les résonances de corotation!

se produisent lorsque! n = une des fréquences perturbatrices du satellite! moyen mouvement de la particule! exemple le plus connu: satellites co-orbitaux, n = n s!

de manière générale:! U s =...+ e s ε s m(a s n s ) 2 E (m ) (α) cos(ψc) +... où:! Ψ C = (m +1)λ s mλ ϖ s est l'angle critique de résonance de corotation horizontale! &Ψ C 0 donne alors! mn (m +1)n s ϖ s où ϖ s = n s κ s n n s + κ s m

Approche hamiltonienne!! voir les documents disponibles sur ma page, dont une analyse détaillée dans El Moutamid, Sicardy & Renner! Celestial Mechanics (2014)!! On considère le problème restreint (une particule de masse! nulle) perturbée par un satellite (éventuellement d orbite! elliptique) orbitant dans le même plan: c est donc le problème! trois corps restreint plan (mais non circulaire)!! D autre part, on suppose que le corps central (la «planète»)! est aplati à apparition de taux de précession de la ligne des apses!! Près d une résonance de premier ordre:! Où les quantités primées sont relative au perturbateur! (le «satellite») et les quantité non primées sont relatives! à la particule (masse nulle)!

Près de cette résonance, Il y en en fait deux angles critiques de! résonance (règle de d Alembert):!!! On travaille alors avec les variables canoniques de Poincaré,! qui s écrivent en général:! (si e << 1)! Où µ et µ sont les masses des deux «petits» corps! orbitant autour du corps cenral massif M.!

Ψ L = (m +1)λ s mλ ϖ ici m = +4! particule! satellite! -Ψ L /(m+1)=! -Ψ L /5!

Ψ cor = (m +1)λ s mλ ϖ s ici m = -5! satellite! particule! Ψ cor /m =! -Ψ cor /5!

Sicardy, Icarus 89 197-219 (1991)!

Dans la cas restreint (µ=0), le hamiltonien décrivant le système est:! partie képlérienne du mouvement! effets des deux! résonances! où:! effets de l aplatissement de la planète! (ici l indice s signifie séculaire, et non! pas satellite )!

Variables conjuguées plus adaptées:! Que l on ré-introduit dans le hamiltonien restreint, en supposant! que la résonance de Lindblad peut être ignorée:!

On écrit alors les équations de Hamilton, et en posant par! définition (en fait, la constante de Jacobi):! on trouve que:! # % $ % & φ ' J c J c e'µ 'sin(φ ') qui décrit le mouvement d un pendule simple:! φ e'µ 'sin(φ)

Un cas simple de corotation: les points de Lagrange!! on part de l accélération dans le repère tournant:! r γ rot = GM r 3 en utilisant:! r r Δ = r r s n 2 s = G(M + m s ) Gm s Δ 3 r Δ Gm s r s 3 r s + n s 2r r + 2 r v rot r n s on obtient:! r $ γ rot = GM& 1 3 r 1 % s r 3 ' ) $ 1 r + Gm s & 3 ( r 1 % s Δ 3 ' ) Δ r ( + 2 r v rot r n s

r $ γ rot = GM& 1 3 r 1 % s r 3 ' ) $ 1 r + Gm s & 3 ( r 1 % s Δ 3 ' ) Δ r ( + 2 r v rot r n s équilibre relatif atteint lorsque:! r γ rot = 0, v r rot = 0 soit:! # M 1 3 r 1 & % ( # 1 r + m $ s r 3 s 3 ' r 1 & % ( Δ r = 0 $ s Δ 3 ' r et Δ r r et Δ r deux possibilités: colinéaires ou non colinéaires!

les points de Lagrange! si! si! r et r r et r Δ non colinéaires, alors! Δ colinéaires, alors on pose:! r = r s = Δ points equilatéraux! L 4 et L 5! x = r x ; x s = r sx 1; d'où : Δ = x 1 # 1 1 & # % ( x + ε $ x 3 ' s % 1 $ où:! ε s = m s M 1 1 x 3 & ((x 1) = 0 ' points colinéaires! L 1, L 2 et L 3! (dits aussi points! de Euler)!!!

ici ε s = 0.02! y! satellite! planète! L 3! L 1! L 2! x! # y = 1 1 & # 1 & % ( x + ε $ x 3 ' s % 1 ((x 1) $ 1 x 3 ' -1! 0! +1!

cf. Neil J. Cornish! http://map.gsfc.nasa.gov/mission/observatory_l2.html!

potentiel dans le repère tournant:! U rot = GM r % r r n 2 s r 2 /2 + Gm s ' 3 & r s r s 1 ( * Δ ) où le potentiel perturbateur du satellite vaut:! % U s = Gm s ' & r r s r s 3 1 ( * Gm s Δ ) r s f (Φ) ε s (a s n s ) 2 f (Φ) avec Φ = λ-λ s angle critique de corotation, ε s = m s /M, et:! f (Φ) = cos(φ) 1 2 sin(φ/2)

le potentiel de corotation, masse satellite: 0.01! L L 3! 3! L 5! L 4! L 1! L 2!

