et suivant la loi de la chaleur. Le flux de chaleur y est vertical. Il est relié au gradient de température dans le sol et la conductivité thermique λ du sol : Q s = λ T. L évolution de la température dans le sol obéit à C T t = λ T C étant la capacité calorifique du sol. Les caractéristiques thermiques du sol (C et λ) dépendent de la texture du sol et de son contenu en eau. Elles sont donc très variables dans l espace et le temps. La texture du sol est la taille des particules qui le composent. Il existe trois types de base : sable (sols grossiers), limon (sols moyens) et argile (sols très fins). On peut représenter la plupart des types de sol en spécifiant le contenu relatif des ces trois catégories de base. L eau dans le sol Le contenu en eau du sol est défini en général par le volume d eau qui peut exister dans un volume de sol donnée : c est l humidité volumique η, qui se mesure en m 3 m 3. Des valeurs typiques de η vont de 0.1 à 0.5. Le contenu d eau maximal, η sat que peut contenir un sol dépend de sa texture. L eau dans le sol est absorbé par les forces de capillarité à la surface des particules, ce qui fait que plus les particules sont petites, plus le sol peut contenir d eau. η sat est donc une fonction de la texture du sol, augmentant vers les textures fines. Ses valeurs

12.2. BILAN D ÉNERGIE EN SURFACE 111 Fig. 12.3 Cycle diurne des différentes composantes du bilan radiatif à la surface observées à Niamey en Juin 2006. Fig. 12.4 Cycle diurne des températures dans le sol mesurées à différentes profondeurs. Au-delà de 60 cm, la température ne change pas au cours de la journée.

112 CHAPITRE 12. LES FLUX DE SURFACE ET LEUR DÉTERMINATION sont assez bien connues. La capacité calorifique peut être donnée par une formule simple : C = (1 η sat C 1 + ηc H2 O Où C 1 est la capacité calorifique du sol sec. C varie typiquement de 1 à 5 10 6 Jm 2 K 1. Comportement diurne du flux de chaleur dans le sol La température dans le sol étant régie par la loi de la chaleur, comme le flux d énergie fourni par la surface varie en permanence, il y a une onde de température qui se propage vers le bas, tout en s amortissant et en se déphasant (propriété générale de la transmission de la chaleur dans les matériaux). La fréquence diurne du signal, qui correspond au maximum d énergie en surface, ne se propage pas au delà de 50 cm environ. Les fréquences saisonnières et annuelle se propagent jusqu à quelques mètres. Au delà, le sol ne conserve que la mémoire des grandes fluctuations climatiques. Pour ce qui nous concerne directement, on peut considérer que le flux de chaleur dans le sol est vers le bas pendant la journée (accumulation de chaleur) et vers le haut pendant la nuit (le sol restitue de l énergie à l atmosphère). Ceci ne permet pas de contrebalancer le refroidissement radiatif infra-rouge (R L ) nocturne, ce qui fait que la surface se refroidit la nuit. 12.3 Les flux turbulents vers l atmosphère 12.3.1 Partition flux de chaleur sensible/ flux de chaleur latente Les flux turbulents sont déterminés physiquement par le reliquat d énergie disponible, compte tenu d un équilibre qui se modifie à chaque instant, et qui amène la température moyenne de la surface à évoluer. La source de ces deux termes est donc imposée par le bilan d énergie : ( ρlv w q + ρc p w θ ) = R S R S + R L R L Q s Leur rapport est déterminé par la plus ou moins grande capacité à extraire de l eau du sol. Ce rapport s appelle le rapport de Bowen : 12.3.2 Du rôle de la végétation B o = C pw θ s L v w q s Il dépend de l humidité du sol, de sa texture, mais il est surtout dépendant du type de végétation présent. En effet, les plantes extraient directement de l eau du sol profond par leurs racines, et la rejettent dans l atmosphère par leurs stomates. Il peut donc y avoir une forte évaporation même si le sol superficiel est très sec.

12.4. LE BILAN HYDRIQUE DE SURFACE 113 Les plantes utilisent leurs stomates comme un régulateur thermique et biologique. En les ouvrant plus ou moins, elles contrôlent leur température et la photosynthèse de matière organique à partir du CO 2 atmosphérique. On considère que la résistance stomatique (résistance à l évaporation au sein des plantes) dépend de nombreux facteurs : la température et l humidité de l air, l humidité du sol, le rayonnement solaire disponible. tous ces facteurs contribuent au cycle biologique de la plante. Ces mécanismes sont encore loin d être élucidés. Ils varient d un type de plante à un autre. Ainsi, la détermination du rapport de Bowen est le problème le plus difficile actuellement pour modéliser le bilan en surface. Il existe des paramétrisations empiriques, qui doivent être validées pour différents types de plante et de climat. C est pourquoi il existe de nombreux exercice d intercomparaison de telles paramétrisations entre les différents laboratoires qui traitent du sujet. L enjeu est important, à la fois pour la prévision numérique et pour les études climatiques. On admet ainsi clairement l existence de feedback entre la surface et le climat : le climat change, les espèces végétales changent, donc le rapport de Bowen change, l atmosphère réagit et le climat change, etc... Ces feedbacks peuvent être soit modérateurs (on revient vers le climat d origine), soit aggravant (cas de la désertification par exemple). Les modélisations les plus récentes des processus de surface cherchent à simuler de tels effets, en paramétrisant directement la croissance des plantes à partir de la photosynthèse (dont on a vu qu elle dépendait fortement de l activité des stomates donc des conditions atmosphériques). L étude détaillée de ces phénomènes nous entraînerait trop loin. 12.4 Le bilan hydrique de surface La teneur en eau du sol joue à la fois sur les propriétés thermiques du sol (donc sur Q s ) et sur le rapport entre flux sensible et latent (rapport de Bowen). Il est donc nécessaire de gérer non seulement le bilan d énergie en surface, mais aussi le bilan d eau des couches superficielles du sol (typiquement sur toute l épaisseur des racines, soit quelques mètres, puisque les plantes peuvent évaporer dans l atmosphère de l eau venant directement du système racinaire).c est le domaine de l hydrologie de surface, discipline en plein développement. Là aussi, il est difficile de trouver des grandes régularités, à cause de la complexité et de la variabilité des phénomènes. La source de l eau dans le sol vient des précipitations. Une partie seulement pénètre dans le sol, le reste ruisselle à la surface pour rejoindre immédiatement les cours d eau. L eau qui a pénétré dans le sol percole vers le bas par gravité, et rejoint la nappe phréatique qui peut se trouver à quelques mètres sous la surface ou plus profond. Là, elle circule de manière complexe et rejoint aussi les cours d eau, mais plus lentement. Une partie de l eau reste absorbée sur les particules du sol. C est cette partie qui est intéressante pour l interaction avec la CLA. Cette eau peut en effet être captée par les racines pour être évaporée. Le contenu en eau du sol est gouverné ainsi par un équilibre entre évaporation, forces de gravité, mais aussi forces de capillarités. Ainsi, si le sol s assèche par

114 CHAPITRE 12. LES FLUX DE SURFACE ET LEUR DÉTERMINATION évaporation, de l eau peut remonter du sol profond par capillarité, contre la gravité.

Chapitre 13 Les couches convectives dans la CLA Un des régimes les mieux connus de la CLA correspond à la phase diurne par temps non perturbé. Le bilan d énergie en surface est alors positif pendant la journée, et cette énergie est restituée à l atmosphère (w θ s > 0, mais variable dans le temps et dans l espace). Il en résulte une phénoménologie très particulière que l on va maintenant décrire. 13.1 Evolution diurne du profil de température potentielle virtuelle Sous l hypothèse habituelle d homogénéité horizontale (mais en tenant compte tout de même d une vitesse verticale moyenne non nulle), ce profil est régi par l équation θ v t = θ w v Q w θ v (a) Fig. 13.1 Evolution temporelle des profils moyens de θ et w θ. L effet du rayonnement ( Q) est négligeable devant les autres termes pour ce type de couche. L évolution est alors la suivante (figure 1.1) : 1. réchauffement par le bas 115

116 CHAPITRE 13. LES COUCHES CONVECTIVES DANS LA CLA (a) Fig. 13.2 Profils moyens de θ v, l humidité spécifique, l intensité du vent, le flux de flottabilité, le flux vertical d humidité et la quantité de mouvement dans la couche limite convective d après Driedonks and Tennekes (1984). 2. érosion de l inversion nocturne 3. développement d une couche à θ v quasiment uniforme (couche mélangée), dont le sommet croît rapidement 4. la couche mélangée croît ensuite plus lentement 5. le flux de chaleur en surface s inverse, et il y a a nouveau refroidissement des basses couches en soirée. La structure type d une couche convective (développée, i.e. en milieu de journée) est alors la suivante à un instant donné (figures 1.2 et 1.3) : une couche limite de surface (CLS) fortement instable une couche mélangée, très turbulente une zone dite d entraînement une inversion brusque de quelques degrés l atmosphère libre stable au dessus La hauteur de la CLA est dans ces conditions clairement définie, et facile à identifier expérimentalement. Elle coïncide avec le niveau de variation brusque de θ v, ou inversion sommitale. On l appelle h ou z i. Cette hauteur est déterminée à un instant donné par le profil initial de θ v en début de journée, et par l histoire de w θ v depuis le début de la journée (règle de la conservation de la chaleur). Le cas échéant, il peut aussi y avoir un effet dû à l advection moyenne. Plus w θ v a été grand, plus h est grand. Comme w θ v dépend de la saison (via le bilan d énergie de surface), du passage éventuel de nuages, et du rapport de Bowen de la zone d étude, il ne peut y avoir de règle générale pour h(t). On peut toutefois citer des ordres de grandeur typiques dans nos régions : de 600 à 1500m. Dans les zones plus arides elle peut atteindre 2 à 3 km, voire plus au dessus des déserts. S il n y a pas de loi universelle pour décrire la hauteur de la couche limite convective ou la forme du profil de θ v, on verra que c est par contre le cas pour les variables caractéristiques de la turbulence, qui peuvent être reliées à h et au flux de surface par de telles lois universelles.

13.1. EVOLUTION DIURNE DU PROFIL DE TEMPÉRATURE POTENTIELLE VIRTUELLE117 Fig. 13.3 Structures verticale de la couche limite convective. Fig. 13.4 Evolution diurne de la structure de la couche limite convective.

118 CHAPITRE 13. LES COUCHES CONVECTIVES DANS LA CLA 13.2 Profils d humidité et de vent L humidité répond à l équation q t = q w w q Comme la température potentielle virtuelle, elle est bien mélangée par la turbulence et donc pratiquement uniforme avec l altitude (en fait légèrement décroissante). La forme est instable dans la CLS (forte décroissance). Dans la zone d entrainement, il y a un fort décrochage entre les valeurs relativement élevées dans la couche mélangée et les valeurs très faibles dans l air sec de la troposphère libre au dessus de l inversion. Il en est de même pour les quantités scalaires étant émises au niveau du sol. En ce qui concerne le vent, on a vu qu en général, le vent augmente avec l altitude, et tourne sur toute la profondeur de la CLA. Dans une couche convective, le brassage turbulent est fort, ce qui fait que le vent est pratiquement mélangé (pas de cisaillement en force ou direction). Il ne présente ainsi des variations fortes que dans la CLS (variations en intensité, dues au freinage près de la surface) et dans la zone d entraînement, avec une discontinuité surtout en direction pour rejoindre le vent géostrophique. Toute la rotation est donc concentrée dans cette zone d entraînement. Cette structure génère donc un fort cisaillement dans les basses couches (CLS) et la zone d entrainement, mais aucun cisaillement dans la couche mélangée. On peut donc prévoir que la turbulence sera dominée par la production thermique, et aura des caractéristiques de convection libre. Cette structure est atteinte en milieu de journée. En début de matinée et en début de soirée, le vent retrouve son allure plus classique avec un gradient vertical régulier. Cela conduit à un cycle diurne prononcé du vent. Le vent est fort au voisinage du sol en milieu de journée (la turbulence apporte vers le bas de la quantité de mouvement pour contrebalancer le frottement de surface), et faible dans la nuit. Au contraire, en altitude, le vent est fort la nuit et plus faible en milieu de journée. En raison de la force de Coriolis, ces varaitions sont affectées aussi par un effet de rotation (cf chapitre 15 sur les couches limites nocturnes). Ainsi, le vent à chaque niveau décrit une ellipse diurne (en 24h), ellipses qui se regroupent vers 15h, lorsque la turbulence thermique mélange et homogénéise le vent entre les différents niveaux de la CLA. 13.3 Phénoménologie de la couche convective Les mouvements turbulents sont dominés par la nécessité pour la CLA de transporter vers le haut la chaleur qui lui est continuellement fournie par le sol. Ceci se fait par une hiérarchie de mouvements typiques : 13.3.1 Dans la CLS Dans la CLS, des plumes. Ce sont des colonnes d air obliques de l ordre de 100m de diamètre, qui balaient la surface, en se déplaçant avec le vent moyen, et aspirent vers le

13.3. PHÉNOMÉNOLOGIE DE LA COUCHE CONVECTIVE 119 haut les masses d air surchauffées au voisinage du sol. Les fluctuations typiques des paramètres dans les plumes par rapport à l environnement sont de 1 à 2K pour la température et 1 ms 1 pour la vitesse verticale w. 13.3.2 Les thermiques dans la couche mélangée Plus haut, les plumes se regroupent en thermiques. Ce sont de vastes colonnes d air ascendant s élevant jusqu à l inversion (h), et même plus haut (cf plus loin). Elles sont de diamètre environ 1.5 h, soit de l ordre de quelques centaines de mètres le matin et de 1 à 2km l après midi. Leur durée de vie est de 10 à 20 minutes. Ce sont de gros tourbillons par l aspect théorique. Fig. 13.5 Structures dans la couche limite convective. Les vitesses verticales typiques dans les thermiques vont de 1 à 5 ms 1. Les fluctuations de température varient aux alentours de 2 à 3K. Les distributions de vitesse sont asymétriques : il y a un petit nombre de vitesses verticales ascendantes fortes (aux cœur des thermiques), pour un grand nombre de faibles mouvements subsidents (qui compensent l ascendance dans les thermiques, cf figure 1.7). La distribution de température est aussi asymétrique, mais dépend plus du niveau considéré. En altitude, les thermiques sont parfois plus froids que l environnement, alors qu au dessus de la CLS, ils sont naturellement plus chauds (c est l environnement qui change plus que la température dans le thermique). Les limites latérales des thermiques ont une forme complexe qui évolue dans le temps : c est le mécanisme d entraînement latéral, où il y a mélange entre l air de l environnement et le thermique. Par contre, le cœur du thermique n est pratiquement pas mélangé lors de son ascension dans la couche mélangé de la CLA. Ce cœur transporte l air très chaud de la CLS

120 CHAPITRE 13. LES COUCHES CONVECTIVES DANS LA CLA (a) Fig. 13.6 Distribution de vitesse verticale à différents niveaux dans la couche limite convective (indiqués par le rapport z z i ). jusqu au sommet de la CLA, ce que l on appelle la zone d entraınement (entraınement sommital cette fois). Ceci est illustré sur la figure 1.7. (a) Fig. 13.7 Distribution jointe de vitesse verticale et de température potentielle près de la surface (b) et au niveau de la zone d entraînement (c).

13.3. PHÉNOMÉNOLOGIE DE LA COUCHE CONVECTIVE 121 Les thermiques ont également une signature en humidité. Ils sont plus humides que l environnement, la source d humidité provenant de l évaporation de l eau du sol en surface. On peut aussi noter que les thermiques sont recherchés par les pilotes de planeur pour profiter des ascendances. 13.3.3 La zone d entraînement Au sommet de la couche mélangée, les thermiques percutent l inversion, plus stable. Grâce à leur énergie cinétique verticale accumulée, ils peuvent continuer leur ascendance, tout en étant progressivement freinés par la stabilité ambiante. Cela force les particules d air de l atmosphère libre à descendre par compensation de masse vers la zone convective turbulente. Ces particules non turbulentes sont alors entraînées dans le mélange turbulent, et s y incorporent. Les déformations de l écoulement ainsi créées dans cette zone sont très complexes, d autant que la zone d inversion est souvent le siège de cisaillement de vent. Des instabilités de Kelvin-Helmholtz viennent alors compliquer les processus. En fait, on trouve une zone d entraînement à la frontière de tout écoulement turbulent. Dans la zone d entraînement, les processus sont inversés : les thermiques (w > 0) correspondent à des anomalies froides (θ < 0), du fait que l environnement est chaud (puisque l on se situe au dessus de l inversion moyenne, présentant un fort saut en température). Donc w θ < 0 dans la zone d inversion. Le flux turbulent de chaleur est vers le bas : la chaleur redescend de l atmosphère libre vers la CLA, ce qui est paradoxal. La CLA est donc chauffée par le bas (par le sol) et par le haut. Cependant, cette source de chauffage auxilliaire est moins forte, et est générée par des mouvements turbulents qui prennent effectivement naissance au niveau du sol. La zone d entraînement se traduit par de fortes variations de la limite entre la CLA et l atmosphère libre sur l horizontale. Ceci explique l existence des fortes fluctuations de tous les paramètres dans cette zone : des particules ascendantes à la température et humidité de la CLA côtoient des particules descendantes (sèches et plus chaudes) provenant de l atmosphère libre. Enfin, on peut noter qu une partie de l énergie cinétique des thermiques est rayonnée vers le haut sous forme d ondes de gravité dans l atmosphère libre (qui est stable, donc où des ondes peuvent se propager). Les ondes de gravité peuvent aussi se propager latéralement, en étant piégées dans la zone d inversion,du fait de la forte stabilité thermique. 13.3.4 Rouleaux et cellules En présence d un vent moyen bien établi, les thermiques ont tendance à s organiser en rouleaux réguliers, avec des circulations alternées. Cela se produit quand la production dynamique par l écoulement n est plus complètement négligeable. L axe des rouleaux est à peu près parallèle au vent moyen dans la couche mélangée (et donc fait un angle d environ 20 avec le vent géostrophique). La profondeur des rouleaux est égale à h, leur largeur d environ 1.5 h (soit 3h pour une paire de rouleaux).

122 CHAPITRE 13. LES COUCHES CONVECTIVES DANS LA CLA Il est plus fréquent d observer ces rouleaux sur la mer que sur la terre, car rien ne vient perturber la tendance naturelle du fluide à adopter ce type d organisation. Les rouleaux sont souvent marqués par des rues de nuages (figures 1.8), bien visibles sur les images satellites. (a) (b) Fig. 13.8 (a) Photo satellite prise par MODIS à 250 m de résolution représentant les différentes organisations de la couche limite matérialisées par des nuages : cellules ouvertes- open cells, cellules fermées- closed cells et rouleaux- rolls (site http ://www.atmos.washington.edu/ robwood/) (b) schéma idéalisé d après Brown et al (1972) Ces rouleaux sont liés à une interaction entre les mouvements thermiques et les zones de cisaillement, soit dans la CLS, soit dans la zone d inversion, soit les deux. Dans le cas où l organisation en rouleaux est produite par la zone de cisaillement près du sol, ceci se mesure en comparant la hauteur de la couche limite h à la longueur de Monin- Obukhov L( MO (on) a vu qu en dessous de L MO, la production dynamique près du sol l emporte). Si h L MO < 25, le cisaillement au sol est suffisant pour forcer l organisation des thermiques en rouleaux. Sinon, on a plutôt des organisation en cellules, puis pas d organisation du tout (en convection libre). Il est tentant d interpréter ces divers régimes en faisant appel à un nombre de Rayleigh turbulent, par analogie avec l expérience de Bénard décrite dans l introduction. Toutefois les résultats sont assez décevants. Il n est pas sûr que les mécanismes qui président à la formation des rouleaux ou des cellules soient bien compris. On pense néanmoins que ce type d organisation correspond à une optimisation du cycle énergétique : les mouvements thermiques s organisent collectivement, car cela correspond à un flux de chaleur maximal et à une dissipation d énergie minimale.