L 3! L 4! L 5! une isopotentielle! (courbe de vitesse nulle)!

U s =(Gm s /r s ) f(φ)! π/3! π! 5π/3! φ! L 4! L L 3! 5!

équations du mouvement:! E = v r r γ = an U s a Φ a 2 s n 3 s ε s f '(Φ) mais! E a n s s 2 2 a soit! a = 2a s n s f '(Φ) ou encore:! de plus:! ξ = 2n s ε s f '(Φ) où ξ (a a s ) /a s Φ 3ξ 2 n s (3ème loi de Kepler)! et finalement!

Φ +3n s 2 ε s f '(Φ) mouvement d'une particule dans le potentiel! 3ε s f (Φ) selon les condistions initiales:! libration autour! de L 4 et L 5 (orbites! en "fer à cheval")! L 3! π! libration autour! de L 5! libration autour! de L 4 (orbites! en "banane")! π/3! L 4! 5π/3! L 5!

fer à cheval, ~circulaire!

banane, ~circulaire!

fer à cheval, ~circulaire!

fer à cheval, eccentrique!

montrons que les orbites co-orbitales de faible excentricité se déduisent des! isopotentielles (courbes de vitesse nulle) par une anamorphose radiale d'un! facteur deux! E rot = K rot + U rot = v 2 rot 2 GM r n 2 s r 2 2 % r r + Gm s ' 3 & r s r s 1 ( * = cste Δ ) donc l'isopotentielle:! GM r n 2 s r 2 2 % r r + Gm s ' 3 & r s r s 1 ( * = cste Δ ) est aussi la courbe de vitesse nulle correspondant à E rot = cste! on pose! ξ (a a s ) /a s <<1 alors!

développement au second ordre en ξ:! GM r n 2 s r 2 2 3 2 (a n s s )2 3 2 (a n s s )2 ξ 2 donc isopotentielle (courbe de vitesse nulle) donnée par:! 3 2 (a sn s ) 2 3 2 (a sn s ) 2 ξ 2 + ε s (a s n s ) 2 f (Φ) = cste (1)!

pour une courbe d'excentricité faible, v rot ~ -3(a s n s )ξ/2 (3ème loi de Kepler), donc:! E rot = v 2 rot 2 + U rot 3 2 (a sn s ) 2 3 8 (a sn s ) 2 ξ 2 + ε s (a s n s ) 2 f (Φ) = cste (2)! Donc:! La comparaison de (1) et (2) montre que la trajectoire de la particule [donnée par (2)] se déduit de la courbe de vitesse nulle correspondante [donnée par (1)] par anamorphose radiale (le long de ξ) d'un facteur 2.!

anamorphose radiale! facteur 2! trajectoire suivie! courbe de vitesse nulle!

NB. les points stables L 4 et L 5 sont des maxima d'énergie dans le! repère tournant. Donc si des forces de dissipation sont présentes! (i.e. collisions), alors ils ne sont plus stables. Problème cependant! peu intuitif en général.!! exercices:!! - montrer que cette stabilité est assurée par l'accélération de! Coriolis.!! - montrer que la propriété d'anamorphose montrée précédemment! peut également s'expliquer par l'accélération de Coriolis.!

Ψ cor = (m + q)λ s mλ qϖ s ici m = -5, q = 1, ϖ = +100 Ψ cor = -100! satellite! particule! -Ψ cor /m =! +Ψ cor /5 = -20!

les potentiels de corotation, m= 2,,6 satellte de masse 0.002!

les sites de corotation, m= 2,,6!

satellite à l'apoapse! un peu plus tard (chaque site se déplace à sa propre vitesse keplerienne)!

Sicardy, Icarus 89 197-219 (1991)!

autre exemple de corotation: inclinée 43:42! Sicardy, La Recherche, janvier 1994!

Foryta & Sicardy, Icarus 123 129-167 (1996)!

orbite de Jupiter! vue depuis la particule! (corotation 2:3)! particule avec friction! gazeuse (système! solaire primordial)! cycle limite! Patterson, Icarus 70 319-333 (1987)!

Patterson, Icarus 70 319-333 (1987)!