13.4. PROPRIÉTÉS DE LA TURBULENCE DANS LES COUCHES CONVECTIVES 123 13.4 Propriétés de la turbulence dans les couches convectives 13.4.1 La normalisation convective On peut admettre que sauf dans les cas de vents trés forts, la turbulence est dominée par la production thermique (par le flux de chaleur virtuelle à la base Q 0 = w θ v), et qu à un instant donné, la taille de toutes les propriétés des thermiques sont en équilibre avec les conditions de forçage, qui sont : le flux au sol et la hauteur de la couche limite (qui détermine la taille des plus gros thermiques). On peut donc prévoir par analyse dimensionnelle la forme générale de toutes les caractéristiques de la turbulence. Les paramétres pertinents sont : z, l altitude Q 0 le flux de chaleur à la base β h, la hauteur de l inversion On met donc en évidence un paramétre d altitude normalisé z h. une échelle de vitesse w = (βq 0 h) 1 3. C est l échelle de vitesse convective globale. une échelle de température θ = Q 0 w = Q 2 3 0 (βh) 1 3. si nécessaire, une échelle d humidité q = E 0 w. Le théoréme Π permet d affirmer que toutes les caractéristiques de la turbulence, normalisées par les échelles w, θ, q sont des fonctions universelles de z h. On va examiner quelques unes de ces fonctions universelles (figure 1.9). Le paramétre le plus représentatif est le flux de chaleur normalisé. Il est égal à 1 prés de la surface (le flux est égal au flux de surface), puis décroît linéairement avec l altitude, jusqu à s inverser dans la zone d entraînement (comme expliqué plus haut). Il vaut alors typiquement 0.2 (soit 20% du flux de surface, mais opposé). Au dessus, le flux tend vers zéro, dans la troposphére libre laminaire. 13.4.2 Modélisation du fonctionnement de la couche convective A partir du systéme des équations aux moments traité précédemment, on peut analyser le fonctionnement de la couche convective en terme de théorie de la turbulence. On se limite à un systéme simplifié à 3 équations qui retient l essentiel de la physique du probléme : t w θ = w 2 θ +βθ 2 1 ρ 0 θ p w 2 θ t w 2 = βw θ 2 3 ɛ 2 ρ 0 w p w 3 t θ 2 = 2w θ θ ɛ θ w θ 2 Avec comme condition à la limite, Q 0 = w θ s imposé en bas.

124 CHAPITRE 13. LES COUCHES CONVECTIVES DANS LA CLA (a) Fig. 13.9 Exemple de normalisation convective pour w 2, w e et θ 2. Les mesures expérimentales indiquent que ces normalisations sont réalistes pour la couche limite convective Dans les basses couches (CLS et premier tiers de la couche mélangée) La présence de flux de chaleur (w θ ) dans les basses couches fait augmenter w 2, et par le biais des presso-corrélations, u 2 et v 2. Ce w 2 a tendance à se propager vers le haut par turbulence via w 3. Simultanément, l interaction d un flux de chaleur positif (w θ > 0) avec un gradient de température négatif dans la CLS ( θ < 0) a tendance à faire augmenter θ 2. Ce qui est représenté ici, c est la création des plumes puis, au dessus dans la basse couche mélangée, des thermiques. Le pic de θ 2 prés du sol a tendance à se propager par turbulence, via w θ 2. Il y a ainsi deux sources de flux de chaleur : 1. l interaction entre w 2 et θ d une couche à gradient. < 0 dans les basses couches. C est la brassage mécanique 2. βθ 2, qui existe par la présence des thermiques. C est l effet des forces de flottabilité, ou d Archimède, qui crée un flux de chaleur positif.

13.4. PROPRIÉTÉS DE LA TURBULENCE DANS LES COUCHES CONVECTIVES 125 Dans la partie haute de la couche mélangée La turbulence importante dans la couche mélangée mélange la température, qui présente donc un profil de température uniforme θ faible). Toutefois, l équation pour la température moyenne θ t = θ w nous indique que pour qu au cours du temps θ reste faible, il faut nécessairement que θ augmente de maniére identique aux différents niveaux (dans la couche mélangée). C est en sorte un chauffage en bloc de toute la couche mélangée. Cela signifie donc que θ t est uniforme sur la verticale, et donc que w θ est à peu prés linéaire avec l altitude. Il décroît avec l altitude depuis la valeur au sol. Ainsi, dans la partie haute de la couche mélangée, le flux de chaleur est faible, tout comme le gradient de température moyenne θ. Par conséquent (équation d évolution de la variance de température), la production dynamique de θ 2 est trés faible. La seule source de variance de température provient donc du transport par les thermiques w θ 2. De même, dans la partie haute de la couche mélangée, le flux de chaleur est principalement produit par deux sources d origine thermique : 1. la flottabilité locale, provenant de la variance de chaleur βθ 2. Celle-ci étant produite, comme on vient de le voir, par le transport turbulent vertical par les thermiques. 2. le transport par les thermiques w 2 θ Le terme de production dynamique de flux de chaleur reste faible ( w 2 θ ) comparé à ceux-ci. L écoulement fait même en sorte que ce terme soit négatif, car le gradient de température moyenne, même s il est faible, est légérement positif (stable) dans cette zone. Du coup, le flux de chaleur (positif) est à contre-gradient, puisqu il existe des zones où coexistent à la fois w θ > 0 θ > 0 On voit bien la limite des modéles à coefficient d échange. Il existe de vastes zones, dans les écoulements convectifs, où les flux ne sont pas déterminés par les gradients, mais par les transports par les effets thermiques. La zone d entraînement Du fait de la présence de l inversion, le terme de production mécanique ( w 2 θ ) de flux turbulent redevient important et négatif ( θ > 0), et domine la source thermique βθ 2. Ce mélange mécanique important, c est l entraînement. 13.4.3 Bilan de l énergie cinétique turbulente dans une couche convective Ce bilan, comme expliqué précédemment, a une forme universelle aprés normalisation par les échelles convectives. En négligeant les termes de production dynamique (convection libre),

126 CHAPITRE 13. LES COUCHES CONVECTIVES DANS LA CLA il vient : t e = βw θ v w e 1 ρ 0 w p ɛ 0 (quasi equilibre) Le facteur de normalisation est w2 τ, où τ est l échelle de temps de retournement des thermiques τ = w h. Donc le facteur de normalisation est finalement w3 h. La forme typique des différents termes de ce bilan en fonction de z h sont obtenus à partir de modéles numériques (figure 1.10). (a) Fig. 13.10 Bilan d énergie cinétique turbulente obtenu par la modélisation explicite : P θ est la production thermique, D la dissipation, T le terme de transport turbulent, Tp, le terme de presso-corrélation. Le terme source principal est le terme de production par flottabilité (instabilité thermique) βw θ v. Il est positif sauf dans la zone d entraînement. Les valeurs négatives correspondent à un transfert d énergie cinétique en énergie potentielle (de l air chaud redescend). Le terme puit principal est la dissipation, maximum prés du sol puisque ɛ e 3 2 l e et que l e, la taille des tourbillons énergétiques, est limité par la distance au sol (et tend donc vers zéro prés du sol). Les deux termes de transport redistribuent verticalement l énergie. On constate que le terme de pression est plus petit que le terme de transport turbulent (par les thermiques). Ce bilan donne ainsi accés au fonctionnement énergétique de la couche convective. 13.4.4 Bilan de la variance de température θ 2 dans une couche convective Ce bilan sera normalisé par θ τ = θ w h. Le comportement des différents termes a déjà été décrit plus haut en relation avec les équations pour le flux de chaleur et la variance de

13.5. LA VITESSE D ENTRAÎNEMENT 127 vitesse verticale. On résume ici les différents termes de ce bilan, qui s écrit, en conditions quasi-stationnaires, t θ 2 = 2w θ θ ɛ θ w θ 2 0 Le terme de production mécanique (interaction flux-gradient) correspond à un brassage dans une zone à gradient. Il est négatif dans la zone de flux à contre-gradient, à partir du milieu de la couche mélangée. Le terme de dissipation est maximum prés du sol et à l inversion (petits tourbillons). Le terme de transport turbulent redistribue la variance vers le centre de la couche mélangée, permettant la zone à contre-gradient de se maintenir. La forme typique des différents termes de ce bilan en fonction de z h sont obtenus à partir de modéles numériques (figure 1.11). (a) Fig. 13.11 Bilan de variance de température potentielle obtenu par la modélisation explicite : P est la production thermique, D la dissipation, T le terme de transport turbulent. 13.5 La vitesse d entraînement 13.5.1 Définition On définit la vitesse d entraînement w e comme la vitesse verticale à laquelle l interface entre un milieu turbulent et un milieu non turbulent se déplace. Dans le cas d une couche convective, en l absence de vitesse de grande échelle w e = dh dt Et en présence d une vitesse de grande échelle : dh dt = w e + w

128 CHAPITRE 13. LES COUCHES CONVECTIVES DANS LA CLA On peut donc avoir un équilibre entre entraînement et subsidence. w e est toujours positif. Un milieu turbulent gagne toujours sur le milieu laminaire, en incorporant des particules initialement présentes dans l écoulement laminaire. L ordre de grandeur de w e, d après l observation, est de quelques cms 1. On a vu que l altitude h d une couche convective ne suit pas de loi générale, et qu elle est déterminée par des contingences. Il serait par contre très utile de savoir si l on peut faire une prévision simple de la vitesse à laquelle elle croît, c est à dire de w e. Cela permettrait, en intégrant dans le temps, de prévoir h. w e dépend de l intensité de la turbulence dans la CLA, de sa répartition verticale, des éventuels mécanismes de production de turbulence dans la zone d entraînement elle-même (ondes de Kelvin-Helmholtz, nuages,...), et de la stabilité de la zone dans laquelle se produit l entraînement. en effet, plus l atmosphère libre sera stable, plus le croissance de la couche convective sous-jacente sera difficile et lente. En se limitant au cas des couches purement convectives (vent faible), on voit que la vitesse d entraînement w e doit dépendre de : Q 0, le flux au sol (source de turbulence) β, la flottabilité h, la hauteur des thermiques γ = θv atmos. libre, définissant la stabilité au dessus de la couche convective. Une analyse dimensionnelle permet de trouver la forme générale suivante : w e = w F Q 2 3 0 β 1 3 γh 4 3 Nous allons maintenant tenter grâce à un modèle théorique simple de déterminer la forme de cette loi générale. 13.5.2 Paramétrisation de la vitesse d entrainement (couches convectives) On utilise un modèle simple de conservation de la chaleur (Tennekes 1973). La couche mélangée va de z = 0 à z = h, et la couche d entrainement est infiniment fine. L inversion au niveau de la couche d entrainement est représentée par un saut brusque de θ. Dans l atmosphère libre, θ varie linéairement avec z (le gradient γ = θ/ est donné). On exploite l équation de la thermodynamique : θ t = θ w 1) On l applique sur l épaisseur de la couche mélangée (entre 0 et h). h 0 θ t dz = h 0 w θ dz = Q 0 w θ i

13.5. LA VITESSE D ENTRAÎNEMENT 129 Où w θ i est le flux de chaleur turbulent à l inversion. On a de plus : Donc h 0 θ t dz = θ M t θ M t 2) On l applique entre h et h + dh h 0 = Q 0 w θ i h dz = h θ M t (13.1) Premièrement, on remarque que (en dérivant l intégrale puis ses bornes) : D où : t h+dh h θ(z)dz = h+dh h θ(z) dz + t (h + dh) θ(h + dh) (h) t t θ(h) h+dh h θ(z) dz = t t = h+dh h h+dh h θ(z)dz (h + dh) (θ M + θ + γdh) + (h) t t θ M w θ dz = 0 ( w θ i) = w θ i En faisant tendre dh vers 0, l intégrale et les termes en dh disparaissent, et il vient : w θ i = θ h t 3) L équation pour le saut à l interface s écrit : (13.2) θ t = γ h t θ M t (13.3) 4) La définition de la vitesse d entrainement, si l on néglige les subsidences/ascendances de grande-échelle, est : w e = h t (13.4) 5) On parvient donc à 3 (4) équations avec 4 (5) inconnues : h, θ, θ M, w θ i, (w e ). Il faut donc une hypothèse de fermeture. Dans le cas des couches limites purement convectives, on peut utiliser la similitude des couches convectives. Celle-ci conduit à une relation liant w θ i aux paramètres du problème, soit : Expérimentalement A vaut environ 0.2. résolution du système En combinant (1.1), (1.2), (1.3) et (1.5), on obtient : w θ i = AQ 0 (13.5)

130 CHAPITRE 13. LES COUCHES CONVECTIVES DANS LA CLA D où θ t h θ t = γ h t 1 + A A + 1 + A A θ h h t h θ t = γh h t Pour trouver une primitive, on multiplie par h 1/A : ( ) h 1 A +1 θ t A = γ 2A + 1 t (h 1 A +2) D où 1+A A A θ h A 0 θ 0 = γ 2A + 1 h 1+A ( h 1+2A ) 1+2A A h A 0 Puisque A 0.2, 1+A 1+2A A et A sont grands devant 1. Donc si h 0 et θ 0 sont petits, ces termes marquants l influence des conditions initiales sont rapidements négligeables. On a donc : A θ γh 2A + 1 On en déduit que h et θ restent proportionnels au cours de l évolution diurne. (13.6) En combinant (1.3), (1.1), (1.5) et (1.6), il vient : h θ = γ t t Q 0(1 + A) h A = γ 2A + 1 h t D où h t = Q 0(1 + 2A) = w e (13.7) hγ Vérification de la forme universelle de w e = w f(x) Si l on prend f(x) = (1 + 2A)x, on a : w e (βq 0 h) 1/3 = (1 + 2A) Q 2/3 0 β 1/3 γh 4/3 i.e. w e = Q 0(1 + 2A) hγ Expérimentalement : w e = 1.4Q 0 hγ

13.5. LA VITESSE D ENTRAÎNEMENT 131 13.5.3 Applications Variation de la hauteur de la couche limite en début de journée Le flux au sol Q 0 varie à peu près linéairement en t : Q 0 = Q 0 t, où Q 0 = C ste. Donc, en supposant les approximations ci-dessus valables (h déja suffisament grand devant h 0 pour l estimation de w e ) : D où h h t = 1.4 Q 0 t γ h 2 h 2 0 2 = Q t 2 1.4 0 2 γ La couche limite croît linéairement en t en début de matinée. Variation de la hauteur de la couche limite en milieu de journée Le soleil est proche de son point culminant, et on peut considérer que le flux au sol Q 0 varie peu (Q 0 = C ste ). D où h 2 h 2 0 2 h h t = 1.4Q 0 γ = 1.4Q 0 (t t 0 ) γ En milieu de journée, la hauteur de la couche limite croît en t. La figure 1.12 montre un exemple d évolution de la hauteur de couche limite obtenue pour un jour en ciel clair à partir de différents modèles. On peut noter une croissance rapide et plus lente à partir de 14h. (a) Fig. 13.12 Evolution temporelle de la hauteur de couche limite convective à partir de différents modèles.

132 CHAPITRE 13. LES COUCHES CONVECTIVES DANS LA CLA 13.6 Retour au problème atmosphérique général Dans la CLA réelle, il y a de nombreuses complications par rapport au cas idéal traité précédemment. Le principal est l existence d un vent moyen, qui introduit une source supplémentaire de turbulence (production dynamique). On peut quantifier cette source par la comparaison de u et de w. La seconde vient du fait que la vitesse d entraînement w e n est plus déterminée seulement par Q 0, β, h et γ comme dans la cas purement convectif. En effet, la formule w e = 1.4 Q 0 γh repose sur le fait que le bilan d énergie cinétique turbulente suit une forme universelle (pour les couches purement convectives). Cette forme universelle ne tient plus dans la cas général, à cause du cisaillement de vent moyen présent au voisinage de l inversion, et éventuellement des nuages. On a donc, dans le cas général, 3 échelles de vitesse entièrement distinctes qui gouvernent la structure de la CLA diurne : w, u et w e. Si l on cherche à faire des théories de similitude, on trouve de nombreux nombres sans dimension. Les solutions générales trouvées deviennent rapidement complexes et inexploitables. Toutefois, si l on néglige les effets de l entraînement (ou si l on se restreint aux situations où w e est lié à u et w ), on peut avancer un peu plus. Les paramètres pertinents sont Q 0, h, β, z, u. On peut fabriquer deux nombres sans dimension : z h et h L MO. Ce dernier va jouer le rôle d un indicateur global de stabilité. On a en effet vu que L MO décrit la hauteur au dessus de laquelle la production thermique est supérieure à la production dynamique. Ainsi : si z < L MO, alors la similitude de Monin-Obukhov est à peu près valable si z >> L MO, la normalisation convective est à peu près valable. Globalement, on peut donc prévoir que si h >> 1, la CLA va ressembler à une couche convective (effet du vent négligeable sur la structure de la turbulence). Si L MO 1, la structure sera très différente, plus proche d une couche neutre. L MO h

Chapitre 14 Couche limite nuageuse On va ici uniquement aborder les nuages non précipitants. Les couches limites nuageuses sont assez fréquentes notamment au-dessus des océans étant donné la source d eau. C est un sujet très vaste. En moyenne sur le globe, la couverture nuageuse est de l ordre de 30 %. Les nuages vont modifier les caractéristiques de la couche limite de part leur propriétés radiatives et le dégagement de chaleur latente que produit la condensation. On peut séparer trois propriétés radiatives des nuages : 1. refroidissement infra-rouge fort au sommet du nuage qui peut atteindre 8 K/h sur quelques dizaines de mètres. Ce refroidissement radiatif est d ailleurs la source de turbulence dans les stratocumulus. 2. albédo élévé des nuages qui va donc réfléchir le rayonnement solaire incident et tendre à diminuer R net. 3. les nuages vont bloquer l émission infra-rouge de la surface et favoriser l effet de serre et donc tendre à augmenter R net. On a donc des effets antagonistes des nuages. Les nuages bas vont plutôt réfroidir l atmosphère, l effet d écran domine alors que les nuages hauts vont plutôt réchauffer l atmosphère via l effet de serre. La sensibilité du climat aux nuages est très forte et les nuages constituent une des grandes incertitudes des prévisions du climat. D autre part, les cumulus d alizés jouent un rôle important dans le transport de vapeur d eau vers les couches plus élevées de l atmosphère. On peut définir deux catégories : 1. les strato-cumulus : le nuage se situe dans la partie supérieure de la couche convective. La source de turbulence est le refroidissement radiatif au sommet du nuage. Ils se forment surtout au niveau des bords est des océans où on a de l air plus chaud sur une mer plus froide (upwelling ; ex : au large de l Afrique du Nord, de la Californie, du Pérou). 2. les cumulus d alizés qui sont gouvernés par le flux d évaporation à la base. Dans ce cas, l hypothèse d homogénéité horizontale est remise en cause étant donné les échelles considérées de l ordre de quelques centaines de mètres à quelques kilomètres. 14.1 Nouvelles variables Pour ces deux catégories, on définit de nouvelles variables qui vont tendre à être conservées (équivalent de la température potentielle pour la couche limite convective, la température potentielle liquide 133

134 CHAPITRE 14. COUCHE LIMITE NUAGEUSE θ l = θ L Cp θ T ql et le rapport de mélange total, qt = qv + ql. On définit qs qui est le rapport de mélange à saturation. Si qt > qs on va avoir condensation avec ql = qt qs. Lorsqu une particule atteint la saturation, de l eau liquide va se former. La particule va se réchauffer par libération de chaleur latente, elle va continuer à monter (plus chaude) mais elle va aussi devenir plus sèche. La particule va continuer à monter tant qu on aura de l eau à condenser. Ensuite, on va avoir évaporation de l eau nuageuse et la particule va tendre à redescendre. On aura plutôt libération de chaleur latente dans la partie basse du nuage et plutôt évaporation de ql dans le haut de la couche limite nuageuse. On a donc un transport de chaleur du haut vers le bas et un transport d humidité du bas vers le haut. θ l t = θ 0 T r Q u θ l x v θ l y w θ l w θ l qt t = u qt x v qt y w qt w qt On peut notamment utiliser ces deux variables dans un diagramme de Betts (cf figure2.1). (a) Fig. 14.1 Diagramme thermodynamique à partir des variables conservatives. On peut définir différents niveaux verticaux particuliers (cf figure 2.2 : 1. le niveau de condensation qui correspond au niveau où une parcelle montant selon une adiabatique saturée 2. le niveau de convection libre qui correspond au niveau où la parcelle acquière de la flottabilité positive (du fait de la libération de chaleur latente) 3. le niveau de fin de convection qui correspond au niveau où la parcelle acquière de la flottabilité négative

14.2. LES STRATOCUMULUS 135 (a) Fig. 14.2 Definition des niveaux pertinents pour la couche limite nuageuse. L interaction nuage-rayonnement va dépendre de la quantité d eau liquide dans le nuage, de la distribution de la taille des gouttelettes, de la température du nuage, de la couverture nuageuse et de l angle zénithal solaire. Nous allons détailler maintenant les deux grands types de nuages de couche limite. 14.2 les stratocumulus Les profils sont caractérisés par une forte inversion au sommet du nuage (cf figure 2.3). Les variables conservatives sont mélangées dans toute la couche. Par contre, on peut noter que le profil de température potentielle virtuelle suit une adiabatique sèche jusqu à la base du nuage puis une adiabatique humide. Le contenu en eau liquide croît de la base au sommet du nuage. Ces nuages font intervenir des interactions entre rayonnement, micro-physique et turbulence. (a) Fig. 14.3 Profils verticaux de l eau totale, la température potentielle équivalente, la température potentielle virtuelle, le contenu en eau liquide et la concentration en goutelettes. La figure présente le rayonnement net de la composante solaire et infra-rouge ainsi que le taux de chauffage respectif. On peut voir que la composante solaire (cf figure 2.4) entraîne un

136 CHAPITRE 14. COUCHE LIMITE NUAGEUSE réchauffement dans les 100-200 m vers le sommet du nuage. La composante infra-rouge (cf figure 2.5) induit un fort refroidissement au sommet sur environ 30 m et un réchauffement à la base du nuage sur une épaisseur similaire. (a) Fig. 14.4 Profils de la composante net solaire et du chauffage correspondant pour un stratocumulus d une épaisseur de 500 m. (a) Fig. 14.5 Profils de la composante net en infra-rouge et du chauffage correspondant pour un stratocumulus d une épaisseur de 500 m. Les différents processus de mélange permettant le maintien des stratocumulus sont : 1. la convection à la surface : quand on a un air plus froid que la surface sousjascente. Cependant du fait de la couverture nuageuse et la forte capacité thermique de l océan le chauffage en surface reste faible. 2. une advection différentielle d air avec de l air plus froid au-dessus d une couche d air plus chaud. Cela peut induire la formation du nuage 3. la turbulence mécanique créée par cisaillement de vent lorsqu il y a un vent suffisamment fort 4. le refroidissement radiatif (composante infra-rouge) au sommet du nuage qui peut créer des structures négativement flottantes qui vont mélanger la couche limite (le jour comme

14.3. LES CUMULUS 137 la nuit). 5. le chauffage radiatif à la base du nuage (toujours moins important que le refroidissement au sommet) va tendre à déstabiliser la couche nuageuse mais stabiliser la couche sousnuageuse. 6. l instabilité d entraînement par le sommet : au sommet on peut avoir entraînement d air chaud et sec. Cet air va induire l évaporation des parcelles nuageuses environnantes et donc être refroidi (consommation de chaleur latente) ce qui peut induire la création de downdrafts avec une flottabilité négative qui vont participer au mélange. Cet entraînement peut former une boucle de rétroaction positive (création de turbulence et donc augmentation de l entraînement) qui peut tendre à la disparition du nuage Les incertitudes de la connaissance des stratocumulus sont la connaissance de la vitesse d entraînement au sommet du nuage, la prédiction de l instabilité sommitale, et le rayonnement en présence d oscillations du sommet. Ils ont un cycle diurne important avec des nuages plus épais la nuit. 14.3 les cumulus Leur couverture ne dépasse rarement 25%. Mais ils jouent un rôle important dans le transfert d humidité vers les couches plus élevées de l atmosphère. Ils peuvent constituer un précurseur des orages. La difficulté réside dans le fait qu ils sont intermittents. Cela pose donc un problème de représentativité statistique. De plus, les mesures sont rendues difficiles par la saturation des capteurs. (a) Fig. 14.6 Les trois classes de cumulus. On peut définir trois types de cumulus (cf figure 2.6) : 1. les nuages forcés : ils se forment au sommet des thermiques qui dépassent le sommet de la couche limite. Ils ne deviennent jamais flottant malgré la libération de chaleur latente et donc leur sommet est plus bas que le niveau de convection libre. Ce sont des nuages peu profonds et assez plâts, en général des cumulus humilis. 2. les nuages actifs : ils sont initialisés par des thermiques mais atteignent le niveau de convection libre. Leur temps de vie peut-être plus long que celui des thermiques. Ils permettent des échanges d air entre la couche mélangée et la troposphère libre. En général, leur hauteur égale leur diamètre. Il s agit souvent de cumulus mediocris.

138 CHAPITRE 14. COUCHE LIMITE NUAGEUSE 3. les nuages passifs : Il s agit de nuages actifs en phase de dissipation leur base est souvent mal définie. Des exemples de profils verticaux des variables conservatives dans une couche limite nuageuse avec des cumulus sont indiqués figure 2.7. (a) Fig. 14.7 Profils verticaux des variables conservatives pour trois expériences menées dans des zones à cumulus. Il y a plusieurs interactions entre la couche nuageuse et la couche sous-nuageuse : 1. une interaction radiative : les nuages créent de l ombre ce qui tend à diminuer le flux en surface et donc créer moins de thermiques et donc moins de nuages. Il s agit d une boucle de rétroaction négative induisant un état d équilibre de la couverture nuageuse. 2. une interaction dynamique : l aspiration d air de la couche mélangée vers la troposphère libre tend à ralentir la croissance de la couche mélangée et donc le nombre de thermiques qui atteignent leur niveau de convection libre. On note en général une grande variabilité des caractéristiques des cumulus traduisant la variabilité des thermiques. Cependant ces caractéristiques, notamment diamètre et hauteur, suivent une distribution log-normale. Ces nuages sont souvent paramétrés en utilisant une représentation en flux de masse. Les flux sont alors exprimés en fonction de w = σw up avec σ la couverture nuageuse et w α = w (αup α) 1 σ. w up est la vitesse verticale dans les nuages, α up la valeur de α dans les nuages.

Chapitre 15 Couches limites nocturnes Comparée à la couche limite diurne, la couche limite nocturne est moins bien connue, du fait : 1. d une turbulence beaucoup plus faible que le jour à cause de la stabilité. 2. des interactions entre turbulence et ondes de gravité. 3. d effets géographiques importants (vents de pente, même si les pentes sont faibles) 15.1 Paramètres thermodynamiques moyens 15.1.1 Profil de température Il est donné par l équation habituelle (en supposant les sources d énergie diabatique provenant du rayonnement Q = R : θ t = w θ R w θ u θ x v θ y Le problème, c est que dans les couches limites nocturnes, aucun terme n est négligéable. Ceci parce que la turbulence est faible (w θ petit). terme turbulent : le bilan radiatif au sol est négatif, du fait de l émission infra-rouge de la surface plus importante que celle reçu de l atmosphère (rayonnement net de l ordre de -100 W m 2 ). Cette perte est seulement partiellement compensée par le flux de chaleur rendu par le sol (qui a été chauffé pendant le jour). Ceci fait que le sol en surface se refroidit (2 K/h environ), plus rapidement en début de nuit, puis plus lentement. Ce refroidissement produit un flux turbulent de chaleur sensible négatif (w θ < 0), qui se propage vers le haut par le terme w θ, au moins tant que la turbulence reste notable. terme radiatif : Il est en général négatif, de l ordre de -0.1 à -1 K/h, avec des variations selon l altitude. Localement, il peut même être positif. On doit tenir compte des échanges radiatifs avec le sol, l espace, et des échanges intercouches. terme d advection verticale : w θ est du même ordre de grandeur que les autres termes (sauf si w = 0). Ce terme est particulièrement important dans les anticyclones où le refroidissement radiatif (en surface) est important (et donc la turbulence limitée par 139

140 CHAPITRE 15. COUCHES LIMITES NOCTURNES la stabilité) et où on a conjointement une subsidence de grande échelle significative (w < 0). terme d advection horizontale : Ce terme existe la plupart du temps, car il existe un écoulement de gravité, même pour des pentes faibles (0.1% suffit). En conséquence, le profil de température évolue constamment au cours de la nuit. Il se crée une zone stable qui grandit au cours du temps (figure 3.1). La stabilité est forte, si bien que l on a même une augmentation de T avec z (et non pas seulement sur θ). D où son nom d inversion nocturne. Au dessus, la couche qui fut la couche mélangée dans la CLA convective de la journée ne reçoit plus de forçage de la surface. C est la couche résiduelle. Elle reste quasimélangée, mais avec peu de turbulence, jusqu à ce que celle-ci disparaisse quand le mélange turbulent a mélangé suffisamment pour stabiliser (un peu) la couche résiduelle et diminué l éventuel cisaillement de vent au niveau de l inversion diurne (i.e. au sommet de la CLA diurne). Ces mélanges sont indépendants de ce qui se passe dans l inversion nocturne, prés de la surface. (a) Fig. 15.1 Evolution au cours de la nuit du profil de température. La forme précise du profil de température dépend de l intensité du vent (figure 3.2). Si le vent est faible, on a peu de turbulence. L extension verticale de l inversion est faible, mais son amplitude en température est importante. si le vent est fort, il subsiste un mélange turbulent non négligeable, qui tend à homogénéiser le profil de température et réduit donc l intensité de l inversion. Son extension verticale est plus importante. si le vent est très fort, il maintient dans les basses couches une couche quasi-neutre par effet purement mécanique. Il n y a pas de stratification thermique. Celle-ci est repoussée un peu en altitude, où le cisaillement de vent est moins fort. Un ordre de grandeur typique de la profondeur de la couche d inversion nocturne est de 100 à 300 m. Si le vent est très fort, ce peut être 500 m. Le refroidissement maximum, toujours observé au sol, est de l ordre de 5 à 10K par ciel clair.

15.1. PARAMÈTRES THERMODYNAMIQUES MOYENS 141 (a) Fig. 15.2 Variation du profil de température en fonction du vent. 15.1.2 Profil d humidité L humidité des très basses couches diminue en général, par suite de la baisse de la température. En effet, la température de l air au voisinage immédiat du sol devient si fraiche que l humidité relative augmente et que l eau se dépose au sol sous forme de rosée ou gelée blanche suivant la température du sol. Si la turbulence est significative (par vent faible mais pas nul), le refroidissement de l air se propage assez vite en altitude, et toute l eau en surplus (par rapport au seuil de condensation) n a pas le temps de se déposer de cette manière. Ainsi, l air devient saturant, et il se forme du brouillard. Une fois formé, celui-ci a tendance à s épaissir par refroidissement radiatif de son sommet (mais par contre le refroidissement en surface cesse). Il faut toutefois noter que les effets d advections, que ce soit dans un cas où dans l autre, sont presque toujours importants. 15.1.3 Profil de vent moyen Le profil de vent a une structure très différente de la période diurne. Dans la première partie de la nuit, le frottement augmente dans les basses couches, car le frottement est réparti sur une épaisseur plus faible, celle de l inversion. Le vent diminue donc rapidement en surface (c est un fait d observation quotidienne que le vent diminue le soir). Il prend simultanément un angle plus prononcé par rapport au vent géostrophique. Ensuite, il se développe souvent un maximum relatif dans les basses couches (entre 100 et 300m), que l on appelle le jet nocturne (figure 3.3). Ce jet ne se propage pas jusqu au sol. L origine de ce jet est lié au fait que la turbulence a alors pratiquement disparu. Il peut y avoir deux raisons différentes à l apparition de ce jet nocturne : Par écoulement de gravité Un tel écoulement peut se déclencher dès qu une faible pente existe, à la condition que la turbulence soit nulle. En effet, la couche d air au voisinage du sol devient très froide, donc plus lourde. On considère que des pentes aussi faibles que 0.1% peuvent engendrer des

142 CHAPITRE 15. COUCHES LIMITES NOCTURNES (a) Fig. 15.3 Profils verticaux dans la couche limite stable de la température, la température potentielle, l intensité du vent et l humidité spécifique. écoulements de gravité si elles existent sur des étendues assez grandes. La canalisation de ces écoulements par les accidents du terrain (vallées modestes) les renforce rapidement, si bien qu ils peuvent atteindre plusieurs mètres par seconde. Il n y a alors plus homogénéité horizontale, et les termes d advection horizontale de température et d humidité sont importants. Par phénomène inertiel La théorie inertielle du jet nocturne est dûe à Blackadar (1957). Elle reste toujours valable et est très simple. On considère que le vent est gouverné par les équations habituelles (avec homogénéité horizontale), mais où les termes de turbulence ont disparu : u t = f(v v g ) v t = f(u u g ) Il n y a plus aucun couplage vertical, et les niveaux d air vont évoluer indépendamment les uns des autres. Pour simplifier, on considère que le vent géostrophique (u g, v g ) est indépendant du temps. On résoud le système en posant U U g = (u u g ) + i(v v g )). Il vient : Donc (U U g ) t = if(u U g ) (U U g ) (t) = (U U g ) (t0 ) e if(t t 0) Le vecteur U U g tourne autour de U g avec une période T = 2π f = 2π 2Ωsinφ, φ étant la latitude. T s appelle période inertielle. La rotation se fait dans le sens des aiguilles d une montre dans l hémisphère nord. A l instant initial, l écart au vent géostrophique (U U g ) (t0 ) est d autant plus grand que le vent U est faible, donc que le frottement en début de nuit a

15.2. LE PROFIL DE TURBULENCE 143 été intensif (figure 3.4). (a) Fig. 15.4 Variation diurne du jet de basse altitude. Ceci explique que le vent puisse devenir notablement supérieur au vent géostrophique aux environs de t 0 + T 2 (en supposant que le vent était initialement aligné avec le vent géostrophique). Par exemple, sous nos latitudes (45 N), f 10 4 s 1 et donc T 2 = 9 heures. Si l effondrement du vent se produit au coucher du soleil (à environ 18h), on observera donc la maximum de vent à 3h du matin. Il faut noter qu au voisinage immédiat de la surface, cette théorie ne s applique pas, car il reste une zone plus ou moins turbulente, du fait du cisaillement vertical de vent important. Ainsi, le maximum de vent dû au jet nocturne, situé à quelques centaines de mètres au dessus du sol, ne se propage pas vers le bas. Cet effet inertiel est accentué si le vent géostrophique diminue avec l altitude ( ug < 0) et diminué s il augmente ( ug > 0), car le vent u reste proche de zéro au sol. 15.2 Le profil de turbulence 15.2.1 Origine de la turbulence L énergie cinétique turbulente est gouvernée par l équation : e t = e ( w u w u + v w v ) + βw θ v ɛ On constate expérimentalement que dès que la stabilité est assez forte, le terme de transport turbulent devient faible ( w e 0). Les tourbillons sont trop petits pour coupler entre elles les différentes couches de l atmosphère. Le terme thermique βw θ v est négatif. C est un puit. La seule production est celle par cisaillement, ce qui fait que la turbulence est surtout dépendante du vent. Elle diminue rapidement au cours du temps, avant de réaugmenter éventuellement si un mécanisme de jet

144 CHAPITRE 15. COUCHES LIMITES NOCTURNES nocturne se met en place. On constate donc que le bilan est rarement en équilibre stationnaire. 15.2.2 Par vent fort Si le vent est suffisament fort, il subsiste une zone continue de turbulence, qui s étend du sol jusqu à une certaine altitude, qui n a aucune raison de coïncider avec le sommet de l inversion nocturne. On constate alors que les paramètres u et Q 0 décrivant les flux de surface sont des échelles de normalisation adéquates pour les caractéristiques de la turbulence. On peut voir la couche limite nocturne comme un cas particulier de la CLS. 15.2.3 Par vent faible Si le vent est plus faible, il peut y avoir division de la zone turbulente en plusieurs zones, en fonction de la valeur locale du Richardson, avec effondrement rapide de la turbulence dans les zones ou Ri > Ri cr. La turbulence prend alors une structure feuilletée, et a des valeurs complètement indépendantes des flux de surface, et gouvernées par des effets locaux. Dans ce cas, elle est généralement sporadique dans le temps et hauteument instationnaire. Cet aspect sporadique rend la turbulence nocturne très difficile à étudier par vent faible. Une succession de processus de très petite échelle se produisent : 1. Dans les zones où Ri < 0.25, des instabilités de Kelvin-Helmoltz, 2. Elles déferlent. 3. Il y a ainsi turbulence pendant quelques instants. 4. Cette turbulence mélange, donc diminue le gradient de vent. 5. Le nombre de Richardson réaugmente. 6. Il y a relaminarisation. 7. Bientôt des conditions favorables au développement d instabilités se recréent. Les échelles caractéristiques de ces mouvements turbulents sont très petites : 1 à 10m. Ils présentent une forte anisotropie (dimension verticale / dimension horizontale de l ordre de 0.1 à 0.4). 15.2.4 Interaction avec les ondes de gravité Dans tous les cas, la turbulence interagit fortement avec d autres types de mouvements de petite échelle, et en particulier les ondes de gravité interne qui se propagent dans l inversion nocturne en raison de sa stabilité. Ces ondes peuvent être générées localement (par les instabilités de Kelvin-Helmholtz), ou se propager sur de longues distances dans la direction horizontale, car l inversion constitue un guide d ondes. Les ondes sont facilement observées à la verticale des sodars. Dans une onde de gravité, il y a des déformations locales de l écoulement, qui contribuent simultanément à diminuer θ u et à augmenter. Ainsi, le nombre de Richardson Ri peut être

15.3. PROBLÈME DE LA HAUTEUR DE LA COUCHE LIMITE NOCTURNE 145 localement fortement diminué, permettant à la turbulence de se développer sporadiquement, avant qu elle ne s amortisse rapidement. Mais on ne peut expliquer les caractéristiques de turbulence simplement à partir des profils moyens de θ et u (il faut aussi l action de l onde de gravité). 15.3 Problème de la hauteur de la couche limite nocturne Contrairement à la couche limite convective, il n est pas facile de repérer expérimentalement la hauteur de la couche limite nocturne. Par définition, c est la hauteur où la turbulence devient négligeable. Mais on a vu que la diminution pouvait être sporadique. De toutes façons, on a rarement accès à des mesures de profils de flux en couches stables, d autant que ces mesures sont très délicates, puisque la turbulence est faible et que les instruments eux-mêmes perturbent alors significativement l écoulement. Sur les sondages moyens, on peut repérer facilement le sommet de l inversion et l altitude du maximum de vent (jet). Mais ni l un ni l autre n ont de raison de coïncider avec la hauteur de la CLA. Finalement, le seul instrument bien adapté est le sodar (son écho est proportionnel à l existence de turbulence), mais il faut utiliser les signaux avec discernement. Beaucoup de chercheurs ont néanmoins cherché à établir des lois générales donnant la hauteur de la couche limite nocturne. On peut tenter une analyse dimensionnelle du problème. A priori, on peut penser que h dépend de u, f, Q 0 et β. On trouve que la forme générale de h doit être : h = u ( ) f F u fl MO avec L MO = u3 kβq 0 Deux formes particulières de cette expression ont été testées abondament dans la littérature : h ( ) 1 u LMO 2 f h u f Les données expérimentales conduisent à des constantes de proportionnalité de 0.35 à 0.6 dans la première expression et de 0.06 dans la deuxième. Cependant, ces données sont imprécises et ne permettent pas de choisir quelle est la meilleure formule. Beaucoup d autres modèles ont étés proposés, y compris des modèles évolutifs ( dh dt = ), par analogie avec l entraînement dans la couche convective. Mais aucun de ces modèles analytiques ne marche très bien. Ceci vient du fait qu il n y a pas d équilibre, ni des profils moyens, ni de la turbulence avec les profils moyens. On peut terminer avec une note d optimisme : les modèles numériques parviennent en général, à la condition de bien choisir les paramètres de fermeture (longueur de mélange), de simuler l évolution de la couche limite nocturne. Il peuvent y parvenir, car ils peuvent modéliser tous les termes intervenant dans les équations, par exemple pour celle de la température moyenne : les termes d advection, le terme radiatif, le terme turbulent et le bilan d énergie en surface.

146 CHAPITRE 15. COUCHES LIMITES NOCTURNES

Chapitre 16 La couche active de l océan On appelle couche active de l océan la partie supérieure de l océan, qui est directement affectée par les transferts verticaux turbulents de quantité de mouvement, énergie et sel, provenant de l interaction avec l atmosphère. C est l analogue de la couche limite atmosphérique pour l océan. Cette couche se compose de deux parties : une couche mélangée par turbulence, de profondeur variable suivant le lieu et la saison (entre 10m et 200m). la thermocline saisonnière, qui est une couche stable (stratification en densité par la température et le sel), non turbulente ou de manière sporadique seulement (à cause d instabilités de Kelvin-Helmholtz dûes à des cisaillements de courant provoquées par des ondes internes). La thermocline saisonnière est prolongée vers le bas par la thermocline permanente. 16.1 Phénoménologie A un instant donné, la couche limite au sens habituel du terme correspond à la CMO (couche de mélange océanique), de profondeur h, puisque les flux turbulents sont nuls en général dans la thermocline saisonnière. Toutefois, si l on veut contrôler les bilans de chaleur, set et quantité de mouvement sur une période relativement longue (année ou plus), il est nécessaire de prendre en compte les variations saisonnières de profondeur. D où l inclusion de la thermocline saisonnière dans la couche active. 16.1.1 Cycle saisonnier de la profondeur de la CMO Ce cyle est entièrement piloté par le forçage atmosphérique. Cas des moyennes latitudes En été, les vents sont plus faibles, et la quantité d énergie reçue de l atmosphère (solaire) est importante. Ceci fait que la CMO chauffe en surface et se stabilise. Ces deux effets (vent 147

148 CHAPITRE 16. LA COUCHE ACTIVE DE L OCÉAN faible et stabilité) font que la turbulence est faible. Le bilan d énergie de la CMO est positif (elle chauffe). Sa profondeur h diminue. C est ce que l on appelle le retrait de la CMO. En hiver, les vents sont plus forts, et la CMO se refroidit (bilan d énergie négatif). Elle est moins stable et la turbulence et la profondeur de la CMO augmente. C est ce que l on appelle l érosion de la thermocline saisonnière. Cas des tropiques Le cycle saisonnier de profondeur est plus faible, du fait d une variation faible de l atmosphère au cours de l année. De plus, la profondeur moyenne de la CMO est plus faible que sous les latitudes moyennes (car les vents Alizés sont faibles en général). Cas de l océan arctique Dans l océan arctique, la température de la CMO peut être plus froide qu en profondeur. C est l exception qui confirme la règle. L eau devrait être plus lourde et plonger. En fait, la stabilité est assurée par la teneur en sel : l eau en surface étant suffisament douce pour contrebalancer l effet de température. Cette eau douce provient des grands fleuves eurasiens et nord-américains. Climatologie de h Des campagnes de mesures ont permis de tracer des climatologies de la profondeur de la CMO sur l ensemble des océans. Ces mesures sont collectées par des bateaux instrumentés ou des bouées. 16.1.2 Profils typiques dans la CMO On a vu que les profils de température et de salinité sont bien mélangés dans la CMO, grâce à la turbulence. Il n en est pas de même pour les autres quantités. Le courant a en général un cisaillement assez marqué, le courant maximal étant en surface (cf théorie d Ekman). Ce cisaillement contribue à produire de la turbulence dans la CMO. L intensité de la turbulence est très faible en regard de la turbulence atmosphérique, en raison de la densité de l eau. L ordre de grandeur typique est de 1 cms 1. Elle est variable avec la profondeur, avec un maximum en surface, à cause du cisaillement de courant. La température de surface de la mer (SST) La température de surface de la mer est identique à celle (mélangée) dans la CMO, du fait du brassage en surface par la turbulence. Cependant, par vent nul ou très faible, généralement dans les tropiques, il peut se former une pellicule de quelques centimètres d épaisseur dont la température peut être différente de celle de la CMO (plus chaude de 2K au miximum, ou plus froide de 0.2K). On parle alors de température de peau.

16.2. INTÉRÊT DE LA CMO 149 16.2 Intérêt de la CMO 16.2.1 Impact sur l atmosphère Les flux de chaleur sensible et latent vers l atmosphère sont conditionnés par la température de la surface de la mer. Cette SST dépend du bilan thermique de la CMO, puisque tout apport d énergie se retrouve réparti sur une profondeur h. La prévision atmosphérique dépend donc crucialement de cette couche. Pour des échelles de temps de quelques jours, on peut considérer que la SST ne varie pas (du fait de la grande inertie de l océan). Ce n est cependant plus vrai lors de forts coups de vents : cyclones tropicaux (la modification de la SST est rapide et influe sur la trajectoire du cyclone), mais aussi, par exemple, épisodes de Mistral sur la Méditerrannée (variation de l ordre de 1K/jour). Pour des échelles de temps de l ordre de la saison, la prise en compte des variations de h et des caractéristiques de la CMO est nécessaire. C est pourquoi tous les modèles de climat saisonniers incluent une prise en compte (plus ou moins sophistiquée) de cette couche supérieure de l océan. Pour des échelles de temps supérieures à l année, c est insuffisant et il faut prendre en compte les circulations interne de l océan (superficiel et profond). C est le rôle des modèles couplés océan/atmosphère (qui incluent toujours une paramétrisation de la couche active). 16.2.2 Impact sur l océan Le pilotage de la circulation océanique par l atmosphère se fait au travers de la couche active. L intensité du transfert de quantité de mouvement, donc la génération des courants par les vents, dépend de h et de l intensité de la turbulence dans la CMO. Les courants géostrophiques, outre le cas lié au transport d Ekman, sont affectés par la distribution de densité de l océan, donc des transferts de chaleur et d eau en la CMO et l atmosphère. Impacts pratiques Comme on l a vu en introduction, la CMO et la thermocline sont cruciales pour la discrétion des sous-marins (via le profil de densité). D autre part, le couplage avec les processus biologiques influe sur la pêche, le bilan de CO 2 de l atmosphère, etc... 16.3 Mise en équations du problème océanique 16.3.1 La CMO homogène horizontalement A partir du système de Boussinesq pour l océan (cf chapitre 3), on effectue le même traitement que pour l atmosphère, en utilisant un opérateur de moyenne vérifiant les axiomes de Reynolds, et en supposant l homogénéité horizontale. Il vient :

150 CHAPITRE 16. LA COUCHE ACTIVE DE L OCÉAN u t = f(v v g ) u w v t = f(u u g ) v w T 1 R t = ρ 0 C w T s t = w s 16.3.2 L énergie cinétique turbulente La flottabilité n intervient plus, mais ces équations ne sont pas fermées. Dans le cadre océanique, on a, comme dans l atmosphère, souvent recours à l énergie cinétique turbulente, e = (u 2 + v 2 + w 2 ) 1 2. Son équation d évolution fait intervenir la flottabilité. On y reconnait les termes de production dynamique (par le cisaillement de courant, P d ), de production thermique (P T ), de transport turbulent et par forces de pression, et la dissipation ( ɛ). e t = u w u v w v g w } {{ } ρ ρ 0 }{{} P T P d ) (w e + 1ρ0 w p } {{ } T r Comme dans le cas de l atmosphère, on néglige la zone au voisinage immédiat de l interface mer/atmosphère où l influence des sous-couches visqueuses se fait sentir (quelques millimètres). On néglige de plus l influence des vagues (quelques mètres). Les conditions à la limite sont alors entièrement déterminés par la donnée des flux turbulents de quantité de mouvement, de chaleur et de sel à l interface. On va donc s intéresser à ces forçages venant de la surface. ɛ }{{} Diss. 16.4 Echanges entre l atmosphère et l océan De même que pour les surfaces continentales, on peut considérer le bilan d une fine couche de fluide comprenant l interface, et de capacité calorifique négligeable (par rapport aux flux qui transitent). Les échanges avec l atmosphère comprennent les flux turbulents atmosphériques de chaleur sensible et latente, le flux turbulent de chaleur vers l océan, et tous les flux radiatifs. 16.4.1 Le flux solaire Les remarques sur la variabilité du flux solaire incident (R S ) faites dans la cas continental sont bien sûr aussi valables au dessus de l océan (dépendance en fonction de la saison, de l heure, des nuages). Une partie de ce rayonnement est réfléchi vers l atmosphère en arrivant à la surface de l eau. Cet effet est quantifié par l albédo de la mer. R S = αr S

16.4. ECHANGES ENTRE L ATMOSPHÈRE ET L OCÉAN 151 L albédo de la mer est en général compris entre 0.05 et 0.10. Il dépend de la répartition entre rayonnement direct et diffus (donc de la quantité de nuages). Il augmente par réflection spéculaire quand le soleil est bas sur l horizon, jusqu à des valeurs de 0.25 environ. Cependant, le devenir de la partie non réfléchie est très différente de ce qui se passe sur continent. En effet, sur continent, toute la lumière est absorbée sur quelques millimètres (la terre est opaque). Cette énergie est donc disponible à la surface pour être redistribuée. Par contre, l eau est transparente. Et donc l énergie solaire traverse l interface et s enfonce plus profondément dans la CMO. C est ce flux solaire qui intervient dans le terme R de l équation de la thermodynamique de la CMO. Le chauffage solaire ne se fait pas en surface, mais sur une certaine profondeur. On suppose souvent que ce rayonnement se met sous la forme : R(z) = R(0) I(z) = (1 α)r S I(z) L extinction en fonction de la profondeur est progressive, et les différentes longueurs d ondes ne sont pas éteintes à la même vitesse. On paramétrise en général ce terme radiatif solaire par la somme de deux exponentielles : I(z) = ce z d 1 + (1 c)e z d 2 Les longueurs d atténuation d 1, d 2 et le coefficient de répartition c dépendent des propriétés optiques de l eau de mer, qui varient en fonction de la salinité et des matières en suspension (plancton, sédiments, etc...). Typiquement, 50% est absorbé sur quelques mètres (d 1 1.5m), et 50% sont absorbés sur quelques dizaines de mètres (d 2 15m et c 0.7). Seule une toute petite partie du rayonnement solaire pénètre plus profondément. 16.4.2 Bilan d énergie de surface Ainsi, le flux solaire n intervient pas dans le bilan d énergie de la fine couche d interface entre l atmosphère et l océan. Le bilan de cette couche se résume ainsi au quasi-équilibre instantané entre les flux radiatifs non-solaires et les flux turbulents d énergie de part et d autre. 0 R L R L + ρ airc p w air θ + ρ air L v w air q ρ 0 Cw T Flux radiatifs infra-rouge Le rayonnement infra-rouge R L provenant de l atmosphère se comporte comme au dessus des surfaces continentales. Le rayonnement émis par la surface de la mer vers le haut suit la loi d un corps gris, presque d un corps noir, puisque l émissivité de l eau est très proche de 1 : R L = ɛσt 4 s + (1 ɛ)r L avec ɛ 1 Par contre, il n y a pas d échange radiatif infra-rouge vers le bas, car l eau est un corps noir pour ces longueurs d ondes. Le refroidissement correspondant à l émission infra-rouge vers l espace est donc localisé dans les premiers millimètres à la surface de la mer.

152 CHAPITRE 16. LA COUCHE ACTIVE DE L OCÉAN Flux turbulents vers l atmosphère Ces flux turbulents sont (cf chapitre 12) fonction de la température de la mer, du vent, de l état de la mer (mer du vent, houle, embruns, etc...) et des caractéristiques thermodynamiques de l air (principalement température et humidité). On les considère ici comme une donnée du problème. Flux turbulent de chaleur vers l océan Il reste le flux de chaleur vers la CMO, w T (z=0) produit par les mouvements turbulents dans l océan. Ce flux est donc égal à la somme des flux d énergie non-solaire à l interface. Il est tantôt positif, tantôt négatif. Par exemple, dans le cas simple d une masse d air froide advectée au dessus d un océan chaud, le flux de chaleur turbulent vers l atmosphère sera très important (surface plus chaude que l air et vent), et donc la CMO perdra de l énergie pour alimenter ce flux, via le terme w T (z=0) > 0. 16.4.3 Bilan de sel L évaporation et les précipitations donnent lieu à des échanges d eau douce entre l océan et l atmosphère. Chaque fois que l on prélève de l eau douce à la surface, l eau qui reste est plus salée! Cela équivaut donc à un flux de salinité vers le bas. Le processus inverse a lieu en présence de précipitations. Il y a donc une relation simple entre la différence entre évaporation et précipitations (E P ) et le flux de salinité : ρ 0 s w (z=0) = (P E)s 16.4.4 Bilan de quantité de mouvement On considère que la quantité de mouvement stockée dans la mince couche à la surface est négligeable, ce qui revient à négliger les variations du courant de surface et de la quantité de mouvement transportée par les vagues. Le flux de quantité de mouvement τ est alors le même dans la CLS atmosphérique et la CMO. Tenant compte de la densité de l eau de mer ρ 0, il vient, dans un système d axes parallèle à la tension de surface : { u w (z=0) = τ ρ 0 v w (z=0) = 0 De même que dans l atmosphère, on peut définir une vitesse de frottement dans la CMO u CMO = ( u w (z=0)) 1 2. Et on a alors la relation : u CMO = ρ air ρ 0 u CLS 16.5 Les modèles de numériques de la CMO Etant données les équations 1D, les forçages de surface et un ensemble de fermetures bien choisies, on peut résoudre par un modèle numérique et effectuer une prévision de la struc-

16.6. LES MODÈLES DE INTÉGRAUX DE LA CMO 153 ture des paramètres moyens (T, s, u, v, e) dans la CMO. La SST s en déduit car elle est peu différente de T (z=0). Ceci a été fait, avec des modèles qui sont somme toute très voisins de ceux utilisés dans l atmosphère. Cependant, en pratique, on souhaite faire des intégrations très longues (au moins une année, sur l ensemble des océans par exemple). On recherche donc des modèles numériques plus économiques. On utilise ainsi des modèles intégraux, qui ressemble au modèle de Tennekes pour la CLA convective. Ces modèles sont beaucoup plus utilisés dans l océan. C est aussi dû au fait qu il y a peu d informations détaillées sur les paramètres moyens dans la thermocline saisonnière. On a intérêt à simplifier l approche. 16.6 Les modèles de intégraux de la CMO Pour toute variable moyenne X(z), pratiquement constante dans la CMO, on définit sa valeur moyenne sur la profondeur de la CMO par : X m = 1 h 0 h X(z)dz X d = valeur X( h ), dans la thermocline saisonniere X = X m X d le saut a l interface En intégrant verticalement les équations de Reynolds dans l océan, on obtient facilement les équations pour les valeurs moyennes intégrales : h u m t h v m t h T m t h S m t = fhv m u w (0) + u w ( h) = fhu m v w (0) + v w ( h) = 1 ρ 0 C [I(0) I( h)] T w (0) + T w ( h) = S w (0) + S w ( h) Les flux a l interface h sont calculés comme dans l atmosphère, en fonction de la vitesse d entrainement : u w ( h) = w e u v w ( h) = w e v T w ( h) = w e T S w ( h) = w e S avec { we = h t si h t > 0 (erosion) w e = 0 si h t < 0 (retrait)

154 CHAPITRE 16. LA COUCHE ACTIVE DE L OCÉAN Le retrait correspond à un écoulement qui n est plus turbulent à l interface, donc tous les flux turbulents sont nuls. Pour obtenir un système fermé, il suffit de connaitre w e et h. h se déduit de w e. Donc w e est la principale inconnue de ce problème (exactement comme pour l étude des couches convectives dans l atmosphère). Notons toutefois que la turbulence dans la CMO est beaucoup plus souvent d origine dynamique (tension du vent). Les équations de prévision de w e valables dans l atmosphère ne marchent donc pas à priori. Détermination de la vitesse d entrainement Les meilleurs méthodes disponibles aujourd hui reposent sur le bilan d énergie cinétique turbulente e. En effet, l entrainement représente une conversion d énergie cinétique turbulente en énergie potentielle, et l intensité de cette conversion dépend avant tout de l ect disponible. Le bilan d énergie cinétique turbulente s écrit : ( e t = u w u + v w v ) g ρ 0 w ρ (ew + 1ρ0 w p ) ɛ On intègre ce bilan sur la verticale, et on paramétrise les différents termes en fonction des informations disponibles. 0 h e 0 ( t dz = u w u h + v w v ) 0 ) ) g dz w h ρ ρ dz+ (ew + 1ρ0 w p ( h) (ew + 1ρ0 w p (0) hɛ m 0 1) variation du stock de e : négligeable pour des variations lentes du forçage. 2) Production dynamique intégrale : ce terme est manifestement gouverné par 2 effets : la tension du vent en surface la production dynamique par d éventuels cisaillements en h ( u, v). Des études détaillées montrent que ce deuxième effet est en général négligeable. quant au premier effet, il est déterminé par u w u (0) z u2 u kz u3. On l écrit donc comme m 3 u 3, où m 3 est une constante numérique à calibrer. 3) Le flux turbulent d énergie turbulente à la base ( h) est négligeable. 4) Le flux turbulent d énergie turbulente à la surface est proportionnel à la production locale, donc paramétré en m 2 u 3. remarque : les hypothèses 2) et 4) amènent à découpler le problème de (T, S) et de (u, u). Par conséquent, on n a plus besoin de résoudre pour le courant si l on ne s intéresse qu à la température, ce qui est le cas le plus fréquent (prévision de SST). 5) Production d archimède : 0 g h ρ 0 w ρ dz Ce terme peut être exprimé exactement grâce à la relation simple entre ρ, T, et S, et l hypothèse de mélange parfait.

16.6. LES MODÈLES DE INTÉGRAUX DE LA CMO 155 1 ρ 0 w ρ = (α T w T α S w S ) w S varie linéairement de h à 0, car S est mélangée et le reste. ( w S (z) = w S (0) 1 + z ) z h h w e S La somme w T I(z) ρ 0 C Donc w T (z) I(z) ρ 0 C = g ρ 0 w ρ = α T I(z) ρ 0 C + D où 0 h varie linéairement car T est mélangée et le reste. [ w T (0) I(0) ρ 0 C [ g ρ 0 w ρ (0) α T I(0) ρ 0 C 0 ] ( 1 + z ) z [ w e S I( h) ] h h ρ 0 C ] ( 1 + z ) + g z h ρ 0 h [w e ρ] + α T z ρ 0 C h I( h) g w ρ ρ dz = g h 0 ρ 0 2 w e ρ + α T I(z)dz + α T h ρ 0 C h ρ 0 C 2 ( I(0) I( h)) g h ρ 0 2 w ρ (0) } {{ } Termes connus 6) Dissipation ɛ m Ce terme est à la fois grand et mal connu. C est l essentiel de la difficulté. L équation traduit un équilibre entre le terme h 2 w e 1 ρ 0 ρ de la production d archimède, et le reste de tous les autres termes (production dynamique + partie positive de la production d archimède + dissipation). On estime ɛ m, faute de mieux, avec une expression de type Kolmogorov : ɛ = σ3 e l où σ e est une échelle de vitesse turbulente (u, ou w en cas convectif), et l est une échelle de longueur, fabriquée à partir de (h, L MO = u3 kβq O, λ ekman = u f ). Il existe de nombreux modèles différents. Finalement, l équation permet de déterminer w e.